3-FERRAMENTAS MATEMÁTICAS

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FERRAMENTAS MATEMÁTICAS 
APLICADAS 
AULA 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Ricardo Alexandre Deckmann Zanardini 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Nesta aula, vamos avançar nos estudos referentes aos gráficos. 
Aprenderemos a construir diferentes tipos de gráficos bidimensionais e 
tridimensionais e aprenderemos também a editar parâmetros, alterar 
configurações e salvar as imagens geradas pelo Python. Veremos como é 
possível construir gráficos de linha, de barras de pizza e muito mais. 
TEMA 1 – GRÁFICOS DE LINHA 
Em Python, há diversas bibliotecas destinadas à construção de gráficos. 
Vamos utilizar a biblioteca “matplotlib”, que possui diversos recursos e várias 
formas de exibição de gráficos. 
Para importarmos a biblioteca, basta utilizarmos a expressão 
“import matplotlib.pyplot as plt” 
 Com base no exemplo a seguir, veremos como construir um gráfico que 
apresenta alguns meses e os respectivos níveis de produção e, em seguida, 
aprenderemos a colocar título, alterar cores, parâmetros, tipo de linha e mais. 
Exemplo 1 
Uma empresa desenvolveu um aplicativo de finanças pessoais e o 
número de downloads em cada um dos cinco primeiros meses é apresentado a 
seguir. 
Tabela 1 – Número de downloads de uma determinada empresa 
Mês Maio Junho Julho Agosto Setembro 
Downloads 120000 98000 82000 105000 180000 
Faça um gráfico, por meio do Python, apresentando o total de downloads 
de cada mês. 
Resolução: 
import matplotlib.pyplot as plt 
x=['Maio', 'Junho', 'Julho', 'Agosto', 'Setembro'] 
y=[120000, 98000, 82000, 105000, 180000] 
plt.plot(x,y) 
plt.show() 
 
 
3 
Figura 1 – Construção de gráfico pelo Python – Total de downloads de maio a 
setembro (1) 
 
 Observe que podemos atribuir os meses, entre aspas, a cada componente 
do vetor “x” e os respectivos níveis de produção às componentes do vetor “y”. 
Utilizando o comando “plt.plot(x, y)”, temos a construção do gráfico. 
 Dessa maneira, o gráfico é facilmente obtido, mas há alguns detalhes que 
podem ser melhorados. 
 O primeiro deles é a variação que ocorre no eixo y. O valor inicial é 82000 
e o valor final 180000. E se quisermos que os valores no eixo y variem de 0 a 
190000? Basta fazermos “plt.ylim(0, 190000)”. O comando “plt.ylim” define o 
limite inferior e o limite superior do eixo y. 
 Sendo assim, temos: 
import matplotlib.pyplot as plt 
x=['Maio', 'Junho', 'Julho', 'Agosto', 'Setembro'] 
y=[120000, 98000, 82000, 105000, 180000] 
plt.plot(x,y) 
plt.ylim(0, 190000) 
plt.show() 
 
 
 
4 
Figura 2 – Construção de gráfico pelo Python – Total de downloads de maio a 
setembro (2) 
 
 Observe que agora o gráfico está em um sistema de eixos coordenados 
em que o eixo y varia de 0 a 190000. 
 Podemos adicionar um título ao gráfico por meio do comando “plt.title()”. 
O texto no eixo x é dado por “plt.xlabel()” e no eixo y por “plt.ylabel()”: 
import matplotlib.pyplot as plt 
x=['Maio', 'Junho', 'Julho', 'Agosto', 'Setembro'] 
y=[120000, 98000, 82000, 105000, 180000] 
plt.plot(x,y) 
plt.ylim(0, 190000) 
plt.title('Downloads de maio a setembro') 
plt.xlabel('Mês') 
plt.ylabel('Downloads') 
plt.show() 
 
 
 
