Nivelamento em Matemática Básica

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Nivelamento em Matemática Básica
Profa. Juliana Castanon Xavier e Profa. Simone Alves da Silva
Monitores: João Fernando da Silva Costa e Jaqueline Elisabete Savoia
Departamento Acadêmico de Matemática
Núcleo de Acompanhamento Psicopedagógico e Assistência Estudantil
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Sumário
1 Conjuntos 5
1.1 Conjuntos Numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1 Intervalos Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.2 Expressões Numéricas e Algébricas em R . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Frações 23
2.1 Classificação de Frações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2 Simplificação de frações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3 Operações com frações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 Operações no conjuntos dos R 35
3.1 Potenciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Radiciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3
4
3.3 Produtos notáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.4 Fatoração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.5 Equações algébricas de 1o e 2o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.5.1 Equações do 1o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.5.2 Equações do 2o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.6 Inequações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.6.1 Inequações do 1o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.6.2 Inequação do 2o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.7 Polinômios em R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.8 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Caṕıtulo 1
Conjuntos
Nesse caṕıtulo, vamos tratar da noção de conjuntos. Iniciamos dando uma ideia geral sobre
conjuntos, suas relações, propriedades e operações. Na sequência, tratamos da classificação
e divisão de números nos conjuntos numéricos dos naturais, inteiros, racionais, irracionais
e reais, tratando também de propriedades de suas operações numéricas, relações entre esses
conjuntos e representação de números através de intervalos de números reais.
A ideia de conjunto decorre de uma noção primitiva, sem definição própria, podendo um
conjunto ser considerado como uma coleção qualquer de objetos. Os objetos que compõem
essa coleção são chamados de elementos do conjunto. Normalmente, indicamos os conjuntos
por letras maiúsculas e os elementos por minúsculas.
Recebe o nome de relação de pertinência, a relação existente entre elementos e conjuntos.
Para indicarmos que um objeto x é elemento do conjunto A, escrevemos x ∈ A (lê-se x
pertence a A), e se x não for elemento de A, escrevemos x /∈ A (lê-se x não pertence a A).
Para descrever os elementos de um conjunto, podemos utilizar os seguintes recursos:
1. Enumeração: quando os elementos do conjunto são descritos, separados por v́ırgulas e
5
6
entre chaves. Exemplo: A = {1, 3, 5, 7}.
2. Compreensão: quando é escrita entre chaves a caracteŕıstica comum a todos os ele-
mentos do conjunto. Exemplo: A = {x é natural e tal que 1 ≤ x ≤ 7 e x é ı́mpar}.
3. Diagramas de Venn: o conjunto N = {1, 2, 3, 4, 5, 6} fica representado nessa forma pelo
esquema representado na Figura 1.1.
Figura 1.1: Diagrama de Venn.
Se todo elemento de um conjunto A for também elemento de um conjunto B, então
podemos dizer que A é subconjunto de B. Para indicar que A é subconjunto de B, escrevemos
A ⊂ B (lê-se A está contido em B) ou B ⊃ A (lê-se B contém A). Se A não for subconjunto
de B escreve-se A 6⊂ B.
Algumas observações importantes.
1. Todo conjunto é subconjunto dele mesmo, ou seja, A ⊂ A.
2. ∅ representa o conjunto vazio, ou seja, o conjunto que não apresenta nenhum elemento.
Esse conjunto é subconjunto de qualquer conjunto.
3. O total de subconjuntos que se podem formar a partir de um conjunto A que tem n
elementos é 2n; denotamos #A = 2n.
4. A ⊂ B e B ⊂ A se, e somente se, A = B.
7
5. A é chamado de subconjunto próprio de B se, e somente se, A ⊂ B e A 6= B.
6. Dado um conjunto A, chamamos de conjunto das partes de A, denotado por P (A), o
conjunto formado por todos os subconjuntos de A.
Exemplo 1.0.0.1. Se A = {1, 3, 5, 7}, então: P (A) = {∅, {1}, {3}, {5}, {7}, {1, 3}, {1, 5},
{1, 7}, {3, 5}, {3, 7}, {5, 7}, {1, 3, 5}, {1, 3, 7}, {3, 5, 7}, {1, 3, 5, 7}}
Operações entre conjuntos:
1. União O conjunto P é a união dos conjuntos A e B, se todos os elementos de A e B,
e apenas estes, estiverem presentes em P . De outra maneira,
P = A ∪B = {x/x ∈ A ou x ∈ B} .
Figura 1.2: Possibilidades da união de dois conjuntos.
2. Interseção O conjunto P é a interseção dos conjuntos A e B, se ele for formado por
todos os elementos comuns a A e B. De outra maneira,
P = A ∩B = {x/x ∈ A e x ∈ B} .
8
Figura 1.3: Possibilidades da interseção de dois conjuntos.
3. Diferença O conjunto P é a diferença dos conjuntos A e B, se ele for formado pelos
elementos de A que não são elementos de B. De outra maneira,
P = A−B = {x/x ∈ A e x /∈ B} .
Figura 1.4: Possibilidades da diferença de dois conjuntos.
Dados dois conjuntos A e B, definimos o complementar de A com relação a B, e deno-
tamos por CBA , como o conjunto B − A.
Já o complementar de um conjunto A, aqui denotado por A′, é definido como a diferença
entre o conjunto universo, U , e o conjunto A. De outra maneira,
A′ = U − A.
Observe que estamos definindo como conjunto universo U , o conjunto especificado que
contém todos os elementos de interesse para um determinado problema. Com respeito a
essas operações, valem as seguintes propriedades:
9
1. A ∪ A = A
2. A ∪ ∅ = A
3. A ∪B = B ∪ A
4. A ∪ U = U
5. A ∩ A = A
6. A ∩ ∅ = ∅
7. A ∩B = B ∩ A
8. A ∩ U = A
9. A− A = ∅
10. A− ∅ = A
11. A−B 6= B − A, em geral.
12. U − A = A′
13. (A′)′ = A
14. ∅′ = U
15. U ′ = ∅
16. (A ∪B)′ = A′ ∩B′
17. (A ∩B)′ = A′ ∪B′
1.1 Conjuntos Numéricos
Números Naturais (N): é o conjunto representado por N = {0, 1, 2, 3, . . . } ou N∗ =
{1, 2, 3, . . . } quando o zero não está inclúıdo.
Os números naturais tiveram suas origens nas palavras utilizadas para a contagem de ob-
jetos, começando com o número dois, e áı por diante. Uma abstração seguinte foi identificar
o número um.
O avanço seguinte na abstração foi o uso de numerais para representar os números. Isto
permitiu o desenvolvimento de sistemas para o armazenamento de grandes números. Por
exemplo, os babilônicos desenvolveram um sistema de atribuição de valor baseado essencial-
mente nos numerais de 1 a 10. Os eǵıpcios antigos possúıam um sistema de numerais com
hieróglifos distintos para 1, 10, e todas as potências de 10 até um milhão. Uma gravação em
pedra encontrada em Karnak, datando de cerca de 1500 a.C. e atualmente no Louvre, em
10
Paris, representa 276 como 2 centenas, 7 dezenas e 6 unidades; e uma representação similar
para o número 4622.
Um avanço muito posterior na abstração foi o desenvolvimento da ideia do zero como um
número com seu próprio numeral. Um d́ıgito zero tem sido utilizado como notação de posição
desde cerca de 700 a.C. pelos babilônicos, porém ele nunca foi utilizado como elemento final.
Os olmecas e a civilização maia utilizaram o zero como um número separado desde o século
I a. C., aparentemente desenvolvido independentemente, porém seuuso não se difundiu
na Mesoamérica. O conceito da forma como ele é utilizado atualmente se originou com o
matemático indiano Brahmagupta em 628. Contudo, o zero foi utilizado como um número
por todos os computus (calculadoras da idade média) começando com Dionysius Exiguus em
525, mesmo que no geral nenhum numeral romano tenha sido utilizado para escrevê-lo. Ao
invés disto, a palavra latina para ”nenhum”, ”nullae”, foi empregada.
