F5_-_Lista_8_-_Resoluções

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ITA – FRENTE 5 – LISTA 8 
RESOLUÇÕES 
 
 
Prof. Igor Ken 
 
1 
1. Para a fonte: 
−
=  =  =m
s 30 20
v t t 2s
t 5
Δ
Δ Δ
Δ
 
Para a imagem, temos a primeira posição: = +  = − =  =1
1
1 1 1 1 1 1 2
p' 15 cm.
10 30 p' p' 10 30 30
 
Segunda posição: = +  = − =  =2
2
1 1 1 1 1 1 1
p' 20 cm.
10 20 p' p' 10 20 20
 
Logo, a velocidade média da imagem vale: 
−
= =  =m m
s 20 15
v v 2,5m / s
t 2
Δ
Δ
 
Alternativa C 
 
2. a) A distância entre o objeto e a tela é: = +  = −D p p' p' D p 
Da equação dos pontos conjugados de Gauss: 
( )
− +
= +  = +  =  =  − + =
− − −
  −
 =  =  −  
 
2
2
2
1 1 1 1 1 1 1 D p p 1 D
p Dp Df 0
f p p' f p D p f p D p f pD p
D D 4Df D 4f
p p 1 1
2 2 D
 
As duas posições somente existem se −   
4f
1 0 D 4f
D
 
b) As posições são: 
 
= + −  
 
1
D 4f
p 1 1
2 D
 e 
 
= − −  
 
2
D 4f
p 1 1
2 D
 
c) Como = −p' D p , temos: 
 
= −  −  
 
D 4f
p' D 1 1
2 D
 
Portanto: 
 
= − − =  
 
1 2
D 4f
p' 1 1 p
2 D
 e 
 
= + − =  
 
2 1
D 4f
p' 1 1 p
2 D
 
Assim, o aumento linear transversal para cada posição é: 
 
− −  − − 
 
= − = −  = −
 
+ −+ −  
 
1
1 1
1
D 4f 4f1 1 1 12 Dp' D
A A
p 4fD 4f
1 11 1
D2 D
 
 
+ −  + − 
 
= − = −  = −
 
− −− −  
 
2
2 2
2
D 4f 4f1 1 1 12 Dp' D
A A
p 4fD 4f
1 11 1
D2 D
 
Assim, obtemos:  =1 2A A 1 
d) Da relação  =1 2A A 1, temos: 
   
 =  =   =    
   
21 2
1 2 1 2
y y
1 y y y y y y
y y
 
 
 
 
 2 
3. A distância entre o objeto e a imagem é: = +D p p' (I) 
Da equação dos pontos conjugados de Gauss: = +  =
−
1 1 1 pf
p '
f p p ' p f
 (II) 
Substituindo (II) em (I): 
− +
= + =  =
− − −
2 2pf p pf pf p
D p D
p f p f p f
 (III) 
Mas o aumento linear transversal pode ser calculado por: =
−
f
A
f p
 
Portanto: − = −
f
p f
A
 (IV) e 
( )−
=
A 1 f
p
A
 (V) 
Substituindo (IV) e (V) em (III), vem: 
( )
( )
− 
 
− 
=  = −
 
− 
 
2
2
A 1 f
A A 1 f
D D
f A
A
 
Derivando a equação acima com respeito a A e igualando a zero, temos: 
( ) ( )
( )( )
−  −  −
− =  − + =
2
2
2 A 1 f A 1 A 1 f
0 f A 1 A 1 0
A
 
Como a imagem é projetada, o aumento linear transversal deve ser negativo. Portanto: = −A 1 
Podemos “visualizar” melhor esse problema pelo método gráfico de Pierre Lucie. As abscissas do objeto e da imagem são dadas através do 
diagrama a seguir. Observe que a distância entre objeto e imagem vai ser mínima quando a soma dos catetos do POP'Δ for mínima. Isso ocorre 
quando =  =−p p' A 1 
 
