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ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 1
UNICAMP 
Exasiu
Prof. Marçal Ferreira 
Aula 06 – Sistemas Lineares. 
vestibulares.estrategia.com 
EXTENSIVO 
2024 
Exasi
u
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ESTRATÉGIA VESTIBULARES – PROFESSOR MARÇAL FERREIRA 
 
AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 2 
 
SUMÁRIO 
INTRODUÇÃO 4 
1. EQUAÇÃO LINEAR 5 
1.1. Solução de uma equação linear 5 
2. SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES 7 
2.1. Solução de um sistema linear 7 
3. REPRESENTAÇÃO MATRICIAL DE UM SISTEMA LINEAR 9 
3.1. Matriz incompleta de um sistema linear 10 
3.2. Matriz completa de um sistema linear 10 
3.3. Equações equivalentes 11 
3.4. Combinação linear de equações 12 
3.5. Matrizes equivalentes de um sistema linear 14 
4. ESCALONAMENTO 15 
4.1. Sistema escalonado 15 
4.2. Matriz escalonada de um sistema 16 
4.3. Escalonamento de uma matriz 17 
4.4. Posto ou Característica da matriz escalonada 19 
5. MÉTODOS DE RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR 19 
5.1. Substituição de variáveis 19 
5.2. Soma de equações no próprio sistema 21 
5.3. Resolução por escalonamento 22 
5.4. Teorema de Cramer 25 
6. TIPOS DE SISTEMAS LINEARES 30 
6.1. Sistema Possível Determinado (SPD) 30 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 3 
6.2. Sistema Possível Indeterminado (SPI) 30 
6.2.1. Grau de liberdade 31 
6.3. Sistema Impossível 31 
7. DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR 32 
7.2. Escalonamento e os tipos de Sistema Linear 32 
7.3. Sistema linear homogêneo e a solução trivial 34 
7.4. Sistema linear homogêneo e a solução não trivial 35 
8. FÓRMULAS, DEMONSTRAÇÕES E COMENTÁRIOS 35 
8.1. Afinal, o que é o determinante de uma matriz? 35 
9. QUESTÕES DE VESTIBULARES ANTERIORES 38 
10. GABARITO DAS QUESTÕES DE VESTIBULARES ANTERIORES 45 
11. QUESTÕES DE VESTIBULARES ANTERIORES RESOLVIDAS E COMENTADAS 46 
12. CONSIDERAÇÕES FINAIS 92 
 
 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 4 
Introdução 
Olá. 
Nesta aula, veremos como resolver e discutir um sistema linear. 
É um assunto extenso e teórico, mas é amplamente utilizado nas ciências e, exatamente 
por esse motivo, é tão pedido nos vestibulares. 
A teoria apresentada é sucinta, justamente para não sobrecarregar você com informação 
desnecessária. No entanto, mesmo o mínimo necessário é, por vezes, um pouco extenso. 
Precisaremos desse conteúdo em vários outros pontos do curso, então faça a aula no seu 
ritmo, mas não negligencie a ferramenta. 
A parte teórica da aula é focada nos sistemas em si, deixando para que os próprios 
exercícios resolvidos deem uma ideia da vastidão do campo de aplicações e de 
contextualizações possíveis. 
Nossa última aula foi sobre operações com matrizes e esse conhecimento é vital para a 
presente aula. Portanto, se você ainda não fez a aula referente às matrizes, recomendo 
veementemente que a faça antes de prosseguir. 
Indico fazer uma leitura da parte teórica para absorver (ou reciclar, caso você já conheça 
o assunto) a nomenclatura específica e as técnicas utilizadas. 
Após a leitura da teoria, se você já tem amplitude com o tema, faça a lista de exercícios 
por sua conta e, depois, confira o gabarito e a proposta de solução. 
Caso seja sua primeira vez com o tema ou não tenha muito conhecimento acerca dos 
sistemas lineares, estude também pela resolução dos exercícios até ter segurança e técnica para 
resolver os exercícios de modo independente. 
A resolução apresentada na aula é uma parte importante da passagem de conhecimento, 
pois, nela, podemos conversar sobre técnicas de resolução de exercícios que seriam 
impertinentes ao texto teórico. 
Restaram dúvidas? 
Já sabe, não as deixe sem solução. Se precisar de ajuda com elas, poste-as no fórum. 
Estamos aqui para auxiliá-lo. 
Boa aula. 
 
 
 
 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 5 
1. Equação linear 
Já estudamos as equações no início do nosso curso. Agora, vamos expandir o conceito. 
Podemos, a priori, ter várias incógnitas em uma mesma equação, não há limite para essa 
quantidade. 
Como exemplo, vejamos a equação de 3 incógnitas a seguir. 
𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 12 
Nessa equação, 𝑥, 𝑦 e 𝑧 são incógnitas e 12 é o termo independente, enquanto 1, 2 e −3 
são coeficientes. 
Perceba que o expoente de todas as incógnitas é 1 e não há produto entre incógnitas. 
Nessas condições, dizemos que a equação é linear. 
Caso haja produto entre incógnitas ou ainda expoente de alguma delas diferente de 1, 
diremos que a equação é não-linear. 
𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 12 → 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 
𝑥 ∙ 𝑦 + 𝑧 = 8 → 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑛ã𝑜 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 
Nesta aula, daremos enfoque nas equações lineares, embora, vez ou outra, poderemos 
esbarrar com uma equação não linear nos exercícios. Quando isso acontecer, usaremos nossos 
conhecimentos acumulados até aqui acerca de expressões, equações e funções para resolvê-
las. 
1.1. Solução de uma equação linear 
A solução de uma equação linear é apresentada na forma de um conjunto com tantos 
elementos quantas incógnitas na equação. 
Para maior praticidade, é comum substituirmos a notação completa da solução por um 
conjunto de elementos numéricos ordenados simbolizando cada um uma incógnita. 
 
𝑥 = 17
 
𝑦 = 2
 
𝑧 = 3 }
 
 
 
 
(17,2,3) 
 
Para a equação linear do item anterior, veja o que acontece quando substituímos os 
elementos do conjunto (17,2,3) nos valores de (𝑥, 𝑦, 𝑧). 
𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 12 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 6 
17 + 2 ∙ 2 − 3 ∙ 3 = 12 
17 + 4 − 9 = 12 
12 = 12 → 𝑉𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒 
Dessa forma, dizemos que a terna (17,2,3) é solução da equação 𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 12. 
Mas cuidado, nem toda equação tem solução única. 
Na verdade, nossa equação de exemplo tem infinitas soluções, veja alguns exemplos. 
(𝟐𝟑, 𝟓, 𝟕) 
(𝟏𝟎,
𝟑
𝟐
,
𝟏
𝟑
) (𝟎, 𝟏, −
𝟏𝟎
𝟑
) 
𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 12 𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 12 𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 12 
23 + 2 ∙ 5 − 3 ∙ 7 = 12 10 + 2 ∙
3
2
− 3 ∙
1
3
= 12 0 + 2 ∙ 1 − 3 ∙ (−
10
3
) = 12 
23 + 10 − 21 = 12 10 + 3 − 1 = 12 0 + 2 −
(−10) = 12 
12 = 12 12 = 12 12 = 12 
𝑉𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒 
𝑉𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑉𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒 
Professor, e o que acontece se eu substituir três valores que não são solução da equação? 
Vejamos. 
Vamos substituir a terna (1,2,3) e verificar sua validade na equação. 
𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 12 
1 + 2 ∙ 2 − 3 ∙ 3 = 12 
1 + 4 − 9 = 12 
−4 = 12 → 𝐹𝑎𝑙𝑠𝑜 
Dessa forma, podemos afirmar que (23,5,7), (10,
3
2
,
1
3
) e (0,1, −
10
3
) são soluções da 
equação 𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 12 e que (1,2,3) não é solução. 
Note que as ternas são ordenadas. Esta ordem se dá, preferencialmente, na ordem em 
que as incógnitas são ordenadas em colunas, da esquerda para a direita. Neste exemplo, na 
ordem, (𝑥, 𝑦, 𝑧). 
 
 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 7 
Nosso exemplo tinha 3 incógnitas, mas podemos ter muitas mais, ok? 
O número de incógnitas que uma equação pode abarcar é, literalmente, ilimitado. 
2. Sistema de equações lineares 
Agora que sabemos o que é uma equação linear, podemos entender o que é um sistema 
de equações lineares, também chamado de sistema linear. 
O sistema é um conjunto de equações que devem ser satisfeitas simultaneamente. Para 
simbolizar quais equações devem ser tratadas de modo simultâneo, colocamos uma chave do 
lado esquerdo do conjunto. 
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑤 = 0
 
𝑥 ∙ 𝑦 = 1
 
O sistema anterior possui duas equações e quatro incógnitas. A primeira equação é linear 
e a segunda, não. Por esse motivo, o sistema é dito não linear. 
Para que um sistema seja consideradolinear, todas as suas equações devem ser lineares, 
como no caso seguinte. 
{
𝑥 ∙ cos (
𝜋
2
) − 𝑦 ∙ sen(𝜋) = 0
 
𝑥 − 𝑦 = 1
 
 
Note que temos um sistema linear. Os valores do cosseno e do seno, presentes no sistema, 
são valores constantes, portanto, não alteram a linearidade do sistema. Você, inclusive, deve 
saber quais são esses valores de memória. Se não sabe, pode ser uma boa hora para revisar. 
2.1. Solução de um sistema linear 
O sistema linear tem um conjunto solução da mesma forma que a equação linear. 
A diferença é que o conjunto solução deve tornar verdadeira não só uma, mas todas as 
equações do sistema. 
Vejamos um exemplo. 
{
 
 
 
 
𝑥 + 𝑦 = 1
 
𝑦 + 𝑧 = 2
 
𝑥 + 𝑧 = 3
 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 8 
 
Nosso sistema linear tem 3 equações e 3 incógnitas. Vejamos quais das ternas a seguir 
podem ser consideradas solução. 
 
 
Terna (𝒙, 𝒚, 𝒛) 𝒙 + 𝒚 = 𝟏 𝒚 + 𝒛 = 𝟐 𝒙 + 𝒛 = 𝟑 
(0,1,1) 0 + 1 = 1 √ 1 + 1 = 2 √ 0 + 1 = 3 Χ 
(1,1,1) 1 + 1 = 1 Χ 1 + 1 = 2 √ 1 + 1 = 3 Χ 
(0,0,1) 0 + 0 = 1 Χ 0 + 1 = 2 Χ 0 + 1 = 3 Χ 
(2,0,1) 2 + 0 = 1 Χ 0 + 1 = 2 Χ 2 + 1 = 3 √ 
(1,2,0) 1 + 2 = 1 Χ 2 + 0 = 2 √ 1 + 0 = 3 Χ 
(1,1,2) 1 + 1 = 1 Χ 1 + 2 = 2 Χ 1 + 2 = 3 √ 
(1,0,2) 1 + 0 = 1 √ 0 + 2 = 2 √ 1 + 2 = 3 √ 
 
Pelo que podemos ver na tabela, algumas ternas não satisfazem a equação alguma, 
outras satisfazem apenas uma ou apenas duas equações. Dos exemplos da tabela, apenas a 
terna 
(1,0,2) satisfez a todas as equações do sistema, portanto dizemos que ela é uma solução do 
sistema linear. Mais tarde aprenderemos não só a encontrar a terna solução desse sistema como 
teremos condições de dizer se esta é única ou se existem outras soluções. 
Existem, também, sistemas que não apresentam solução alguma, são os ditos sistemas 
impossíveis. 
Dedicaremos mais tempo ao estudo destes mais adiante, mas vejamos um exemplo a 
título de ilustração. 
{
𝑥 + 𝑦 = 1
 
𝑥 + 𝑦 = 2
 
Mesmo que não tenhamos estudado como solucionar um sistema ainda, podemos 
perceber que não existem dois números 𝑥 e 𝑦 cuja soma dê 1 e 2 simultaneamente. Assim, este 
sistema é impossível. 
Veremos as técnicas para se resolver um sistema nos próximos tópicos. Por ora, 
precisamos apenas entender o que é um sistema e reconhecer quando um conjunto é ou não 
solução deste. 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 9 
3. Representação matricial de um sistema linear 
Você se lembra da multiplicação de matrizes? 
Vamos utilizá-la agora. 
Dadas as matrizes 
𝐴 = [
1 2 3
4 7 2
3 1 1
] 
𝑋 = [
𝑥
𝑦
𝑧
] 
 
Façamos o produto das matrizes 𝐴 ∙ 𝑋. 
𝐴 ∙ 𝑋 = [
1 2 3
4 7 2
3 1 1
] ∙ [
𝑥
𝑦
𝑧
] 
Algumas observações: 
 Estamos multiplicando uma matriz 𝐴3𝑥3 por outra 𝑋3𝑥1. 
 
 O produto é possível e a matriz resultante é do tipo 𝐴 ∙ 𝑋3𝑥1. 
Continuemos. 
Preparemos as matrizes para o produto. 
𝐴 ∙ 𝑋 = [
1 2 3
4 7 2
3 1 1
] ∙ [
𝑥
𝑦
𝑧
] 
𝐴 ∙ 𝑋 = [
1 ∙ 𝑥 + 2 ∙ 𝑦 + 3 ∙ 𝑧
4 ∙ 𝑥 + 7 ∙ 𝑦 + 2 ∙ 𝑧
3 ∙ 𝑥 + 1 ∙ 𝑦 + 1 ∙ 𝑧
] 
Perceba que esse conjunto de equações é muito similar às equações que vimos no 
sistema linear. 
Como adendo, pensemos em uma igualdade entre o produto 𝐴 ∙ 𝑋 e uma matriz 𝐵 dada 
por 
𝐵 = [
2
4
5
] 
Nas condições dadas, temos. 
𝐴 ∙ 𝑋 = 𝐵 
[
1 2 3
4 7 2
3 1 1
] ∙ [
𝑥
𝑦
𝑧
] = [
2
4
5
] 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 10 
[
1 ∙ 𝑥 + 2 ∙ 𝑦 + 3 ∙ 𝑧
4 ∙ 𝑥 + 7 ∙ 𝑦 + 2 ∙ 𝑧
3 ∙ 𝑥 + 1 ∙ 𝑦 + 1 ∙ 𝑧
] = [
2
4
5
] 
Para que duas matrizes sejam iguais, seus elementos precisam ser idênticos, ou seja 
{
 
 
 
 
1 ∙ 𝑥 + 2 ∙ 𝑦 + 3 ∙ 𝑧 = 2
 
4 ∙ 𝑥 + 7 ∙ 𝑦 + 2 ∙ 𝑧 = 4
 
3 ∙ 𝑥 + 1 ∙ 𝑦 + 1 ∙ 𝑧 = 5
 
Que é a representação de um sistema de equações lineares, um sistema linear. 
Assim, podemos tanto representar um sistema linear por meio de suas equações quanto 
por meio de uma equação matricial do tipo 
𝐴 ∙ 𝑋 = 𝐵 
3.1. Matriz incompleta de um sistema linear 
Chamaremos de matriz incompleta de um sistema linear a matriz 𝐴 formada pelos 
coeficientes de todas as equações do sistema. 
Assim, dado o sistema que acabamos de ver no item anterior 
{
 
 
 
