Capitulo28 Conexão com a matemática

Prévia do material em texto

conexões com 
a matemática 
1
 DVD do professor 
banco De questões
Capítulo 28 números complexos
	 7.	 (PUC) O número complexo a 1 bi, diferente de 
zero, está assinalado, no plano complexo, sobre o 
eixo real. É correto afirmar que seu conjugado está 
situado:
a)	sobre o eixo real.
b)	sobre o eixo imaginário.
c)	 no primeiro quadrante.
d)	no segundo quadrante.
e)	no terceiro quadrante. 
	 8.	 (UEG-GO) O conjunto dos números complexos que 
satisfazem a condição $z 2 3i$ 5 $z 2 2$ é repre-
sentado no plano cartesiano por uma reta:
a)	cuja inclinação é positiva.
b)	que contém a origem do sistema.
c)	 que não intercepta o eixo real.
d)	cuja inclinação é negativa.
	 9.	 (UFC-CE) Os números complexos distintos z e w são 
tais que z 1 w 5 1 e z 8 w 5 1.
a)	Calcule $z$.
b)	Calcule o valor z4 1 w4 sabendo-se que z está no 
primeiro quadrante do plano complexo.
	10.	 (UFRJ) No jogo Batalha Complexa são dados núme-
ros complexos z e w, chamados mira e alvo, respec-
tivamente.
	 	 O	tiro certeiro de z em w é o número complexo t tal 
que tz 5 w.
imaginário
real
z
|w | = 4
30°
30°
|z | = 2
w
Considere a mira z e o alvo w indicados na figura 
anterior. Determine o tiro certeiro de z em w.
	11.	 Determine o módulo dos números complexos abaixo.
a)	1 1 i
b)	3 2 4i
c)	 24
d)	2i
	12.	 (Ufal) Na figura a seguir, os pontos Pl e P2 são as res-
pectivas imagens de dois números complexos z1 e 
z2, ambos de módulo r, representados no plano de 
 Argand-Gauss.
	 1.	 Escreva na forma algébrica os números complexos 
abaixo.
a) 
i
i
1
2
1
1
b)	
i
i
1
2
2
2 3
c)	
i
i
2
1
1
1 22e o
	 2.	 (UEL-PR) Qual é a parte real do número complexo 
z 5 a 1 bi, com a e b reais e a . 0 e b . 0, cujo qua-
drado é 25 1 12i?
a)	
3
1 d)	2
b)	
2
1
 e)	 3
c)	 1
	 3.	 (Ibmec) Seja z um número complexo tal que: 
	 	 z 5
i21
2 4e o , onde i é a unidade imaginária. É correto 
afirmar que o módulo e o argumento de z são iguais, 
respectivamente, a:
a)	 e π2
2
 c)	 e π2
2
3
 e)	4 e π
b)	2 e π d)	 e π4
2
	 4.	 Determine os valores de x para que o número com-
plexo 
i
i
1
2
z
x
x= seja imaginário puro.
	 5.	 (UFT-TO) Considere i a unidade imaginária dos nú-
meros complexos. O valor da expressão (i 1 1)8 é:
a)	32i b)	32 c)	16 d)	16i
	 6.	 (UFG-GO) O número complexo z 5 x 1 yi pode ser 
representado no plano, como a seguir:
y
O
θ
α
x
P
	 	 Considere ( )r x y12 2= o módulo de z. O número 
complexo z pode ser escrito como:
a)	z 5 r 8 (cos a 1 i 8 sen a)
b)	z 5 r 8 (cos a 2 i 8 sen a)
c)	 z 5 r 8 (sen t 1 i 8 cos t)
d)	z 5 r 8 (sen a 2 i 8 cos a)
e) z 5 r 8 (cos t 1 i 8 sen t)
banco De questões
números complexoscapítulo 28
Fácil	 Médio	 Difícil
Grau de dificuldade das questões:
conexões com 
a matemática 
2
 DVD do professor 
banco De questões
Capítulo 28 números complexos
O
Im (z)
P1r
r
P2
Re (z)
θ
	 	 Se t é o argumento de z1, analise as afirmações 
seguintes.