5 
Figura 3 – Construção de gráfico pelo Python – Total de downloads de maio a 
setembro (3) 
 
 Além da linha cheia, podemos utilizar outros tipos de linhas ou outros tipos 
de marcadores para a construção de gráficos. 
 A seguir, veremos que o comando “plt.plot(x,y,'r o')” plota um gráfico com 
círculos vermelhos: 
import matplotlib.pyplot as plt 
x=['Maio', 'Junho', 'Julho', 'Agosto', 'Setembro'] 
y=[120000, 98000, 82000, 105000, 180000] 
plt.plot(x,y, 'r o') 
plt.ylim(0, 190000) 
plt.title('Downloads de maio a setembro') 
plt.xlabel('Mês') 
plt.ylabel('Downloads') 
plt.show() 
 
 
 
 
6 
Figura 4 – Construção de gráfico pelo Python – Total de downloads de maio a 
setembro (4) 
 
 Também é possível construir um gráfico com linhas e círculos vermelhos. 
Para isso, utilizaremos duas vezes o comando “plt.plot()”: 
import matplotlib.pyplot as plt 
import matplotlib.pyplot as plt 
x=['Maio', 'Junho', 'Julho', 'Agosto', 'Setembro'] 
y=[120000, 98000, 82000, 105000, 180000] 
plt.plot(x,y) 
plt.plot(x,y, 'r o') 
plt.ylim(0, 190000) 
plt.title('Downloads de maio a setembro') 
plt.xlabel('Mês') 
plt.ylabel('Downloads') 
plt.show() 
 
 
 
 
7 
Figura 5 – Construção de gráfico pelo Python – Total de downloads de maio a 
setembro (5) 
 
 A seguir, temos os caracteres para as cores, tipos de linhas e marcadores: 
Tabela 2 – Lista de caracteres para as cores, tipos de linhas e marcadores 
Cor Caractere 
Amarelo y 
Azul b 
Branco w 
Ciano c 
Magenta m 
Preto k 
Verde g 
Vermelho r 
Linha Caractere 
Cheia - 
Pontilhada : 
 
 
8 
Tracejada -- 
Traço-ponto -. 
Marcador Caractere 
Ponto . 
Pixel , 
Círculo o 
Triângulo v 
Triângulo ^ 
Triângulo < 
Triângulo > 
Y para baixo 1 
Y para cima 2 
Y para a esquerda 3 
Y para a direita 4 
Quadrado s 
Pentágono p 
Estrela * 
Hexágono h 
Hexágono H 
Sinal de adição + 
Sinal de multiplicação x 
Losango largo D 
Losango estreito d 
Linha vertical | 
Linha horizontal _ 
Se quisermos, podemos especificar a largura da linha, atribuindo um valor 
ao parâmetro “linewidth” dentro do comando “plt.plot()”: 
import matplotlib.pyplot as plt 
x=['Maio', 'Junho', 'Julho', 'Agosto', 'Setembro'] 
y=[120000, 98000, 82000, 105000, 180000] 
plt.plot(x,y,'r', linewidth=3) 
plt.ylim(0, 190000) 
plt.title('Downloads de maio a setembro') 
plt.xlabel('Mês') 
 
 
9 
plt.ylabel('Downloads') 
plt.show() 
Figura 6 – Construção de gráfico pelo Python – Total de downloads de maio a 
setembro (6) 
 
Fonte: Elaborado pelo autor. 
Para salvar o gráfico gerado pelo Python, o comando é 
“plt.savefig('NomeDaFigura.png')”. Utilizando o Microsoft Azure Notebooks 
também é possível copiar a figura e colar essa figura no texto quando estamos 
utilizando o modo “Markdown”. 
 A seguir, veremos como é possível construirmos gráficos de barras. 
TEMA 2 – GRÁFICOS DE BARRAS 
Assim como os gráficos de linhas, também podemos utilizar o Python para 
construirmos de um jeito fácil gráficos de barras. O comando é “plt.bar()”. Vamos 
acompanhar o seguinte exemplo. 
 
