Matemática - Livro 2-139-141

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139
igual à média aritmética dos números dos dois tijolos
que o sustentam.
Determine a soma dos números escritos nos tijolos.
27 FGV-SP 2011 Seja (a1, a2, a3, ...) uma sequência com as
seguintes propriedades:
I a1 = 1
II. a2n = n ⋅ an, para qualquer n inteiro positivo.
III. a2n + 1 = 2, para qualquer n inteiro positivo.
a) Indique os 16 primeiros termos dessa sequência.
b) Calcule o valor de a
50
2
.
28 Unesp 2013 A sequência dos números n1, n2, n3, ,
ni, está definida por
n 3
n
n 1
n 2
,
1
i 1
i
i
=
=
+




 +
 para cada inteiro
positivo i.
Determine o valor de n2013.
29 Fuvest 2018 Considere a sequência a1 = 6, a2 = 4, a3 = 1,
a4 = 2 e a an n 4= - , para n 5≥ .
Dena = + + ++ +S a a … an
k
n n 1 n k
 para k 0,≥ isto é, S
n
k é a
soma de k + 1 termos consecutivos da sequência co-
meçando do n-ésimo, por exemplo, S 4 1 5
2
1 = + = .
a) Encontre n e k tal que S 20
n
k = .
b) Para cada inteiro j, 1 j 12≤ ≤ , encontre n e k tal que
S j
n
k = .
c) Mostre que, para qualquer inteiro j, j 1≥ , existem
inteiros n ≥ 1 e k ≥ 0 tais que S j
n
k = .
30 UFRJ Uma pessoa pode subir uma escada da seguinte
forma: a cada degrau, ou ela passa ao degrau seguinte
ou galga dois degraus de uma só vez, pulando um de-
grau intermediário. A exceção dessa regra ocorre se
a pessoa estiver no penúltimo degrau, quando ela só
tem a opção de passar ao último degrau.
Seja Pn o número de modos diferentes que a pessoa
tem de subir uma escada de n degraus, dessa maneira:
a) Calcule P7.
b) Determine n tal que Pn = 987.
31 ITA 2012 Sabe-se que (x + 2y, 3x - 5y, 8x - 2y,
11x 7y + 2z) é uma progressão aritmética com o último
termo igual a −127. Então, o produto xyz é igual a
A −60.
 −30.
C 0.
d 30.
E 60.
32 IME 2015 A soma dos termos de uma progressão arit-
mética é 244. O primeiro termo, a razão e o número
de termos formam, nessa ordem, outra progressão
aritmética de razão 1. Determine a razão da primeira
progressão aritmética.
A 7  8 C 9 d 10 E 11
33 IME 2014 Em uma progressão aritmética crescente, a
soma de três termos consecutivos é S1 e a soma de
seus quadrados é S2.
Sabe-se que os dois maiores desses três termos são
raízes da equação x S x S
1
2
0
2
1 2
- ⋅ + -




