Matemática - Livro 1-100-102

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MATEMÁTICA Capítulo 1 Conjuntos numéricos100
Além disso, não se trata de uma operação associativa,
pois a b c a^ ( ^ ) ^ (= e, por isso, algumas propriedades
devem ser observadas:
y a ^ b ^ c = a ^ (b ^ c)
y (a ^ b) ^ c = a ^ (b · c)
A potenciação tem propriedade distributiva em relação
às operações de multiplicação e divisão:
y (a · b)n = an · bn
y (a ÷ b)n = an ÷ bn
O produto de potências de mesma base é obtido con-
servando-se a base e somando-se os expoentes:
y bn · bm = bn + m
O quociente de potências de mesma base é obtido
conservando-se a base e subtraindo-se os expoentes:
y bn ÷ bm = bn m
O uso da potenciação é bastante útil para abreviar a
notação decomposta de um número natural como o número
3 628 800, por exemplo, cujos fatores são 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 ·
2 2 3 3 3 3 5 5 7 Na forma abreviada pela poten-
ciação, esse número fica expresso por 28 · 34 · 52 · 7.
Exercícios resolvidos
9 Se a soma 2 022
2 021
 + 2 022
2 021
 + 2 022
2 021 + +
+ 2 022
2 021
 possui 2 021 parcelas, então o total é de:
A 2022 12022
 20222022
C 2022 20222022
 2022 12021
E 2022 20222022 2021
Resolução:
Com 2 021 parcelas, essa soma pode ser expressa
pelo produto: 2 021 · 20 22
2 021.
Fazendo 2 021 = 2 022 – 1 tem-se:
(2 022 1) 2 022
2021 = 2 022 2 0222021 1 2 0222 021 =
= 2 0221 + 2 021 – 2 0222 021 = 2 0222 022 – 2 0222 021
Alternativa: E.
10 Determine a soma dos algarismos do resultado que se
obtém efetuando-se 52 021 · 22 023 – 2 022.
Resolução:
52 021 · 22 023 = 52 021 · 22 021 · 22 = (5 · 2)2 021 × 4 = 4 ·
102 021 = 400000 00000
2021
...
zeros
� 
400000 00000
2022
399999 97978
...
.
2022 allgarismos
�  
Como o resultado possui exatamente 2 022 algaris-
mos, dos quais apenas 4 são diferentes de 9, temos
que a soma desses algarismos é: 3 + 7 + 7 + 8 + (2 022–
 4) 9 = 25 + 2 018 9 = 25 + 18 162 = 18 187
Quadrados perfeitos e cubos perfeitos
Devido ao seu uso no cálculo de áreas e volumes, as
potências de expoentes 2 e 3 são também chamadas de
“quadrados” e “cubos”, respectivamente.
y A segunda potência de uma base b é indicada por b2
e pode ser lida como “b ao quadrado”.
y A terceira potência de uma base b é indicada por b3 e
pode ser lida como “b ao cubo”
Com estes termos podem ser definidos dois importan-
tes subconjuntos dos números naturais:
y O conjunto dos quadrados perfeitos = {n2 | n ∈ ℕ}
y O conjunto dos cubos perfeitos = {n3 | n ∈ ℕ}
0 0 0
1 1
2 2 4
3 2 9
4 4 16
5 5
⋅ =
⋅
⋅ =
⋅ =
⋅ =
⋅
 = 1
==
⋅ =
⋅ =
⋅ =
⋅ =
⋅ =







25
6 5 36
7 7 49
8 8 64
9 9 81
10 10 100
 






Quadrados
perfeitos
0 ⋅⋅ ⋅ =
⋅ ⋅ =
⋅ ⋅ =
⋅ ⋅ =
⋅ ⋅ =
0 0 0
1 1 1 1
2 2 2 8
3 3 3 27
4 4 4 64
55 5 5 125
6 6 6 216
7 7 7 343
8 8 8 512
9 9 9
⋅ ⋅ =
⋅ ⋅ =
⋅ ⋅ =
⋅ ⋅ =
⋅ ⋅ ==
⋅ ⋅ =















