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Cardano Desigualdades I Prof. Cícero Thiago Teorema 1. Seja x ∈R, então x 2 ≥ 0 e a igualdade ocorre se, e somente se, x = 0. Teorema 2. Sejam a1, a2, . . . , an reais positivos, então a desigualdade ocorre a1+a2+ . . .+an n ≥ n p a1a2 . . .an com a igualdade ocorrendo se e, somente se, a1 = a2 = . . .= an . Demonstração 1. Façamos a prova em dois passos: i. A desigualdade é verdadeira quando n for uma potência de 2, ocorrendo a igualdade se, e somente se, todos os números forem iguais. ii. A desigualdade é verdadeira em geral, e a igualdade ocorre se, e somente se, os números forem todos iguais. i. Façamos indução sobre k ≥ 1, sendo n = 2k : Para k = 1, temos a1+a2 2 ≥pa1a2⇔ a1−2 p a1a2+a2 ≥ 0⇔ ( p a1− p a2) 2 ≥ 0, o que é verdade. Há igualdade se, e somente se, ( p a1 − p a2) 2 = 0, i.e., se e só se a1 = a2. Se já provamos que a1+a2+ . . .+an n ≥ npa1a2 . . .an , com igualdade acontecendo se e só se a1 = a2 = . . .= a n para n = 2 k , então (a1+a2+ . . .+an )+ (an+1+an+2+ . . .+a2n ) 2n = 1 2 ha1+a2+ . . .+an n + an+1+an+2+ . . .+a2n n i ≥ n p a1 . . .an + n p an+1 . . .a2n 2 ≥ q n p a1 . . .an n p an+1 . . .a2n = 2n p a1 . . .an an+1 . . .a2n Para haver igualdade, devemos ter igualdade em todas as passagens. Então, deve ser a1 = . . .= an e an+1 = . . .= a2n A última igualdade ocorre se e só se n p a1 . . .an = n p an+1 . . .a2n . Estas duas condições juntas implicam que devemos ter a1 = . . . = an = an+1 = . . . = a2n . É também evidente que se os números forem todos iguais a igualdade ocorre. 1 ii. Seja agora n > 1 um natural qualquer e a1, . . . , an reais positivos. Tome k natural tal que 2k > n . Usando a desigualdade entre as médias para os 2k números a1, . . . , an e 2k −n cópias de a = n p a1 . . .an , obtemos a1+ . . .+an +a + . . .+a 2k ≥ 2k Æ a1 . . .an a 2 k−n = 2k p a n a 2k−n = 2k p a 2k = a , e daí a1 + . . .+ an + (2 k − n )a ≥ 2k a , ou ainda a1+ . . .+an n ≥ a = npa1 . . .an , que era a de- sigualdade desejada. Para haver igualdade, segue do item i que deve ser a1 = . . . = an = a = . . .= a . Em particular, todos os números a1, . . . , an devem ser iguais. É fácil ver que se esses números forem todos iguais então igualdade. Teorema 3. Sejam a1, a2, . . . , an , b1, b2, . . . , bn números reais não todos nulos então a seguinte desigualdade ocorre: (a1b1+a2b2+ . . .+an bn ) 2 ≤ (a 21 +a 2 2 + . . .+a 2 n )(b 21 + b 2 2 + . . .+ b 2 n ). A igualdade ocorre somente se a1 b1 = a2 b2 = . . .= an bn Demonstração 2. Nós podemos escrever (x a1+ b1) 2+ (x a2+ b2) 2+ . . .+ (x an + bn ) 2 = (x 2a 21 +2x a1b1+ b 2 1 )+ . . .+ (x 2a 2 n +2x an bn + b 2 n ) = A x 2+2B x +C , onde A = a 21 +a 2 2 + . . .+a 2 n , B = a1b1+a2b2+ . . .+an bn , C = b 21 + b 2 2 + . . .+ b 2 n . O lado esquerdo da equação acima é, uma soma de quadrados, não - negativo para todo x ; em particular para x =−B A . Substituindo este valor em x na equação temos: A B 2 A2 −2B B A +C = AC −B 2 A ≥ 0. Como A > 0 então AC −B 2 ≥ 0. E a desigualdade está provada! A igualdade só é possível se x a1+ b1 = x a2+ b2 = . . .= x an + bn , que é o mesmo que, b1 a1 = . . .= bn an (=−x ) 2 Exemplo 1. (Teorema de Laguerre) Suponha que todas as raízes do polinômio x n + an−1x n−1 + . . .+ a0 sejam reais. Então, as raízes pertencem ao intervalo de extremidades −an−1 n ± n −1 n √ √ a 2n−1− 2n n −1an−2. Demonstração 3. Seja y uma das raízes e y1, y2, . . . , yn−1 as outras. Então, o polinômio de- verá ser (x − y )(x − y1) . . . (x − yn−1). Assim, −an−1= y + y1+ . . .