a)	z1 8 z2 tem módulo r e argumento 2t
b)	
z
z
2
1 tem módulo unitário e argumento 2 π
2
c)	 z2 é conjugado de z
1
1
d) z2 5 i 8 z1
e) z1
2 5 z2
2 
	13.	 (PUC) Dado o número complexo
	 	 z i sen
π 1 8 πcos
6 6
= , então, se P1, P2 e P3 são as res-
pectivas imagens de z, z2 e z3 no plano complexo,
a medida do maior ângulo interno do triângulo 
P1P2P3 é:
a)	75º c)	120º e)	150º
b)	100º d)	135º
	14.	 (UFSM-RS)	
O
y
G
B(a, b)
θ
xA
	 	 Um triângulo fica determinado pelo conhecimen-
to de 3 elementos, que são seus vértices. A figu-
ra mostra um triângulo retângulo OAB no qual 
o ponto B tem por afixo o número complexo 
z 5 a 1 bi, cujos módulo ú e argumento t são, respec-
tivamente, e
π
2
4
. Assim, a equação da reta suporte 
da altura relativa à hipotenusa do triângulo OAB é:
a)	x 1 y 5 0 d)	 1 2x y 2 0=
b)	x 2 y 5 0 e)	
( )
1 2x y
2
2
0=
c)	 2 2x y 2 0=
	15.	 (UFPel-RS) O módulo de um número complexo 
z 5 a 1 bi, a Ñ R, b Ñ R, é a distância do ponto (a, b) 
ao ponto (0, 0) do plano Argand-Gauss.
	 	 Com base no texto e em seus conhecimentos, é cor-
reto afirmar que o módulo do número complexo
	 	 z
i
i
( i)5
2
1 1 2
1 2
1 3
1 6	é, aproximadamente:
a)	7,07 c)	8,06 e)	 9,06
b)	6,08 d)	6,63 f	) I.R.
	16.	 (Unifor-CE) Seja z um número complexo dado por 
z
( i)
( i) ( i)
2
1 8 2 1
3 3
3 4 1
2
4
= . Considerando as aproxima-
ções log 2 5 0,30 e log 3 5 0,48, o valor de log |z| é:
a)	0,02 c)	0,06 e)	0,6
b)	0,04 d)	0,4
	 17.	 (Unifor-CE) Seja o número complexo z 5 x 1 3i, em 
que x é um número real negativo. Se z 6= , então a 
forma trigonométrica de z é:
a)	 i sen8 π 1 8 πcos6
3
2
3
2d n
b)	 i sen8 π 1 8 πcos6
6
5
6
5d n
c)	 i sen8
π 1 8 πcos6
3
4
3
4d n
d)	 i sen8 π 1 8 πcos6
3
5
3
5d n
e)	 i sen8 π 1 8 πcos6
6
11
6
11d n
	18.	 (Unifesp) Considere, no plano complexo, confor-
me a figura, o triângulo de vértices z1 5 2, z2 5 5 e 
z3 5 6 1 2i.
0
y
2
x5 62
 A área do triângulo de vértices w1 5 iz1, w25 iz2 e 
w3 5 2iz3 é:
a)	8 c)	4 e)	2
b)	6 d)	3 
	19.	 (Vunesp) Considere os números complexos z1 5 2 1 i
 e z2 5 x 1 2i, onde i é a unidade imaginária e x é um 
número real. Determine:
a)	o número complexo z1 8 z2 em função de x.
b)	os valores de x tais que Re(z1 8 z2) < Im(z1 8 z2), 
onde Re denota a parte real e Im, a parte imagi-
nária do número complexo.
	20.	 (Vunesp) O número complexo z 5 a 1 bi é vértice de 
um triân gulo equilátero, como mostra a figura.
O
b
a
θ
z
 Sabendo que a área desse triângulo é igual a 36 3 , 
deter mine z2.
conexões com 
a matemática 
1
 DVD do professor 
banco De questões
Capítulo 28 números complexos
conexões com 
a matemática 
3
 DVD do professor 
banco De questões
Capítulo 28 números complexos
	21.	 (FCC-SP) É dado o número complexo z 5 x 1 iy, com 
x, y Ñ R. O lugar geométrico das imagens dos núme-
ros z, tais que $z$ , l e x 1 y , 0, é representado no 
plano Argand-Gauss pela região pintada na figura:
a)	
Re(z)
Im(z)
1–1
1
–1
b)	
Re(z)
Im(z)
1–1
–1
1
c)	
1
Re(z)
Im(z)
–1
1
–1
d) 
1
Re(z)
Im(z)
–1
1
–1
e) 
1
Re(z)
Im(z)
–1
1
–1
	22.	 (Fuvest-SP) Sabendo que a é um número real e que 
a parte imaginária do número complexo 
i
i
1
1
2
2
a
 é 
zero, então a é:
a)	24 b)	22 c) 1 d) 2 e) 4
	23.	 (UFPel-RS) Na eletrônica e na eletricidade, a análise de 
circuitos de corrente alternada é feita com a ajuda 
de números complexos. Grandezas como a impe-
dância (em ohms) e a potência aparente (em volt-
-ampère) são exemplos de quantidades complexas.
