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MATEMÁTICA AVANÇADA
SEQÜÊNCIAS
PROGRESSÃO ARITMÉTICA E GEOMÉTRICA
(ln 1, ln 2, ln 3, ln 4, ln 5, ln 6, ... , ln n).
1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 + x10 + ... = 
1
1 - x
1
MATEMÁTICA AVANÇADA
SEQÜÊNCIA
No nosso dia-a-dia o termo seqüência significa uma sucessão 
de coisas ou acontecimentos com uma ordem determinada, tais como, 
ordem cronológica, de tamanho ou de valor. Em matemática 
seqüência indica uma sucessão de números cuja ordem é determinada 
por uma lei ou regra de formação. Por isso dizemos: “a ordem entre 
eles é relevante”. Assim (1,2,3,4,5) é uma seqüência diferente de 
(1,3,5,2,4). Uma seqüência bastante conhecida entre os matemáticos e 
que aparece no livro Código Da Vinci é a chamada seqüência de 
Fibonacci. Nela cada termo, a partir do terceiro é a soma dos dois 
anteriores. Observe:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...
Repare que a lei de formação dessa seqüência é: Cada 
termo é a soma dos dois anteriores. Assim se nos é fornecido os dois 
primeiros termos podemos, com certa facilidade, obter os demais 
termos dessa seqüência.
Seqüência finita: é aquela que possui um número limitado de termos;
Seqüência infinita: é aquela que possui infinitos termos.
TERMOS DE UMA SEQÜÊNCIA
Seja (a1, a2, a3, a4, a5, ..., an) uma seqüência de tamanho n. a1, 
a2, a3, a4, a5, an são os termos e os índices subscritos 1, 2, 3, 4, 5 e n 
indicam a posição de cada termo. an é chamado de n-ésimo termo da 
seqüência.
Soma dos n primeiros termos de uma seqüência é denotado por Sn
Ex: Sn = n2 – 1 desse modo a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + ... + an = Sn = n2 – 1, 
por isso
Esse último resultado indica que para obter um dado 
elemento de uma seqüência, quando é conhecida a soma de alguns 
elementos dessa seqüência, basta tomarmos a soma de todos os 
elementos até aquele em questão e em seguida subtrair toda a soma 
dos elementos anteriores a ele. Isso faz com que se “abandone as 
soma dos demais elementos, para sobrar um único elemento o qual 
desejamos conhecer”.
Vamos, para ilustração, encontrar o 10º termo da seqüência 
cuja soma é denotada pela lei acima: Sn = n2 – 1, em que n indica a 
posição do n-ésimo elemento. Assim como discorre a fórmula acima 
a10 é encontrado a partir da soma dos 10 primeiros termos menos a 
soma dos 9 primeiros termos da seqüência considerada, ou seja: 
a10 = S10 – S9  S10 vale 102 – 1 = 100 – 1 = 99 e S9 vale 92 – 1 = 81 – 1 = 
80. Desse modo a10 = S10 – S9 = 99 – 80 = 19  a10 = 19.
EXERCÍCIOS
1) Localize nas seqüências os termos assinalados:
(0 , 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...)
a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8 e a9.
2) Quais os valores de x, y, z e t que tornam iguais as seqüências (1, 5, 
x, 13, 17, 21) e (y, 5, 9, z, 17, t)?
3) Escreva os sete primeiros termos das seqüências abaixo:
a) an = 2nb) an = 3nc) an = - 4n
d) an = 3n + 2 e) an = - 4n + 5 f) an = n+1/n-1
g) an = 3n h) an = log n i) g) an = n!/nn
4) Na seqüência (0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 
7, 7, 7, ...). Qual o valor de a42?
5) (UFRN) Uma pessoa que pesa 140 quilos submete-se a um regime 
alimentar, obtendo o seguinte resultado: Nas quatro primeiras semanas 
perde 3 quilos por semana; nas quatro seguintes perde 2 quilos por 
semana; daí em diante ½ quilo por semana. Calcule em quantas 
semanas a pessoa estará pesando:
a) 122 quilos b) 72 quilos.
