10 03 - (Lista de Exercícios Cones) - [Med e Tetra-10 07] [Gabarito]

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Prof. Anderson Weber 
Matemática 
 
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Lista de Exercícios – Cones [GABARITO] 
 
 
Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: [D] 
 
Do enunciado, temos: 
 
 
 
Da figura, temos: 
2𝜋𝑟 ⋅ 360° = 2𝜋 ⋅ 10 ⋅ 216 
𝑟 = 6 𝑐𝑚 
 
No triângulo 𝐴𝐵𝐶, 
102 = ℎ2 + 𝑟2 
102 = ℎ2 + 62 
ℎ2 = 100 − 36 
ℎ = 8 𝑐𝑚 
 
Resposta da questão 2: [E] 
 
Sejam ℎ e 2𝑟, respectivamente, a medida da altura e a medida da aresta da base do prisma. Desse modo, temos 
1
3
⋅ 𝜋 ⋅ 𝑟2 ⋅ (ℎ − 5,5) =
1
6
⋅ (2𝑟)2 ⋅ ℎ ⇒ 3,1ℎ − 17,05 ≅ 2ℎ 
   ⇒ ℎ ≅ 15,5𝑐𝑚. 
 
Resposta da questão 3: 
 
 
 
Calculando: 
𝜋 ⋅ (𝑥 + 1)2 ⋅ (𝑥 + 1)
3
−
𝜋 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥
3
= 19 ⇒ (𝑥 + 1)3 − 𝑥3 = 19 
𝑥3 + 3𝑥2 + 3𝑥 + 1 − 𝑥3 − 19 = 0 ⇒ 3𝑥2 + 3𝑥 − 18 = 0 ⇒ 𝑥2 + 𝑥 − 6 = 0 ⇒ {
𝑥 = −3  (𝑛ã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑣é𝑚)
𝑜𝑢
𝑥 = 2
 
 
 
 
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Resposta da questão 4: [A] 
 
Se 𝑔 é a geratriz do cone, então 
2𝜋 ⋅ 𝑔 = 2 ⋅ 2𝜋 ⋅ 6 ⇔ 𝑔 = 12𝑐𝑚. 
 
Logo, sendo ℎ a altura do cone, vem 
ℎ2 = 122 − 62 ⇒ ℎ = 6√3𝑐𝑚. 
 
A resposta é dada por 
𝜋⋅62⋅6√3
3
= 72√3𝜋 𝑐𝑚3. 
 
Resposta da questão 5: 
 
 
 
 
hipotenusa ⇒ 𝑎 + 𝑏 
cateto maior ⇒ 𝑎 + 1 
cateto menor ⇒ 𝑏 + 1 
𝑎 + 𝑏 = 2(1 + √6) = 2 + 2√6 
(𝑎 + 𝑏)2 = (𝑎 + 1)2 + (𝑏 + 1)2 ⇒ 𝑎𝑏 = 𝑎 + 𝑏 + 1 = 2 + 2√6 + 1 = 3 + 2√6 
 
Supondo, 
𝑥2 − (2 + 2√6)𝑥 + (3 + 2√6) = 0 
 
Por Girard, raízes 𝑎 e 𝑏 ⇒ ⟨
𝑎 = 3 + √6
𝑏 = −1 + √6
 
 
𝐶𝑜𝑛𝑒 ⇒ 𝑆𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑆𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 + 𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒 
𝑆𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝜋𝑅𝑔 + 𝜋𝑅
2 ⇒ 𝑆𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝜋 ⋅ √6 ⋅ (2 + 2√6) + 𝜋 ⋅ (√6)
2
 
𝑆𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2𝜋(9 + √6)  𝑢. 𝑎. 
 
Resposta da questão 6: [A] 
 
Resposta da questão 7: [C] 
 
Considerando 𝑅 a medida do raio da base do cone e 𝑔 a medida de sua geratriz, obtemos: 
 
 
 
1
3
⋅ 𝜋 ⋅ 𝑅2 ⋅ 12 = 64 ⋅ 𝜋 ⇒ 𝑅2 = 16 ⇒ 𝑅 = 4 𝑐𝑚 
𝑔2 = 122 + 42 ⇒ 𝑔 = √160 ⇒ 𝑔 = 4 ⋅ √10 𝑐𝑚 
 
 
 
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Resposta da questão 8: [A] 
 
 
 
Calculando o volume do cone, temos: 
1
3
⋅ 𝜋 ⋅ 𝑅2 ⋅ 6 = 128𝜋 ⇒ 𝑅2 = 64 ⇒ 𝑅 = 8 
 
Determinando a geratriz do cone, temos: 
𝑔2 = 62 + 82 ⇒ 𝑔 = 10 
 
Logo, sua área total será dada por: 
𝐴𝑇 = 𝜋 ⋅ 𝑅 ⋅ 𝑔 + 𝜋 ⋅ 𝑅
2 = 𝜋 ⋅ 8 ⋅ 10 + 𝜋 ⋅ 82 = 144𝜋𝑐𝑚2 
 
Resposta da questão 9: [D] 
 
Considerando 𝑂 o centro da esfera, temos: 
 
 
 
No triângulo 𝐴𝑂𝐷, temos: 𝐴𝐷2 + 12 = 32 ⇒ 𝐴𝐷 = √8𝑐𝑚 
𝛥𝐴𝐷𝑂 − 𝛥𝐴𝐵𝐶 ⇒
√8
4
=
1
𝑟
⇒ 𝑟 =
4
√8
𝑐𝑚 
 
Portanto, o volume V do cone será dado por: 
𝑉 =
1
3
⋅ 𝜋 ⋅ 𝑅2 ⋅ ℎ =
1
3
⋅ 𝜋 ⋅ (
4
√8
)
2
⋅ 4 =
8⋅𝜋
3
𝑐𝑚3 
 
Resposta da questão 10: 
 
 Seja ℎ a altura que o sorvete derretido atinge na casquinha. Tem-se que 
 
1
3
⋅ 𝜋 ⋅ 32 ⋅ ℎ =
80
100
⋅
4𝜋
3
⋅ 33 ⇔ ℎ = 9,6𝑐𝑚.