numeros complexos

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ÁLGEBRA
Thiago Nascimento Rodrigues
Corpo dos números 
complexos
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir corpo dos números complexos.
 � Identificar as propriedades algébricas dos números complexos.
 � Calcular as raízes da unidade.
Introdução
O conjunto dos números complexos tem sido largamente utilizado em 
diversas áreas não somente da matemática teórica, mas também das 
ciências aplicadas. Os resultados que podem ser observados com a 
manipulação de elementos desse conjunto dão suporte à modelagem 
de diversos problemas, os quais, de outra maneira, não poderiam ser 
solucionados de forma precisa.
Neste capítulo, você vai estudar o conjunto dos números complexos 
e as principais propriedades que podem ser identificadas nele. Você vai 
verificar diversas operações algébricas com esses números, de forma a 
compreender como é possível solucionar problemas nesse escopo. Além 
disso, você vai estudar o cálculo de raízes n-ésimas de números comple-
xos e vai verificar os principais resultados associados a essa operação. 
1 Números complexos
Resolver equações algébricas tem sido um dos tópicos favoritos dos matemáti-
cos historicamente. Embora as equações lineares sempre possam ser resolvidas 
em números reais, nem todas as equações quadráticas têm essa propriedade. 
A mais simples dessas equações é x2 + 1 = 0.
Até o século XVIII, os matemáticos evitaram equações quadráticas que não 
eram resolvíveis em relação a ℝ. Leonhard Euler rompeu com essa tendência 
ao introduzir o “número” em seu famoso livro Elements of Algebra (“ele-
mentos de álgebra”, em português) com as seguintes palavras, em tradução 
livre: “... nem nada, nem maior que nada, nem menos que nada”. Nessa mesma 
obra, ele ainda comenta que “esses números existem em nossa imaginação e 
temos uma ideia suficiente deles; nada nos impede de fazer uso desses números 
imaginários e empregá-los no cálculo”. Euler denotou o número por i e 
o chamou de unidade imaginária. Este se tornou um dos símbolos mais úteis 
da matemática. Usando esse símbolo, definem-se os números complexos 
como aqueles que possuem a forma z = a + bi, onde a e b são números reais.
O estudo dos números complexos continua e foi aprimorado nos últimos 
dois séculos e meio; na verdade, é impossível imaginar a matemática moderna 
sem números complexos. Todos os domínios da matemática fazem uso deles 
de alguma forma. Isso também se aplica a outras disciplinas, como mecânica, 
física teórica, hidrodinâmica e química (ANDREESCU; ANDRICA, 2006).
Considere o conjunto ℝ2 = ℝ × ℝ = {(x, y) | x, y ∈ ℝ}. Dois elementos 
(x1, y1) e (x2, y2) de ℝ2 são iguais se, e somente se, x1 = x2 e y1 = y2. As operações 
de adição e multiplicação são definidas no conjunto ℝ2 como segue:
z1 + z2 = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) ∈ ℝ2
e
z1 ∙ z2 = (x1, y1) ∙ (x2, y2) = (x1x2 − y1 y2, x1y2 + x2 y1) ∈ ℝ2
para todo z1 = (x1, y1) ∈ ℝ2 e z2 = (x2, y2) ∈ ℝ2.
O elemento z1 + z2 ∈ ℝ2 é chamado de soma de z1, z2, e o elemento z1 ∙ z2 ∈ 
ℝ2 é chamado de produto de z1, z2.
1. Se z1 = (x1, 0) ∈ ℝ2 e z2 = (x2, 0) ∈ ℝ2, então z1 ∙ z2 = (x1x2, 0).
2. Se z1 = (0, y1) ∈ ℝ2 e z2 = (0, y2) ∈ ℝ2, então z1 ∙ z2 = (−y1y2, 0).
Corpo dos números complexos2
1. Sejam z1 = (−5, 6) e z2 = (1, −2). Então,
z1 + z2 = (−5, 6) + (1, −2) = (−4, 4)
z1 ∙ z2 = (−5, 6) + (1, −2) = (−5 + 12, 10 + 6) = (7, 16)
2. Sejam:
3. Então,
Definição: O conjunto ℝ, com suas operações de adição e multiplicação, é 
chamado de conjunto dos números complexos e é denotado por ℂ. Todo 
elemento z = (x, y) ∈ ℂ é chamado de número complexo. A notação ℂ* é usada 
para indicar o conjunto ℂ \ {(0,0)}.
