Matemática - Livro 2-025-027

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T
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 1
25
Um pouco da história dos logaritmos
Os logaritmos foram criados para facilitar cálculos aritméticos laboriosos Mesmo com o advento da calculadora eletrônica, a sua importância
não diminuiu.
No século XVI, com o desenvolvimento da astrononima e da navegação, a importância de realizar cálculos aritiméticos aumentou. Para resolver
esse problema, dois personagens, de maneiras independentes, criaram teorias resultantes. Jost Bürgi (1552 1632), relojoeiro suíço, e John Napier
(1550-1617), um nobre escocês, publicaram suas teorias em 1620 e 1614, respectivamente
O trabalho de mais destaque foi o de Napier, que o batizou de maneira pouco modesta de Mirifi logarithmorum canomis descriptio ou Descrição da mara-
vilhosa lei dos logaritmos.
Atualmente, muitos fenômenos da natureza podem ser explicados por meio dos logarítimos Como exemplo disso, leia atentamente o texto
a seguir.
Escala de Richter
A escala de Richter quantifica a magnitude sísmica de um terremoto.
Essa escala foi desenvolvida em 1935 pelos sismólogos Charles Francis Richter e Beno Gutemberg, ambos pesquisadores do California Institute of
Technology (Caltetch), que estudavam os tremores de terra do sul da Califórnia (EUA).
O princípio da escala tem como resultado a fórmula: M = log A – log A0, sendo M: a magnitude do terremoto, A: a amplitude máxima medida pelo
sismógrafo e A0: a amplitude de referência.
Observe que matematicamente um sismo de grau 6 tem uma amplitude dez vezes maior que um de grau 5 e libera cerca de 31 vezes mais energia
Para calcular a energia liberada por um terremoto, utilizamos a seguinte fórmula:
= ⋅
⋅



M
2
3
log
10 E
E
0
, M: magnitude do terremoto, E: energia liberada e E0: energia de referência
Aparo
Tambor giratório
Movimentos verticais
Suporte
Mola
Massa inerte
Exemplo básico do funcionamento de um sismógrafo
Exercício resolvido
1 Determinar o logaritmo de 3125 5 no sistema de logaritmo definido pelas progressões:
..., 1; 5; 5; ...
, 0; 2; 4; 



Resolução:
Vamos determinar a base desse sistema de logaritmos:
PA possui razão 2 e a PG razão 5.
Os termos da PA são os logaritmos dos termos da PG na base que iremos determinar
= ⇒ = ⇒ =2 log 5 b 5 b 5
b
2 4
Assim:
log log log log
5
5
1
4
5
1
2
5
11
2 5
4 3 125 5 5 5 4 5 4
11
2
5 22= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ =
MATEMÁTICA Capítulo 5 Funções logarítmicas26
Descrição Magnitude Efeitos Frequência (média)
Micro < 2,0 Microtremor de terra, não se sente. 8000 por dia
Muito pequeno 2,0 - 2,9 Geralmente não se sente, mas é detectado e registrado. 1000 por dia
Pequeno 3,0 - 3,9 Frequentemente sentido, mas raramente causa danos. 49  000 por ano
Ligeiro 4,0 - 4,9
Tremor notório de objetos no interior de habitações, ruídos
de choque entre objetos. Danos importantes pouco comuns.
6  200 por ano
Moderado 5,0 - 5,9
Pode causar danos maiores em edifícios mal concebidos
em zonas restritas. Provoca danos ligeiros nos edifícios
bem construídos
800 por ano
Forte 6,0 - 6,9
Pode ser destruidor em zonas num raio de até 180 km em
áreas habitadas.
120 por ano
Grande 7,0 - 7,9 Pode provocar danos graves em zonas mais vastas 18 por ano
Importante 8,0 - 8,9
Pode causar danos sérios em zonas num raio de
centenas de quilômetros.
1 por ano
Excepcional 9,0 - 9,9
Devasta zonas num raio de milhares de
quilômetros.
1 a cada 20 anos
Extremo 10,0 Nunca registrado. Desconhecido
Tabela de classificação dos sismos.
O terremoto mais intenso já registrado atingiu 9,5 graus e ocorreu em 22 de maio de 1960 no sul do Chile Nessa tragédia, 3   000 pessoas faleceram
e mais de 2 milhões ficaram feridas. O Chile é suscetível a grandes terremotos porque está cortado pela divisão de duas placas tectônicas, a placa
Nazca e a placa Sul-americana.
A função logarítmica é dada por f:¡
*
+ →¡ e f(x) = logax com a > 0 e a ≠ 1.
Podemos escrever y = logax⇔ a
y = x por definição.
As principais propriedades operatórias dos logarítimos decorrentes da sua definição são:
a) =a bloga
b
b) logba + logca = loga(bc)
c) log log logb c
b
c
a a a=




