Matemática - Livro 2-109-111

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F
R
E
N
T
E
 2
109
(1, k, n) é uma PA k
(a , a , a ) é uma PA1 k n
⇒ =
+
⇒ =
+
1
2
1
n
a
a a
k
nn
2






Como exemplo, seja a PA (1, 4, 7, ..., 91), de razão r = 3 e
91 1
3
1 31
- + = termos. Assim, o termo central dessa PA tem
posição
1 31
2
16
+
= e vale a
16
1 91
2
46=
+
= .
Propriedade 3
Em uma PA finita, a soma dos termos equidistantes dos
extremos é igual à soma dos extremos.
Analisando de maneira informal, se tivermos dois
termos equidistantes do primeiro e do último termo da
PA, o número de razões que acrescentamos ao primeiro
termo para obter um dos termos equidistantes é igual ao
número de razões que subtraímos do último termo para
obter o outro termo equidistante, de maneira que a soma
dos dois termos é igual à soma dos extremos.
Uma demonstração mais formal seria:
Seja (a1, a2, a3, ..., an) uma PA de n termos e sejam a1 + k
e an - k os termos equidistantes de a1 e an, respectivamente.
Dessa maneira, tem-se:
( ) ( )+ = + + - ⋅  + - - - ⋅  =
= + ⋅  + - ⋅  = + + ⋅ - ⋅ = +
+ -a a a 1 k 1 r a n (n k) r
a k r a k r a a k r k r a a
1 k n k 1 n
1 n 1 n 1 n
Observe os seguintes exemplos:
a) Na PA (2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30), tem-se:
6 + 26 = 2 + 30 = 32
10 + 22 = 2 + 30 = 32
14 + 18 = 2 + 30 = 32
b) Na PA (5, 8, 11, 14, 17, 20, 23), tem-se:
8 + 20 = 5 + 23 = 28
11 + 17 = 5 + 23 = 28
14 + 14 = 5 + 23 = 28
Note que, em progressões aritméticas com número
ímpar de termos, o termo central equidista dos dois extre-
mos, devendo ser somado a ele mesmo para o resultado
ser igual à soma dos extremos.
Exercícios resolvidos
7 A sequência (a, 10, 2b + 1, 20) é uma PA. Determine os
valores de a e b.
Resolução:
Como (a, 10, 2b + 1, 20) é uma PA, utilizando a proprie-
dade da média aritmética tem-se:
+ = + ⇔ + = ⇔ = ⇔ =2b 1 10 20
2
 2b 1 15 2b 14 b 7
= + + ⇔ =
+ ⋅ +
⇔
⇔ = + ⇔ + = ⇔ =
10
a (2b 1)
2
10
a (2 7 1)
2
10
a 15
2
a 15 20 a 5
8 Obter uma PA de três termos cuja soma seja 24 e o
produto dos três termos seja 440.
Resolução:
Seja (x - r, x, x + r) a PA. Do enunciado:
- + + + =
⋅ ⋅ + =




(x r) x (x r) 24 (I)
(x r) x (x r) 440 (II)
De (I): - + + + = ⇔ = ⇔ =(x r) x (x r) 24 3x 24 x 8.
Substituindo em (II):
- ⋅ ⋅ + = ⇔ - ⋅ + = ⇔(8 r) 8 (8 r) 440 (8 r) (8 r) 55
⇔ - = ⇔ = ⇔ = ±64 r 55 r 9 r 32 2
Assim, temos duas progressões aritméticas como res-
posta:
( )
( )
=
=