 
1 ∙ 𝑥 + 2 ∙ 𝑦 + 3 ∙ 𝑧 = 2
 
4 ∙ 𝑥 + 7 ∙ 𝑦 + 2 ∙ 𝑧 = 4
 
3 ∙ 𝑥 + 1 ∙ 𝑦 + 1 ∙ 𝑧 = 5
 
A matriz incompleta do sistema é 
𝐴 = [
1 2 3
4 7 2
3 1 1
] 
A matriz 𝐴 é chamada de incompleta por não conter os valores dos termos independentes 
do sistema, não carregando, portanto, informação suficiente para inferirmos, só a partir dela, o 
sistema todo. 
3.2. Matriz completa de um sistema linear 
A matriz completa 𝐶 de um sistema linear traz tanto os coeficientes das equações quanto 
os termos independentes. 
{
 
 
 
 
1 ∙ 𝑥 + 2 ∙ 𝑦 + 3 ∙ 𝑧 = 2
 
4 ∙ 𝑥 + 7 ∙ 𝑦 + 2 ∙ 𝑧 = 4
 
3 ∙ 𝑥 + 1 ∙ 𝑦 + 1 ∙ 𝑧 = 5
 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 11 
 
𝐶 = [
1 2 3 2
4 7 2 4
3 1 1 5
] 
3.3. Equações equivalentes 
Duas equações são ditas equivalentes se têm exatamente o mesmo conjunto solução. 
Veja, por exemplo, as duas equações do sistema a seguir. 
{
𝑥 + 𝑦 = 6
 
2𝑥 + 2𝑦 = 12
 
Para a primeira, há vários pares ordenados que são solução, por exemplo podemos citar 
(2,4) e (0,6). 
Vamos testar esses pares na primeira equação para nos certificar de que são, realmente, 
soluções. 
Par ordenado (𝒙, 𝒚) 𝒙 + 𝒚 = 𝟔 
(2,4) 2 + 4 = 6 √ 
(0,6) 0 + 6 = 6 √ 
Vimos que, para ser solução de um sistema, a solução deve satisfazer a todas as 
equações do sistema. 
Testemos, então, as mesmas soluções para a segunda equação. 
Par ordenado (𝒙, 𝒚) 𝒙 + 𝒚 = 𝟔 𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟏𝟐 
(2,4) 2 + 4 = 6 √ 2 ∙ 2 + 2 ∙ 4 = 4 + 8 = 12 √ 
(0,6) 0 + 6 = 6 √ 2 ∙ 0 + 2 ∙ 6 = 0 + 12 = 12 √ 
Percebemos, então, que as soluções (2,4) e (0,6) são soluções de ambas as equações. 
Como são equações, podemos isolar uma das variáveis para deixá-la explícita. Façamos 
isso com ambas. 
𝑥 + 𝑦 = 6 
Subtraindo 𝑦 de ambos os membros da equação. 
𝑥 + 𝑦 − 𝑦 = 6 − 𝑦 
𝑥 + 𝑦 − 𝑦 = 6 − 𝑦 
𝑥 = 6 − 𝑦 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 12 
Façamos o mesmo com a segunda equação. 
2𝑥 + 2𝑦 = 12 
Colocando 2 em evidência no primeiro membro. 
2(𝑥 + 𝑦) = 12 
Dividindo ambos os membros por 2. 
2(𝑥 + 𝑦)
2
=
12
2
 
2(𝑥 + 𝑦)
2
=
12
2
 
2(𝑥 + 𝑦)
2
= 6 
𝑥 + 𝑦 = 6 
Subtraindo 𝑦 de ambos os membros. 
𝑥 + 𝑦 − 𝑦 = 6 − 𝑦 
𝑥 + 𝑦 − 𝑦 = 6 − 𝑦 
𝑥 = 6 − 𝑦 
Percebeu como ambas as equações explicitaram a mesma expressão para a incógnita 𝑥? 
Isso quer dizer que qualquer solução que encontremos para a primeira equação será, 
também, solução da segunda, pois ambas trazem a mesma informação acerca das variáveis, 
são equivalentes. 
Olhando com atenção para as equações do sistema, podemos perceber que a segunda 
equação tem seus termos, um a um, correspondentes ao dobro dos termos da primeira equação. 
{
𝑥 + 𝑦 = 6
 
2𝑥 + 2𝑦 = 12
 
Sempre que tivermos uma equação linear sendo resultado da multiplicação de outra 
equação linear por uma constante (diferente de zero), essas equações apresentarão exatamente 
a mesma informação, portanto, serão equivalentes. 
Utilizaremos esse mesmo fato para simplificar equações equivalentes nos próximos 
tópicos. 
3.4. Combinação linear de equações 
As equações equivalentes são proporcionais entre si e há uma correspondência entre elas 
por meio de uma constante. 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 13 
No entanto, uma equação, mesmo que não equivalente a outra de um sistema, pode não 
trazer uma informação nova, pois tudo o que ela “informa” já está contido nas outras equações 
do sistema.Vejamos um caso prático. 
{
 
 
 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10
 
2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 17
 
3𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 27
 
Embora a terceira equação do sistema não seja equivalente a nenhuma das outras, ela 
não traz informação nova ao sistema. 
Pense que cada equação traz restrições às variáveis em questão. 
Antes de colocar qualquer equação em um sistema, é como se fosse perguntado algo do 
tipo: pense em quaisquer 3 números. 
Quando colocamos a equação 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10, restringimos de “quaisquer 3 números” 
para “pense em 3 números com soma igual a 10“. Houve uma restrição de possibilidades. 
Ao colocar a segunda equação, 2𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 17, aumentamos a restrição. Agora, não 
basta pensar em 3 números com soma 10, é preciso que, além de apresentar a soma 10, o dobro 
do primeiro menos o segundo mais o dobro do terceiro resulte em 17. Uma restrição ainda maior. 
O problema é que, ao inserir a terceira equação, 3𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 27, essa restrição não 
censura número algum que já não tenha sido restringido pelas anteriores. 
Mas professor, como é que eu vou saber disso? 
No próximo tópico veremos um método para retirar de um sistema as equações “inúteis”. 
Por enquanto, podemos ver um indício disso ao perceber que a terceira equação é a soma das 
outras duas, veja. 
{
 
 
 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10
 
2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 17
 
3𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 27
 
Na aula sobre matrizes, estudamos quando uma fila era combinação linear de outras, 
lembra? 
Pois é, aqui é exatamente a mesma coisa. Uma equação é “inútil” em um sistema se ela 
é uma combinação linear de outras. 
Poderíamos então, sem perda de informação ou generalidade, reescrever o sistema sem 
essa equação “inútil”. 
a
p
s
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 14 
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10
 
2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 17
 
E teríamos, exatamente, o mesmo conjunto solução que o sistema de onde partimos. 
Vejamos, agora, um método para descobrir essas tais equações “inúteis” em um sistema 
para podermos eliminá-las e reescrevermos nossos sistemas de forma mais objetiva. 
3.5. Matrizes equivalentes de um sistema linear 
Recapitulando. 
Vimos que um sistema linear pode ser representado por um produto de matrizes e tivemos 
contato tanto com a matriz incompleta quanto com a matriz completa do sistema. 
Vimos também que há equações equivalentes entre si e equações que são combinações 
lineares de outras. 
De posse dessas duas informações, podemos elaborar o seguinte raciocínio. 
Um sistema linear pode ser equivalente a outro, desde que suas equações sejam 
equivalentes entre si. 
 Vejamos o exemplo em que todas as equações do segundo sistema são o dobro 
das equações do primeiro. 
{
 
 
 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10
 
2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 17
 
3𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 27
→ 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 →
{
 
 
 
 
2𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 20
 
4𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 = 34
 
6𝑥 + 4𝑦 + 6𝑧 = 54
 
 
As matrizes completas (as que incluem os termos independentes) desses sistemas são: 
[
1 1 1 10
2 1 2 17
3 2 3 27
] → 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 → [
2 2 2 20
4 2 4 34
6 4 6 54
]. 
Vimos no item anterior que a terceira equação desse sistema, por ser a soma das duas 
equações anteriores, pode ser excluída do rol sem prejuízo para o sistema. 
 
[
1 1 1 10
2 1 2 17
3 2 3 27
] → 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 → [
2 2 2 20
4 2 4 34
6 4 6 54
] 
 
[
1 1 1 10
2 1 2 17
] → 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 → [
2 2 2 20
4 2 4 34
6 4 6 54
] 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 15 
Voltando à representação clássica do sistema, essas matrizes representam 
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10
 
2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 17
→ 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 →
{
 
 
 
 
2𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 20
 
4𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 = 34
 
6𝑥 + 4𝑦 + 6𝑧 = 54
 
Portanto, podemos ter dois sistemas com escritas diferentes, com representações 
matriciais diferentes, e, ainda assim, serem equivalentes. 
Vamos, então, aprender a reduzir a matriz de um sistema, até quando possível, para que 
trabalhemos com os sistemas escritos de forma clara e concisa. 
4. Escalonamento 
4.1. Sistema escalonado 
Um sistema escalonado é um sistema equivalente ao inicial, porém com a característica 
de ter um formato peculiar, de escada (ou de degraus como alguns preferem). 
 
Em um sistema escalonado, a cada linha que avançamos, temos um número crescente 
de zeros (que podem estar escritos ou não) nas primeiras posições. Ao chegar à última linha, 
percebemos no sistema um formato indentado, de degraus, de escada, por isso o nome 
“escalonado”. 
Veja dois sistemas equivalentes. O primeiro, nosso ponto de partida, um sistema qualquer. 
O segundo e o terceiro, equivalentes ao primeiro, porém escalonados. 
{
 
 
 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
 
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 7
 
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 8
→ 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 →
{
 
 
 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
 
0𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 5
 
0𝑥 + 0𝑦 + 𝑧 = 1
→ 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 →
{
 
 
 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
 
 𝑦 + 3𝑧 = 5
 
 𝑧 = 1
 
O sistema escalonado apresenta vantagens com relação ao não escalonado, 
principalmente no tocante à resolução. Perceba que uma das incógnitas, na versão escalonada, 
nem está tão incógnita assim, pois, ao analisarmos a última linha do sistema, o valor está 
explícito. 
Outra vantagem de se escalonar um sistema é que as eventuais equações “inúteis” 
acabam sendo eliminadas naturalmente. 
Vejamos o caso do sistema estudado anteriormente em que uma das equações é “inútil” 
e comparemos o original à sua versão escalonada. 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 16 
{
 
 
 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10
 
2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 17
 
3𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 27
→
{
 
 
 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10
 
0𝑥 + 𝑦 + 0𝑧 = 3
 
0𝑥 + 0𝑦 + 0𝑧 = 0
→ {
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10
 
 𝑦 = 3
 
Ao escalonar um sistema, as equações “inúteis” são transformadas em linhas nulas, onde 
todos os coeficientes e o termo independentes são iguais a zero. Dessa forma, a equação pode 
ser eliminada do sistema. 
Para fins de escalonamento, consideramos apenas os zeros à esquerda. A partir da 
ocorrência de algum coeficiente diferente de zero, os próximos, à direita deste, não serão zeros 
de escalonamento, ok? 
4.2. Matriz escalonada de um sistema 
Do mesmo modo que temos um sistema escalonado, podemos falar em matriz 
escalonada, visto que podemos representar o sistema por meio de uma matriz. 
 
 
Utilizaremos a matriz completa do sistema, assim podemos chegar a conclusões importantes 
ao fim do processo, o que não conseguiríamos caso trabalhássemos com a matriz incompleta. 
 
A título de comparação, vejamos o sistema anterior, original e escalonado, e suas 
respectivas matrizes. 
{
 
 
 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
 
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 7
 
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 8
 
 𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙
→
{
 
 
 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
 
 𝑦 + 3𝑧 = 5
 
 𝑧 = 1 
 𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑜𝑛𝑎𝑑𝑜
 
 
[
1 1 1 6
2 1 −1 7
1 2 1 8
]
 
𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙
→
[
1 1 1 6
0 1 3 5
0 0 1 1
]
 
𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑜𝑛𝑎𝑑𝑎
 
 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 17 
Veja o formato de escada que aparece na matriz escalonada quando isolamos os zeros à 
esquerda. 
[
 
 
 
 
1 1 1 6
 
0 1 3 5
 
0 0 1 1]
 
 
 
 
 
 
4.3. Escalonamento de uma matriz 
Partindo de uma matriz qualquer, podemos escaloná-la por meio de combinações 
lineares, que vimos na aula sobre matrizes. 
 
De modo prático, há 3 operações principais para escalonarmos uma matriz: 
 
 
 
 
Na operação 1), quando trocamos duas linhas de posição em uma matriz, o determinante desta 
muda de sinal. No entanto, isso não afeta a resolução de um sistema, os valores das incógnitas 
continuam os mesmos. 
1)
• Trocar duas linhas de posição
2)
• Multiplicar (ou dividir) uma linhaqualquer por uma constante
3)
• Substituir uma linha pela soma dela própria com outra qualquer 
(multiplicada ou não por uma constante)
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 18 
Na operação 2), quando multiplicamos ou dividimos uma linha por uma constante, o 
determinante da matriz fica multiplicado (ou dividido) por essa mesma constante. Novamente, 
isso não afeta o valor das incógnitas. 
A operação 3) é, na prática, uma combinação linear. 
 
Vamos à prática, escalonemos a matriz a seguir. 
𝐴 = [
1 1 1 6
2 1 −1 7
1 2 1 8
] 
Escolhemos, de início, uma linha que não tenha zero na primeira incógnita. Como a matriz 
𝐴 já apresenta essa condição, continuemos. 
Precisamos, então, induzir as primeiras posições de todas as outras linhas terem 0 nas 
primeiras posições. 
Para conseguir 0 na primeira posição da segunda linha, multiplicaremos a primeira linha 
por (−2) e somaremos à própria segunda linha. 
Para conseguir 0 na primeira posição da terceira linha, multiplicaremos a primeira linha 
por (−1) e somaremos à própria terceira linha. 
Podemos fazer ambos os passos de forma simultânea, acompanhe. 
 
