AULA 2 Matemática Simbólica e Gráficos

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FERRAMENTAS MATEMÁTICAS 
APLICADAS 
AULA 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Ricardo Alexandre Deckmann Zanardini 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Estudamos anteriormente as operações fundamentais. Podemos, então, 
avançar nos estudos e abordar a utilização de bibliotecas que aumentam as 
possibilidades de resolução de problemas por meio do Python. Essas bibliotecas 
são ótimas, pois ampliam as capacidades do Python e facilitam muito o trabalho 
dos usuários. Nesta aula vamos aprender a importar bibliotecas e trabalhar com 
algumas das principais funções das bibliotecas “NumPy”, “SymPy” e “Matplotlib”. 
TEMA 1 – BIBLIOTECAS DO PYTHON 
O Python apresenta diversas funções desenvolvidas originalmente, mas, 
graças ao trabalho de programadores do mundo todo, muitas bibliotecas são 
desenvolvidas de modo a ampliar a capacidade de resolução de problemas por 
meio do Python e auxiliar o trabalho de usuários e programadores. 
Uma biblioteca do Python é um pacote contendo funções desenvolvidas 
para a resolução de um determinado conjunto de problemas. Há muitas 
bibliotecas contendo funções prontas para que possamos construir gráficos, 
trabalhar com matrizes e vetores, com problemas estatísticos, análise de dados, 
matemática simbólica, mineração de dados, com construção de árvores de 
decisão, redes neurais e muito mais. 
A vantagem do uso das bibliotecas é que não é necessário desenvolver 
um programa para executar determinada tarefa quando já existe uma função 
pronta. Isso não significa que todo o trabalho esteja feito. É claro que sempre há 
muito a desenvolver, mas o uso das bibliotecas economiza muito tempo e amplia 
as capacidades de uso dessa linguagem. 
No nosso caso, o objetivo não é a programação, e sim o uso das funções 
já existentes para que possamos resolver problemas relacionados à engenharia 
e ao nosso cotidiano. 
É importante ressaltar que, no caso do Python, o termo “função” se refere 
a um comando no qual existe uma sequência de passos para a resolução de um 
determinado problema; na matemática, o termo “função” se refere a uma relação 
entre quantidades. Abordaremos as funções matemáticas com mais detalhes 
nesta aula. Para evitarmos confusões de terminologia, podemos identificar 
quando estamos abordando uma função do Python e quando se trata de uma 
função matemática de acordo com o contexto. 
 
 
3 
Podemos importar uma biblioteca do Python ou apenas algumas funções 
da biblioteca. Veremos a seguir as maneiras de como podemos fazer essas 
importações. 
A primeira possibilidade é importar uma biblioteca utilizando o comando 
“import”. 
Para importarmos a biblioteca simbólica SymPy, por exemplo, podemos 
escrever 
“import sympy”: 
 
Fazendo isso, todas as funções da biblioteca SymPy foram importadas e 
podem ser utilizadas. 
Outra possibilidade é importar uma função específica da biblioteca 
utilizando o comando “from” seguido de “import”. Por exemplo, 
“from sympy import diff” 
 
que importa a função “diff” destinada à obtenção da derivada de uma função 
matemática. 
Outra forma muito utilizada de importação de uma biblioteca é o uso de 
um asterisco “*” que importa todas as funções da biblioteca. Esse comando é 
equivalente ao “import”: 
“from sympy import *” 
 
 
 
4 
Para simplificar a digitação, também é possível importar uma biblioteca e 
atribuir a ela um nome mais curto. Isso facilita no momento de digitarmos os 
comandos necessários para executarmos as funções dessa biblioteca. 
Por exemplo, podemos fazer 
“import matplotlib.pyplot as plt” 
 
