Matemática - Livro 1-316-318

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MATEMÁTICA Capítulo 3 Teoria das proporções geométricas316
Texto complementar
Também denominada média e extrema razão, a razão
áurea é um número irracional indicado pela letra grega ϕ
que depende da raiz quadrada de cinco Esse número pode
ser obtido por meio das medidas de um pentagrama regular
de diversas formas diferentes
[...]
Dizem que Platão estudou matemática com o pitagórico
Teodoro de Cirene, que foi o primeiro a provar que, além
da raiz quadrada de dois, números como raiz quadrada de
três, raiz quadrada de cinco, até a raiz quadrada de de-
zessete também eram irracionais Considerando o papel de
Platão na matemática em geral, e em relação à razão áurea,
em particular, temos que analisar não só suas contribuições
puramente matemáticas, mas o efeito de sua influência e
de seu estímulo para a matemática de outras pessoas da sua
e das gerações seguintes. Até certo ponto Platão pode ser
considerado um dos primeiros teóricos autênticos Platão
tinha um grande interesse pelas propriedades dos números
e das figuras geo métricas. [ ]
Um pentagrama regular é obtido traçando-se as diago-
nais do pentágono regular ABCDE, como na figura a seguir
O pentágono menor (hachurado), formado pelas interseções
das diagonais, está em proporção com ABCDE A razão entre
as medidas dos lados dos dois pentágonos é igual ao quadra-
do do número de ouro A razão entre a área do pentágono
maior e a do pentágono menor é igual à quarta potência
do número de ouro No triângulo isósceles ABD, seus lados
maiores AD e BD estão em média e extrema razão com
sua base.
Isto é:
ϕ
AD
AB
=
D
CE
A B
No pentagrama, as medidas das diagonais estão em ra-
zão áurea com as medidas dos lados do pentágono Pode-se
observar na figura anterior que a razão entre a medida da
diagonal DA e a medida do lado AB do pentágono é ϕ, a
razão entre a medida da diagonal DB e a medida do lado
BC também é ϕ, e a razão entre a medida da diagonal CA e
a medida do lado AE também é ϕ.
Ou seja:
ϕ
DA
AB
=
BD
BC
=
AC
AE
=
Quando Pitágoras descobriu que as proporções no
pentagrama eram a proporção áurea, tornou esse símbolo
estrelado como a representação da Irmandade Pitagórica
Esse era um dos motivos que levava Pitágoras a dizer que
tudo é número, ou seja, que a natureza segue padrões
matemáticos. [...]
Por mais de 500 anos antes de Cristo, os gregos (pita
góricos) estudaram as relações entre os segmentos de um
pentagrama Determinaram um número que desempenha
um importante papel na geometria, na estética, nas artes,
na arquitetura e na biologia [ ]
A razão áurea, além de um conceito matemático, é uma
expressão de harmonia e beleza Os antigos gregos avalia
vam essa harmonia nos seres vivos e não-vivos, buscando
em suas dimensões uma proporção que se aproximasse da
razão áurea.
Um segmento de reta ou linha dividida na razão áurea é
uma das primeiras situações que aparece quando se pesquisa
sobre a razão áurea
O estudo da razão áurea pode se começar por um seg-
mento de reta qualquer, que podemos imaginar que esteja
dividido de tal forma que resulte em um segmento maior e
outro segmento menor A razão áurea ocorre quando o seg-
mento menor dividido pelo maior é igual ao maior dividido
pelo segmento todo
Na figura a seguir, podemos mostrar como isso ocorre.
A 1
Segmento em média e extrema razão
D X B
O segmento maior da figura anterior, AD possui o valor
1 e o menor DB o valor X.
Temos que:
X
1
=
1
1+X
Ou, então,
DB
AD
=
AD
AB
Para esclarecermos como o segmento da figura está di-
vidido em uma razão áurea, pode-se resolver a equação:
X
1
=
1
1+X
X +X =1 X +X1= 02 2⇒ ⇒
Utilizando a fórmula quadrática temos:
)(
⋅
X =
-b± b -4ac
2a
=
-1± 1 -4 1 -1
2 1
2 2
Ou seja,
⇒X'=
-1+ 5
2
X'= 0,6180339...
e o
⇒X''=
-1- 5
2
X''= -1,6180339
Portanto, o valor encontrado para X’ é conhecido como o va-
lor da razão áurea, que é representada pela letra grega fi minúscula
)(ϕ = 0,6180339 , resultado da razão do menor pelo maior. Como
X > 0 e trata-se de um segmento, podemos desconsiderar o resultado
encontrado do X” = – 1,6180339... por ser negativo.
OLIVEIRA, Cristiano Barreto de Razão áurea: suas aplicações e
importância no ensino de matemática. Monografia Faculdade Alfredo
Nasser. Aparecida de Goiânia, 2010. p. 17-20. (Adapt.).
A razão áurea
F
R
E
N
T
E
 3
317
Resumindo
Razão de divisão de segmento
y Se um ponto S pertence à reta determinada pelos pontos A e B, e não coincide com B, então S divide o segmento AB na razão k
SA
SB
= .
Divisão média
k = 1
Divisão harmônica
k ≠ 1
Divisão áurea
k =
+1 5
2
Teorema de Tales
Se um feixe de retas paralelas é interceptado por
duas transversais, então os segmentos determina
dos pelas paralelas são proporcionais.
A
B
C F
E
D
Semelhança de triângulos
Dois triângulos são semelhantes se as medidas dos lados correspondentes são proporcionais e os ângulos correspondentes são congruentes.
B
A C A
B
C
~
Razão de semelhança
Se k é a razão de semelhança entre duas figuras geométricas, então:
y A razão entre quaisquer comprimentos correspondentes é igual a k
y A razão entre as áreas de regiões correspondentes é igual a k
2
.
y A razão entre os volumes, no caso de serem figuras espaciais, é igual a k
3
.
Teorema da bissetriz interna de um triângulo
As bissetrizes internas de um triângulo dividem os
lados opostos aos ângulos de origem em segmentos
proporcionais aos lados adjacentes.
B
P
bissetriz
CA
BAP CAP
PB
AB
PC
AC
 = ⇒ =
Teorema da bissetriz externa de um triângulo
As bissetrizes externas de um triângulo determinam, no prolongamento do lado oposto, dois segmentos proporcionais aos lados adjacentes.
Teorema da base média do triângulo
Cada base média de um triângulo é paralela e tem
a metade do comprimento da base correspondente
no triângulo
C
N
b
B
M
A
b
2
AM MB
e
AN NC
MN BC e MN
BC
=
=