6) (Mackense-SP) Numa seqüência numérica, a soma dos n primeiros 
termos é 2n2 + 1, com n natural não nulo. O décimo termo da seqüência 
é: 
a) 38 b) 42
c) 46 d) 50
e) 54
7) A Soma dos k primeiros termos de uma seqüência é k2, com k  1. 
Assim o décimo quinto termo dessa seqüência é ?
a) 29 b) 30
c) 31 d) 34
PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A.)
É toda seqüência em que cada termo é igual ao anterior mais 
uma constante, chamada razão (r) ou diferença. De forma equivalente 
podemos escrever:
an = an–1 + r
Por isso, através de uma simples manipulação, a razão pode 
ser obtida assim:
r = an – an–1
Ex: 
(1,3,5,7,9,...) r = 2
(5,10,15,20,...) r = 5
(7,7,7,7,7,7,...) r = 0
(8,5,2,-1,- 4, ...) r = -3
TERMO GERAL DE UMA P.A.OU N-ÉSIMO
(LÊ-SE ENÉSIMO) TERMO DE UMA P.A.
Observe a seqüência abaixo:
0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, ...
Nela está representado uma p.a. de razão 3 e primeiro termo 
0. De imediato nota-se que ela é uma p.a. dos múltiplos naturais de 3. É 
importante notar que numa p.a., “o ponta pé inicial” para sua formação 
é o primeiro termo e a sua razão, com essas duas informações é fácil 
an = Sn – Sn–1
2
MATEMÁTICA AVANÇADA
reconhecer os demais termos dessa seqüência. Observe o esquema 
abaixo:
Esse esquema sugere que para obtermos um dos termos da 
seqüência basta tomarmos o 1º termo e somarmos algumas razões. 
Para obter o 3º termo (6) somamos ao 1º termo (a1) 2 razões. Para 
obter o 7º termo (18) somamos ao 1º termo 6 razões. Daí podemos 
dizer que o n-ésimo termo de uma p.a. é igual ao primeiro termo mais n 
-1 razões, ou seja:
Podemos mostrar tal resultado da seguinte forma. Soma-se 
essas n-1 igualdades abaixo, obtemos:
2 1
3 2
4 3
n n 1
n 1
a a r
a a r
a a r
a a r
a a (n 1)r
-
- =/
- =/ /
- =/ /
- =/
- = -
M
Ou ainda,
Soma dos n primeiros termos de uma P.A.
Isto é: Sn (soma dos n primeiros termos de uma p.a.) é igual à 
metade da soma do primeiro com o último termo da P.A. vezes a 
quantidade de termos (n). Veja um exemplo:
Numa p.a. de razão 3 e primeiro termo 5, qual é a soma dos 8 
primeiros termos.
Solução: 
Para obter a soma dos 8 primeiros termos devemos ter a1 e a8. 
Sabemos que a8 é 5 + (8 – 1)  3 = 5 + 7  3 = 26. Assim a soma 
procurada será:
Sn = 
( )1 na a
2
+
 x n  S8 = 1 8
(a a )
2
+
  8
S8 = 
(5 26)
2
+
  8 = 31  4 = 124  S8 = 124
A demonstração da fórmula acima vem do fato que em uma 
p.a. a soma dos termos eqüidistantes dos extremos são iguais. 
Observe:
a1, a2, a3, ... an–2, an–1, an 
Com isso queremos dizer que a1 + an = a2 + an–1 = a3 + an–2 
= ... . Com essa propriedade podemos deduzir a fórmula acima. 
Primeiro fazemos uma soma direta em seguida a mesma soma só que 
com os termos invertidos e por fim adicionados as duas, observe:
n 1 2 3 n 1 n
n n n 1 n 2 2 1
S a a a ... a a
S a a a .... a a
-
- -
= + + + + +
+
= + + + + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 n
n 1 n 2 n 1 3 n 2 n 1 2 n 1
n parcelas e todas são iguais a a a como vimos acima
2S a a a a a a ... a a a a- - -
+
= + + + + + + + + + +
1444444444444444444444444444244444444444444444444444444444344
Logo, temos: 
2  Sn = (a1 + an)  n ou ainda: 
EXERCÍCIOS
1) Nas progressões aritméticas abaixo, identifique a razão e o décimo 
termo:
a) (1, 2, 3, 4, ...) b) (0, 3, 6, 9, 12, ...)
c) (-10, -8, -6, -4, ...) d) ( 15, 12, 9, ...)
e) ( 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, ...) f) (1; 1,5; 2; 2,5; 3; 3,5; ...)
g) (4; 3,2; 2,4; ...)
