Lista 1_ Lugares Geométricos e Geometria

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Lugares Geométricos e Geometria
Prof. Ćıcero Thiago
1. Distância entre dois pontos no plano complexo
Se z1(a, b) e z2(c, d) correspondem a z1 = a+bi e z2 = c+di
no plano complexo, então |z1 − z2| = |(a − c) + (b − d)i| =
√
(a− c)2 + (b − d)2.
2. Lugares Geométricos
2.1. Circunferência
A circunferência de centro na origem O e raio r será
representada por |z| = r. A circunferência com centro
em z1 = a + bi (a, b ∈ R) e raio r será representada por
|z − z1| = r.
r
b
O
r
b
O
b
z1
Além disso, a regiâo interna ao ćırculo (excluindo a borda),
em que z1 = a + bi (a, b ∈ R) é o centro do ćırculo e r é o
raio, será representada por |z − z1| < r.
A região externa ao ćırculo (excluindo a borda), em que
z1 = a+ bi (a, b ∈ R) é o centro do ćırculo e r é o raio, será
representada por |z − z1| > r.
A coroa circular (excluindo as bordas) em que z1 = a + bi
(a, b ∈ R) é o centro do ćırculo e r é o raio, e z2 = c + di
(c, d ∈ R) é o centro do ćırculo e R é o raio, é a região
representada por r < |z − z1| < R.
2.2. Mediatriz
Se os pontos z1 e z2 correspondem a z1 = a+bi e z2 = c+di
(a, b, c, d ∈ R) no plano complexo, a mediatriz do segmento
z1z2 será representada por |z − z1| = |z − z2|.
2.3. Elipse
Uma elipse será representada por
|z − z1|+ |z − z2| = 2a (|F1F2| = |z1 − z2| < 2a), (1)
em que z1 e z2 são os focos e o eixo maior mede 2a. Quando
|F1F2| = |z1 − z2| = 2a, a equação (1) representará o
segmento z1z2 e quando |F1F2| = |z1 − z2| > 2a a equação
(1) não representará lugar geométrico.
2.4. Hipérbole
Uma hipérbole será representada por
|z − z1| − |z − z2| = ±2a (|F1F2| = |z1 − z2| > 2a), (2)
em que z1 e z2 são os focos e o eixo real mede 2a. Quando
|F1F2| = |z1 − z2| = 2a, a equação (2) representará as retas
z1x
′ e z2x e quando |F1F2| = |z1 − z2| < 2a a equação (2)
não representará lugar geométrico.
2.5. Circunferência de Apolônio
Antes de estudarmos a interpretação do ponto de vista dos
números complexos, do próximo lugar geométrico, iremos
ver a interpretação geométrica.
Teorema 1. (Circunferência de Apolônio) Sejam A e B
dois pontos fixos e k 6= 1 é uma constante real. O lugar
geométrico dos pontos P que satisfazem
AP
PB
= k é uma cir-
cunferência conhecida como circunferência de Apolônio.
Demonstração. Primeiro observe que sobre a reta AB
existem exatamente dois pontos do lugar geométrico. Por
A e B trace segmentos paralelos MN e BQ com BQ = 1 e
MA = AN = k. Sejam R e S as intersecções de QN e QM
com AB, respectivamente.
b
A
b
B
b
M
b
N
b
Q
b
S
b
R
Como os triângulos ANR e BQR são semelhantes então
AR
RB
=
AN
BQ
=
k
1
= k. Além disso, também são semelhantes
os triângulos ASM e BSQ então
AS
SB
=
AM
BQ
=
k
1
= k. Por-
tanto, R e S pertencem ao lugar geométrico. Suponha que
P é um ponto do lugar geométrico, então
AP
PB
= k =
AR
RB
,
portanto PR é a bissetriz interna do ângulo ∠APB e como
AP
PB
= k =
AS
SB
então PS é a bissetriz externa do mesmo
ângulo, isto garante que P está sobre a circunferência de
diâmetro RS.
b
A
b
B
b
S
b
R
b
P
Reciprocamente, considere um ponto P sobre a circun-
ferência de diâmetro RS. Demonstraremos que P é um
ponto do lugar geométrico. Pelo ponto B trace paralelas
BE e BF às retas PR e PS de tal forma que intersectem
AP em E e F , respectivamente. Como os triângulos
ARP e ABE são semelhantes com lados paralelos, pelo
teorema de Tales temos que
AP
PE
=
AR
RB
= k. Pelo mesmo
motivo os triângulos semelhantes ABF e ASP garantem
que
AP
PF
=
AS
SB
= k. Assim, PE = PF , ou seja, P
é o ponto médio do segmento EF e como o triângulo
EBF é retângulo temos que PB = PE = PF . Portanto,
AP
PB
=
AP
PE
= k, com isso podemos afirmar que P pertence
ao lugar geométrico.
b
A
b
B
b
S
b
R
b
P
b
F
b
E
Vamos ver agora a interpretação do ponto de vista dos
números complexos para o ćırculo de Apolônio.