[
 
 
 
 
1 1 1 6
 
2 1 −1 7
 
1 2 1 8]
 
 
 
 
 
 
 
+
 
+
 
∙ (−2)
 
 
 
 
 
∙ (−1)
 
 
 
 
→
[
 
 
 
 
1 1 1 6
 
0 −1 −3 −5
 
0 1 0 2 ]
 
 
 
 
 
 
Agora, precisamos colocar outro zero na terceira linha, segunda coluna. 
Para isso, manteremos a segunda linha (equivalente a multiplicar por 1) e somaremos à 
própria terceira linha. 
[
 
 
 
 
1 1 1 6
 
0 −1 −3 −5
 
0 1 0 2 ]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
+
 
 
 ∙ (1) 
→
[
 
 
 
 
1 1 1 6
 
0 −1 −3 −5
 
0 0 −3 −3]
 
 
 
 
 
Em tese, a matriz já foi escalonada. No entanto, para facilitar nossos cálculos futuros, 
vamos multiplicar a segunda linha por −1 e dividir a terceira linha por −3. 
[
 
 
 
 
1 1 1 6
 
0 −1 −3 −5
 
0 0 −3 −3]
 
 
 
 
 
 
 
 
∙ (−1)
 
÷ (−3)
 →
[
 
 
 
 
1 1 1 6
 
0 1 3 5
 
0 0 1 1]
 
 
 
 
 
E, finalmente, chegamos a nossa matriz escalonada (e simplificada). 
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[
 
 
 
 
1 1 1 6
 
0 1 3 5
 
0 0 1 1]
 
 
 
 
 
4.4. Posto ou Característica da matriz escalonada 
A característica da matriz escalonada é o número de linhas não nulas dessa matriz. 
Representamos essa característica da matriz 𝐴 por 𝜌(𝐴). 
Dessa forma, temos. 
𝐴 = [
1 1 1 6
0 1 3 5
0 0 1 1
] → 𝜌(𝐴) = 3 
𝐵 = [
1 1 1 10
0 1 0 3
0 0 0 0
] → 𝜌(𝐴) = 2 
 
𝐶 =
[
 
 
 
 
 
7 1 4 10
0 1 0 2
0 0 1 5
0 0 0 3
0 0 0 0
0 0 0 0 ]
 
 
 
 
 
→ 𝜌(𝐴) = 4 
Sempre que uma linha for combinação linear de outras ou ainda, produto de outra linha 
por uma constante, teremos que desconsiderá-la do posto da matriz, pois se trata, como 
dissemos antes, de uma linha “inútil”. 
5. Métodos de resolução de um sistema linear 
De agora em diante, durante todo o nosso curso, resolveremos os sistemas que 
aparecerem de uma das quatro formas: soma de equações, substituição de variáveis, por 
escalonamento ou pelo teorema de Cramer. 
São processos suficientemente poderosos para resolver o que tivermos pela frente nas 
provas de vestibular. 
Vamos começar? 
5.1. Substituição de variáveis 
Já utilizamos, mesmo que discretamente, várias vezes essa técnica até agora. 
É uma técnica relativamente simples, mas muito efetiva. 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 20 
Consiste em isolar uma variável de uma equação e substituir em outra. 
Veja um veja um exemplo. 
{
𝑥 + 𝑦 = 5
 
2𝑥 − 𝑦 = 4
 
Podemos, por exemplo, isolar o valor de 𝑥 na primeira equação e substitui-lo na segunda. 
Para isolar 𝑥 na primeira equação, vamos subtrair 𝑦 de ambos os membros. 
{
𝑥 + 𝑦 − 𝑦 = 5 − 𝑦
 
2𝑥 − 𝑦 = 4
 
{
𝑥 + 𝑦 − 𝑦 = 5 − 𝑦
 
2𝑥 − 𝑦 = 4
 
{
𝑥 = 5 − 𝑦
 
2𝑥 − 𝑦 = 4
 
 Agora que isolamos 𝑥 na primeira equação, façamos a substituição na segunda 
equação. 
2𝑥 − 𝑦 = 4 
2(5 − 𝑦) − 𝑦 = 4 
Distribuindo o 2. 
2(5 − 𝑦) − 𝑦 = 4 
10 − 2𝑦 − 𝑦 = 4 
10 − 3𝑦 = 4 
10 − 3𝑦 = 4 
 
Somando a expressão 3𝑦 − 4 a ambos os membros da equação. 
10 − 3𝑦 + 3𝑦 − 4 = 4 + 3𝑦 − 4 
10 − 3𝑦 + 3𝑦 − 4 = 4 + 3𝑦 − 4 
10 − 4 = 3𝑦 
6 = 3𝑦 
Dividindo ambos os membros por 3. 
6
3
=
3𝑦
3
 
2 =
3𝑦
3
 
2 = 𝑦 
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Vamos devolver essa informação ao nosso sistema. 
{
𝑥 = 5 − 𝑦
 
𝑦 = 2
 
Podemos, assim, substituir o valor de 𝑦 na primeira equação. 
{
𝑥 = 5 − 2
 
𝑦 = 2
 
{
𝑥 = 3
 
𝑦 = 2
 
E, assim, chegamos à solução do nosso sistema. Podemos, também, enunciar nossa 
solução em forma de par ordenado (3,2). 
Perceba que não fizemos mais do que as operações básicas e a substituição de uma 
expressão em outra equação. 
Todas essas operações já foram feitas durante nosso curso até agora e não deve ter sido 
uma novidade para você. 
Ainda assim, é uma técnica importante e é preciso evidenciá-la na resolução de sistemas 
lineares. 
Uma nota importante é que, em sistemas muito grandes, com várias variáveis, pode ser 
muito onerosa a resolução por substituição, então estudaremos outras técnicas mais adequadas 
ao caso. 
5.2. Soma de equações no próprio sistema 
Um método simples, mas eficaz nas condições corretas, é a soma (ou subtração) de 
equações de um mesmo sistema. 
A condição mais propícia para utilizar o método da soma de equações em um sistema é 
ter pelo menos uma incógnita com coeficiente de mesmo módulo e de sinais opostos em duas 
equações distintas. 
Veja um exemplo. 
{
𝑥 + 𝑦 = 7
 
𝑥 − 𝑦 = 1
 
Perceba que, se somarmos ambas as equações, a incógnita 𝑦 será anulada, facilitando o 
cálculo da incógnita 𝑥. 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 22 
{
𝑥 + 𝑦 = 7
+
𝑥 − 𝑦 = 1
2𝑥 = 8
 
2𝑥
2
=
8
2 
𝑥 = 4
 
Para calcularmos o valor da incógnita 𝑦, basta substituirmos o valor de 𝑥 = 4 em qualquer 
das equações do sistema. Vamos substituir na primeira equação do sistema original. 
𝑥 + 𝑦 = 7 
4 + 𝑦 = 7 
𝑦 = 7 − 4 
𝑦 = 3 
Assim, nossa resposta ao sistema 
{
𝑥 + 𝑦 = 7
 
𝑥 − 𝑦 = 1
 
será 
{
𝑥 = 4
 
𝑦 = 3
 
De modo geral, quando os coeficientes são distintos e temos muitas incógnitas, o método 
acaba não sendo viável e preferimos o escalonamento. 
5.3. Resolução por escalonamento 
Já entendemos como escalonar uma matriz e sabemos que matrizes podem representar 
sistemas lineares. 
O que faremos aqui é utilizar essas informações, associadas à substituição que acabamos 
de rever, para resolver sistemas lineares. 
Vejamos o processo completo com sistemas e equações já usados até agora. 
O sistema 
{
 
 
 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
 
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 7
 
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 8
 
pode ser representado por esta matriz 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 23 
[
1 1 1 6
2 1 −1 7
1 2 1 8
] 
que, quando escalonada, retorna 
[
1 1 1 6
0 1 3 5
0 0 1 1
]. 
Essa matriz escalonada, pode ser novamente reescrita como um sistema, equivalente ao 
primeiro. 
{
 
 
 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
 
 𝑦 + 3𝑧 = 5
 
 𝑧 = 1
 
A partir desse ponto, podemos usar a substituição, de baixo para cima, e ir descobrindo o 
valor de nossas incógnitas. 
{
 
 
 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
 
 𝑦 + 3𝑧 = 5
 
 𝑧 = 1
 →
{
 
 
 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
 
 𝑦 + 3 ∙ 1 = 5
 
 𝑧 = 1
→
{
 
 
 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
 
 𝑦 = 5 − 3
 
 𝑧 = 1
→
{
 
 
 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
 
 𝑦 = 2
 
 𝑧 = 1
 
 
E, assim, substituir o valor das incógnitas 𝑧 e 𝑦, já conhecidas, na primeiraequação. 
 
{
 
 
 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
 
 𝑦 = 2
 
 𝑧 = 1
 →
{
 
 
 
 
𝑥 + 2 + 1 = 6
 
 𝑦 = 2
 
 𝑧 = 1
→
{
 
 
 
 
 𝑥 = 6 − 3
 
 𝑦 = 2
 
 𝑧 = 1
→
{
 
 
 
 
 𝑥 = 3
 
 𝑦 = 2
 
 𝑧 = 1
 
 
Conciliando as duas técnicas, escalonamento e substituição, conseguimos resolver o 
sistema linear. 
Podemos expressar o conjunto solução como (3,2,1) e lembre-se, a solução é um conjunto 
ordenado, portanto, (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (3,2,1). 
 
Muitos autores apresentam o escalonamento do próprio sistema, ao invés de escrevê-lo na 
forma matricial. 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 24 
Como um sistema pode ser representado por uma matriz e vice-versa, não há problema em 
fazer o escalonamento diretamente no sistema. 
Por organização, daremos preferência no curso à versão matricial. 
 
Vamos resolver mais um? 
O sistema 
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10
 
2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 17
 
pode ser representado por esta matriz 
[
1 1 1 10
2 1 2 17
]. 
Para escaloná-la, precisamos transformar o elemento 𝑎21 em 0. Para isso, vamos 
substituir a segunda linha 𝐿2 pela soma dela mesma com o produto de a primeira linha por −2. 
Acompanhe. 
 
[
1 1 1 10
 
2 1 2 17
] 
 
 
+
 
∙ (−2)
 
 
 → [
1 1 1 10
 
0 −1 0 −3
] 
 
Apesar de não ser um passo obrigatório, vamos multiplicar a segunda linha 𝐿2 por −1. 
 
[
1 1 1 10
 
0 −1 0 −3
] 
 
 
∙ (−1)
→ [
1 1 1 10
 
0 1 0 3
] 
 
Essa matriz escalonada, pode ser novamente reescrita como um sistema, equivalente ao 
primeiro. 
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10
 
 𝑦 = 3
 
Substituindo o valor de 𝑦 = 2 na primeira equação, podemos isolar uma das outras 
incógnitas, ou 𝑥 ou 𝑦. 
Como não há equações suficientes para determinarmos todas as incógnitas, uma delas 
ficará indeterminada. 
Neste caso, optaremos por isolar a variável 𝑥, mas essa escolha é randômica1. Se quiser, 
você pode isolar a incógnita 𝑧 sem problemas. 
 
1 Randômico: aleatório, incerto, ao acaso, que depende de situações não determinadas. 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 25 
 
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10
 
 𝑦 = 3
 → {
𝑥 + 3 + 𝑧 = 10
 
 𝑦 = 3
→ {
𝑥 = 10 − 3 − 𝑧
 
 𝑦 = 3
→ { 
𝑥 = 7 − 𝑧
 
 𝑦 = 3
 
 
Nosso sistema conta com 3 incógnitas, então, nossa resposta deve ser do tipo (𝑥, 𝑦, 𝑧). 
Mas, como você viu, não conseguimos determinar o valor da incógnita 𝑧. 
Neste caso, nós deixaremos indicada a incógnita 𝑧 e escreveremos todas as outras 
incógnitas normalmente. Algumas determinadas e outras, quando indeterminadas, em função da 
incógnita 𝑧. 
Assim, nossa resposta para esse sistema é (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (7 − 𝑧, 3, 𝑧) 
Desse ponto em diante, para encontrar uma resposta numérica particular, é só 
determinarmos um valor para 𝑧. Para cada valor de 𝑧, teremos uma resposta diferente para o 
sistema, portanto, esse sistema possui infinitas respostas, uma para cada um dos infinitos 
valores possíveis para 𝑧. 
Veja alguns exemplos. 
𝒛 (𝒙, 𝒚, 𝒛) = (𝟕 − 𝒛, 𝟑, 𝒛) 
−1 
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (7 − (−1), 3, −1) = (7 + 1,3, −1) = (8,3, −1) 
0 
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (7 − 0,3,0) = (7,3,0) 
1
2
 
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (7 −
1
2
, 3,
1
2
) = (
13
2
, 3,
1
2
) 
𝜋 
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (7 − 𝜋, 3, 𝜋) 
Voltaremos a esse sistema mais adiante na aula para estudarmos sobre essa 
característica de um sistema ter infinitas soluções. Adiantando um pouquinho, temos, aqui, um 
Sistema Possível Indeterminado (SPI). 
Por enquanto, sabemos como resolvê-lo e enunciar o conjunto solução, mesmo que 
indeterminado, em função de 𝑧. 
5.4. Teorema de Cramer 
Invoquemos, aqui, a versão matricial de um sistema linear, onde 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 26 
{
 
 
 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
 
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 7
 
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 8
 
pode ser representado pelo produto matricial 
𝐴 ∙ 𝑋 = 𝐵 
no qual 
𝐴 = [
1 1 1
2 1 −1
1 2 1
] 
𝑋 = [
𝑥
𝑦
𝑧
] 
𝐵 = [
6
7
8
]. 
Para o teorema de Cramer, utilizaremos as matrizes 𝐴 e 𝐵, associadas a determinantes. 
De início, calculemos o determinante da matriz 𝐴. 
det(𝐴) = |
1 1 1
2 1 −1
1 2 1
| 
De modo auxiliar, separemos a parte positiva e a parte negativa, com a primeira e a 
segunda colunas já duplicadas. 
|
1 1 1
2 1 −1
1 2 1
| 
1
2
1
 
1
1
2
 − |
1 1 1
2 1 −1
1 2 1
| 
1
2
1
 
1
1
2
 
(1 ∙ 1 ∙ 1 + 1 ∙ (−1) ∙ 1 + 1 ∙ 2 ∙ 2) − (1 ∙ 1 ∙ 1 + 1 ∙ (−1) ∙ 2 + 1 ∙ 2 ∙ 1) 
Assim, 
det(𝐴) = (1 ∙ 1 ∙ 1 + 1 ∙ (−1) ∙ 1 + 1 ∙ 2 ∙ 2) − (1 ∙ 1 ∙ 1 + 1 ∙ (−1) ∙ 2 + 1 ∙ 2 ∙ 1) 
det(𝐴) = (1 − 1 + 4) − (1 − 2 + 2) 
det(𝐴) = 4 − 1 
det(𝐴) = 3 
Esse será nosso determinante “principal” e nos referiremos a ele, de agora em diante, por 
𝐷 = det(𝐴). 
Perceba que a primeira coluna da matriz 𝐴 apresenta apenas coeficientes da incógnita 𝑥, 
a segunda, apenas de 𝑦 enquanto a terceira, apenas de 𝑧. 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 27 
{
 
 
 
 
1𝑥 + 1𝑦 + 1𝑧 = 6
 
2𝑥 + 1𝑦 − 1𝑧 = 7
 
1𝑥 + 2𝑦 + 1𝑧 = 8
→ [
1 1 1
2 1 −1
1 2 1
] 
O processo que faremos aqui será repetido para quantas incógnitas nosso sistema 
possuir. Neste caso, 3 vezes, para 𝑥, 𝑦, 𝑧. 
Na matriz original incompleta 𝐴, substituiremos a coluna de cada incógnita, uma por vez, 
pela matriz de termos independentes, de resultados, ou simplesmente, pela matriz 𝐵, e 
calcularemos o determinante da nova matriz com a substituição. 
Façamos o processo com a incógnita 𝑥. 
Para não nos perdermos em meio a tantos determinantes, como estamos substituindo a 
matriz 𝐵 na coluna da incógnita 𝑥, chamaremos a esse determinante de 𝐷𝑥. 
Assim, 
𝐴 = [
1 1 1
2 1 −1
1 2 1
] 𝐵 = [
6
7
8
] 
Substituindo a matriz 𝐵 na primeira coluna de 𝐴 e calculando o determinante 𝐷𝑥. 
 
