Lista 3_ Tetraedros

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GEO. ESPACIAL-3: TETRAEDROS 
 
 
Prof. Marcão 
 
1 
TETRAEDRO REGULAR 
 
1. Determine , para um tetraedro regular de aresta a , a área total , altura 
, volume , distância entre duas arestas reversas. 
 
2. (Ceará 2004) Determine o seno do ângulo entre as alturas baixadas 
dos vértices de um tetraedro regular . 
 
3. (Ceará 84) 
a) Seja P um ponto no interior do triângulo eqüilátero com distâncias 
x,y,z aos três lados respectivamente . Determine a soma x y z  em 
função da altura h do triângulo. 
b) Seja P um ponto no interior do tetraedro regular com distâncias 
x,y,z,w às quatro faces , respectivamente . Determine a soma
x y z w   em função da altura H do tetraedro. 
 
4. Determine os raios das esferas inscrita e circunscrita ao tetraedro 
regular de aresta a. 
 
5. (EESCUSP1956) Demonstrar que o raio da esfera tangente às seis 
arestas de um tetraedro regular é média proporcional entre o raio da 
esfera inscrita e o raio da esfera circunscrita no mesmo tetraedro. 
 
6. (IME1971) As faces de um paralelepípedo são losangos de lado igual 
a 2 m , sendo a diagonal menor igual ao lado. O volume desse 
paralelepípedo é igual a: 
3
a) b) 3 c ) 2 2 d ) 2 e ) 2 3
2
 
 
7. Em uma aresta OA de um tetraedro regular OABC, toma-se um ponto 
K tal que AK=3KO=6. Calcule a área do triângulo BKC. 
 
8. Em um tetraedro regular de aresta a calcule a distância do centro de 
uma face à aresta oposta a face. 
 
9. Se a altura de um tetraedro regular mede 2√6 cm, calcule a distância 
do centro de uma face até outra face. 
 
10. Em um tetraedro regular se traça um plano que contém a uma aresta 
e o ponto médio da aresta oposta, de modo que a área da secção plana 
determinada é 4√2 . Calcule o volume do poliedro conjugado inscrito no 
tetraedro. 
 
11. (Fuvest 2012) Em um tetraedro regular de lado a, a distância entre 
os pontos médios de duas arestas não adjacentes é igual a 
 
a) a 3 b) a 2 c) 
a 3
2
 d) 
a 2
2
 e) 
a 2
4
 
 
12. (IMO 66) Prove that the sum of distances from the center of the 
circumsphere of the regular tetrahedron to its four vertices is less than the 
sum of distances from any other point to the four vertices. 
 
13.(ITA 2005) Em relação a um sistema de eixos cartesiano ortogonal no 
plano, três vértices de um tetraedro regular são dados por
 A (0,0); B (2,2); C 1 3,1 3     . O volume do tetraedro é 
a) 
8
3
 b) 3 c) 
3 3
2
 d) 
5 3
2
 e) 8 
14.(ITA1994) Um tetraedro regular tem área total igual a 26 3 cm . Então 
sua altura, em cm, é igual a: 
a)2 b)3 c)2 2 d)3 2 e)2 3 
 
15.(Ita 2010) Sejam A, B, C e D os vértices de um tetraedro regular cujas 
arestas medem 1 cm. Se M e o ponto médio do segmento AB e N e o 
ponto médio do segmento CD , então a área do triangulo MND, em cm2, 
e igual a 
a) 
2
6
 b) 
2
8
 c) 
3
8
 d) 
3
8
 e) 
3
9
 
 
16.(ITA 1969) Consideremos um tetraedro regular de aresta a . Podemos 
calcular o volume V deste sólido, em função da aresta. Qual das 
afirmações abaixo é verdadeira? 
3
3
3
3
a)12 2.V = 2.a
b)2 2.V = 2.a 3
c)12.V - 2 = a . 2
d)5.V - 3 = 2.a 3
e)asafirmaçõesa,b,cedsãofalsas
 
 
17.(ITA 1979) Considere um tetraedro regular ( 4 faces iguais ) inscrito 
em uma esfera de raio R = 3 cm. A soma das medidas de todas as 
arestas do tetraedro é dada por: 
a)16 3 cm b)13 6 cm c)12 6 cm d)8 3 cm e)6 3 cm 
18.(ITA1976) Considere um tetraedro regular circunscrito a uma esfera 
de raio R . Designando por , ,H a h e V respectivamente a altura, a 
aresta, a altura da base e o volume desse tetraedro, temos: 
3
3
2 3.R 3 2.H
a)V e h
3 4
6.H
b)V 8 3.R e a
2
 
 
 
34 2.R
c)V e H 4H
3
  
3d)V 6 2R e H 4R
e)n.r.a
 
 
 
19. As moléculas de metano  4CH têm o formato de um tetraedro 
regular, com um átomo de hidrogênio em cada vértice, cada um deles 
ligado ao átomo de carbono no centro do tetraedro. Calcule o ângulo 
formado por duas dessas ligações. 
 