0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21
+3 +3 +3 +3 +3 +3 +3
an = a1 + (n – 1)r
an = a1 + (n – 1)r
Sn = 
( )1 na a
2
+
 x n
Sn = 
( )1 na a n
2
+ ×
3
MATEMÁTICA AVANÇADA
2) Na progressão aritmética (a1, a2, a3, ... ), o 5º termo é – 4 e o 15º 
termo é – 24. Sabendo disso qual é o valor da soma de a1 + a3 + a10 – 
r?
a) 8 b) -8
c) 15 d) -15
3) (UF-AL) As idades de três pessoas são numericamente iguais aos 
termos de uma progressão aritmética de razão 5. Se daqui a 3 anos a 
idade da mais velha será o dobro da idade da mais jovem, nessa 
época, a soma das três idades será:
a) 36 anos b) 38 anos
c) 42 anos d) 45 anos
e) 48 anos
4) (Mackenzie-SP) As somas dos n primeiros termos das seqüências 
aritméticas (8, 12, ...) e (17, 19, ...) são iguais. Então, n vale:
a) 14 b) 10
c) 12 d) 18
e) 16
5) (Unirio-RJ) Um agricultor estava perdendo a sua plantação, em 
virtude da ação de uma praga. Ao consultar um especialista,foi 
orientado para que pulverizasse, uma vez ao dia, uma determinada 
quantidade de um certo produto, todos os dias, da seguinte maneira:
primeiro dia: 1,0 litro
segundo dia: 1.2 litros
terceiro dia: 1,4 litros
... e assim sucessivamente 
Sabendo-se que o total de produto pulverizado foi de 63 litros, o 
número de dias de duração desse tratamento nessa plantação foi de:
a) 21 b) 22
c) 25 d) 27
e) 30
6) (Mackenzie) (A1, A2, A3, A4, A5, ...) é uma seqüência de termo geral An 
= 2n + 5. Se a soma dos k primeiros termos dessa seqüência é 72, 
então k vale:
a) 4 b) 5
c) 6 d) 7
e) 8
7) (unifor) Uma progressão aritmética é tal que o 14º, o 15º e o 16º 
termos são, respectivamente: 4, x + 2 e x – 3. O 1º termo dessa 
progressão é:
a) 69 b) 65
c) 59 d) 55
e) 53 
8) Seja a P.A. em que a1 = - 10 e r = 5. Calcule S10 e S22.
9) Calcule a soma dos 30 primeiros termos da P.A. 
(52; 48; 44; ...)
10) Calcule a soma de todos os múltiplos de 3 compreendidos 17 e 
190.
11) Na festa de encerramento de um grande torneio esportivo, todos 
atletas que dele participaram foram dispostos em 40 filas, de modo a 
formar um triângulo, como indica a figura. Quantos atletas participaram 
do torneio?
12) A soma de todos os termos da P.A. (2; 5: 8; 11; ... ; a n) é igual a 
155. Calcule n.
13) De uma P.A., sabe-se que a2 + a6 = 144 e a4 + a10 = 462. Calcule a 
soma de seus oito primeiros termos.
14) Calcule a soma dos doze primeiros termos da P.A. (3/4; 39/20; 
63/20; ...).
15) Calcule a soma dos vinte primeiros múltiplos positivos de 3.
16) Calcule a soma dos n primeiros números ímpares.
17) (FEI-SP) Um trabalho escolar de 150 páginas deverá ser impresso 
em uma impressora que apresenta os seguintes problemas: nas 
páginas 6, 12, 18, ... (múltiplos de 6) o cartucho de tinta amarela falha e 
nas páginas 8, 16, 24, ... (múltiplos de 8) falha o cartucho de tinta azul. 
