Aula 06

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6AULA
Meta da aula 
O método Lagrangiano 
e o Princípio de Mínima Ação
Descrever o método Lagrangiano e mostrar que, nessa 
formulação da mecânica, as equações do movimento podem 
ser deduzidas a partir do Princípio de Mínima Ação.
 Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, 
você seja capaz de:
• escrever a Lagrangiana para diversos sistemas simples 
e as equações de Euler-Lagrange correspondentes;
• compreender as relações entre as leis de Newton, 
as equações de Euler-Lagrange e o Princípio de 
Mínima Ação. 
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QUEM PRECISA DA FORÇA?
Você aprendeu que o conceito de força é fundamental para a 
descrição do movimento de um corpo. Uma vez calculada a resultante 
das forças que atuam sobre ele, obtemos, pela segunda lei de Newton, 
uma equação diferencial, a equação do movimento, cuja solução, 
para condições iniciais dadas, permite determinar completamente 
o movimento do corpo. Este é o método Newtoniano. No entanto, 
talvez para sua surpresa, há outro método, mais poderoso, em geral 
mais simples, que permite chegar à mesma equação do movimento que 
no método Newtoniano, porém sem fazer uso do conceito de força, 
chamado de método Lagrangiano. Nós vamos primeiro apresentar 
o método Lagrangiano, dizendo quais são suas regras, sem qualquer 
justificativa, e mostrar que elas funcionam. Depois, definiremos uma 
quantidade chamada ação e mostraremos que o método Lagrangiano 
pode ser justificado por ser meio do Princípio de Mínima Ação.
A EQUAÇÃO DE EULER-LAGRANGE
Vamos definir a seguinte combinação das energias cinética T e 
potencial V:
 (6.1)
L é chamada Lagrangiana. Note o sinal negativo na definição. Se fosse 
um sinal positivo, teríamos a energia mecânica total. Uma partícula de 
massa m, que se move em uma dimensão, tem uma Lagrangiana
 
 (6.2)
Agora, escrevemos
 (6.3)
Esta é a equação de Euler-Lagrange. Ela nos dá a equação do movimento 
da partícula. De fato, com a Lagrangiana (6.2) temos
 (6.4)
L T V= −−
L mx V x= 1
2
2
& −− ( )
d
dt
L
x
L
x
∂
∂




= ∂
∂&
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
=
L
x
mx
L
x
V x
x
F x
&
&
−−
( )
( )
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e, substituindo na (6.3), obtemos
 (6.5)
que é a segunda lei de Newton. 
Se o problema envolver mais de uma coordenada, como ocorre 
na maioria das vezes, devemos aplicar a Equação (6.3) para cada 
coordenada. Serão tantas equações de Euler-Lagrange quantas forem 
as coordenadas independentes. Assim, se a energia potencial for 
V(x, y, z), teremos para o movimento de uma partícula em três dimensões, 
em coordenadas cartesianas, 
 
 (6.6)
As equações de Euler-Lagrange serão três
 (6.7)
Seguem, então, as equações do movimento
 (6.8)
Estas, como você sabe, podem ser escritas na forma vetorial
 (6.9)
ou
 (6.10)
O método Lagrangiano também permite que tratemos o mesmo 
problema em outras coordenadas. Basta escrever a Lagrangiana em 
termos das coordenadas desejadas e uma equação de Euler-Lagrange para 
cada nova coordenada. Como exemplo, vamos considerar um problema 
em duas dimensões nas coordenadas polares planas da Figura 6.1.
mx F x&& = ( )
L m x y z V x y z= + +1
2
2 2 2( ) ( , , )−−
d
dt
L
x
L
x
d
dt
L
y
L
y
d
dt
L
z
L
z
∂
∂




= ∂
∂
∂
∂





 =
∂
∂
∂
∂




= ∂
∂
&
&
&
mx
V
x
my
V
y
mz
V
z
&& && &&= ∂
∂
= ∂
∂
= ∂
∂
−− −− −−, , 
mr V
r
&&
r
= ∇−−
mr F
r
&&
r
=
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Com as energias cinética e potencial escritas em coordenadas polares 
planas, a Lagrangiana tem a forma
 (6.11)
As equações de Euler-Lagrange para r e φ são
 (6.12)
e
 (6.13)
Fazendo as derivadas,
 
 (6.14)
obtemos as equações do movimento
 (6.15)
 (6.16)
Embora não seja necessário, é instrutivo neste ponto interpretar 
as Equações (6.15) e (6.16) em termos de forças só para adquirirmos 
a confiança de que as equações de Euler-Lagrange dão realmente os 
mesmos resultados que o método Newtoniano. Para isso, vamos precisar 
da expressão da força em coordenadas polares planas,
Figura 6.1: Definição das coordenadas polares planas r, φ. 
L m r r V r= +( )1
2
2 2 2
&
&φ φ−− ( , )
d
dt
L
r
L
r
∂
∂




