Matemática - Livro 2-205-207

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Exercícios resolvidos
53 Calcule o determinante da matriz =










M
2 2 1 1
2 2 2 1
1 2 2 2
1 1 2 2
.
Resolução:
Aplicando o teorema de Jacobi da primeira para a segunda linha:
 =
×
↵
=det (M)
2 2 1 1
2 2 2 1
1 2 2 2
1 1 2 2
( 1) 2 2 1 1
0 0 1 0
1 2 2 2
1 1 2 2
Assim, do teorema de Laplace na 2a linha:
 = ⋅ − ⋅
 +
det (M) 1 ( 1)
2 2 1
1 2 2
1 1 2
2 3
Calculando o determinante menor complementar pela regra de Sarrus:
det M 1 1 2 4 4 8 4 1
det M 1 1 3 3
5( ) ( )
( ) ( )
 = ⋅ − ⋅ − − − + + + 
 = ⋅ ⋅ = 
54 Unicamp Dada a matriz =
 − − −
 −
 − −








A
x 1 x 1 x 1
x 1 1 2
x 1 1 2
, encontre o conjunto solução da equação det(A) = 0.
Resolução:
Colocando em evidência a expressão (x 1) que é fator comum da 1a coluna, tem-se:
 = ⋅
 
det (A) (x 1)
1 x 1 x 1
1 1 2
1 1 2
Aplicando o teorema de Jacobi da 2a para a 3a linha:
 = ⋅
 
×
↵
= ⋅
 
−
det(A) (x 1)
1 x 1 x 1
1 1 2
1 1 2
( 1) (x 1)
1 x 1 x 1
1 1 2
0 0 4
Aplicando o teorema de Laplace na 3a linha:
1 x 1
1 1
det A x 1 4 1
det A x 1 4 1 1 x 1
det A x 1 4 1 2 x
det A 4 x 1 2 x
3 3
6
−( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
 = − ⋅ − ⋅ − ⋅
 = ⋅ ⋅ ⋅ 


 = ⋅ ⋅ ⋅  
 = ⋅ ⋅  
 +
Assim, det(A) = 0 implica x = 1 ou x = 2, logo, S = {1, 2}
MATEMÁTICA Capítulo 6 Introdução à Álgebra Linear206
Regra de Chió
Trata-se de outro algoritmo alternativo para calcular determinantes, que pode ser aplicado a toda matriz quadrada A
cuja entrada a11 seja igual a 1
De acordo com a regra, o determinante de uma matriz A, de ordem, n nessas condições, equivale ao de uma matriz
B de ordem n 1 tal que:
b a a ai, j 1 i, 1 j 1, 1 j 1 i, 1= ⋅+ + + +
Assim, sendo =








A
1
z
w
x
a
b
y
c
d
, por exemplo, tem-se que det(A) = det(B) com B
a x c y z
b x w d y w
=
⋅ ⋅
- ⋅ - ⋅




2
Exercício resolvido
55 Calcule o determinante da matriz =












A
1
5
4
10
2
6
10
14
3
7
22
36
4
8
12
46
.
Resolução:
Como a11 = 1, pela regra de Chió, temos:
- ⋅
⋅
⋅
- ⋅
⋅
⋅
- ⋅
- ⋅
⋅
 =







 =
 -
 -
 
 -
 -
 
 -
 -
 







 =
-
-
- -
-








6 2 5
10 2 4
14 2 10
7 3 5
22 3 4
36 3 10
8 4 5
12 4 4
46 4 10
det (A) det det
6 10
10 8
14 20
7 15
22 12
36 30
8 20
12 16
46 40
det
4
2
6
8
10
6
12
4
6
Colocando-se em evidência os fatores comuns (-4) da 1a linha, (+2) da 2a linha e (+6) da 3a linha, tem-se:
 = - ⋅ + ⋅ + ⋅ -det (A) ( 4) ( 2) ( 6)
1 2 3
1 5 2
1 1 1
Então, aplicando a regra de Sarrus:
det A 4 2 6 15 2 2 5 4 3
det A 48 27 1296
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
 = - ⋅ + ⋅ + ⋅ + + + + 
 = - ⋅   = -
Métodos matriciais para resolução de sistemas lineares
Uma vez fundamentada a teoria das matrizes e de seus determinantes, os conceitos estabelecidos permitiram a criação
de algoritmos computacionais extremamente eficientes na resolução dos sistemas de equações lineares.
Chamamos de sistema linear qualquer conjunto de equações lineares que contenham as mesmas variáveis. Um sistema
linear com m equações com n variáveis costuma ser representado por:
a x a x a x ... a x b
a x a x a x ... a x b
a x a x a xa x b
a x a x a x ... a x b
11 1 12 2 13 3 1n n 1
21 1 22 2 23 3 2n n 2
31 1 32 2 33 3 3n n 3
m1 1 m2 2 m3 3 mn n m

 ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ =
 ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ =
 ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ =
 ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ =











A primeira providência a ser tomada para resolver um sistema usando algum método matricial é escrevê-lo na forma
de uma equação matricial. Para isso, são definidas 3 matrizes associadas ao sistema.
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A matriz principal do sistema é aquela cujas entradas
são os coeficientes das variáveis de cada equação:
 =
















�
�
    
A
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
11 12 13 1n
21 22 23 2n
31 32 33 3n
m1 m2 m3 mn
Se um sistema possui m equações com n variáveis
cada, então sua matriz principal terá tamanho m × n.
As outras matrizes associadas ao sistema são matrizes
colunas que também podem ser chamadas de vetores.
São eles:
O vetor de variáveis ou vetor de incógnitas: =















X
x
x
x
x
1
2
3
n
.
O vetor dos termos independentes: =















B
b
b
b
b
1
2
3
m
.
Essas matrizes permitem representar o sistema linear
da seguinte maneira:
















 ⋅














 =














�
    
�
a
a a a a
a a a a
a a a
a a a a
x
x
x
x
b
b
b
b
11 12 13 1n
21 22 23 2n
31 32 33 3n
m1 m2 m3 mn
1
2
3
n
1
2
3
m
Usando os representantes algébricos de cada matriz
ou vetor, todo sistema linear corresponde a uma equação
matricial do tipo:
A ⋅ X = B
Uma quarta matriz pode ser usada para representar
o sistema todo. Trata-se da matriz estendida do sistema,
designada por (A | B). Essa matriz é formada pela matriz prin-
cipal acrescida de uma coluna a sua direita, contendo as
entradas do vetor de termos independentes. Essa coluna
a mais costuma ficar separada do restante da matriz por
uma barra vertical. Assim:
( )A B
a a a a
a a a a
a a a a
a a a
n
n
n
m m m
| =
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2
�
�
�
    
33
1
2
3
�

a
b
b
b
bmn m
















Usando a matriz inversa
Se a matriz principal A do sistema for quadrada e tal
que det(A) ≠ 0, então essa matriz é inversível Assim, mul-
tiplicando-se à esquerda, ambos os membros da equação
matricial, pela inversa da matriz A, obtém se o vetor de
incógnitas
A X B X A B
1
 ⋅ = ⇒ = ⋅
−
Para resolver o sistema 3x 4y 5
7x 10y 9
 + =
 + =



, por exemplo, pri-
meiro deve-se representá-lo como uma equação matricial.
Assim:




 ⋅




 =




3 4
7 10
x
y
5
9
Em seguida, calcula-se o determinante da matriz prin-
cipal do sistema:




 = ⋅ ⋅ = =det 3
7
4
10
3 10 4 7 30 28 2
Como o determinante não é nulo, o próximo passo é
encontrar a inversa da matriz principal:




 = ⋅ −




−
3
7
4
10
1
2
10
7
4
3
1
Por fim, basta multiplicar a matriz inversa pelo vetor dos
termos independentes do sistema:




 = ⋅ −




 ⋅




 =x
y
1
2
10 4
7 3
5
9
= ⋅ ⋅ + − ⋅
− ⋅ + ⋅




 = ⋅
−




 =
−




1
2
10 5 ( 4) 9
( 7) 5 3 9
1
2
14
8
7
4
Portanto, x = 7 e y = 4, logo, S = {(7, 4)}
Sistemas equivalentes
Dois sistemas lineares são equivalentes quando pos-
suem exatamente o mesmo conjunto solução.
O sistema + =
 − =



x y 3
x y 11
 é equivalente ao sistema
 + =
 + =



3x 4y 5
7x 10y 9
, por exemplo, pois o par ordenado (7, −4)
é solução única de ambos.
Sendo assim, para resolver um sistema, podem-se tro-
car as equações dadas por outras equações, desde que o
sistema formado pelas novas equações seja equivalente
ao sistema original.
O símbolo ∼ é usado para indicar que dois sistemas
lineares são equivalentes. Assim:
 + =
 + =



∼
 + =
 =



3x 4y 5
7x 10y 9
x y 3
x y 11