= .
A razão desta PA é
A
1
6

6
6
C 6 d
6
3
E 1
34 IME Seja S 1 3 5 7 ... 792 2 2 2 2= + + + + + . O valor de S sa-
tisfaz:
A S 7 10
4< ×
 7 10 S 8 10
4 4× ≤ < ×
C 8 10 S 9 10
4 4× ≤ < ×
d 9 10 S 10
4 5× ≤ <
E S 10
5≥
35 ITA Considere a progressão aritmética (a1, a2, ..., a50)
de razão d. Se a 10 25d
n
n 1
10
∑ = +
=
 e a 4550
n
n 1
50
∑ =
=
, então
d - a1 é igual a
A 3.
 6.
C 9.
d 11.
E 14.
36 Enem 2018 Um quebra-cabeça consiste em recobrir
um quadrado com triângulos retângulos isósceles,
como ilustra a figura.
Uma artesã confecciona um quebra-cabeça como o
descrito, de tal modo que a menor das peças é um triân-
gulo retângulo isósceles cujos catetos medem 2 cm.
O quebra-cabeça, quando montado, resultará em um
quadrado cuja medida do lado, em centímetro, é
A 14
 12
C 7 2
d 6 4 2+
E 6 2 2+
MATEMÁTICA Capítulo 5 Sequências numéricas140
37 ESPM-RJ 2018 A sequência S = (sen 60º, 1 + sen 30º,
3cos30º) é:
A uma PA de razão tg  30
o
.
b uma PG de razão sen 60
o
.
C uma PA de razão tg  45
o
.
d uma PA de razão 1 + sen  60
o
.
E uma PG de razão tg 60
o
.
38 PUC-PR 2018 Considere os dados a seguir.
Mirosmar Egeu adora construir veleiros em miniatura
de madeira, ele fez um esboço de seu barco e deniu
as medidas de uma das velas que tem a forma de um
triângulo retângulo, cujos lados estão em progressão
geométrica com razão q > 1, conforme a gura. O ca-
teto menor mede x 5 1= - metros, o cateto maior
mede y e a hipotenusa, z. O valor de y em metros é
A 2.
b 3.
C 5.
d 5 1.-
E 5 1.+
39 USF 2018 Considere uma progressão aritmética cres-
cente de cinco termos, na qual o produto do primeiro
com o quinto termo é 45, e a soma dos outros três
termos é 27. Dado que o segundo e quarto termos
dessa progressão aritmética são, respectivamente,
o primeiro e o segundo termos de uma progressão
geométrica, é possível afirmar, corretamente, que o
décimo termo da progressão geométrica assim defi
nida vale
A 12 288.
b 30.
C 6 144.
d 60.
E 3 072.
40 Unioeste 2013 A figura abaixo é uma construção geo-
métrica feita da seguinte forma: considere r um
número real positivo qualquer. Usando a reta de
apoio, a primeira semicircunferência foi construída
com raio r, o triângulo inscrito nesta semicircunferên-
cia possui base 2r e altura r. A área da região entre a
primeira semicircunferência e o triângulo inscrito cha-
maremos de A1. A segunda semicircunferência foi
construída de modo a ter um ponto em comum com a
primeira semicircunferência e este ponto pertence a reta
de apoio. O raio da segunda semicircunferência é
r
2
O triângulo inscrito na segunda semicircunferência pos-
sui base
2r
2
 e altura
r
2
. A área da região entre a segunda
semicircunferência e o triângulo inscrito chamaremos
de A2. As próximas construções seguem o mesmo
padrão, ou seja, o raio de uma semicircunferência é
sempre a metade do raio da anterior e todas as semi
circunferências possuem um triângulo inscrito conforme
a construção acima. Denotamos por An a área entre a
n ésima semicircunferência e o respectivo triângulo ins
crito. Com base na figura e nas informações acima, é
correto afirmar que
A (A1, A2, A3, ..., An) é uma progressão geométrica de
razão
1
2
.
b (A1, A2, A3, ..., An) é uma progressão aritmética de
razão
1
2
.
C A sequência (A1, A2, A3, ..., An) não é uma progres-
são geométrica e também não é uma progressão
aritmética.
d A
r
2
n
2
2n 1
=
π
-
.
E A
( 2)r
2
n
2
2n 1
=
π
-
.
41 UPF 2017 A Esponja de Menger é construída a partir de
um cubo, por meio do seguinte processo recursivo:
1. Tome um cubo qualquer.
2. Divida cada face do cubo em
9 quadrados. Desse modo, o
cubo inicial fica subdividido
em cubos menores.
3. Remova o cubo localizado no
meio de cada face e o cubo
central Esse é o primeiro
nível da Esponja de Menger.
4. Repita os passos 2 e 3 para
cada um dos cubos restantes
do nível anterior Assim, obtém-
-se o segundo nível da Esponja.
5. A Esponja de Menger é o limite desse processo depois de um
número infinito de iterações.
(imagem disponível em: http://www.epsilones.com/paginas/curvas/
curvas-035-esponja-menger.html. Acesso em 10 abr. 2017)
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Sobre a Esponja de Menger e seu contexto, conside-
re as seguintes armações.
I. Se n é o número de iterações realizadas no cubo
inicial, o número de cubos restantes na enésima
interação é 20
n
.
II. O número de cubos obtidos em cada etapa do
processo de construção da Esponja de Menger é
20n, sendo n o número de interações.
III. A área da Esponja de Menger é obtida por meio
de um processo recursivo, sendo que, em cada
face, a área de cada quadrado é
1
9
 da área do
quadrado obtido no nível anterior.
IV. O fato de que o processo de construção da Es
ponja de Menger é recursivo e dispõe de um
número infinito de procedimentos a serem execu
tados faz com que o volume dela seja zero.
Está correto apenas o que se afirma em
A I e III.
b II e III
C II e IV.
d I, III e IV
E II, III e IV.
42 Unesp 2011 Considere um triângulo isósceles de lados
medindo L,
L
2
 e L centímetros. Seja h a medida da altura
relativa ao lado de medida
L
2
. Se L, h e a área desse
triângulo formam, nessa ordem, uma progressão geo-
métrica, determine a medida do lado L do triângulo.
43 UEPG 2018 Sobre progressão aritmética e geométrica,
assinale o que for correto.
01 Sendo (3x 2, x 1, 2x + 3) uma PA, então x 3
7
=
02 Em uma PG, o 1
o
 termo vale
3
125
, o último termo vale
1875 e a razão é 5. Então, essa PG tem 8 termos.
04 A equação x + 4x + 16x + ... + 1 024x = 1 365 tem
como solução x = 1.
08 Em uma PA, o 5
o
 termo vale 10 e o 10
o
 termo vale 5.
Então o 1
o
 termo é 14 e a razão é -1.Soma:
44 Udesc 2017 O número de termos da PG