se r 3 a PA será 5, 8, 11
se r 3 a PA será 11, 8, 5
.
9 Um triângulo retângulo tem as medidas dos lados em
PA Prove que as medidas dos lados desse triângulo
têm os lados proporcionais a 3, 4 e 5
Resolução:
Sejam (x r), x e (x + r) as medidas dos lados do triân-
gulo, com r > 0. Como x necessariamente é um número
positivo, a hipotenusa do triângulo é o lado de medida
(x + r). Aplicando o teorema de Pitágoras temos:
( )
( ) ( )+ = - +
+ + = + +
=
=
=
x r x r x
x 2xr r x 2xr r x
x 4xr 0
x x 4r 0
x 4r
2 2
2
2 2 2 2 2
2
Assim, os lados do triangulo são x = 4r, (x r) = 3r e
(x + r) = 5r, logo, podemos armar que as medidas dos
lados do triângulo são proporcionais a 3, 4 e 5.
10 A soma de 4 termos consecutivos de uma PA é 14,
enquanto o produto entre o primeiro e o último é -44.
Escreva essa PA.
Resolução:
Seja a PA (x 3s, x s, x + s, x + 3s) onde r = 2s Das
condições do problema temos:
1) ( ) ( ) ( ) ( )- + - + + + + = ⇔
⇔ = ⇔ =
x 3s x s x s x 3s 14
4x 14 x
7
2
2) ( ) ( )⋅ + = - ⇔ - = - ⇔
⇔




- = - ⇔ = + ⇔
x 3s x 3s 44 x 9s 44
7
2
9s 44 9s
49
4
44
2 2
2
2 2
⇔ = + ⇔ = ⇔
⇔ = ⇔ = ±
9s
49 176
4
 9s
225
4
s
25
4
 s
5
2
2 2
2
MATEMÁTICA Capítulo 5 Sequências numéricas110
Temos duas progressões aritméticas satisfa-
zendo o problema, uma com razão = ⋅ =r 2 5
2
5
e primeiro termo ( )= ⋅ =x 3s 7
2
3
5
2
4 , e ou-
tra com razão = ⋅