= ∂
∂&
d
dt
L L∂
∂





 =
∂
∂&φ φ
∂
∂
= ∂
∂
= ∂
∂
= ∂
∂
=T
r
mr
T
r
mr
T
mr
T
&
&
&
&
&, , , φ
φ
φ
φ
2 2 0
mr mr
V
r
&&
&= ∂
∂
φ 2 −−
d
dt
mr
V2
&φ
φ
( ) = ∂∂−−
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Nestas mesmas coordenadas, a velocidade da partícula é
 (6.18)
o momento angular,
 (6.19)
e o torque
 (6.20)
Em termos destas quantidades, vemos que a Equação (6.16) é 
simplesmente a equação da variação do momento angular
 (6.21)
 (6.17)
onde usamos a expressão do gradiente em coordenadas polares planas 
dada na Aula 5. Fr e Fφ são as componentes radial e tangencial da força, 
respectivamente. Os unitários nas direções radial e tangencial são 
designados por r e φ (ver Figura 6.2).
r
F
V
r
r
r
V
F r Fr
= ∂
∂
∂
∂
= +
−− −−ˆ
ˆ ˆ
1
φ
φφ
Figura 6.2: Os vetores unitários . 
r
&
&v rr r
v r vr
= +
= +
ˆ ˆ
ˆ ˆ
φφ
φφ
r
r r
&
J r mv
mr k J kz
= ×
= =2φ ˆ ˆ
r r
r
τ
φ
φ
= ×
=
= ∂
∂
r F
rF k
V
k
ˆ
ˆ−−
dJ
dt
z
z= τ
^ ^
r e φ^ ^
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Já a Equação (6.15) assume a forma familiar
 (6.22)
onde o primeiro termo do lado direito é a força centrípeta.
Uma coisa importante que você já deve estar percebendo no 
método Lagrangiano: mesmo que você nunca tivesse ouvido falar de 
termos como “torque”, “força centrípeta” ou “momento angular” você 
poderia obter as equações corretas simplesmente escrevendo as energias 
cinética e potencial, e fazendo algumas derivadas. A despeito disso, ainda 
pode parecer uma questão puramente de preferência pessoal se usamos 
o método Lagrangiano ou o método Newtoniano da segunda lei. Afinal 
os dois produzem as mesmas equações. No entanto, em problemas 
envolvendo mais de uma variável, usualmente é mais fácil escrever 
T e V do que escrever todas as forças. Isso porque T e V são simples 
escalares. As forças são vetores e é muito fácil confundir-se quando elas 
apontam em várias direções. Você também deve ter notado que, uma vez 
escrita a Lagrangiana, não temos mais que pensar, apenas efetuar algumas 
derivadas. Mas há razões mais fundamentais para introduzir o método 
Lagrangiano, como veremos nas próximas seções e na próxima aula.
Exemplo 6.1. Encontre a equação do movimento para um pêndulo 
simples. Ver Figura 6.3.
mr
mv
r
Fr&& = +
φ
2
Figura 6.3: Pêndulo simples de massa m e comprimento l.
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Solução: tomando o zero da energia potencial em θ = 0, temos
 (6.23)
A velocidade da massa m está na direção e é igual a . A Lagrangiana 
do pêndulo é então
 (6.24)
Assim, fazendo as derivadas,
 (6.25)
e substituindona equação de Euler-Lagrange, encontramos
 (6.26)
ou
 (6.27)
Note que, para encontrar esta equação do movimento, não precisamos da 
expressão da componente polar da aceleração, nem da tensão no fio.
Exemplo 6.2. Considere agora um pêndulo consistindo de uma mola 
com uma massa m na sua extremidade (Figura 6.4).
V mgl= ( cos )1−− θ
L ml mgl= 1
2
12 2&θ θ−− −−( cos )
∂
∂
=
∂
∂
=
L
ml
L
mgl
&
&
θ
θ
θ
θ
2
−− sen
ml mgl2 &&θ θ= −− sen
&&θ θ= −− g
l
sen
Figura 6.4: Pêndulo com mola. A barra sem massa, em torno da qual a mola está 
enrolada, não é mostrada na figura.
θ̂ l &θ
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A mola é mantida em linha reta por uma barra rígida, sem massa, em torno 
da qual está enrolada. O comprimento de equilíbrio da mola é l. Sejam 
l + r (t) e θ (t) o comprimento da mola e seu ângulo com a vertical no 
instante t, respectivamente. Supondo que o movimento ocorra num plano 
vertical, queremos encontrar as equações do movimento para r e θ.
Solução: a energia cinética tem uma parte radial e uma parte tangencial,
 (6.28)
A energia potencial tem duas contribuições: a energia potencial 
gravitacional e a energia potencial da mola
 
 (6.29)
Aqui o zero da energia potencial foi escolhido como sendo em
θ = 0. A Lagrangiana é, portanto,
 (6.30)
Fazendo as derivadas,
 (6.31)
e substituindo nas equações de Euler-Lagrange, obtemos as equações 
do movimento,
 (6.32)
 (6.33)
O PRINCÍPIO DA AÇÃO ESTACIONÁRIA
Vamos trabalhar, por enquanto, em uma dimensão espacial. 
A quantidade
 (6.34)
T m r l r= + +( )1
2
2 2 2
&
&( ) θ
V r mg l r kr( , ) ( )cosθ θ= + +−− 1
2
2
L m r l r mg l r kr= + +( ) + +1
2
1
2
2 2 2 2
&
&( ) ( )cosθ θ −−
mr m l r mg kr&& &= +( ) +θ θ2 cos −−
( )l r r g+ + =&& & &θ θ θ2 −− sen
S L x x t dt
t
t
= ∫ ( , , )&
1
2
∂
∂
=
∂
∂
= +( ) +
∂
∂
= +( )
∂
∂
=
L
r
mr
L
r
m l r mg kr
L
m l r
L
mg l
&
&
&
&
&
θ θ
θ
θ
θ
2
2
cos
(
−−
−− ++ r)senθ
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é chamada ação. É um número com dimensões de (energia)×(tempo). 
Pergunta: que outras quantidades em Física possuem dimensão 
de ação? Cite duas.
Resposta: (i) O momento angular, (verifique você mesmo 
por análise dimensional). (ii) A constante de Planck da mecânica quân-
tica, , uma das constantes fundamentais da natureza.
Considere uma função x(t) definida no intervalo , 
e cujas extremidades são são 
valores dados. Chamaremos x(t) de caminho. Está claro na Figura 
6.5 que existe uma infinidade de caminhos x(t) no plano t, x ligando 
o ponto (x1, t1) ao ponto (x2, t2).
r
r
r
L r p= ×
h J s= ×6 62 10 23, .−−
t t t1 2≤ ≤
x t x x t x x x( ) ( )1 1 2 2 1 2= = e , onde e 
Figura 6.5: Diferentes caminhos ligando os pontos (x1, t1) e (x2, t2). 
Não confundir um caminho x(t) com a trajetória da partícula. 
A trajetória da partícula em uma dimensão é, para todos os caminhos, 
a reta ligando x1 a x2.
A ação S depende de L e L, por sua vez, depende de x(t) por 
meio da Equação (6.1). Dada qualquer função x(t), podemos produzir 
um número S. É importante notar, no entanto, que S depende de todo 
o caminho x(t). De fato, para calcular S precisamos dos valores de 
L(x, , t) para todos os valores de t no intervalo (t1, t2), mas para isso 
precisamos de todos os valores de x e no intervalo (t1, t2). Dizemos que 
a ação é um funcional de x(t) e isto é representado pela notação S[x(t)].
Vamos agora colocar a seguinte questão: para que caminho x(t) 
a ação S terá um valor estacionário? Um valor estacionário de S é um 
mínimo local, um máximo local ou um ponto de sela. A resposta é dada 
pelo seguinte teorema:
&x
&x
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Teorema: se um caminho x(t) ligando o ponto (x1, t1) ao ponto (x2, t2) 
dá um valor estacionário de , então,
 
 (6.35)
para esse caminho. 
Demonstração: seja x(t) o caminho que torna a ação estacionária e 
xε(t) = x(t) + εη(t) uma curva vizinha, onde ε é um parâmetro infinite-
simal arbitrário e η(t) uma função diferenciável que se anula em x = x1 
e x = x2:
 (6.36)
Essas últimas condições são necessárias para que o caminho xε(t) 
também passe pelos pontos extremos (t1, x1) e (t2, x2). A ação para o 
caminho xε(t) é
 (6.37)
Uma vez que, por hipótese, x(t) dá um extremo de S, então 
a função f(ε) deve passar por um extremo em ε = 0, pois neste caso 
x(t, ε) torna-se idêntica a x(t). Portanto, uma condição necessária para 
que x(t) torne S um extremo é que
 (6.38)
Vamos eliminar dη/dt da Equação (6.38) fazendo uma integração por 
partes:
 (6.39)
onde usamos as condições (6.36). Com a ajuda deste último resultado, 
a Equação (6.38) toma a forma
 
