Problemas de regra de tres

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Caríssimos amigos concurseiros. Seguem breves comentários à prova de RLQ do ATA-
MF. Não encontramos nenhuma questão passível de recurso. Mas, se vocês tiverem 
visualizado alguma coisa e quiserem debater conosco, fiquem à vontade para mandar e-
mails, ou então usar o fórum do nosso curso aqui no Ponto. 
Vamos à prova! 
Vamos usar como base a prova de gabarito 1. 
 
Questão 11 
Com 50 trabalhadores, com a mesma produtividade, trabalhando 8 horas por dia, uma 
obra ficaria pronta em 24 dias. Com 40 trabalhadores, trabalhando 10 horas por dia, 
com uma produtividade 20% menor que os primeiros, em quantos dias a mesma obra 
ficaria pronta? 
a) 24 
b) 16 
c) 30 
d) 15 
e) 20 
Comentários 
Primeiro vamos focar na situação inicial, com os 50 trabalhadores que têm 
produtividade “normal”. 
Eles trabalham durante 24 dias, numa jornada de 8 horas por dia. Logo, o total de horas 
trabalhadas é: 
192248 =× 
Eles trabalham 192 horas. 
Como são 50 operários, ficamos com: 
960019250 =× homens × hora 
Logo, para a conclusão da obra, são necessários 9.600 homens hora de trabalho. 
Agora vamos para a segunda situação. Na segunda situação, temos 40 homens, 
trabalhando durante x dias, numa jornada de 10 horas por dia. A quantidade de homens 
hora fica: 
4010××x 
E sabemos que esta quantia é igual a 9.600. 
600.94010 =××x 
24=x 
Ou seja, esses 40 homens gastariam 24 dias para fazer a mesma obra. A diminuição na 
quantidade de operários seria compensada por um aumento na jornada, de modo que o 
tempo da obra não se alteraria. Aí vai o candidato feliz da vida e marca a letra A. 
 
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Certo??? 
 
Errado!!! 
 
Tem um pequeno detalhe. Na segunda situação, os homens têm produtividade reduzida. 
Eles, no mesmo tempo, produzem 20% menos que os operários “normais”. 
Logo, eles vão gastar mais que 24 dias para concluírem a obra. A única opção possível é 
a letra C. Já dá para marcar direto a resposta correta sem contas adicionais. 
De todo modo, vamos ver como fica o cálculo. 
Em 24 dias, os operários com produtividade menor eles não fazem a obra inteira. Eles 
fazem 20% menos. Em 24 dias eles fazem apenas 80% da obra. 
Precisamos fazer uma regra de três: 
24 dias ---- 80% da obra 
y dias ---- 100% da obra 
Multiplicando cruzado: 
30
80
10024
=
×
=y 
Devido à produtividade reduzida, eles gastam mais tempo. Eles gastam 30 dias para 
executarem a obra. 
Resposta: C. 
 
Questão 12 
Existem duas torneiras para encher um tanque vazio. Se apenas a primeira torneira for 
aberta, ao máximo, o tanque encherá em 24 horas. Se apenas a segunda torneira for 
aberta, ao máximo, o tanque encherá em 48 horas. Se as duas torneiras forem abertas ao 
mesmo tempo, ao máximo, em quanto tempo o tanque encherá? 
a) 12 horas 
b) 30 horas 
c) 20 horas 
d) 24 horas 
e) 16 horas 
 