O primeiro estudo esquemático dos números como abstração (ou seja, como entidades
abstratas) é comumente atribúıdo aos filósofos gregos Pitágoras e Arquimedes. Entretanto,
estudos independentes também ocorreram por volta do mesmo peŕıodo na Índia, China, e
Mesoamérica.
No século XIX, uma definição do conjunto teórico dos números naturais foi desenvolvida.
Com esta definição, era mais conveniente incluir o zero (correspondente ao conjunto vazio)
como um número natural. Esta convenção é seguida pelos teorizadores de conjuntos, logi-
cistas, e cientistas da computação. Outros matemáticos, principalmente os teorizadores dos
números, comumente preferem seguir a tradição antiga e excluir o zero dos números naturais.
Uma construção consistente do Conjunto dos Números Naturais (N) foi desenvolvida no
século XIX por Giuseppe Peano. Essa construção, comumente chamada de Axiomas de
Peano, é uma estrutura simples e elegante, servindo como um bom exemplo, de construção
de conjuntos numéricos.
Exemplo 1.1.0.1. Exemplos de situações que envolvem contagem.
11
• Quantos alunos há em classe?
• Quantos habitantes tem uma cidade?
• Quantas peças de roupa existem numa determinada loja?
O conjunto dos números naturais equipado com as operações de adição (+) e multi-
plicação (∗), satisfaz as seguintes propriedades:
1. Fecho: se a, b ∈ N, então a+ b ∈ N e a ∗ b ∈ N.
2. Associatividade:
a+ (b+ c) = (a+ b) + c, a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c.
3. Comutatividade:
a+ b = b+ a, a ∗ b = b ∗ a.
4. Existência do Elemento Neutro:
a+ 0 = a, a ∗ 1 = a,
ou seja, o número zero é o elemento neutro da adição e o número 1 é o elemento neutro
da multiplicação.
5. Distributividade:
a ∗ (b+ c) = (a ∗ b) + (a ∗ c).
6. Não existe nenhum divisor de zero, ou seja, se a ∗ b = 0, então ou a = 0 ou b = 0 ou
ambos são iguais a zero.
Observe que não podemos verificar essas propriedades para as operações de subtração
e divisão, pois nem sempre essas operações estão estão definidas em N. Por exemplo: não
12
existe nenhum número natural que represente o resultado de 3− 7 ou 100− 1000; da mesma
maneira, não existe nenhum número natural que represente o resultado de 1÷ 2 ou 10÷ 3.
Como consequência desse problema, foram definidos mais dois conjuntos númericos: o
conjunto dos números inteiros e o conjunto dos números racionais.
Números Inteiros (Z): é o conjunto representado por Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . . }
ou Z∗ = {. . . ,−3,−2,−1, 1, 2, 3, . . . } quando o zero não está inclúıdo.
Observe que, como consequência da sua própria construção, todo número natural é
também um número inteiro, razão pela qual escrevemos que N ⊂ Z.
O conjunto dos números inteiros equipado com as operações de adição (+) e multiplicação
(∗), satisfaz as seguintes propriedades:
1. Fecho: se a, b ∈ Z, então a+ b ∈ Z e a ∗ b ∈ Z.
2. Associatividade:
a+ (b+ c) = (a+ b) + c, a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c.
3. Comutatividade:
a+ b = b+ a, a ∗ b = b ∗ a.
4. Existência do Elemento Neutro:
a+ 0 = a, a ∗ 1 = a,
ou seja, o número zero é o elemento neutro da adição e o número 1 é o elemento neutro
da multiplicação.
5. Distributividade:
a ∗ (b+ c) = (a ∗ b) + (a ∗ c).
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6. Não existe nenhum divisor de zero, ou seja, se a ∗ b = 0, então ou a = 0 ou b = 0 ou
ambos são iguais a zero.
7. Existência de Inverso na Adição: existe a
′ ∈ Z tal que a+ a′ = 0.
Observe que ainda não podemos verificar essas propriedades para a operação de divisão,
pois nem sempre essa operação está está definida em Z. Por exemplo: não existe nenhum
número inteiro que represente o resultado de −3÷ 7 ou 100÷ 1000.
Sendo assim, foi preciso definir mais um conjuntos númerico, como mencionado anteri-
ormente: o conjunto dos números racionais.
Números Racionais (Q): é o conjunto representado por Q =
{a
b
, a ∈ Z e b ∈ Z∗
}
ou
Q =
{a
b
, a ∈ Z∗ e b ∈ Z∗
}
quando o zero não está inclúıdo.
Em outras palavras, um número racional é todo número que pode ser representado por
uma razão entre dois números inteiros, com o segundo não nulo (diferente de zero).
Observe que, como podemos escrever qualquer a ∈ Z como a
1
= a ∈ Z, temos que todos
os números inteiros estão contidos em Q, isto é, Z ⊂ Q. Além disso, como N ⊂ Z, obtemos
que N ⊂ Q. Portanto, N ⊂ Z ⊂ Q.
Há quatro formas de se apresentarem os números racionais: frações, números mistos,
números decimais finitos e as d́ızimas periódicas, que são números decimais infinitos que, a
partir de um certo algarismo, se repetem em grupos (denominados peŕıodos) de um ou mais
algarismos, ordenados sempre na mesma disposição.
Exemplo 1.1.0.2. Fração:
7
5
;
Número misto: 5
3
2
;
Números decimais finitos: 8, 35;
Dı́zimas periódicas: 8, 232323...; 1, 235555...; 7, 23965965965...; 33, 333....
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Existem porém, alguns (muitos!) números que não podem ser representados como di-
visões de dois números inteiros. Dentre esses números, destacamos as d́ızimas não periódicas,
ráızes n-ésimas não exatas (que também podem ser vistas como d́ızimas não periódicas), etc.
Tais números compõem o conjunto que vamos definir a seguir.
Números Irracionais (I): é o conjunto de todos os números que não são racionais, ou seja,
I = {x / x /∈ Q}.
O conjunto dos números irracionais é formado, essencialmente por d́ızimas não periódicas,
que são números decimais infinitos que não apresentam nenhum grupo de algarismos que se
repetem.
A primeira descoberta de um número irracional é geralmente atribúıda a Hipaso de Me-
taponto, um seguidor de Pitágoras. Ele teria produzido uma demonstração (provavelmente
geométrica) de que a raiz de 2 é irracional.
No entanto, Pitágoras considerava que a raiz de 2 ”manchava”a perfeição dos números,
e portanto não poderia existir. Mas ele não conseguiu refutar os argumentos de Hipaso com
a lógica, e a lenda diz que Pitágoras condenou seu seguidor ao afogamento.
A partir dáı, os números irracionais entraram na obscuridade, e foi só com Eudoxo de
Cnido que eles voltaram a ser estudados pelos gregos. O décimo livro da série Os elementos
de Euclides é dedicado à classificação de números irracionais.
Foi só em 1872 que o matemático alemão Dedekind (de 1831 a 1916) fez entrar na
Aritmética, em termos rigorosos, os números irracionais que a geometria sugerira havia mais
de vinte séculos.
São exemplos de números irracionais: π = 3, 1415926536...,
√
2 = 1, 4142135624...,
√
5 = 2, 2360679775, etc.
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Por fim, definimos o conjunto dos números reais (R) como a união dos conjuntos dos
números racionais Q e dos números irracionais I. Isto é,
R = {x, x ∈ Q ou I} , R∗ = {x, x 6= 0 e x ∈ Q ou I}
O conjunto dos números reais com as operações de adição e multiplicação e com a relação
natural de ordem formam o que chamamos de um corpo ordenado.
As relações de continência entre esses conjuntos pode ser observada na Figura 1.5.