 (6.40)
d
dt
L
x
L
x
∂
∂




= ∂
∂&
η η( ) ( )t t1 2 0= =
f S x t L x t x t t dt
t
t
( ) ( ) ( ( ), ( ), )ε ε ε ε= [ ] = ∫
1
2
&
S L x x t dt
t
t
= ∫ ( , , )&
1
2
df
d
L
x
x L
x
x
dt
L
x
L
t
t
ε ε ε
η
ε
ε ε



= ∂
∂
∂
∂
+ ∂
∂
∂
∂




= ∂
∂
+ ∂
∂
=
∫
0 1
2
&
&
&&x
d
dt
dt
t
t η



=∫
1
2
0
∂
∂
= ∂
∂
∂
∂




= ∂∫ ∫
L
x
d
dt
dt
L
x
d
dt
L
x
dt
d
dt
L
t
t
t
t
t
t
& & &
η
η η η
1
2
2
1
1
2−− −−
∂∂



∫ &x dtt
t
1
2
∂
∂
∂
∂




=∫
L
x
d
dt
L
x
dt
t
t
−−
&
η
1
2
0
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Como η é arbitrário, segue que, no intervalo [ t1, t2], devemos ter 
 (6.41) 
Vemos que a equação de Euler-Lagrange é uma conseqüência de 
a ação ter um valor estacionário para o caminho x(t) determinado pela 
segunda lei de Newton. Logo, chegamos a um resultado importante: 
podemos substituir a segunda lei de Newton pelo seguinte princípio:
∂
∂
∂
∂
=L
x
d
dt
L
x
−−
&
0
Princípio da ação estacionária
O caminho x(t) de uma partícula entre dois pontos 
fixos quaisquer (x1, t1) e (x2, t2) é aquele que dá um valor 
estacionário para a ação.
O princípio da ação estacionária é equivalente à segunda lei 
de Newton, F = ma, porque o teorema anterior mostra que se temos 
um valor estacionário de S, então a equação de Euler-Lagrange vale. 
Mas a equação de Euler-Lagrange é equivalente a F = ma. Portanto, 
“ação estacionária” é equivalente a F = ma.
Em geral, o valor estacionário de S é um mínimo e daí o princípio 
da ação estacionária ser mais conhecido como Princípio de Mínima 
Ação. Esse princípio, como formulado aqui, é também conhecido como 
princípio de Hamilton.
UMA BREVE HISTÓRIA DO PRINCÍPIO DE MÍNIMA AÇÃO
Atribui-se a Heron de Alexandria, que viveu no século I a.C., um 
dos mais significativos descobrimentos da ciência grega. Já era conhecida, 
muito tempo antes, a chamada lei da reflexão da luz: “Um raio de luz se 
reflete em um espelho de tal modo que o raio refletido se encontra no plano 
de incidência e o ângulo de reflexão é igual ao ângulo de incidência”. Heron 
explicou a lei da reflexão como conseqüência do princípio da mínima 
distância: “Um raio de luz, entre a fonte e um ponto de recepção, segue o 
percurso de menor distância”. Vemos de imediato, a partir deste princípio 
que, em um meio homogêneo, se não houver nenhum obstáculo entre a 
fontede luz e o ponto de recepção, um feixe de luz segue uma linha reta, 
já que uma reta é a menor distância entre dois pontos.
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Suponha agora que o raio de luz se reflita na superfície de um 
espelho plano. É evidente na construção geométrica da Figura 6.6 que a 
menor distância entre a fonte de luz F e o ponto de recepção R, passando 
pelo espelho E, é o percurso FPR e para esse percurso vemos que o ângulo 
de incidência θ é igual ao ângulo de reflexão θ'. 
O princípio de Heron não se aplica, no entanto, quando há uma 
mudança de meio. Na interface entre os dois meios, a direção do raio 
de luz muda. Esse fenômeno é conhecido como refração. O percurso do 
raio de luz entre dois pontos em meios diferentes é uma linha quebrada 
que claramente não é a menor distância entre os pontos.
Somente séculos mais tarde, o francês Pierre de Fermat (1601-1665) 
formulou o princípio do tempo mínimo que permitiu explicar a lei da 
reflexão e a lei da refração. O princípio do tempo mínimo, ou princípio 
de Fermat, diz o seguinte: “Um raio de luz, entre a fonte e um ponto de 
recepção, segue o percurso que toma o menor tempo possível”. Note que 
a lei da reflexão é uma conseqüência trivial do princípio de Fermat: em um 
meio homogêneo, a velocidade da luz é constante e independente da direção 
e, portanto, o percurso mais curto é também o percurso mais rápido. 
Quando a luz passa de um meio 1 para um meio 2 de densidade 
diferente, a lei da refração diz que
 (6.42)
Figura 6.6: Construção geométrica mostrando como encontrar o percurso de menor 
distância entre os pontos F e R passando por um ponto do espelho. É aquela que 
corresponde à menor distância entre o ponto imagem F ' de F e o ponto R.
sen
sen
1
2
θ
θ
=
v
v
1
2
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onde θ1 é o ângulo de incidência, θ2 o ângulo de refração, v1 a velocidade 
da luz no meio 1 e v2 é a velocidade da luz no meio 2. Para mostrar 
como essa lei segue do princípio de Fermat, vamos considerar o seguinte 
problema equivalente: você está em uma praia e de repente ouve os gritos 
de uma pessoa na água pedindo socorro. Seja v1 a sua velocidade máxima 
correndo na areia e v2 sua velocidade máxima nadando naquela praia. 
Que percurso você deverá seguir para chegar o mais rápido possível até 
a pessoa em apuros? Claro que você vai correr e nadar o mais rápido 
que puder e vai fazer os percursos na terra e na água em linha reta. Mas 
isto não é suficiente: você terá ainda de escolher entre uma infinidade 
de percursos possíveis. Na Figura 6.7 ilustramos um deles.Vamos agora 
mostrar que o menor tempo possível é obtido quando os ângulos
 satisfazem a lei da refração (6.42).
O tempo que você vai levar seguindo o percurso VOP é dado por
 (6.43)
 