Comentários 
Antes de fazer qualquer conta, já dava para eliminar algumas alternativas. A torneira 
que tem maior vazão é a primeira, pois ela enche o tanque em menos tempo. Ela enche 
o tanque em apenas 24 horas. Se ela for ajudada por outra torneira, o tempo de 
enchimento será menor que 24 horas. Já eliminamos as alternativas B e D. 
A segunda torneira tem uma vazão menor. Ela enche o tanque em longas 48 horas. 
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Se a primeira torneira fosse ajudada por outra de mesma vazão, o tempo de enchimento 
cairia pela metade (iria para 12 horas). Só que a segunda torneira não é “tão boa” assim. 
Ela não ajuda tanto. Ela tem uma vazão menor. Logo, o tempo de enchimento não chega 
a cair para 12 horas. Já eliminamos a letra “A”. 
Vamos às contas. 
Vamos supor que o tanque tenha 48 litros. Precisava supor isso? Não. Você poderia 
chutar qualquer outro valor (1.000; 2.000, 500.000), ou mesmo resolver de forma literal, 
indicando como “v” de volume. 
Se a primeira torneira demora 24 horas para encher o tanque de 48 litros, então ela tem 
uma vazão de 2 litros por hora. Basta fazer uma regra de três. 
24 horas --- 48 litros 
1 hora ---- x litros 
Multiplicando cruzado: 
24824 =→=× xx 
A torneira enche 2 litros do tanque em 1 hora. 
Se a segunda torneira demora 48 para encher o tanque de 48 litros, então ela tem uma 
vazão de 1 litro por hora. 
Se as duas torneiras forem ligadas juntas, elas vão encher 3 litros em uma hora. Quanto 
tempo elas demoram para encher o tanque? Basta fazer outra regra de três: 
3 litros --- 1 hora 
48 litros --- y 
Multiplicando cruzado: 
16483 =→=× yy 
Elas demoram 16 horas para encher o tanque. 
Resposta: E. 
 
Questão 13 
Entre os membros de uma família existe o seguinte arranjo: 
Se Márcio vai ao shopping, Marta fica em casa. Se Marta fica em casa, Martinho vai ao 
shopping. Se Martinho vai ao shopping, Mário fica em casa. Dessa maneira, se Mário 
foi ao shopping, pode-se afirmar que: 
a) Marta ficou em casa. 
b) Martinho foi ao shopping. 
c) Márcio não foi ao shopping e Marta não ficou em casa. 
d) Márcio e Martinho foram ao shopping. 
e) Márcio não foi ao shopping e Martinho foi ao shopping. 
 
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Comentários 
Vamos separar as informações. 
1) Se Márcio vai ao shopping, Marta fica em casa. 
2) Se Marta fica em casa, Martinho vai ao shopping. 
3) Se Martinho vai ao shopping, Mário fica em casa. 
4) Mário foi ao shopping. 
 
Como dissemos durante nosso curso, nesse tipo de questão da Esaf fica subentendido 
que todas as proposições fornecidas são verdadeiras. 
Em um condicional verdadeiro, do tipo qp → , dizemos que: 
· p é condição suficiente para q 
· q~ é condição suficiente para p~ 
 
Sabendo disso, vamos analisar as frases. Da quarta informação, temos que Mário foi ao 
shopping. 
Conclusão: Mário foi ao shopping 
 
Agora vamos para a terceira informação. Sabemos que Mário não ficou em casa (pois 
ele foi ao shopping). Isso é suficiente para Martinho não ir ao shoppping. 
Conclusão: Martinho não foi ao shopping 
 
Analisemos a segunda informação. Sabemos que Martinho não foi ao shopping. Isso é 
suficiente para Marta não ficar em casa. 
Conclusão: Marta não ficou em casa 
 
Por fim, a primeira informação. Marta não ficar em casa é suficiente para Márcio não ir 
ao shopping. 
Conclusão: Márcio não foi ao shopping. 
 
Resposta: C. 
 
Questão 14 
X e Y são números reais tais que: se 4≤X , então 7<Y . Sendo assim: 
a) Se Y ≤ 7, então X > 4. 
b) Se Y > 7, então X ≥ 4. 
c) Se X ≥ 4, então Y < 7. 
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d) Se Y < 7, então X ≥ 4. 
e) Se X < 4, então Y ≥ 7. 
 
Comentários 
Questão de aplicação direta de uma das equivalências lógicas mais cobradas em 
concursos. 
qp → equivale a ( ) ( )pq ~~ → 
Logo, partindo do condicional dado na questão, chegamos a: 
Se Y não for maior que 7, então X não é menor ou igual a 4. 
O que é o mesmo que dizer que: 
Se Y for menor ou igual a 7, então X é maior que 4. 
Resposta: A. 
 
