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MECÂNICA 2021 Prof. Diego Milnitz Prof. Henrique Gonçalves Pereira Prof. Leonardo Garcia dos Santos GABARITO DAS AUTOATIVIDADES 2 MECÂNICA UNIDADE 1 TÓPICO 1 1 Um carro se movimenta sobre uma ponte, como mostra a figura, onde o corpo se desloca do ponto A, considerado posição inicial (S0), e o ponto B, considerado a posição final (SF), a uma aceleração constante de 12 m/s e um intervalo de tempo de 18 segundos, avaliando que a variação de espaço percorrido é calculada pela diferença entre a posição final e a inicial. Com base nas informações apresentadas, responda às questões: a) Qual a distância percorrida (variação de espaço) pelo carro em cima da ponte? Apresente o cálculo. b) Utilizando a fórmula, calcule a velocidade média durante o deslocamento do carro sobre a ponte. Resposta Esperada: a) Considerando os valores a seguir: Posição inicial - 0,3 m e posição final - 3,80 m Temos: Variação de Espaço = posição final – posição inicial Variação de Espaço = 3,80 m – 0,3 m Variação de Espaço = 3,50 m b) Considerando os valores para variação de espaço e variação de tempo, temos: 3 MECÂNICA Vm = Variação de espaço / Variação de tempo Vm= 3,50/18 Vm= 0,19 m/s 2 A velocidade de um corpo é definida pela relação entre o deslocamento de um corpo em um tempo determinado. É classificada, também, como a grandeza que mede o quão rápido um corpo se desloca. Sobre o exemplo de um tigre em um zoológico que demora 4 segundos para atravessar sua jaula de 12 metros, analise as sentenças a seguir: I- A velocidade é definida como a variação no tempo do vetor deslocamento. II- A velocidade média que o tigre se desloca é de 5 m/s. III- A velocidade é determinada pela variação da posição em que se encontra, em relação ao deslocamento percorrido. IV- A velocidade média que o tigre se desloca é de 3 m/s. Assinale a alternativa CORRETA: a) ( ) As sentenças II e IV estão corretas. b) ( ) As sentenças I, III e IV estão corretas. c) ( ) As sentenças I, II e III estão corretas. d) (X) As sentenças I e IV estão corretas. 3 O Sistema Internacional de Unidades (SI) deveria estabelecer para cada grandeza somente uma unidade. Do mesmo modo, foram estabelecidos os seus símbolos, as unidades derivadas, as unidades suplementares e os prefixos. O progresso científico e tecnológico tem possibilitado a redefinição dos padrões dessas grandezas. Sobre as unidades de base, conforme os símbolos, analise as sentenças a seguir: I- Intensidade de corrente elétrica - A (ampère). II- Temperatura - K (kelvin). III- Quantidade de matéria - mol. IV- Temperatura - C (celsius). Assinale a alternativa CORRETA: 4 MECÂNICA a) (X) As sentenças I, II e III estão corretas. b) ( ) As sentenças I, III e IV estão corretas. c) ( ) Somente a sentença I está correta. d) ( ) As sentenças II, III e IV estão corretas. 4 Uma pessoa que se movimenta sobre uma calçada, desloca-se do ponto A, considerado posição inicial (S0 = 0m), até um ponto B, considerado a posição final (SF = 100m), a uma aceleração constante de 1 m/s e um intervalo de tempo de 60 segundos, avaliando que a variação de espaço percorrido é calculada pela diferença entre a posição final e a inicial. Com base nas informações apresentadas, responda à questão a seguir: Qual é a velocidade média durante o deslocamento da pessoa sobre a calçada? Resposta Esperada: Considerando os valores para variação de espaço e variação de tempo, temos: Vm = Variação de espaço / Variação de tempo Vm= 100/60 Vm= 1,66 m/s Resposta: A velocidade média da pessoa na calçada é de 1,66m/s. 5 Isaac Newton foi uma das mentes mais brilhantes que apareceram em nosso planeta em todos os tempos. Os benefícios de suas descobertas foram e ainda são de grande importância em áreas como a engenharia. A afirmação: “os corpos permanecem em repouso ou em movimento retilíneo uniforme a não ser que sobre eles atue alguma força resultante diferente de zero” corresponde à: FONTE: FROEHLICH, M. L. Física geral. Indaial: UNIASSELVI, 2011. a) (X) Primeira Lei de Newton. b) ( ) Segunda Lei de Newton. c) ( ) Terceira Lei de Newton. d) ( ) Quarta Lei de Newton. 