Com isso, ao executarmos uma função da biblioteca, podemos digitar “plt” 
em vez de “matplotlib”. Por exemplo, para visualizarmos um gráfico, o comando 
passa a ser “plt.show()” e não mais “matplotlib.show()”. 
TEMA 2 – INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA SIMBÓLICA 
Em muitos problemas reais precisamos trabalhar com variáveis do tipo 
“x”, “y”, “z”..., mas no Python não temos funções originais que fazem isso. Por 
esse motivo, existe a biblioteca “SymPy” que acrescenta essas funcionalidades 
à linguagem e que está sendo aprimorada constantemente. 
Para trabalharmos com essa biblioteca, o primeiro passo é importá-la. Em 
seguida, é preciso definir quais variáveis serão interpretadas como símbolos. 
Faremos isso utilizando a função “symbols”. Especificaremos quais serão essas 
variáveis separando cada uma delas por vírgulas. Dentro da função “symbols”, 
colocaremos essas variáveis entre aspas e separadas por espaços. Para 
trabalharmos com as variáveis simbólicas “x” e “y”, precisamos dos seguintes 
passos: 
from sympy import * 
x,y = symbols("x y") 
 
Essa importação precisa ser feita uma única vez. Nos nossos exemplos, 
estaremos importando a biblioteca e definindo as variáveis em cada resolução, 
 
 
5 
mas isso não é obrigatório. Faremos isso, pois se alguém for resolver apenas 
determinados exemplos, precisará lembrar de importar a biblioteca e definir as 
variáveis. 
Agora que definimos as variáveis, vamos imaginar que temos uma função 
matemática que relaciona o preço total a ser pago com a quantidade de fatias de 
bolo a serem compradas. Se cada fatia de bolo custa R$ 2,00, a função que 
relaciona essas quantidades é dada por 
y=2x 
em que “y” é o total a ser pago e “x” é a quantidade de fatias de bolo adquiridas. 
Em Python, após importarmos a biblioteca “SymPy” e definirmos “x” e “y” 
como símbolos, podemos escrever a função matemática assim: 
“y=2*x” 
Se quisermos mostrar a função “y”, basta digitarmos 
“print(y)” 
 
Agora que já temos a expressão que relaciona o preço total com a 
quantidade de fatias de bolo, podemos querer, por exemplo, saber qual é o preço 
total referente à compra de 7 fatias de bolo. Para que possamos saber esse 
valor, precisamos que o Python substitua o valor de “x” por “7” e faça o respectivo 
cálculo. Mas como fazer isso? Essa substituição é feita pelo comando “subs”. 
Escrevemos: 
“y.subs(x,7)” 
em que “y” indica a variável que receberá a substituição de “x” por “7” indicados 
entre parênteses. O resultado será 14, pois o Python substituirá “x” por “7” e fará 
a multiplicação necessária: 
 
 
6 
 
Vamos acompanhar mais alguns exemplos cujo objetivo é calcular valores 
funcionais em problemas práticos. 
Exemplo 1 
Para colocar porcelanato em uma residência, a empresa cobra uma taxa 
fixa de R$ 100,00 mais R$ 20,00 por metro quadrado. Utilizando o Python, 
escreva a função que relaciona o preço total com a metragem e determine qual 
será o total a ser pago para que sejam colocados 76 metros quadrados de 
porcelanato. 
Resolução: 
from sympy import * 
x,y=symbols("x y") 
y=20*x+100 
total=y.subs(x,76) 
print(y) 
print(total) 
 
O custo será de R$ 1.620,00. 
 
 
 
 
7 
Exemplo 2 
O custo de produção referente a x unidades produzidas de um 
determinado bem, por hora, é dado pela função 
C(x) = 0,04x³ - 4x² + 101x + 5000. 
Determine o custo referente à produção de 15 unidades por hora. 
Resolução: 
from sympy import * 
x,C=symbols("x C") 
C=0.04*x**3-4*x**2+101*x+5000 
C.subs(x,15) 
 
Nessa situação, o custo para a produção de 15 unidades corresponde a 
R$ 5.750,00. 
Além de valores, também é possível substituirmos expressões no lugar de 
variáveis. Com isso, podemos trabalhar com funções matemáticas compostas, 
ou seja, podemos substituir uma variável por uma determinada função. 
Exemplo 3 
Em uma indústria, o custo c referente à produção diária de x unidades é 
de c (x) = x2 + 2x + 300. Sabe-se que o nível de produção dessa indústria é de 
x(t) = 20t unidades durante t horas de trabalho. Expresse o custo de produção 
em função do tempo. 
Resolução: 
from sympy import * 
c,x,t = symbols("c x t") 
c=x**2+2*x+300 
c.subs(x,20*t) 
 