20.(IME1970)Calcule a área da seção máxima obtida pelo corte de 
tetraedro regular, de aresta 6 metros por um plano paralelo às duas 
arestas opostas. 
 
21.(Fuvest 2016) Cada aresta do tetraedro regular ABCD mede 10. Por 
um ponto P na aresta AC, passa o plano α paralelo às arestas AB e 
CD. Dado que AP 3, o quadrilátero determinado pelas interseções de 
α com as arestas do tetraedro tem área igual a 
a) 21 b) 
21 2
2
 c) 30 d) 
30
2
 e) 
30 3
2
 
 
 2 
22.(Unifesp 2013) Na figura, ABCDEFGH é um paralelepípedo reto-
retângulo, e PQRE é um tetraedro regular de lado 6cm, conforme indica 
a figura. Sabe-se ainda que: 
 
— P e R pertencem, respectivamente, às faces ABCD e EFGH; 
— Q pertence à aresta EH; 
— T é baricentro do triângulo ERQ e pertence à diagonal EG da face 
EFGH; 
— RF é um arco de circunferência de centro E. 
 
 
 
a) Calcule a medida do arco RF, em centímetros. 
b) Calcule o volume do paralelepípedo ABCDEFGH, em cm3. 
 
23.(Uerj 2011) Um artesão retirou, de uma pedra com a forma inicial de 
um prisma triangular reto de base EBD, um tetraedro regular VABC. 
Observe a figura abaixo: 
 
 
 
Considere os seguintes dados: 
∙ os vértices A e V pertencem a duas faces laterais do prisma; 
∙ BD BE BC 1 m.   
Determine o volume inicial da pedra. 
 
TETRAEDRO TRI RETANGUL0 
 
24.Sejam a,b,c as arestas de um triedro tri retângulo de um tetraedro , h 
a altura relativa ao vértice desse triedro e V seu volume . Demonstrar que 
: 
a) 𝑽 =
𝒂𝒃𝒄
𝟔
 
b) 
2 2 2 2
1 1 1 1
h a b c
   
 
25.(ITA - 1999) Um triedro tri-retângulo é cortado por um plano que 
intercepta as três arestas, formando um triângulo com lados medindo 8m, 
10m, e 12m. O volume, em m3, do sólido formado é: 
a)15 6 b) 5 30 c) 6 15 d) 30 6 e) 45 6 
 
26.(Ita 2013) Um plano intercepta as arestas de um triedro trirretângulo 
de vértice V, determinando um triângulo ABC cujos lados medem, 
respectivamente, 10, 17 e 5 cm. O volume, em cm3, do sólido VABC 
é 
a) 2. b) 4. c) 17. d) 6. e) 5 10. 
27.(IME 1987) Secciona-se um cubo de aresta a por planos passando 
pelos pontos médios das arestas concorrentes em cada vértice . 
Considere o sólido formado ao retirar-se as oito pirâmides obtidas . 
Calcule a soma das arestas , a área e o volume deste sólido. 
 
28.(UNIFESP 2007) Quatro dos oito vértices de um cubo de aresta 
unitária são vértices de um tetraedro regular. 
As arestas do tetraedro são diagonais das faces do cubo, conforme 
mostra a figura. 
 
 
 
a) Obtenha a altura do tetraedro e verifique que ela é igual a dois terços 
da diagonal do cubo. 
b) Obtenha a razão entre o volume do cubo e o volume do tetraedro. 
 
29.(IME 2008) Um plano corta um cubo com aresta de comprimento 1 
passando pelo ponto médio de três arestas concorrentes no vértice A e 
formando uma pirâmide, conforme a figura a seguir. Este processo é 
repetido para todos os vértices. As pirâmides obtidas são agrupadas 
formando um octaedro cuja área da superfície externa é igual a: 
 
a) 
2
3
 b) 3 c) 1 d) 2 e) 2 2 
 
30.(FUVEST 2009) Pedrinho, brincando com seu cubo maneira que: 
 Apenas um vértice do cubo ficasse no interior do copo, conforme 
ilustra a foto; 
 Os pontos comuns ao cubo e ao copo determinassem um triângulo 
eqüilátero 
 
 
Sabendo-se que o bordo do copo é uma circunferência de raio 2 3cm , 
determine o volume da parte do cubo que ficou no interior do copo. 
 