Supondo-se que em todas as páginas do trabalho sejam necessárias as 
cores amarela e azul, quantas páginas serão impressas sem essas 
falhas?
a) 105 b) 107
c) 113 d) 116
e) 120
18) A seqüência (a1, a2, a3, a4, a5, ... , a15) é uma P.A. e a8 vale 14. Qual 
é a soma dos termos desse P.A.? 
19) Numa P. A. de 8 termos a4 + a5 vale 10. Qual a soma de todos os 
termos dessa P.A.?
20) Na equação 1 + 4 + 7 + 10 + ... + x = 590. Quantos termos há no 1º 
membro?
21) (UFOP-2001) Sendo a1, a2, a3, ..., an uma progressão aritmética de 
razão r , então a22 – a12 , a32 – a22, ..., an+12 – an2 é uma progressão 
aritmética de razão igual a:
a) r/2 b) r 
c) 2r d) r²
e) 2r²
4
MATEMÁTICA AVANÇADA
22) (UFF) Numa progressão aritmética com 51 termos, o 26o é 2. A 
soma dos termos dessa progressão é:
a) 13 b) 52
c) 102 d) 104
e) 112
23) Interpole dez meios aritméticos entre 2 e 24.
24) (Pucminas) O tempo destinado à propaganda eleitoral gratuita é 
dividido entre três coligações partidárias em partes diretamente 
proporcionais aos termos da progressão aritmética: t, t + 6, t2. Nessas 
condições, de cada hora de propaganda eleitoral gratuita, a coligação 
partidária à qual couber a maior parte do tempo t, medido em minutos, 
ficará com:
a) 26 min b) 28 min
c) 30 min d) 32 min 
25) (UFU) Sabe-se que a soma dos dez primeiros termos de uma 
progressão aritmética é igual a 500. A soma do terceiro e do oitavo 
termos dessa progressão é igual a
a) 50. b) 100.
c) 25. d) 125.
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (P.G.)
É toda seqüência em que cada termo é igual ao anterior 
vezes uma constante chamada quociente ou razão (q). Assim cada 
termo pode ser representado assim:
Por isso q = n
n 1
a
a -
.
Ex: (1,2,4,8,16,32,...) q = 2
 (1,-3,9,-27,81,...) q = -3
 (7,0,0,0,0,0,...) q = 0
Termo geral de uma P.G.ou n-ésimo (lê-se enésimo) termo de uma 
P.G.
Que diz que o n-ésimo termo é igual ao primeiro termo vezes 
n-1 razões.
Para mostrar tal fórmula vamos considerar as expressões 
abaixo:
a2 = a1  q
a3 = a2  q
a4 = a3  q
M
an = an–1  q
Multiplicando essa n-1 igualdades membro a membro entre si, obtemos:
a2  a3  a4  ...  an–1  an = (a1q)  (a2q)  (a3q)  ...  (an–1q)
a2  a3  a4  ...  an–1  an = a2  a3  a4  …  an–1  qn–1
Simplificando os termos iguais de ambos os lados obtemos:
Soma dos n primeiros termos de uma P.G. finita
Em que a1 é o primeiro termo e q  1 a razão da P.G. Para 
deduzir tal fórmula, primeiro somamos uma p.g. de forma direta, 
observe:
Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an, ou ainda podemos reescrever 
os termos em função de a1 e q
Sn = a1 + a1  q + a1  q2 + a1  q3 + ... + a1  qn–1
Vamos em seguida multiplicar todos os termos da igualdade 
acima por q e logo depois subtrair da igualdade acima a nova igualdade 
encontrada, repare:
2 3 n 1
n 1 1 1 1 1
2 3 4 n
n 1 1 1 1 1
n
n n 1 1
S a a q a q a q a q
q S a q a q a q a q a q
S qS a a q
-= + × + × + × + + ×
-
× = × + × + × + × + + ×
- = + - ×
L
L
Para terminar, à esquerda colocamos Sn em evidência e à 
direita a1.
Sn(1 – q) = a1(1 – qn) e finalmente:
Soma de uma P.G. infinita:
Pode-se somar os infinitos termos de uma P.G. se sua razão 
estiver entre -1 e 1, isto é: –1 < q < 1. Caso isso ocorra dizemos que a 
soma da p.g. converge, caso q esteja fora do intervalo entre -1 e 1 a 
soma diverge.