 
8 
 
Observe que, nesse exemplo, as variáveis são “c”, “x” e “t”. Para 
substituirmos “20t” na função “c”, utilizamos o comando 
“c.subs(x,20*t)” 
o que resultou na expressão “400*t**2+40*t+300” quecorresponde a 
“c=400t2+40t+300”. 
A função é apresentada na forma de uma string. Podemos ter uma 
representação melhor de expressões e de símbolos matemáticos, 
acrescentando a linha “init_printing()” no código. Essa função vai utilizar a melhor 
opção disponível para a apresentação dos resultados. 
Nesse exemplo, o resultado obtido é 
 
TEMA 3 – FATORAÇÃO E EXPANSÃO DE EXPRESSÕES 
A fatoração de uma expressão consiste em escrever essa expressão 
como o produto de duas ou mais expressões. Esse procedimento é muito útil na 
simplificação de expressões matemáticas. A expressão “2x4+8x3+10x2”, por 
exemplo, pode ser fatorada colocando-se “2x2” em evidência, pois é um fator 
comum aos dois termos, ou seja, 2x4+8x3+10x2=2x2(x2+4x+5). Essa fatoração 
pode ser feita também no Python. Basta utilizarmos o comando “factor”: 
“factor(2*x**4+8*x**3+10*x**2)” 
 
 
9 
 
Podemos também utilizar o Python para fatorações mais complexas. Por 
exemplo, a expressão “xy3+2x2y4” na forma fatorada, corresponde a “xy3(2xy+1)”: 
 
e a expressão “
1
122
−
+−
x
xx ” na forma fatorada é igual a “x-1”: 
 
Além da fatoração, muitas vezes é preciso efetuar a expansão de 
expressões. Mas como assim? Podemos efetuar a multiplicação ou desenvolver 
produtos notáveis com o auxílio do Python. Para expandirmos expressões, o 
comando a ser utilizado é “expand”. 
A expressão “(x2+1)(x2+3x+6)”, por exemplo, corresponde a 
“x4+3x3+7x2+3x+6”. Em Python, o procedimento para efetuarmos essa 
multiplicação é: 
 
 
10 
 
Sabemos que um produto notável consiste em uma multiplicação especial 
de expressões matemáticas. Alguns produtos notáveis bastante conhecidos são: 
( ) 222 2 bababa ++=+ 
( ) 222 2 bababa +−=− 
( )( ) 22 bababa −=−+ 
( ) 32233 33 babbaaba +++=+ 
( ) 32233 33 babbaaba −+−=− 
A expansão de um produto notável pode ser feita em Python de maneira 
muito simples. Vamos acompanhar alguns exemplos. 
Exemplo 1 
Sabemos que o produto notável (a+b)2 pode ser interpretado 
geometricamente como a área de um quadrado de lados iguais a “a+b”. 
 
Utilizando o Python, escreva a forma expandida de (a+b)2. 
Resolução: 
from sympy import * 
a,b = symbols("a b") 
expand((a+b)**2) 
 
 
11 
 
A forma expandida de (a+b)2 é igual a a2+2ab+b2. 
Exemplo 2 
Utilizando o Python, expanda a expressão (a+b)5. 
Resolução: 
from sympy import * 
a,b=symbols("a b") 
init_printing() 
expand((a+b)**5) 
 
A forma expandida de (a+b)5 corresponde a 
a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5. 
TEMA 4 – RAÍZES E EQUAÇÕES 
Uma equação, é uma expressão matemática em que aparecem 
constantes, variáveis e uma igualdade. Em situações reais, as equações estão 
presentes em diversos problemas importantes. Um desses problemas é a 
obtenção do ponto de equilíbrio. O ponto de equilíbrio consiste na igualdade de 
duas ou mais funções matemáticas. Se estivermos pensando em custos e 
receita, o ponto de equilíbrio está associado à igualdade entre o que se ganha e 
o que se gasta. 
Abaixo do ponto de equilíbrio, há prejuízo e acima, temos lucro. Vamos 
resolver um exemplo para entender melhor o que é um ponto de equilíbrio e 
 
