Matemática - Livro 3-121-123

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E
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T
E
 2
121
9 Encontre uma solução real para a equação
x3 3x2 15x 18 = 0.
Resolução:
Por tratar se de uma equação completa, deve ser feita
a mudança de variável proposta por Cardano:
x y
b
3a
 x y
( 3)
3 1
 x y 1= ⇒ = -
⋅
⇔ = +
Então, fazendo x = y + 1:
(y + 1)3 3(y + 1)2 15(y + 1) 18 = 0
(y3 + 3y2 + 3y + 1) 3(y2 + 2y + 1) 15(y + 1) 18 = 0
y3 + 3y2 + 3y + 1 - 3y2 - 6y - 3 - 15y - 15 - 18 = 0
Cancelando os termos +3y2 e −3y2 e isolando o termo
y3 obtemos y3 = 18y + 35.
Fazendo y = a + b e comparando a equação à identi-
dade (a + b)3 ≡ 3ab(a + b) + (a3 + b3) tem-se:
a b
ab ab a b
3 3
3 3
35
3 18 6 216
+ =
= ⇔ = ⇔ =




Fazendo a3 = A e b3 = B, tem-se:
A B
A B
t t
+ =
⋅ =



⇒ - + =
35
216
35 216 0
2
Resolvendo a equação quadrática equivalente ao
sistema:
D = ( 35)2 4 ⋅ 1 ⋅ 216 = 1225 864 = 361
�

= - ±
⋅
= ±
=
=
t
( 35) 361
2 1
35 19
2
A 27
B 8
Assim, = + = + =y 27 8 3 2 53 3 . Substituindo y = 3 na
atribuição x = y + 1, que promoveu a 1a mudança de
variável do problema, obtém-se nalmente uma das
soluções da equação original: x = 5 + 1 = 6.
Portanto, x = 6 é uma solução real da equação proposta.
A necessidade dos números
complexos
Muitas equações quadráti
cas como x2 + 1 = 0, por exemplo,
não possuem soluções que sejam
números reais, o que não parecia
preocupar os matemáticos até o
século XVI, quando um matemáti
co italiano publicou uma obra em
três volumes intitulada L’Algebra,
que também discute a resolução
de equações de 3o grau Seu
nome era Raphael Bombelli: o pai
dos números complexos
Na obra, Bombelli discute a resolução da equação
x3 = 15x + 4 pelo método de Tartáglia e, comparando-a com
a identidade (a + b)3 ≡ 3ab(a + b) + (a3 + b3), faz x = a + b
para obter o sistema:
a b
ab ab a b
3 3
3 3
4
3 15 5 125
+ =
= ⇔ = ⇔ =




Com A = a3 e B = b3 temos: + =
=



⇔ + =A B 4
AB 125
 t 4t 125 0
2
Até aqui tudo parece ocorrer normalmente, a não ser
pelo fato de essa equação apresentar um discriminante
negativo (D < 0): D = ( 4)2 4 ⋅ 1 ⋅ 125 = 16 500 = 484.
Em casos como esse, a equação do 2o grau que equi-
vale ao sistema não admite solução real. Inicialmente, os
matemáticos da época pensaram que, consequentemente,
a equação cúbica original também não deveria admitir.
Se Bombelli não tivesse observado que x = 4 é uma so-
lução real da equação x3 = 15x + 4, ele provavelmente não
teria descoberto os números complexos (43 = 15 ⋅ 4 + 4 ⇔
⇔ 64 = 60 + 4).
Então, sabendo que x = 4 era de fato solução da equa-
ção x3 = 15x + 4, Bombelli decidiu continuar o processo
simplesmente deixando indicada a raiz quadrada do nú-
mero negativo. Assim:
t2 4t + 125 = 0 ⇒ D = 484
t = - ±
⋅
= ± -( )4 484
2 1
4 484
2
Assim: = + + -x 4 484
2
4 484
2
3 3 .
Convencido de que a expressão aritmética obtida para
o valor de x da equação x3 = 15x + 4 de fato representava
o número 4, Bombelli tomou algumas liberdades em rela-
ção à operação da raiz quadrada, a fim de adequá-la aos
radicandos negativos.
+ - + - - =4 484
2
4 484
2
43 3
Admitindo que a raiz quadrada fosse uma operação
distributiva em relação à multiplicação de números com
sinais diferentes, novas regras para a radiciação foram es-
tabelecidas
Fator a Fator b Como era Como ficou
Positivo Positivo a b a b⋅ = ⋅ a b a b⋅ = ⋅
Positivo Negativo Indefinido a b a b=
Negativo Positivo Indefinido a b a b=
Negativo Negativo a b a b⋅ ≠ ⋅ a b a b⋅ ≠ ⋅
Observe que a propriedade distributiva da raiz quadrada sobre o
produto de números com mesmo sinal permanece, de modo que
distribuir a raiz quadrada no produto de números negativos não é
válido. Muitos erros são cometidos no estudo dos números complexos
quando, por distração, isso acontece.
Atenção
Rafael Bombelli
C
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le
ç
ã
o
 P
a
rt
ic
u
la
r
MATEMÁTICA Capítulo 8 Números complexos122
Nesse ponto evolutivo da Matemática, a propriedade
distributiva da raiz quadrada em relação à multiplicação
⋅ = ⋅a b a b, que só era válida se os fatores a e b fossem
positivos, passou também a ser utilizada nos casos em que
apenas um dos fatores é negativo
Então, com seu conceito da radiciação estendido, Bom-
belli admitiu que:
- = ⋅ - = ⋅ - = ⋅ -484 484 ( 1) 484 1 22 1
Sendo assim, as soluções da equação t
2
 – 4t + 125 = 0,
cujo discriminante é ∆ = −484, podem ser expressas de
forma simplificada:
( )
= - ±
⋅
= ± = ±
+ -
�

t
( 4) 484
2 1
4 22 1
2
2 2 11 1
2
2 11 1
2 11 1
Nesse momento, Bombelli concebeu os dois primeiros
números complexos da História, mas ainda era longo o cami-
nho que esclareceu a igualdade + - + - - =2 11 1 2 11 1 43 3 .
Observe que os primeiros números complexos observados que se tem
notícia foram concebidos em pares: + -2 11 1 e - -2 11 1 .
Como esses pares de números complexos são produzidos pela
fórmula quadrática, eles somente diferem no sinal (+) ou ( ) na
parte de seus valores que depende da raiz quadrada do número
negativo.
 Veja outros exemplos:
x
2 + x + 1 = 0⇔ =
+
x
1 3
2
1
 e =x
1 3
2
2
x
2
 2x+ 3 = 0⇔ =
+ -
= + -x
2 8
2
1 2
1
 e = =x
2 8
2
1 2
2
x
2
 − 4x+ 7= 0⇔ =
+ -
= + -x
4 12
2
2 3
1
 e =
- -
=x
4 12
2
2 3
2
x
2 + 9 = 0⇔ =
+
= +x
0 36
2
0 3 1
1
 e = =x
0 36
2
0 3 1
2
Os números complexos x1 e x2 produzidos como soluções de uma
mesma equação quadrática, com coeficientes reais, são denominados
conjugados um do outro
Assim, o número +1 3
2
 é o conjugado do número 1 3
2
que, por sua vez, também é o conjugado +1 3
2
.
Além do fato de serem produzidos em pares conjugados, no processo
de Tartáglia esses números complexos surgem para que deles sejam
extraídas as raízes cúbicas.
Saiba mais
O próximo desafio de Rafael Bombelli era encontrar
as raízes cúbicas dos números complexos conjugados
+ -2 11 1 e 2 11 1 para provar que a soma de suas raízes
cúbicas era igual a 4. Para isso ele admitiu a existência de
dois números reais a e b tais que:
+ = +
- = -
2 11 1 a b 1
2 11 1 a b 1
3
3
Sabendo que a soma das raízes cúbicas dos núme-
ros complexos encontrados deveria ser igual a 4, Bombelli
concluiu que o número real a deveria ser igual a 2, logo:
a b a b
a
+ + =
=
1 1 4
2 4
a = 2
Assim, faltava apenas encontrar o número b tal que
( )+ = +2 b 1 2 11 1
3
.
Da identidade do cubo da soma, temos que:
2 3 2 1 3 2 1 1 2 11 1
8 12 1 6 1
3 2
2 3
2
+ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ( ) + ( ) = +
+ ⋅ + ⋅ (
b b b
b b )) + ( ) = +2 3 31 2 11 1 b
Nesse momento, Bombelli novamente precisou admi-
tir algumas propriedades a respeito desse novo número
-1, que mais tarde seria denominado unidade imaginá-
ria. Assim, foram estipulados os valores de suas primeiras
potências:
( )
( ) ( )
→ - = -
→ - = - ⋅ - = - ⋅ - = - -