S = 
1a
1 q-
, isto é: A soma dos infinitos termos de uma p.g. é 
igual ao 1º termo dessa p.g. dividido por 1 menos a razão.
EXERCÍCIOS
1) O primeiro termo de uma progressão geométrica vale ¼ e o segundo 
termo vale 2. O vigésimo termo vale:
a) 258 b) 255 
c) 141/4 d) 67/2
an = an–1  q
an = a1 x q(n–1)
an = a1  qn–1
Sn = a1 x 
n1 q
1 q
-
-
Sn = a1 
( )
( )
n1 q
1 q
-
-
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MATEMÁTICA AVANÇADA
2) Das seqüências abaixo, assinale aquelas que representam 
progressões geométricas:
a) (4, 12, 36, 108, ...) b) ( - 2, 8, - 32, 128, ...)
c) (3, 9, 15, 21, ...) d) (32, 6, 62, 12, ...)
e) (1, - 1, 1, - 1, 1, ...) f) (3, 23, 33, 43, ...)
3) Qual é o 5º termo da P.G. (2/9, 4/3, 8, ...)?
4) Qual é a razão de uma P.G. em que o 1º termo é igual a 502 e o 6º 
termo é 400?
5) Numa pequena cidade, um boato é espalhado da seguinte maneira: 
no 1º dia, 5 pessoas ficam sabendo; no 2º, 15; no 3º, 45; e assim por 
diante. Quantas pessoas ficam sabendo do boato no 10º dia?
6) Num cassino, são disputadas dez rodadas em uma noite. Na 1ª 
rodada, o valor do prêmio é R$ 2000,00. Caso os valores dos prêmios 
aumentem segundo uma PG., qual será o valor do prêmio na última 
rodada, se na 5ª rodada ele for de R$ 10 125,00?
7) (UF-PA) Um motorista aciona os freios de um automóvel. Após a 
freada, o veículo percorre 27 metros no primeiro segundo e, durante 
alguns segundos, percorre, em cada segundo, 1/3 da distância que 
percorreu no segundo anterior. Ache a distância total a ser percorrida 
no tempo de 4 segundos após a freada.
8) Numa P.G. oscilante, a soma do 2º com o 5º termo é – 210, e a 
soma do 4º com o 7º termo é –840. Qual é o 1º termo dessa P.G.?
9) Dada a P.G. (2x, 22x, 23x, ...) determine o valor de x de modo que seu 
décimo termo seja 1/128.
10) Quantos termos têm a P.G. (32, 3, ..., 32/16)?
11) Interpole oito meios geométricos entre 2000 e 125/32.
12) Calcule a soma dos sete primeiros termos da P.G. (4, -12, 36, ...)
13) Numa P.G. de termos positivos, o 1º termo é igual a 5 e o 7º é 320. 
Calcule a soma dos dez primeiros termos dessa P.G..
14) (FIA) Numa progressão geométrica, tem-se a3 = 40 e a6 = -320. A 
soma dos oito primeiros termos é:
a) –1400 b) –850
c) 850 d) 1700
e) 750
15) Calcule a soma dos dez primeiros termos da P.G. (m, m2, m3, ...):
a) Para m = 1; b) Para m = 2.
16) Uma exposição de arte deseja arrecadar fundos para uma creche. 
O número de pessoas que visitam a exposição varia de acordo com 
uma P.G. de razão 2. No 1º dia, 2 pessoas visitaram a exposição. Se de 
cada pessoa é cobrado um ingresso de R$ 3,00, qual é o número 
mínimo de diasque a exposição deve permanecer aberta a fim de que 
o total arrecadado atinja o valor R$ 6 138,00?
17) (U. F Ouro Preto) A soma dos n primeiros termos de uma p.g. é 
dada por Sn = 3n – 1, sendo n  N* Pede-se:
a) Encontre o primeiro e o segundo termos da P.G.
b) Obtenha a razão da P.G.
c) Expresse o termo geral a da P.G.
d) Utilize a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma P.G., para 
verificar que, de fato, 
Sn = 3n – 1.