729
10 1010 1000

Cubos
perfeitos
Exercício resolvido
11 O menor número inteiro que pode ser escrito como a
soma de dois quadrados perfeitos, de duas formas di-
ferentes, é o número 50.
y 50 = 12 + 72
y 50 = 52 + 52
Qual é o próximo?
A 58
 64
C 85
 89
E 92
Resolução:
O próximo número inteiro que pode ser escrito como
soma de dois quadrados perfeitos é o 85:
85 = 22 + 92 85 = 62 + 72
Alternativa: C.
Radiciação e logaritmos em ℕ
A operação de radiciação ou extração de raízes é aplica-
da a apenas dois números naturais de cada vez Os números
que participam da radiciação são o índice do radical e radi
cando. O resultado da operação é chamado de raiz.
O índice do radical designa a ordem da radiciação, e o
radicando o número do qual será extraída a raiz
Sendo p um número natural e n um número ordinal, a
notação radical pn só é possível nesse conjunto se o nú-
mero p for a n-ésima potência de algum número natural m,
F
R
E
N
T
E
 2
101
de modo que a radiciação se presta como uma das opera-
ções contrárias da potenciação:
p m m pn
n= ⇒ =
O número 1 funciona como elemento neutro no lugar
do índice do radical, de modo que a primeira raiz de um
número natural é igual a ele mesmo, ou seja, p p1 = .
Quando o índice do radical é igual a 2, ele pode ser
omitido, por ser o valor mais comum dessa operação, ou
seja, q q2 = . A segunda raiz de um número é denominada
sua raiz quadrada, e os únicos números que possuem raiz
quadrada natural são os quadrados perfeitos.
A terceira raiz de um número é denominada sua raiz
cúbica, e os únicos números que possuem raiz cúbica na-
tural são os cubos perfeitos.
A radiciação não é uma operação associativa e nem
comutativa, mas possui propriedade distributiva em relação
à multiplicação e à divisão:
y a b a b
n n n ⋅ = ⋅
y a b a b
n n n÷ = ÷
Além dessas propriedades, também é fato que:
y p p
mn n m= ⋅
A extração de logaritmos é aplicada a apenas dois nú-
meros naturais de cada vez. Os números que participam
dessa operação são o logaritmando e a base O resultado
da operação é chamado de logaritmo.
Dada uma base b, os únicos números do conjuntoℕ que
possuem logaritmos nessa base são as potências de b, ou
seja, os números do conjunto {1, b, b2, b3, b4, ...}. O logaritmo
também se presta como operação inversa da potenciação:
b p n p
n
b= ⇒ = ( ) log
A extração de logaritmos também não é uma opera-
ção associativa nem comutativa, mas possui uma série de
propriedades importantes, que serão estudadas em outra
ocasião. Veja alguns exemplos comparando resultados de
potenciações às suas duas operações contrárias: a extração
de raízes e de logaritmos.
Radiciação
8 = 2
3
9 = 3
625 = 5
4
1024 = 4
5
Potenciação
23 = 8
32 = 9
54 = 625
45 = 1 024
Logaritmo
log2 (8) = 3
log3 (9) = 2
log5 (625) = 4
log4 (1024) = 5
Zero elevado a zero
De acordo com a teoria dos conjuntos, sendo n a cardinalidade de
um conjunto finito A e m a cardinalidade de um conjunto finito B, a
potência m
n
 designa o número total de funções do conjunto A para
o conjunto B.
Considerando o caso em que A e B são conjuntos vazios, ou seja,
m = n = 0, existe uma única função que pode ser definida de A para B,
que por sua vez também é um conjunto vazio de pares ordenados
Portanto, no conjuntoℕ,o resultado da potência zero elevado a zero
é unitário, ou seja, 0
0 = 1.
Saiba mais
Exercício resolvido
12 Se 729 3m = e 729 9n = então os índices m e n das
raízes são tais que:
A m + n = 729
 m = n2
C m = n + 9
 m = 3n
E m = 2n
Resolução:
Decompondo o número 729 em fatores primos obte-
mos 36, portanto m = 6.
Como 36 = (32)3 = 93, temos que n = 3.
Logo, m = 2n.
Alternativa: E.
Os números inteiros
O conjunto ℤ dos números inteiros extrapola o conceito
de número natural admitindo a existência de números or-
dinais menores que zero, denominados inteiros negativos.
Com isso, os números naturais maiores que zero passam a
ser chamados de inteiros positivos.
Nesse conjunto, o zero é o único número que não
é positivo nem negativo. Os números inteiros negativos
são obrigatoriamente precedidos pelo sinal (–), e os nú-
meros positivos podem ser precedidos pelo sinal (+) ou
sem sinal algum.