Uma vez definido o conjunto dos números complexos, o Teorema 1 a seguir 
apresenta o primeiro resultado associado a esse conjunto.
Teorema 1: ℂ é um corpo.
Demonstração (Teorema 1): A associatividade e a comutatividade da adição 
podem ser observadas diretamente pela definição da operação (HEFEZ, 2002). 
O elemento zero é (0, 0), pois, para todo z = (a, b) ∈ ℂ, tem-se:
(a, b) + (0, 0) = (a, b)
O simétrico de (a, b) é (−a, −b), pois:
(a, b) + (−a, −b) = (0, 0)
3Corpo dos números complexos
A associatividade, a comutatividade da multiplicação e a distributividade 
da multiplicação com relação à adição são de direta verificação. A unidade 
da multiplicação é (1, 0), pois, para todo (a, b) ∈ ℂ, tem-se:
(a, b) + (1, 0) = (a, b)
O inverso de z = (a, b) ≠ (0, 0), denotado por z–1, é:
pois:
Os grupos, os anéis e os corpos se dividem em propriedades e permitem operações 
matemáticas específicas que compõem parte da álgebra abstrata, conforme apresenta 
a Figura 1.
Figura 1. Algumas das principais estruturas da álgebra.
Fonte: Souza (2012).
Corpo dos números complexos4
Com base nessa definição, um número complexo pode ser visualizado como 
um ponto no plano conhecido como plano complexo. O plano complexo é 
formado tomando-se duas cópias da reta real e colocando uma na horizontal 
e a outra na vertical. A cópia horizontal é chamada de eixo 𝑥 ou eixo real e 
a cópia vertical é chamada de eixo 𝑦 ou eixo imaginário. Os dois eixos se 
cruzam no ponto (0, 0) chamado de origem (WARNER, 2018). A Figura 2 
traz uma representação de quatro números complexos no plano.
Figura 2. Representação geométrica dos números complexos z1, z2, z3 e z4.
Fonte: Rezende (2017).
Para manipulações algébricas, porém, não é conveniente representar um 
número complexo como um par ordenado. Em função disso, considere o 
conjunto ℝ × {0}, junto com as operações de adição e multiplicação definidas 
em ℝ2. A função:
f: ℝ → ℝ × {0}, f (x) = (x, 0)
é bijetora e, além disso, (x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0) e (x, 0) ∙ (y, 0) = (xy, 0).
5Corpo dos números complexos
É importante observar que as operações algébricas em ℝ × {0} são similares 
às operações em ℝ. Logo, é possível identificar o par ordenado (x, 0) com o 
número x para todo x ∈ ℝ. Como consequência, pela bijetividade da função 
f, é possível usar a notação (x, 0) = x. Então, definindo-se i = (0, 1), obtém-se:
z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (y, 0) ∙ (0, 1) = x + yi = 
(x, 0) + (0, 1) ∙ (y, 0) = x + iy
A seguir, são apresentadas algumas definições importantes (ESPÍRITO SANTO, 2019).
Função injetiva: uma função f: A → B é dita injetiva (ou injetora) se, dados quaisquer 
x1 e x2 em A, tais que f(x1) = f(x2), então x1 = x2.
Função sobrejetiva: uma função f: A → B é dita sobrejetiva (ou sobrejetora) quando 
para cada y ∈ B existe pelo menos um x ∈ A tal que f(x) = y.
Função bijetiva: uma função f: A → B é dita bijetiva (ou bijetora) quando é injetiva e 
sobrejetiva simultaneamente.
Com essa identidade, a proposição a seguir dá suporte à construção do 
corpo ℂ, que contém o corpo ℝ e no qual a equação z2 + 1 = 0 admite duas 
raízes: os números i e −i. 
Proposição 1: Qualquer número complexo z = x + yi pode ser unicamente 
representado na forma z = x + yi, onde x, y são números reais. A forma acima 
é chamada de forma normal do número complexo (x, y). A relação i2 = −1 é 
válida, já que i2 = (0, 1) ∙ (0, 1) = (−1, 0) = −1.