Figura 1.5: Relação entre os conjuntos N,Z,Q e I.
1.1.1 Intervalos Reais
Podemos representar conjuntos de números reais através de intervalos. Sendo a e b dois
números reais tal que a < b, chamamos os seguintes subconjuntos de R de intervalos.
1. Intervalo fechado nos extremos a e b: [a, b] = {x ∈ R/a ≤ x ≤ b} .
2. Intervalo fechado em a e aberto em b: [a, b) = {x ∈ R/a ≤ x < b} .
3. Intervalo aberto em a e fechado em b: (a, b] = {x ∈ R/a < x ≤ b} .
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4. Intervalo aberto nosextremos a e b: (a, b) = {x ∈ R/a < x < b} .
Podemos representar ainda os intervalos:
1. [a,+∞) = {x ∈ R/x ≥ a} .
2. (a,+∞) = {x ∈ R/x > a} .
3. (−∞, b] = {x ∈ R/x ≤ b} .
4. (−∞, b) = {x ∈ R/x < b} .
5. (−∞,+∞) = {x ∈ R} = R.
1.1.2 Expressões Numéricas e Algébricas em R
Uma expressão numérica em R é uma sequência composta por números reais operados entre
si. Durante a resolução de uma expressão numérica, seguimos a seguinte ordem de prioridade
para realização dessas operações:
• Potenciação e radiciação;
• Multiplicação e divisão;
• Adição e subtração.
Também é importante observar que no caso da expressão numérica apresentar parênteses
e/ou colchetes [ ] e/ou chaves { }, as operações dentro dessa estrutura tem que ser resolvidas
primeiro, seguindo a ordem de prioridade estabelecida acima.
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Exemplo 1.1.2.1.
5{4 + [6.5–10 + (22–3)]} =
5{4 + [6.5–10 + (4–3)]} =
5{4 + [6.5–10 + 1]} =
5{4 + [30–10 + 1]} =
5{4 + 21} =
5{25} = 125.
Por outro lado, uma expressão algébrica é aquela composta por números e letras, onde
essas letras são também chamadas de variáveis ou incógnitas.
Exemplo 1.1.2.2.
4a+ 6b+ 8c, x2 + 2xy + y2.
1.2 Exerćıcios
1. Dados os conjuntos A = {2, 4, 6, 8, 10, 12}, B = {3, 6, 9, 12, 15} e C = {0, 5, 10, 15, 20},
determine o que se pede.
(a) A ∩B ∩ C
(b) A ∩ (B ∪ C)
2. Em uma cidade há 1000 famı́lias, das quais:
• 470 assinam o jornal A;
• 420 assinam o jornal B;
• 315 assinam o jornal C;
• 140 assinam os jornais B e C;
• 220 assinam os jornais A e C;
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• 75 assinam os jornais A, B e C.
Sendo assim, determinar:
(a) Quantas famı́lias não assinam nenhum jornal?
(b) Quantas famı́lias assinam apenas um dos jornais?
(c) Quantas famı́lias assinam apenas dois jornais?
(d) Quantas famı́lias assinam pelo menos dois jornais?
(e) Quantas famı́lias assinam no máximo dois jornais?
3. Complete o quadro a seguir.
Antecessor Número Sucessor
5.098
300.000
2.345.700
4. Responda as perguntas abaixo.
(a) Qual é o menor número natural?
(b) Qual é o sucessor de zero?
(c) Quantos números naturais existem?
5. Ordene os numerais abaixo, do menor para o maior, na item (a) e do maior para o menor,
no item (b).
(a) 89; 67; 34; 62; 56; 43; 13; 78; 81; 72
(b) 19; 87; 65; 22; 80; 29; 42; 92; 74; 36
6. Uma empresa teve um prejúızo de 56 mil reais no mês passado e, neste mês, o prejúızo já
está em 13 mil reais. Qual o prejúızo da empresa até agora?
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7. Sr. Douglas teve um lucro de 500 reais na venda de seu computador, mas sua esposa bateu o
carro e teve um prejúızo de 800 reais. Qual o resultado financeiro desses dois acontecimentos?
8. Durante uma experiência, a temperatura foi medida e estava marcando -3oC. O professor
pediu para baixar 5oC essa temperatura. Qual será a nova temperatura registrada?
9. Dados os números:
x = −5 + 5− 5
y = −5− 5− 5
z = 10− 10 + 10
w = 10− 10− 10
(a) Qual é o menor?
(b) Qual é o maior?
(c) Coloque em ordem crescente.
10. Arquimedes, matemático e f́ısico grego, nasceu em Siracusa(Sićılia) em 287 a.C. Octávio
Augusto, primeiro imperador romano, nasceu em 63 a.C. Responda:
(a) Quem nasceu primeiro Arquimedes ou Octávio Augusto?
(b) Se Octávio Augusto morreu em 14 d.C., quantos anos ele viveu?
(c) Arquimedes viveu 75 anos, em que ano ele morreu?
(d) Quantos anos se passaram entre a morte de Arquimedes e o nascimento de Augusto?
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11. Coloque os números em ordem crescente.
(a) -9,-3,-7,+1,0
(b) -2, -6, -5, -3, -8
(c) 5,-3,1,0,-1,20
(d) 25,-3,-18,+15,+8,-9
(e) +60,-21,-34,-105,-90
(f) -400,+620,-840,+1000,-100
12. Coloque os números em ordem decrescente.
(a) +3,-1,-6,+5,0
(b) -4,0,+4,+6,-2
(c) -5,1,-3,4,8
(d) +10,+6,-3,-4,-9,+1
(e) -18,+83,0,-172, -64
(f) -286,-740, +827,0,+904
13. Considerando A = [1, 7] e B = [3, 9), determine os conjuntos abaixo.
(a) A ∪B
(b) A ∩B
(c) A−B
(d) B −A
(e) CBA
(f) CAB
14. Regra dos sinais: quando ocorre a presença de parênteses nas operações entre os números
inteiros, devemos eliminá-los, utilizando o jogo do sinal indicado na figura a seguir. Utilizando
essa regra, resolva as expressões algébricas abaixo.
(a) (+8 + 9)–(+5–6)–(9 + 1)
(b) – {–[(2 + 3)–(7–8) + (–6–4)]}
(c) –[–(2 + 4)–(–4–13)]
(d) 60–(14–4 + 6)–16–6
(e) (140 + 20–10)–63–(18–10–8)
(f) 135–35 + (13–8 + 4)–7 + 20
(g) 500 + 36–(8 + 12–6) + 21–(80 + 123)
21
15. Escolha uma letra para representar o número desconhecido, e escreva uma expressão algébrica
para representar as situações abaixo.
(a) A soma de 10 com um número desconhecido.
(b) A diferença entre 15 e um número desconhecido.
(c) A diferença entre um número desconhecido e 15.
(d) A soma de um número desconhecido com 42 é igual a 76.
(e) A diferença entre um número desconhecido e 18 é igual a 63.
(f) A diferença entre 128 e um número desconhecido é igual a 84.
16. Calcule o número desconhecido nos itens (d), (e) e (f) do exerćıcio anterior.
17. Resolva as expressões algébricas a seguir.
(a) 3x2 + 5x + 7, com x = 3.
(b) a2 + 2ab + 5b, para a = 2 e b = −1.
(c) x4 + 2x1/2 + 9y + y2, para x = 4 e y = 6.
22
Caṕıtulo 2
Frações
Uma fração é uma representação de uma parte ou um pedaço de um inteiro.
Utilizamos o conceito de fração em diversos momentos do nosso dia a dia, como por
exemplo:
• Ao dividir uma pizza;
• Ao dividir um bolo;
• Ao dividir um pedaço de tecido, etc.