+ yn−1 an−2 = y (yn−1+ . . .+ yn−1)+ ∑ i< j yi y j , e, daí, a 2 n−1−2an−2− y 2 = n−1 ∑ i=1 yi 2. Pela desigualdade de Cauchy aplicada a (y1, . . . , yn−1) e (1, . . . , 1), (an−1+ y ) 2 = (y1+ y2+ . . .+ yn−1) 2 ≤ (n −1) n−1 ∑ i=1 y 2 i = (n −1)(a 2 n−1−2an−2− y 2), ou y 2+ 2an−1 n y + 2(n −1) n an−2− n −2 n a 2 n−1≤ 0. Assim, os y (e portanto todos os yi ) estão entre as duas raízes da função quadrática, e essas raízes são nossos limitantes. Exercícios propostos 1. (OBM) (a) Sejam x0 e x1 as raízes da equação x 2+ b x + c = 0. Seja y = 3 p x0+ 3 p x1; encontre r e s em função de b e c para os quais y satisfaz a equação y 3+ r y + s = 0. (b) Usando o item anterior, encontre uma raiz de z 3+p z +q = 0 em função de p e q . 2. Ache todas as soluções reais da equação (x + y )2 = (x +1)(y −1). 3 3. Sejam x , y números reais, no intervalo (0, 1), com a propriedade de que existe um número real positivo a 6= 1 tal que logx a + logy a = 4 logx y a . Prove que x = y . 4. Ache todas as soluções reais do sistema y 2 + u 2 + v 2 + w 2 = 4x −1 x 2 + u 2 + v 2 + w 2 = 4y −1 x 2 + y 2 + v 2 + w 2 = 4u −1 x 2 + y 2 + u 2 + w 2 = 4v −1 x 2 + y 2 + u 2 + v 2 = 4w −1 5. Ache todas as soluções reais do sistema de equações (x1 − x2+ x3)2 = x2(x4 + x5− x2) (x2 − x3+ x4)2 = x3(x5 + x1− x3) (x3 − x4+ x5)2 = x4(x1 + x2− x4) (x4 − x5+ x1)2 = x5(x2 + x3− x5) (x5 − x1+ x2)2 = x1(x3 + x4− x1) 6. Ache todos os números reais x satisfazendo a equação 2x +3x −4x +6x −9x = 1. 7. Determine todos os valores reais de x , y e z que satisfazem a igualdade 3x 2+y 2+z 2 = 2x y +2x z . 8. Sejam x , y , z números reais positivos satisfazendo x + y + z = p x y z . Prove que x y + y z + z x ≥ 9(x + y + z ). 9. (IME) (a) Sejam x , y e z números reais positivos. Prove que x + y + z 3 ≥ 3px y z . Em que condições a igualdade se verifica? (b) Considere um paralelepípedo reto - retângulo de lados a , b e c e área total S0. Determine o volume máximo desse paralelepípedo em função de S0. Qual a relação entre a , b e c para que esse volume seja máximo? Demonstre seu resultado. 10. Prove que 510+610 < 710. 11. Determine todas as soluções reais da equação (16x 200+1) · (y 200+1) = 16(x y )100. 4 12. Determine todas as soluções reais da equação x p x +1+ p 3− x = 2 p x 2+1. 13. Determine todas as soluções reais do sistema 2x 2 1+ y 2 = z 2y 2 1+ z 2 = x 2z 2 1+ x 2 = y 14. Seja P um ponto no interior de um triângulo acutângulo AB C e sejam D , E e F os pontos de interseção das retas AP , B P e C P com os lados B C , C A e AB , respectiva- mente. Determine P de maneira que a área do triângulo DEF seja máxima. 15. Prove que se a , b e c são os lados de um triângulo, então (b+c−a )(c+a−b )(a+b−c ) ≤ a b c . 16. Uma reta que passa pelo baricentro G de um triângulo AB C intersecta o lado AB em P e o lado C A em Q . Prove que P B PA ·Q C Q A ≤ 1 4 . 17. Sejam a , b , c e d números reais. Prove que os números a −b 2, b − c 2, c −d 2 e d −a 2 não podem ser todos maiores que 1 4 . 18. Determine todas as funções f :N→R tais que, para quaisquer k , m e n , vale f (k m )+ f (k n )− f (k )f (mn )≥ 1. 19. Determine todas as funções f :R−→R tais que f (x 2)− (f (x ))2 ≥ 1 4 . 20. (IME) Considere o polinômio x 3+a x+b de coeficientes reais e constante b não nula. Sabendo que suas raízes são reais, demonstre que a < 0. 21. Sejam a , b , c números reais. Prove que se x 3+a x 2+ b x + c possui três raízes reais, então 3b ≤ a 2. 5