Matemática - Livro 3-112-114

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MATEMÁTICA Capítulo 8 Números complexos112
A urgência de soluções para equações
de grau elevado
No período histórico do final da Idade Média e início da Re-
nascença, a Europa passava por profundas mudanças políticas,
sociais e culturais. O comércio internacional ganhou força e,
com isso, a necessidade de guardar e transferir dinheiro voltou
a ser imprescindível para a dinâmica da economia ocidental.
Enquanto os centros urbanos tornavam-se mais impor-
tantes que as regiões rurais concentrando uma população
formada principalmente por artesãos, operários e comer-
ciantes, surgiam os primeiros bancos, responsáveis pelas
operações de câmbio e empréstimos a juros.
Aos poucos, banqueiros e mercadores enriqueciam e
conquistavam maior poder político, emprestando dinheiro
aos senhores feudais que, por sua vez, endividavam-se
cada vez mais para não abrir mão dos seus luxos e, tam-
bém, financiar as despesas de suas Cruzadas.
A prática dos seguros e dos empréstimos a juros trouxe
novos problemas matemáticos para a sociedade. Muitos
desses problemas por vezes se traduzem em equações
algébricas de grau elevado, o que ia além do conhecimento
matemático da época.
Endividados, os senhores feudais viam-se obrigados a ce-
der politicamente, adotando medidas favoráveis ao comércio
e à educação, como a criação de universidades, por exemplo.
O problema da compra parcelada
No estudo da Matemática Financeira, o conceito de
juros é algo que só pode ser aplicado a valores devidos.
Se a capitalização de juros incidisse sobre valores que já
foram pagos, as dívidas nunca seriam quitadas.
Por esse motivo, quando se compra algo a prazo e com
parcelas periódicas, a capitalização dos juros incide apenas
sobre o saldo devedor.
Assim, sejam:
• D uma dívida inicial que deverá ser paga em n parce
las periódicas,
• x uma taxa percentual fixa de juros capitalizados a
cada período,
• (p1, p2, p3, ..., pn) a série das parcelas que amortizam
a dívida até sua quitação e
• S o saldo devedor.
Se a primeira parcela p1 for paga no ato da compra, então
o saldo devedor depois desse pagamento fica expresso por:
S = D - p1
Durante o período entre os pagamentos p1 e p2 o saldo
devedor S capitaliza com o incremento de juros equivalen
tes a x% ⋅ S
S
x
S+ ⋅
100
Fatorando a expressão:
S
x
S S
x
+ ⋅ = ⋅ +( )
100
1
100
Fazendo 1 + x% = F aproveita-se o conceito do fator de
correção para simplificar a expressão:
S
x
S F⋅ +( ) = ⋅1
100
Substituindo S pela sua expressão original, tem-se o
novo saldo devedor S':
S' = S ⋅ F = (D p1) ⋅ F
Uma vez passado o período de capitalização, chega o
momento de pagar a segunda parcela, fazendo com que
o saldo devedor passe a ser expresso por:
S" = (D p1) ⋅ F p2
Agora, durante o período entre a 2a e a 3a parcela
ocorre novamente o incremento dos juros, levando a uma
nova expressão para o saldo devedor:
S"' = ((D p1) ⋅ F p2) ⋅ F
Se a taxa de juros não sofrer alteração, esse padrão se
repete até que todas as n parcelas sejam pagas.
Perceba que durante o período de pagamento das par-
celas de uma compra em que são cobrados juros, o saldo
devedor fica representado por uma expressão dinâmica,
onde novos termos algébricos são incorporados de acordo
com a passagem do tempo. Isto ocorre até o momento da
quitação da dívida, quando o saldo devedor deve ficar igual
a zero. Assim, tem-se a equação:
(...(((D - p1) ⋅ F - p2) ⋅ F - p3) ⋅ F...) - pn = 0
Quando se deseja encontrar a taxa de juros adequada
a uma situação dessas, percebe-se que o grau da equação
aumenta de acordo com o número de parcelas.
