Matemática - Livro 1-061-063

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F
R
E
N
T
E
 1
61
23 UFMG Observe a figura.
y
0 x
5
v
–5
Nessa gura, está representada a parábola de vértice
V, gráco da função de segundo grau cuja expressão é:
A y
x
x=




2
5
2
B y = x2 10x
C y = x2 + 10x
 y
x
x=




-
2
5
10
E y
x
x=




+
2
5
10
24 UPF 2019 Na figura, está representado o gráfico de
uma função quadrática g de domínio . Das expressões
a seguir, aquela que pode definir a função g é:
0
x
g
y
A g (x) = x2 + 2x + 3
B g (x) = x2 -x - 3
C g (x) = -x2 + x + 3
 g (x) = -x2 - 2x + 3
E g (x) = x2 - 2x + 3
25 Uerj No sistema de coordenadas cartesianas a se-
guir, estão representadas as funções f(x) = 4x 4 e
g(x) = 2x2 12x + 10.
y
f(x)
g(x)
x
unidades em cm
P
Com base nos dados anteriores, determine:
a) as coordenadas do ponto P.
b) o conjunto-solução da inequação:
g x
f x
f x
( )
( )
, ( ) .< ≠0 0
26 UFF Resolva, em R { 4, 2}, a inequação
( )
( )
( )
( )
x
x
x
x+
<
+
4
2
2
4
27 Vunesp Resolva o sistema:
3 2
4 3 0
2
<
- + ≥



x
x x
28 Mackenzie 2018 Se f:R→R é uma função definida por
f x x x( ) = - + +2 12 , então os valores de x para os quais
f assume valores positivos são
A −2 < x < 1
B 1 < x < 2
C 1 ≤ x ≤ 1
2
 −1 < x < - 1
2
E
1
2
< x < 1
29 Unesp 2017 Uma função quadrática f é dada por
f x x bx c( ) = + +2 , com b e c reais.
Se f(1) = 1 e f(2) f(3) = 1, o menor valor que f(x) pode
assumir, quando x varia no conjunto dos números
reais, é igual a:
A -12
B -6.
C -10.
 5.
E -9
30 Cesgranrio A menor solução inteira de: x2 - 2x - 35 < 0 é:
A 5
B 4
C 3
 2
E 1
31 Cesgranrio As soluções de
x x
x
2
2
2
1
0
( )
+( ) < são os valo-
res de x que satisfazem:
A x < 0 ou x >2
B x < 2
C x < 0
 0 < x < 2
E x > 2
32 UEL Determine o conjunto-solução da inequação
x
x x
x
+( ) ⋅
-( )
( )








≥3
2
1
0
4
3 2
2
, no universo R.
33 PUC No universo R, o conjunto-solução da inequação
x
x x
( )
-( ) <
3
3
0
2
 é:
A {x ∈R | x > 0}
B {x ∈R | x > 3}
C {x ∈R | x < 0 ou x > 3}
 {x ∈R | 0 < x < 3}
E {x ∈R | x > 0 e x ≠ 3}
MATEMÁTICA Capítulo 3 Função do 2
o
 grau62
34 UFSC Considere as funções f, g: R → R tais que
g(x) = 2x + 1 e g(f(x)) = 2x2 + 2x + 1. Calcule f(7).
35 UFBA Na questão a seguir, escreva a soma dos itens
corretos
Sobre funções reais, é verdade que:
01 o domínio de f(x) = 7
2
x
x( )+
 é R.
02 f(x) = 3x2 + 4x é uma função par
04 f(x) = ( )3 2
2
x
x
+
 é a função inversa de g(x) =
2
2 3( )
.
x
08 sendo f(x) = 2x + 4, então f(x) > 0, para todo x > 0.
16 sendo f(x) = 4x2 7x, então f(-1) = 11
Soma:
36 Mackenzie A equação:
(3k - 1)x2 - (2k + 3)x + (k - 4) = 0, em x, com k ≠ 1
3
,
admite duas raízes reais a e b tais que a < 1 < b.
O número de valores inteiros que k pode assumir é:
A 2
b 3
C 4
d 5
E 6
37 UFSC Considere as funções f: R → R e g: R → R
dadas por: f(x) = x2 x + 2 e g(x) = 6x + 3
5
Calcule f
g1
2
5 1
4



 +
( ) 
A fórmula é de Bhaskara?
As equações quadráticas completas foram resolvidas com muita eficiên-
cia pelos babilônios Um problema famoso era o de determinar o lado
de um quadrado se a área menos o lado é igual a 14,30. (Não estranhe!
O sistema de numeração dos babilônios é sexagesimal )
A solução do problema para a época (≈2000 a C.) é expressa assim:
“Tome a metade de 1, que é 0,30; e multiplique 0,30 por 0,30, o que dá
0,15; some a isso 14,30 o que dá 14,30;15. Isso é o quadrado de 29,30.
Agora some 0,30 a 29,30 e o resultado é 30; o lado do quadrado ”
Observe que não existe fórmula nenhuma. É praticamente uma receita
para resolver a equação!
Euclides resolvia equações, mas é claro que geometricamente Observe
a solução da equação
ax = x2 + b2, na qual a e b são segmentos tais que a > 2b.
Construção geométrica
A BC D
b
P
x
a
2
1. AB = a.
2 C ponto médio de AB
3. CP ⊥ AB, tal que CP = b.
4. Com centro em P e raio
a
2
 marca-se D em AB.
5 O segmento BD é a solução da equação.
Justificativa:
No D retângulo PCD, temos:
c
b
D
a
x
2
−
a
2
Pelo Teorema de Pitágoras:




-




∴ - ⋅ ⋅ ∴
∴ ∴
a
2
= b +
a
2
x
a
4
 = b +
a
4
2
a
2
x + x
a
4
 = b +
a
4
 ax + x ax = x + b
(equação apresentada)
2
2
2 2
2
2
2
2
2
2
2 2 2
Bhaskara foi um matemático indiano (1114 1185). Pelas datas, percebemos
que a solução da equação quadrática não se deve a ele. Seus principais
trabalhos foram Lilavati (homenagem à filha) e o Vija-Ganita (“extração
de raízes”), em que realmente temos textos com problemas de equações
lineares, quadráticas, progressões, tríades pitagóricas.
Pelo texto, percebemos que o grande Bhaskara não resolveu pela
1a vez o problema das equações quadráticas, e muito menos sugeriu
a fórmula - ± Db
2a
, pois a notação moderna da matemática surgiu no
final do século XVI com o francês François Viète.
Este texto simplesmente quer elucidar os fatos, e não desmerecer a
grandiosa obra de Bhaskara
Carl Boyer. História da Matemática.
São Paulo, Edgard Blücher, 1974.
O que realmente é a parábola?
Do ponto de vista geométrico, a parábola é o conjunto de pontos do plano
equidistantes de um ponto F dado e uma reta r dada.
F é o foco e r, a reta diretriz, tal que F ∉ r.
F
r
P1 P2
P1, P2... ∈ parábola
Textos complementares
F
R
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T
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 1
63
Vamos agora analisar a parábola em um sistema cartesiano.
y
F
(r)
P (x;y)
x
y = k
β
α
d d P parábola
x y y k
x x y y
P F P r; ;= ⇔ ∈
( ) + ( ) = ∴
∴ - + + - +2
a β
a a β β
2 2
2 2 2
2 2 == - +
+ + = =
+ +( ) = ( )
2
y ky k
x x k y ky
x x k k
2 2
2 2 2
2 2 2 2
2
2 2 2
2 2
a a β β
a a β β yy
Como F ∉ r, temos b ≠ k. Assim:
1
2 2
2
2 2 2
β
a
β
a β
β-( )
-
-( )
+
+ -
-( )
=
k
x
k
x
k
k
y
Trata-se de uma expressão da forma
y = ax2 = + bx + c; a ≠ 0
Assim, a função quadrática tem como gráfico uma parábola
Posição de um número real a em relação às
raízes do trinômio do 2o grau ax2 + bx + c
Esta teoria vai permitir posicionarmos o número a ∈R em relação às
raízes x1 ≤ x2. As possibilidades são:
a.
x
1
α
x
2
b.
x
1
α
x
2
c.
x
1
α
x
2
d.
α
x
1
 = x
2
e.
α
x
1
 = x
2
f a = x1 ou a = x2
O grande benefício é que não temos necessidade de encontrar
os valores x1 e x2.
1. Vamos analisar quando a está entre as raízes de
f(x) = ax2 + bx + c.
x
1
x
2
x
a > 0 e f(α) < 0
α
αx1 x2
x
a < 0 e f(α) > 0
Conclusão: af(a) < 0 ⇒ x1 < a < x2 e D > 0
2. Vamos analisar quando a está fora do intervalo das raízes de
f(x) = ax2 + bx + c.
D > 0
a > 0
α
x
1
x
2
x
1
x
2
x α x
a < 0
α
x
1
x
2
x
1
x
2
x
α
x
D = 0
a > 0
α αx
1
= x
2
x
1
= x
2
x x
a < 0
α α
x
1
= x
2
x
1
= x
2
x x
Em todos os casos, temos af(a) > 0 e D ≥ 0.
Conclusão: af(a) > 0 e D ≥ 0 ⇒ a está fora do intervalo das raízes.
Nos casos apresentados no item 2, o número a pode ser menor do que
a menor das raízes ou maior do que a maior das raízes Para fixarmos
a à esquerda de x1, devemos impor a <
b
a2
 e para a estar à direita
de x2, devemos impor também a > -
b
a2
.
No exemplo a seguir, observe as condições para que a < x1 < x2
Devemos ter: af(a) > 0 e D > 0 e a < -
b
a2
Exemplo 1: Determinar os valores de m na equação x
2 + (m 2)x +
+ 1 – m = 0 de modo que o número real 2 esteja compreendido entre
as raízes.
Resolução: A situação do problema é da forma:
 x
2
x
2
x
1