 
12 
como podemos resolver problemas assim utilizando o Python. Ainda nesta aula 
veremos como fazer gráficos e isso vai ajudar ainda mais na compreensão do 
conceito de ponto de equilíbrio. 
Em Python, o comando “solve()” é utilizado para resolver uma equação e 
o comando “Eq()” indica quais são as equações a serem consideradas. 
Se temos duas equações, a equação “e1” e a equação “e2”, por exemplo, 
ambas em relação à variável “x”, precisamos escrever 
“solve(Eq(e1,e2),x)” 
para obtermos a solução do problema. 
No exemplo a seguir entenderemos como é possível resolver uma 
equação no Python. 
Exemplo 1 
Uma indústria de canoas tem uma receita de R$ 3.500,00 por unidade 
comercializada. Os custos fixos mensais correspondem a R$ 27.200,00 e custos 
unitários totalizam R$ 1.800,00. Com base nessas informações, a partir da 
função receita e da função custo, determine o ponto de equilíbrio. 
Resolução: 
Para resolver esse problema, o primeiro passo é definir a função custo e 
também a função receita. O custo está relacionado a tudo o que a empresa 
gasta. De acordo com os dados do problema, há um custo de R$ 1.800,00 por 
unidade e custos fixos que totalizam R$ 27.200,00. Como a quantidade de 
canoas vendidas é variável, vamos representar essa quantidade por x. O custo 
variável corresponde a 1800x, ou seja, o custo unitário multiplicado pela 
quantidade vendida. O custo total é a soma do custo unitário com o custo fixo. 
Logo, c=1800x+27200. A receita é o quanto a empresa recebe pelas vendas. 
Como a receita unitária é igual a R$ 3.500,00, a função receita é dada por 
r=3500x. Isso ocorre pois é preciso multiplicar a receita unitária pela quantidade 
comercializada para que tenhamos a receita total. 
from sympy import * 
x,r,c=symbols("x r c") 
init_printing() 
r=3500*x 
c=1800*x+27200 
solve(Eq(r,c),x) 
 
 
13 
 
Resolvemos a equação “r=c”, ou seja, “3500x=1800x+27200” e o valor de 
x corresponde a 16. Observe que o resultado está entre colchetes “[ ]”. Isso 
significa que a resposta está na forma de um vetor. 
Se quisermos obter o valor do custo ou da receita quando “x” for igual a 
16, precisamos substituir o valor de “x” em uma das duas expressões, ou em 
“r=3500x” ou em “c=1800x+27200”. Como o resultado está armazenado em um 
vetor que foi chamado de “p”, o valor de “x” está armazenado na primeira posição 
desse vetor. O Python atribui o índice “0” à primeira posição, “1” à segunda 
posição e assim por diante. Logo, o valor de “x” corresponde a “p[0]”, ou seja, ao 
valor que está na primeira posição de “p”. 
A sequência de todos os passos para calcularmos o valor de “x” e 
substituirmos esse valor na função matemática “r” corresponde a: 
from sympy import * 
x,r,c=symbols("x r c") 
init_printing() 
r=3500*x 
c=1800*x+27200 
p=solve(Eq(r,c),x) 
print(p) 
r.subs(x,p[0]) 
 
 
14 
 
Fazendo isso, além de sabermos a quantidade a ser vendida para termos 
o ponto de equilíbrio, sabemos também qual é a respectiva receita, 
R$ 56.000,00. Se substituirmos “x=16” na função custo, o valor da função será o 
mesmo que o obtido substituindo “x” na função receita: 
from sympy import * 
x,r,c = symbols('x r c') 
r=186*x 
c=109*x+11200.0 
p=solve(Eq(r,c),x) 
print(p) 
c.subs(x,p[0]) 
 
Dessa maneira, o ponto de equilíbrio é o par ordenado (16, 56000). 
 
