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Lista de Matrizes e Determinantes – ITA Prof. João Giudice 1 1) ( ITA-64) Complete o determinante ao lado de modo que represente cos(a + b) ............ sincos aa 2) (ITA-64) Sem desenvolver, mostrar que 0 384 263 142 = 3) (ITA-71) Qual o resto da divisão por 3 do determinante: 5214 3215 )69()53()16()43( 6314 +−−−− − a) 0 b) 3 c) 7 d) 1 e) N.d.r.a. 4) (ITA-79) sejam A, B, C matrizes reais 3x3, satisfazendo as seguintes relações: AB = C–1, B = 2A. Se o determinante de C é 32, qual é o valor do módulo do determinante de A? a) 1/16 b) 1/8 c) 1/4 d) 8 e) 4 5) (ITA-80) Sejam A, B e C matrizes reais quadradas de ordem n e On a matriz nula, também de ordem n. Considere as seguintes afirmações: 1. AB = BA 2. Se AB = AC, então B = C 3. Se A2 = On, então A = On 4. (AB)C = A(BC) 5. (A – B)2 = A2 – 2AB + B2 A respeito destas afirmações, qual das alternativas a seguir é verdadeira? a)Apenas a afirmação 1 é falsa. b) Apenas a afirmação 4 é verdadeira. c) A afirmação 5 é verdadeira. d) A afirmações 2 e 3 são verdadeiras. e) As afirmações 3 e 4 são verdadeiras. 6) (ITA-80) Sejam A = (aij) uma matriz real quadrada de ordem 2 e I2 a matriz identidade também de ordem 2. Se r1 e r2 são as raízes da equação det(A – rI2) = nr, onde n é um número inteiro positivo, podemos afirmar que: a) r1 + r2 = a11 + a22 d) r1.r2 = det A b) r1 + r2 = -(a11 + a22) e) r1.r2 = -n.det A c) r1 + r2 = n.(a11 + a22) 7) (ITA-81) Dizemos que uma matriz real quadrada A é singular, se det A = 0, ou seja, se o determinante de A é nulo, e não-singular se det A ≠ 0. Mediante esta definição, qual das afirmações abaixo é verdadeira? a) A soma de duas matrizes A e B é uma matriz singular, se det A = –det B. b) O produto de duas matrizes é uma matriz singular se, e somente se, ambas forem singulares. c) O produto de duas matrizes é uma matriz singular se pelo menos uma delas for singular. d) Uma matriz singular possui inversa. e) A transposta de uma matriz singular é não-singular. 8) (ITA-82) Sendo A uma matriz real quadrada de ordem 3, cujo determinante é igual a 4, qual o valor de x na equação det ( 2 AAt ) = 4x ? a) 4 b) 8 c) 16 d) 32 e) 64 9) (ITA-83) Seja a matriz A = a b c d , onde a = +2 1 52( log ) ; b = 2 2 8log ; c = log 3 81 e d = log 3 27 . Uma matriz real quadrada B, de ordem 2, tal que AB é a matriz identidade de ordem 2 é: a) log log 3 3 27 2 2 81 d) 2 3 2 3 2 52 − − log b) − − 3 2 2 3 5 e) log log log 2 3 81 5 3 81 5 2 2− c) − − 3 2 2 2 5 2 10) (ITA-84) Sejam P, Q, R matrizes reais quadradas arbitrárias de ordem n. Considere as seguintes afirmações: I - se PQ = PR, então Q = R II - se P3 é a matriz nula, então o determinante de P é zero III - PQ = QP Podemos afirmar que: a) I é a única afirmação verdadeira b) II e III são afirmações verdadeiras b) I e II são afirmações verdadeiras a) III é a única afirmação falsa b) I e III são afirmações falsas 11) (ITA-85) Dizemos que um número real λ é autovalor de uma matriz real Inxn quando existir uma matriz coluna Xnx1 não-nula, tal que TX = λX. Considere uma matriz real Pnxm satisfazendo PP = P. Denote que λ1 um autovalor de P e por λ2 um autovalor de PP. Podemos afirmar que, necessariamente: a) λ1 < λ2 < 0 b) λ1 > λ2 > 1 c) λ1 e λ2 pertencem ao conjunto {0, 1} d) λ1 e λ2 pertencem ao conjunto {t ∈ R tal que t < 0 ou t > 1} e) λ1 e λ2 pertencem ao intervalo aberto (0, 1) 2 12) (ITA-85) Dadas as matrizes: A x x x x e B x x x x = − − = − − − 1 1 3 2 1 2 3 3 