Questão 15 
Na antiguidade, consta que um Rei consultou três oráculos para tentar saber o resultado 
de uma batalha que ele pretendia travar contra um reino vizinho. Ele sabia apenas que 
dois oráculos nunca erravam e um sempre errava. Consultados os oráculos, dois falaram 
que ele perderia a batalha e um falou que ele a ganharia. Com base nas respostas dos 
oráculos, pode-se concluir que o Rei: 
a) teria uma probabilidade de 44,4% de ganhar a batalha. 
b) certamente ganharia a batalha. 
c) teria uma probabilidade de 33,3% de ganhar a batalha. 
d) certamente perderia a batalha. 
e) teria uma probabilidade de 66,6% de ganhar a batalha. 
 
Comentários 
Como dois oráculos acertam e um erra, então, necessariamente, os oráculos que deram 
respostas iguais são aqueles que sempre acertam. Portanto, a resposta correta para a 
consultado rei é: seu reino perderá a batalha. Essa é a previsão dos oráculos que sempre 
acertam. 
Se eles sempre acertam, então o rei certamente perderá a batalha. 
Resposta: D. 
 
Questão 16 
Ao se jogar um determinado dado viciado, a probabilidade de sair o número 6 é de 20%, 
enquanto as probabilidades de sair qualquer outro número são iguais entre si. Ao se 
jogar este dado duas vezes, qual o valor mais próximo da probabilidade de um número 
par sair duas vezes? 
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a) 20% 
b) 27% 
c) 25% 
d) 23% 
e) 50% 
 
Comentários 
Das informações acima, temos que a probabilidade de sair 6 é de 20% e a probabilidade 
de cada um dos outros números é de 16%. 
O evento “sair par no primeiro lançamento” é a união dos eventos “sair 2”, “sair 4” e 
“sair 6”, que não têm elementos em comum. Neste caso, a probabilidade da união é 
igual à soma das probabilidades. 
)6()4()2()( PPPparP ++= 
52,020,016,016,0)( =++=parP 
A probabilidade de sair par no segundo lançamento é, também, de 52%. Como os dois 
lançamentos são independentes, então a probabilidade de sair par em ambos é dada pelo 
produto das probabilidades: 
%04,2752,052,0)___( =×=slançamentodoisnosparP 
Resposta: B. 
 
Questão 17 
A negação de “Ana ou Pedro vão ao cinema e Maria fica em casa” é: 
a) Ana e Pedro não vão ao cinema ou Maria fica em casa. 
b) Ana e Pedro não vão ao cinema ou Maria não fica em casa. 
c) Ana ou Pedro vão ao cinema ou Maria não fica em casa. 
d) Ana ou Pedro não vão ao cinema e Maria não fica em casa. 
e) Ana e Pedro não vão ao cinema e Maria fica em casa. 
 
Comentários 
Na proposição composta, temos duas parcelas. São elas: 
1ª parcela: Ana ou Pedro vão ao cinema. 
2ª parcela: Maria fica em casa. 
Elas estão unidas por um “e”. Para negar um “e”, nós negamos as parcelas e trocamos o 
“e” por um “ou”. Aliás, esta é uma das equivalências lógicas mais cobradas. 
)(~ qp ∧ equivale a )(~)(~ qp ∨ 
Vamos dar nomes às proposições. 
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a: Ana vai ao cinema 
p: Pedro vai ao cinema 
m: Maria fica em casa 
A proposição dada é: 
mpa ∧∨ )( 
A sua negação fica: 
( ) )(~)(~)(~ mpampa ∨∨=∧∨ 
Na primeira parcela acima, ainda temos outra proposição composta. Temos uma 
negação de um “ou”. Para negar um “ou” nós negamos as parcelas e trocamos o 
conectivo por um “e”. Esta é outra equivalência lógica importante. 
)(~ qp ∨ é equivalente a qp ~~ ∧ 
Assim, a nossa proposição fica: 
( ) ( ) ( )mpampa ~~~)(~)(~ ∨∧=∨∨ 
Em palavras: 
Ana não vai ao cinema e Pedro não vai ao cinema ou Maria não fica em casa. 
Resposta: B. 
 