 
 
15 
Exemplo 2 
A receita de uma empresa é dada por r(x)=419x e os custos por 
c(x)=271x+15000 em que x é a quantidade comercializada de um determinado 
produto. Determine o respectivo ponto de equilíbrio. 
Resolução: 
from sympy import * 
x,r,c = symbols('x r c') 
r=419*x 
c=271*x+15000.0 
p=solve(Eq(r,c),x) 
print(p) 
r.subs(x,p[0]) 
 
O ponto de equilíbrio é o par ordenado (101,35; 42466,22). 
Exemplo 3 
Uma determinada agência locadora de automóveis (Locadora A) cobra R$ 
59,90 por dia mais R$ 2,99 por quilômetro rodado. A locadora concorrente 
(Locadora B) cobra R$ 98,00 por dia mais R$ 2,16 por quilômetro rodado. Um 
cliente deseja locar um carro com o menor custo possível. Determine qual das 
duas locadoras deve ser escolhida em decorrência da quilometragem a ser 
percorrida por esse cliente. 
Resolução: 
A expressão relacionada à Locadora A corresponde a “f=2,99x+59,90” e 
a expressão relacionada à Locadora B corresponde a “g=2,16x+98,00”. Para 
obtermos o ponto de equilíbrio, basta fazermos: 
from sympy import * 
 
 
16 
f, g, x = symbols('f g x') 
f=2.99*x+59.90 
g=2.16*x+98.00 
p=solve(Eq(f,g),x) 
print(p) 
f.subs(x,p[0]) 
 
O ponto de equilíbrio é corresponde a (45,90; 197,15). Como a locadora 
A tem o menor custo fixo, de 0 a 45,9 km a melhor opção é a Locadora A e para 
distâncias acima de 45,9 km, a Locadora B é melhor. 
Quando o objetivo é determinar as raízes de uma função, há várias 
maneirasde resolver o problema por meio do Python. Se tivermos uma função 
polinomial, uma alternativa bastante interessante é utilizar o comando “roots” da 
biblioteca “NumPy”. É preciso escrever em um array os coeficientes da função e 
depois utilizar “roots”. 
Exemplo 4 
Encontre as raízes da função y=-3x3+4x2-11x+1. 
Resolução: 
import numpy as np 
coeficientes=[-3, 4, -11, 1] 
np.roots(coeficientes) 
 
 
17 
 
As raízes são “0,62 + 1,78j”, “0,62 - 1,78j” e “0,094”. 
Exemplo 5 
Quais são as raízes da função y=-x3-5x2+9x+11? 
Resolução: 
import numpy as np 
coeff = [-1, -5, 9, 11] 
np.roots(coeff) 
 
As raízes são “-6,17”, “2,04” e “-0,87”. 
Exemplo 6 
Uma indústria de carne congelada realizou um estudo e chegou à 
conclusão de que o lucro mensal p(x) é dado em função do preço x do quilo da 
carne congelada e essa relação é descrita pelo polinômio p(x)=-120x2+4800x. 
Determine para quais valores de x o lucro mensal é nulo. 
Resolução: 
import numpy as np 
coeff = [-120, 4800, 0] 
np.roots(coeff) 
 
 
18 
 
Como as raízes são “40” e “0”, o lucro mensal é nulo quando o preço for 
R$ 0,00 ou R$ 40,00. 
TEMA 5 – GRÁFICOS 
Quando trabalhamos com funções, a representação gráfica é muito útil. 
Em Python há diversas bibliotecas e muitas opções de gráficos, tanto 
bidimensionais quanto tridimensionais. Nesse momento abordaremos uma 
forma simples e efetiva de construirmos gráficos usando o Python e futuramente 
nos aprofundaremos nesse assunto. 
Vamos utilizar a biblioteca “matplotlib” e para compreendermos melhor 
como construir um gráfico, vamos considerar a função “y=x2”. 
O primeiro passo é importarmos a biblioteca: 
“import matplotlib.pyplot as plt” 
Em seguida, precisamos de alguns valores para a variável independente 
“x” e os respectivos valores para a variável independente “y”. Quando x=-5, y=25, 
quando x=-4, y=16 e dessa maneira temos um vetor armazenando os valores de 
“x” e um vetor armazenando os respectivos valores de “y”: 
“x=[-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5]” 
“y=[25, 16, 9, 4, 1, 0, 1, 4, 9, 16, 25]” 
Para que seja construído o gráfico, a função é 
“plt.plot(x, y)” 
e para mostrar o gráfico é preciso fazer “plt.show()”. 
Logo, a sequência completa de comandos é: 
import matplotlib.pyplot as plt 
x=[-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5] 
y=[25, 16, 9, 4, 1, 0, 1, 4, 9, 16, 25] 
plt.plot(x, y) 
plt.show() 
 