Representamos uma fração através de uma divisão, denotada por
a
b
, em que b 6= 0 indica
o total de partes que compõem o inteiro considerado, e a indica quantas dessas partes estão
sendo consideradas, como pode ser observado na Figura 2.1.
Em toda fração, a é chamado de numerador e b é chamado de denominador.
23
24
Figura 2.1: Exemplo de frações.
2.1 Classificação de Frações
Podemos classificar as frações da seguinte maneira:
• Fração própria: nesse tipo de fração o numerador é menor que o denominador. Por
exemplo,
8
32
,
3
5
,
9
10
.
• Fração imprópria: nesse tipo de fração o numerador é maior que o denominador. Por
exemplo,
8
5
,
12
9
,
7
4
.
• Fração aparente: nesse tipo de fração o numerador é múltiplo do denominador. Por
exemplo,
8
4
= 2,
12
2
= 6,
7
7
= 1.
25
• Frações equivalentes: são frações que mesmo representadas de maneira diferente, re-
presentam a mesma parte do inteiro. Por exemplo,
Figura 2.2: Frações equivalentes.
Na Figura 2.2, todas essas frações estão representando a mesma porção de um inteiro,
independente se o inteiro é o mesmo.
Também podemos compor números inteiros com frações. A esse tipo de número damos
o nome de número misto.
Figura 2.3: Número misto.
26
Na figura 2.3 temos representado o número misto 2
1
2
. O número 2 representa a parte
inteira desse número misto, e a fração 1
2
representa a parte fracionária desse número misto.
Um número misto pode ser escrito na forma apenas de fração a partir do procedimento
ilustrado a seguir:
(i) 1
1
16
=
16
16
+
1
16
=
17
16
,
(ii) 2
6
10
=
10
10
+
10
10
+
6
10
=
26
10
.
2.2 Simplificação de frações
Quanto menor é o denominador de uma fração, mais simples se torna sua representação e a
realização de cálculos com ela.
Uma fração na sua forma simplificada é chamada de fração irredut́ıvel.
Para simplificar uma fração, ou deixá-la em sua forma irredut́ıvel, fazemos uso de divisões
sucessivas do numerador e denominador por um mesmo valor, até que não seja mais posśıvel
determinar um divisor comum para o numerador e o denominador.
Ilustramos esse procedimento no exemplo a seguir.
Exemplo 2.2.0.1. Para deixar a fração 16
24
na sua forma irredut́ıvel, é necessário fazer 3
divisões consecutivas por 2 do numerador e denominador, até obter a fração 2
3
.
16
24
=
8
12
=
4
6
=
2
3
.
27
2.3 Operações com frações
Vamos tratar das operações de adição, subtração, multiplicaçãoe divisão através de exem-
plos.
Adição e Subtração: Carlos comprou uma barra de chocolate de 6 pedaços e só comeu 2.
Maria comprou a mesma barra, mas ela só comeu um pedaço. Juntando as duas barras,
quantos pedaços sobraram? E qual fração eles tem juntos?
Carlos comeu dois pedaços de um total de seis, isto é,
2
6
; sobraram
4
6
, ou seja, 4 pedaços.
Maria comeu um pedaço de um total de seis, isto é,
1
6
; sobraram
5
6
, ou seja, 5 pedaços.
Juntos, o que sobrou das barras de chocolate é representado por:
4
6
+
5
6
=
9
6
.
Como podemos observar, para somar duas ou mais frações de mesmo denominador, basta
somar os numeradores e repetir o denominador.
Quando os denominadores são diferentes, precisamos reduzir as frações ao mesmo deno-
minador. Essa redução é feita através do cálculo do mı́nimo múltiplo comum (mmc).
O mmc de dois números a e b é o menor inteiro positivo que é múltiplo simultaneamente
de a e de b. A determinação do mmc permite que seja posśıvel obter frações equivalentes às
que estão sendo somadas (ou subtráıdas), todas com o mesmo denominador. Representando
a soma de frações, por uma soma de frações de mesmo denominador, podemos aplicar a regra
mencionada anteriormente, de apenas somar os numeradores.
Exemplo 2.3.0.1.
3
5
+
1
2
=
6
10
+
5
10
=
11
10
, pois o mmc (5, 2) = 10.
28
De fato,
5 − 2 2
5 − 1 5
1 − 1 �10
Tudo que vale para a soma, vale de maneira análoga para subtração.
Exemplo 2.3.0.2.
3
5
− 1
2
=
6
10
− 5
10
=
1
10
, pois o mmc (5, 2) = 10, como calculado no
exemplo anterior.
Multiplicação: para multiplicar duas ou mais frações, multiplicamos numerador por nume-
rador e denominador por denominador, como no exemplo a seguir.
Exemplo 2.3.0.3.
1
3
− 1
5
=
1
15
Exemplo 2.3.0.4.
1
3
− 4
5
=
4
15
Divisão: para dividir duas frações, repetimos a primeira fração e multiplicamos (como de-
finido anteriormente) pelo inverso da segunda fração. Esse procedimento está ilustrado no
exemplo a seguir.
Exemplo 2.3.0.5.
1
4
1
8
=
1
4
× 8
1
=
8
4
= 2
2.4 Exerćıcios
1. Simplifique as frações abaixo, tornando-as irredut́ıveis.
(a)
8
12
(b)
42
63
29
(c)
36
18
(d)
75
100
2. Efetue as seguintes operações com frações.
(a)
7
6
− 1
(b)
5
2
− 7
4
(c)
5
8
:
1
3
(d)
14
12
× 24
7
(e) 3− 5
4
3. Vańı ganha um salário de R$ 1200,00 mensais. Ela gasta
1
5
com alimentação e
2
5
com
aluguel. Qual o total de gastos de Vańı em reais? Qual o valor que sobra do salário de
Vańı?
4. Qual o valor da expressão
3
5
− 1
5
×
(
2
3
− 1
2
)
5. Comprei um apartamento por R$ 420000,00. Paguei
2
3
de entrada e o resto em 10
parcelas iguais. Qual foi o valor de cada parcela?
6. Gasto
2
5
do meu salário com aluguel da casa, e
1
2
dele com outras despesas. Fico ainda
com R$ 200,00 no final do mês. Qual é o valor do meu salário?
7. Um copo cheio de água pesa 325 gramas. Se jogarmos metade da água fora, seu peso
cai para 180 gramas. Qual o peso do copo vazio?
8. Alan, Cássio e Luciano fizeram compras para fazer um churrasco gastando um total
de R$ 96,00. Alan pagou
1
2
do valor total, e Cássio pagou
1
3
do valor total. Quanto
Luciano pagou?
30
9. Um turista fez uma viagem de 3600 km. Considerando que
3
4
do percurso foi feito
de trem,
2
9
foi feito de ônibus e o restante de carro, quantos quilômetros cada turista
percorreu de carro?
10. João comprou 60 balas. Maria comeu a metade e André comeu metade do que sobrou.
Qual foi o número de balas comidas?
11. Com 12 litros de leite, quantas garrafas de 2/3 de litros poderão ser cheias?
12. Adriano faz um cinto com 3/5 de um metro de couro. Quantos cintos poderão ser
feitos com 18 metros de couro?
13. Qual é o número tal que 4/5 equivalem a 108?
14. Distribúıram-se 3 1
2
quilogramas de bombons entre vários meninos. Cada um recebeu
1/4 de quilograma. Quantos eram os meninos?
15. Para ladrilhar 2/3 de um pátio empregaram-se 5456 ladrilhos. Para ladrilhar 5/8 do
mesmo pátio, quantos ladrilhos seriam necessários?
16. Dona Solange pagou R$ 5.960,00 por 4/7 de um terreno. Quanto pagaria por 4/5 desse
terreno?
17. Luciano fez uma viagem de 1.210 km, sendo 7/11 de avião; 2/5 do que sobra de trem,
e 3/8 do que sobra de automóvel, e os demais quilômetros a cavalo. Calcular quantos
quilômetros percorreu a cavalo?
