Física - Livro 2-061-064

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Considerando V como verdadeira e F como falsa, as
armações I, II e III são, respectivamente,
A V, V e V.
b F, F e F.
C V, F e V.
d F, V e F.
e F, V e V.
39 UFRJ Duas mesas de 0,80 m de altura estão apoiadas
sobre um piso horizontal, como mostra a figura a se-
guir. Duas pequenas esferas iniciam o seu movimento
simultaneamente do topo da mesa: 1) a primeira, da
mesa esquerda, é lançada com velocidade

V
0
 na di-
reção horizontal, apontando para a outra esfera, com
módulo igual a 4 m/s; 2) a segunda, da mesa da direi-
ta, cai em queda livre.
Sabendo que elas se chocam no momento em que
tocam o chão, determine:
a) o tempo de queda das esferas.
b) a distância x horizontal entre os pontos iniciais do
movimento.
0,80 m

V0
x
40 Mackenzie 2017 Um míssil AX100 é lançado obli-
quamente, com velocidade de 800 m/s, formando
um ângulo de 30,0° com a direção horizontal. No
mesmo instante, de um ponto situado a 12,0 km do
ponto de lançamento do míssil, no mesmo plano
horizontal, é lançado um projétil caça míssil, verti-
calmente para cima, com o objetivo de interceptar
o míssil AX100. A velocidade inicial de lançamento
do projétil caça míssil, para ocorrer a interceptação
desejada, é de
A 960 m/s
b 480 m/s
C 400 m/s
d 500 m/s
e 900 m/s
41 FEI (Adapt.) Num exercício de tiro ao prato, um
prato é lançado verticalmente de um ponto P. Simul-
taneamente, uma arma é disparada de um ponto A,
situado na mesma horizontal de P, à distância s = 24 m
dele. Depois de 2 s, o projétil atinge o prato numa
altura h = 12 m.
Dado: g = 10 m/s
2
.
θ
h
A
s
P
v
0
Desprezando os efeitos do ar, determine:
a) o módulo da velocidade inicial (

0
) do projétil.
b) o ângulo q que o cano da arma deve fazer com a
horizontal.
42 Fuvest Um motociclista de motocross move-se com
velocidade v = 10 m/s, sobre uma superfície plana, até
atingir uma rampa (em A), inclinada a 45° com a hori-
zontal, como indicado na figura.
A
H
D
g
v
45°
A trajetória do motociclista deverá atingir novamente
a rampa a uma distância horizontal D (D = H), do ponto
A, aproximadamente igual a:
A 20 m
b 15 m
C 10 m
d 7,5 m
e 5 m
43 Cesgranrio Na superfície horizontal do patamar supe-
rior de uma escada, uma esfera de massa 10 g rola
de um ponto A para um ponto B, projetando-se no ar
a partir deste ponto para os degraus inferiores. Cada
degrau tem altura de 20 cm e largura de 30 cm.
20 cm
30 cm
BA
Considerando-se desprezível a resistência do ar e
g = 10 m/s
2
, a velocidade mínima que a esfera deve
ter ao passar pelo ponto B, para não tocar no pri-
meiro degrau logo abaixo, é, em m/s, igual a:
A 0,6
b 0,8
C 1,0
d 1,2
e 1,5
FÍSICA Capítulo 7 Lançamento oblíquo no vácuo62
Parábola de segurança
Para analisarmos este aspecto muito interessante do lançamento de projé-
teis, tomemos um corpo que é arremessado com velocidade sempre igual
a v0 a partir do mesmo ponto, variando somente o ângulo de lançamentoq.
Podemos tomar como exemplo um canhão que sempre dispara projéteis
com a mesma velocidade.
A água utilizada para apagar incêndios também sai da mangueira com a
mesma velocidade. Tanto o atirador quanto o bombeiro variam apenas
o ângulo para atingir alvos diferentes.
Se tomarmos ângulos diferentes de lançamento a partir da origem do
sistema xOy, encontramos uma figura da seguinte forma:
O x
y
Da figura, podemos observar que existe uma região limite, tal que um alvo
fora dessa região jamais será atingido. Pode ser demonstrado que essa
região é delimitada por uma parábola, chamada parábola de segurança.
Observação: Não faz parte desse texto a demonstração de que essa
região é uma parábola; vamos assumir isso como verdadeiro e deduzir
a sua equação.
A região envolvida pela curva é chamada zona de perigo e a região
exterior à curva é chamada zona de segurança.
A parábola de segurança tem propriedades muito interessantes:
• se plotarmos todos os lançamentos a partir do ponto O, com uma
mesma velocidade v0, apenas variando o ângulo de lançamento,
verificamos que as trajetórias obtidas (parábolas) tangenciam a pa-
rábola de segurança.
zona de
segurança
zona de perigo
O x
y
• se desejarmos lançar um projétil para atingir um determinado ponto,
existem infinitas combinações de v0 e q que satisfarão essa necessi-
dade. No entanto, a equação da parábola de segurança determina
a menor velocidade de lançamento que possibilita o alvejamento.
A equação geral de uma parábola é dada por:
y = ax2 + bx + c
Para a dedução da equação da parábola de segurança, precisamos
conhecer três pontos:
I. no lançamento a 45°, o alcance é máximo e a trajetória do projétil
tangencia a parábola de segurança no ponto = =x A
v
gmáx
0
2
 e y = 0.
II. por simetria, também pertence à parábola o ponto = −x
v
g
0
2
 e y = 0.
III. no lançamento vertical (q = 90°), a altura é máxima e a trajetória do pro-
jétil tangencia a parábola de segurança no ponto = =y h
v
2gmáx
0
2
 e x= 0.
Como y = ax2 + bx + c, do ponto