5 MECÂNICA TÓPICO 2 1 O MRU, ou também chamado de movimento retilíneo uniforme, é o movimento que define variações de espaços iguais em intervalos de tempos iguais, em outras palavras, a velocidade é constante. Observe a figura a seguir em que o rapaz percorre espaços iguais em tempos iguais. Ele leva 2 s para percorrer cada 10 m, ou seja, quando está a 10 m se passaram 2 s, quando está em 20 m se passaram 4 s e assim sucessivamente. Calcule a velocidade em cada uma das posições descritas (comparadas com a posição inicial) utilizando a função horária do MRU. Resposta Esperada: Como a função horária do MRU é dada por: Então, podemos isolar a variável “V” e calcular a velocidade. No caso do exercício, será considerado o deslocamento total, isto é, 40 m com ponto de partida em 0 m. Nesse caso, o tempo total foi de 8 segundos. Assim, Portanto, a velocidade do rapaz é de 5 m/s. 6 MECÂNICA 2 Um objeto parte do repouso em movimento retilíneo e acelera com aceleração escalar constante e igual a 2,0 m/s². Pode-se dizer que sua velocidade escalar e a distância percorrida após 3,0 segundos, valem, respectivamente: a) (X) 6,0 m/s e 9,0 m. b) ( ) 6,0 m/s e 18 m. c) ( ) 3,0 m/s e 12 m. d) ( ) 12 m/s e 35 m. e) ( ) 2,0 m/s e 12 m. Resposta Esperada: a = 2,0 m/s2 t = 3s v0 = 0 (pois o veículo parte do repouso) Utilizamos a equação v = v0 + a*t v = 0 + 2*3 v = 6 m/s Também utilizamos a função horária do espaço para o movimento uniformemente variado: Como S0 e v0 são iguais a zero, reescrevemos a fórmula da seguinte forma: S = 9 m A alternativa correta é a letra A. 3 O movimento de projétil no lançamento oblíquo pode ser 7 MECÂNICA visto como uma composição de dois movimentos diferentes e simultâneos, em que no mesmo instante que existe um deslocamento retilíneo uniforme na direção “y”, isto é, na vertical, subindo e descendo, também realiza um deslocamento uniformemente variado na direção “x”, ou na horizontal. Por exemplo, um objeto é arremessado num ângulo de 30° com o horizonte e velocidade de 200 m/s. Considerando a aceleração da gravidade igual a 10 m/s2 e desconsiderando a resistência do ar, o período de tempo entre as passagens do objeto pelos pontos de altura 480 m acima do ponto de arremesso, em segundos, é: (DADOS: sen 30° = 0,50 e cos 30° = 0,87) a) ( ) 2,0. b) (X) 4,0. c) ( ) 6,0. d) ( ) 8.0. e) ( ) 12. Resposta Esperada: Δ = b2 - 4.a.c Δ = 16 t = [20 +/- 4] 2 t’ = 12s t’’ = 8s 8 MECÂNICA O intervalo de tempo existente entre a passagem do projétil pela altura 480 m equivale a 4 s (12-8=4). 4 A função horária do espaço de um carro em movimento retilíneo uniforme é informada pela seguinte expressão: x = 85 + 6.t. Sobre o momento em que esse móvel passará pela posição 225 m, assinale a alternativa CORRETA: a) (X) 23,33 segundos. b) ( ) 19,85 segundos. c) ( ) 51,66 segundos. d) ( ) 24,72 segundos. Resposta Esperada: Dados: x = 85 + 6.t x = 225 m então, 225 = 85 + 6t 6t = 225 – 85 6t = 140 t = 140/6 t = 23,33s 5 No movimento retilíneo uniforme (MRU), a velocidade é constante ao longo do tempo, assim sendo, a aceleração é anulada. O objeto se movimenta em extensões iguais com períodos de tempos iguais, importante destacar que, em virtude de não se ter a aceleração sobre o objeto no movimento retilíneo uniforme, a resultante das forças sobrepostas é anulada. Dada a função horária do espaço de um carro em movimento retilíneo uniforme pela seguinte expressão: x = 115 + 9.t, qual é o momento em que esse móvel passará pela posição 240 m? 9 MECÂNICA Resposta Esperada: Dados: x = 115 + 9.t x = 240 m então, 240 = 115 + 9t 9t = 240– 115 9t = 125 t = 125/9 t = 13,88 s TÓPICO 3 1 Um trem e um carro se movimentam, no mesmo sentido, com velocidades de 40 m/s e 50 m/s, respectivamente. Sentado a uma das janelas do trem, um passageiro marca um tempo de 4 s para que o carro ultrapasse o trem. Determine o tamanho do trem. Resposta Esperada: Como o movimento dos móveis ocorre no mesmo sentido e a velocidade do carro é maior, podemos concluir que a velocidade relativa de aproximação será dada pela subtração