18. A terça parte de um número adicionado a seus 3/5 é igual a 28. Calcule a metade
desse número ?
19. Carolina tinha R$ 175,00. Gastou 1/7 de 1/5 dessa importância. Quanto sobrou?
20. Que número é necessário somar a um e três quartos para se obter cinco e quatro
sétimos?
31
21. A soma de dois números é 850. Um vale 12/5 do outro. Quais são eles?
22. Se dos 2/3 de um número subtrairmos 3/7, ficaremos com 45. Qual é o número?
23. A soma de três números é 30. O primeiro corresponde aos 2/3 do segundo e este, aos
3/5 do terceiro. Calcular o produto destes três números.
24. Se 7/8 de um terreno valem R$ 21.000,00, qual é o valor de 5/48 do mesmo terreno?
25. Qual é o número que se subtrairmos 8 unidades da sua metade ficaremos com 1/3 dele
mesmo?
26. Da terça parte de um número subtraindo-se 12, obtem-se com 1/6 do mesmo número.
Que número é esse?
27. Qual é o número que retirando 48 unidades de sua metade, encontramos a sua oitava
parte ?
28. A diferença entre dois números é 90; um é 3/13 do outro. Calcule esses números.
29. A soma de dois números é 345; um é 12/11 do outro. Calcule-os.
30. Seu Áureo tendo gasto 4/7 do dinheiro que possúıa, ficou com 1/3 dessa quantia mais
R$ 164,00. Quanto tinha Áureo?
31. Divida R$ 1590,00 em três partes de modo que a primeira seja 3/4 da segunda e esta,
por sua vez, seja 4/5 da terceira.
32. Se eu tivesse apenas 1/5 do que tenho, mais R$ 25,00. teria R$ 58,00. Quanto eu
tenho?
33. A nona parte do que tenho aumentada de R$ 17,00 é igual a R$ 32,50. Quanto possuo?
34. José Augusto perdeu o inverso de 8/3 de seu dinheiro e ficou com a metade mais R$
4,30. Quanto ele possúıa?
32
35. Reparta 153 cards em três montes, de forma que o primeiro contenha 2/3 do segundo,
que por sua vez deverá ter 3/4 do terceiro.
36. Distribuia 3.717 tijolos em três depósitos de maneira que o primeiro tenha 3/4 do
segundo, e este por sua vez contenha 5/6 do terceiro.
37. O diretor de um colégio quer distribuir os 105 alunos da 4a série em três turmas de
modo que: a 1a comporte a terça parte do efetivo; a 2a, 6/5 da 1a, menos 8 estudantes,
e a 3a, 18/17 da 2a. Quantos alunos haverá em cada turma?
38. Dividiu-se uma certa quantia entre três pessoas. A primeira recebeu 3/5 da quantia,
menos R$ 100,00; a segunda, 1/4 mais R$ 30,00, e a terceira, R$ 160,00. Qual era a
quantia inicial?
39. Um número é tal que, se de seus 2/3 subtrairmos 1.036, ficaremos com 4/9 do mesmo.
Que número é esse?
40. Das laranjas de uma caixa foram retirados 4/9, depois 3/5 do resto, e sobraram 24
delas. Quantas eram as laranjas?
41. Marcela tinha R$ 240,00. Gastou um quinto dessa quantia, e depois, a terça parte do
resto. Com quanto ficou?
42. Repartir R$ 671,00 entre três pessoas de modo que a primeira seja contemplada com
2/5 do que receber a segunda e esta, 3/8 do receber a terceira.
43. Dividir R$ 480,00 por três pessoas, de modo que as partes da primeira e da segunda
sejam, respectivamente, 1/3 e 4/5 da parte a ser recebida pela terceira
44. Argemiro tinha R$ 375,00. Despendeu 2/5 menos R$ 6,00; depois a terça parte do
resto, mais R$ 18,00. Quanto sobrou?
33
45. Um reservatório é alimentado por duas torneiras. A primeira pode enchê-lo em 15
horas e a segunda, em 12 horas. Que fração do reservatório encherão em uma hora, as
duas juntas?
46. Uma torneira enche um reservatório em 2 horas e outra em 3 horas. Em quanto tempo
essas duas torneiras juntas encherão esse reservatório?
47. Uma torneira enche uma cisterna em1/8 da hora e uma válvula o esvazia em 1/4 da
hora. Ambas abertas, em que tempo o reservatório ficará completamente cheio?
48. Uma torneira enche um depósito de água em 1/14 da hora enquanto uma válvula pode
esvaziá-lo em 1/9 da hora. Trabalhando juntas, em quanto tempo o ĺıquido contido no
depósito atingirá seus 5/6?
49. Um reservatório é alimentado por duas torneiras. A primeira pode enchê-lo em 15
horas e a segunda, em 10 horas. A primeira é conservada aberta durante 2/3 da hora
e a segunda durante 1/2 hora. Que fração do reservatório ficará cheia?
34
Caṕıtulo 3
Operações no conjuntos dos R
Nesse caṕıtulo, vamos definir operações importantes entre números reais, tais como poten-
ciação e radiciação. Além disso, vamos falar de fatoração e produtos notáveis, importantes
ferramentas para o estudo de funções em Cálculo I. Definidas essas operações, mostraremos
suas aplicações no contexto de resolução de equações e inequações dos primeiro e segundo
graus.
3.1 Potenciação
Potenciação ou exponenciação é a operação definida como a multiplicação de um número
por ele mesmo. A esse número real damos o número de base (vamos designar a base pela
letra a), e a quantidade de vezes que ele é multiplicado por ele mesmo, digamos x vezes, é
chamado de potência. Denotamos por ax.
Exemplo 3.1.0.1. 32 = 3 × 3 = 9 (lê-se: “três elevado ao quadrado”, ou “três elevado à
segunda potência” ou ainda “três elevado à dois”).
Valem as seguintes propriedades:
35
36
• a1 = a
• a0 = 1, a 6= 0.
A prinćıpio, o expoente x pode ser qualquer número real. Vamos analisar três possibili-
dades para esse valor, entendendo o que cada uma delas significa.
1. Potência de expoente natural: dados um número real a e um número natural n,
com n ≥ 2, chamamos de potência de base a e expoente n o número an, obtida pela
multiplicação de a por ele mesmo n vezes, ou ainda, o produto de n fatores iguais a a.
an = a× a× · · · × a︸ ︷︷ ︸
n vezes
.
Valem as seguintes propriedades:
(a) am × an = am+n
(b)
am
an
= am−n
(c) (a× b)n = an × bn
(d) (am)n = am×n
(e)
(a
b
)n
=
an
bn
2. Potência de expoente inteiro negativo: dado um número real a 6= 0 e um número
natural n, chamamos de potência de base a e expoente –n, e denotamos por a−n, o
número que é calculado como o inverso multiplicativo de an, ou seja,
a−n =
1
an
.
Nesse caso, as mesmas propriedades do caso de potências de expoente naturais se
aplicam.
37
3. Potência de expoente racional: dados um número real a > 0, um número inteiro
p e um número natural q ≥ 1, chamamos de potência de base a e expoente p/q, e
denotamos por a
p
q a raiz q-ésima de ap, ou seja,
a
p
q = q
√
ap.
Nesse caso valem as mesmas propriedades do caso de potência de expoentes naturais.
3.2 Radiciação
A radiciação é uma operação matemática que é equivalente a se representar a potenciação
com expoente fracionário, como observado na seção anterior. A radiciação é a operação
inversa da potenciação.
Para um número real a, a expressão n
√
a representa o único número real x que verifica
xn = a, e tem o mesmo sinal que a, se esse número existe. A esse número damos o nome de
raiz enésima de a.
Quando nenhum n espećıfico aparece na notação da raiz, significa que n = 2 e o śımbolo
de radical refere-se à raiz quadrada. O śımbolo
√
é chamado de radical, n é chamado de
ı́ndice e a de radicando e x de raiz.