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 onde x1, x2 e x3 são raízes da seguinte equação em x: x3 + ax2 + bx – 2 = 0. Se det A = 4x1 e det (A – B) = 8, então podemos afirmar que: a) det (A – B) = 5 e a = 2 b) det A = b e a = 2 c) det B = 2 e b = 5 d) det (A – B) = a e = det A e) det A = a/2 e b = a/2 13) (ITA-86) Seja x ∈ ℜ e A a matriz definida por A x x x = + + − 1 4 2 4 2 1 2 sen sen cos π π Se S é o conjunto dos x tais que A é uma matriz inversível, então podemos afirmar que: a) S é vazio d) S = {kπ, k ∈ Z} b) S = {kπ/2, k ∈ Z} e) S = [-π/2, π/2] c) S = [0, 2π] 14) (ITA-86) Dizemos que duas matrizes reais, 2x1, A e B quaisquer são linearmente dependentes se e somente se existem dois números reais x e y não ambos nulos tais que xA + yB = 0, onde 0 é a matriz nula 2x1. Se A k n = − 1 1 , B k n = + − 1 2 onde k ∈ R* e n ∈ N = (1, 2, 3, ...} a) A e B são linearmente dependentes, ∀ k ∈ R*. b) existe um único k ∈ R* tal que A e B não são linearmente dependentes. c) existe um único k ∈ R* tal que A e B são linearmente dependentes. d) existe apenas dois valores de k ∈ R* tais que A e B são linearmente dependentes. e) não existe valor de k ∈ R* tal que A e B sejam linearmente dependentes. 15) (ITA-87) Considere P a matriz inversa da matriz M, onde M = 17/1 03/1 . A soma dos elementos da diagonal principal da matriz P é: a) 9/4 b) 4/9 c) 4 d) 5/9 e) –1/9 16) (ITA-87) Seja λ um número real, I a matriz identidade de ordem 2 e A a matriz quadrada de ordem 2, cujos elementos aij são definidos por: aij = i + j. Sobre a equação em λ definida por det(A – λI) = detA – λ, qual das afirmações abaixo é verdadeira? a) Apresenta apenas raízes negativas. b) Apresenta apenas raízes imteiras. c) Uma raíz é nula e a outra negativa. d) As raízes são 0 e 5/2. e) Todo λ real satisfaz esta equação. 17) (ITA-87) Quaisquer que sejam os números reais a, b e c, o determinante da matriz 1 1 1 1 1 1+a 1 1 é dada por: 1 1 1+b 1 1 1 1 1+c a) ab + ac + bc b) abc c) zero d) abc + 1 e) 1 18) (ITA-87) Seja P o determinante da seguinte matriz real: 3 2 894 432 232 1111 x x x . Para se obter P < 0 é suficiente considerar x em ℜ, tal que: a) x = ( 2 + 3 )/2 b) 10 < x < 11 c) 3 < x < 2 d) 2 < x< 3 e) 9 < x< 10 19) (ITA-88) Sejam as matrizes: 5 2 sintan 4 cos 2 sin π π ππ =A e 2 cotcos 5 2 cos 5 2 sec π π ππ =B Se a = det A e b = det B então o número complexo a + bi tem módulo igual a: a) 1 b) sin 2π/5 + cos 2π/5 c) 4 d) 2(2)1/2 e) 0 20) (ITA-88) Seja A uma matriz real que possui inversa. Seja n um número inteiro positivo e An o produto de matriz A por ela mesma n vezes. Das afirmações a verdadeira é: a) An possui inversa, qualquer que seja o valor de n b) An possui inversa apenas quando n = 1 ou n = 2. c) An possui inversa e seu determinante independe de n. d) An não possui inversa para valor algun de n, n > 1. e) Dependendo da matriz A, a matriz An poderá ou não ter inversa. 21) (ITA-88) Seja A uma matriz quadrada inversível, de ordem 3. Seja B a matriz dos cofatores da matriz A. Sabendo-se que det A = -2 ,calcule det B. 22) (ITA-89) Sendo A, B, C matrizes reais nxn, considere as seguintes afirmações: 1. A(BC) = (AB) 2. AB = BA 3. A + B = B + A C 4. det (AB) = det (A). det (B) 5. det (A + B) = det (A) + det (B) Então podemos afirmar que: a) 1 e 2 são corretas d) 4 e 5 são corretas b) 2 e 3 são corretas e) 5 e 1 são corretas c) 3 e 4 são corretas 3 23) (ITA-89) Sendo 213 230 121 −− − − =A então o elemento da terceira linhae primeira coluna, de sua inversa, será: a) 5/8 b) 9/11 c) 6/11 d) –2/13 e) 1/13 24) (ITA-89) Sabendo-se que x e y são reais, tais que x + y = π/4, verifique se a matriz yy xx tantan1 tan1tan2 + + é ou não inversível? 