das velocidades dos móveis. VREL = 50 – 40 = 10 m/s Pode-se concluir que o carro tem uma velocidade de 10 m/s em relação ao trem. Por meio da definição de velocidade média, podemos determinar o tamanho do trem: V = Δs/Δt 10 = Δs/4 Δs = 4*10 = 40 m 10 MECÂNICA 2 Um carro se movimenta em uma via horizontal com velocidade constante, de tal modo que os seus pneus rolam sem qualquer deslizamento na via. Cada pneu tem diâmetro D = 0,50 m, e um medidor colocado em um deles registra uma frequência de 840 rpm. A velocidade do carro é de: a) ( ) 3 π m/s. b) ( ) 4 π m/s. c) ( ) 6 π m/s. d) (X) 7 π m/s. Resposta Esperada: Para encontrar o valor da frequência em Hz, basta dividi-la por 60. Logo, f = 14 Hz. O raio do pneu é dado pela metade de seu diâmetro, portanto: R = 0,25 m. Da relação entre velocidade linear e velocidade angular, temos: v = w . R v = 2. π . f . R v = 2 . π . 14 . 0,25 v = 7 π m/s 3 Um peso A está conectado a uma polia dupla pelo cabo inextensível, conforme figura a seguir. O movimento da polia é controlado pelo cabo B, que possui aceleração angular constante de 4,51rad/s2 e uma velocidade angular inicial de 4,74rad/s, ambas para a direita. 11 MECÂNICA Determine a velocidade e o deslocamento angular finais da polia em 3 s. Resposta Esperada: Utilizando as equações de movimento com t = 3s, têm-se: ω = 𝜔0 + 𝛼𝑡 ω = 4,74 + 4,51 ∗ 3 ω = 18,27𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝜑 = 34,52𝑟𝑎𝑑 4 Considere que uma partícula se movimenta com aceleração escalar de 8 m/s2 em uma trajetória circular de raio igual a 21 m. No momento em que o tempo é igual a 2 s, a velocidade deste elemento é igual a 10 m/s. Dessa forma, determine o módulo da aceleração tangencial e classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: ( ) Em uma trajetória circular, o valor do módulo é determinado pelo produto entre velocidade multiplicado pelo tempo. ( ) Em um trajeto de curvas, a aceleração tangencial conserva o mesmo valor do módulo, sendo assim o mesmo valor da aceleração escalar. ( ) O módulo da aceleração tangencial é de 20 m/s. ( ) O valor do módulo da aceleração tangencial é de 8 m/s2, sendo igual ao valor da aceleração escalar. Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 12 MECÂNICA a) ( ) V - V - V - V. b) (X) F - V - F - V. c) ( ) F - V - V - F. d) ( ) V - F - F - V. 5 O apoio simples preserva o movimento do corpo na direção da força de reação (normal ao plano de apoio) e possibilita a transferência. Segundo esse plano e a rotação do corpo, é produzida uma força de reação de direção conhecida. Sobre os aspectos da composição do apoio simples, analise as sentenças a seguir: I- O apoio simples não impede que o objeto realize o sistema de rotação. II- Sempre que houver este tipo de apoio, apenas uma reação será a incógnita. III- Na condição de apoio simples, as reações desconhecidas são x e y. IV- Exemplos desse tipo de apoio são os roletes, os balancins, as superfícies lisas, as hastes curtas e cabos, os cursores e os pinos deslizantes. Assinale a alternativa CORRETA: a) ( ) As sentenças III e IV estão corretas. b) (X) As sentenças I, II e IV estão corretas. c) ( ) As sentenças II e III estão corretas. d) ( ) As sentenças I e III estão corretas. 13 MECÂNICA UNIDADE 2 TÓPICO 1 1 Considere uma fisga gigante feita de meia elástica de constante k = 100 N/m. Arma-se a fisga com uma bola de corante e estica-se a meia 5,00 m, largando-se em seguida. Qual o valor, em módulo, do trabalho realizado da meia sobre a bola quando ela volta ao seu comprimento normal? Assinale a alternativa CORRETA: a) (X) 1,25 kJ. b) ( ) 1500 J. c) ( ) 3,2 kJ. d) ( ) 12,3 kJ. R.: 2 A energia cinética é a energia associada ao movimento. Logo, tudo que se move tem energia cinética. Considere dois automóveis, com massa igual a 1500 kg, que colidem numa mesma barreira. O automóvel A possui uma velocidade de 20 m/s e o veículo B uma velocidade de 35 m/s. Com relação à energia de impacto, analise as opções a seguir. I- O veículo A sofrerá um maior impacto, pois ele possui a mesma massa que o veículo B, entretanto, possui uma energia cinética superior à do veículo B. II- Ambos os veículos sofrerão o impacto com as mesmas intensidades, pois possuem a mesma massa. III- O veículo B tenderá a sofrer um maior impacto, pois ele possui uma velocidade superior à do veículo A e, consequentemente, possui uma energia cinética maior. Assinale a alternativa CORRETA: 14 MECÂNICA a) ( ) Somente a sentença I está correta. b) ( ) Somente a sentença II está correta. c) ( ) As sentenças II e III estão corretas. d) (X) Somente a sentença III está correta. 