 3 
31.(Ufrj 2010) A pirâmide ABCD é tal que as faces ABC, ABD e ACD são 
triângulos retângulos cujos catetos medem a. Considere o cubo de 
volume máximo contido em ABCD tal que um de seus vértices seja o 
ponto A, como ilustra a figura a seguir. 
 
 
 
Determine a medida da aresta desse cubo em função de a. 
 
32.(FUVEST 2007) O cubo ABCDEFGH possui arestas de comprimento 
a. O ponto M está na aresta AE e AM = 3 . ME. Calcule: 
 
a) O volume do tetraedro BCGM. 
b) A área do triângulo BCM. 
c) A distânciado ponto B à reta suporte do segmento CM . 
 
33. (UNICAMP 2007) Seja ABCDA1B1C1D1 um cubo com aresta de 
comprimento 6 cm e sejam M o ponto médio de BC e O o centro da face 
CDD1C1 , conforme mostrado na figura a seguir. 
 
 
 
a) Se a reta AM intercepta a reta CD no ponto P e a reta PO intercepta 
CC1 e DD1 em K e L, respectivamente, calcule os comprimentos de CK e 
DL. 
b) Calcule o volume do solido de vértices A,D,L,K,C,M. 
 
34.(USA-1976) Um tetraedro ABCD tem perímetro ( soma de suas 
arestas ) igual a 1. Os ângulos ˆ ˆ ˆBAC, BAD, CAD são todos iguais a 90º . 
Encontre o volume máximo do tetraedro. 
 
35.Consideremos um triedro tri retângulo ABCD de vértice A, um ponto P 
interior , cujas distancia às faces ABC , ABD <ACD são a,b,c e pelo ponto 
P façamos passar um plano que corta as arestas AB . AC AD em M, N,Q. 
a) Demonstrar que 
a b c
1
AM AN AQ
   
b) Como deve ser escolhido esse plano para que o volume do tetraedro 
AMNQ seja mínimo? 
 
36. (IME 2013) Considere um tetraedro regular ABCD e um plano π , 
oblíquo à base ABC . As arestas DA, DB e DC , desse tetraedro são 
seccionadas, por este plano, nos pontos E, F e G , respectivamente. O 
ponto T é a interseção da altura do tetraedro, correspondente ao vértice 
D , com o plano π . Determine o valor de DT sabendo que 
1
𝐷𝐸
+
1
𝐷𝐹
+
1
𝐷𝐺
=
1
√6
 
 
GABARITO 
 
1) 𝐴𝑆 = 𝑎
2√3, 𝐻 =
𝑎√6
3
, 𝑉 =
√2
12
𝑎3, 𝑑 =
𝑎√2
2
 
2) 𝑠𝑒𝑛𝛼 =
2√2
3
 
3) a) 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = ℎ b) 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑤 = 𝐻 
4) 𝑟 =
𝐻
4
 e 𝑅 =
3𝐻
4
 
5) demonstração 
6) 𝑉 = 2 
7) [𝐵𝐶𝐾] = 24 
8) 𝑥 =
𝑎√2
3
 
9) 𝑑 =
2√6
3
 
10) 𝑉 =
16√2
81
 
11) D 
12) demon. 
13) A 
14) A 
15) B 
16) A 
17) C 
18) E 
19) 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (
1
3
) = 109,470 
20) 9 
21) A 
22) a) 𝜋 b) 216√2 
23) 2
√2
3
 
24) demo 
25) A 
26) A 
27) 𝑆𝑎 = 12√2𝑎 𝑒 𝑉 =
5𝑎3
6
 
28) a) 𝐻 =
2𝑎√3
3
 b) 
1
3
 
29) B 
30) 9√2 
31) 𝑥 =
𝑎
3
 
32) a) 
𝑎3
6
b) 𝐵𝑀 =
5𝑎
4
 c) 𝑑 =
5√41
41
𝑎 
33) 𝑉 =
7𝑎3
36
 
34) 𝑉 =
8√2−7
162
 
35) a) demo b) 𝐴𝑀 = 3𝑎, 𝐴𝑁 = 3𝑏, 𝐴𝑄 = 3𝑐 
36) DT=6