d) logcb
a = a logcb
e) log log
a a
b bα α
= ⋅
1
f) log
log
log
a
c
c
b
b
a
=
A função logarítmica f(x) = log  x é injetora e monotômica
Observe os dois casos básicos:
Estritamente crescente
x(1, 0)
log
a
x ; a > 1 log
a
x ; 0 < a < 1
Estritamente decrescente
x(1, 0)
Resumindo
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 1
27
1 IME Considerando log2 = a e log3 = b, encontre, em
função de a e b, o logaritmo do número (11,25)5 no
sistema de base 15.
2 Fuvest Considere as equações:
I. log(x + y) = log x + log y
II. x + y = xy
a) As equações I e II têm as mesmas soluções? Jus-
tifique.
b) Esboce o gráfico da curva formada pela solução de I.
3 Enem PPL 2019 Um jardineiro cultiva plantas ornamentais
e as coloca à venda quando estas atingem 30 centíme-
tros de altura. Esse jardineiro estudou o crescimento de
suas plantas, em função do tempo, e deduziu uma fór-
mula que calcula a altura em função do tempo, a partir do
momento em que a planta brota do solo até o momento
em que ela atinge sua altura máxima de 40 centímetros.
A fórmula é h = 5 ⋅ log2(t + 1) em que t é o tempo contado
em dias e h, a altura da planta em centímetros.
A partir do momento em que uma dessas plantas é
colocada à venda, em quanto tempo, em dias, ela al-
cançará sua altura máxima?
A 63
 96
C 128
d 192
E 255
4 Enem 2019 Charles Richter e Beno Gutenberg desenvol-
veram a escala Richter, que mede a magnitude de um
terremoto. Essa escala pode variar de 0 a 10, com possi-
bilidades de valores maiores. O quadro mostra a escala
de magnitude local (Ms) de um terremoto que é utilizada
para descrevê-lo.
Descrição
Magnitude local (Ms)
(mm ⋅ Hz)
Pequeno 0 ≤ Ms ≤ 3,9
Ligeiro 4,0 ≤ Ms ≤ 4,9
Moderado 5,0 ≤ Ms ≤ 5,9
Grande 6,0 ≤ Ms ≤ 9,9
Extremo Ms ≥ 10,0
Para se calcular a magnitude local, usa-se a fórmula
Ms = 3,30 + log(A ⋅ f), em que A representa a amplitude
máxima da onda registrada por um sismógrafo em micrô-
metro (mm) e f representa a frequência da onda, em hertz
(Hz). Ocorreu um terremoto com amplitude máxima de
2 000 mm e frequência de 0,2 Hz
Disponível em: http://cejarj.cecierj.edu.br. Acesso em: 1 fev. 2015 (adaptado).
Utilize 0,3 como aproximação para log 2
De acordo com os dados fornecidos, o terremoto
ocorrido pode ser descrito como
A Pequeno.
 Ligeiro.
C Moderado.
d Grande.
E Extremo
5 Mackenzie Se x
2 + 8x + 8 log2k é um trinômio quadra
do perfeito, então k! vale:
A 6
 24
C 120
d 720
E 2
6 Mackenzie Se x
2 + 4x + 2 log7k
2
 é um trinômio quadra
do perfeito, então o logaritmo de k na base 7k vale:
A 1
2
 2
C –2
d
1
2
E
1
7
7 ITA 2018 Encontre o conjunto solução S ⊂ R da ine-
quação exponencial: 3 3
1081
18
2
1
4
x x k
k
- +
=
+ ≤∑ .
8 UEPG PSS 1 2018 Considerando as funções definidas
por f(x) = 2x + 1 e g(x) = log2(x
2
 1), assinale o que for
correto.
01 f(g(x)) = 2(x2 – 1).
02 Se g(x) = 2, então x é um número irracional.
04 Se f(x) = 512, então x é ímpar.
08 O domínio da função g(x) é o intervalo [–1, 1].
Soma:
Quer saber mais?
Site
y Funções logarítmicas – logaritmo natural
Disponível em: <http://ecalculo if.usp br/funcoes/logaritmica/flogaritmica htm>
Exercícios complementares