3 (QUADRIX, 2018) Durante uma tempestade, um caixote desliza pelo piso escorregadio de uma calçada, sofrendo um deslocamento 𝑑 = −2𝑖 , em metros, ao ser empurrado pelo vento com uma força �⃗� = 4𝑖 − 8𝑗 , em newtons. Com base no exposto, se o caixote possuir uma energia cinética de 12 J no início do deslocamento, então, sua energia cinética ao final do deslocamento será de: a) ( ) -8,0 J. b) (X) 4,0 J. c) ( ) -12,0 J. d) ( ) 8,0 J. FONTE: <https://bit.ly/3BfEtJY>. Acesso em: 20 jul. 2021. 𝑊𝑥 = 𝐹𝑥 .𝑑. cos θ = 4,0 𝑁 . 2,0 𝑚 . cos 180° = −8,0 𝐽 𝑊𝑦 = 𝐹𝑦 .𝑑. cos θ = 8,0 𝑁 . 2,0 𝑚 . cos 90° = 0 Devido ao teorema do trabalho e à energia cinética, sabemos que 𝛥𝐾 = 𝑊, logo, temos que: 𝐾𝑓 − 𝐾𝑖 = 𝑊𝑥 𝐾𝑓 = −8,0 𝐽 + 12,0 𝐽 = 4,0 𝐽 4 Considere uma força horizontal Fa de intensidade de 20,0 N que está sendo aplicada a um livro com massa m = 3,0 kg que se desloca 0,500 m sob uma rampa de inclinação θ = 30º, sem atrito (Figura). Calcule: a) Qual é o trabalho total realizado sobre o livro por Fa, pela força gravitacional e pela força normal? b) Se o livro tem energia cinética nula no início do deslocamento, qual é a sua energia cinética final? 15 MECÂNICA FIGURA 9 – AUTOATIVIDADE 4 FONTE: Adaptada de Halliday, Resnick e Walker (2016) R.: a) Trabalho realizado por Fa: 𝑊𝑎 = 𝐹𝑎 .𝑑. cos θ = 20,0 𝑁 . 0,5 𝑚 . cos 30° = 8,66 𝐽 Trabalho realizado por Fg: Como FN é ortogonal ao deslocamento, temos que o trabalho realizado por FN é nulo: 𝑊𝑁 = 0 b) Devido ao teorema do trabalho e à energia cinética, sabemos que 𝛥𝐾 = 𝑊 , logo, temos que: 𝐾𝑓 − 𝐾𝑖 = 𝑊𝑎 + 𝑊𝑔 + 𝑊𝑁 𝐾𝑓 − 0 = 8,66 𝐽 − 7,35 𝐽 + 0 𝐾𝑓 = 1,31 𝐽 16 MECÂNICA 5 Considere o baú da Figura 10, em que atuam as três forças, de intensidade F1 = 5,00 N, F2 = 9,00 N e F3= 3,00 N. O ângulo θ = 60º. O baú sofre um deslocamento de 3,00 m para a esquerda sob a ação dessas forças. Desse modo, qual é o trabalho total realizado sobre o baú pelas três forças e qual a variação da energia cinética? FIGURA 10 – AUTOATIVIDADE 5 FONTE: Sousa (2013, p. 12) R.: Trabalho realizado por F1: 𝑊1 = 𝐹1.𝑑. cos θ = 5,0 𝑁 . 3,0 𝑚 . cos 0 = 15,0 𝐽 Trabalho realizado por F2: 𝑊2 = 𝐹2.𝑑. cos θ = 9,0 𝑁 . 3,0 𝑚 . cos 180 − 60 = −13,5 𝐽 Como F3 é ortogonal ao deslocamento, temos que o trabalho realizado por F3 é nulo (cos(-90)=0), logo: 𝑊3 = 0 Devido ao teorema do trabalho e à energia cinética, sabemos que 𝛥𝐾 = 𝑊, logo, temos que: 𝛥𝐾 = 15,0 𝐽 − 13,5 𝐽 + 0 𝛥𝐾 = 1,5 𝐽 17 MECÂNICA TÓPICO 2 1 Um bloco que se move horizontalmente pode seguir três caminhos sem atrito (Figura 16), que diferem apenas na altura, para alcançar a linha de chegada representada por uma reta tracejada. Com baseno exposto, assinale a alternativa CORRETA: FIGURA 16 – BLOCO COM VELOCIDADE 𝑣 EM TRÊS DIFERENTES TRAJETÓRIAS FONTE: Adaptada de Halliday, Resnick e Walker (2016) a) ( ) O bloco passará com maior velocidade pelo caminho 1, pois parte de sua energia cinética se transformará em energia potencial gravitacional. b) ( ) O bloco passará com maior velocidade pelo caminho 2, pois manterá sua energia cinética constante ao longo de todo o caminho. c) (X) O bloco passará com maior velocidade pelo caminho 3, pois parte de sua energia potencial se transformará em energia cinética. d) ( ) O bloco ultrapassa a linha de chegada ao mesmo tempo, em qualquer trajetória. 2 A energia mecânica de um determinado objeto pode se apresentar na forma de energia potencial e energia cinética. Com relação a esses conceitos, analise as opções a seguir. 