 Considerando Z1 e Z2 dois números complexos, Z1 
e Z2 seus respectivos conjugados e $Z1$ e $Z2$ seus 
respectivos módulos, analise as afirmativas.
 I. Z1 8 Z1 é sempre um número real.
 II. $Z1$ 8 $Z2$ é sempre um número irracional.
 III. 8 8Z Z Z Z51 2 1 2
 IV. $Z1 Z2$ i $Z1$ 8 $Z2$
 A respeito dessas afirmativas, é correto afirmar que:
a) Somente I e II são verdadeiras.
b) Somente II e IV são verdadeiras.
c) Somente I e III são verdadeiras.
d) Todas as afirmativas são verdadeiras.
e)	Todas as afirmativas são falsas.
f ) I.R.
 24. (Unifesp) Os números complexos z1, z2 5 2i e 
z3 5 a 3 1 ai, onde a é um número real positivo, 
representam no plano complexo vértices de um 
triângulo equilátero. Dado que $z2 2 z1$5 2, o 
valor de a é:
a) 2 c) 3 e) 2
1
b) 1 d) 2
3
 25. (UPF-MG) Sendo o número complexo z 5 i1
8
6 2 , 
as expressões de z3 e z6 são dadas, respectivamente, 
por:
a) i e 21 c) 2i e 1 e) 1 e 1
b) i e 11 d) 2i e 21
	26. (Mackenzie-SP) Que números complexos repre-
sentam dois vértices de um triângulo equilátero 
 inscrito numa circunferência de centro na origem, 
onde um dos três vértices do triângulo é dado por 
V1 5 22i?
a) 3 1 i e 3 2 i
b) 2 3 2 i e 3 2 i
c) 3 1 i e 2 3 1 i
d) 2 3 1 i e 2 3 2 i
e) 2i e 2
 27. (Unir-RO) Fixado um ângulo t, em radianos, a 
multiplicação complexa (cos t 2 i 8 sen t) 8 (x 1 iy) 
 representa a rotação de t radianos, no sentido anti-
-horário, em torno da origem, do número complexo 
x 1 iy. Rotacionando 30 graus, no sentido anti- 
-horário e emtorno da origem, o número complexo 
1 11
1
2
2
3
2
3
 i, obtém-se:
a) 3 1 i c) 1 1 2i e) 1 1 i
b) 1 1 i 3 d) 2 1 4i
 28. (Fuvest-SP) Dentre os números complexos z 5 a 1 bi, 
não nulos, que têm argumento igual a π
4
, aquele 
cuja representação geométrica está sobre a parábo-
la y 5 x2 é:
a) 1 1 i c) 21 1 i e) 2 2 1 2i
b) 1 2 i d) 2 1 2i
conexões com 
a matemática 
4
 DVD do professor 
banco De questões
Capítulo 28 números complexos
 29. (Unicamp-SP) Dado o número complexo z 5 x 1 iy, 
o seu conjugado é o número complexo z 5 x 2 iy.
a) Resolva as equações z 8 z 5 4 e (z)2 5 z2.
b) Ache os pontos de intersecção dos lugares geo-
métricos que representam as soluções dessas 
equações.
	30. (UFSCar-SP) Sejam i a unidade imaginária e an o 
n-ésimo termo de uma progressão geométrica com 
a2 5 2 8 a1. Se a1 é um número ímpar, então 
ia1 1 ia2 1 ia3 1 ... 1 ia10 é igual a:
a) 9i ou 29i
b) 29 1 i ou	29 2 i
c) 9 1 i ou	9 2 i
d) 8 1 i ou	8 2 i
e) 7 1 i ou 7 2 i
	31. (UFBA) Na figura, tem-se uma circunferência de 
centro na origem dos eixos coordenados e raio igual 
a 2 u.c. O comprimento do menor arco de origem 
em A e extremidade em P1 é igual a 
π
3
 u.c.
y
–2
–2 2
P1
2
x
O A
 Considere os pontos P1, P2 e P3 vértices de um triân-
gulo equilátero inscrito na circunferência e repre-
sentado, nessa ordem, no sentido anti-horário.
 Sendo P1, P2 e P3, respectivamente, afixos dos núme-
ros complexos z1, z2 e z3, calcule 
5
1
1 1z z z32 . 
 32. (ITA-SP) O conjunto A, definido por
	 	 ; ( i) ( i) 4Ñ YA z z z2 2= =$ ., representa no plano 
complexo:
a) uma elipse cujos focos se encontram nos pontos 
i e 2i.
b) uma circunferência de centro no ponto (0, 1) e 
raio 2.
c) uma circunferência de centro no ponto (0, 0) e 
raio 4.
d) um par de retas que se cortam no ponto (1, 1).
e) nenhuma das anteriores.