A expressão x + yi também é chamada de representação algébrica do 
número complexo z = (x, y), e o corpo dos números complexos pode ser 
descrito como C = {x + yi | x ∈ ℝ, y ∈ ℝ, i2 = −1}. O número real x = Re(z) 
é chamado de parte real do número complexo z, enquanto y = Im(z) é chamado 
de parte imaginária de z.
Números complexos da forma iy, y ∈ ℝ — ou seja, números complexos 
cuja parte real é 0 — são chamados imaginários. Por outro lado, núme-
ros complexos da forma iy, y ∈ ℝ* são chamados puramente imaginários, 
e o número complexo i é chamado de unidade imaginária.
Corpo dos números complexos6
Cabe notar que, na forma normal, x1 + y1i = x2 + y2i se, e somente se, x1 = x2 
e y1 = y2. Além disso, opera-se usando as propriedades de corpo e a informação 
adicional i2 = −1 como nas identidades a seguir:
(a1 + b1i) + (a2 + b2i) = (a1 + a2) + (b1 + b2)i
(a1 + b1i) - (a2 + b2i) = (a1 − a2)+ (b1 − b2)i
(a1 + b1i) ∙ (a2 + b2i) = a1a2 + b1a2i + a1b2i + b1b2i
2
= (a1a2 − b1b2) + (b1a2 + a1b2)i
2 Propriedades dos números complexos
Várias propriedades de adição e multiplicação de números complexos são as 
mesmas que para números reais. Algumas dessas propriedades foram previa-
mente apresentadas na demonstração do Teorema 1, enquanto outras podem ser 
diretamente observáveis a partir da própria definição das operações de adição 
e multiplicação de números complexos. Usando a representação algébrica, 
a seguir serão apresentadas mais dessas propriedades.
Começando com a observação da existência de inversos multiplicativos, 
pode-se, portanto, afirmar que, se o produto z1z2 é zero, então pelo menos um 
dos fatores z1 e z2 também é. De fato, suponha que z1z2 seja zero e z1 ≠ 0. Como 
o inverso multiplicativo existe, e como qualquer número complexo multiplicado 
por zero é zero, tem-se z2 = z2 ∙ 1 = z2(z1z1
–1) = z1
–1(z1z2) = z1
–1 · 0 = 0.
As demais operações usuais com números complexos podem ser executadas 
como segue (BROWN; CHURCHILL, 2014).
Adição
z1 + z2 = (x1 + y1i) + (x2 + y2i) = (x1 + x2) + (y1+ y2)i ∈ ℂ
7Corpo dos números complexos
Pode-se observar que a soma de dois números complexos é um número 
complexo cuja parte real (imaginária) corresponde à soma das partes reais 
(imaginárias) dos números envolvidos na operação:
Re(z1 + z2) = Re(z1) + Re(z2)
Im(z1 + z2) = Im(z1) + Im(z2)
Multiplicação
z1 ∙ z2 = (x1 + y1i) ∙ (x2 + y2i) = (x1x2 − y1y2) + (x1y2 + x2y1)i ∈ ℂ
Em outras palavras, 
Re(z1z2) = Re(z1) ∙ Re(z2) − Im(z1) ∙ Im(z2)
e
Im(z1z2) = Im(z1) ∙ Re(z2) + Im(z2) ∙ Re(z1)
Para um número real λ e um número complexo z = x + yi,
λ ∙ z = λ(x + yi) = λx + λyi ∈ ℂ
é o produto de um número real com um número complexo. As seguintes 
propriedades podem ser diretamente observadas:
1. λ(z1 + z2) = λz1 + λz2;
2. λ1(λ2z) = (λ1λ2)z;
3. (λ1 + λ2)z = λ1z + λ2z para todo z, z1, z2 ∈ ℂ e λ, λ1, λ2 ∈ ℝ.
Cabe notar que as relações 1 e 3 são casos especiais da propriedade distri-
butiva, e a relação 2 deriva da propriedade associativa da multiplicação dos 
números complexos.
Corpo dos números complexos8
Subtração e divisão
Ambas as operações são definidas em termos dos inversos aditivos e multi-
plicativos, respectivamente:
z1 – z2 = z1 + (−z2) = (x1 − x2) + (y1 − y2)i ∈ ℂ
De forma simplificada, a divisão de números complexos também pode 
ser expressa como:
O exemplo a seguir ilustra a propriedade da divisão.