0;
v
2g
0
2
, temos:
= ⋅ + ⋅ + ⇒ =
v
2g
 a 0 b 0 c c
v
2g
0
2
2 0
2
Pela simetria da parábola em relação ao eixo Oy, temos que b = 0.
Logo, do ponto






v
g
; 00
2
, temos:
=





 +





 +





 ⇒ = − 0 a
v
g
0
v
g
v
2g
 a
g
2v
0
2
2
0
2
0
2
0
2
Então, a parábola de segurança tem sua equação dada por:
= − ⋅ +y
g
2v
x
v
2g
0
2
2 0
2
Podemos estudar um exemplo de aplicação:
Exercício resolvido
5 Um bombeiro deseja apagar um incêndio de um
prédio de 15 andares. Devido às proporções do in-
cêndio, o bombeiro não pode se aproximar mais de
10 m da base do prédio. Sabendo que a mangueira
lança o jato de água com velocidade não superior a
20 m/s, qual a maior altura que o jato de água atingi-
rá ao longo do prédio?
Desprezando a resistência do ar, a água percorre uma trajetória parabólica.
Resolução:
Sabemos que v0 = 20 m/s e que g = 10 m/s
2.
A maior altura atingida pelo jato de água é aquela
pertencente à parábola de segurança para x = 10 m.
Da equação = − ⋅ +y
g
2v
x
v
2g
0
2
2 0
2
, temos:
=
⋅
⋅ +
⋅
⇒ = +h
10
2 20
10
20
2 10
 h 1,25 20
2
2
2
Logo: h = 18,75 m
Observação: Vale lembrar que esse problema seria de difícil resolução
caso não utilizássemos esta ferramenta poderosa, que é a parábola
de segurança.
No entanto, esse conceito não será utilizado em nenhum de nossos
exercícios.
eTextos complementares
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A linha de visada é paralela à trajetória do projétil?
Em uma competição de tiro ao alvo, um atirador mira seu alvo através da linha de visada, geralmente sinalizada por uma marca na ponta da arma.
O prolongamento dessa linha passa pelo alvo do tiro. Para tiros de longo alcance, devido à ação da aceleração da gravidade por um maior intervalo
de tempo, é necessário utilizar o ajuste da alça de mira.
Esse ajuste é realizado a partir do alcance de alça, que é o alcance registrado na alça de mira, presente em armas que efe tuam tiros a longas distâncias
com precisão, como rifles e fuzis. Esse alcance compensa a ação da gravidade na trajetória do projétil. Assim, apesar de o atirador mirar de modo retilíneo,
o cano da arma tem uma pequena inclinação ascen dente e realiza um lançamento oblíquo em vez de um lançamento retilíneo.
Linha de visada
Massa de mira Alça de mira
Trajetória do projétil
Resumindo
Estudamos, neste capítulo, o lançamento de um corpo em que a direção de lançamento não é mais vertical, mas forma um ângulo com a direção horizontal
(ou vertical). Para o desenvolvimento do estudo, foi necessário considerar desprezível a resistência do ar e assumir um campo gravitacional uniforme, ou
seja, o vetor aceleração da gravidade a que ficará sujeito o corpo será sempre constante.
É importante destacar que os conceitos utilizados no presente capítulo já foram objeto de estudo nos capítulos 2 e 3 (movimento uniforme e movimento
uniformemente variado). Isso se dá porque o lançamento oblíquo, queé bidimensional, nada mais é do que a composição de dois movimentos unidi-
mensionais:
• MRUV na vertical, pois, nessa direção, o corpo estará sujeito à aceleração constante da gravidade.
• MRU na horizontal, pois, nessa direção, o corpo estará livre de acelerações.
As velocidades iniciais vertical e horizontal são obtidas a partir da decomposição da velocidade inicial do corpo em y e x, respectivamente. Consideramos,
ao longo do estudo, um lançamento em que o corpo deixa e atinge pontos situados no mesmo nível.