 
𝐴 = [
1 1 1
2 1 −1
1 2 1
] 𝐵 = [
6
7
8
] 
 
 
 𝐷𝑥 = |
6 1 1
7 1 −1
8 2 1
| 
Como fizemos antes, separemos a parte positiva e a parte negativa, com a primeira e a 
segunda colunas duplicadas. 
|
6 1 1
7 1 −1
8 2 1
| 
6
7
8
 
1
1
2
 − |
6 1 1
7 1 −1
8 2 1
| 
6
7
8
 
1
1
2
 
(6 ∙ 1 ∙ 1 + 1 ∙ (−1) ∙ 8 + 1 ∙ 7 ∙ 2) − (1 ∙ 1 ∙ 8 + 6 ∙ (−1) ∙ 2 + 1 ∙ 7 ∙ 1) 
Assim, 
𝐷𝑥 = (6 ∙ 1 ∙ 1 + 1 ∙ (−1) ∙ 8 + 1 ∙ 7 ∙ 2) − (1 ∙ 1 ∙ 8 + 6 ∙ (−1) ∙ 2 + 1 ∙ 7 ∙ 1) 
𝐷𝑥 = (6 − 8 + 14) − (8 − 12 + 7) 
𝐷𝑥 = 12 − 3 
𝐷𝑥 = 9 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 28 
Como temos mais duas incógnitas, 𝑦 e 𝑧, faremos o mesmo processo por mais duas vezes 
e calcular 𝐷𝑦 e 𝐷𝑧. 
Substituindo a matriz 𝐵 na segunda coluna de 𝐴 e calculando o determinante 𝐷𝑦. 
 
 
𝐴 = [
1 1 1
2 1 −1
1 2 1
] 𝐵 = [
6
7
8
] 
 
 
 𝐷𝑦 = |
1 6 1
2 7 −1
1 8 1
| 
 
Novamente, separemos a parte positiva e a parte negativa, com a primeira e a segunda 
colunas duplicadas. 
|
1 6 1
2 7 −1
1 8 1
| 
1
2
1
 
6
7
8
 − |
1 6 1
2 7 −1
1 8 1
| 
1
2
1
 
6
7
8
 
(1 ∙ 7 ∙ 1 + 6 ∙ (−1) ∙ 1 + 1 ∙ 2 ∙ 8) − (1 ∙ 7 ∙ 1 + 1 ∙ (−1) ∙ 8 + 6 ∙ 2 ∙ 1) 
Assim, 
𝐷𝑦 = (1 ∙ 7 ∙ 1 + 6 ∙ (−1) ∙ 1 + 1 ∙ 2 ∙ 8) − (1 ∙ 7 ∙ 1 + 1 ∙ (−1) ∙ 8 + 6 ∙ 2 ∙ 1) 
𝐷𝑦 = (7 − 6 + 16) − (7 − 8 + 12) 
𝐷𝑦 = 17 − 11 
𝐷𝑦 = 6 
Mais uma vez. 
Substituindo a matriz 𝐵 na terceira coluna de 𝐴 e calculando o determinante 𝐷𝑧. 
 
 
𝐴 = [
1 1 1
2 1 −1
1 2 1
] 𝐵 = [
6
7
8
] 
 
 
 
𝐷𝑧 = |
1 1 6
2 1 7
1 2 8
| 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 29 
Separando a parte positiva ea parte negativa, com a primeira e a segunda colunas 
duplicadas. 
|
1 1 6
2 1 7
1 2 8
| 
1
2
1
 
1
1
2
 − |
1 1 6
2 1 7
1 2 8
| 
1
2
1
 
1
1
2
 
(1 ∙ 1 ∙ 8 + 1 ∙ 7 ∙ 1 + 6 ∙ 2 ∙ 2) − (6 ∙ 1 ∙ 1 + 1 ∙ 7 ∙ 2 + 1 ∙ 2 ∙ 8) 
Assim, 
𝐷𝑧 = (1 ∙ 1 ∙ 8 + 1 ∙ 7 ∙ 1 + 6 ∙ 2 ∙ 2) − (6 ∙ 1 ∙ 1 + 1 ∙ 7 ∙ 2 + 1 ∙ 2 ∙ 8) 
𝐷𝑧 = (8 + 7 + 24) − (6 + 14 + 16) 
𝐷𝑧 = 39 − 36 
𝐷𝑧 = 3 
Recapitulando. 
Calculamos o determinante da matriz incompleta do sistema e o nomeamos 𝐷. 
Substituímos a primeira coluna da matriz incompleta pelos valores da matriz B, calculamos 
o determinante dessa matriz e o nomeamos 𝐷𝑥. 
Substituímos a segunda coluna da matriz incompleta pelos valores da matriz B, 
calculamos o determinante dessa matriz e o nomeamos 𝐷𝑦. 
Substituímos a terceira coluna da matriz incompleta pelos valores da matriz B, calculamos 
o determinante dessa matriz e o nomeamos 𝐷𝑧. 
Agora vem a parte mais divertida, calcular os valores das incógnitas com esses 
determinantes. 
O teorema de Cramer diz que podemos calcular o valor de cada incógnita utilizando esses 
determinantes de forma que 
𝑥 =
𝐷𝑥
𝐷
 𝑦 =
𝐷𝑦
𝐷
 𝑧 =
𝐷𝑧
𝐷
 
Como temos todos os valores desses determinantes, 𝐷 = 3,𝐷𝑥 = 9,𝐷𝑦 = 6,𝐷𝑧 = 3, 
calculemos, enfim, nossas incógnitas. 
𝑥 =
𝐷𝑥
𝐷
=
9
3
= 3 𝑦 =
𝐷𝑦
𝐷
=
6
3
= 2 𝑧 =
𝐷𝑧
𝐷
=
3
3
= 1 
Como era de se esperar, a mesma resposta a que chegamos anteriormente: (𝑥, 𝑦, 𝑧) =
(3,2,1). 
Perceba que, para que existam as incógnitas, o determinante 𝐷 deve ser diferente de zero, 
ou não teremos possibilidade de fazer as divisões. 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 30 
6. Tipos de Sistemas Lineares 
Falamos, até agora, em soluções para os sistemas lineares e estudamos 3 métodos 
diferentes para solucioná-los. 
Com relação às soluções, há 3 tipos diferentes de sistemas, a saber. 
 
Vejamos o que significam esses tipos. 
6.1. Sistema Possível Determinado (SPD) 
Um Sistema Possível Determinado (SPD) é um sistema que admite um número finito de 
soluções. 
No SPD, é possível encontrar a solução e ela é sempre limitada. 
Quando solucionamos um sistema na aula e sua resposta foi (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (3,2,1), tratava-se 
de um SPD. 
{
 
 
 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
 
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 7
 
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 8
→
{
 
 
 
 
𝑥 = 3
 
𝑦 = 2
 
𝑧 = 1
→ (3,2,1) 
6.2. Sistema Possível Indeterminado (SPI) 
Um Sistema Possível Indeterminado (SPI) é um sistema que admite um número infinito 
de respostas. Veja bem, ele é possível, só não tem um número limitado de respostas. 
Um dos sistemas que resolvemos nesta aula foi 
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10
 
2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 17
→ { 
𝑥 = 7 − 𝑧
 
 𝑦 = 3
→ (7 − 𝑧, 3, 𝑧) 
Sistema
Possível
Determinado 
(solução única)
SPD
Indeterminado 
(infinitas soluções)
SPI
Impossível
(sem solução)
SI
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 31 
Para cada valor de 𝑧, uma solução diferente, portanto o sistema é possível, mas de 
resposta indeterminada, SPI. 
6.2.1. Grau de liberdade 
O grau de liberdade de um sistema é a diferença entre o número de incógnitas presentes 
no sistema e o posto da matriz escalonada, ou seja, o número de linhas não nulas na matriz 
escalonada (ou no próprio sistema escalonado). 
𝐺𝑟𝑎𝑢 𝑑𝑒 𝐿𝑖𝑏𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒 = 𝑖𝑛𝑐ó𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 − 𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 
 
 
Note que para um sistema possível e determinado, o grau de liberdade é zero, enquanto para 
um sistema possível e indeterminado, o grau de liberdade é sempre um número inteiro e 
positivo. 
 
Para o sistema do item anterior, temos 2 equações e 3 incógnitas, portanto, grau de 
liberdade igual a 3 − 2 = 1. 
Isso pode ser notado, também, na resposta, pois há uma variável, chamada de variável 
livre. 
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (7 − 𝑧, 3, 𝑧) 
6.3. Sistema Impossível 
Um Sistema Impossível (SI), como o próprio nome diz, é impossível, não existem valores 
para as incógnitas que tornem verdadeiras todas as equações desse tipo de sistema. 
Com exemplo, um sistema que, também, já foi visto na aula. 
{
𝑥 + 𝑦 = 1
 
𝑥 + 𝑦 = 2
→ ∅ 
Não é possível encontrar dois valores cuja soma seja, simultaneamente, 1 e 2. Por isso, 
dizemos que o sistema é impossível. 
Ou, para praticar a linguagem matemática, podemos escrever que 
 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 32 
∄ 𝑥, 𝑦 ∶ 𝑥 + 𝑦 = 1 𝑒 𝑥 + 𝑦 = 2 →
{
 
 
 
 
𝑁ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚
𝑥 𝑒 𝑦 
𝑡𝑎𝑖𝑠 𝑞𝑢𝑒
𝑎 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑠𝑒𝑠 𝑠𝑒𝑗𝑎 1
𝑒
𝑎 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑠𝑒𝑠 𝑠𝑒𝑗𝑎 2
 
7. Discussão de um Sistema Linear 
Discutir um Sistema Linear é um processo de análise do sistema com base nos 
coeficientes e nos termos independentes. 
Essa análise nos permite classificar um sistema como SPD, SPI ou SI com precisão. 
Veremos, nesse capítulo, dois métodos de discussão: pelo Teorema de Cramer e por 
escalonamento. 
7.1. Teorema de Cramer e os tipos de Sistema Linear 
Para que possamos definir os valores das incógnitas pelo Teorema de Cramer, é 
necessário que 𝐷 ≠ 0, pois 𝐷 é o denominador de todas as frações determinantes das incógnitas. 
𝑥 =
𝐷𝑥
𝐷
, 𝑦 =
𝐷𝑦
𝐷
, 𝑧 =
𝐷𝑧
𝐷
,𝑤 =
𝐷𝑤
𝐷
, 𝑡 =
𝐷𝑡
𝐷
,… 
Assim, se 𝐷 ≠ 0, o sistema é do tipo SPD. 
Caso nosso sistema apresente 𝐷 = 0, poderá ser classificado ou como SPI ou como SI. 
 
No próximo tópico veremos como fazer a distinção entre SPI e SI por meio do 
escalonamento. 
7.2. Escalonamento e os tipos de Sistema Linear 
Para classificar um sistema por escalonamento, devemos, como o nome sugere, 
escalonar algo. No caso, a matriz completa do sistema. 
De posse do sistema escalonado, obtido por meio do escalonamento de sua matriz 
completa, analisaremos as seguintes informações. 
1) a última linha do sistema 
2) o número de equações (𝐸) e de incógnitas (𝐼) do sistema 
Teorema de Cramer
𝐷 ≠ 0 SPD
𝐷 = 0 ou SPI ou SI
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 33 
Sistema Impossível 
Se o sistema, ou sua matriz equivalente, apresenta a última linha com todos os 
coeficientes nulos e o termo independente diferente de zero, o sistema é SI. 
Vejamos o exemplo que vimos no início da aula. 
{
𝑥 + 𝑦 = 1
 
𝑥 + 𝑦 = 2
→ [
1 1 1
 
1 1 2
]
0
 
+
∙ (−1)
 
 
→ [
1 1 1
 
0 0 1
] → {
𝑥 + 𝑦 = 1
 
0𝑥 + 0𝑦 = 1
 
Perceba que não é possível encontrarmos valores para 𝑥 e 𝑦 que satisfaçam 0𝑥 + 0𝑦 = 1, 
o que torna o sistema impossível. 
 
Se a matriz apresenta a última linha com pelo menos um coeficiente diferente de zero, 
precisamos analisar o número de equações 𝐸 e o de incógnitas 𝐼. 
 Se o 𝐸 = 𝐼, SPD. 
 Vejamos um exemplo, também já estudado nesta aula. 
{
 
 
 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
 
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 7
 
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 8
→ [
1 1 1 6
2 1 −1 7
1 2 1 8
] → [
1 1 1 6
0 1 3 5
0 0 1 1
] →
{
 
 
 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
 
 𝑦 + 3𝑧 = 5
 
 𝑧 = 1
 
Perceba que, no sistema escalonado, temos 3 equações (válidas) e 3 incógnitas, 
caracterizando um grau de liberdade 3 − 3 = 0, ou seja, SPD. 
 Se 𝐸 < 𝐼, SPI. 
Mais um exemplo já resolvido anteriormente. 
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10
 
2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 17
→ [
1 1 1 10
 
2 1 2 17
] → [
1 1 1 10
 
0 1 0 3
] → 
 
→ {
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10
 
𝑦 = 3
→ { 
𝑥 = 7 − 𝑧
 
𝑦 = 3
→ (7 − 𝑧, 3, 𝑧) 
Perceba que, no sistema já escalonado, temos 2 equações e 3 incógnitas, ou seja, grau 
de liberdade igual a 3 − 2 = 1, definindo assim um sistema possível, mas indeterminado. 
 
 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 34 
O processo de escalonamento elimina as informações duplicadas nas equações. Desse modo, 
sópodemos ter uma matriz escalonada, resultante de um sistema linear, com um número de 
linhas menor ou igual ao número de incógnitas, ou seja, 𝐸 ≤ 𝐼. 
 
 
 
 
Guarde esse esquema na memória. Sempre que formos discutir um sistema, 
recorreremos a esse raciocínio. 
7.3. Sistema linear homogêneo e a solução trivial 
Um sistema linear é homogêneo quando todos os seus termos independentes são nulos. 
Em uma representação típica, colocamos os termos independentes no segundo membro de cada 
igualdade, enquanto os termos que apresentam as incógnitas ficam no primeiro membro. 
{
 
 
 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑤 = 0
 
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 − 𝑤 = 0
 
3𝑥 − 2𝑦 − 8𝑧 + 1𝑤 = 0
 
𝑥 − 𝑦 − 𝑧 − 𝑤 = 0
 
Esse tipo de sistema pode apresentar uma ou várias soluções, mas nunca é impossível. 
Como todas as equações são iguais a zero, podemos pensar, sempre, em um conjunto 
de tantos elementos quantas forem as incógnitas do sistema, todos nulos, como solução. 
Para o caso do exemplo, uma solução desse tipo seria (0,0,0,0). 
Última linha não nula do 
sistema escalonado
Todos os coeficientes 
nulos e termo 
independente não nulo
SI
Pelo menos um 
coeficiente não nulo
𝐸 = 𝐼 SPD
𝐸 < 𝐼 SPI
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 35 
 
 
A solução apresentada não representa os zeros à direita das equações, 
representa o valor das incógnitas 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤. 
 