18 MECÂNICA I- Considerando o solo como referência, a energia potencial gravitacional de um objeto que pesa 2.000 N e que está suspenso a uma altura de 20 m do solo é de 20 kJ. II- Um automóvel de 1 tonelada, que está percorrendo uma via a 108 km/h, possui energia cinética de 450 kJ. III- Um objeto que está em queda livre não possui energia cinética, apenas energia potencial gravitacional. Assinale a alternativa CORRETA: a) ( ) Somente a sentença I está correta. b) (X) Somente a sentença II está correta. c) ( ) As sentenças II e III estão corretas. d) ( ) Somente a sentença III está correta. 3 (HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2016) Considere uma mola perfeitamente elástica que armazena 25 J de energia ao ser comprimida 7,5 cm de sua posição de equilíbrio. Com base no exposto, qual a constante elástica k dessa mola? a) ( ) 6,7x102. b) (X) 8,9x103 N/m. c) ( ) 200 N/m. d) ( ) 6,0x104 N/m. R: 4 (HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2016) Duas amigas estão em uma sacada quando uma deixa cair um livro de massa m = 2,00 kg para outra que está na calçada a uma distância D = 10,0 m. Suponha que as mãos estendidas da amiga que está embaixo estão a uma distância d = 1,5 m acima do solo, conforme Figura 17. a) Qual é o trabalho Wg realizado sobre o livro pela força gravitacional até o livro cair nas mãos da amiga? 19 MECÂNICA b) Qual é a variação ΔU da energia potencial gravitacional do sistema livro-Terra durante a queda? c) Se a energia potencial gravitacional U do sistema é considerada nula no nível do solo, qual é o valor de Ui quando a primeira amiga deixa cair o livro e o valor de Uf quando o livro chega às mãos da segunda amiga? FIGURA 17 – AUTOATIVIDADE 4 FONTE: Adaptada de Halliday, Resnick e Walker (2016) R.: a) O deslocamento vertical é dado para baixo na mesma direção da força gravitacional, conforme segue: deslocamento = 10,0 m - 1,50 m = 8,50 m Assim, temos que: 𝑊𝑔 = 166,6 𝐽 20 MECÂNICA b) Sabemos que 𝛥𝑈 = −𝑊, logo, temos que: 𝛥𝑈 = −166,6 𝐽 Note que também podemos calcular 𝛥𝑈 = −𝑊 pela equação 𝛥𝑈 = 𝑚.𝑔.∆𝑦, onde ∆𝑦 = −8,5𝑚. c) Utilizando as equações de energia potencial gravitacional, temos que para 𝑈𝑓: 𝑈𝑓 = 𝑚𝑔 𝑦𝑓 𝑈𝑓 = 29,4 𝐽 Já para Ui temos que: Ui = mg (yi) Ui = (2,0 kg) . . (10m) Ui = 196 J Note que se quiséssemos calcular 𝛥𝑈 = −𝑊 a partir de Uf - Ui , teríamos 29,4 J - 196 J = - 166,6 J, que é exatamente o mesmo valor que calcu- lamos na letra b. 5 (TIPLER; MOSCA, 2009) Considere um bloco de 4,0 kg, conforme Figura 18, que está em uma mesa sem atrito e preso a uma mola que possui constante elástica k = 400 N/m. Em um instante inicial, a mola está comprimida em x1 = - 5,0 cm. Com base no exposto, calcule: a) O trabalho realizado pela mola sobre o bloco, enquanto ela se movimenta de x1 para x2. b) A velocidade do bloco em x2. c) A variação de energia potencial elástica do sistema, de x1 para x2. 21 MECÂNICA FIGURA 18 – AUTOATIVIDADE 5 FONTE: Tipler e Mosca (2009, p. 177) R.: a) Trabalho realizado pela força elástica Fs: b) Utilizando o teorema do trabalho e energia cinética, temos que: Isolando v2, temos: c) Sabemos que: 𝛥𝑈 = −𝑊 = - W Logo: 𝛥𝑈 = −𝑊 = -0,5 J 22 MECÂNICA TÓPICO 3 1 (HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2016) Considere que um carro de montanha-russa (Figura 22), de massa m = 825 kg, atinge o cume da primeira elevação com uma velocidade v0 = 17,0 m/s a uma altura h = 42,0 m. O atrito é desprezível. a) Qual é a velocidade do carro no ponto A? b) Qual é a velocidade no ponto B? c) Qual é a velocidade no ponto C? d) Que altura o carro alcança na última elevação, que é alta demais para ser transposta? FIGURA 22 – AUTOATIVIDADE 1 FONTE: Adaptada de Halliday, Resnick e Walker (2016) R.: Como o atrito é desprezível, podemos usar a lei de conservação da energia mecânica. a) Pelo princípio da conservação da energia mecânica, a velocidade no ponto A será igual à velocidade inicial. Veja, uma vez que estão na mesma altura, concluímos que U0 = UA , logo: K0 + U0 = KA + U0 23 MECÂNICA Assim, temos que: K0 = KA Por consequência, v0 = vA = 17 m/s b) Pela figura, no ponto B, estamos na metade da altura do ponto inicial, como a energia potencial gravitacional é proporcional à altura, temos que: Pelo princípio da conservação, podemos escrever: K0 + U0 = KB + UB Onde: K0 + U0 = KB + Logo, temos que: Podemos simplificar a equação, cortando m e reorganizar de forma a explicitarmos vB2: v02 + 2gh - gh = vB2 Logo, temos que: vB = v02 + gh 24 MECÂNICA Assim: vB = 26,47 m/s c) No ponto, pelo princípio da conservação da energia mecânica, temos que: K0 + U0 = Kc + Uc No entanto, perceba que em C, a energia potencial é nula, pois a altura é zero, então, temos que: K0 + U0 = Kc Onde: Explicitando vc: Logo: 𝑣𝑐 = 33,35 𝑚/𝑠 d) Para determinar a altura máxima, pegamos o ponto onde a velocidade final seja nula, ou seja, Kf = 0, pois nesse ponto, toda a energia cinética converteu-se em energia potencial gravitacional e atingiu a altura máxima do sistema, assim: 𝑣𝑐 = 33,35 𝑚/𝑠 25 MECÂNICA 𝐾0 + 𝑈0 = 0 + 𝑈𝑓 Explicitando hmáx , temos: Logo: hmáx = 56,74 m 2 Utilizando o exemplo do exercício anterior, com relação ao princípio da conservação da energia mecânica, analise as opções a seguir. I- Se a massa m é duplicada, a variação da energia potencial gravitacional do sistema entre os pontos A e B aumenta. II- Se a massa m é dividida pela metade, a variação da energia potencial gravitacional do sistema entre os pontos A e B diminui. III- Se a massa m é duplicada, a variação da energia potencial gravitacional do sistema entre os pontos A e B permanece a mesma. Assinale a alternativa CORRETA: a) ( ) Somente a sentença I está correta. b) ( ) Somente a sentença II está correta. c) ( ) As sentenças I e II estão corretas. d) (X) Somente a sentença III está correta. R: Como vimos na autoatividade 1, os resultados anteriores não dependem da massa do carro, a variação da energia potencial gravitacional do sistema entre os pontos A e B permanece a mesma, pois ela independe da massa do corpo. 26 MECÂNICA 3 (EAM, 2020) Em um parque de diversões, um carrinho de montanha- russa, (Figura 23), possui massa m = 500 kg e passa pelo ponto A com uma altura de 35 m, possui velocidade escalar de 12 m/s. Considerando que a energia mecânica se conserva, pode-se afirmar que a velocidade do carrinho a passar pelo ponto B, a uma altura de 18 m, considerando g = 10 m/s², será de: FIGURA 23 – AUTOATIVIDADE 3 FONTE: <https://bit.ly/2YnXuM0>.Acesso em: 21 jul. 2021. a) ( ) 14 m/s. b) (X) 22 m/s. c) ( ) 17 m/s. d) ( ) 28 m/s. R: KA + UA = KB + UB Para facilitar o cálculo, podemos considerar hB = 0, logo, UB será nulo e hA = 35m - 18m = 17m, assim: KA + UA = KB + 0 m. vA2 + mghA = m. vB2 𝑣𝐵 = 22 𝑚/𝑠 27 MECÂNICA 4 (HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2016) Considere a Figura 24, em que um pequeno bloco, inicialmente em repouso, é libera- do em uma rampa sem atrito a uma altura de 3,0 m. As alturas das elevaçõesao longo da rampa estão indicadas na figura. Os cumes das elevações são todos iguais, de forma circular, e o blo- co não perde contato com o piso em nenhuma das elevações. a) Qual é a primeira elevação que o bloco não consegue superar? b) O que acontece com o bloco em seguida? c) No cume, de que elevação a aceleração centrípeta do bloco é máxima? FIGURA 24 – AUTOATIVIDADE 4 FONTE: Adaptada de Halliday, Resnick e Walker (2016) R.: a) Pela conservação da energia mecânica, o bloco só terá energia suficiente para transpor cumes menores que 3,0 m, pois no instante inicial, ele não possui energia cinética, logo, toda a sua energia mecânica é potencial, equivalente a uma altura de 3,0 m. Logo, ele não ultrapassará o cume 4, pois este mede 3,5 m. b) O bloco atingirá a altura de 3,0 m no cume 4, em seguida, como sua energia cinética se esgotou, ele retrocederá e só irá parar quando atingir sua posição inicial, a 3,0 m de altura. Ele seguirá nesse movimento de vai e vem, até essas alturas, enquanto não houver ação externa sobre o sistema. 