 33. Escreva os números complexos abaixo na forma tri-
gonométrica.
a) z 5 2
b) z 5 23i
c) z 5 2 1 2i
d) iz 1 32 1=
	34. Escreva o número complexo w z z22 1= na forma 
trigonométrica, dados os complexos z1 5 21 1 t
	 	 e z2 5 t 1 1.
	35. (Cesgranrio-RJ) O lugar geométrico das imagens dos 
complexos z tais que z2 é real é:
a) um par de retas paralelas.
b) um par de retas concorrentes.
c) uma reta.
d) uma circunferência.
e) uma parábola.
	36. Considere os números complexos 
z1 5 10(cos 75° 1 i 8 sen 75°) e z2 5 2(cos 15° 1 i 8 sen 15°) 
e determine:
a) z1 8 z2 b) z
z
2
1 c) z1
4
	37. Dado o número complexo iπ 8 πcosz
16 16
sen1= , 
determine o valor da expressão: w 5 z4 1 z8 1 z16
	38. (Unicamp-SP) Identifique o lugar geométrico 
dos pontos z 5 x 1 iy do plano complexo tal que 
Re 5
z
1
4
1d n . Determine a equação cartesiana e faça 
o gráfico desse lugar.
 39. (Fuvest-SP)
a) Se z15 cos t1 1 i 8 sen t1 e z2 5 cos t2 1 i 8 sen t2, 
mostre que o produto z1 8 z2 é igual a 
	 cos (t1 1 t2) 1 i 8 sen (t1 1 t2).
b) Mostre que o número complexo 
	 z 5 cos 48º 1 i 8 sen 48º é raiz da equação
z10	1	z5 1 1 5 0.
 40. (Unicamp-SP) Se z 5 x 1 iy é um número complexo, 
o número real x é chamado “parte real de z” e é in-
dicado por Re(z), ou seja, Re(x 1 iy) 5 x.
a) Mostre que o conjunto dos pontos (x, y) que sa-
tisfazem a equação Re 
i
z
z
2
2
2
1
2
1 =e o , ao qual se 
acrescenta o ponto (2, 0), é uma circunferência.
b) Ache a equação da reta que passa pelo ponto 
(22, 0) e é tangente àquela circunferência.
 41. (Unicamp-SP) Um número complexo z 5 x 1 iy, z i 0,
podeser escrito na forma trigonométrica: z 5 $z$ 
(cos t 1 i 8 sen t), onde ,z x y$ $ 5 12 2 cos
z
xt 5
$ $
 
.
z
y
e sen t 5
$ $
 Essa forma de representar os núme-
ros complexos não nulos é muito conveniente, es-
pecialmente para o cálculo de potências inteiras de 
números complexos, em virtude da fórmula de De 
Moivre:
 [$z$(cos t 1 i 8 sen t)]k 5 |z|k (cos kt 1 i 8 sen kt), que é 
válida para todo k Ñ Z. Use essas informações para:
a) calcular ( 3 1 i)12.
b) sendo i ,5 1z
2
2
2
2
 calcular o valor de 
	 1 1 z	1	z2	1	z3 1 ... 1 z 15.
conexões com 
a matemática 
5
 DVD do professor 
banco De questões
Capítulo 28 números complexos
 42. (Fuvest-SP) O numero complexo z i 0 e o seu inver-
so 
z
1 têm o mesmo módulo. Conclui-se que:
a) ez
z
1 são conjugados.
b) z 1 z
1
 5 i
c) este módulo é 2.
d) ez
z
1 são reais.
e) z2 5 1
 43. (Fuvest-SP) Determine	 os números complexos z 
que sa tisfazem, simultaneamente, |z| 5 2 e
 .
i
i
1
2
Im
z
1 2
1=e o 
 Lembretes: i2 5 21; w 5 a 1 bi, com a e b reais, então 
1w a b2 2= e Im(w) 5 b.
	44. (Fuvest-SP)
a) Determine todas as soluções, no campo comple-
xo, da equação z 5 iz2 , onde i é a unidade imagi-
nária, isto é, i2 5 21, e z é o conjugado de z.
b) Represente essas soluções no plano complexo, 
usando o sistema de coordenadas desenhado a 
seguir.
Re (z)
Im (z)
 45. (Fuvest-SP) Nos itens a seguir, z denota um número 
complexo e i a	unidade imaginária (i2 5 21). Supo-
nha z i i.
a) Para quais valores de z tem-se 
i
i
1
1
z
z
1
 5 2?
b) Determine o conjunto de todos os valores de z 
para os quais 
i
i
1
1
z
z
1
 é um número real.