18) (UnB-DF) Conta uma lenda que o rei de certo país ficou tão 
impressionado ao conhecer o jogo de xadrez que quis recompensar seu 
inventor, dando-lhe qualquer coisa que ele pedisse. O inventor, então, 
disse ao rei: “Dê-me simplesmente 1 grão de trigo pela primeira casa do 
tabuleiro, 2 grãos pela segunda casa, 4 grãos pela terceira, 8 grãos 
pela quarta e assim sucessivamente, até a 64ª casa do tabuleiro”. O rei 
considerou o pedido bastante simples e ordenou que fosse cumprido. 
Supondo que um grão de trigo tem massa igual 0,05 g e que a 
produção mundial de trigo em 1997 foi de 560 milhões de toneladas, 
julgue se os itens abaixo são verdadeiros ou falsos:
a) O número de grãos de trigo devido ao inventor apenas pela 11ª casa 
do tabuleiro é menor que 1 000.
b) Até a 30ª casa, seriam devidas ao inventor mais de 50 toneladas de 
grãos.
c) A quantidade trigo devida apenas pela 31ª casa corresponde à 
quantidade recebida até a 30 casa acrescida de um grão.
d) Seriam necessárias mais de 1 000 vezes a produção mundial de 
trigo de 1997 para recompensar o inventor.
19) Calcule de 1 + 
1 1 1
10 100 1000
+ + + ...
20) Qual o valor de 2 2 22
2 4 8
+ + + + ...?
21) Qual o valor de 1 + 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/9 + 1/8 + 1/27 + ...
22) Resolva a equação em R, 2x + 2x-1 + 2x-2 + 2x-3 + ... = 16
23) Considere a série geométrica
S = (2x + 3) + (2x + 3)2 + (2x + 3)3 + ...
a) Para quais valores de x a série converge?
b) Determine x para que S = -3/8. 
24) Determine a fração geratriz de cada uma das seguintes dízimas:
a) 0,888... b) 0, 333...
c) 1,333... d) 0,323232...
e) 5, 676767...
25) Qual é o valor de
S = 
1 1 1 1 1
1
10 2 100 4 1000
æ ö æ ö æ ö- + - + -ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
 + ...
6
MATEMÁTICA AVANÇADA
26) (U. F. Pelotas-RS) O lado de um quadrado mede L unidades de 
comprimento. Unindo-se os pontos médios dos lados opostos, obtém-
se quatro novos quadrados. Se procedermos assim sucessivamente, 
obteremos novos quadrados cada vez menores, conforme a figura 
abaixo, que mostra parte de uma seqüência infinita.
a) Determine a soma dos perímetros de todos os quadrados dessa 
seqüência infinita.
b) Calcule a soma das medidas das diagonais desses infinitos 
quadrados.
27) Sendo -1< x < 1, resolva a equação:
x2 – x + x3 – 
x
2
 + x4 – 
x
4
 + ... = –
1
2
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
1) (UFOP-2001) Sendo a, b, 10 uma progressão aritmética e 2/3, a, b 
uma progressão geométrica, em que a e b são números inteiros 
positivos. Então, calcule a e b.
2) (UFOP) Sendo 1, x, y e 1, z, w, respectivamente, os três primeiros 
termos de progressões aritmética e geométrica e sabendo-se que y – x 
= 2 e, 1 + x + y = z.w então a razão da progressão geométrica é:
a) 3 9 b) 3
c) 2 d) 3
e) 3 15
3) (UFF) São dadas duas progressões: uma aritmética (P.A.) e outra 
geométrica (P.G.). Sabe-se que:
- a razão da P.G. é 2;
- em ambas o primeiro termo é igual a 1;
- a soma dos termos da P.A. é igual à soma dos termos da P.G.;
- ambas têm 4 termos.
Pode-se afirmar que a razão da P.A. é:
a) 
1
6
b) 
5
6
c) 
7
6
d) 
9
6
e) 
11
6
4) (UFF) Os retângulos R1, R2 e R3, representados na figura, são 
congruentes e estão divididos em regiões de mesma área.
Ao se calcular o quociente entre a área da região pintada e a área total 
de cada um dos retângulos R1, R2 e R3, verifica-se que os valores 
obtidos formam uma progressão geométrica (P.G.) decrescente de três 
termos. A razão dessa P.G. é:
a) 1/8 b) 1/4
c) 1/2 d) 2
e) 4
5) A seqüência (x, 3, 7) forma uma P.A. e a seqüência (x – 1, 6, y) é 
uma P.G.. Quais são os valores de x e y?