(0,0,0,0)
{
 
 
 
 
𝑥 = 0
 
𝑦 = 0
 
𝑧 = 0
 
𝑤 = 0
 
 
Um sistema homogêneo, além da solução trivial, pode ou não apresentar uma solução 
não trivial. 
7.4. Sistema linear homogêneo e a solução não trivial 
A solução não trivial para um sistema linear homogêneo aparece quando escalonamos a 
matriz completa do sistema e chegamos à conclusão de que temos um SPI, ou seja, múltiplas 
respostas. 
A resposta trivial sempre será uma possibilidade e, a depender da matriz escalonada, 
alguns sistemas lineares homogêneos podem, também, apresentar a solução não trivial na forma 
indeterminada. 
Dessa forma, nunca teremos um sistema linear homogêneo impossível. 
8. Fórmulas, demonstrações e comentários 
8.1. Afinal, o que é o determinante de uma matriz? 
Na aula passada, fiz a promessa de explicar melhor o que seria o determinante de uma 
matriz. 
Pois bem, vamos pagar essa promessa. 
Muitos livros, inclusive de bons autores, definem o determinante de uma matriz como um 
valor calculado com o procedimento tal, e apresentam o procedimento. 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 36 
Esse tipo de definição é muito vaga e causa uma estranheza nos que prezam por um 
entendimento mais contextualizado. 
Confesso que não encontrei, até hoje, uma boa definição de determinante nesse sentido. 
O que pude perceber ao longo dos anos trabalhando com o tema é que o cálculo do 
determinante aparece, espontaneamente, quando tentamos resolver um sistema por 
substituição. 
Vejamos esse processo com calma. 
Vamos resolver um sistema genérico de duas equações e duas incógnitas. 
{
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑘
 
𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑤
 
Se isolarmos, digamos, 𝑦 na segunda equação e substituirmos na primeira, teremos. 
{
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑘
 
𝑦 =
𝑤
𝑑
−
𝑐
𝑑
𝑥
→ {
𝑎𝑥 + 𝑏 (
𝑤
𝑑
−
𝑐
𝑑
𝑥) = 𝑘
 
𝑦 =
𝑤
𝑑
−
𝑐
𝑑
𝑥
→
{
 
 𝑎𝑥 +
𝑏𝑤
𝑑
−
𝑏𝑐
𝑑
𝑥 = 𝑘
 
𝑦 =
𝑤
𝑑
−
𝑐
𝑑
𝑥
 
Isolemos, agora, 𝑥 na primeira equação. 
{
 
 𝑎𝑥 +
𝑏𝑤
𝑑
−
𝑏𝑐
𝑑
𝑥 = 𝑘
 
𝑦 =
𝑤
𝑑
−
𝑐
𝑑
𝑥
→
{
 
 𝑎𝑥 −
𝑏𝑐
𝑑
𝑥 = 𝑘 −
𝑏𝑤
𝑑 
𝑦 =
𝑤
𝑑
−
𝑐
𝑑
𝑥
→
{
 
 𝑥 (𝑎 −
𝑏𝑐
𝑑
) = 𝑘 −
𝑏𝑤
𝑑 
𝑦 =
𝑤
𝑑
−
𝑐
𝑑
𝑥
→ 
 
→
{
 
 𝑥 (
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
𝑑
) =
𝑘𝑑 − 𝑏𝑤
𝑑
 
𝑦 =
𝑤
𝑑
−
𝑐
𝑑
𝑥
→
{
 
 𝑥 =
𝑘𝑑 − 𝑏𝑤
𝑑
∙
𝑑
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
 
𝑦 =
𝑤
𝑑
−
𝑐
𝑑
𝑥
→
{
 
 𝑥 =
𝑘𝑑 − 𝑏𝑤
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
 
𝑦 =
𝑤
𝑑
−
𝑐
𝑑
𝑥
 
Substituamos, então, o valor de 𝑥 na segunda equação. 
{
 
 
 
 𝑥 =
𝑘𝑑 − 𝑏𝑤
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 
𝑦 =
𝑤
𝑑
−
𝑐
𝑑
∙
𝑘𝑑 − 𝑏𝑤
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
→
{
 
 
 
 𝑥 =
𝑘𝑑 − 𝑏𝑤
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 
𝑦 =
𝑤 ∙ (𝑎𝑑 − 𝑏𝑐) − 𝑐 ∙ (𝑘𝑑 − 𝑏𝑤)
𝑑(𝑎𝑑 − 𝑏𝑐)
→ 
 
→
{
 
 
 
 𝑥 =
𝑘𝑑 − 𝑏𝑤
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 
𝑦 =
𝑤𝑎𝑑 − 𝑤𝑏𝑐 − 𝑐𝑘𝑑 + 𝑐𝑏𝑤
𝑑(𝑎𝑑 − 𝑏𝑐)
→
{
 
 
 
 𝑥 =
𝑘𝑑 − 𝑏𝑤
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 
𝑦 =
𝑤𝑎𝑑 − 𝑐𝑘𝑑
𝑑(𝑎𝑑 − 𝑏𝑐)
→ 
 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 37 
→
{
 
 
 
 𝑥 =
𝑘𝑑 − 𝑏𝑤
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 
𝑦 =
𝑑(𝑤𝑎 − 𝑐𝑘)
𝑑(𝑎𝑑 − 𝑏𝑐)
→
{
 
 
 
 𝑥 =
𝑘𝑑 − 𝑏𝑤
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 
𝑦 =
𝑤𝑎 − 𝑐𝑘
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
 
Perceba que o termo 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 aparece como denominador em ambas as incógnitas 
explicitadas. 
Se escrevermos a matriz incompleta do sistema, ou seja, a matriz dos coeficientes, a 
expressão 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 é justamente o que chamamos de determinante dessa matriz. 
Assim, por praticidade, em vez de fazermos esses cálculos algébricos e extensos toda 
vez, convencionou-se fazer o produto da diagonal principal menos o da diagonal secundária, 
para matrizes de ordem 2𝑥2 e a esse cálculo demos o nome de determinante. 
𝐷 = det [
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] = |
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
| = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 
Note que, se colocarmos a coluna dos termos independentes no lugar da primeira coluna 
da matriz de coeficientes, na coluna da incógnita 𝑥, e calcularmos o determinante 𝐷𝑥, temos o 
numerador de uma das incógnitas. 
𝐷𝑥 = det [
𝑘 𝑏
𝑤 𝑑
] = |
𝑘 𝑏
𝑤 𝑑
| = 𝑘𝑑 − 𝑏𝑤 
E, se fizermos com a outra coluna, de 𝑦, idem para 𝐷𝑦. 
𝐷𝑦 = det [
𝑎 𝑘
𝑐 𝑤
] = |
𝑎 𝑘
𝑐 𝑤
| = 𝑎𝑤 − 𝑘𝑐 
Chamando essas expressões de determinantes, vamos reescrever nossa solução para o 
conjunto genérico. 
{
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑘
 
𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑤
→
{
 
 
 
 𝑥 =
𝑘𝑑 − 𝑏𝑤
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 
𝑦 =
𝑤𝑎 − 𝑐𝑘
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
→
{
 
 
 
 𝑥 =
𝐷𝑥
𝐷 
𝑦 =
𝐷𝑦
𝐷
 
E acabamos, meio que por acidente, provando o teorema de Cramer para os sistemas de 
duas equações e duas incógnitas. 
Esse teorema pode ser provado para todos os sistemas com matrizes incompletas 
quadradas, mas isso é conversa para outro momento. 
Desse modo, o determinante nada mais é que uma expressão que aparece na solução de 
um sistema linear por substituição, nomeado dessa forma para tornar nossos cálculos mais 
práticos. 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 38 
9. Questões de vestibulares anteriores 
1. (Unicamp/2020) Em uma família, cada filha tem o mesmo número de irmãs e irmãos, 
e cada filho tem um número de irmãs igual ao dobro do número de irmãos. O número total 
de filhos e filhas dessa família é igual a 
a) 11. b) 9. c) 7. d) 5. 
 
2. (Fuvest/2020) Uma agência de turismo vendeu um total de 78 passagens para os 
destinos: Lisboa, Paris e Roma. Sabe-se que o número de passagens vendidas para Paris 
foi o dobro do número de passagens vendidas para os outros dois destinos 
conjuntamente. Sabe-se também que, para Roma, foram vendidas duas passagens a mais 
que a metade das vendidas para Lisboa. Qual foi o total de passagens vendidas, 
conjuntamente, para Paris e Roma? 
a) 26 b) 38 c) 42 d) 62 e) 68 
 
3. (Fuvest/2017) João tem 𝑹$ 𝟏𝟓𝟎, 𝟎𝟎 para comprar canetas em 3 lojas. Na loja 𝑨 as 
canetas são vendidas em dúzias, cada dúzia custa 𝑹$ 𝟒𝟎, 𝟎𝟎 e há apenas 2 dúzias em 
estoque. Na loja 𝑩 as canetas são vendidas em pares, cada par custa 𝑹$ 𝟕, 𝟔𝟎 e há 𝟏𝟎 pares 
em estoque. Na loja 𝑪 as canetas são vendidas avulsas, cada caneta custa 𝑹$ 𝟑, 𝟐𝟎 e há 
𝟐𝟓 canetas em estoque. 
O maior número de canetas que João pode comprar nas lojas 𝑨,𝑩 e 𝑪 utilizando no máximo 
𝑹$ 𝟏𝟓𝟎, 𝟎𝟎 é igual a 
a) 𝟒𝟔 b) 𝟒𝟓 c) 𝟒𝟒 d) 𝟒𝟑 e) 𝟒𝟐 
 
4. (Fuvest/2016) Uma dieta de emagrecimento atribui a cada alimento um certo número 
de pontos, que equivale ao valor calórico do alimento ao ser ingerido.Assim, por exemplo, 
as combinações abaixo somam, cada uma 𝟖𝟓 pontos: 
- 4 colheres de arroz + 2 colheres de azeite + 1 fatia de queijo branco. 
- 1 colher de arroz + 1 bife + 2 fatias de queijo branco. 
- 4 colheres de arroz + 1 colher de azeite + 2 fatias de queijo branco. 
- 4 colheres de arroz + 1 bife. 
Note e adote: 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 39 
 
São macronutrientes as proteínas, os carboidratos e os lipídeos. 
Com base nas informações fornecidas, e na composição nutricional dos alimentos, 
considere as seguintes afirmações: 
I. A pontuação de um bife de 100 g é 45. 
II. O macronutriente presente em maior quantidade no arroz é o carboidrato. 
III. Para uma mesma massa de lipídeo de origem vegetal e de carboidrato, a razão 
𝑵ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒑𝒐𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒅𝒐 𝒍𝒊𝒑í𝒅𝒊𝒐
𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒑𝒐𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒅𝒐 𝒄𝒂𝒓𝒃𝒐𝒊𝒅𝒓𝒂𝒕𝒐
 
é 1,5. 
É correto o que se afirma em 
a) I. apenas. b) II, apenas. c) I e II, apenas. d) II e III, apenas. e) I, II e III. 
 
5. (Unesp/2015) Em uma floricultura, os preços dos buquês de flores se diferenciam 
pelo tipo e pela quantidade de flores usadas em sua montagem. Quatro desses buquês 
estão representados na figura a seguir, sendo que três deles estão com os respectivos 
preços. 
 
De acordo com a representação, nessa floricultura, o buquê 4, sem preço indicado, custa 
a) 𝑹$𝟏𝟓, 𝟑𝟎. b) 𝑹$𝟏𝟔, 𝟐𝟎. c) 𝑹$𝟏𝟒, 𝟖𝟎. d) 𝑹$𝟏𝟕, 𝟎𝟎. e) 𝑹$𝟏𝟓, 𝟓𝟎. 
 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 40 
6. (Unesp/2015) A tabela indica o gasto de água, em 𝒎³ por minuto, de uma torneira 
(aberta), em função do quanto seu registro está aberto, em voltas, para duas posições do 
registro. 
 
Sabe-se que o gráfico do gasto em função da abertura é uma reta, e que o gasto de água, 
por minuto, quando a torneira está totalmente aberta, é de 𝟎, 𝟎𝟑𝟒 𝒎³. Portanto, é correto 
afirmar que essa torneira estará totalmente aberta quando houver um giro no seu registro 
de abertura de 𝟏 volta completa e mais 
a) 
𝟏
𝟐
 de volta. b) 
𝟏
𝟓
 de volta. c) 
𝟐
𝟓
 de volta. d) 
𝟑
𝟒
 de volta. e) 
𝟏
𝟒
 de volta. 
 
7. (Fuvest/2015) No sistema linear 
{
 
 
 
 
𝒂𝒙 − 𝒚 = 𝟏
 
𝒚 + 𝒛 = 𝟏
 
𝒙 + 𝒛 = 𝒎
 
nas variáveis 𝒙, 𝒚 e 𝒛, 𝒂 e 𝒎 são constantes reais. É correto afirmar: 
 
a) No caso em que 𝒂 = 𝟏, o sistema tem solução se, e somente se, 𝒎 = 𝟐. 
b) O sistema tem solução, quaisquer que sejam os valores de 𝒂 e de 𝒎. 
c) No caso em que 𝒎 = 𝟐, o sistema tem solução se, e somente se, 𝒂 = 𝟏. 
d) O sistema só tem solução se 𝒂 = 𝒎 = 𝟏. 
e) O sistema não tem solução, quaisquer que sejam os valores de 𝒂 e de 𝒎. 
 
8. (Unesp/2013) Os habitantes de um planeta chamado Jumpspace locomovem-se 
saltando. Para isto, realizam apenas um número inteiro de saltos de dois tipos, o slow 
jump (𝑺𝑱) e o quick jump (𝑸𝑱). Ao executarem um 𝑺𝑱 saltam sempre 𝟐𝟎 𝒖. 𝒅. (unidade de 
distância) para Leste e 𝟑𝟎 𝒖. 𝒅. para Norte. Já no 𝑸𝑱 saltam sempre 𝟒𝟎 𝒖. 𝒅. para Oeste e 
𝟖𝟎 𝒖. 𝒅. para Sul. 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 41 
Um habitante desse planeta deseja chegar exatamente a um ponto situado 𝟐𝟎𝟒 𝒖. 𝒅. a Leste 
e 𝟐𝟕𝟖 𝒖. 𝒅. ao Norte de onde se encontra. Nesse caso, é correto afirmar que o habitante 
a) conseguirá alcançar seu objetivo, realizando 𝟏𝟑 saltos 𝑺𝑱 e 𝟕 𝑸𝑱. 
b) conseguirá alcançar seu objetivo, realizando 𝟕 saltos 𝑺𝑱 e 𝟏𝟑 𝑸𝑱. 
c) conseguirá alcançar seu objetivo, realizando 𝟏𝟑 saltos 𝑺𝑱. 
d) não conseguirá alcançar seu objetivo, pois não há número inteiro de saltos que lhe permita 
isso. 
e) conseguirá alcançar seu objetivo, realizando 𝟕 saltos 𝑸𝑱. 
 