Questão 18 
Em um determinado curso de pós-graduação, 1/4 dos participantes são graduados em 
matemática, 2/5 dos participantes são graduados em geologia, 1/3 dos participantes são 
graduados em economia, 1/4 dos participantes são graduados em biologia e 1/3 dos 
participantes são graduados em química. Sabe-se que não há participantes do curso com 
outras graduações além dessas, e que não há participantes com três ou mais graduações. 
Assim, qual é o número mais próximo da porcentagem de participantes com duas 
graduações? 
a) 40% 
b) 33% 
c) 57% 
d) 50% 
e) 25% 
 
Comentários 
Somando todas as frações, devemos ter 100% dos estudantes. 
3
1
4
1
3
1
5
2
4
1
++++ 
Somando as frações com mesmo denominador: 
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3
2
5
2
4
2
++ 
Simplificando: 
3
2
5
2
2
1
++ 
Tirando o mínimo múltiplo comum: 
30
47
30
201215
=
++ 
Esta soma deveria ser igual a 1 (=100%). Mas não foi. E não foi justamente por causa 
dos alunos que fazem duas graduações, que estão sendo contados em duplicidade. 
Do total acima, deve ser excluído 
30
17 , para que a soma dê 100%. Logo, o percentual de 
alunos que fazem mais de uma graduação é de: 
%7,56
30
17
≅ 
Resposta: C. 
 
Questão 19 
Seja uma matriz quadrada 4 por 4. Se multiplicarmos os elementos da segunda linha da 
matriz por 2 e dividirmos os elementos da terceira linha da matriz por -3, o determinante 
da matriz fica: 
a) Multiplicado por -1. 
b) Multiplicado por -16/81. 
c) Multiplicado por 2/3. 
d) Multiplicado por 16/81. 
e) Multiplicado por -2/3. 
 
Comentários 
Quando multiplicamos uma fila (linha ou coluna) da matriz por um determinado 
número k, o determinante também fica multiplicado por k. 
O exercício fala em duas operações: 
· multiplicação de uma linha por 2 
· divisão de uma linha por -3 (o que equivale e multiplicar por 
3
1
−
) 
Logo, o determinante sofre as mesmas alterações. Ele fica multiplicado por: 
3
2
3
12 −=
−
× 
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Resposta: E. 
 
Questão 20 
Ao se jogar um dado honesto três vezes, qual o valor mais próximo da probabilidade de 
o número 1 sair exatamente uma vez? 
a) 35% 
b) 17% 
c) 7% 
d) 42% 
e) 58% 
 
Comentários 
Vamos calcular a probabilidade de sair 1 apenas no primeiro lançamento. Como os 
resultados dos lançamentos são independentes, a probabilidade da intersecção é igual ao 
produto das probabilidades. 
Queremos que: 
· saia 1 no primeiro lançamento; a probabilidade disso ocorrer é de 1/6 
· não saia 1 no segundo lançamento; a probabilidade disso ocorrer é de 5/6 
· não saia 1 no terceiro lançamento; a probabilidade disso ocorrer é de 5/6 
 Multiplicando tudo: 
216
25
6
5
6
5
6
1
=×× 
Analogamente, a probabilidade de sair 1 apenas no segundo lançamento é, também, de 
25/216. Idem para sair 1 apenas no terceiro lançamento. 
Somando tudo: 
%7,34
216
75
216
25
216
25
216
25
≅=++ 
Resposta: A. 
 
Só reforçando. Se quiserem conversar sobre alguma questão da prova, estaremos à 
disposição no fórum. 
 
Abraços 
 
Vítor e Juci.