As fórmulas para as potências de números complexos com expoentes 
inteiros são preservadas na forma algébrica. Se z = i, tem-se:
i0 = 1; i1 = i; i2 = −1; i3 = i2 ∙ i = −i;
i4 = i3 ∙ i = 1; i5 = i4 ∙ i = i; i6 = i5 ∙ i = −1; i7 = i6 ∙ i = −i
Pode-se perceber que, a partir do expoente 4, as potências começam a se 
repetir de 4 em 4, ou seja,
i4n = 1; i4n+1 = i; i4n+2 = −1; i4n+3 = −i
9Corpo dos números complexos
Na prática, se n for inteiro positivo, para calcular uma potência in, basta 
dividir n por 4, isto é, escrever n = 4q + r, com 0 ≤ r ≤ 4, e considerar o resto 
da divisão como expoente: 
in = i4q + r = (i4)q ∙ ir = 1q ∙ ir = ir
Logo, in ∈ {−1, 1, −i, i} para todos os inteiros n ≥ 0. Se n for um inteiro 
negativo, tem-se:
Os próximos dois exemplos ilustram o uso da potenciação de números 
complexos.
i105 + i23 + i20 – i34 = i4∙26+1 + i4∙5+3 + i4∙5 – i4∙8+2 = i – i + 1 + 1 = 2
Encontre a solução para a equação z3 = 18 + 26i, onde z = x + yi e x, y são inteiros.
Solução: A equação pode ser escrita como:
(x + yi)
3 = (x + yi)
2 ∙ (x + yi) = (x
2 – y2 + 2xyi)(x + yi) = (x
3 – 3xy2) + (3x2y - y3)i = 18 + 26i
Usando a definição de igualdade de números complexos, tem-se:
Definindo y = tx na igualdade 18(3x2y – y3) = 26(x3 – 3xy2), observa-se que, se x ≠ 0 e 
y ≠ 0, tem-se 18(3t – t3) = 26(1 – 3t2). Essa última relação é equivalente a 
(3t – 1)(3t2 – 12t – 13) = 0
A única solução racional da equação é:
Logo, x = 3, y = 1 e z = 3 + i.
Corpo dos números complexos10
Conjugado de um número complexo
Outra propriedade relevante dos números complexos é conhecida como 
o complexo conjugado. Para um número complexo z = x + yi, o número 
z̅ = x – yi é chamado de complexo conjugado. Com base nessa definição, tem-
-se a proposição a seguir.
Proposição 2: 
1. A relação z = z̅ é válida se, e somente se, z ∈ ℝ.
2. Para qualquer número complexo z, a relação z = z̿ é válida.
3. Para qualquer número complexo z, o número z ∙ z̅ ∈ ℝ é um número 
real não negativo.
4. — o conjugado da soma é a soma dos conjugados.
5. — o conjugado do produto é o produto dos conjugados.
6. Para qualquer número complexo z diferente de 0, a relação = z̅ –1 
é válida.
7. , z ≠ 0 — o conjugado de um quociente é o quociente dos 
conjugados.
8. As fórmulas:
 são válidas para todo z ∈ ℂ.
Demonstração (Proposição 2):
1. Se z = x + yi, então a relação z = z̅ é equivalente a x + yi = x – yi. Logo, 
tem-se 2yi = 0, o que implica y = 0 e, finalmente, z = x ∈ ℝ.
2. Se z̅ = x – yi, então z̿ = x – (–y)i = x + yi = z.
3. Basta observar que:
z ∙ z̅ = (x + yi)(x – yi) = x2 + y2 ≥ 0
11Corpo dos números complexos
4. Basta observar que:
5. Pode-se escrever:
6. Como:
 tem-se:
 e, consequentemente:
 produzindo = (z̅ )–1.
7. Basta observar que 
8. Das relações 
z + z̅ = (x + yi) + (x – yi) = 2x
z – z̅ = (x + yi) – (x – yi) = 2yi
Corpo dos números complexos12
 segue que
Para obter o inverso multiplicativo de um número complexo z ∈ ℂ, é possível usar a 
seguinte abordagem:
O complexo conjugado possibilita a obtenção do quociente de dois números com-
plexos, como apresentado a seguir:
Veja a seguir um exemplo de como essas propriedades podem ser aplicadas.