 
 
10 
Exemplo 1 
Na tabela a seguir, são apresentados os números de afastamentos por 
acidente de trabalho nos primeiros cinco anos de existência de uma determinada 
empresa. 
Tabela 3 – Número de afastamentos por acidente de trabalho numa determinada 
empresa 
Ano 2014 2015 2016 2017 2018 
Acidentes 7 2 5 4 1 
Faça um gráfico de barras relacionado a esses dados. 
Resolução: 
import matplotlib.pyplot as plt 
x=['2014', '2015', '2016', '2017', '2018'] 
y=[7, 2, 5, 4, 1] 
plt.bar(x,y) 
plt.title('Afastamentos por acidente') 
plt.xlabel('Ano') 
plt.ylabel('Acidentes') 
plt.show() 
Figura 7 – Construção de gráfico pelo Python – Total de afastamentos por 
acidentes (1) 
 
 
 
11 
 Nesse exemplo, com base nos vetores “x” e “y” e no comando 
“plt.bar(x,y)”, foi possível construirmos o gráfico de barras. Os comandos 
“plt.title(' Afastamentos por acidente')”, “plt.xlabel('Ano')” e 
“plt.ylabel('Acidentes')” foram utilizados para a inserção do título e dos textos 
referentes aos eixos x e y. 
A largura das colunas pode ser alterada acrescentando-se o valor no 
comando “plt.bar(x,y,largura)”. Atribuímos o valor 0,5 à variável “largura”, mas 
esse valor pode ser colocado diretamente após os termos “x” e “y”: 
“plt.bar(x,y,0.5)”: 
import matplotlib.pyplot as plt 
x=['2014', '2015', '2016', '2017', '2018'] 
y=[7, 2, 5, 4, 1] 
largura=0.5 
plt.bar(x,y,largura) 
plt.title('Afastamentos por acidente') 
plt.xlabel('Ano') 
plt.ylabel('Acidentes') 
plt.show() 
Figura 8 – Construção de gráfico pelo Python – Total de afastamentos por 
acidentes (2) 
 
 
 
12 
 O gráfico é o mesmo, mas com as colunas mais estreitas do que as 
obtidas anteriormente. 
 Tambémpodemos plotar as barras na horizontal utilizando o comando 
“plt.barh()”. É importante ressaltar que agora o texto referente ao eixo x é 
“plt.xlabel('Acidentes')” e o referente ao eixo y é “plt.ylabel('Ano')”. 
import matplotlib.pyplot as plt 
x=['2014', '2015', '2016', '2017', '2018'] 
y=[7, 2, 5, 4, 1] 
largura=0.5 
plt.barh(x,y,largura) 
plt.title('Afastamentos por acidente') 
plt.xlabel('Acidentes') 
plt.ylabel('Ano') 
plt.show() 
Figura 9 – Construção de gráfico pelo Python – Total de afastamentos por 
acidentes (3) 
 
 
 
13 
 E se for preciso plotar um gráfico de barras agrupadas, ou seja, um gráfico 
em que tivermos a representação de mais do que uma variável dependente no 
mesmo sistema e eixos coordenados? 
 É possível utilizarmos o Python para gráficos desse tipo. O detalhe é que 
teremos que deslocar a representação de cada grupo de barras para evitar que 
elas fiquem sobrepostas. 
 Vamos acompanhar um exemplo para entendermos melhor o que 
precisamos fazer. 
Exemplo 2 
Na tabela a seguir, é apresentado o número de afastamentos por acidente 
de trabalho e os afastamentos por doença nos primeiros cinco anos de existência 
de uma determinada empresa. 
Tabela 4 – Número de afastamentos por acidente de trabalho e de afastamentos 
por doença nos primeiros cinco anos de existência de uma determinada empresa 
Ano 2014 2015 2016 2017 2018 
Acidentes 7 2 5 4 1 
Doenças 32 21 17 22 13 
Faça um gráfico de barras relacionado a esses dados. 
Resolução: 
 Vamos precisar criar um vetor que iremos denominar de “ano” para 
armazenarmos os anos de 2014 a 2018 e, em seguida, utilizaremos o comando 
“np.arrange(5)” da biblioteca NumPy para criarmos cinco valores igualmente 
espaçados. O número “5” está associado ao total de anos (de 2014 a 2018, 
temos um total de cinco anos). Esse procedimento é importante, pois para 
plotarmos o segundo grupo de barras, será preciso fazer o deslocamento dessas 
barras somando um valor às componentes de “x”. Quando utilizamos números, 
a soma é possível, mas não seria possível efetuar essa soma com sequências 
de caracteres (meses, por exemplo). Esse deslocamento é feito somando a 
variável “largura” às componentes do vetor “x”: “plt.bar(x+largura, y2, largura, 
color='c')”. O comando “plt.xticks(x, ano)” escreve no eixo x o ano para cada 
respectivo valor pertencente ao vetor “x”. Como temos dois grupos de barras, 
adicionamos uma legenda ao gráfico utilizando o comando 
 