Figura 6.7: Um possível percurso entre V e P: linha reta na areia entre V e O seguido 
de linha reta na água entre O e P.
θ θ1 e 2
t
VO
v
OP
v
AB x VA
v
x BP
v
= + =
( ) +
+ +
1 2
2 2
1
2 2
2
−−
Água
Areia
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O tempo será mínimo quando . Agora,
 (6.44)
e, fazendo , obtemos
 (6.45)
que é exatamente a lei da refração.
O princípio de Fermat se tornou a base da Ótica Geométrica. 
No entanto, os contemporâneos de Fermat tinham uma objeção 
fundamental ao seu princípio na forma de uma pergunta profunda: 
como poderia a luz saber, de antemão, qual percurso é o mais rápido? 
Além disso, no exemplo anterior, você tinha um propósito ao escolher 
o percurso: chegar o mais rápido possível até a pessoa em dificuldade. 
Os princípios de Heron e Fermat introduziram na Física a idéia da exis-
tência de um ‘propósito’ ou ‘finalidade’: aparentemente, a luz escolhe o 
percurso que satisfaz a Equação (6.45) com o propósito de minimizar 
o tempo de percurso.
Em 1746, Pierre Louis Moreau de Maupertuis formulou o 
princípio da mínima ação. Sua motivação era dar um ponto de partida 
mais fundamental para a mecânica e, para isso, guiou-se pelo sentimento 
de que deveria existir de uma certa economia na Natureza. Movimentos 
naturais deveriam ser tais que tornassem alguma quantidade um mínimo. 
Essa quantidade, ele descobriu, deveria ser a ação. O caminho que 
uma partícula segue entre um ponto no espaço em um certo instante, 
a um outro ponto em outro instante, é aquele que minimiza a ação. 
E esse caminho é igual àquele calculado pela mecânica Newtoniana. 
Mas aqui volta a questão: como a partícula sabe de antemão qual o 
caminho que dá a menor ação? Será que ela “fareja” todos os caminhos 
possíveis antes de se decidir por aquele que dá a menor ação?
As respostas para as perguntas que fizemos aqui felizmente 
existem, porém, fora da Física Clássica, na Mecânica Quântica. 
Pode-se mostrar que, na verdade, uma partícula explora todos os 
possíveis caminhos entre sua posição inicial e sua posição final. Ela não 
tem de decidir nada, não tem nenhum ‘propósito’. 
dt dx d t dx/ /= >0 02 2 e 
dt
dx
AB x
v AB x VA
x
v x BP
v v
= −
( )
( ) +
+
+
= − +
1
2
2 1
2
2
1
2 2
2
2 2
1
1
2
2
−−
−−
sen senθ θ
dt dx/ = 0
sen senθ θ1
1
2
2v v
=
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A explicação é mais ou menos assim: em Mecânica Quântica, a 
cada caminho que possamos imaginar entre dois pontos, associamos 
um número complexo (onde é a constante de 
Planck). Esses números complexos têm valor absoluto 1 e são chamados 
“fases”. Para os objetos tratados em Mecânica Clássica, . 
As fases de todos os possíveis caminhos devem ser adicionadas para dar 
a “amplitude de probabilidade” da partícula ir de um ponto a outro. 
O valor absoluto da amplitude deve ser elevado ao quadrado para obter 
a probabilidade. O ponto básico é que nos valores não estacionários de 
S, como , contribuições de caminhos vizinhos se cancelam. Não 
havendo contribuição para a amplitude de valores não estacionários 
de S, nós não observamos os caminhos associados a eles. Em um 
valor estacionário de S, no entanto, as fases de caminhos vizinhos têm 
essencialmente o mesmo valor e, assim, adicionam-se construtivamente. 
Existe, portanto, uma probabilidade diferente de zero de a partícula tomar 
um caminho que dê um valor, estacionário de S. Logo, esse é o caminho 
que observamos.
Embora você ainda não possa compreender completamente o 
que foi dito no parágrafo anterior, pelo menos, você agora sabe que 
a Mecânica Clássica pode ser ‘explicada’ a partir de uma teoria mais 
fundamental, a Mecânica Quântica, e que essa explicação ocorre de 
modo mais natural por meio do formalismo Lagrangiano da Mecânica 
Clássica. Na próxima aula, você verá que o método Lagrangiano permite 
também obter um resultado de importância fundamental na Física: a 
relação entre simetrias e leis de conservação.
eiS / h h = ×1 05 10 34, .−− J s
S >> h
S >> h
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R E S U M O
A Lagrangiana de um sistema é a diferença entre sua energia cinética e sua 
energia potencial. Um caminho é definido como uma função x(t) ligando um ponto 
(t1, x1) a um outro ponto (t2, x2). Com a Lagrangiana podemos escrever a ação, 
uma quantidade que depende de todos os caminhos entre dois pontos (t1, x1) 
e (t2 , x2) dados. 
O princípio da ação estacionária diz que o caminhox(t) de uma partícula entre 
dois pontos fixos quaisquer (x1, t1) e (x2, t2) é aquele que dá um valor estacionário 
para a ação. O princípio da ação estacionária é equivalente à segunda lei de 
Newton, porque quando temos um valor estacionário da ação, então a equação 
de Euler-Lagrange vale. A equação de Euler-Lagrange, porém, é equivalente 
à segunda lei de Newton.
Para resolver um problema pelo método Lagrangiano, basta escrever a Lagrangiana 
e usar as equações de Euler-Lagrange para obter as equações do movimento.
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PROBLEMAS
6.1. Para uma partícula livre, a Lagrangiana é .
 Mostre que o valor mínimo da ação da partícula, Sm , para o caminho 
clássico ligando a posição x1 no instante t1 à posição x2 no instante t2, 
é dada por 
 (6.46)
6.2. Um bloco de massa M é colocado sobre uma mesa horizontal 
sem atrito, e preso a uma parede com a ajuda de uma mola sem massa 
e constante de mola k, como mostrado na figura. A mola está em seu 
estado de equilíbrio quando o bloco está a uma distância x0 da parede. 
Um pêndulo de massa m e comprimento l está preso ao carrinho (imagine 
uma calha ao longo da mesa por onde passa o fio do pêndulo).
 