Teorema 2. Se |z− z1| = λ|z − z2|, com λ um número real
positivo diferente de 1, o lugar geométrico será o ćırculo de
Apolônio do segmento z1z2.
Demonstração.
|z−z1| = λ|z−z2| ⇔ (z−z1)(z−z1) = λ2(z−z2)(z−z2) ⇔
|z|2 − z1 − λ
2z2
1− λ2 z −
z1 − λ2z2
1− λ2 z =
λ2|z2|2 − |z1|2
1− λ2 .
∴ |z|2 − z1 − λ
2z2
1− λ2 z −
z1 − λ2z2
1− λ2 z + |
z1 − λ2z2
1− λ2 |
2 =
λ2|z2|2 − |z1|2
1− λ2 + |
z1 − λ2z2
1− λ2 |
2.
∴ |z − z1 − λ
2z2
1− λ2 |
2 = |z1 − λ
2z2
1− λ2 |
2 − |z1|
2 − λ2|z2|2
1− λ2 .
De tal forma que o lugar geométrico será o ćırculo com centro
e z0 =
z1 − λ2z2
1− λ2 e raio r =
√
|z1 − λ
2z2
1− λ2 |
2 − |z1|
2 − λ2|z2|2
1− λ2 .
2
Exerćıcios propostos
1. A região complexa plana K é composta de todos os
pontos z tais que as partes reais e imaginárias de
z
40
e
40
z2
pertencem ao intervalo [0, 1]. Determine a área de
K.
2. (ITA) Determine o conjunto dos números complexos z
para os quais o número w pertence ao conjunto dos
reais. Interprete o conjunto geometricamente.
w =
z + z + 2
√
|z − 1|+ |z + 1| − 3
.
3. (AFA) Considere no campo complexo uma curva tal
que Im
(
2
z
)
≥ k, onde z é um complexo não nulo. Se
k = 2, tem - se sua representação gráfica dada pelo
(a) ćırculo de raio
1
4
e tangente ao eixo real.
(b) ćırculo de raio
1
2
e tangente ao eixo imaginário.
(c) conjunto de pontos do plano complexo exterior ao
ćırculo de raio
1
2
e centro
(
−1
2
, 0
)
.
(d) ćırculo de raio
1
2
e tangente ao eixo real.
4. (AFA) Seja z um número complexo não nulo e i a
unidade imaginária (i2 = −1), z 6= i. O conjunto
de todos os valores de z, para os quais
z + i
1 + iz
é um
número real, representa um(a)
(a) elipse. (b) hipérbole. (c) circunferência. (d) ćırculo.
5. Seja A1, A2, . . ., An os vértices de um poĺıgono regular
de n lados inscrito na circunferência unitária S e A um
ponto dessa circunferência. Encontre o valor máximo
do produto P dos n segmentos A1A, A2A, . . . AnA e a
posição de A para o qual esse máximo ocorre.
6. Se ||z − i| − 2|+ |z − i| − 2 = 0, determine a área S do
conjunto dos pontos no plano complexo.
7. (ITA) O lugar geométrico, no plano complexo, repre-
sentado pela equação: zz− z0z − z0z + k = 0, onde k é
um número real positivo e |z2
0
| > k, é:
(a) uma hipérbole com centro em z0.
(b) uma elipse com um dos focos em z0.
(c) uma circunferência com centro em z0.
(d) uma parábola com vértice em z0.
(e) n. d. a.
8. (ITA) Considere a famı́lia de curvas do plano com-
plexo, definida por Re
(
1
z
)
= C, onde z é um número
complexo não nulo e C é uma constante real positiva.
Para cada C temos uma
(a) circunferência com centro no eixo real e raio igual
a C.
(b) circunferência com centro no eixo real e raio igual
a
1
C
.
(c) circunferência tangente ao eixo real e raio igual a
1
2C
.
(d) circunferência tangente ao eixo imaginário e raio
igual a
1
2C
.
(e) circunferência com centro na origem do plano
complexo e raio igual a
1
C
.
9. (IME) Determine os pontos do plano complexo que sa-
tisfazem simultaneamente às equações
|z − 2| = |z + 4| e |z − 3|+ |z + 3| = 10.
Respostas
1. 1200 − 200π 2. parte exterior à elipse de focos nos
complexos 1 e −1 e comprimento do eixo maior 3 3. D 4.
c 5. 4 6. 4π 7. C 8. D 9. −1 + 8
√
6
5
i e −1− 8
√
6
5
i
3