Matemática - ESTATÍSTICA - Progressão Geométrica

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ESTATÍSTICA
VIDEOAULA
PROF. FABRÍCIO BIAZOTTO
Progressão Geométrica
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ESTATÍSTICA
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PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (P.G.)
Podemos definir progressão geométrica, ou simplesmente P.G., como uma sucessão de números 
reais obtida, com exceção do primeiro, multiplicando o número anterior por uma quantidade 
fixa q, chamada razão.
Podemos calcular a razão da progressão, caso ela não esteja suficientemente evidente, dividindo 
entre si dois termos consecutivos.
Por exemplo, na sucessão (1, 2, 4, 8,...), temos q = 2.
Cálculo do termo geral:
Numa progressão geométrica de razão q, os termos são obtidos, por definição, a partir do 
primeiro, da seguinte maneira:
a1 a2 a3 ... a20 ... an ...
a1 a1xq a1xq2 ... a1xq19 a1xqn-1 ...
Logo a razão de uma PG será o quociente entre termos consecutivos e constante: (a1, a2, a3, a4, 
..., an)
a3/a2 = a2/a1 = an+1/ an = q.
Também, pelo simples fato de ser constante a razão da PG, pode-se dizer que em três termos 
consecutivos, o termo do meio é exatamente igual a média geométrica dos termos das pontas:
Assim, podemos deduzir a seguinte expressão do termo geral, também chamado enésimo 
termo, para qualquer progressãogeométrica.
Soma dos n primeiros termos de uma PG
Seja a PG (a1, a2, a3, a4, ... , an , ...) . Para o cálculo da soma dos n primeiros termos Sn, vamos 
considerar o que segue:
Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an-1 + an
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Multiplicando ambos os membros pela razão q, temos:
Sn.q = a1 . q + a2 .q + .... + an-1 . q + an .q
Conforme a definição de PG, podemos reescrever a expressão como:
Sn . q = a2 + a3 + ... + an + an . q
Observe que a2 + a3 + ... + an é igual a Sn – a1 . Logo, substituindo, vem:
Sn . q = Sn – a1 + an . q
Daí, simplificando convenientemente, e substituindo an, pela sua equação geral, chegaremos à 
seguinte fórmula da soma:
Soma dos termos de uma PG infinita
Considere uma PG ilimitada (infinitos termos) e decrescente. Nestas condições, podemos 
considerar que no limite teremos an = 0. Substituindo na fórmula anterior, encontraremos:
Produto dos termos de uma PG:
Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência de números em que cada termo é igual ao 
produto de seu antecessor com uma constante q, chamada de razão da PG. Uma das operações 
que envolvem esse tipo de sequência é o cálculo da soma dos termos de uma PG finita e de uma 
PG infinita. Também podemos calcular o produto dos termos de uma PG quando ela é finita. A 
fórmula usada para isso é:
Nessa fórmula, Pné o resultado, ou seja, o produto dos termos da PG, a1é o primeiro termo, “q” 
é a razão da PG e “n” é seu número de termos.