9. (Fuvest/2012) Em uma festa com n pessoas, em um dado instante, 𝟑𝟏 mulheres se 
retiraram e restaram convidados na razão de 𝟐 homens para cada mulher. Um pouco mais 
tarde, 𝟓𝟓 homens se retiraram e restaram, a seguir, convidados na razão de 𝟑 mulheres 
para cada homem. O número 𝒏 de pessoas presentes inicialmente na festa era igual a 
a) 𝟏𝟎𝟎 b) 𝟏𝟎𝟓 c) 𝟏𝟏𝟓 d) 𝟏𝟑𝟎 e) 𝟏𝟑𝟓 
 
10. (Unesp/2011) Uma pessoa necessita de 𝟓 𝒎𝒈 de vitamina 𝑬 por semana, a serem 
obtidos com a ingestão de dois complementos alimentares 𝜶 e 𝜷. Cada pacote desses 
complementos fornece, respectivamente, 𝟏 𝒎𝒈 e 𝟎, 𝟐𝟓 𝒎𝒈 de vitamina 𝑬. Essa pessoa 
dispõe de exatamente 𝑹$𝟒𝟕, 𝟎𝟎 semanais para gastar com os complementos, sendo que 
cada pacote de 𝜶 custa 𝑹$𝟓, 𝟎𝟎 e de 𝜷 𝑹$𝟒, 𝟎𝟎. 
O número mínimo de pacotes do complemento alimentar 𝜶 que essa pessoa deve ingerir 
semanalmente, para garantir os 𝟓 𝒎𝒈 de vitamina 𝑬 ao custo fixado para o mesmo período, 
é de: 
𝒂) 𝟑 𝒃) 𝟑
𝟓
𝟏𝟔
 𝒄) 𝟓, 𝟓 𝒅) 𝟔
𝟑
𝟒
 𝒆) 𝟖 
 
11. (Unesp/2011) Uma família fez uma pesquisa de mercado, nas lojas de 
eletrodomésticos, à procura de três produtos que desejava adquirir: uma TV, um freezer e 
uma churrasqueira. Em três das lojas pesquisadas, os preços de cada um dos produtos 
eram coincidentes entre si, mas nenhuma das lojas tinha os três produtos 
simultaneamente para a venda. A loja A vendia a churrasqueira e o freezer por R$ 1.288,00. 
A loja B vendia a TV e o freezer por R$ 3.698,00 e a loja C vendia a churrasqueira e a TV 
por R$ 2.588,00. 
A família acabou comprando a TV, o freezer e a churrasqueira nestas três lojas. O valor 
total pago, em reais, pelos três produtos foi de 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 42 
a) 𝟑. 𝟕𝟔𝟕, 𝟎𝟎. b) 𝟑. 𝟕𝟕𝟕, 𝟎𝟎. c) 𝟑. 𝟕𝟖𝟕, 𝟎𝟎. d) 𝟑. 𝟕𝟗𝟕, 𝟎𝟎. e) 𝟑. 𝟖𝟎𝟕, 𝟎𝟎. 
 
12. (Fuvest/2011) Uma geladeira é vendida em 𝒏 parcelas iguais, sem juros. Caso se 
queira adquirir o produto, pagando-se 𝟑 ou 𝟓 parcelas a menos, ainda sem juros, o valor 
de cada parcela deve ser acrescido de 𝑹$ 𝟔𝟎, 𝟎𝟎 ou de 𝑹$𝟏𝟐𝟓, 𝟎𝟎 , respectivamente. Com 
base nessas informações, conclui-se que o valor de 𝒏 é igual a 
a) 𝟏𝟑 b) 𝟏𝟒 c) 𝟏𝟓 d) 𝟏𝟔 e) 𝟏𝟕 
 
13. (Unesp/2008) Um grupo de 𝒙 estudantes se juntou para comprar um computador 
portátil (notebook) que custa 𝑹$ 𝟑. 𝟐𝟓𝟎, 𝟎𝟎. Alguns dias depois, mais três pessoas se 
juntaram ao grupo, formando um novo grupo com 𝒙 + 𝟑 pessoas. Ao fazer a divisão do 
valor do computador pelo número de pessoas que estão compondo o novo grupo, 
verificou-se que cada pessoa pagaria 𝑹$ 𝟕𝟓, 𝟎𝟎 a menos do que o inicialmente programado 
para cada um no primeiro grupo. 
O número 𝒙 de pessoas que formavam o primeiro grupo é: 
a) 𝟗. b) 𝟏𝟎. c) 𝟏𝟏. d) 𝟏𝟐. e) 𝟏𝟑. 
 
14. (Unesp/2008) Uma lapiseira, três cadernos e uma caneta custam, juntos, 33 reais. 
Duas lapiseiras, sete cadernos e duas canetas custam, juntos, 76 reais. O custo de uma 
lapiseira, um caderno e uma caneta, juntos, em reais, é: 
a) 11. b) 12. c) 13. d) 17. e) 38. 
 
15. (Unesp/2007) Um fazendeiro plantou 𝟑. 𝟗𝟔𝟎 árvores em sua propriedade no período 
de 𝟐𝟒 meses. A plantação foi feita mês a mês, em progressão aritmética. No primeiro mês 
foram plantadas 𝒙 árvores, no mês seguinte (𝒙 + 𝒓) árvores, 𝒓 > 𝟎, e assim 
sucessivamente, sempre plantando no mês seguinte 𝒓 árvores a mais do que no mês 
anterior. Sabendo-se que ao término do décimo quinto mês do início do plantio ainda 
restavam 𝟐. 𝟏𝟔𝟎 árvores para serem plantadas, o número de árvores plantadas no primeiro 
mês foi: 
a) 50. b) 75. c) 100. d) 150. e) 165. 
 
16. (Fuvest/2006) João, Maria e Antônia tinham, juntos, 𝑹$ 𝟏𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎. Cada um deles 
investiu sua parte por um ano, comjuros de 𝟏𝟎% ao ano. Depois de creditados seus juros 
no final desse ano, Antônia passou a ter 𝑹$ 𝟏𝟏. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 mais o dobro do novo capital de 
João. No ano seguinte, os três reinvestiram seus capitais, ainda com juros de 𝟏𝟎% ao ano. 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 43 
Depois de creditados os juros de cada um no final desse segundo ano, o novo capital de 
Antônia era igual à soma dos novos capitais de Maria e João. 
Qual era o capital inicial de João? 
a) 𝑹$ 𝟐𝟎. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 b) 𝑹$ 𝟐𝟐. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 c) 𝑹$ 𝟐𝟒. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 
d) 𝑹$ 𝟐𝟔. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 e) 𝑹$ 𝟐𝟖. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 
 
17. (Unesp/2006) Seja 𝑻𝑪 a temperatura em graus Celsius e 𝑻𝑭 a mesma temperatura 
em graus Fahrenheit. Essas duas escalas de temperatura estão relacionadas pela equação 
𝟗𝑻𝑪 = 𝟓𝑻𝑭 − 𝟏𝟔𝟎 
Considere agora 𝑻𝑲 a mesma temperatura na escala Kelvin. As escalas Kelvin e Celsius 
estão relacionadas pela equação 
𝑻𝑲 = 𝑻𝑪 + 𝟐𝟕𝟑. 
A equação que relaciona as escalas Fahrenheit e Kelvin é: 
a) 𝑻𝑭 = (𝑻𝑲 − 𝟏𝟏𝟑) / 𝟓 
b) 𝑻𝑭 = (𝟗𝑻𝑲 − 𝟐𝟒𝟓𝟕) / 𝟓 
c) 𝑻𝑭 = (𝟗𝑻𝑲− 𝟐𝟐𝟗𝟕) / 𝟓 
d) 𝑻𝑭 = (𝟗𝑻𝑲 − 𝟐𝟔𝟓𝟕) / 𝟓 
e) 𝑻𝑭 = (𝟗𝑻𝑲 − 𝟐𝟔𝟏𝟕) / 𝟓 
 
18. (Fuvest/2005) Um supermercado adquiriu detergentes nos aromas limão e coco. A 
compra foi entregue, embalada em 𝟏𝟎 caixas, com 𝟐𝟒 frascos em cada caixa. Sabendo-
se que cada caixa continha 𝟐 frascos de detergentes a mais no aroma limão do que no 
aroma coco, o número de frascos entregues, no aroma limão, foi 
a) 𝟏𝟏𝟎 b) 𝟏𝟐𝟎 c) 𝟏𝟑𝟎 d) 𝟏𝟒𝟎 e) 𝟏𝟓𝟎 
 
19. (Fuvest/2003) O sistema 
{
𝒙 + (𝒄 + 𝟏)𝒚 = 𝟎
 
𝒄𝒙 + 𝒚 = −𝟏
 
onde𝒄 ≠ 𝟎, admite uma solução (𝒙, 𝒚) com 𝒙 = 𝟏. Então, o valor de 𝒄 é: 
a) −𝟑 b) −𝟐 c) −𝟏 d) 𝟏 e) 𝟐 
 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 44 
20. (Fuvest/2002) Se (𝒙, 𝒚) é solução do sistema 
{
𝒙 +
𝟏
𝒚
= 𝟏
 
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟒
 
então 
𝒙
𝒚
 é igual a: 
𝒂) 𝟏 𝒃) − 𝟏 𝒄) 
𝟏
𝟑
 𝒅) −
𝟑
𝟐
 𝒆) −
𝟐
𝟑
 
 
21. (Fuvest/2002) Um senhor feudal construiu um fosso, circundado por muros, em 
volta de seu castelo, conforme a planta adiante, com uma ponte para atravessá-lo. 
 
Em um certo dia, ele deu uma volta completa no muro externo, atravessou a ponte e deu 
uma volta completa no muro interno. Esse trajeto foi completado em 𝟓. 𝟑𝟐𝟎 passos. No dia 
seguinte, ele deu duas voltas completas no muro externo, atravessou a ponte e deu uma 
volta completa no muro interno, completando esse novo trajeto em 𝟖. 𝟏𝟐𝟎 passos. Pode-
se concluir que a largura 𝑳 do fosso, em passos, é. 
a) 𝟑𝟔 b) 𝟒𝟎 c) 𝟒𝟒 d) 𝟒𝟖 e) 𝟓𝟎 
 
22. (Unesp/1999) Uma pessoa, em seu antigo emprego, trabalhava uma quantidade 𝒙 de 
horas por semana e ganhava 𝑹$ 𝟔𝟎, 𝟎𝟎 pela semana trabalhada. Em seu novo emprego, 
essa pessoa continua ganhando os mesmos 𝑹$ 𝟔𝟎, 𝟎𝟎 por semana. Trabalha, porém, 𝟒 
horas a mais por semana e recebe 𝑹$ 𝟒, 𝟎𝟎 a menos por hora trabalhada. O valor de 𝒙 é 
a) 6. b) 8. c) 10. d) 12. e) 14. 
 
 
 
 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 45 
10. Gabarito das questões de vestibulares anteriores 
1. c) 
2. d) 
3. b) 
4. e) 
5. a) 
6. b) 
7. a) 
8. d) 
9. d) 
10. a) 
11. c) 
12. a) 
13. b) 
14. c) 
15. a) 
16. a) 
17. c) 
18. c) 
19. b) 
20. d) 
21. b) 
22. a) 
 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 46 
11. Questões de vestibulares anteriores resolvidas e 
comentadas 
1. (Unicamp/2020) Em uma família, cada filha tem o mesmo número de irmãs e irmãos, 
e cada filho tem um número de irmãs igual ao dobro do número de irmãos. O número total 
de filhos e filhas dessa família é igual a 
a) 11. b) 9. c) 7. d) 5. 
Comentários: 
Para uma filha, podemos dizer que o número de irmãs, sendo 𝐴 o número de filhas, é dado por 
𝐴 − 1, pois uma filha não é considerada irmã de si mesma. Já o número de irmãos de uma filha, 
sendo 𝑂 o número de filhos, é dado por 𝑂 mesmo. 
Já para um filho, o número de irmãos é igual a 𝑂 − 1 pelo mesmo motivo citado anteriormente. 
O número de irmãs de um filho é igual a 𝐴. 
Dessa forma, pelo enunciado, podemos montar o seguinte sistema de equações: 
{
𝐴 − 1 = 𝑂
 
2 ⋅ (𝑂 − 1) = 𝐴
→ {
𝐴 − 1 = 𝑂
 
2 ⋅ 𝑂 − 2 = 𝐴
→ {
𝐴 − 𝑂 = 1
 
−𝐴 + 2 ⋅ 𝑂 = 2
→ {
𝐴 − 𝑂 = 1
 
𝑂 = 3
→ {
𝐴 = 4
 
𝑂 = 3
 
De posse do número de filhos 𝑂 e de filhas 𝐴, a soma é dada por: 
𝐴 + 𝑂 = 4 + 3 = 7 
Gabarito: c) 
2. (Fuvest/2020) Uma agência de turismo vendeu um total de 78 passagens para os 
destinos: Lisboa, Paris e Roma. Sabe-se que o número de passagens vendidas para Paris 
foi o dobro do número de passagens vendidas para os outros dois destinos 
conjuntamente. Sabe-se também que, para Roma, foram vendidas duas passagens a mais 
que a metade das vendidas para Lisboa. Qual foi o total de passagens vendidas, 
conjuntamente, para Paris e Roma? 
a) 26 b) 38 c) 42 d) 62 e) 68 
Comentários 
Considerando 𝐿 como Lisboa, 𝑃 como Paris e 𝑅 como Roma, extraímos do enunciado o as 
seguintes informações em forma de equações: 
Uma agência de turismo vendeu um total de 78 passagens para os destinos: Lisboa, Paris e 
Roma 
𝐿 + 𝑃 + 𝑅 = 78 
Sabe-se que o número de passagens vendidas para Paris foi o dobro do número de passagens 
vendidas para os outros dois destinos conjuntamente 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 47 
𝑃 = 2 ⋅ (𝐿 + 𝑅) 
Sabe-se também que, para Roma, foram vendidas duas passagens a mais que a metade das 
vendidas para Lisboa. 
𝑅 = 2 +
𝐿
2
 
Essas equações formam um sistema linear. 
{
 
 
 
 
𝐿 + 𝑃 + 𝑅 = 78 
 
𝑃 = 2 ⋅ (𝐿 + 𝑅)
 
𝑅 = 2 +
𝐿
2
→
{
 
 
 
 
𝐿 + 𝑃 + 𝑅 = 78 
 
2𝐿 − 𝑃 + 2𝑅 = 0
 
−𝐿 + 2𝑅 = 4
→
{
 
 
 
 
𝐿 + 𝑃 + 𝑅 = 78 
 
−3𝑃 + 2 = −78 ⋅ 2
 
𝑃 + 3𝑅 = 82
 
→
{
 
 
 
 
𝐿 + 𝑃 + 𝑅 = 78 
 
3𝑃 + 2 = 52
 
𝑃 + 3𝑅 = 82
→
{
 
 
 
 
𝐿 + 𝑃 + 𝑅 = 78 
 
3𝑃 + 2 = 52
 
𝑅 = 10
 
Novamente, a questão nos solicitou o valor da soma 𝑃 + 𝑅, portanto, não há necessidade de 
seguirmos com a resolução do sistema, uma vez que 
𝑃 + 𝑅 = 52 + 10 = 62 
Gabarito: d) 
3. (Fuvest/2017) João tem 𝑹$ 𝟏𝟓𝟎, 𝟎𝟎 para comprar canetas em 3 lojas. Na loja 𝑨 as 
canetas são vendidas em dúzias, cada dúzia custa 𝑹$ 𝟒𝟎, 𝟎𝟎 e há apenas 2 dúzias em 
estoque. Na loja 𝑩 as canetas são vendidas em pares, cada par custa 𝑹$ 𝟕, 𝟔𝟎 e há 𝟏𝟎 pares 
em estoque. Na loja 𝑪 as canetas são vendidas avulsas, cada caneta custa 𝑹$ 𝟑, 𝟐𝟎 e há 
𝟐𝟓 canetas em estoque. 
O maior número de canetas que João pode comprar nas lojas 𝑨,𝑩 e 𝑪 utilizando no 
máximo 𝑹$ 𝟏𝟓𝟎, 𝟎𝟎 é igual a 
a) 𝟒𝟔 b) 𝟒𝟓 c) 𝟒𝟒 d) 𝟒𝟑 e) 𝟒𝟐 
Comentários 
Vamos organizar os dados do exercício em uma tabela, antes de iniciarmos nossos cálculos. 
Loja Estoque Quantidade x Valor Preço unitário 
𝐴 2 dúzias 24 canetas 
2 x 𝑅$ 40,00 = 𝑅$ 80,00 
𝑅$ 40,00
𝟏𝟐 𝒄𝒂𝒏𝒆𝒕𝒂𝒔
= 𝑅$ 3,33 𝑐𝑎𝑛𝑒𝑡𝑎⁄ 
𝐵 10 pares 20 canetas 
10 x 𝑅$ 7,60 = 𝑅$ 76,00 
𝑅$ 7,60
𝟐 𝒄𝒂𝒏𝒆𝒕𝒂𝒔
= 𝑅$ 3,80 𝑐𝑎𝑛𝑒𝑡𝑎⁄ 
𝐶 25 unidades 25 canetas 
25 x 𝑅$ 3,20 = 𝑅$ 80,00 
𝑅$ 3,20
𝑐𝑎𝑛𝑒𝑡𝑎⁄ 
 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 48 
Pensando no custo referente às compras nas lojas 𝐴, 𝐵 e 𝐶, temos a seguinte inequação. 
40 ∙ 𝐴⏟ 
𝑅$40,00 𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑑ú𝑧𝑖𝑎
+ 7,6 ∙ 𝐵⏟ 
𝑅$7,60 𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑟
+ 3,2 ∙ 𝐶⏟ 
𝑅$3,20 𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
≤ 150⏟
$ 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑜𝑛í𝑣𝑒𝑙
 