a, b,
10
27
, c,


2
9
, …,
2
25
, d, e é igual a:
A 9 b 10 C 8 d 11 E 12
45 PUC-SP 2017 Considere a progressão aritmética (3, a2,
a3, ...) crescente, de razão r, e a progressão geométri-
ca (b1, b2, b3, 3, ...) decrescente, de razão q, de modo
que a3 = b3 e r = 3q. O valor de b2 é igual a
A a6
b a7
C a8
d
E a9
46 Unifesp 2017 Em um experimento, uma população
inicial de 100 bactérias dobra a cada 3 horas. Sen-
do y o número de bactérias após x horas, segue que
y 100 2 .
x
3= ⋅
a) Depois de um certo número de horas a partir do
início do experimento, a população de bactérias
atingiu 1 677 721 600 Calcule esse número de ho
ras. (dado: 1 677 721 600 = 2563)
) Sabendo-se que da 45
a
 para a 48
a
 hora o nú
mero de bactérias aumentou de 100 · 2
k
, calcule
o valor de k
47 Unicamp 2016 Considere o triângulo exibido na figura
abaixo, com lados de comprimentos a, b e c e ângulos
,α β e .γ
a) Suponha que a sequência ( , , )α β γ é uma progressão
aritmética (PA). Determine a medida do ângulo .β
) Suponha que a sequência (a, b, c) é uma progres-
são geométrica (PG) de razão q 2.= Determine o
valor de tan .β
48 Unicamp 2015 Seja (a, b, c, d) uma progressão geomé-
trica (PG) de números reais, com razão q 0≠ e a 0.≠
a) Mostre que x
1
q
= - é uma raiz do polinômio cúbi-
co p(x) = a + bx + cx2 + dx3.
) Sejam e e f números reais quaisquer e con-
sidere o sistema linear nas variáveis x e y,
a c
d b
x
y
e
f








=




 Determine para que valores
da razão q esse tem solução única
49 Unifesp 2013 A sequência (12, a, b), denominada S1, e a
sequência (c, d, e), denominada S2, são progressões
aritméticas formadas por números reais
a) Somando 1 ao segundo termo e 5 ao terceiro ter-
mo de S1, a nova sequência de três números reais
passa a ser uma progressão geométrica crescen-
te Calcule a razão dessa PG.
) Aplicando a função trigonométrica seno aos três
termos de S2, a nova sequência que se forma tem
soma dos três termos igual a zero, e termo do
meio diferente de zero. Determine a razão r de S2,
para o caso em que
2
r .
π < < π
50 Fuvest A soma dos cinco primeiros termos de uma PG,
de razão negativa, é
1
2
. Além disso, a diferença entre
o sétimo termo e o segundo termo da PG é igual a 3
Nessas condições, determine:
a) A razão da PG
) A soma dos três primeiros termos da PG.