Duas parcelas
Se o problema consiste na compra de uma mercadoria
que à vista sai por R$ 1.000,00, mas que será paga em duas
parcelas de R$ 550,00 cada, sendo uma no ato e outra
após 30 dias, por exemplo, então a equação é de 1o grau:
(1 000 550) ⋅ F 550 = 0
450 ⋅ F 550 = 0
9 ⋅ F 11 = 0
Resolvendo a equação do 1o grau:
9 11 0
9 11
11
9
1 2222
⋅ =
⋅ =
= ≅
F
F
F ,
Substituindo a expressão para o fator de correção:
1
100
1 2222
100
0 2222
22 22
+ ≅
≅
≅
x
x
x
,
,
,
Portanto, nessa compra, a taxa de juros cobrada é de
aproximadamente 22,22%.
Três parcelas
Se a mesma compra for paga em 3 parcelas mensais
de R$ 400,00 cada, por exemplo, a equação é de 2o grau
(quadrática):
((1 000 400) ⋅ F 400) ⋅ F 400 = 0
(600 ⋅ F 400) ⋅ F 400 = 0
600 ⋅ F2 400 ⋅ F 400 = 0
3 ⋅ F2 2 ⋅ F 2 = 0
F
R
E
N
T
E
 2
113
Resolvendo a equação do 2o grau:
3 ⋅ F2 2 ⋅ F 2 = 0
D = (-2)2 - 4 ⋅ 3 ⋅ (-2) = 4 + 24 = 28
F
F
F
=
- ±
⋅
=
±
=
+
≅
= ≅ -
( )2 28
2 3
2 2 7
6
1 7
3
1 21525
1 7
3
0 54858
�

,
,
Como F > 0, substituindo a expressão para o fator de correção:
1
100
1 21525
100
0 21525 21 525+ ≅ ≅ ≅
x x
x, , ,⇒ ⇒
Portanto, nessa compra, a taxa de juros cobrada é de, aproximadamente, 21,5%.
Quatro parcelas
Até aqui, o conhecimento matemático da Idade Média era suficiente para resolver as equações. Mas o problema da
mesma compra em quatro parcelas de, por exemplo, R$ 300,00 cada, leva a uma equação de 3o grau (cúbica):
(((1 000 300) ⋅ F 300) ⋅ F 300) ⋅ F 300 = 0
((700 ⋅ F 300) ⋅ F 300) ⋅ F 300 = 0
(700 ⋅ F2 300 ⋅ F 300) ⋅ F 300 = 0
700 ⋅ F3 300 ⋅ F2 300 ⋅ F 300 = 0
7 ⋅ F3 3 ⋅ F2 3 ⋅ F 3 = 0
Perceba que os casos usados como exemplo são mais simples, pois não há variação no valor das parcelas de cada compra,
tampouco nos períodos entre os pagamentos. Equações mais sofisticadas surgem quando as parcelas e os períodos variam.
O estudo dos polinômios e equações polinomiais com grau maior que 2 está totalmente interligado ao estudo dos números complexos, de modo
que a dialética desses assuntos levou pensadores da matemática como Descartes, Leibniz, Euler e Gauss, por exemplo, a formular e tentar provar
o que hoje chamamos de teorema fundamental da Álgebra:
“Toda equação polinomial de grau n ≥ 1 possui pelo menos um número complexo (que torna possível obter uma raiz de índice par de um número
negativo) como solução.”
Inicialmente afirmada pelo matemático alemão Peter Roth em 1580, a primeira demonstração totalmente correta desse fato algébrico só foi publicada
em 1814, por Jean-Robert Argand.