(a) Escreva a Lagrangiana do sistema, onde x é a 
posição do bloco, medida a partir da posição de equilíbrio da mola, e 
θ é o ângulo que o pêndulo faz com a vertical.
(b) Escreva, das equações de Euler-Lagrange, as equações do 
movimento para as coordenadas x e θ.
(c) Linearize as equações do movimento, ache as coordenadas 
normais e descreva o movimento dos dois modos normais. Considere 
que os parâmetros do sistema tenham sido escolhidos de tal modo 
que .
L mx= & 2 2/
S
m x x
t tm
=
( )
2
2 1
2
2 1
−−
−−
L x x( , , , )& &θ θ
Figura 6.8
k m M g l( +( ) =
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e, a partir dela, encontre as equações do movimento para os dois 
pêndulos acoplados.
(b) Linearize as equações do movimento em torno 
da configuração de equilíbrio, para encontrar as 
equações do movimento que descrevem pequenas oscilações 
do sistema.
(c) Encontre as freqüências de oscilação dos modos 
normais.
6.3 Considere o pêndulo duplo na figura a seguir.
(a) Mostre que a Lagrangiana do sistema é dada por
L m l m l m l m gl= + + + +1
2
1
21
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1 2 1 2 1
& & & & &θ θ θ θ θ θ θ( ) cos( ) co−− ss (cos cos )θ θ θ1 2 1 2+ +m gl
θ θ1 20 0= =, 
L m l m l m l m gl= + + + +1
2
1
21
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1 2 1 2 1
& & & & &θ θ θ θ θ θ θ( ) cos( ) co−− ss (cos cos )θ θ θ1 2 1 2+ +m gl
6.4. Uma conta está livre para deslizar ao longo de um aro sem 
atrito de raio R. O aro gira com velocidade angular constante ω em 
torno de um diâmetro vertical (veja a figura).
(a) Encontre a equação do movimento para a posição da conta.
(b) Quais são as posições de equilíbrio? Qual é a freqüência de 
pequenas oscilações em torno do equilíbrio estável?
(c) Existe um valor de ω que é bastante especial. Qual é ele e por 
que ele é especial?
Figura 6.9
Figura 6.10
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6.5. Lagrangiana para o movimento de uma partícula carregada. 
Uma partícula de carga q e massa m se move nos campos elétrico
 e magnético dados. A Lagrangiana da partícula é
 (6.47)
onde e são os potenciais vetor e escalar, respectivamente. 
Se você ainda não viu como esses potenciais são introduzidos no 
eletromagnetismo é suficiente saber, para o nosso problema, que o campo 
elétrico e o campo magnético são obtidos a partir deles como
 (6.48)
Use a Lagrangiana (6.47) para encontrar a equação do movimento 
da partícula e mostre que a equação é equivalente à lei de força de 
Lorentz,
 (6.49)
6.6. Um bloco de massa m é colocado num plano sem atrito que 
está inicialmente na horizontal (isto é, φ = 0 em t = 0 ). O plano é levantado 
por uma das extremidades (veja a figura) a uma taxa constante tal que 
 , fazendo com que o bloco desça o plano. Determine o movimento 
do bloco. As condições iniciais são r(0) = R e .
r
E
r
B
L m r qr A q= + ⋅1
2
2
r
&
r
&
r
−− Φ
r
r
A r t( , )
r
E
r
B
r
r
r
r
r
r
r
r
E r t
A
t
B r t A( , ) ( , )= ∇ ∂
∂
= ∇ ×−− −−Φ , 
mr q E r B
r
&&
r
r
&
r
= + ×( )
&φ ω=
&r ( )0 0=
Figura 6.11
Φ( , )rr t
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6.7. Uma conta de massa m desliza sem atrito em um fio com a 
forma de uma ciclóide, cujas equações paramétricas são
 
 (6.50)x y= = + < <α θ θ α θ θ π( ), ( cos ),−− sen 1 0 2
Figura 6.12
(a) Escreva a Lagrangiana da partícula.
(b) Mostre que o comprimento s de um pedaço de arco da ciclóide 
que vai do ponto de mínimo, , até um valor de qualquer é dado 
por
 (6.51)
(c) Escreva a Lagrangiana em termos da coordenada s e mostre 
que a equação do movimento tem a forma
 (6.52)
Esta é a equação de um oscilador harmônico simples e, portanto, a conta 
oscilando na ciclóide é um oscilador isócrono, isto é, um oscilador cujo 
período não depende da amplitude.
6.8. Um pêndulo é construído prendendo-se uma massa m a um 
fio inextensível de comprimento l. A parte superior do fio está conectada 
ao ponto mais alto de um disco vertical de raio R(R < l/π) como na 
figura a seguir (onde ). 
 
θ π=
s = 4 cos
2
α
θ
θ π=
d s
dt
g
s
2
2 4
0+ =
α
l l l= +1 2
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(a) Escreva a Lagrangiana do pêndulo.
(b) Mostre que a equação do movimento, para , é
 
(c) Resolva a equação do movimento para pequenas oscilações 
em torno de um ângulo ϕ0. (Dica: faça , onde x é pequeno e 
linearize em x). 
Qual a freqüência das pequenas oscilações em torno da posição de 
equilíbrio? Mostre que as oscilações serão simétricas quando 
SOLUÇÕES
6.1. Em Mecânica Clássica, raramente precisamos do valor da 
ação. No entanto, depois de tanto ouvir falar em ação, fica a curiosidade 
de saber como calcular essa quantidade. Temos que a solução da equação 
do movimento para uma partícula livre, satisfazendo as condições
 , é
 
 (6.53)
Então, 
 (6.54)
l R> ϕ
( ) cosl R R g− =ϕ ϕ ϕ ϕ&& &−− −−2 0
ϕ ϕ= +x 0
ϕ π0 2= / .
x t x x t x( ) , ( )1 1 2 2= = 
x x
x x
t t
t t= +
( )1
2 1
2 1
1
( )
( )
−−
−−
−−
&x
x x
t t
=
( )
( )2 1
2 1
−−
−−
Figura 6.13
l2
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Agora, a Lagrangiana para uma partícula livre é
 (6.55)
onde a velocidade ν é dada pela Equação (6.54) para o caminho que 
minimiza a ação.
Assim,
 (6.56)
Este é o valor da ação calculado com o caminho que a torna estacionária. 
Em Mecânica Clássica, é a forma da ação que é interessante. Isso porque 
precisamos conhecer a ação ao longo de um conjunto de caminhos 
vizinhos para poder determinar o caminho de mínima ação.
6.2. Este problema trata de um sistema de dois osciladores 
acoplados: massa-mola e um pêndulo. O primeiro é linear, porque 
estamos supondo uma mola ideal que satisfaz a lei de Hooke. O pêndulo, 
no entanto, só é linear para pequenasoscilações. Na primeira parte do 
problema, itens (a) e (b), usamos o método Lagrangiano para chegar às 
equações do movimento, que são equações não lineares acopladas, difíceis 
de resolver. A segunda parte, item (c), onde linearizamos as equações 
do movimento e aplicamos os métodos de oscilações acopladas, está 
resolvido no Problema 4.4, da Aula 4.
(a) As coordenadas e componentes da velocidade do bloco são 
 (6.57)
e as do pêndulo
 (6.58)
Assim, temos para a energia cinética
 (6.59)
Tomando o zero da energia potencial gravitacional em y = 0 a energia 
potencial do sistema é . Deste modo, a Lagran-
giana é
L mv= 1
2
2
S L x x t dt
m x x
t t
dt
m x x
tm t
t
t
t
= =
( )
=∫ ∫% &( , , )
( ) ( )
1
2
1
2
2 2
2 1
2
2 1
2
2 1
2−−
−−
−−
22 1−− t( )
x x y
x x y
M M
M M
= =
= =
,
,
 
 
0
0& & &
x x l y l
x x l y l
m m
m m
= + =
= + =
sen 
 sen
θ θ
θ θ θ θ
, cos
cos ,
−−
& &
&
&
&
T M x y m x y M m x ml mlxM M m m= + + + = + + +
1
2
1
2
1
2
1
2
2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( )& & & & & & & &θ θ ccosθ
V mgl kx= +−− cosθ 1
2
2
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 (6.60)
(b) Para a coordenada x: 
 