=r 2 5
2
5 e primeiro termo
( )= ⋅ 


=x 3s 7
2
3
5
2
11 .
Portanto, as progressões são (-4, 1, 6, 11) e (11, 6, 1, -4).
Soma dos n primeiros termos de uma PA
Conta-se uma história divertida a respeito do grande
matemático Gauss (1777-1855), conhecido como o Príncipe
da Matemática.
Ainda criança, talvez com 7 ou 8 anos, seu professor,
para manter os alunos ocupados, mandou que somassem
todos os números de 1 a 100. Para surpresa do professor,
em poucos instantes, o pequeno Gauss apresentou a res-
posta correta, 5 050.
Como pôde ter feito a conta tão rápido?
Provavelmente se valeu da propriedade da soma de
termos equidistantes dos extremos de uma PA, em uma
ideia similar à seguinte:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+ + + + + + + + =
= + + + + + + + + + + =
= + + + + + = ⋅ =
1 2 3 4 97 98 99 100
1 100 2 99 3 98 4 97 50 51
101 101 101 101 ... 101 50 101 5050
Podemos tentar generalizar essa ideia para calcular a
soma dos n primeiros termos (Sn) de qualquer progressão
aritmética, mesmo as que têm número ímpar de termos com
a seguinte variação:
S100 = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 97 + 98 + 99 + 100 (I)
S100 = 100 + 99 + 98 + 97 + ... + 4 + 3 + 2 + 1 (II)
Fazendo (I) + (II):
2S100 = 101 + 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101 + 101 + 101
2 101 100
1 100 100
2
5050
100 100
S S= ⋅ ⇔ =
+( ) ⋅
=
Vamos utilizar o mesmo procedimento para a PA (3, 7,
11, 15, 19, 23, 27), que tem 7 termos:
S7 = 3 + 7 + 11 + 15 + 19 + 23 + 27
S7 = 27 + 23 + 19 + 15 + 11 + 7 + 3
Somando, temos:
2S7 = 30 + 30 + 30 + 30 + 30 + 30 + 30
2 30 7
210
2
3 27 7
2
105
7 7
S S= ⋅ ⇔ = =
+( ) ⋅
=
Generalizando para a PA (a1, a2, a3, ..., an):
Sn = a1 + a2 + a3 + + an - 2 + an - 1 + an ( I )
Sn = an + an - 1 + an - 2 + + 3 + 2 + 1 ( II )
Somando (I) e (II):
2Sn = (a1 + an) + (a2 + an - 1) + (a3 + an - 1) + ... +
+ (an - 2 + a3) + (an - 1 + a2) + (an + a1)
2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an) + ... + (a1 + an) +
+ (a1 + an) + (a1 + an)
2S a a n
n 1 n( )= + ⋅
( )
=
+
⋅S
a a
2
n
n
1 n
A soma dos n primeiros termos da PA (a1, a2, a3, , an) é igual à
metade do produto do número de termos pela soma do primeiro e
último termos. Em símbolos:
( )
=
+
S
a a n
2
n
1 n
Atenção
Exercícios resolvidos
11 Calcule a soma dos 20 primeiros termos da PA (2, 5,
8, 11, ...).
Resolução:
Temos a1 = 2, r = 3 e a20 = a1 + 19r, logo:
a20 = 2 + 19 ⋅ 3⇔⇔ a20 = 2 + 57 = 59
A soma dos 20 primeiros termos é dada por:
( ) ( )
=
+ ⋅
=
+ ⋅
=
⋅
=S
a a 20
2
2 59 20
2
61 20
2
610
20
1 20
12 Calcule:
a) A soma dos n primeiros inteiros positivos.
b) A soma dos n primeiros ímpares positivos.
c) A soma dos n primeiros pares positivos.
Resolução:
a) A sequência dos n primeiros inteiros positivos (1,
2, 3, 4, 5, ..., n) consiste em uma PA de primeiro
termo e razão 1. A soma dos n primeiros termos
é dada por S
a a n n n n n
n
n=
+( ) ⋅
=
+ ⋅
=
+1
2
2
1
2 2
( )
.
b) A sequência dos n primeiros ímpares positivos (1,
3, 5, 7, 9, ...) consiste em uma PA de razão 2, a1 = 1 e
= + - ⋅ = + - ⋅ = + - = -a a (n 1) r 1 (n 1) 2 1 2n 2 2n 1.
n 1
A soma dos n primeiros termos é dada por:
( ) ( )
=
+ ⋅
=
+ ⋅
=
⋅
=S
a a n
2
1 (2n 1) n
2
(2n) n
2
n
n
1 n 2
Observe os exemplos: 1 + 3 = 4 = 22, 1 + 3 + 5 = 9
= 32, 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42, ...
c) A sequência dos n primeiros pares positivos (2,
4, 6, 8, ) consiste em uma PA de razão 2, a1=2
e = + ⋅ = + ⋅ = + =a a (n 1) r 2 (n 1) 2 2 2n 2 2n
n 1
A soma dos n primeiros termos é dada por:
S
a a n n n n n
n n
n
n=
+( ) ⋅
=
+( ) ⋅
=
⋅ +( ) ⋅
= +1 2
2
2 2
2
2 1
2
F
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E
 2
111
13 Determine a soma dos múltiplos de 3 ou múltiplos de
4 entre 1 e 1 000.
Resolução:
Como os múltiplos de 12 são também múltiplos de 3 e
de 4, devemos somar o valor da soma dos múltiplos de
3 com o valor da soma dos múltiplos de 4 e descontar
o valor da soma dos múltiplos de 12 (pois se repetirão).
Múltiplos de 3:
Como 1 000= 3 ⋅ 333+ 1, a sequência (3, 6, 9, ..., 999) tem
333 termos e soma igual a
3 999 333
2
166833
+( ) ⋅
= .
Múltiplos de 4:
Como 1 000 = 4 ⋅ 250, a sequência (4, 8, 12, ..., 1 000) tem
250 termos e soma igual a
( )+ ⋅
=
4 1000 2502
125500.
Múltiplos de 12:
Como 1 000 = 12 ∙ 83 + 4 = 996 + 4, a sequência (12, 24,
..., 996) tem 83 termos e soma
( )+ ⋅
=
12 996 83
2
41 832 .
Assim, a soma pedida é igual a:
Soma = 166 833 + 125 500 41 832 = 250 501
14 Uma PA tem soma dos n primeiros termos dadas por
Sn = 3n
2 - 2n. Determine a PA.
Resolução:
Tem-se:
= = ⋅ ⋅ =
= + ⇔ ⋅ - ⋅ = + ⇔ =