Calcule o valor do número complexo z expresso por:
Solução: O número pode ser escrito como segue:
13Corpo dos números complexos
Módulo de um número complexo
O número |z| = é chamado de módulo ou valor absoluto de um 
número complexo z = x + yi. Por exemplo, os números complexos:
z1 = 4 + 3i, z2 = –3i e z3 = 2
têm os seguintes módulos:
Proposição 3: As seguintes propriedades são válidas:
1. –|z| ≤ Re(z) ≤ |z| e –|z| ≤ Im(z) ≤ |z|;
2. |z| ≥ 0 para todo z ∈ ℂ. Além disso, tem-se |z| = 0 se, e somente se, z = 0;
3. |z| = |–z| = |z̅ |;
4. z ∙ z̅ = |z|2;
5. |z1 ∙ z2| = |z1| ∙ |z2| — o módulo de um produto é o produto dos módulos;
6. |z1| – |z2| ≤ |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|;
7. |z–1| = |z|–1, z ≠ 0;
8. , z2 ≠ 0 — o módulo de um quociente é o quociente dos 
módulos;
9. |z1| – |z2| ≤ |z1 – z2| ≤ |z1| + |z2|.
Demonstração (Proposição 3): 
1 a 4. As propriedades são de verificação direta.
5. Como |z| ≥ 0 para todo z ∈ ℂ, então |z1 ∙ z2| = |z1| ∙ |z2|.
Corpo dos números complexos14
6. É preciso observar que:
 Como:
 segue que:
 Logo, |z1 + z2|
2 ≤ (|z1| + |z2|)
2 e, consequentemente, |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|, 
conforme se queria mostrar. Para se obter a desigualdade ao lado es-
querdo, é preciso notar que
|z1| = |z1 + z2 + (–z2)| ≤ |z1 + z2| + |–z2| = |z1 + z2| + |z2|
 logo, |z1| – |z2| ≤ |z1 + z2|.
7. Basta notar que
8. Basta notar que
9. É possível escrever |z1| = |z1 – z2 + z2| ≤ |z1 – z2| + |z2|. Logo, |z1 – z2| ≥ 
|z1| – |z2|. Por outro lado, |z1 – z2| = |z1 + (–z2)| ≤ |z1| + |–z2| = |z1| + |z2|.
15Corpo dos números complexos
3 Raízes da unidade
Seja um número complexo não nulo z = x + iy. Se |z| corresponde ao compri-
mento do segmento de reta que liga a origem a z (norma de z) e θ é o ângulo 
que |z| faz com o eixo x (0 ≤ θ ≤ 2π) conforme apresentado na Figura 3, então 
é possível escrever:
e, portanto,
z = |z| cos θ + i|z|sen θ = |z|(cos θ + isen θ)
A representação acima é chamada de representação polar do número 
complexo z. O número θ é chamado de argumento de z e será denotado por 
arg(z). É importante observar que é possível determinar θ de maneira única, 
exigindo, por exemplo, que 0 ≤ θ ≤ 2π ou que −π ≤ θ ≤ π.
Figura 3. Representação geométrica do módulo |z|.
Fonte: Carreira (2014).
A seguir, é apresentado um exemplo da representação polar de um número 
complexo. Para finsde simplificação da notação, a norma |z| de z também 
será denotada por r.
Corpo dos números complexos16
Seja z1 = 2 – 2i, então:
Logo, uma forma polar desse número complexo é:
Proposição 4: Sejam z1 = r1(cos θ1 + isen θ1) e z2 = r2(cos θ2 + isen θ2). Então,
z1 ∙ z2 = r1 ∙ r2[(cos(θ1 + θ2) + isen(θ1 + θ2)]
Demonstração (Proposição 4): Efetuando-se o produto, tem-se que:
z1 ∙ z2 = r1 ∙ r2[(cosθ1cosθ2 – senθ1senθ2) + i(cosθ1senθ2 + senθ1cosθ2)] 
= r1 ∙ r2[cos(θ1 + θ2) + isen(θ1 + θ2)]
De forma análoga, é direto demonstrar que, para z1 = r1(cosθ1 + isenθ1) 
e z2 = r2(cosθ2 + isenθ2), também é válida a identidade:
Com base na Proposição 4, a multiplicação de dois números complexos 
na forma polar pode ser estendida para um número qualquer de fatores. 