Desse modo, as equações válidas para o movimento oblíquo são:
• movimento vertical:
= ⋅ θ −y v sen t
1
2
gt
0
2 vy = v0 ⋅ sen q - gt ay = -g v
2
y = v
2
0 ⋅ sen
2
q - 2gDy
• movimento horizontal:
x = v0⋅cos q t vx = v0⋅cos q ax = 0
Dessas equações, podemos deduzir algumas relações importantes para o lançamento oblíquo:
• tempo de subida: =
⋅ θ
t
v sen
gs
0
• altura máxima: =
⋅ θ
h
v sen
2gmáx
0
2 2
• alcance máximo: =A
v
gmáx
0
2
• tempo total de movimento: =
⋅ θ
T
2v sen
g
0
• alcance: =
⋅ θ
A
v sen2
g
0
2
• equação da trajetória: = θ ⋅ −
⋅ θ
⋅y tg x
g
2v cos
 x
0
2 2
2
Vale observar que o movimento resultante é uma parábola, em que a velocidade vetorial, que é a resultante das velocidades vertical e horizontal, é sempre
tangente à trajetória. Além disso, a aceleração vetorial, que é a resultante das acelerações tangencial e centrípeta, é sempre igual ao vetor aceleração
da gravidade.
FÍSICA Capítulo 7 Lançamento oblíquo no vácuo64
Dado: Considere, quando necessário, g = 10 m/s
2
.
1 UFSC Suponha um bombardeiro voando horizontal-
mente com velocidade vetorial constante. Em certo
instante, uma bomba é solta do avião. Desprezando a
resistência do ar, podemos afirmar que:
I. a bomba cai verticalmente, para um observador na
Terra.
II. o movimento da bomba pode ser interpretado
como sendo composto por dois movimentos:
MRUV na vertical e MRU na horizontal.
III. a bomba atingirá o solo exatamente abaixo do
avião.
IV. a bomba adquire uma aceleração vertical igual à
aceleração da gravidade, g.
Estão corretas:
A II, III e IV.
b II e IV.
C II e III
d I, II e IV.
e todas.
2 UFMG Uma pessoa observa o movimento parabólico
de uma pedra lançada horizontalmente com velocida-
de v0. A pessoa poderia ver a pedra cair verticalmente
se se deslocasse:
A com velocidade v' = 2v0, paralela a v0 e no mesmo
sentido.
b com velocidade v' = v0, paralela a v0 e no sentido
oposto.
C com velocidade v' = v0, paralela a v0 e no mesmo
sentido.
d com velocidade v' = 2v0, paralela a v0 e no sentido
oposto.
e com velocidade v' = v0, em qualquer direção e em
qualquer sentido.
3 UFPB Uma partícula é abandonada de uma altura h em
relação ao solo. Durante a queda, além da aceleração
da gravidade, essa partícula fica sujeita a uma acelera-
ção horizontal constante devido a uma força horizontal
que atua sobre a mesma. Nessas condições, a trajetó-
ria da partícula está mais bem representada no gráfico:
Quer saber mais?
Sites
• Simulação de lançamento oblíquo.
Disponível em: <https://phet.colorado.edu/sims/html/projectile-motion/latest/projectile-motion_pt_BR.html>. Acesso em: 08 set. 2020.
• Análise biomecânica do salto em distância. UFABC.
Disponível em: <http://pesquisa.ufabc.edu.br/bmclab/x/salto/fundamentos.html>. Acesso em: 08 set. 2020.
Exercícios complementares
A y
x
b y
x
C y
x
d y
x
e y
x
4 UFMG Um corpo A é lançado horizontalmente de uma
determinada altura. No mesmo instante, um outro cor-
po B é solto em queda livre, a partir do repouso, dessa
mesma altura, como mostra a figura.
A B
Sejam vA e vB os módulos das velocidades dos cor-
pos A e B, respectivamente, imediatamente antes de
tocarem o chão e tA e tB os tempos despendidos por
cada corpo nesse percurso. Despreze os efeitos da
resistência do ar.
Nessas condições, pode-se armar que:
A vA = vB e tA > tB
b vA = vB e tA = tB
C vA > vB e tA > tB
d vA > vB e tA = tB