28 MECÂNICA c) Aceleração centrípeta é a aceleração que causa a mudança na direção da velocidade de algum móvel que execute um movimento circular, ela é dada por ac = v2.r, onde v é a velocidade escalar e r é o raio. Se considerarmos que os raios dos cumes são semelhantes e analisando que a aceleração centrípeta sofre muito mais influência da velocidade escalar v (pois a v está ao quadrado), podemos considerar que o cume que terá maior ac será o cume de maior v, logo, o cume de maior energia cinética K. Pela conservação de energia mecânica, o cume de maior energia cinética será o cume de menor energia potencial, logo, será o cume de menor altura. Sendo assim, o cume de maior ac será o cume 1. 5 O princípio da conservação de energia é um dos princípios fundamentais da física e está presente nas mais diversas situações. Nesse aspecto, analise as opções a seguir. I- Quando o freio for acionado, para que o veículo pare, o trabalho da força de atrito, em módulo, deverá ser igual a sua energia cinética inicial. II- Nos sistemas isolados, a energia pode ser transformada de uma forma para outra, o que resulta na diminuição da energia total do sistema. III- A energia mecânica de um sistema é a soma da energia cinética e da energia potencial. Se as únicas forças presentes são a força gravitacional e a força elástica, o valor da energia mecânica permanece constante mesmo que a energia cinética e a energia potencial variem com o tempo. Assinale a alternativa CORRETA: a) ( ) Somente a sentença I está correta. b) ( ) Somente a sentença II está correta. c) (X) As sentenças I e III estão corretas. d) ( ) Somente a sentença III está correta. 29 MECÂNICA UNIDADE 3 TÓPICO 1 1 Calcule as coordenadas do centro de massa do sistema constituído de 5 partículas que se encontram nos pontos indicados na figura, sabendo que eles possuem massa igual a 2 kg. 2 Determine a posição x do centro de massa, onde as partículas de massa mA e mB estão posicionadas nas extremidades de uma barra de massa desprezível, como mostra a figura. Analise os casos: a) mA = mB b) mA = 5mB 30 MECÂNICA a) (X) 30 cm b) ( ) 3 Sobre uma partícula de 8 kg, movendo-se a 25 m/s, passa a atuar uma força constante de intensidade 2,0.10²N durante 3 s no mesmo sentido do movimento. Determine a quantidade de movimento dessa partícula após o término da ação da força. 𝐼 = 𝐹 ⋅ ∆𝑡 = 200 ⋅ 3 = 600 𝑁 ⋅ 𝑠 4 Um projétil com velocidade de 500 m/s e massa 0,05 kg atinge horizontalmente um bloco de madeira de massa 4,95 kg, em repouso sobre um plano horizontal sem atrito, e nele se aloja. Determine com que velocidade o conjunto bala-bloco se moverá após o choque. Pinicial = Pfinal 5 Um objeto de massa 5,0 kg, movimentando-se a uma velocidade de módulo 10 m/s, choca-se frontalmente com um segundo objeto de massa 20 kg, parado. O primeiro objeto, após o choque, recua uma velocidade de módulo igual a 2,0 m/s. Desprezando-se o atrito, a velocidade do segundo, após o choque, tem módulo igual a: a) ( ) 2,0 m/s. b) (X) 3,0 m/s. c) ( ) 4,0 m/s. d) ( ) 6,0 m/s. e) ( ) 8,0 m/s. 31 MECÂNICA Pinicial = Pfinal 6 Um corpo A de 2 kg que se movimenta sobre uma superfície horizontal sem atrito, com 8 m/s, choca-se com outro B de mesma massa que se encontra em repouso nessa superfície. Após o choque, os corpos A e B se mantêm juntos com velocidade de: a) ( ) 2 m/s. b) (X) 4 m/s. c) ( ) 6 m/s. d) ( ) 8 m/s. e) ( ) 10 m/s. Pinicial = Pfinal TÓPICO 2 1 Dada a função das posições: 𝜃 𝑡 = 5𝑡 − 𝑡3 + 2𝑡4 Sendo t em segundos e 𝜃 𝑡 = 5𝑡 − 𝑡3 + 2𝑡4 em radianos, determine: a) A velocidade angular em t=2s. b) A velocidade angular em t=4s. c) A aceleração média entre t=2 e t=4s. d) A aceleração instantânea em t = 2s. e) A aceleração instantânea em t = 4s. R: 32 MECÂNICA a) b) c) d) e) 2 Dada a função da posição de um móvel x (t) = 2t2 - 5t + 7, determine a sua velocidade e aceleração em 2 s. 3 (FISCAEXE) Uma serra elétrica gira a 1440 rpm no momento em que é desligada, sua velocidade angular diminui uniformemente, sendo que 10 s após sua frequência é de 240 rpm. Determinar: a) O tempo que a serra gira até parar. b) O número total de voltas, em rotações, que a serra dá do momento que é desligada até parar totalmente. 33 MECÂNICA a) b) 4 (FUVEST-SP) O ponteiro dos minutos de um relógio mede 50 cm. a) Qual a velocidade angular do ponteiro? b) Calcule a velocidade linear da extremidade do ponteiro. 