Sendo essa operação a operação inversa da potenciação, como indicado na seção anterior
pela relação
a
p
q = q
√
ap,
suas propriedades se reduzem as mesmas do caso de potências de expoente natural, já expli-
citadas na seção anterior.
38
3.3 Produtos notáveis
Antes de iniciarmos o estudo de produtos notáveis, vamos recordar a propriedade distributiva
da multiplicação entre números reais.
(a+ b)× (a+ b) = a · a+ a · b+ a · b+ b · b = a2 + 2ab+ b2,
(a− b)× (a− b) = a · a− a · b− a · b+ b · b = a2 − 2ab+ b2,
(a+ b+ c)× (a+ b+ c) = a · a+ a · b+ a · c+ a · b+ b · b+ b · c+ a · c+ b · c+ c · c
= a2 + b2 + c2 + 2ab+ 2bc+ 2ac,
e assim por diante. Note que ao aplicar a propriedade distributiva, multiplicamos todos os
termos, levando em conta seus sinais, e somamos os termos semelhantes a fim de simplificar
a expressão final.
Como no cálculo algébrico algumas expressões representadas por produtos de expressões
algébricas, como esses ilustrados acima, aparecem com muita frequência, com o objetivo de
não ter que efetuar a multiplicação termo a termo como fizemos anteriormente, utilizamos
as expressões que recebem o nome de produtos notáveis.
Os produtos notáveis tem uma grande importância no cálculo algébrico, e são utilizados
principalmente como ferramentas de fatoração de equações algébricas, de polinômios e etc,
com o objetivo de tornar mais direta a resolução de problemas dessa natureza. Vamos tratar
desse assunto com mais profundidade na sequência. A seguir, ilustramos algumas igualdades
em produtos notáveis, que podem ser verificadas utilizando a propriedade distributiva da
multiplicação.
1. Produto da soma pela diferença de dois números: quadrado do primeiro menos
o quadrado do segundo, ou seja,
(a+ b).(a–b) = a2 − b2.
2. Quadrado da soma de dois números: quadrado do primeiro, mais duas vezes o
39
primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo, ou ainda
(a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2.
3. Quadrado da diferença de dois números: quadrado do primeiro, menos duas vezes
o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo, ou seja,
(a–b)2 = a2 − 2ab+ b2.
4. Cubo da soma de dois números: cubo do primeiro, mais 3 vezes o quadrado do
primeiro pelo segundo, mais três vezes o primeiro pelo quadrado do segundo, mais o
cubo do segundo, ou ainda,
(a+ b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3.
5. Cubo da diferença de dois números: cubo do primeiro, mais 3 vezes o quadrado
do primeiro pelo segundo, mais três vezes o primeiro pelo quadrado do segundo, menos
o cubo do segundo, ou ainda,
(a− b)3 = a3 − 3a2b+ 3ab2 − b3.
Exemplo 3.3.0.1. Considerando a = x e b = 3 temos:
(x+ 3)2 = x2 + 6x+ 9,
(x− 3)2 = x2 − 6x+ 9,
(x+ 3)(x− 3) = x2 − 9,
(x+ 3)3 = x3 + 9x2 + 27x+ 27,
(x− 3)3 = x3 − 9x2 + 27x− 27.
3.4 Fatoração
Fatoração é o termo usado na álgebra para designar a decomposição que se faz de cada um
dos elementos que integram um produto, ou seja, o resultado de uma multiplicação. Assim
40
como parcela é cada uma das partes que integram uma adição, o fator é como se chama cada
elemento que integra um produto.
Com a fatoração busca-se a simplificação das fórmulas matemáticas em que ocorre a
multiplicação, especialmente das chamadas equações. Há centenas de aplicações e problemas
relacionados: a fatoração de números (ou decomposição de números em seus fatores primos)
é amplamente aplicada em áreas como criptografia e segurança na internet; já a fatoração
de polinômios tem grande aplicabilidade na determinação de ráızes de equações de graus
maiores que dois, estudo de limite de funções ( assunto abordado no curso Cálculo I), etc.
Nesses casos, o objetivo é transformar um polinômio em um produto de polinômios de graus
menores, ou mais simples, de modo a facilitar a resolução do problema estudado.
De forma mais genérica, a fatoração é o ato de se representar um elemento de um monoide
sobre o qual está definida uma operação multiplicativa como um produto de elementos do
grupo.
Exemplo 3.4.0.1 (Fatoração de números). O número 630 pode ser decomposto (ou escrito)
como: 630 = 2 × 32 × 5 × 7. O processo para a determinação desses fatores primos está
ilustrada na Figura 3.1.
Figura 3.1: Decomposição de um número em seus fatores primos.
Para a fatoração de expressões algébricas, destacamos os seguintes casos:
41
1. Fatoração por fator comum: ax+ bx = x(a+ b).
2. Fatoração por agrupamento: ax+bx+ay+by= x(a+b)+y(a+b) = (a+b)(x+y).
3. Fatoração da diferença de dois quadrados: a2 − b2 = (a+ b)(a− b).
4. Fatoração de trinômio quadrado perfeito:
(a) Soma: a2 + 2ab+ b2 = (a+ b)2.
(b) Diferença: a2 − 2ab+ b2 = (a− b)2.
Observe que os casos 3 e 4 descritos acima, estão diretamente relacionados com as
fórmulas de produtos notáveis fornecidas na seção anterior.
Exemplo 3.4.0.2. Fator comum: 15x+ 5y = 5(3x+ y).
Agrupamento: 4x+ 6x+ 4y + 6y = (4 + 6)(x+ y).
3.5 Equações algébricas de 1o e 2o grau
Equação é qualquer igualdade que só é satisfeita para alguns valores. Por exemplo, a
expressão algébrica 2x–5 = 3 é satisfeita apenas quando o valor desconhecido x é igual a 4.
De fato, 2 · 4− 5 = 8− 5 = 3.
Note que sem conhecer o valor da incógnita x, não podemos afirmar se essa igualdade
é verdadeira ou falsa. O conjunto de valores que satisfaz um determinada equação forma o
que chamamos de conjunto solução da equação. Esse conjunto pode ser vazio (no caso da
equação não ter solução), pode ser unitário (no caso de existir apenas uma solução, como
no exemplo anterior), ou pode ter n elementos, em que n vai depender da caracteŕıstica da
equação que estaremos resolvendo.
42
3.5.1 Equações do 1o grau
Uma equação do 1o grau na incógnita x é toda equação que pode ser escrita na forma ax+
b = 0, sendo a e b números reais, com a diferente de zero. Para determinar o conjunto solução
de uma equação desse tipo, devemos manipular a equação original, usando as propriedades
das operações fundamentais de números reais de modo a isolar a incógnita em um dos lados
da igualdade.
Exemplo 3.5.1.1. Para determinar o valor dex tal que 2x–8 = 10, fazemos:
2x–8 = 10 ⇒ 2x− 8 +8 = 10 +8 ⇒ 2x = 18,
1
2
· 2x = 1
2
· 18 ⇒ x = 9.
Exemplo 3.5.1.2. Para determinar o valor de x tal que 3–7 · (1− 2x) = 5–(x+ 9) fazemos:
3–7 · (1− 2x) = 5–(x+ 9)
3− 7 + 14x = 5− x− 9 (distributividade)
−4 + 14x = −x− 4 (soma de semelhantes)
−4 + 14x + 4 + x = −x− 4 + 4 + x (soma de oposto aditivo)
15x = 0 (soma de semelhantes)
x = 0.
3.5.2 Equações do 2o grau
Uma equação do 2o grau, ou equação quadrática na incógnita x, é toda equação que pode
ser escrita na forma ax2 + bx+ c = 0, em que a, b e c são números reais e a 6= 0. Neste tipo
de equação, dizemos que a é o coeficiente do termo x2; b é o coeficiente do termo x e c é o
termo independente.