25) (ITA-90) Sejam A, B e C matrizes n x n tais que A e B são inversíveis e ABCA = At é a transposta da matriz A. Então, podemos afirmar que: a) C é inversível e det C = det (AB)-1 b) C não é inversível pois det C = 0 c) C é inversível e det C = det B d) C é inversível e det C = (det A)2.det B e) C é inversível e det C = (det A)/(det B) 26) (ITA-91) Sejam m e n números reais com m ≠ n e as matrizes: A = 2 1 3 5 , B = − 1 1 0 1 . Para que a matriz mA + nB seja não inversível é necessário que: a) m e n sejam positivos d) n2 = 7m2 b) m e n sejam negativos e) n.d.a c) m e n tenham sinais contrários 27) (ITA-91) Sejam M e B matrizes quadradas de ordem n tais que M – M-1 = B. Sabendo que Mt = M-1 podemos afirmar que : a) B2 é a matriz nula. b) B2 = -2I. c) B é simétrica. d) B é anti-simétrica e) n.d.a. 28) (ITA-92) Seja A ∈ M3x3 tal que det A = 0. Considere as afirmações: I. Existe X ∈ M3x1 não nula tal que AX é identicamente nula. II. Para todo Y ∈ M3x1, existe X ∈ M3x1 tal que AX = Y. III. Sabendo que A 1 0 0 5 1 2 = então a primeira linha da transposta de A é [ ]5 1 2 . Temos que: a) todas são falsas. b) apenas II é falsa. c) todas são verdadeiras. d) apenas I e II são verdadeiras. e) n.d.a. 29) (ITA-92) Seja C={X ∈ M2x2: X2 + 2X = 0}. Dadas as afirmações: I. Para todo X ∈ C, (X + 2I) é inversível. II. Se X ∈ C e det (X + 2I) ≠ 0 então X é não inversível. III. Se X ∈ C e det X ≠ 0 então det X > 0. Podemos dizer que: a) todas são verdadeiras. b) todas são falsas. c) apenas II e III são verdadeiras. d) apenas I é verdadeira. e) n.d.a. 30) (ITA-93) Sabendo-se que a soma das raízes da equação 1 1 0 2 0 0 0 2 − x x b x x b x b = 0 é − 8 3 e que S é o conjunto destas raízes, podemos afirmar que: a) S ⊂ [-17, -1] d) S ⊂ [-10, 0] b) S ⊂ [1, 5] e) S ⊂ [0, 3] c) S ⊂ [-1, 3] 31) (ITA-93) Seja a matriz 3x3 dada por A = 1 2 3 1 0 0 3 0 1 . Sabendo-se que B é a inversa de A, então a soma dos elementos de B vale: a) 1 b) 2 c) 5 d) 0 e) –2 32) (ITA-94) Sejam A e I matrizes reais quadradas de ordem 2, sendo I a matriz identidade. Por T denotemos o traço de A, ou seja T é a soma dos elementos da diagonal principal de A. Se T ≠ 0 e λ1, λ2 são raízes da equação det (A – λI) = det(A) – det(λI), então: a) λ1 e λ2 independem de T b) λ1. λ2 = T c) λ1.λ2 = 1 d) λ1 + λ2 = T/2 e) λ1 + λ2 = T 33) (ITA-94) Sejam A e P matrizes reais quadradas de ordem n tais que A é simétrica (isto é A = At) e P é ortogonal (isto é, PPt = I = PtP), P diferente da matriz identidade. Se B = PtAP então: a) AB é simétrica b) BA é simétrica c) det A = det B d) BA = AB e) B é ortogonal 34) (ITA-94) Seja A uma matriz real quadrada de ordem n e B = I – A, onde I denota a matriz identidade de ordem n. Supondo que A é inversível e idempotente (isto é A2 = A) considere as afirmações: 1. B é idempotente 2. AB = BA 3. B é inversível 4. A2 + B2 = I 5. AB é simétrica Com respeito a estas afirmações temos: a) Todas são verdadeiras b) Apenas uma é verdadeira c) Apenas duas são verdadeiras d) Apenas três são verdadeiras e) Apenas quatro são verdadeiras 4 35) (ITA-95) Dizemos que duas matrizes nxn A e B são semelhantes se existe uma matriz nxn inversível P tal que B = P–1AP. Se A e B são matrizes semelhantes quaisquer, então a) B é sempre inversível b) se A é simétrica, então B também é simétrica c) B2 é semelhante a A d) se C é semelhante a A, então BC é semelhante a A2 e) det(λI – B) = det(λI – A), onde λ é um real qualquer. 