 
19 
 
Ao executar o código pela primeira vez, o gráfico ainda não aparece. 
Precisamos, então, executar novamente o código e o resultado é: 
 
Temos o gráfico da função “y=x2”, mas como utilizamos poucos pontos, o 
resultado ficou segmentado. Precisamos utilizar mais pontos para que a 
representação fique mais fiel à representação desejada. Podemos digitar um a 
um ou então utilizarmos a função “linspace” da biblioteca “numpy”. Por meio do 
linspace, podemos gerar automaticamente uma quantidade desejada de valores 
em um dado intervalo. Para termos um vetor “x” com 100 valores distribuídos no 
intervalo que vai de -5 a 5 basta fazermos 
“x=np.linspace(-5,5,100)” 
Os respectivos valores de y são gerados fazendo “y=x**2”. 
Os comandos são: 
import matplotlib.pyplot as plt 
import numpy as np 
x=np.linspace(-5,5,100) 
 
 
20 
y=x**2 
plt.plot(x, y) 
plt.show() 
 
O resultado é um gráfico muito melhor do que o obtido anteriormente. Para 
fixar melhor os passos para gerarmos gráficos, vamos acompanhar alguns 
exemplos. 
Exemplo 1 
Uma indústria de canoas tem uma receita de R$ 3.500,00 por unidade 
comercializada. Os custos fixos mensais correspondem a R$ 27.200,00 e custos 
unitários totalizam R$ 1.800,00. Faça o gráfico da função receita e da função 
custo em um mesmo sistema de eixos coordenados. 
Resolução: 
import matplotlib.pyplot as plt #Importa a biblioteca gráfica 
import numpy as np #Importa a biblioteca necessária para o comando linspace 
x=np.linspace(0,30,100) #Gera o vetor x com 100 valores de 0 a 30 
r=3500*x #Gera o vetor com os valores de r da função receita 
c=1800*x+27200 #Gera o vetor com os valores de c da função custo 
plt.plot(x, r) #Plota a função receita 
plt.plot(x, c) #Plota a função custo 
plt.show() #Mostra o gráfico 
 
 
21 
 
Exemplo 2 
A receita de uma empresa é dada por R(x)=419x e os custos por 
C(x)=271x+15000 em que x é a quantidade comercializada de um determinado 
produto. Faça, em um mesmo sistema de eixos, o gráfico de cada uma das 
funções. 
Resolução: 
import matplotlib.pyplot as plt 
import numpy as np 
x1=np.linspace(0,200,100) 
y1=419*x1 
y2=271*x1+15000 
plt.plot(x1, y1) 
plt.plot(x1, y2) 
plt.show() 
 
 
22 
 
FINALIZANDO 
Estamos chegando ao final da nossa aula. Aprendemos a importar 
bibliotecas e a desenvolver os primeiros passos necessários para a resolução 
de problemas relacionados à matemática simbólica. Vimos como substituir 
valores em funções matemáticas, fatorar ou expandir expressões. Aprendemos 
também a resolver equações e fazer gráficos de funções. Posteriormente, 
continuaremos com a matemática simbólica tratando de derivadas, integrais, 
máximos e mínimos de funções e mais. 
 
 
 
23 
REFERÊNCIAS 
CASTANHEIRA, N. P. Matemática aplicada. 3. ed. Curitiba: Ibpex, 2010. 
DEMANA, F. D. et al. Pré-cálculo. 2. ed. São Paulo: Pearson, 2013. 
FLEMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: função de uma variável. 2. ed. 
São Paulo: Pearson, 2007. 
PERKOVIC, L. Introdução à computação usando Python: um foco no 
desenvolvimento de aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 2016. 
	Conversa inicial
	Resolução:
	FINALIZANDO
	REFERÊNCIAS