5 Calcule o momento de inércia de uma barra delgada de ferro de 2 m de comprimento e 8,7 kg de massa em torno de um eixo perpendicular à barra e localizado a 30 cm do centro da barra. 34 MECÂNICA 6 Dois cilindros sólidos uniformes, cada um girando em torno do seu eixo (longitudinal) central, têm a mesma massa de 1,25 kg e giram com a mesma velocidade angular de 235 rad/s, mas eles possuem raios diferentes. a) Qual a energia cinética de rotação do cilindro menor de raio 0,25 m? b) Qual a energia cinética de rotação do cilindro maior de raio 0,75 m? 7 Diferentemente da massa inercial (que é um escalar), o momento de inércia ou Tensor de Inércia também depende da distribuição da massa em torno de um eixo de rotação escolhido arbitrariamente. Quanto maior for o momento de inércia de um corpo, mais difícil será girá-lo ou alterar sua rotação. Sendo assim, assinale a opção que apresenta, respectivamente, o momento de inércia de uma barra de comprimento 50 cm, e massa 0,2 kg, com eixo de rotação perpendicular à barra e passando pelo seu centro de massa e o momento de inércia da rotação em um eixo perpendicular à barra que dista 15 cm da extremidade da barra. a) (X) 0,004166 e 0,008666. b) ( ) 0,004166 e 0,006166. c) ( ) 0,16664 e 0,008666. d) ( ) 0,16664 e 0,006166. 8 Uma placa plana, quadrada de lado L = 12,5 cm, de espessura desprezível e massa 200 g possui um furo de raio R = 5 cm no seu centro. Considerando a placa com densidade constante, determine o valor que mais se aproxima do momento de inércia, em g.cm², com referência no eixo dado pela figura. 35 MECÂNICA a) ( ) 1300. b) ( ) 3300. c) (X) 4000. d) ( ) 7900. e) ( ) 12000. TÓPICO 3 1 A figura mostra o braço de um homem apertando um parafuso com uma chave de boca de 0,20 m de comprimento. Para dar o aperto final, fazendo a porca girar em torno do eixo que passa por seu centro, é necessário um momento de 100 N.m em relação ao eixo. Estando a ferramenta na horizontal, o valor mínimo do módulo da força vertical que o homem precisa exercer na extremidade da chave é: 36 MECÂNICA a) ( ) 100N. b) ( ) 150N. c) ( ) 200N. d) ( ) 300N. e) (X) 500N. 2 Ricardo quer remover o parafuso sextavado da roda do automóvel aplicando uma força vertical F = 40 N no ponto A da chave.Verifique se Ricardo conseguirá realizar essa tarefa, sabendo-se que é necessário um torque inicial de 18 N.m em relação ao eixo para desapertar o parafuso. Dados: AC = 0,3 m e AD = 0,5 m. 𝜏 = 𝐹 ⋅ 𝑅 ⟹ 𝜏 = 40 ⋅ 0,58 = 23,2 𝑁 ⋅ 𝑚 (𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑔𝑒𝑢𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑎 𝑡𝑎𝑟𝑒𝑓𝑎) 37 MECÂNICA 3 Um cilindro de massa 2 kg gira pelo seu eixo central, conforme a figura. Nele são aplicadas as forças F1 = 6N, F2 = 4N, F3 = 2N e F4 = 5N. Os raios mostrados na figura são R1 = 5 cm e R2 = 12 cm. Determine o valor e o sentido da aceleração angular do cilindro. 4 Um corpo de massa 5 kg se movimenta com velocidade 2,8 m/s na periferia de um disco que gira com sentido contrário de velocidade angular 0,2 rad/s. O raio do disco é 3 m e seu momento de inércia em torno do eixo de rotação (centro do disco) é 80 kgm². Calcule a velocidade angular do sistema quando o corpo cessa seu movimento. 𝐿𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 − 𝐿𝐷𝐼𝑆𝐶𝑂 = 𝐿𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 5 ⋅ 3 ⋅ 2,8 − 80 ⋅ 0,2 = 80 + 5 ⋅ 32 ⋅ 𝜔 5 Uma roda cujo momento de inércia é de 1,27 kg.m² gira com velocidade angular de 824 rpm. Uma segunda roda com momento de inércia 4,85 kg.m² inicialmente em repouso é acoplada bruscamente ao conjunto. Qual será a velocidade de rotação do conjunto de rodas? Quanta energia cinética será perdida com a perda de velocidade? 38 MECÂNICA = 𝐼1 ⋅ 𝜔 = 𝐼1 + 𝐼2 ⋅ 𝜔 6 Uma corda está enrolada em torno da borda de um disco uniforme que pode girar, sem atrito, em torno de um eixo fixo que passa pelo seu centro. A massa do disco é 3 kg e o seu raio 25 cm. A corda é puxada por uma força de módulo 10 N. Se o disco estiver inicialmente em repouso, qual a sua velocidade angular após 5 s? 𝜔 = 0 + 26,7 ⋅ 5 = 133,5 𝑟𝑎𝑑/𝑠
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