⇔ = //
2
k é a razão de semelhança entre os triângulos
∆ ∆ABC
AB BC AC
k
A e B e C
∼
� � � � � �
A'B'C' A'B' B'C' A'C'
A' B' C
⇔
= = =
= = = ''





AD // BE // CF
AB
DE
BC
EF
⇔ =
MATEMÁTICA Capítulo 3 Teoria das proporções geométricas318
Teorema da base média do trapézio
A base média é paralela às bases do trapézio e mede
a média aritmética dos comprimentos dessas bases.
base menor
base média
base maior
N
DA
M
B C
AM MB
e
DN NC
MN AD
AD BC
=
=





⇔
=
+





 // // BC
e MN
2
Mediana de Euler
A mediana de Euler em um trapézio equivale à
metade da diferença absoluta entre as bases
desse trapézio.
N
DA
M
P
mediana de Euler
Q
B C
Mediana de Euler
base maior base menor
=
2
Teorema da potência de um ponto em relação a uma circunferência
P
A
BO
s
l
PA PB r PO⋅ = −2 2
P
O
T
PT PO r
2 2 2= −
P
A
l
BO
s
PA PB PO r⋅ = 2 2
Relações métricas nos triângulos retângulos
h
A
c
B
Hp
b
q C
a
θ
θ
a p q
a h b c
b a q
c a p
h p q
a b c Pitágoras
= +
⋅ = ⋅
=
= ⋅
= ⋅
= +
2
2
2
2 2 2 ( )
Quer saber mais?
y Um pouco mais da filosofia geométrica:
<www.ebah.com.br/content/ABAAAezQcAL/geometria-sagrada>
y A homotetia:
<http://brasilescola.uol.com.br/matematica/homotetia.htm>
Sites
y Sobre Tales e seu famoso teorema:
<www.estudopratico.com br/teorema-de-tales/>