 
14 
“plt.legend(['Acidentes', 'Doenças'], loc=1)” em que o parâmetro “loc” especifica 
a localização das legendas. O número “1” indica o canto superior direito. 
import matplotlib.pyplot as plt 
import numpy as np 
ano=['2014', '2015', '2016', '2017', '2018'] 
x=np.arange(5) 
y1=[7, 2, 5, 4, 1] 
y2=[32, 21, 17, 22, 13] 
largura=0.3 
plt.bar(x, y1, largura, color='r') 
plt.bar(x+largura, y2, largura, color='c') 
plt.xticks(x, ano) 
plt.title('Afastamentos por acidentes e por doenças') 
plt.xlabel('Ano') 
plt.ylabel('Afastamentos') 
plt.legend(['Acidentes', 'Doenças'], loc=1) 
plt.show() 
Figura 10 – Construção de gráfico pelo Python – Total de afastamentos por 
acidentes e por doenças em uma determinada empresa 
 
 
 
15 
TEMA 3 – GRÁFICOS DE PIZZA 
Também é possível construirmos gráficos de pizza, também conhecidos 
como gráficos de torta (pie). Vamos acompanhar a resolução de um exemplo em 
que abordaremos detalhes importantes relacionados a esse tipo de gráfico. 
Exemplo 1 
Em um período de 12 meses, uma imobiliária vendeu 132 apartamentos 
de 1 quarto, 89 apartamentos de 2 quartos e 115 apartamentos de 3 quartos. 
Faça um gráfico de pizza que representa as vendas dessa imobiliária. 
Resolução: 
 Para construirmos um gráfico de pizza, utilizaremos o comando 
“plt.pie(x)”. Em particular, acrescentaremos ainda o parâmetro “label” para que 
tenhamos a exibição dos números de quartos relacionados a cada parte do 
gráfico: “plt.pie(x,labels=cursos)”. Observe que os termos associados aos 
números de quartos estão armazenados no vetor “quartos”. Para que a 
representação fique precisa, é importante que os eixos x e y tenham as mesmas 
proporções. Isso é feito com o comando “plt.axis('equal')”. 
import matplotlib.pyplot as plt 
x=[132, 89, 115] 
quartos=['1 quarto', '2 quartos', '3 quartos'] 
plt.axis('equal') 
plt.pie(x,labels=quartos) 
plt.title('Vendas dos apartamentos') 
plt.show() 
Figura 11 – Gráfico de pizza representando as vendas de apartamentos de uma 
imobiliária (1) 
 
 
 
16 
 Podemos adicionar as respectivas porcentagens por meio do parâmetro 
“autopct”: 
import matplotlib.pyplot as plt 
x=[132, 89, 115] 
quartos=['1 quarto', '2 quartos', '3 quartos'] 
plt.axis('equal') 
plt.pie(x,labels=quartos,autopct='%1.1f%%') 
plt.title('Vendas dos apartamentos') 
plt.show() 
Figura 12 – Gráfico de pizza representando as vendas de apartamentos de uma 
imobiliária (2) 
 
 Também é possível adicionar cores e sombra no gráfico. As cores são 
definidas pelo parâmetro “colors” e a sombra pelo parâmetro “shadow”: 
import matplotlib.pyplot as plt 
x=[132, 89, 115] 
quartos=['1 quarto', '2 quartos', '3 quartos'] 
cores=['r', 'm', 'y'] 
plt.axis('equal') 
plt.pie(x,labels=quartos, colors=cores, shadow=True, autopct='%1.1f%%') 
plt.title('Vendas dos apartamentos') 
 
