Matemática - Livro 3-232-234

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MATEMÁTICA Capítulo 11 Posições relativas no espaço232
15 Uma papelaria vende caixas cúbicas desmontadas
para presentes Essas caixas são de papelão estam-
pado e apresentam um friso BCDEF em zigue zague,
que indica quais serão as faces laterais da caixa de-
pois de montada
B D
A C E G
F
Considere as medidas x, y e z dos ângulos DÊG, DÊF
e GÊF, respectivamente, e observe que, enquanto a
caixa está desmontada e esses ângulos são coplana
res, verica-se a relação x = y + z, mas, quando a caixa
for montada, fazendo-se coincidir as arestas AB e FG,
esses ângulos deixarão de ser coplanares, e suas me-
didas passarão a vericar a relação x < y + z.
F
G
E
D
Determine as medidas x, y e z dos ângulos DÊG, DÊF
e GÊF depois de montada a caixa.
16 Enem Representar objetos tridimensionais em uma folha
de papel nem sempre é tarefa fácil. O artista holandês
Escher (1898-1972) explorou essa dificuldade criando
várias figuras planas impossíveis de serem construídas
como objetos tridimensionais, a exemplo da litografia
Belvedere, reproduzida a seguir.
Considere que um marceneiro tenha encontrado al-
gumas guras supostamente desenhadas por Escher
e deseje construir uma delas com ripas rígidas de
madeira que tenham o mesmo tamanho. Qual dos de-
senhos a seguir ele poderia reproduzir em um modelo
tridimensional real?
A
b
C
d
E
17 Um queijo parmesão de formato cilíndrico deverá ser
dividido em oito partes congruentes.
O menor número de cortes planos sucientes para se
efetuar essa divisão é:
A 1
b 2
C 3
d 4
E 5
18 Determine os comprimentos das arestas VA, VB e
VC de um triedro trirretângulo em que AB = 5 cm,
BC = 6 cm e AC = 7 cm.
 
v
o
v
a
s
h
e
v
c
h
u
k
/i
S
to
c
k
p
h
o
to
.c
o
m
Paralelepípedos
Olhe à sua volta. Se você está em um lugar fechado, provavelmente ele é cercado por
quatro paredes laterais planas, um piso plano e um teto também plano. Portanto, você deve
estar dentro de uma forma geométrica espacial cercada por seis retângulos ao todo. Em
qualquer ambiente como esse, é possível observar oito vértices triédricos, cada um deles
com três ângulos retos, além de uma dúzia de arestas determinadas pelo encontro de duas
paredes ou de uma parede com o plano do teto ou do piso. Os comprimentos podem ser
iguais ou diferentes dependendo das dimensões do lugar. Além disso, cada retângulo carac-
teriza uma superfície fechada e, portanto, dotada de área.
Em um lugar como esse, há muitas grandezas a serem medidas, como ângulos, compri-
mentos e áreas. Mas não é somente isso. Todos esses elementos – vértices, arestas e faces,
que dão forma geométrica ao ambiente – cercam e estabelecem os limites de uma porção do
espaço, o interior dele, que é ocupado por móveis, objetos, pessoas, ar etc.
12
CAPÍTULO
FRENTE 3
 
