Cardano e Desigualdades

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Cardano
Desigualdades I
Prof. Cícero Thiago
Teorema 1. Seja x ∈R, então x 2 ≥ 0 e a igualdade ocorre se, e somente se, x = 0.
Teorema 2. Sejam a1, a2, . . . , an reais positivos, então a desigualdade ocorre
a1+a2+ . . .+an
n
≥ n
p
a1a2 . . .an
com a igualdade ocorrendo se e, somente se, a1 = a2 = . . .= an .
Demonstração 1. Façamos a prova em dois passos:
i. A desigualdade é verdadeira quando n for uma potência de 2, ocorrendo a igualdade se,
e somente se, todos os números forem iguais.
ii. A desigualdade é verdadeira em geral, e a igualdade ocorre se, e somente se, os números
forem todos iguais.
i. Façamos indução sobre k ≥ 1, sendo n = 2k : Para k = 1, temos
a1+a2
2
≥pa1a2⇔ a1−2
p
a1a2+a2 ≥ 0⇔ (
p
a1−
p
a2)
2 ≥ 0,
o que é verdade. Há igualdade se, e somente se, (
p
a1 −
p
a2)
2 = 0, i.e., se e só se a1 = a2.
Se já provamos que
a1+a2+ . . .+an
n
≥ npa1a2 . . .an , com igualdade acontecendo se e só se
a1 = a2 = . . .= a n para n = 2
k , então
(a1+a2+ . . .+an )+ (an+1+an+2+ . . .+a2n )
2n
=
1
2
ha1+a2+ . . .+an
n
+
an+1+an+2+ . . .+a2n
n
i
≥
n
p
a1 . . .an + n
p
an+1 . . .a2n
2
≥
q
n
p
a1 . . .an
n
p
an+1 . . .a2n =
2n
p
a1 . . .an an+1 . . .a2n
Para haver igualdade, devemos ter igualdade em todas as passagens. Então, deve ser
a1 = . . .= an e an+1 = . . .= a2n
A última igualdade ocorre se e só se n
p
a1 . . .an = n
p
an+1 . . .a2n . Estas duas condições juntas
implicam que devemos ter a1 = . . . = an = an+1 = . . . = a2n . É também evidente que se os
números forem todos iguais a igualdade ocorre.
1
ii. Seja agora n > 1 um natural qualquer e a1, . . . , an reais positivos. Tome k natural tal
que 2k > n . Usando a desigualdade entre as médias para os 2k números a1, . . . , an e 2k −n
cópias de a = n
p
a1 . . .an , obtemos
a1+ . . .+an +a + . . .+a
2k
≥ 2k
Æ
a1 . . .an a 2
k−n =
2k
p
a n a 2k−n =
2k
p
a 2k = a ,
e daí a1 + . . .+ an + (2
k − n )a ≥ 2k a , ou ainda a1+ . . .+an
n
≥ a = npa1 . . .an , que era a de-
sigualdade desejada. Para haver igualdade, segue do item i que deve ser a1 = . . . = an =
a = . . .= a . Em particular, todos os números a1, . . . , an devem ser iguais. É fácil ver que se
esses números forem todos iguais então igualdade.
Teorema 3. Sejam a1, a2, . . . , an , b1, b2, . . . , bn números reais não todos nulos então a
seguinte desigualdade ocorre:
(a1b1+a2b2+ . . .+an bn )
2 ≤ (a 21 +a
2
2 + . . .+a
2
n
)(b 21 + b
2
2 + . . .+ b
2
n
).
A igualdade ocorre somente se
a1
b1
=
a2
b2
= . . .=
an
bn
Demonstração 2. Nós podemos escrever
(x a1+ b1)
2+ (x a2+ b2)
2+ . . .+ (x an + bn )
2 =
(x 2a 21 +2x a1b1+ b
2
1 )+ . . .+ (x
2a 2
n
+2x an bn + b
2
n
) =
A x 2+2B x +C ,
onde
A = a 21 +a
2
2 + . . .+a
2
n
,
B = a1b1+a2b2+ . . .+an bn ,
C = b 21 + b
2
2 + . . .+ b
2
n
.
O lado esquerdo da equação acima é, uma soma de quadrados, não - negativo para todo
x ; em particular para x =−B
A
. Substituindo este valor em x na equação temos:
A
B 2
A2
−2B B
A
+C =
AC −B 2
A
≥ 0.
Como A > 0 então AC −B 2 ≥ 0. E a desigualdade está provada! A igualdade só é possível se
x a1+ b1 = x a2+ b2 = . . .= x an + bn ,
que é o mesmo que,
b1
a1
= . . .=
bn
an
(=−x )
2
Exemplo 1. (Teorema de Laguerre)
Suponha que todas as raízes do polinômio x n + an−1x n−1 + . . .+ a0 sejam reais. Então, as
raízes pertencem ao intervalo de extremidades
−an−1
n
± n −1
n
√
√
a 2n−1−
2n
n −1an−2.
Demonstração 3. Seja y uma das raízes e y1, y2, . . . , yn−1 as outras. Então, o polinômio de-
verá ser (x − y )(x − y1) . . . (x − yn−1). Assim,
−an−1= y + y1+ . . .+ yn−1
an−2 = y (yn−1+ . . .+ yn−1)+
∑
i< j
yi y j ,
e, daí,
a 2
n−1−2an−2− y
2 =
n−1
∑
i=1
yi
2.
Pela desigualdade de Cauchy aplicada a (y1, . . . , yn−1) e (1, . . . , 1),
(an−1+ y )
2 = (y1+ y2+ . . .+ yn−1)
2
≤ (n −1)
n−1
∑
i=1
y 2
i
= (n −1)(a 2
n−1−2an−2− y
2),
ou
y 2+
2an−1
n
y +
2(n −1)
n
an−2−
n −2
n
a 2
n−1≤ 0.
Assim, os y (e portanto todos os yi ) estão entre as duas raízes da função quadrática, e essas
raízes são nossos limitantes.
Exercícios propostos
1. (OBM) (a) Sejam x0 e x1 as raízes da equação x
2+ b x + c = 0. Seja
y = 3
p
x0+
3
p
x1;
encontre r e s em função de b e c para os quais y satisfaz a equação y 3+ r y + s = 0.
(b) Usando o item anterior, encontre uma raiz de z 3+p z +q = 0 em função de p e q .
2. Ache todas as soluções reais da equação (x + y )2 = (x +1)(y −1).
3
3. Sejam x , y números reais, no intervalo (0, 1), com a propriedade de que existe um
número real positivo a 6= 1 tal que
logx a + logy a = 4 logx y a .
Prove que x = y .
4. Ache todas as soluções reais do sistema