43
Uma equação do 2o grau é dita completa se b e c são diferentes de zero. Caso contrário,
dizemos que a equação é incompleta.
Para determinar o conjunto solução de uma equação do 2o fazemos uso da fatoração,
como pode ser observado a seguir.
ax2 + bx+ c = 0⇔ ax2 + bx = −c
1
a
· (ax2 + bx) = 1
a
· (−c) ⇔ x2 + b
a
x =
−c
a
x2 +
b
a
x +
b
4a2︸ ︷︷ ︸ = −ca + b4a2︸ ︷︷ ︸(
x+
b
2a
)2
=
−4ac+ b2
4a2∣∣∣∣x+ b2a
∣∣∣∣ =
√
−4ac+ b2
4a2
⇔ x = −b
2a
+
√
b2 − 4ac
2|a|
,
e, observando que |a| = ±a e
∣∣∣∣x+ b2a
∣∣∣∣ = ±(x+ b2a
)
, conclúımos que:
x =
−b±
√
b2 − 4ac
2a
,
que nos fornece duas soluções para a equação em questão:
x1 =
−b+
√
b2 − 4ac
2a
, e x2 =
−b−
√
b2 − 4ac
2a
.
Os valores x1 e x2 também são chamados de ráızes da equação do 2
o grau.
Vamos denotar o valor calculado dentro do radical acima por ∆ = b2 − 4ac, ou ainda
discriminante (ou delta). Por meio do valor discriminante podemos chegar a seguintes con-
clusões referentes a quantidade de soluções da equação de 2o grau:
• Se ∆ < 0, a equação não tem soluções reais, sendo portanto o conjunto solução vazio:
S = {∅}.
• Se ∆ = 0, a equação tem duas soluções reais iguais, sendo portanto o conjunto solução
nesse caso, unitário: S = {x1} (ou S = {x2}).
44
• Se ∆ > 0, a equação tem duas soluções reais distintas, sendo portanto o conjunto
solução nesse caso com dois elementos: S = {x1, x2}.
Considerando a equação de 2o grau ax2 + bx+ c = 0, com a 6= 0, temos que:
1. A soma das ráızes da equação satisfaz:
x1 + x2 =
−b
2a
.
2. O produto das ráızes da equação satisfaz:
x1 · x2 =
c
a
.
3.6 Inequações
As inequações são expressões (ou relações) matemáticas que utilizam na sua formatação, os
seguintes sinais de desigualdades:
• >: maior que
• <: menor que
• ≥: maior ou igual
• ≤: menor ou igual
• 6=: diferente
3.6.1 Inequações do 1o grau
As inequações do 1o grau com uma variável podem ser escritas numa das seguintes formas:
ax+ b > 0, ax+ b < 0, ax+ b ≤ 0, ax+ b ≥ 0,
45
com a, b ∈ R e a 6= 0.
Para resolver uma inequação do 1o grau, procedemos como no caso de equação do primeiro
grau, com a diferença de que o conjunto solução ao invés de apresentar uma quantidade finita
de valores, caso eles existam, vai ser representado por um intervalo de valores que satisfaça
a inequação.
Exemplo 3.6.1.1. Para resolver a inequação a seguir, fazemos:
2x− 7 ≥ 0 ⇔ 2x− 7 + 7 ≥ 0 + 7 ⇔ 2x ≥ 7 ⇔ 1
2
· 2x ≥ 1
2
· 7,
o que resulta em x ≥ 7
2
. Ou seja, expressamos o conjunto solução nesse caso como
S =
{
x ∈ R/x ≥ 7
2
}
(ou ainda x ∈
[
7
2
,∞
]
).
Exemplo 3.6.1.2. Para resolver a inequação a seguir, fazemos:
2x− 1
2
≤ 0 ⇔ 2x− 1
2
+
1
2
≤ 0 + 1
2
⇔ 2x ≤ 1
2
⇔ 1
2
· 2x ≤ 1
2
· 1
2
,
o que resulta em x ≥ 1
4
. Ou seja, expressamos o conjunto solução nesse caso como
S =
{
x ∈ R/x ≤ 1
4
}
(ou ainda x ∈
[
−∞, 1
4
,
]
).
3.6.2 Inequação do 2o grau
As inequações do 2o grau com uma variável podem ser escritas numa das seguintes formas:
ax2 + bx+ c > 0, ax2 + bx+ c < 0, ax2 + bx+ c ≥ 0, ax2 + bx+ c ≤ 0,
com a, b e c ∈ R e a 6= 0.
Para resolver uma inequação desse tipo, devemos seguir os seguintes passos:
1. Igualar a equação do 2o grau a zero e determinar as soluções (ou ráızes) dessa equação.
46
2. Localizar as ráızes reais (caso elas existam) da equação no eixo x.
3. Estudar o sinal da equação do 2o grau em cada um dos intervalos determinados no
eixo x. Dividimos a análise desse passo em dois casos, ilustrados nas Figuras 3.2 e 3.3.
Figura 3.2: Caso a > 0. Figura 3.3: Caso a < 0.
Exemplo 3.6.2.1. Para resolver a inequação 3x2 + 10x + 7 < 0, observamos que como
∆ = 102− 4 · 3 · 7 = 100− 84 = 16 > 0, temos duas ráızes reais distintas, x1 e x2 dadas por:
x1 =
−10 +
√
16
2 · 3
=
−6
6
= −1 e x2 =
−10−
√
16
2 · 3
=
−14
6
=
−7
3
.
Marcando essas duas ráızes no eixo x, para estudarmos o sinal da equação em cada um
dos três intervalos resultantes, observamos que:
• −3 < −7
3
e 3(−3)2+10(−3)+7 > 0. Logo o sinal no intervalo
(
−∞, −7
3
)
é positivo.
• −7
3
< −1.5 < −1 e 3(−1.5)2+10(−1.5)+7 < 0. Logo o sinal no intervalo
(
−7
3
,−1
)
é
negativo.
47
• −1 < 0 e 3(0)2 + 10(0) + 7 > 0. Logo o sinal no intervalo (−1,∞) é positivo.
• Nos pontos x = −7
3
e −1 temos 3
(
−7
3
)2
+ 10
(
−7
3
)
+ 7 = 3(−1)2 + 10(−1) + 7 = 0,
respectivamente.
Observando a Figura 3.4, conclúımos então que, como o objetivo era determinar o inter-
valo de valores de x tal que 3x2 + 10x + 7 < 0, o conjunto solução dessa inequação é dado
por:
S =
{
x ∈ R / −7
3
< x < −1
}
.
Figura 3.4: Estudo do sinal da inequação 3x2 + 10x+ 7 < 0.
Exemplo 3.6.2.2. Para resolver a inequação x2 − 6x + 9 > 0, observamos que como ∆ =
(−6)2 − 4 · 1 · 9 = 36− 36 = 0, temos duas ráızes reais iguais, x1 e x2 dadas por:
x1 = x2 =
6 +
√
0
2 · 1
=
6
2
= 3.
Marcando essa raiz no eixo x, para estudarmos o sinal da equação nos dois intervalos
resultantes, observamos que:
• 0 < 3 e 02 − 6 · 0 + 9 > 0. Logo o sinal no intervalo (−∞, 3) é positivo.
• 3 < 4 e 42 − 6 · 4 + 9 > 0. Logo o sinal no intervalo (3,∞) é positivo.
• No ponto x = 3 temos 32 − 6 · 3 + 9 = 0.
48
Observando a Figura 3.5, conclúımos então que, como o objetivo era determinar o intervalo
de valores de x tal que x2 − 6x+ 9 > 0, o conjunto solução dessa inequação é dado por:
S = {x ∈ R / x < 3 e x > 3} .