im
a
g
in
im
a
/i
S
to
c
k
p
h
o
to
.c
o
m
MATEMÁTICA Capítulo 12 Paralelepípedos234
A grandeza do volume
Além das grandezas angulares, lineares e superficiais,
há um último tópico na Geometria Métrica a ser estudado,
que é a grandeza espacial. Toda forma dotada de largu
ra, comprimento e profundidade possui essa grandeza.
Mas isso não se restringe aos corpos sólidos; até mesmo
líquidos ou gases ocupam porções do espaço e, por isso,
possuem uma grandeza espacial a ser medida.
As porções do espaço que são ocupadas por algum
tipo de matéria, tanto sólida quanto líquida ou gasosa, po-
dem ser medidas e comparadas entre si, de acordo com os
valores numéricos de suas grandezas espaciais. O nome
dessa grandeza é volume.
Essa grandeza, ao mesmo tempo física e geométrica,
que chamamos de volume, avalia a extensão de porções do
espaço tridimensional e deve ser expressa por um número
real positivo, devidamente acompanhado de uma unidade
de volume
Neste capítulo, estudaremos como calcular os volumes
de algumas formas tridimensionais.
Unidades de volume
No Sistema Internacional de Pesos e Medidas (SI), a
principal unidade de medida adotada para expressar o vo-
lume é o metro cúbico (m
3
).
Assim como a unidade metro (m), usada para expres-
sar a grandeza do comprimento, o metro cúbico também
admite múltiplos e submúltiplos no SI:
• O quilômetro cúbico:
1 km
3
= 1  000  000 000 m
3
= 10
9
 m
3
• O hectômetro cúbico:
1 hm
3
= 1  000 000 m
3
= 10
6
 m
3
• O decâmetro cúbico:
1 dam
3
= 1  000 m
3
= 10
3
 m
3
• O decímetro cúbico:
1 dm
3
= 0,001 m
3
= 10
3
 m
3
• O centímetro cúbico:
1 cm
3
= 0,000001 m
3
= 10
6
 m
3
• O milímetro cúbico:
1 mm
3
= 0,000000001 m
3
= 10
–9
 m
3
Perceba que 1 metro cúbico tem 1 milhão de centí
metros cúbicos (1 m
3
= 1  000 000 cm
3
) e que 1 centímetro
cúbico tem mil milímetros cúbicos (1 cm
3
= 1  000 mm
3
), por
exemplo. Para compreender as transformações de unida-
des, observe os exercícios a seguir.
Exercícios resolvidos
1 Transforme em metros cúbicos o volume de 0,3 km
3
.
Resolução:
Considerando que cada quilômetro possui mil metros
(1 km = 1 000 m):
( )
( )
= ×
= ×
= ×
= ×
=
0,3 km 0,3 1 km
0,3 km 0,3 1 000 m
0,3 km 0,3 1 000 m
0,3 km 0,3 1 000 000 000 m
0,3 km 300 000 000 m
3 3
3 3
3 3 3
3 3
3 3
O mesmo problema pode ser resolvido em notação
cientíca partindo da relação 1 km = 10
3
 m:
( )
( )= × ×
= × ×
= × ×
= × ×
= ×
= ×
−
−
− ⋅
−
− +
0,3 km 3 10 1 km
0,3 km 3 10 10 m
0,3 km 3 10 10 m
0,3 km 3 10 10 m
0,3 km 3 10 m
0,3 km 3 10 m
3 1 3
3 1 3
3
3 1 3 3 3
3 1 9 3
3 1 9 3
3 8 3
2 Transforme em metros cúbicos o volume de 280   000 cm
3
Resolução:
Considerando que cada centímetro equivale a um
centésimo do metro (1 cm = 0,01 m):
( )
( )
( )
= ×
= ×
= ×
= ×
=
280 000 cm 280 000 1 cm
280 000 cm 280 000 0,01 m
280 000 cm 280 000 0,01 m
280 000 cm 280 000 0,000001 m
280 000 cm 0,28 m
3 3
3 3
3 3 3
3 3
3 3
O mesmo problema pode ser resolvido em notação
cientíca partindo da relação 1 cm = 10
2
 m:
( )
( )= × ×
= × ×
= × ×
= × ×
= ×
= ×
=
−
− ⋅
−
−
−
280 000 cm 2,8 10 1 cm
280 000 cm 2,8 10 10 m
280 000 cm 2,8 10 10 m
280 000 cm 2,8 10 10 m
280 000 cm 2,8 10 m
280 000 cm 2,8 10 m
280 000 cm 0,28 m
3 5 3
3 5 2
3
3 5 2 3 3
3 5 6 3
3 5 6 3
3 1 3
3 3