 
17 
plt.show() 
Figura 13 – Gráfico de pizza representando as vendas de apartamentos de uma 
imobiliária (3) 
 
 Também é possível dar um destaque a uma ou mais partes do gráfico 
utilizando o parâmetro “explode” e definindo os tamanhos dos afastamentos de 
cada parte do gráfico: 
import matplotlib.pyplot as plt 
x=[132, 89, 115] 
quartos=['1 quarto', '2 quartos', '3 quartos'] 
cores=['r', 'm', 'y'] 
plt.axis('equal') 
plt.pie(x,labels=quartos, colors=cores, shadow=True, explode=(0.1, 0, 0), 
autopct='%1.1f%%') 
plt.title('Vendas dos apartamentos') 
plt.show() 
 
 
 
18 
Figura 14 – Gráfico de pizza representando as vendas de apartamentos de uma 
imobiliária (4) 
 
TEMA 4 – FIGURAS GEOMÉTRICAS 
 Além dos gráficos de linhas, de barras ou de pizza, muitas vezes 
precisamos construir figuras geométricas para que possamos fazer 
representações e atingir nossos objetivos. 
 Inicialmente, vamos ver como podemos construir retângulos. Será 
necessário importar a biblioteca “matplotlib.patches”. Também é preciso criar 
uma figura (fig=plt.figure()) para depois construirmos o retângulo. No exemplo a 
seguir veremos esses detalhes. 
Exemplo 1 
Construa um retângulo azul com base igual a 4, altura igual a 8 e canto 
inferior direito no ponto P de coordenadas (3, 0). 
Resolução: 
import matplotlib.pyplot as plt 
import matplotlib.patches as patches 
fig=plt.figure() 
fig1=fig.add_subplot(111, aspect='equal') 
fig1.add_patch (patches.Rectangle((3, 0), 4, 8, color='blue')) 
plt.ylim(0,12) 
 
 
19 
plt.xlim(0,12) 
Figura 15 – Gráfico com figuras geométricas (1) 
 
 Também podemos construir mais do que um retângulo na mesma figura. 
Exemplo 2 
Construa um retângulo verde com base igual a 2, altura igual a 7 e canto 
inferior esquerdo no ponto A (2, 0) e na mesma figura um retângulo vermelho 
com base igual a 2 unidades, altura igual a 8 unidades e canto inferior esquerdo 
no ponto B (4, 0). 
Resolução: 
import matplotlib.pyplot as plt 
import matplotlib.patches as patches 
fig=plt.figure() 
fig1=fig.add_subplot(111, aspect='equal') 
fig1.add_patch (patches.Rectangle((2, 0), 2, 7, color='green')) 
fig1.add_patch (patches.Rectangle((4, 0), 2, 8, color='red')) 
plt.ylim(0,10) 
plt.xlim(0,10) 
 
 
 
20 
Figura 16 – Gráfico com figuras geométricas (2) 
 
 Para obtermos um círculo, o procedimento segue o mesmo princípio da 
representação de um retângulo, mas agora precisamos utilizar o comando 
“patches.Circle()”. 
Exemplo 3 
Obtenha um círculo vermelho com centro em C(5, 5) e raio igual a 4. 
Resolução: 
import matplotlib.pyplot as plt 
importmatplotlib.patches as patches 
fig=plt.figure() 
fig1=fig.add_subplot(111, aspect='equal') 
fig1.add_patch (patches.Circle((5,5), 4, color='red')) 
plt.ylim(0,12) 
plt.xlim(0,12) 
 
 
 
21 
Figura 17 – Gráfico com figuras geométricas (3) 
 
 O círculo é um caso particular da elipse cuja representação é feita 
mediante o comando “patches.Ellipse()” em que, além das coordenadas do 
centro, precisamos informar o diâmetro horizontal e o diâmetro vertical. 
No exemplo a seguir, veremos como é possível desenhar uma elipse 
utilizando o Python. 
Exemplo 4 
Obtenha uma elipse verde com centro em C (2, 3), diâmetro horizontal 
igual a 6 e diâmetro vertical igual a 4. 
 Resolução: 
import matplotlib.pyplot as plt 
import matplotlib.patches as patches 
fig=plt.figure() 
fig1=fig.add_subplot(111, aspect='equal') 
fig1.add_patch (patches.Ellipse((2,3), 6, 4, color='green')) 
plt.ylim(0,8) 
plt.xlim(-3,8) 
 