Já sobre a quantidade de canetas compradas,temos. 
12 ∙ 𝐴⏟ 
𝑈𝑚𝑎 𝑑ú𝑧𝑖𝑎 𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑐𝑜𝑡𝑒
+ 2 ∙ 𝐵⏟
𝑈𝑚 𝑝𝑎𝑟 𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑐𝑜𝑡𝑒
+ 1 ∙ 𝐶⏟
𝑃𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
= 𝑁⏟
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑛𝑒𝑡𝑎𝑠 𝑎𝑑𝑞𝑢𝑖𝑟𝑖𝑑𝑎𝑠
 
Com essas duas equações, temos um sistema. 
{
40 ∙ 𝐴 + 7,6 ∙ 𝐵 + 3,2 ∙ 𝐶 ≤ 150
 
12 ∙ 𝐴 + 2 ∙ 𝐵 + 1 ∙ 𝐶 = 𝑁
 
Perceba que, além de conter uma inequação, esse sistema possui, incluindo o 𝑁 como uma 
incógnita, grau de liberdade 𝐼 − 𝐸 = 4 − 2 = 2. 
Dessa forma, não temos informação suficiente para definir o valor de cada uma das incógnitas 
precisamente. 
Como o exercício nos solicitou “O maior número de canetas...”, teremos que analisar a situação 
além do sistema de equações. 
Se queremos o máximo de canetas possível com uma quantidade de dinheiro limitada, devemos 
comprar as canetas na ordem das mais baratas para as mais caras, concorda? 
A loja que apresenta o menor preço é a 𝐶, mas ela não tem estoque suficiente para gastarmos 
todo o nosso dinheiro disponível. Assim, precisaremos comprar também em outra loja. 
Para pensar em outra loja, passaremos à loja 𝐴, pois é a próxima na ordem crescente dos preços. 
Como as duas lojas, 𝐶 e 𝐴, juntas, possuem estoque suficiente para esgotar nosso caixa, é 
razoável pensar em comprarmos apenas nestas lojas. 
Assim, podemos reduzir, pelo contexto, nosso sistema a 
{
40 ∙ 𝐴 + 7,6 ∙ 𝐵 + 3,2 ∙ 𝐶 ≤ 150
 
12 ∙ 𝐴 + 2 ∙ 𝐵 + 1 ∙ 𝐶 = 𝑁
→ {
40 ∙ 𝐴 + 3,2 ∙ 𝐶 ≤ 150
 
12 ∙ 𝐴 + 1 ∙ 𝐶 = 𝑁
 
Nosso sistema ainda não tem grau de liberdade suficiente para definirmos os valores de nossas 
incógnitas com precisão: 𝐼 − 𝐸 = 3 − 2 = 1. 
Necessitamos de um novo artifício para chegar a um valor preciso. 
Como a loja 𝐴 só vende em pacotes contendo uma dúzia de canetas e possui em estoque apenas 
duas dúzias, nossas opções de compra são limitadas. Podemos comprar: 0 dúzias, 1 dúzia ou 2 
dúzias. Não há mais opções. 
Como são só 3 possibilidades, podemos analisar por exaustão, ou seja, todas as possíveis. 
Para 0 dúzias compradas na loja 𝐴. 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 49 
{
40 ∙ 𝐴 + 3,2 ∙ 𝐶 ≤ 150
 
12 ∙ 𝐴 + 1 ∙ 𝐶 = 𝑁
→ {
40 ∙ 0 + 3,2 ∙ 𝐶 ≤ 150
 
12 ∙ 0 + 1 ∙ 𝐶 = 𝑁
→ {
3,2 ∙ 𝐶 ≤ 150
 
𝐶 = 𝑁
 
→ {
𝐶 ≤
150
3,2 
𝐶 = 𝑁
→ {
𝐶 ≤ 46,875
 
𝐶 = 𝑁
 
Como o estoque da loja 𝐶 não chega às 46 canetas, temos que entender que o sistema está 
limitado a 
{
𝐶 = 25
 
𝑁 = 25
 
O que nos custaria 25 x 𝑅$ 3,20 = 𝑅$ 80,00. 
Lembre-se, o enunciado nos pediu “O maior número de canetas...”. Não podemos voltar com 
troco enquanto podemos comprar mais canetas. Não podemos comprar canetas na loja 𝐵, mais 
cara, se há opção de comprar nas lojas 𝐴 ou 𝐶, mais baratas. Já compramos todo o estoque da 
loja 𝐶 e, pela hipótese do nosso sistema, compraríamos 0 dúzias na loja 𝐴. Não parece uma boa 
opção. Vejamos as outras. 
Para 1 dúzia comprada na loja 𝐴. 
{
40 ∙ 𝐴 + 3,2 ∙ 𝐶 ≤ 150
 
12 ∙ 𝐴 + 1 ∙ 𝐶 = 𝑁
→ {
40 ∙ 1 + 3,2 ∙ 𝐶 ≤ 150
 
12 ∙ 1 + 1 ∙ 𝐶 = 𝑁
→ {
40 + 3,2 ∙ 𝐶 ≤ 150
 
12 + 𝐶 = 𝑁
→ 
→ {
3,2 ∙ 𝐶 ≤ 150 − 40
 
12 + 𝐶 = 𝑁
→ {
𝐶 ≤
110
3,2
 
12 + 𝐶 = 𝑁
→ {
𝐶 ≤ 34,375
 
12 + 𝐶 = 𝑁
 
Como o estoque da loja 𝐶 não chega, também, às 34 canetas, temos que entender que o sistema 
está limitado a 
{
𝐶 = 25
 
12 + 𝐶 = 𝑁
→ {
𝐶 = 25
 
12 + 25 = 𝑁
→ {
𝐶 = 25
 
𝑁 = 37
 
O que nos custaria 25 x 𝑅$ 3,20 + 1 ∙ 𝑅$ 40,00 = 𝑅$ 120,00. 
Com certeza, uma opção melhor que a primeira, pois voltamos com mais canetas (𝑁 = 37) e 
com menos troco, pois gastamos 𝑅$ 120,00 dos 𝑅$ 150,00 disponíveis. Ainda com troco, mas 
melhor que a opção anterior. 
Vejamos a próxima e última possibilidade. 
Para 2 dúzias compradas na loja 𝐴. 
{
40 ∙ 𝐴 + 3,2 ∙ 𝐶 ≤ 150
 
12 ∙ 𝐴 + 1 ∙ 𝐶 = 𝑁
→ {
40 ∙ 2 + 3,2 ∙ 𝐶 ≤ 150
 
12 ∙ 2 + 1 ∙ 𝐶 = 𝑁
→ {
80 + 3,2 ∙ 𝐶 ≤ 150
 
24 + 𝐶 = 𝑁
→ 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 50 
→ {
3,2 ∙ 𝐶 ≤ 150 − 80
 
24 + 𝐶 = 𝑁
→ {
𝐶 ≤
70
3,2
 
24 + 𝐶 = 𝑁
→ {
𝐶 ≤ 21,875
 
24 + 𝐶 = 𝑁
 
O estoque da loja 𝐶 é maior que as 21,875 canetas possíveis, então, compremos o máximo 
possível nela. Não podemos comprar 22 canetas, pois nosso número deve ser menor que 21,875. 
Assim, compremos o maior inteiro possível em 𝐶, ou seja, 21canetas. 
{
𝐶 = 21
 
24 + 𝐶 = 𝑁
→ {
𝐶 = 21
 
24 + 21 = 𝑁
→ {
𝐶 = 21
 
𝑁 = 45
 
O que nos custaria 21 x 𝑅$ 3,20 + 2 ∙ 𝑅$ 40,00 = 𝑅$ 67,20 + 𝑅$ 80,00 = 𝑅$ 147,20. 
Perceba que voltamos com um troco de 𝑅$ 150,00 − 𝑅$ 147,20 = 𝑅$ 2,80, que não é o suficiente 
para comprar uma caneta nem na loja mais barata das três. 
Assim, nossa melhor opção nas condições apresentadas é comprar 45 canetas, 24 na loja 𝐴 e 
21 na loja 𝐶, gastando 𝑅$ 147,20 dos 𝑅$ 150,00 que tínhamos. 
 
 
Já vimos esse tipo de questão. Ela traz uma informação que você já conhece (sistemas) e algo 
que você ainda não conhece (sistema com inequações). 
Quando nos deparamos com questões que trazem situações inéditas (para você), normalmente 
o contexto é suficiente para direcionar o pensamento até a resposta. 
Você viu, nesse exemplo, como nós, ao não termos subsídio matemático suficiente para definir 
as incógnitas, fomos nos guiando pelo contexto ditado pelo enunciado. 
Gabarito: b) 
4. (Fuvest/2016) Uma dieta de emagrecimento atribui a cada alimento um certo número 
de pontos, que equivale ao valor calórico do alimento ao ser ingerido. Assim, por exemplo, 
as combinações abaixo somam, cada uma 𝟖𝟓 pontos: 
- 4 colheres de arroz + 2 colheres de azeite + 1 fatia de queijo branco. 
- 1 colher de arroz + 1 bife + 2 fatias de queijo branco. 
- 4 colheres de arroz + 1 colher de azeite + 2 fatias de queijo branco. 
- 4 colheres de arroz + 1 bife. 
Note e adote: 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 51 
 
São macronutrientes as proteínas, os carboidratos e os lipídeos. 
Com base nas informações fornecidas, e na composição nutricional dos alimentos, 
considere as seguintes afirmações: 
I. A pontuação de um bife de 100 g é 45. 
II. O macronutriente presente em maior quantidade no arroz é o carboidrato. 
III. Para uma mesma massa de lipídeo de origem vegetal e de carboidrato, a razão 
𝑵ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒑𝒐𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒅𝒐 𝒍𝒊𝒑í𝒅𝒊𝒐
𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒑𝒐𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒅𝒐 𝒄𝒂𝒓𝒃𝒐𝒊𝒅𝒓𝒂𝒕𝒐
 
é 1,5. 
É correto o que se afirma em 
a) I. apenas. b) II, apenas. c) I e II, apenas. d) II e III, apenas. e) I, II e III. 
Comentários 
O problema nos apresenta um sistema com as incógnitas: arroz, azeite, queijo e bife. 
Vamos, então, renomear essas incógnitas e escrever o sistema na forma de equações. 
Chamemos 
 𝑎𝑟𝑟𝑜𝑧 = 𝑥 
𝑎𝑧𝑒𝑖𝑡𝑒 = 𝑦 
𝑞𝑢𝑒𝑖𝑗𝑜 = 𝑧 
𝑏𝑖𝑓𝑒 = 𝑡 
Vamos traduzir o enunciado. 
Assim, por exemplo, as combinações abaixo somam, cada uma 85 pontos: 
- 4 colheres de arroz + 2 colheres de azeite + 1 fatia de queijo branco. 
4𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 + 0𝑡 = 85 
- 1 colher de arroz + 1 bife + 2 fatias de queijo branco. 
1𝑥 + 0𝑦 + 2𝑧 + 1𝑡 = 85 
- 4 colheres de arroz + 1 colher de azeite + 2 fatias de queijo branco. 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 52 
4𝑥 + 1𝑦 + 2𝑧 + 0𝑡 = 85 
- 4 colheres de arroz + 1 bife. 
4𝑥 + 0𝑦 + 0𝑧 + 1𝑡 = 85 
Reescrevendo. 
{
 
 
 
 
4𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 + 0𝑡 = 85
 
1𝑥 + 0𝑦 + 2𝑧 + 1𝑡 = 85
 
4𝑥 + 1𝑦 + 2𝑧 + 0𝑡 = 85
 
4𝑥 + 0𝑦 + 0𝑧 + 1𝑡 = 85
 
Aqui temos um sistema com 4 incógnitas. Vamos resolvê-lo por escalonamento. 
Assim, a matriz completa do sistema é dada por 
[
4 2 1 0 85
1 0 2 1 85
4 1 2 0 85
4 0 0 1 85
] 
Nosso trabalho de escalonamento fica mais fácil se tivermos na posição 𝑎11 um elemento igual 
a 1. Como isso ocorre na segunda linha, vamos trocar as linhas 𝐿1 e 𝐿2 de lugar.[
4 2 1 0 85
1 0 2 1 85
4 1 2 0 85
4 0 0 1 85
] → [
1 0 2 1 85
4 2 1 0 85
4 1 2 0 85
4 0 0 1 85
] 
Na próxima etapa, precisamos zerar todas as primeiras posições das linhas 𝐿2, 𝐿3 e 𝐿4. Vamos, 
então, multiplicar a primeira linha por (−4) e somar a todas elas. 
[
1 0 2 1 85
4 2 1 0 85
4 1 2 0 85
4 0 0 1 85
]
5
+
+
+
∙ (−4)
 
 
 
 ∙ (−4)
 
 
 
 ∙ (−4)
 
 
 
→ [
1 0 2 1 85
0 2 −7 −4 −255
0 1 −6 −4 −255
0 0 −8 −3 −255
] 
Conseguidos os zeros nas primeiras posições, embora não seja obrigatório, seria interessante 
termos 𝑎22 = 1. Como o segundo elemento da terceira linha já é 1, vamos trocar de lugar as 
linhas 𝐿2 e 𝐿3. 
[
1 0 2 1 85
0 2 −7 −4 −255
0 1 −6 −4 −255
0 0 −8 −3 −255
] → [
1 0 2 1 85
0 1 −6 −4 −255
0 2 −7 −4 −255
0 0 −8 −3 −255
] 
Próximo passo: conseguir zeros nas posições 𝑎32 e 𝑎42. Veja que 𝑎42 = 0, então, só precisamos 
manipular as equações para que 𝑎32 passe a ser zero. Para isso, vamos multiplicar 𝐿2 por (−2) 
e multiplicar por 𝐿3. 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 53 
[
1 0 2 1 85
0 1 −6 −4 −255
0 2 −7 −4 −255
0 0 −8 −3 −255
]
5
 
+
 
5
 ∙ (−2)
 
