Matemática - Livro 3-271-273

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 3
271
Exercícios resolvidos
9 A figura a seguir representa o projeto de construção
de um galpão, dotado de simetria bilateral, que ocu
pará um terreno retangular de 8 m por 10 m
10 m
8 m
5 m
2 m
Calcule o volume, em metros cúbicos, desse galpão
Resolução:
As bases do prisma que dá forma ao galpão são pen
tágonos, também dotados de simetria bilateral. Por
isso, elas podem ser decompostas em dois trapézios
retângulos congruentes, como mostra a gura:
4 m 4 m
5 m
2 m 2 m
A área de cada trapézio mede:
( )
=
+ ⋅
= ⋅ =A
2 5 4
2
7 4
2
14 m
trapézio
2
Assim, a área de cada base é: = ⋅ =A 2 14 28 m
base
2
Como a altura de um prisma equivale à distância entre
os planos de suas bases, de acordo com a gura, o 
prisma que dá forma ao galpão tem altura h = 10 m.
Portanto, o volume do galpão é igual a:
⋅ = ⋅ =A h 28 10 280 m
base
3
10 Calcule a capacidade, em litros, de uma piscina com a
forma do prisma reto representado pela figura a seguir:
12 m8 m
1 m
6 m
Resolução:
As bases do prisma têm a forma do trapézio retângulo
a seguir:
12 m
1 m
6 m
Portanto, a área da base desse prisma é:
( )
=
+ ⋅
= ⋅ =A
1 6 12
2
7 12
2
42 m
base
2
Como a altura de um prisma equivale à distância entre
os planos de suas bases, de acordo com a gura, o 
prisma que dá forma à piscina tem altura h = 8 m.
Assim, o volume da piscina é:
= ⋅ = ⋅ =V A h 42 8 336 m
piscina base
3
Fazendo a conversão de unidades, concluímos que a
piscina tem capacidade para 336 000 litros de água
Prismas regulares
Dizemos que um prisma é regular se, e somente se,
forem satisfeitas as duas condições a seguir:
1. As bases do prisma são polígonos regulares.
2. O prisma é reto.
Da primeira condição, concluímos que todas as arestas
da base têm o mesmo comprimento. Da segunda, concluímos
que a altura do prisma tem o mesmo comprimento de suas
arestas laterais.
Combinando as informações das duas condições,
temos que todas as faces laterais do prisma são retangu-
lares e congruentes umas às outras. Assim, dado um prisma
regular de altura h em que cada base possui n lados de
comprimento l, sua área lateral é expressa por:
A n h
lateral
= ⋅ ⋅
Assim, temos:
Tipo de prisma Área lateral
Triangular regular 3 h⋅ ⋅
Quadrangular
regular
4 h⋅ ⋅
Pentagonal regular 5 h⋅ ⋅
Hexagonal regular 6 h⋅ ⋅
MATEMÁTICA Capítulo 13 Poliedros272
Exercícios resolvidos
 11 Calcule a capacidade, em litros, de um prisma qua-
drangular regular cujas arestas da base medem 20 cm
e as arestas laterais medem 9 cm.
Resolução:
9 cm
20 cm
20 cm
9 cm
As bases do prisma são quadrados de lados com 20 cm
Portanto, a área da base desse prisma é:
= =A 20 400 cm
base
2 2
Como a altura de um prisma regular equivale ao com-
primento de suas arestas laterais, temos que h = 9 cm.
Assim, o volume do prisma é:
= ⋅ = ⋅ =V A h 400 9 3600 cm
prisma base
3
Fazendo a conversão de unidades, concluímos que o
prisma tem 3,6 litros de capacidade.
 12 Calcule a capacidade, em litros, de um prisma triangu-
lar regular cujas arestas da base medem 2 m e a altura
mede 70 cm
Resolução:
2 m 2 m
70 cm
2 m
As bases do prisma são triângulos equiláteros de la-
dos medindo 2 m = 200 cm
Portanto, a área da base desse prisma é:
= = =A 200 3
4
40000 3
4
10000 3 cm
base
2
2
A altura do prisma é h = 70 cm Assim, seu volume é:
= ⋅ = ⋅ =V A h 10000 3 70 700000 3 cm
prisma base
3
Fazendo a conversão de unidades, concluímos que o
prisma tem 700 3 litros de capacidade.