6) A seqüência (20, x, x/y) é uma P.G. e a seqüência (2x, 12, 3y+1) é 
uma P.A. crescente. Determine x e y.
7) (UFMG) Os números reais 3, a, b são nessa ordem, termos 
consecutivos de uma progressão aritmética cuja razão é positiva. Por 
sua vez, os números reais a, b, 8 são, também nessa ordem, termos 
consecutivos de uma progressão geométrica.
Determine a e b.
8) (UFAL) Numa progressão aritmética crescente, cujo primeiro termo é 
2, os termos a1, a4 e a10 estão em progressão geométrica. Determine a 
razão dessa P.A..
9) (UFOP-2007/1) A soma das medidas dos ângulos internos de um 
polígono é 720º. As medidas desses ângulos formam uma progressão 
aritmética de razão 20º. O maior ângulo externo desse polígono mede:
a) 170º b) 110º
c) 70º d) 10º
10) (UFOP-2007/2) Considere a progressão aritmética crescente 
x1 + x2 + x3 + ...
em que o quinto e o oitavo termos x5 e x8, são raízes da equação x2 = 
14x + 40 = 0. O terceiro termo, x3, dessa progressão, é: 
a) 6 b) 4
c) 2 d) 0
QUESTÕES SUPLEMENTARES
1) (CEFET-MG-2006/1) Uma progressão aritmética com 10 termos tem 
soma igual a 410. Sendo o seu sétimo termo igual a 50, o primeiro 
termo é
a) 2 b) 8
c) 12 d) 14
e) 20
2) (CEFET-MG) Somando-se um mesmo número a cada elemento da 
seqüência (1, -2, 3), obtém-se uma progressão geométrica. A razão 
dessa progressão encontrada é igual a
a) –5/3 b) –3/5
c) 1/8 d) 3/5
e) 5/3
7
MATEMÁTICA AVANÇADA
3) (CEFET-MG) Em um quadrado, as medidas da diagonal, do 
perímetro e da área, nessa ordem, estão em progressão geométrica. O 
lado desse quadrado mede
a) 8 b) 2
c) 82 d) 8 – 2
e) 8 + 2
4) (CEFET-MG) Em um triângulo eqüilátero, as medidas do lado, da 
altura e da área, nessa ordem, estão em progressão aritmética. O lado 
desse triângulo mede
a) 2 3
2
- b) 4 3
2
-
c) 12 4 3
3
- d) 2 3
2
+
e) 2 – 3
5) (CEFET-MG) A seqüência (m, 1, n) é uma progressão aritmética e a 
seqüência (m, n, -8) é uma progressão geométrica. O valor de n é
a) -2 b) -1
c) 3 d) 4
e) 8
6) (CEFET-MG – 2006/2) Quatro números a, b, c, d formam, nessa 
ordem, uma progressão aritmética, enquanto a, b, d formam uma 
progressão geométrica. Sabendo-se que c = 30, a soma da progressão 
aritmética é igual a
a) 80 b) 90
c) 100 d) 110
7) (CEFET-MG) Quatro números x, –6, 3 x + 3 e y formam, nesta 
ordem, uma progressão geométrica. Então, a diferença, em módulo, 
entre os dois possíveis valores de y é igual a
a) 7 b) 15
c) 21/2 d) 53/2
e) 85/2
8) (FUVEST) A seqüência an é uma P.A. estritamente crescente, de 
termos positivos. Então, a seqüência bn = 3an, n  1, é uma:
a) P.G. crescente b) P.A. crescente
c) P.G. decrescente d) P.A. decrescente
e) seqüência que não é uma P.A. e não é uma P.G.
9) (UFU) Sejam a1, a2, a3 números reais cuja soma é igual a 38. 