Alternativa C 
 
4. Da equação dos fabricantes de lentes, temos: 
   
= − + = − +  =   
  1 2
1 1 1 1 1
(n 1) (2,5 1) f 30 cm
f R R 45
 
Da equação dos pontos conjugados de Gauss para a lente, temos: 

= +  = =  =
− −
1 1
1 1
1 1
p f1 1 1 40 30
p ' p ' 120 cm
f p p' p f 40 30
 
Essa imagem real se comporta como objeto virtual para o dioptro, tal que = − = −  =−2 1 2p d p ' 99 120 p 21 cm 
Da equação do dioptro plano: 
( )
+ =  + =  =
−
1 2
2
2
4
n n 1 30 0 p ' 28 cm
p p' 21 p '
 
Logo, a distância do objeto à imagem final é: = + +  =D 40 99 28 D 167 cm 
Essa imagem é real e o aumento linear transversal é: 
 
=  = −  = −  = − 
 
1
1 2
1
p ' 120
A A A 1 A 3
p 40
 
Vale lembrar que o aumento linear transversal para o dioptro plano é igual a 1. 
Portanto o tamanho da imagem é 6 cm. 
 
 3 
5. Da equação dos pontos conjugados de Gauss para a lente 1L , temos: 

= +  = =  = −
−
−
1 1
1 1
1 1
f
f
p f1 1 1 2p ' p ' f
ff p p' p f
f
2
 
Essa imagem virtual se comporta como objeto real para a lente 2L , tal que ( )= − = − −  =2 1 2p d p ' f f p 2f 
Da equação dos pontos conjugados de Gauss para a lente 2L , temos: 

= +  = =  =
− −
2 2
2 2
2 2
p f1 1 1 2f f
p ' p ' 2f
f p p' p f 2f f
 
Essa imagem real se comporta como objeto virtual para a lente 3L , tal que = − = −  =−3 2 3p d p ' f 2f p f 
Da equação dos pontos conjugados de Gauss para a lente 3L , temos: 
( )
( )
− 
= +  = =  =
− − −
3 3
3 3
3 3
f fp f1 1 1 f
p ' p '
f p p' p f f f 2
 
Alternativa D 
 
6. Da equação dos pontos conjugados de Gauss para a lente, temos: = +  =
−
1
1 1 1 pf
p '
f p p ' p f
 
Essa imagem se comporta como objeto para o dioptro plano tal que 
 
= − = −  = 
− − 
2 1 2
pf pf
p d p ' 0 p
p f f p
 
Da equação do dioptro plano, temos: + =  + =  =
−
−
1 2
2
2
n n 1 n npf
0 0 p '
pfp p' p ' p f
f p
 
O aumento linear transversal pode ser calculado como: =  =   =
− −
1 2
f f
A A A 1 A
f p f p
 
Portanto, a imagem final é real, se encontra à direita da lente a uma distância 
−
npf
p f
 da lente e com aumento linear transversal =
−
f
A
f p
 
 
7. a) Da equação dos pontos conjugados de Gauss para a lente 1L , temos: 

= +  = =  = −
− −
1 1
1 1
1 1
p f1 1 1 20 30
p ' p ' 60 cm
f p p' p f 20 30
 
Essa imagem virtual se comporta como objeto real para a lente 2L , tal que ( )= − = − −  =2 1 2p d p ' 10 60 p 70 cm 
Da equação dos pontos conjugados de Gauss para a lente 2L , temos: 
( )
( )
 −
= +  = =  = −
− − −
2 2
2 2
2 2
70 70p f1 1 1
p ' p ' 35 cm
f p p' p f 70 70
 
Portanto, a imagem final está a 5 cm à esquerda do objeto. 
b) O aumento linear transversal pode ser calculado como: 
     