ℤ = { , 4, 3, 2, 1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, +6, }
Um dos principais subconjuntos de ℤ é o conjunto dos
números inteiros não nulos:
ℤ* = {..., –4, –3, –2, –1, +1, +2, +3, +4, +5, +6, ...}
Esse subconjunto dos números inteiros também possui
características ordinais, pois não possui o zero Desse modo
pode-se contar em dois sentidos opostos, como se faz no
ocidente para numerar os séculos da história, por exemplo.
Os séculos negativos são indicados por a C., os positivos
por d C. e não há o século zero
Além dos inteiros não nulos, outros quatro subconjun
tos de ℤ merecem atenção.
MATEMÁTICA Capítulo 1 Conjuntos numéricos102
y O conjunto dos números inteiros positivos:
ℤ *+ = {+1, +2, +3, +4, +5, +6, ...}
y O conjunto dos números inteiros negativos:
ℤ * = {–1, –2, –3, – 4, –5, –6, ...}
y O conjunto dos números inteiros não negativos:
ℤ+ = {0, +1, +2, +3, +4, +5, +6, ...}
y O conjunto dos números inteiros não positivos:
ℤ = {0, –1, –2, –3,– 4, –5, –6, ...}
O conjuntoℤ também é discreto, ou seja, se n ∈ℤ e n < m < n + 1,
então m ∉ℤ
Atenção
Exercício resolvido
13 A expansão da República Romana para além da
Península Itálica teve seu início no século III a C. e
término em meados do século IV d C. Em quantos
séculos da nossa história podemos afirmar que hou-
ve tal expansão?
A 2
 3
C 5
 7
E 8
Resolução:
A expansão da República Romana para além da Pe-
nínsula Itálica ocorreu nos três últimos séculos a.C. e
nos quatro primeiros séculos d.C.
Então, como não há o século zero, temos que essa
expansão ocorreu durante 3 + 4 = 7 séculos da nossa
história.
Alternativa: D.
Oposto do número natural
Cada número inteiro negativo é concebido como o
oposto, ou simétrico, de um número natural e o sinal (–)
indica essa oposição. Assim:
y –1 indica o oposto do número 1;
y –2 indica o oposto do número 2;
y –3 indica o oposto do número 3;...
y n indica o oposto do número n
Em ℤ o único número que não possui oposto é o nú-
mero zero. Também podemos afirmar que o número zero
é o oposto dele mesmo, ou seja, 0 = –0.
A relação de oposição é dual Isso significa não haver
uma terceira opção para essa relação, de modo que os
opostos dos números inteiros negativos sejam os números
positivos. Assim:
y 1 indica o oposto do número –1;
y 2 indica o oposto do número 2;
y 3 indica o oposto do número –3;
.
y n indica o oposto do número n.
Portanto, o oposto do oposto de um número n deve ser
o próprio número n, ou seja, ( n) = n. Perceba que todas
essas afirmações são válidas para qualquer sinal de n.
Orientação ordinal
Entre as contribuições proporcionadas pelo adven
to dos números negativos está a ampliação do aspecto
ordinal do número que adquire dupla orientação em re-
lação a uma referência original, que pode ser espacial,
temporal, etc.
Veja o exemplo da escala Celsius de temperatura,
em que o número zero é fixado como a temperatura de
congelamento da água e as temperaturas mais frias são
designadas por graus negativos, enquanto as mais quen-
tes por graus positivos, de modo que cada grau negativo
corresponda à mesma variação de temperatura que cada
grau positivo, mas em outro sentido
No conjuntoℤ o número zero é sucessor do número –1
que, por sua vez, é o sucessor do número 2, e assim por
diante. Nesse conjunto todo elemento possui um sucessor
e um antecessor.
Módulo de um número inteiro
Todo número ordinal n está associado a dois números
inteiros distintos, +n e –n, de modo que entre eles esteja
o número zero e exatamente a mesma quantidade de nú
meros positivos e negativos.
Natural
ordinal
(no)
Inteiro
positivo
(+n)
Inteiro
negativo
(–n)
Inteiros entre
+n e –n
1o +1 –1 0
2o +2 –2 –1, 0, +1
3o +3 –3 –2, –1, 0, +1, +2
4o +4 4 3, 2, 1, 0, +1, +2, +3
Em contrapartida, eliminando a orientação positiva/ne-
gativa de dois números inteiros opostos, obtém-se sempre
o mesmo número ordinal. Chamamos de módulo de um
número inteiro, ou valor absoluto de um número inteiro,
ao número natural que se obtém ao eliminar o sinal de um
número inteiro O módulo de um número a, é representado
cercando-o por duas barras verticais, assim, o módulo do
número a é indicado por |a|
y |+1| = |–1 | = 1
y |+2| = |–2| = 2
y |+3| = |–3| = 3