 (6.61)
 (6.62)
Com estes resultados, a equação de Euler-Lagrange dá para x a equação 
do movimento:
 (6.63)
Para a coordenada :
 (6.64)
 
 (6.65)
A equação do movimento é então,
 
 (6.66)
ou
 (6.67)
As equações acopladas (6.66) e (6.67) são iguais às equações que 
obtivemos pelo método Newtoniano.
(c) Resolvido no Problema 4.4 da Aula 4. 
6.3. (a) Nós também já vimos esse problema nos problemas da 
Aula 4, Problema 4.3. Lá, porém, nós não deduzimos as equações do 
movimento a partir das forças sobre as partículas, o que será feito aqui, 
a partir da Lagrangiana. 
L T V M m x ml mlx mgl kx= = + + + +−− −−1
2
1
2
1
2
2 2 2 2( ) cos cos& & & &θ θ θ θ
∂
∂
= + + ⇒ ∂
∂
= + +L
x
M m x ml
d
dt
L
x
M m x ml ml
&
&
&
&
&&
&& &( ) cos ( ) cosθ θ θ θ θ−− 2 sennθ
∂
∂
= + + ⇒ ∂
∂
= + +L
x
M m x ml
d
dt
L
x
M m x ml ml
&
&
&
&
&&
&& &( ) cos ( ) cosθ θ θ θ θ−− 2 sennθ
∂
∂
=L
x
kx−−
( ) cosM m x ml ml kx+ + + =&& && &θ θ θ θ−− 2 0sen
∂
∂
= + ⇒ ∂
∂
= +L ml mlx d
dt
L
ml mlx mlx
&
&
&
&
&&
&& &
&
θ
θ θ
θ
θ θ θ θ2 2cos cos −− sen
θ π=
∂
∂
= +L ml x g
θ
θ θ−− ( )& & sen
ml mlx mlx ml x g2 0&& && & & & &θ θ θ θ θ θ+ + + =cos ( )−− sen sen
l x g&& &&θ θ θ+ + =cos sen 0
L T V M m x ml mlx mgl kx= = + + + +−− −−1
2
1
2
1
2
2 2 2 2( ) cos cos& & & &θ θ θ θ
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As coordenadas de m1 e m2 são, respectivamente (ver figura),
 (6.68)
As velocidades ao quadrado são:
 (6.69)
A energia cinética é, então,
 (6.70)
Tomando o zero da energia potencial no ponto de onde o pêndulo está 
suspenso, temos
 (6.71)
A Lagrangiana é, portanto,
 (6.72)
Agora vamos encontrar as equações do movimento a partir das 
equações de Euler-Lagrange para Temos que
 (6.73)
 
 (6.74)
 (6.75)
( , ) ( cos , )
( , ) ( cos cos , )
x y l l
x y l l l l
1 1
2 1 2
=
= + +
θ θ
θ θ θ θ
sen
sen sen
1
1 2
v v v l l
v v v l
x y
x y
1
2
1
2
1
2 2
1
2 2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2 2
= + = + =
= + =
& &θ θ θ θ( cos )sen
(( ) ( )& & & &
& &
θ θ θ θ θ θ θ θ
θ θ
1 2 2
2 2
1 2 2
2
2
1
2 2
2
2
sen sen cos cos1 1+ + +
= +
l
l l ++ +2 2 1 2l & &θ θ θ θ θ θ( )sen sen cos cos1 2 1 2
T m v m v m l m l m l= + = + + +1
2
1
2
1
2
1
21 1
2
2 2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1 2
& & & & &θ θ θ θ θ( ) coos( )θ θ1 2−−
V m gl m gl= +−− −−1 1 2 1 2cos (cos cos )θ θ θ
L T V
m l m l
m l m
=
= + +
+ +
−−
−−
1
2
1
21
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1 2 1 2 1
& & &
& &
θ θ θ
θ θ θ θ
( )
cos( ) ggl m glcos (cos cos )θ θ θ1 2 1 2+ +
θ θ1 e 2.
∂
∂
= + + ⇒
∂
∂
= +
L
m m l m l
d
dt
L
m m l
&
& &
&
&
θ
θ θ θ θ
θ
1
1 2
2
1 2
2
2 1 2
1
1 2
2
( ) cos( )
( )
−−
&& && & & &θ θ θ θ θ θ θ θ θ1 2
2
2 1 2 2
2
2 1 2 1 2+ m l m lcos( ) ( ( )−− −− −− −−) sen
∂
∂
= +L m l m m gl
θ
θ θ θ θ θ
1
2
2
1 2 1 2 1 2−− −− −−& & sen sen 1( ) ( )
∂
∂
= + ⇒
∂
∂
= +
L
m l m l
d
dt
L
m l m
&
& &
&
&& &&
θ
θ θ θ θ
θ
θ θ
2
2
2
2 2 1
2
1 2
2
2
2
2 2 1
cos( )−−
ll m l2 1 2 2
2
1 1 2 1 2cos( ) ( ) ( )θ θ θ θ θ θ θ−− −− −− −−& & & sen
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 (6.76)
Assim, obtemos as equações 
 (6.77)
 
 (6.78)
que são as equações do movimento procuradas.
(b) Está resolvido no Problema 4.3.
6.4. (a) Seja o ângulo que o raio do centro à conta faz com a 
vertical. A velocidade da conta pode ser decomposta em uma componente 
perpendicular ao aro, , e outra ao longo do aro, . Tomando 
o zero da energia potencial em , a Lagrangiana do sistema é
 