36) (ITA-95) Sejam A e B matrizes reais 3x3. Se tr(A) denota a soma dos elementos da diagonal principal de A, considere as afirmações: [(I)] tr(At) = tr(A) [(II)] Se A é inversível, então tr(A) ≠ 0. [(III)] tr(A + λB) = tr(A) + λtr(B), para todo λ ∈ R. Temos que a) todas as afirmações são verdadeiras. b) todas as afirmações são falsas. c) apenas a afirmação (I) é verdadeira. d) apenas a afirmação (II) é falsa. e) apenas a afirmação (III) é falsa. 37) (ITA-96) Seja a ∈ ℜ, a > 0 e a ≠ 1 e considere a matriz A: A a a a a a a a a = − log ( ) log ( ) log log ( ) log log 3 3 1 1 1 10 2 10 Para que a característica de A seja máxima, o valor de a deve ser tal que: a) a ≠ 10 e a ≠ 1/3 b) a ≠ 10 e a ≠ 1/3 c) a ≠ 5 e a ≠ 10 d) a ≠ 2 e a ≠ 3 e) a ≠ 2 e a ≠ 10 38) (ITA-96) Considere A e B matrizes reais 2x2, arbitrárias. Das afirmações abaixo assinale a verdadeira. No seu caderno de respostas, justifique a afirmação verdadeira e dê exemplo para mostrar que cada uma das demais é falsa. a) Se A é não nula então A possui inversa b) (AB)t = AtBt c) det (AB) = det (BA) d) det A2 = 2det A e) (A + B)(A – B) = A2 – B2 39) (ITA-96) Seja a ∈ ℜ e considere as matrizes reais 2x2, A a a = − − 3 1 1 3 e B a a = − − − 7 8 7 2 1 3 3 . O produto AB será inversível se e somente se: a) a2 – 5a + 6 ≠ 0 b) a2 – 5a ≠ 0 c) a2 – 3a ≠ 0 d) a2 – 2a + 1 ≠ 0 e) a2 – 2a ≠ 0 40) (ITA-97) Sejam A, B e C matrizes reais, quadradas de ordem n e não nulas. Por O denotemos a matris nula de ordem n. Se AB = AC, considere as afirmações: (I) A2 ≠ O (II) B = C (III) det B ≠ 0 (IV) det (B – C) = 0 Então a) todas são falsas. b) apenas a afirmação (I) é verdadeira. c) apenas a afirmação (II) é verdadeira. d) apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras. e) apenas a afirmação (III) é verdadeira. 41) (ITA-97) Considere as matrizes A = 2 0 1 0 2 0 1 0 2 e B = − − − 1 0 1 0 2 0 1 0 1 . Sejam λ0, λ1 e λ2 as raízes da equação det (A – λI3) = 0 com λ0 ≤ λ1 ≤ λ2. Considere as afirmações (I) B = A – λ0I3 (II) B = (A – λ1I3)A (III) B = A(A – λ2I3) Então a) todas as afirmações são falsas. b) todas as afirmações são verdadeiras. c) apenas (I) é falsa. d) apenas (II) é falsa. e) apenas (III) é verdadeira. 42) (ITA-98) Sejam A e B matrizes reais quadradas de ordem 2 que satisfazem a seguinte propriedade: existe uma matriz M inversível tal que A = M–1BM Então: a) det (–At) = det B b) det A = –det B c) det (2A) = 2 det B d) Se det B ≠ 0 então det (–AB) < 0 e) det (A – I) = –det (I – B) 43) (ITA-98) Sejam as matrizes reais de ordem 2, A a a e B a a = + = + 2 1 1 1 1 2 Então a soma dos elementos da diagonal principal de (AB)-1 é igual a: a) a + 1 b) 4(a + 1) c) (5 + 2a + a2)/4 d) (1 + 2a + a2)/4 e) (5 + 2a + a2)/2 44) (ITA-99) Considere as matrizes A = − − 1 0 1 0 1 2 , I = 1 0 0 1 , X x y = e B = 1 2 Se x e y são soluções do sistema (AAt – 3I)X = B, então x + y é igual a: a) 2 b) 1 c) 0 d) – 1 e) – 2 45) (ITA-99) Sejam x, y e z números reais com y ≠ 0. Considere a matriz inversível A x y z = − 1 1 0 0 1 1 Então: a) A somados termos da primeira linha de A-1 é igual a x + 1. b) A soma dos termos da primeira linha de A-1 é igual a 0. a) A soma dos termos da primeira coluna de A-1 é igual a 1. a) O produto dos termos da segunda linha de A-1 é igual a y. a) O produto dos termos da terceira coluna de A-1 é igual a 1.
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