Sabendo-se que a1- 2, a2, a3, estão nessa ordem em progressão 
aritmética de razão 6, determine o maior desses números: 
a) 6 b) 12
c) 18 d) 24
e) 32 
10) (UFMG) Três números reais a, b e c satisfazem o sistema
3 3 3log a log b log c 9
a b c 117
+ + =ì
í + + =î
Além disso, eles estão em progressão geométrica, isto é, existe um 
número real r tal que b = ar e c = br. DETERMINE todos os possíveis 
valores de r e os correspondentes valores de a, b e c.
11) (UFMG) Os números a, b e c, nessa ordem, estão em progressão 
geométrica de razão 
1
4
. Além disso, a – 1, b e c, nessa ordem, estão 
em progressão aritmética. DETERMINE a, b e c.
12) (UFMG) (Constituída de três itens.)
Observe esta figura.
Nessa figura, está representada uma seqüência infinita de círculos C1, 
C2, C3, ..., que tangenciam as retas s e t. Cada círculo Cn tangencia o 
próximo círculo Cn +1. Para todo número natural positivo n, rn é o raio do 
círculo Cn. Sabe-se que:
•  = 60°;
• r1 = 1.
Considerando essas informações,
MOSTRE que n 1
n
r
r
+ = 
1
3
 para todo n.
DETERMINE rn em função de n.
CALCULEa soma das áreas de todos os círculos C1, C2, C3, ...
13) Cubos são colocados uns sobre os outros, do maior para o menor, 
para formar uma coluna, como mostra a figura abaixo.
8
MATEMÁTICA AVANÇADA
O volume do cubo maior é 1 m3 e o volume de cada um dos cubos 
seguintes é igual a 
1
27
 do volume do cubo sobre o qual ele está 
apoiado. Se fosse possível colocar uma infinidade de cubos, a altura da 
coluna seria igual a 
a) 
27
26
m b) 2 m
c) 1,5 m d) 4,5 m
GABARITO
Seqüências 
2- x = 9, y = 1, z = 13, t = 21 4- a42 = 13 5- a) 7 semanas b) 104 
semanas 6- a 7- a 
Progressão aritmética
1-
a) r = 1 a10 = 10 b) r = 3 a10 = 27 c) r = 2 a10 = 8
d) r = -3 a10 = -13 e) r = 0 a10 = 3 f) r = 0,5 a10 = 5,5
g) r = - 0,8 a10 = -3,2
2- 12 3- a 4- b 5- a 6- c 7- a 8- S10 = 125 S22 = 1045 
9- S30 = -180 10- S58 = 6003 11- 820 12- n = 10 13- 788 
14- 441/5 15- 630 16- n2 17) c 18- 210 19- 40 20- 20 
termos 21- e 22- c 24-d 25 – b 
 
Progressão Geométrica 
1- b 3- 288 4- q = 2 5- 98415 6- R$ 76 886, 71 7- 40 metros 
8- - 15 9- x = -7/10 10- 9 termos 12- 2188 13- 5115 14- b 
15- a) 10 b) 682 16- 10 17- a) a1 = 2 e a2 = 6 b) q = 3 
c) an = 2 3n-1 
18- a) F, pois é 1024 b) V, aproximadamente 53,7 toneladas
c) V, pois S30 = 230 – 1 e a30 = 230
d) V, pois para recompensar o inventor seriam necessários 9,21011 
toneladas.
19- 10/9
20) 22
21) 7/2
22- 3
23- a) -2 < x < -1 b) -9/5
24- a) 8/9 b) 1/3 c) 4/3 d) 32/99 e) 562/99
25- 17/9
26- a) 8L b) 2L2
27- x = 1/3 ou x = 1/2. 
Questões complementares
1- a = 2 b = 6 2- a
3- e 4- c
5- x = -1 e y = -18 6- x = 4 y = 5
7- a = 9/2 e b = 6 8- 2/3
9) b 10) d
Questões suplementares
1- d 2- a
3- c 4- c
5- d 6- c
7- c 8- a
9- c
10- Se r = 3 então (a,b,c) = (9, 27,81) . Se r = 
1
3
 então (a,b,c) = 
(81,27,81).
11- a = 
16
9
, b = 
4
9
e c = 9.
12- 2) rn = 1  
n 1
1
3
-
æ ö
ç ÷
è ø
 ou 3  
n
1
3
æ ö
ç ÷
è ø
 3) soma das áreas = 
9
8

13 – c
9