y 2 + u 2 + v 2 + w 2 = 4x −1
x 2 + u 2 + v 2 + w 2 = 4y −1
x 2 + y 2 + v 2 + w 2 = 4u −1
x 2 + y 2 + u 2 + w 2 = 4v −1
x 2 + y 2 + u 2 + v 2 = 4w −1
5. Ache todas as soluções reais do sistema de equações
(x1 − x2+ x3)2 = x2(x4 + x5− x2)
(x2 − x3+ x4)2 = x3(x5 + x1− x3)
(x3 − x4+ x5)2 = x4(x1 + x2− x4)
(x4 − x5+ x1)2 = x5(x2 + x3− x5)
(x5 − x1+ x2)2 = x1(x3 + x4− x1)
6. Ache todos os números reais x satisfazendo a equação
2x +3x −4x +6x −9x = 1.
7. Determine todos os valores reais de x , y e z que satisfazem a igualdade 3x 2+y 2+z 2 =
2x y +2x z .
8. Sejam x , y , z números reais positivos satisfazendo x + y + z =
p
x y z . Prove que
x y + y z + z x ≥ 9(x + y + z ).
9. (IME) (a) Sejam x , y e z números reais positivos. Prove que
x + y + z
3
≥ 3px y z . Em
que condições a igualdade se verifica?
(b) Considere um paralelepípedo reto - retângulo de lados a , b e c e área total S0.
Determine o volume máximo desse paralelepípedo em função de S0. Qual a relação
entre a , b e c para que esse volume seja máximo? Demonstre seu resultado.
10. Prove que 510+610 < 710.
11. Determine todas as soluções reais da equação (16x 200+1) · (y 200+1) = 16(x y )100.
4
12. Determine todas as soluções reais da equação x
p
x +1+
p
3− x = 2
p
x 2+1.
13. Determine todas as soluções reais do sistema











2x 2
1+ y 2
= z
2y 2
1+ z 2
= x
2z 2
1+ x 2
= y
14. Seja P um ponto no interior de um triângulo acutângulo AB C e sejam D , E e F os
pontos de interseção das retas AP , B P e C P com os lados B C , C A e AB , respectiva-
mente. Determine P de maneira que a área do triângulo DEF seja máxima.
15. Prove que se a , b e c são os lados de um triângulo, então (b+c−a )(c+a−b )(a+b−c ) ≤
a b c .
16. Uma reta que passa pelo baricentro G de um triângulo AB C intersecta o lado AB em
P e o lado C A em Q . Prove que
P B
PA
·Q C
Q A
≤ 1
4
.
17. Sejam a , b , c e d números reais. Prove que os números a −b 2, b − c 2, c −d 2 e d −a 2
não podem ser todos maiores que
1
4
.
18. Determine todas as funções f :N→R tais que, para quaisquer k , m e n , vale f (k m )+
f (k n )− f (k )f (mn )≥ 1.
19. Determine todas as funções f :R−→R tais que
f (x 2)− (f (x ))2 ≥ 1
4
.
20. (IME) Considere o polinômio x 3+a x+b de coeficientes reais e constante b não nula.
Sabendo que suas raízes são reais, demonstre que a < 0.
21. Sejam a , b , c números reais. Prove que se x 3+a x 2+ b x + c possui três raízes reais,
então 3b ≤ a 2.
5