René Descartes Leonhard Euler Carl Friedrich Gauss Jean-Robert Argand
Atenção
Equações de terceiro grau
A corrida pela descoberta dos métodos gerais para a resolução das equações algébricas de grau maior que 2 começou
quando, pouco antes de falecer em meados do século XVI, del Ferro ensinou sua técnica recém-descoberta da solução
das equações do tipo x3 = px + q para um de seus alunos, chamado Antônio Maria Fior
Em vez de publicar a descoberta de seu professor, Fior preferiu desafiar o grande matemático da época, Niccolò
Fontana, também conhecido pelo apelido de Tartáglia
Disputas públicas entre matemáticos eram bastante comuns à época e um bom desempenho nos confrontos poderia
garantir uma posição na cátedra da universidade Mas, para a infelicidade do desafiante, quase no final do prazo, Tartáglia
também conseguiu deduzir um processo similar ao descoberto por Scipione e resolver todos os problemas que lhe foram
propostos Fior não conseguiu resolver os seus e a notícia da vitória de Tartáglia chegou a Milão, onde vivia um dos maiores
intelectuais da época, Girolamo Cardano.
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MATEMÁTICA Capítulo 8 Números complexos114
Cardano pediu que Tartáglia lhe ensinasse os métodos que havia descoberto para resolver os casos particulares das
equações de 3
o
 grau Tartáglia revelou por meio de versos, mas sem dar a demonstração, como resolver as equações do
terceiro grau do tipo do tipo x
3
= px + q, que são incompletas, pois não apresentam termo do segundo grau.
Os versos de Tartáglia para essas equações levavam a umasolução da equação que, em termos algébricos, fica
expressa pela seguinte fórmula:
x
q q p q q p
= + ( ) ( ) + ( ) ( )2 2 33 2 2 33
2 3 2 3
Cardano procurou por uma demonstração satisfatória e começou então a dedicar-se às equações de 3
o
 grau com-
pletas que hoje representamos por:
ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0
Cardano não só conseguiu encontrar um processo para resolver essas equações como incentivou seu assistente
Lodovico Ferrari a trabalhar em processos similares para as equações do 4
o
 grau (quárticas):
ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + e = 0
Ferrari de fato encontrou a solução das equações do 4
o
 grau e mostrou a Cardano que, pouco depois, publicou uma
das mais importantes obras da história da matemática, intitulada Ars Magna.
Essa obra de Cardano contém os métodos, os primeiros descobertos, para a resolução das equações completas
de 3
o
 e 4
o
 graus, atribuindo todos os devidos créditos aos matemáticos: Tartáglia, del Ferro e Ferrari.
Girolamo Cardano Niccolò Fontana (Tartáglia) Scipione del Ferro Lodovico Ferrari
Com a publicação, Cardano ficou conhecido com o maior matemático de sua época. Tartáglia sentiu-se traído, pois
sua fórmula acabou ficando conhecida como fórmula de Cardano. Ferrari tornou-se professor na Universidade de Bolonha.
Revisando conhecimentos
O método de Cardano empregava diversas técnicas algébricas para resolver equações de 3
o
 grau, como:
• Técnicas de resolução de equações quadráticas.
• Identidades polinomiais de 2
o
 e 3
o
 grau
• Mudanças de variáveis
• Sistemas de equações do tipo: soma e produto.
Por isso, recomenda se revisar as teorias que fundamentam esses modelos matemáticos.
Fórmula quadrática
Chama se equação quadrática ou do 2
o
 grau toda sentença matemática aberta do tipo:
ax
2
+ bx + c = 0 com a ≠ 0
Nessa sentença temos os parâmetros a, b e c, que são números reais denominados:
a → coeficiente principal
b → coeficiente secundário
c → termo independente
Equações quadráticas podem apresentar até duas soluções distintas, que podem ser obtidas pela fórmula quadrática:
=
- ± -
x
b b 4ac
2a
2
Por apresentar a operação de radiciação, as soluções das equações do 2
o
 grau obtidas da fórmula quadrática são
chamadas de raízes da equação:
=
- + -
x
b b 4ac
2a
1
2
=
- - -
x
b b 4ac
2a
2
2
A expressão b
2
 4ac dentro da raiz é o discriminante da equação Trata se também de um importante parâmetro real
da equação, que costuma ser representado por ∆, uma letra grega maiúscula de nome delta
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