 13 Um prisma hexagonal regular tem todas as suas
arestas do mesmo comprimento. Determine a área la-
teral desse prisma sabendo que sua capacidade é de
1500 3
3
 cm .
Resolução:
L
L
As bases do prisma são hexágonos regulares de lado L.
Portanto, a área da base desse prisma é = ⋅A 6 L 3
4
base
2
.
A altura do prisma é h = L Assim, seu volume é:
= ⋅ = ⋅ ⋅ =V A h 6 L 3
4
L
3L 3
2prisma base
2 3
Logo, temos a equação:
3 3
2
1500 3
2 1500
3
1000 10
3
3 3L
L L L cm= ⇒ = ⇒ = ⇒ =
As seis faces laterais do prisma são quadrados de
lado 10 cm Portanto, sua área lateral mede:
⋅ = ⋅ =6 10 6 100 600 cm2 2
Pirâmides
Considere um polígono qualquer e um único ponto que
não pertença ao plano do polígono. Unindo esse ponto, por
meio de segmentos de reta, a todos os vértices do polí-
gono tomado, a forma geométrica determinada por esses
segmentos junto com o polígono é denominada pirâmide
A E
D
C
B
α
P ∉ α
A E
D
C
B
α
P
F
R
E
N
T
E
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273
Acrescentando o ponto tomado fora do plano do po
lígono aos vértices do polígono, obtemos o conjunto dos
vértices da pirâmide
As pirâmides com exatamente quatro vértices também
são chamadas de tetraedros, pois esses vértices determi
nam quatro faces planas Todas as faces de um tetraedro
são triangulares e qualquer uma delas pode ser conside
rada como a base do sólido
Em uma pirâmide com mais de quatro vértices, é sempre
possível identificar um plano a que contenha mais vértices
do que qualquer outro Além disso, pirâmides com mais de
quatro vértices têm apenas uma base, que é, necessaria
mente, o polígono contido nesse plano a. Portanto, em uma
pirâmide, só pode haver uma face que não seja triangular;
quando houver, essa face será a base da pirâmide
O número de lados do polígono que é base da pirâ
mide é designado por n Assim, se n = 5, por exemplo,
significa que a base da pirâmide é um pentágono.
O número de lados da base de uma pirâmide permite
classificá-la em diversas categorias distintas:
Tipo de
pirâmide
Número de lados
da base
Imagem possível
Pirâmide
triangular
n = 3
Pirâmide
quadrangular
n = 4
Pirâmide
pentagonal
n = 5
Pirâmide
hexagonal
n = 6
O único vértice que não pertence ao plano da base
de uma pirâmide é chamado de vértice da pirâmide; os
demais são chamados de vértices da base. Outros ele-
mentos de uma pirâmide que não pertencem ao plano de
sua base são denominados laterais As arestas que ligam
o vértice da pirâmide a algum vértice da base são chama-
das de arestas laterais da pirâmide As faces triangulares
que possuem o vértice da pirâmide são denominadas
faces laterais.
Para determinar se um poliedro é ou não uma pirâmide, devemos
verificar as seguintes condições:
• Existem pelo menos quatro faces triangulares.
• Existe, no máximo, uma face que não seja triangular
• Existem pelo menos quatro vértices triédricos.
• Existe, no máximo, um vértice que não seja triédrico.
Atenção
Altura da pirâmide
Considere uma pirâmide de vértice P e base ABCDE
contida no plano a.
A
E
D
CB
Base
α
h
P
H
Os segmentos de reta AP , BP , CP , DP e EP são de-
nominados arestas laterais da pirâmide, uma vez que não
estão contidos no plano da base.
A altura de uma pirâmide tem medida h que coincide
com a distância do vértice da pirâmide ao plano onde está
localizada sua base.
h d(P, )= a
Para determinar essa distância, é necessário encontrar
um ponto H pertencente ao plano a tal que H seja a projeção
ortogonal do vértice P da pirâmide no plano que contém a sua
base Esse ponto H também é chamado de “pé da altura” da
pirâmide Assim:
H
PH
h d(P, H)
∈a
⊥ a



⇒ =