=  = − − = − −  =     
    
1 2
1 2
1 2
p ' p ' 60 35 3
A A A A
p p 20 70 2
 
c) Para a lente equivalente, temos: + = −p p' 5 cm . Essa lente deve produzir o mesmo aumento linear transversal do conjunto. 
( )− −
= −  = −  =
p 5p' 3
A p 10 cm
p 2 p
 
 
 4 
d) O aumento linear transversal para a lente equivalente pode ser calculado como: 
=  =  = =
− −
f 3 f
A f 30 cm 0,3 m
f p 2 f 10
 
Logo, a vergência é: = =  =
1 1 10
V V di
f 0,3 3
 
 
8. a) Como a imagem é projetada, ela é real. Logo, o aumento linear transversal vale = −A 5 . Assim, temos: 
=  − =  =
− −
f f
A 5 f 10 cm
f p f 12
 
Da equação dos fabricantes de lentes, temos: 
   
= − +  = − +  =   
  1 2
1 1 1 1 1 1
(n 1) (2,5 1) R 15 cm
f R R 10 R
 
b) Alterando-se o índice de refração do meio de =arn 1 para =meion 3 , a nova distância focal vale: 
    
= − + = − +  = −    
   1 2
1 1 1 2,5 1 1
(n 1) 1 f 90 cm
f R R 3 15
 
A nova lente se torna divergente. Logo, a partir de um objeto real, ela conjuga uma imagem virtual não projetável. 
c) Para objetos virtuais, é possível se conjugar imagens reais a partir de uma lente divergente. 
 
9. Da equação dos pontos conjugados de Gauss para a lente, temos: 
= +  =  =
− −
1
1 1
1
p f1 1 1 15f
p ' p '
f p p' p f 15 f
 
Essa imagem se comporta como objeto para o espelho plano, tal que 
− 
= − = −  = 
− − 
2 1 2
15f 900 75f
p d p ' 60 p
15 f 15 f
 
Para o espelho plano: 
−
= −  =
−
2 2 2
75f 900
p ' p p '
15 f
 
Essa imagem se comporta como objeto para a lente, tal que 
− − 
= − = −  = 
− − 
3 2 3
75f 900 1800 135f
p d p ' 60 p
15 f 15 f
 
Da equação dos pontos conjugados de Gauss para a lente, temos: 
−

 −= +  =  =  − + =
−+
+
−
23 3
3 3
1800 135f
15
p p '1 1 1 15 ff f f 27f 180 0
1800 135ff p p' p p '
15
15 f
 
Portanto: =f 12 cm ou =f 15 cm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5 
10. Da equação dos pontos conjugados de Gauss para a lente 1L , temos: 

= +  = =  =
− −
1 1
1 1
1 1
p f1 1 1 30 20
p ' p ' 60 cm
f p p' p f 30 20
 
Essa imagem real se comporta como objeto virtual para a lente 2L , tal que = − = −  =−2 1 2p d p ' 15 60 p 45 cm 
Da equação dos pontos conjugados de Gauss para a lente 2L , temos: 
( )
( )
− 
= +  = =  =
− − −
2 2
2 2
2 2
45 15p f1 1 1
p ' p ' 11,25 cm
f p p' p f 45 15
 
Essa imagem real se comporta como objeto virtual para a lente 3L , tal que = − = −  =−3 2 3p d p ' 1,25 11,25 p 10 cm 
Da equação dos pontos conjugados de Gauss para a lente 3L , temos: 
( ) ( )
( ) ( )
−  −
= +  = = = −
− − − −
3 3
3 3
3 3
10 5p f1 1 1
p ' p ' 10 cm
f p p' p f 10 5
 
Note que a imagem final é virtual e se encontra a 10 cm do lado esquerdo da lente 3L . O aumento linear transversal poder ser calculado como: 
       
=   = − − − = − −  =       
      
31 2
1 2 3
1 2 3
p 'p ' p ' 60 11,25 10 1
A A A A A
p p p 30 45 10 2