 (6.79)
Calculando as derivadas
 (6.80)
e
 (6.81)
obtemos a equação do movimento:
 (6.82)
(b) A conta estará em equilíbrio quando . O lado 
direito da Equação (6.82) é zero quando = 0 (isto é, θ = 0 ou 
π = 0) ou quando cos /θ ω0
2= g R . Como Cosθ deve ser menor ou 
igual a 1, esta última condição é possível somente se ω2 ≥ g R/ . Portanto, 
nós temos dois casos
∂
∂
= − −L m l m gl
θ
θ θ θ θ θ
2
2
2
1 2 1 2 2
& & sen ( ) sen 2
( ) cos( ) ( ) (m m l m l m l m m1 2
2
1 2
2
2 1 2 2
2
2
2
1 2 1 2+ + + + +&& && &θ θ θ θ θ θ θ−− −−sen ))gl sen 1θ = 0
( ) cos( ) ( ) (m m l m l m l m m1 2
2
1 2
2
2 1 2 2
2
2
2
1 2 1 2+ + + + +&& && &θ θ θ θ θ θ θ−− −−sen ))gl sen 1θ = 0
m l m l m l m gl2
2
2 2
2
1 1 2 2
2
1
2
1 2 2 0&& && &θ θ θ θ θ θ θ θ+ + =cos( ) ( )−− −− −−sen sen 2
θ π=
θ π= / 2
L m R R mgR= + +1
2
2 2 2 2 2( ) cosω θ θ θsen &
∂
∂
= ⇒ ∂
∂
=L mR d
dt
L
mR
&
&
&
&&
θ
θ
θ
θ2 2
∂
∂
=L mR R g
θ
θ ω θsen ( cos )2 −−
R R g&&θ θ ω θ= sen ( cos )2 −−
& &&θ θ= = 0
ω θRsen R &θ
ω θRsen
m l m l m l m gl2
2
2 2
2
1 1 2 2
2
1
2
1 2 2 0&& && &θ θ θ θ θ θ θ θ+ + =cos( ) ( )−− −− −−sen sen 2
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• Se , então θ = 0 e θ = π são os únicos pontos de 
equilíbrio. O ponto π = 0 é instável. Isto é óbvio, mas pode ser 
visto matematicamente fazendo , onde é pequeno. Então,
 e e a Equação (6.82) fica
 (6.83)
Esta equação não admite solução oscilatória.
O ponto θ = 0 é estável. Para θ pequeno, a Equação (6.82) torna-se
 (6.84)
que admite soluções oscilantes. A freqüência de pequenas oscilações é
 .
• Se , então θ = 0, π = 0 e são todos 
pontos de equilíbrio. O ponto θ = π é de novo um ponto de equilíbrio 
instável, como podemos ver da Equação (6.83). O ponto θ = 0, é instável 
porque agora o coeficiente da Equação (6.84) é negativo. Portan-
to, é o único ponto de equilíbrio estável. Para encon-
trar a freqüência de pequenas oscilações, fazemos θ = θ 0 + η na Equação 
(6.82). Usando 
e , substituin-
do na Equação (6.82), mantendo somente os termos lineares em e, 
finalmente, fazendo,
 (6.85)
A freqüência de pequenas oscilações é, portanto,
 . 
(c) A freqüência é a freqüência crítica acima da qual 
existe um ponto de equilíbrio estável para θ ≠ 0, isto é, acima da qual 
a partícula vai querer mover-se fora do ponto mais baixo do aro. 
Agora, note uma coisa muito interessante: para não existe uma 
direção privilegiada no sistema. A conta ou fica em θ = 0 ou oscilando 
em torno desse ponto. Para , a partícula ou fica na posição 
θ π η= +
sen( )π η η+ ≈ −−
θ π η= +
cos( )π η+ ≈ −−1
&&η η ω−− ( / )2 0+ =g R
&&θ θ ω+ =( / )g R −− 2 0
g R/ −−ω2
ω2 > g R/
cos /θ ω0
2= g R
sen sen sen sen( ) cos cos cosθ η θ η θ η θ η θ0 0 0 0 0+ = + ≈ +
cos( ) cos cos cosθ η θ η θ η θ η θ0 0 0 0 0+ = ≈−− −−sen sen sen
θ π η= +
cos /θ ω0
2= g R
&&η ω θ η+ =2 2 0 0sen
ω θ ω ωsen 0
2 2 2 2= −− g R/
ω θ ω ωsen 0
2 2 2 2= −− g R/
ω = g R/
ω2 < g R/
ω2 < g R/
cos /θ ω0
2= g R
ω2 < g R/ .
166 C E D E R J
Mecânica | O método Lagrangiano e o Princípio de Mínima Ação
C E D E R J 167
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angular tal que ou oscilando em torno dela. Tanto
θ0 quanto – θ0 satisfazem a condição . O sistema ou fica
em θ = θ0 ou em θ = – θ0 . Quando , há uma direção privile-
giada no sistema. Na passagem do regime com para o regime 
com houve uma quebra de simetria. A conta vai estar só de um 
lado, esquerdo ou direito. Como nenhum agente externo foi responsável 
por essa quebra de simetria, dizemos que houve uma quebra espontânea 
de simetria.
6.5. Vamos escrever a Lagrangiana em termos das componentes 
dos vetores envolvidos:
 (6.86)
Primeiro considere a equação de Euler-Lagrange para a compo-
nente x. Vamos precisar das seguintes derivadas:
 (6.87)
 
 (6.88)
 
 (6.89)
Então, temos
 (6.90)
Usando
 (6.91)
vemos que podemos escrever a Equação (6.90) como
 (6.92)
cos /θ ω0
2= g R
cos /θ ω0
2= g R
ω2 > g R/
ω2 > g R/
ω2 > g R/
L m x y z q xA yA zA qx y z= + + + + +
1
2
2 2 2( ) ( )& & & & & & −− Φ
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂






∂
∂
L
x
q x
A
x
y
A
y
z
A
z
q
x
x y z
& & & −−
Φ
∂
∂
= +L
x
mx qAx
&
&
d
dt
L
x
mx q
A
t
x
A
x
y
A
y
z
A
z
x x x x∂
∂
= +
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂






&
&& & & &
0 = ∂
∂
∂
∂
= +
∂
∂
+ ∂
∂




d
dt
L
x
L
x
mx q
A
t x
x
&
&&−−
Φ
 +
∂
∂
−
∂
∂





 +
∂
∂
−
∂
∂





qy
A
y
A
y
qz
A
z
A
z
x y x z
& &
B
A
z
A
x
B
A
x
A
y
E
x
A
xy
x z
z
y x
x
x=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
= ∂
∂
∂
∂
−− −− −− −−, , 
Φ
m x qE q zB yB q E r Bx y z x&& & &
r
r
r
= + − = + ×( ) ( )
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Esta é a componente x da lei de força de Lorentz. Podemos 
proceder do mesmo modo para as componentes y e z.
6.6. Você deve resolver este problema pelo método Newtoniano. 
Aqui, vamos usar o método Lagrangiano. Com as coordenadas indicadas 
na figura, a energia cinética do bloco é
 (6.93)
e a energia potencial,
 (6.94)
Temos ainda a condição
 (6.95)
A Lagrangiana do sistema é então,
 (6.96)
Note que, devido à condição de vínculo (6.95), a Lagrangiana tem 
somente uma variável independente, r. Calculando as derivadas,
 (6.97)
temos, da equação de Euler-Lagrange, que a equação do movimento é
 (6.98)
Esta equação você já sabe como resolver. A solução geral da equação 
homogênea pode ser escrita como
 (6.99)
Uma solução particular da não homogênea tem a forma 
 . Substituindo na equação (6.95), vemos que essa é de 
fato uma solução se . Logo, a solução geral da Equação 
(6.98) é
 (6.100)
V mgr= senφ
φ ω= t
L mr mr mgr t= + −1
2
1
2
2 2 2
& ω ωsen
∂
∂
= ⇒ ∂
∂
=
∂
∂
= −
L
r
mr
d
dt
L
r
mr
L
r
m r mg t
&
&
&
&&
ω ω2 sen
mr m r mg t&&−− −−ω ω2 = sen
mr m r&&−− ω2 0=
r t A t B th( ) cosh= +senhω ω
r t C tp( ) = senhω
C g= / 2 2ω
r t r t r t
g
t A t B th p( ) ( ) ( ) cosh= + = + +2 2ω
ω ω ωsen senh
T mr mr= +1
2
1
2
2 2 2
&
&φ
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Agora precisamos impor as condições iniciais e
 . Achamos que B = R e . Portanto, a solução geral 
da equação do movimento para as nossas condições iniciais é
 (6.101)
6.7. (a) Das equações paramétricas da ciclóide temos que
 (6.102)
Assim, a energia cinética da partícula é
 (6.103)
Tomando o zero da energia potencial em y = 0,
 (6.104)
A Lagrangiana da particular é então
 (6.105)
(b) Vamos calcular o comprimento s de um pedaço de arco 
da ciclóide que vai do ponto de mínimo, θ = π, até um valor de 
θ qualquer. Para isso precisamos escrever um elemento de arco
 em termos de θ. Da equação da ciclóide 
podemos escrever
 (6.106)
Deste modo,
 (6.107)
r R( )0 =
&r( )0 0= A g= −− / 2 2ω
r t R t
g
t t( ) cosh )= +ω
ω
ω ω
2 2
(sen senh−−
&
&
&
&
x
y
= ( )
=
αθ θ
αθ θ
1−−
−−
cos
sen
T m x y m
m
= + = ( ) + 
= [ ]
=
1
2
1
2
1
1
2 2 2 2 2
2 2
( ) cos
cos
& &
&
&
α θ θ θ
α θ θ
−−
−−
sen2
22
2
2 2mα θ
θ
& sen2
V mgy mg mg= = + =α θ α θ( cos ) cos1 2
2
2
L m mg= 2
2
2
2
2 2 2α θ
θ
α
θ
& sen2 −− cos
ds dx dy dy= + ( )1 2/
dx
dy
=
( )
= =
α θ
α θ
α θ
α θ θ
θ1 2 2
2
2 2
2
−−
−− −−
−−
cos
cos
tan
sen
sen
sen
2
ds d
d= + =−− −−1
2
2
2 2
4
2 2
2tan cos
θ θ θ
θ α
θ θ
sen sen
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e portanto,
 (6.108)
(c) Em termos da variável s, a Lagrangiana fica simplesmente
 (6.109)
Esta é a Lagrangiana de um oscilador harmônico simples de freqüência 
angular :
 (6.110)
Isso significa que se você largar a conta de qualquer posição s naci-
clóide, ela vai oscilar sempre com a mesma freqüência , 
ou, em outras palavras, o período não depende da amplitude do 
movimento. Quando o período não depende da amplitude, dizemos que 
o oscilador é isócrono. Um pêndulo simples, é isócrono somente para 
pequenas oscilações. No pêndulo simples, a partícula descreve um arco 
de círculo. Nos relógios de pêndulo de Huygens, a quem nos referimos 
na aula sobre oscilações acopladas, o peso oscilante descreve um arco 
de ciclóide e, portanto, são pêndulos isócronos.
6.8. (a) Da figura temos que l = l1 + l2 e l1 = Rϕ . Logo, l2 = Rϕ. 
Vamos considerar a origem do sistema de coordenadas como sendo o 
ponto de onde o pêndulo está suspenso e tomar, por conveniência, o 
sentido positivo do eixo-y para baixo. Assim, podemos escrever
 (6.111)
Destas equações, segue que
 (6.112)
A energia cinética do sistema é então,
 (6.113)
s = − ∫4
2
2
α ϕ ϕ α
θ
π
θ
sen d =4 cos
2
L ms m
g
s= 



1
2
1
2 4
2 2
& −−
α
ω α= g / 4
d
dt
L
s
L
s
d s
dt
g
s
∂
∂
∂
∂
= ⇒ + =
&
−− 0
4
0
2
2 α
ω α= g / 4
x R l R
y R l R
= +
= +
sen
sen
ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ
( )cos
( cos ) ( )
−−
−− −−1
& &
& &
x l R
y l R
=
=
−− −−
−−
( )
( ) cos
ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ
sen
T m x y m l R= + =1
2
1
2
2 2 2 2( ) ( )& & &−− ϕ ϕ
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e a energia potencial,
 (6.114)
A menos de uma constante, a Lagrangiana do pêndulo é, portanto,
 (6.115)
(b) Fazendo as derivadas,
 (6.116)
 (6.117)
Substituindo esses resultados na equação de Euler-Lagrange, encontramos
 (6.118)
ou, supondo ,
 (6.119)
(c) Vamos fazer , onde x é um ângulo pequeno em 
comparação com ϕ0 . Substituindo na Equação (6.119), desprezando 
os termos contendo , e fazendo
 
 (6.120)
encontramos:
 (6.121)
A solução desta equação, como você já sabe, é a soma da solução 
geral da equação homogênea mais uma solução particular da não 
homogênea, ou seja,
 (6.122)
V mgy mgR mg l R= =−− −− −− −− −−( cos ) ( )1 ϕ ϕ ϕsen
L m l R mg R mg l R= +1
2
2 2( ) cos ( )−− −− −−ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ& sen
∂
∂
= ⇒ ∂
∂
= +L m l R d
dt
L
m l R R m l R
&
&
&
& &&
ϕ
ϕ ϕ
ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ( ) ( ) ( )−− −− −− −−2 2 22
∂
∂
= + − +
=
L
m l R R mgR mgR mg l R
m l R R
ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ
−− −− −−
−− −−
( ) ( )cos
( )
&
&
2 sen sen
22 + mg l R( )cos−− ϕ ϕ
− + = +2 2 2 2m l R R m l R m l R R mg l R( ) ( ) ( ) ( )cos−− −− −− −− −−ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ& && &
− + = +2 2 2 2m l R R m l R m l R R mg l R( ) ( ) ( ) ( )cos−− −− −− −− −−ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ& && &
l R> ϕ
( ) cosl R R g−− −− −−ϕ ϕ ϕ ϕ&& &2 0=
ϕ ϕ= +0 x
xx&& &&x2
cos( ) cos cos
cos
ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ
0 0
0
+ =
≈
x x x
x
−−
−−
sen sen
sen
0
0
&&x
g
l R
x
g
l R
+ =
sen 0ϕ
ϕ
ϕ
ϕ( )
cos
( )−− −−0
0
0
x A t= + +cos( ) cotω φ ϕ0
172 C E D E R J
Mecânica | O método Lagrangiano e o Princípio de Mínima Ação
onde A e φ são constantes e ω é a freqüência das pequenas oscilações
 (6.123)
É evidente que as oscilações serão simétricas quando 
porque este valor anula o termo da solução (6.122).
ω
ϕ
ϕ
=
g
l R
sen 0
( )−− 0
ϕ π0 2= /
cotϕ0