S a 3 1 2 1 1
S a a 3 2 2 2 1 a a 7
1 1
2
2 1 2
2
2 2
Assim, r = a2 a1 = 7 1 = 6 e a PA é (1, 7, 13, 19, ...).
15 Prove que em uma PA com número ímpar de termos o
termo central é a média aritmética de todos os termos.
Resolução:
Para n ímpar, seja (a1, a2, a3, ..., an) uma PA. Seu termo
central tem posição
+n 1
2
 e satisfaz a
a a
n
n
+ =
+
1
2
1
2
.
A média aritmética M dos n termos da PA é dada por:
M
a a a a
n
S
n n
a a n
a a
a
n n n
n
n
=
+ + + +
= = ⋅
+( ) ⋅
=
=
+
= +
1 2 3 1
1
1
2
2
1
2
Progressão Geométrica
Uma Progressão Geométrica (PG), é uma sequência
onde cada termo, a partir do segundo, é obtido pelo produ-
to do termo anterior e uma constante, chamada de razão da
PG (em geral representada pela letra q). Em outras palavras,
progressão geométrica é uma sequência onde a razão en-
tre dois termos consecutivos é uma constante.
São exemplos de progressões geométricas:
a) (2, 4, 8, 16, 32, 64, ...) é uma PG com 1o termo igual
a 2 e razão q = 2. É uma PG crescente.
b) (192, 96, 48, 24, 12, 6, 3, ...) é uma PG com 1o termo
igual a 192 e razão q
1
2
= . É uma PG decrescente.
c) (-1, 3, -9, 27, 81, ) é uma PG com 1o termo
igual a -1 e razão q = 3 É uma PG decrescente.
d) (-16, -8, 4, 2, -1, ) é uma PG com 1o termo igual
a -16 e razão q 1
2
= É uma PG crescente.
e) (1, -2, 4, -8, 16, -32, 64, ...) é uma PG com 1o termo
igual a 1 e razão q = -2. É uma PG oscilante ou
alternante.
f) (3, 3, 3, 3, 3, ...) é uma PG de razão q = 1. É uma PG
constante.
g) (3, 0, 0, 0, ...) é uma PG de razão q = 0. É chamada
de PG degenerada.
Podemos formalizar a definição de PG da seguinte
maneira: uma progressão geométrica de razão q, é uma
sequência an, ∈Nn
*, dada por:
a a q
n 1 n
= ⋅+
Podemos classificar as progressões geométricas em:
y Crescentes: (a1 > 0 e q > 1) ou (a1 < 0 e 0 < q < 1).
y Decrescentes: (a1 > 0 e 0 < q < 1) ou (a1 < 0 e q > 1).
y Alternantes ou oscilantes: q < 0.
y Constantes: q = 1
y Degeneradas: q = 0.
Atenção
Termo geral da Progressão Geométrica
Para uma PG (a1, a2, a3, ..., an) de razão q, o desloca-
mento de um termo a outro se dá mediante sucessivas
multiplicações ou divisões pela razão q. Observe os exem-
plos a seguir.
a2 = a1 · q
a3 = a1 · q · q = a1 · q
2
a4 = a1 · q · q · q = a1 · q
3
a10 = a1 · q
9
a6 = a3 q q q = a3 q
3
a10 = a6 q q q q = a6 q
4
a a q q q a q a
a
q
 a a q
7 4 4
3
4
7
3 4 7
3= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇔ = ⇔ = ⋅ -
Os exemplos sugerem que para determinarmos um
termo an a partir de um termo ap, com n > p, devemos mul
tiplicar ap por um número de razões igual à diferença de
suas posições, ou seja:
a a q
n p
n p= ⋅ -
Em particular, se p igual a 1:
a a q
n 1
n 1= ⋅ -