 
 
 
22 
Figura 18 – Gráfico com figuras geométricas (4) 
 
TEMA 5 – GRÁFICOS TRIDIMENSIONAIS 
Gráficos tridimensionais também podem ser feitos por meio de comandos 
existentes na biblioteca matplotlib. Veremos exemplos de diferentes 
representações de gráficos tridimensionais. 
 A sequência de comandos a seguir tem como objetivo criar um sistema 
tridimensional de eixos cartesianos: 
import matplotlib.pyplot as plt 
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D 
fig=plt.figure() 
ax=plt.axes(projection='3d') 
Figura 19 – Gráfico tridimensional (1) 
 
 
 
23 
 Essa criação é importante para que possamos fazer as representações 
tridimensionais. 
Um gráfico de superfície é gerado com base na seguinte sequência de 
passos: 
import matplotlib.pyplot as plt 
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D 
import numpy as np 
x=np.linspace(-5,5,100) 
y=np.linspace(-5,5,100) 
X,Y=np.meshgrid(x,y) 
Z=X**2+Y**2 
fig=plt.figure() 
ax=plt.axes(projection='3d') 
ax.plot_surface(X,Y,Z) 
Figura 20 – Gráfico tridimensional (2) 
 
 Também podemos representar em um ambiente tridimensional gráficos 
de linha: 
import matplotlib.pyplot as plt 
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D 
import numpy as np 
fig=plt.figure() 
 
 
24 
ax=plt.axes(projection='3d') 
Z=np.linspace(0, 15, 1000) 
X=np.sin(Z) 
Y=np.cos(Z) 
ax.plot3D(X,Y,Z,'red') 
Figura 21 – Gráfico tridimensional (3) 
 
Uma superfície aramada pode ser obtida com o uso do comando 
“plot_wireframe()”: 
import matplotlib.pyplot as plt 
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D 
import numpy as np 
x=np.linspace(-5,5,100) 
y=np.linspace(-5,5,100) 
X,Y=np.meshgrid(x,y) 
Z=X**2+Y**2 
fig=plt.figure() 
ax=plt.axes(projection='3d') 
ax.plot_wireframe(X,Y,Z) 
 
 
 
 
25 
Figura 22 – Gráfico tridimensional (4) 
 
 Também é possível plotar curvas de nível: 
import matplotlib.pyplot as plt 
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D 
import numpy as np 
x=np.linspace(-5,5,100) 
y=np.linspace(-5,5,100) 
X,Y=np.meshgrid(x,y) 
Z=X**2+Y**2 
fig=plt.figure() 
ax=plt.axes(projection='3d') 
ax.contour3D(X,Y,Z,15) 
Figura 23 – Gráfico tridimensional (5) 
 
 
 
26 
FINALIZANDO 
 Nesta aula, aprendemos a fazer gráficos de linha, de barras, de pizza e 
alterar diversos parâmetros. Também aprendemos a construir figuras 
geométricas em Python e a construirmos diversos tipos de gráficos 
tridimensionais. Mais adiante, estudaremos derivadas e integrais. Aprenderemos 
a resolver problemas de máximos e mínimos, calcular áreas e a resolver diversos 
problemas práticos relacionados. 
 
 
 
 
27 
REFERÊNCIAS 
CASTANHEIRA, N. P. Matemática aplicada. 3. ed. Curitiba: Ibpex, 2010. 
DEMANA, F. D. et al. Pré-cálculo. 2. ed, São Paulo: Pearson, 2013. 
FLEMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: função de uma variável. 2. ed. 
São Paulo: Pearson, 2007. 
PERKOVIC, L. Introdução à computação usando Python: um foco no 
desenvolvimento de aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 2016.