Figura 3.5: Estudo do sinal da inequação x2 − 6x+ 9 > 0.
3.7 Polinômios em R
Sejam an, an−1,an−2, · · · , a2, a1, a0 números reais, e considere igualdade P (x) = anxn +
an−1x
n−1 + · · ·+ a2x2 + a1x1 + a0x0.
A função P = P (x) é denominada função polinomial ou polinômio na variável x.
Os números reais an, an−1, an−2, · · · , a2, a1, a0 são chamados de coeficientes do polinômio.
Observe que um polinômio representa a soma algébrica de monômios na variável x. São
exemplos de polinômios:
F (x) = 3x2 + 2x–5, onde a2 = 3, a1 = 2, a0 = −5;
G(x) = −8x3 − 1, onde a3 = −8, a2 = 0, a1 = 0, a0 = −1.
Observação: Não representam polinômios, por exemplo, as funções F (x) = x + x1/2 + 2,
devido ao expoente fracionário; G(x) = −3 + 4x+ x−2, devido ao expoente negativo.
49
Definimos o grau de um polinômio P (x) como o máximo grau observado entre os graus de
seus monômios. Além disso o coeficiente do monômio de grau máximo é chamado coeficiente
dominante do polinômio. Seja α ∈ R. Quando P (α) = 0, dizemos que α é raiz do polinômio
P (x).
As operações de adição, subtração e multiplicação de polinômios seguem os procedimentos
de álgebra simples bem como as propriedades dessas operações, levando em conta de que
termos semelhantes podem e devem ser operados de maneira conjunta.
Já a divisão de dois polinômios quaisquer é feita através do método da chave, ilustrado
no exemplo da Figura 3.6.
Figura 3.6: Divisão de x3 − 6x2 − x+ 12 por x− 2.
Dados dois polinômios, P (x) (dividendo) e Q(x) (divisor) tal que Q(x) 6= 0, dividir P (x)
por Q(x) é determinar outros dois polinômio, o quociente q(x) e o resto r(x), tais que:
1. P (x) = Q(x).q(x) + r(x);
2. Grau de r(x) menor que grau de Q(x), ou equivalentemente, r(x) = 0.
Observação: No caso dos coeficientes an, an−1, an−2, · · · , a2, a1, a0 serem complexos, teremos
polinômios complexos, ou em C. As ráızes desses polinômios irão estar localizadas, de
maneira mais genérica, em C
50
3.8 Exerćıcios
1. Calcule:
(a) (3 + x)2
(b) (x+ 5)2
(c) (x+ y)2
(d) (−3x+ 5)2
(e) (a+ ab)2
(f) (2x+ xy)2
(g) (a2 + 1)2
(h) (y3 + 3)3
2. Calcule:
(a) (5–x)2
(b) (y–3)2
(c) (x–y)2
(d) (3x–2y)2
(e) (2x–b)2
(f) (5x2 − 1)2
3. Calcule:
(a) (x+ y) · (x− y)
(b) (y–7) · (y + 7)
(c) (x+ 3) · (x–3)
(d) (2x+ 5) · (2x–5)
(e) (3x–2) · (3x+ 2)
(f) (5x+ 4) · (5x–4)
(g) (3x+ y) · (3x–y)
(h) (1–5x) · (1 + 5x)
4. Calcule:
(a) (x+ y)3
(b) (x–y)3
(c) (m+ 3)3
(d) (a–1)3
(e) (5–x)3
(f) (−a− b)3
(g) (x+ 2y)3
(h) (2x–y)3
51
5. Calcule
(a) (2x+ y) · (4x2–2xy + y2)
(b) (2x− y) · (4x2 + 2xy + y2)
(c) (3x2 − 5y3) · (9x4 + 15x2y3 + 25y6)
6. Simplifique as expressões.
(a) (x+ 5)2–(x–5)2
(b) (x+ y)2–x2–y2
(c) (2x− y)2 − 4x · (x− y)
(d) (x+ 2) · (x− 7) + (x− 5)(x+ 3)
7. Sabendo que A =
3x + 3−x
2
e B =
3x − 3−x
2
, calcule A+B.
8. Simplifique.
(a)
√
72 +
√
18− 2
√
50
(b)
3
√
16 + 3
√
54
3
√
125
9. Calcule.
(a)
(
1−
√
2
)2
(b)
(√
10− 1
) (√
10 + 1
)
10. Existem três números inteiros consecutivos com soma igual a 393. Que números são
esses?
11. Resolva as equações a seguir.
(a) 18x− 43 = 65 (b) 23x− 16 = 14− 17x
52
(c) 10y − 5(1 + y) = 3(2y − 2)− 20
(d) x(x+ 4) + x(x+ 2) = 2x2 + 12
(e)
x− 5
10
+
1− 2x
5
=
3− x
4
(f) 4x · (x+ 6)− x2 = 5x2
12. Determine um número real a tal que
3a+ 6
8
=
2a+ 10
6
.
13. Resolva as seguintes equações na incógnita x.
(a)
5
x
− 2 = 1
4
, com x 6= 0.
(b) 3bx+ 6bc = 7bx+ 3bc
14. A soma de um número inteiro positivo com o quadrado de seu sucessor é igual a 41.
Qual é o produto deste número pelo seu antecessor?
15. Uma pessoa, em seu antigo emprego, trabalhava uma quantidade de x horas por se-
mana e ganhava R$ 60,00 pela semana trabalhada. Em seu novo emprego, essa pessoa
continua ganhando os mesmos R$ 60,00 por semana trabalhada, porém trabalha 4 ho-
ras a mais por semana e recebe R$ 4,00 a menos por hora trabalhada. Determine o
valor de x.
16. Na divisão dos lucros com seus 20 acionistas, uma empresa distribuiu R$600,00 entre
os preferenciais e R$600,00 entre os ordinários. Sabe-se que cada acionista preferen-
cial recebeu R$80,00 a menos do que cada acionista ordinário. Determine quantos
acionistas preferenciais esta empresa possui.
17. A equação do segundo grau 2x2 + 4x+m− 1 = 0, m ∈ R. Determine os valores de m
tais que a equação admite ráızes reais.
18. Considere a equação do segundo grau x2 + mx + m − 1 = 0 , onde m é um número
real. Se para um determinado valor de m essa equação admite ráızes reais iguais, então
determine essas ráızes.
53
19. Resolva as seguintes inequações a seguir.
(a) 2x+ 1 ≤ x+ 6
(b) 6x+ 3 < 3x+ 18
(c) 8(x+ 3) > 12(1− x)
(d) (3x–1)(x+ 1) ≥ 0
(e) (x+ 4)(x− 4) < 0
20. Sabendo que x = 1 é raiz de p(x) = x3–mx2 + 2, determine o valor de m.
21. Determine o valor numérico do polinômio q(x) = x3 − x2 + 1 para x = 2 e x = −1/2.
22. Os polinômios p(x) = −2x+ a e q(x) = x+ b são tais que p(x) · q(x) = −2x2− 3x− 1.
Determine o valor de a e b.
23. Divida o polinômio f(x) = 6x4–x3 + 3x2 − x + 1 por g(x) = 2x2 + x–3 utilizando o
método da chave.
24. Mostre que a divisão de f(x) = x3 − 1 por g(x) = x–1 é exata, ou seja, r(x) = 0.
25. Descubra para quais valores de p e de q o polinômio f(x) = 4x3 + px + q é diviśıvel
por g(x) = 2x2 − x+ 1.
26. Dividindo um polinômio f(x) por x2 + x + 1, obtemos quociente q(x) = x2 − x e o
resto r(x) = −x+ 13. Determine f(x).
27. Dados f(x) = 2x3 + ax+ 3b, a e b constantes reais, e g(x) = x2 − 3x+ 9, determine:
(a) O quociente de f(x) por g(x).
(b) Os valores de a e b para que a divisão desses polinômios seja exata.
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