De fato, tomando-se:
zj = rj(cosθj + isenθj), j = 1, 2, …, n
tem-se:
z1z2 … zn = r1r2 … rn[cos(θ1 + θ2 + ... + θn) + isen(θ1 + θ2 + ... + θn)]
17Corpo dos números complexos
Em particular, quando todos os fatores são iguais, obtém-se a chamada 
fórmula de Moivre:
[r(cos θ + isen θ)]n = rn(cos nθ + isen nθ)
Veja a seguir um exemplo de como a fórmula de Moivre pode ser aplicada 
na potenciação de números complexos.
Calcule o valor de z = (1 + i)200. A norma de z é dada por r = |z| = . Além 
disso, o argumento pode ser obtido como segue:
Portanto,
pois, como 50π é múltiplo de 2π, tem-se cos(50π) = 1 e sen(50π) = 0.
O problema de extrair a raiz n-ésima, z1/n, do número complexo z ≠ 0 
corresponde a resolver a equação wn = z. Tomando-se:
w = ρ(cos φ + isen φ)
z = r(cos θ + isen θ)
Corpo dos números complexos18
segue da fórmula de De Moivre que:
ρn(cos nφ + isen nφ) = r(cos θ + isen θ)
Consequentemente, da igualdade de números complexos, segue:
ρn cos nφ = r cos θ e ρn sen nφ = rsen θ
Ou, ainda:
ρn = r e nφ = θ + 2kπ
onde k é um número inteiro. Daí segue que ρ é a raiz n-ésima positiva de r e: 
Outro conceito correlato à obtenção das raízes de um número complexo é o 
de raiz n-ésima da unidade. Em um corpo K, uma raiz n-ésima da unidade, 
para n ∈ ℕ, é uma solução da equação zn = 1. Se K = ℂ, a única raiz 1-ésima 
da unidade é 1. Quando n ≥ 2, tem-se:
e as raízes complexas n-ésimas da unidade correspondem aos pontos dados por:
As raízes n-ésimas da unidade têm por representação no plano os vértices 
de um polígono regular de n lados inscritos no círculo unitário de centro em 
z = 0 e tendo um vértice no ponto z = 1. A título de exemplo, as raízes quadradas 
da unidade são {1, −1}, e as raízes quartas da unidade são {1, i, −1, −i}. Por 
outro lado, as raízes cúbicas da unidade são:
19Corpo dos números complexos
A Figura 4 mostra a representação geométrica das raízes complexas quartas 
e cúbicas da unidade no círculo de raio 1, centrado na origem.
Figura 4. Exemplos de raízes complexas da unidade: (a) Raízes quartas de 1 e (b) Raízes 
cúbicas de 1.
Fonte: Rezende (2017).
(a) (b)
De posse do conceito de raiz n-ésima da unidade, denotando:
tem-se que:
Nesse caso, as n raízes complexas da unidade, denotadas por Un(ℂ), são 
obtidas como potências de ξn, isto é:
Logo, conhecendo uma das raízes n-ésimas, é possível determinar todas 
as outras raízes n-ésimas por meio da proposição que segue.
Corpo dos números complexos20
Proposição 5: Sejam z um número complexo não nulo, w ∈ ℂ uma raiz 
n-ésima de z e:
Então, as raízes n-ésimas de z são w ∙ ξn
r, r = 1, ..., n.
Demonstração (Proposição 5): Seja α ∈ ℂ uma raiz n-ésima de z. Então, 
αn = z = wn e 1 = αn ∙ w–n = (α ∙ w–1)n. Portanto, α ∙ w–1 é uma raiz n-ésima da 
unidade. Assim, existe r = 0, ..., n –1 tal que α ∙ w–1 = ξn
r, isto é, α ∙ w = ξn
r, 
para algum r = 1, ..., n.
A seguir, veja um exemplo de como as raízes n-ésimas da unidade de um 
número complexo podem ser obtidas.
Determine as raízes quartas de z = 16. 
Solução: Temos que:
Então, como w = 2 é uma raiz quarta de 16, as outras raízes são:
21Corpo dos números complexos
ANDREESCU, T.; ANDRICA, D. Complex Numbers from A to ... Z. Boston: Birkhäuser, 2006.
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Corpo dos números complexos22