Seu quadrado 1 1
Seu cubo 1 1 1 1 1 1
2
3 2
A aceitação da existência das raízes quadradas dos números nega-
tivos implicou diretamente na extensão do significado da operação
de radiciação dos radicais com índices pares, de modo que as pro
priedades a seguir também são válidas nas raízes quartas, sextas,
oitavas etc.
Em relação ao cancelamento da raiz quadrada com o expoente 2,
no conjunto dos números reais ocorre que:
• Se x ≥ 0 então x x
2)( = .
• Se x ≥ 0 então x x
2 = .
• Se x < 0 então x x
2 = - .
• Se x < 0 então x
2)( não é uma expressão definida.
Mas no universo dos números complexos, sendo x um número real
positivo, negativo ou nulo, tem-se que:
• x |x|
2 =
• x x
2)( =
Essas duas últimas propriedades ditam como proceder com as raízes
quadradas de números reais e não devem ser aplicadas quando x∉R.
Atenção
Dando continuidade à busca do valor do número real b:
( ) ( )
( )
+ + + = +
+ - + - + - - = + -
+ - - - - = + -
- + - - = + -
8 12b 1 6b 1 b 1 2 11 1
8 12b 1 6b ( 1) b 1 2 11 1
8 12b 1 6b b 1 2 11 1
(8 6b ) (12b b ) 1 2 11 1
2
2
3
3
2 3
2 3
2 3
Bombelli resolveu comparar separadamente as partes
que são múltiplas e não são múltiplas do número 1.
Da comparação entre as partes não múltiplas:
8 6b
2 = 2⇔ b = ±1
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Com b = 1 tem-se a confirmação da igualdade entre as
partes múltiplas da unidade imaginária:
= ⇒ ==b 1 (12b b ) 1 (12 1) 1 11 13
Então, com a = 2 e b = 1, Bombelli verificou que:
+ - = +2 11 1 2 13
E por um processo análogo concluiu também que:
2 11 1 2 1
3 - - = - -
Então, finalmente, o matemático italiano conseguiu
mostrar que o método de Tartáglia encontrava corretamente
a solução real da equação cúbica x3 = 15x + 4, mas que
o processo todo passava pela extração da raiz quadrada
de um número negativo, bem como a extração das raízes
cúbicas de dois números complexos conjugados:
x
x
x
= + +
= + +
=
2 11 1 2 11 1
2 1 2 1
4
3 3
A unidade imaginária
Já no século XVII os números complexos eram bem
aceitos e amplamente utilizados pelos matemáticos eu-
ropeus. Embora não houvesse consenso em relação às
interpretações analítica ou geométrica da raiz quadrada
de 1, o valor representado por -1 ficava indicado
nas resoluções apenas como recurso algébrico, que
desapareceria com um posterior cancelamento dos
termos - -1 e + 1 na operação de adição. Após o
cancelamento era encontrada a solução real de uma
equação cúbica.
Somente em 1637 que o matemático e filósofo francês
René Descartes referiu-se ao 1 como sendo uma raiz
imaginária e, por isso, hoje nos referimos a 1 como sendo
a unidade imaginária.
Foi somente no final do século seguinte que o matemá-
tico suíço Leonhard Euler sugere o uso do símbolo i para
representar -1 em uma publicação de 1794. A sugestão
foi muito bem aceita por parte dos matemáticos da época
A partir de então as expressões do tipo -n com n > 0,
passaram a ser representadas por: ⋅i n ou ⋅n i.
> ⇒ - = - ⋅ = - ⋅ = ⋅n 0 n ( 1) n 1 n i n
Exemplos:
= ⋅ = - ⋅ = ⋅3 ( 1) 3 1 3 i 3
= ⋅ = ⋅ = ⋅ =4 ( 1) 4 1 4 i 2 2i
- = ⋅ - = ⋅ - = ⋅8 8 ( 1) 8 1 2 2 i
- = ⋅ = ⋅ =9 9 ( 1) 9 1 3i
- =16 4i
= 25 5i
O conjunto C dos números complexos
Multiplicando a unidade imaginária por algum número
real diferente de zero, obtém-se um número denominado
imaginário puro Os números a seguir são exemplos de ima-
ginários puros:
⋅i 3 2i ⋅2 2 i 3i 0,4i 5
6
i
O conjunto dos números imaginários puros será indi
cado por i ⋅ R*.
Somando um número imaginário puro com um número
real, obtém-se sempre um número complexo e, além disso,
o conjunto R dos números reais está contido no conjunto
C dos números complexos.
R ⊂ C
Quando dois conjuntos numéricos A e B são tais que A⊂ B, o conjun-
to B herda todas as propriedades aritméticas válidas do conjunto A,
além de apresentar novas propriedades a respeito de seus ele-
mentos, desde que elas não entrem em contradição com alguma
propriedade herdada
O fato deN ⊂ Z, por exemplo, garante que todas as propriedades
aritméticas válidas emN também devem ser válidas emZ que, por sua
vez, possui propriedades inconcebíveis emN, como a regra de sinais
para o produto de suas unidades positiva (+1) e negativa (−1) Assim:
(+1) ⋅ (+1) = +1
( 1) ⋅ (+1) = 1
(+1) ⋅ (-1) = -1
(-1) ⋅ (-1) = +1
Da mesma forma, comoR⊂C, o conjunto dos números complexos
herda a regra de sinais válida no conjuntoR, mas apresenta algumas
regras a mais, para suas unidades imaginárias positiva (+i) e negativa
(-i). Assim:
(+1) (+i) = +i
(-1) ⋅ (+i) = -i
(+1) ⋅ (-i) = -i
( 1) (-i) = +i
(+i) ⋅ (+i) = +i2 = -1
(-i) ⋅ (+i) = i2 = +1
(+i) (-i) = i2 = +1
(-i) ⋅ (-i) = +i2 = -1
Saiba mais
Para construir um número complexo, basta que sejam
escolhidos dois números reais, multiplicar um deles pela
unidade imaginária e somar o outro número ao resultado.
Os números reais escolhidos podem ser iguais ou diferen-
tes, nulos ou não nulos.
Todo par ordenado de números reais (a, b) define um
número complexo z no que chamamos de forma algébrica
pela expressão:
z = a + bi