 
→ [
1 0 2 1 85
0 1 −6 −4 −255
0 0 5 4 255
0 0 −8 −3 −255
] 
Conseguidos os zeros na segunda coluna, passemos à terceira. Vamos dividir a 𝐿3 por 5 e 
multiplicar a 𝐿4 por (−1). 
[
1 0 2 1 85
0 1 −6 −4 −255
0 0 5 4 255
0 0 −8 −3 −255
]
5
 
 ÷ (5)
 ∙ (−1)
→
[
 
 
 
 
 
 
1 0 2 1 85
 
0 1 −6 −4 −255
 
0 0 1
4
5
51
 
0 0 −8 −3 −255]
 
 
 
 
 
 
 
E, como último passo para o escalonamento, multipliquemos 𝐿3 por (8) e somemos esse 
resultado à 𝐿4. 
[
 
 
 
 
 
 
1 0 2 1 85
 
0 1 −6 −4 −255
 
0 0 1
4
5
51
 
0 0 −8 −3 −255]
 
 
 
 
 
 
5
 
 
+ 
 
5
 
∙ (8)
 
→
[
 
 
 
 
 
 
 
 
1 0 2 1 85
 
0 1 −6 −4 −255
 
0 0 1
4
5
51
 
0 0 0 8 ∙
4
5
− 3 153 ]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Simplificando. 
[
 
 
 
 
 
 
 
 
1 0 2 1 85
 
0 1 −6 −4 −255
 
0 0 1
4
5
51
 
0 0 0 8 ∙
4
5
− 3 153 ]
 
 
 
 
 
 
 
 
=
[
 
 
 
 
 
 
 
 
1 0 2 1 85
 
0 1 −6 −4 −255
 
0 0 1
4
5
51
 
0 0 0
17
5
153 ]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Aqui já teríamos condições de extrair os valores das incógnitas. No entanto, para facilitar, 
multipliquemos as linhas 𝐿3 e 𝐿4 por 5. 
[
 
 
 
 
 
 
 
 
1 0 2 1 85
 
0 1 −6 −4 −255
 
0 0 1
4
5
51
 
0 0 0
17
5
153 ]
 
 
 
 
 
 
 
 5
 
 
 
∙ (5)
 
 ∙ (5)
→
[
 
 
 
 
 
 
1 0 2 1 85
 
0 1 −6 −4 −255
 
0 0 5 4 255
 
0 0 0 17 765 ]
 
 
 
 
 
 
 
 Dividindo 𝐿4 por 17. 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 54 
[
 
 
 
 
 
 
1 0 2 1 85
 
0 1 −6 −4 −255
 
0 0 5 4 255
 
0 0 0 17 765 ]
 
 
 
 
 
 
5
 
 
 
 
 
 ÷ (17)
→
[
 
 
 
 
 
 
1 0 2 1 85
 
0 1 −6 −4 −255
 
0 0 5 4 255
 
0 0 0 1 45 ]
 
 
 
 
 
 
 
 
Encerramos nosso escalonamento, então, podemos reescrever a matriz na forma de sistema de 
equações, com um sistema equivalente ao inicial. 
[
 
 
 
 
 
 
1 0 2 1 85
 
0 1 −6 −4 −255
 
0 0 5 4 255
 
0 0 0 1 45 ]
 
 
 
 
 
 
→
{
 
 
 
 
1𝑥 + 0𝑦 + 2𝑧 + 1𝑡 = 85
 
0𝑥 + 1𝑦 − 6𝑧 − 4𝑡 = −255
 
0𝑥 + 0𝑦 + 5𝑧 + 4𝑡 = 255
 
0𝑥 + 0𝑦 + 0𝑧 + 1𝑡 = 45
→
{
 
 
 
 
𝑥 + 2𝑧 + 𝑡 = 85
 
 𝑦 − 6𝑧 − 4𝑡 = −255
 
 5𝑧 + 4𝑡 = 255
 
 𝑡 = 45
 
 
Substituindo o valor de 𝑡 = 45 na terceira equação, temos. 
 
{
 
 
 
 
𝑥 + 2𝑧 + 𝑡 = 85
 
 𝑦 − 6𝑧 − 4𝑡 = −255
 
 5𝑧 + 4𝑡 = 255
 
 𝑡 = 45
→
{
 
 
 
 
𝑥 + 2𝑧 + 𝑡 = 85
 
 𝑦 − 6𝑧 − 4𝑡 = −255
 
 5𝑧 + 4 ∙ 45 = 255
 
 𝑡 = 45
→
{
 
 
 
 
𝑥 + 2𝑧 + 𝑡 = 85
 
 𝑦 − 6𝑧 − 4𝑡 = −255
 
 𝑧 = 15
 
 𝑡 = 45
 
 
Como a primeira equação não necessita de 𝑦, podemos substituir 𝑡 = 45 e 𝑧 = 15 na primeira e 
na segunda equações simultaneamente. 
 
{
 
 
 
 
𝑥 + 2𝑧 + 𝑡 = 85
 
 𝑦 − 6𝑧 − 4𝑡 = −255
 
 𝑧 = 15
 
 𝑡 = 45
 →
{
 
 
 
 
𝑥 + 2 ∙ 15 + 45 = 85
 
 𝑦 − 6 ∙ 15 − 4 ∙ 45 = −255
 
 𝑧 = 15
 
 𝑡 = 45
→
{
 
 
 
 
 𝑥 = 10
 
 𝑦 = 15
 
 𝑧 = 15
 
 𝑡 = 45
 
 
De posse de todos os valores, voltemos à nomenclatura original do exercício. 
𝑎𝑟𝑟𝑜𝑧 = 𝑥 = 10 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜𝑠 
𝑎𝑧𝑒𝑖𝑡𝑒 = 𝑦 = 15 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜𝑠 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 55 
𝑞𝑢𝑒𝑖𝑗𝑜 = 𝑧 = 15 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜𝑠 
𝑏𝑖𝑓𝑒 = 𝑡 = 45 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜𝑠 
Agora sim, podemos julgar as afirmações. 
I. A pontuação de um bife de 100 g é 45. 
Segundo a tabela, a massa do bife é, realmente, de 100g e, segundo nosso sistema, um bife 
representa 45 pontos. Portanto, afirmativa correta. 
II. O macronutriente presente em maior quantidade no arroz é o carboidrato. 
Aqui o conhecimento não é, especificamente, sobre matemática, mas a afirmativa é verdadeira. 
III. Para uma mesma massa de lipídeo de origem vegetal e de carboidrato, a razão 
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑜 𝑙𝑖𝑝í𝑑𝑖𝑜
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑟𝑏𝑜𝑖𝑑𝑟𝑎𝑡𝑜
 
é 1,5. 
Precisamos comparar duas coisas: lipídeo de origem vegetal e carboidrato. O lipídio de origem 
vegetal faz referência ao azeite, enquanto o carboidrato, ao arroz. 
Além disso, o enunciado nos pede para comparar “...uma mesma massa...”. Olhando na tabela 
do exercício, podemos ver que uma colher de arroz tem 20 𝑔, enquanto uma colher de azeite 
tem 5 𝑔. 
Outro ponto importante é que não estamos comparando arroz com azeite e sim lipídeo com 
carboidrato. Em uma colher de azeite, temos 100%, enquanto no arroz, somente 25% de 
carboidrato. 
Alimento macronutriente Porcentagem de 
macronutriente 
massa por 
porção 
g de macronutriente por porção 
Azeite 
Lipídeo 100% 5 𝑔 
100% ∙ 5𝑔 =
100
100
∙ 5𝑔 = 5𝑔 
Arroz 
Carboidrato 25% 20 𝑔 
25% ∙ 20𝑔 =
25
100
∙ 20𝑔 = 5𝑔 
Como, em uma porção de azeite e uma porção de arroz temos exatamente 5 𝑔 de cada 
macronutriente, lipídeo ou carboidrato, podemos, enfim, calcular o valor da razão solicitada. 
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑜 𝑙𝑖𝑝í𝑑𝑖𝑜
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑟𝑏𝑜𝑖𝑑𝑟𝑎𝑡𝑜
=
5 𝑔 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑝í𝑑𝑖𝑜
5 𝑔 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑏𝑜𝑖𝑑𝑟𝑎𝑡𝑜
=
1 𝑐𝑜𝑙ℎ𝑒𝑟
1 𝑐𝑜𝑙ℎ𝑒𝑟
=
15 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜𝑠
10 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜𝑠
= 1,5 
Desse modo, todas as afirmativas estão corretas. 
Gabarito: e) 
5. (Unesp/2015) Em uma floricultura, os preços dos buquês de flores se diferenciam 
pelo tipo e pela quantidade de flores usadas em sua montagem. Quatro desses buquês 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 56 
estão representados na figura a seguir, sendo que três deles estão com os respectivos 
preços. 
 
De acordo com a representação, nessa floricultura, o buquê 4, sem preço indicado, custa 
a) 𝑹$𝟏𝟓, 𝟑𝟎. b) 𝑹$𝟏𝟔, 𝟐𝟎. c) 𝑹$𝟏𝟒, 𝟖𝟎. d) 𝑹$𝟏𝟕, 𝟎𝟎. e) 𝑹$𝟏𝟓, 𝟓𝟎. 
Comentários 
Todos nós sabemos que as flores presentes nos buquês são maravilha, petúnia e margarida. 
Mentira, tive que perguntar para as professoras de biologia! Pelo visto, nem são representações 
fiéis, são apenas ilustrações fictícias mesmo. 
Mas não se assuste, para descobrirmos o valor do último buquê não precisamos saber quais são 
as flores exatamente, mas precisamos distingui-las de alguma forma, pois, pelo enunciado, “...os 
preços dos buquês de flores se diferenciam pelo tipo e pela quantidade de flores usadas em sua 
montagem.”Dessa forma, vamos nomeá-las de forma que possamos diferenciá-las ao longo de nossa 
resolução. 
Como o primeiro buquê apresenta todas as flores que aparecem no problema, vamos utilizá-lo 
para nomearmos nossas plantinhas. 
 
Com essa nomenclatura, podemos dizer que 
 o buquê 1 tem duas flores do tipo 𝑥, uma do tipo 𝑦 e uma do tipo 𝑧 e custa 𝑅$12,90 
 o buquê 2 tem uma flor do tipo 𝑥, duas do tipo 𝑦 e uma do tipo 𝑧 e custa 𝑅$12,10 
 o buquê 3 tem duas flores do tipo 𝑥 e duas do tipo 𝑧 e custa 𝑅$14,60 
 o buque 4 tem duas flores do tipo 𝑥, duas do tipo 𝑦 e uma do tipo 𝑧... 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 57 
A última linha representa o buquê cujo preço ainda é desconhecido. Para as outras três, façamos 
um sistema de equações para representá-las. 
{
 
 
 
 
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 12,90
 
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 12,10
 
2𝑥 + 0𝑦 + 2𝑧 = 14,60
 
Ao resolvermos o sistema, teremos os valores de cada flor e, consequentemente, conseguiremos 
estabelecer o preço do quarto tipo de buquê. 
Assim, partamos para a resolução do sistema. 
{
 
 
 
 
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 12,90
 
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 12,10
 
2𝑥 + 0𝑦 + 2𝑧 = 14,60
 
0
 
 
 
÷ 2
→
{
 
 
 
 
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 12,90
 
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 12,10
 
𝑥 + 𝑧 = 7,30
→
{
 
 
 
 
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 12,90
 
2𝑦 + 7,30 = 12,10
 
𝑥 + 𝑧 = 7,30
→ 
 
→
{
 
 
 
 
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 12,90
 
2𝑦 = 12,10 − 7,30
 
𝑥 + 𝑧 = 7,30
→
{
 
 
 
 
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 12,90
 
2𝑦 = 4,80
 
𝑥 + 𝑧 = 7,30
 
0
 
÷ 2
 
 
→
{
 
 
 
 
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 12,90
 
𝑦 = 2,40
 
𝑥 + 𝑧 = 7,30
→ 
 
→
{
 
 
 
 
𝑥 + 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 12,90
 
𝑦 = 2,40
 
𝑥 + 𝑧 = 7,30
→
{
 
 
 
 
𝑥 + 7,30 + 2,40 = 12,90
 
𝑦 = 2,40
 
𝑥 + 𝑧 = 7,30
→
{
 
 
 
 
𝑥 = 12,90 − 7,30 − 2,40
 
𝑦 = 2,40
 
𝑥 + 𝑧 = 7,30
→ 
 
{
 
 
 
 
𝑥 = 3,20
 
𝑦 = 2,40
 
𝑥 + 𝑧 = 7,30
→
{
 
 
 
 
𝑥 = 3,20
 
𝑦 = 2,40
 
3,20 + 𝑧 = 7,30
→
{
 
 
 
 
𝑥 = 3,20
 
𝑦 = 2,40
 
𝑧 = 7,30 − 3,20
→
{
 
 
 
 
𝑥 = 3,20
 
𝑦 = 2,40
 
𝑧 = 4,10
 
Como o buque 4 tem duas flores do tipo 𝑥, duas do tipo 𝑦 e uma do tipo 𝑧, seu preço 𝑃4 é dado 
por: 
𝑃4 = 2𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 
𝑃4 = 2 ⋅ 3,20 + 2 ⋅ 2,40 + 4,10 
𝑃4 = 6,40 + 4,80 + 4,10 
𝑃4 = 15,30 
Neste, e em muitos outros exercícios, é possível substituirmos uma equação na outra e 
acabarmos por encontrar a solução diretamente, sem passarmos pela solução total do sistema. 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 58 
No entanto, isso nem sempre é trivial e, muitas vezes, o aluno perde muito tempo tentando 
encontrar um “atalho” para a resolução. 
Se você tem habilidade em resolução de sistemas lineares, um sistema simples como esse não 
deve tomar muito tempo seu, então, considere a resolução completa, pois, ela te dá ampla 
capacidade de resposta acerca do problema. 
Como curiosidade, vejamos como poderíamos percorrer um “atalho” e chegar ao preço do quarto 
buquê sem resolver todo o sistema. 
Pelo que vimos, o buque 4 tem duas flores do tipo 𝑥, duas do tipo 𝑦 e uma do tipo 𝑧 e seu preço 
𝑃4 é representado por 𝑃4 = 2𝑥 + 2𝑦 + 𝑧. 
Voltemos ao nosso sistema inicial. 
{
 
 
 
 
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 12,90
 
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 12,10
 
2𝑥 + 0𝑦 + 2𝑧 = 14,60
 
Agora, em vez de resolvermos o sistema, tentaremos construir, com as equações dadas, algo 
que se assemelhe a 𝑃4 = 2𝑥 + 2𝑦 + 𝑧. 
Dando início à nossa resolução normalmente, chegamos a: 
{
 
 
 
 
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 12,90
 
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 12,10
 
2𝑥 + 0𝑦 + 2𝑧 = 14,60
→
{
 
 
 
 
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 12,90
 
𝑦 = 2,40
 
𝑥 + 𝑧 = 7,30
 
Podemos reescrever nossa equação do preço do quarto buquê como: 
𝑃4 = 2𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 
𝑃4 = 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑦 
Perceba que as três primeiras parcelas de 𝑃4, agora, estão representadas na primeira equação 
do nosso sistema, cuja soma é igual a 𝑅$12,90. 
 
𝑃4 = 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑦 
𝑃4 = 12,90 + 2,40 
𝑃4 = 15,30 
E, assim, conseguimos encontrar o preço do quarto buquê sem descobrir os valores das flores 
dos tipos 𝑥 e 𝑧. 
Gabarito: a) 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 59 
6. (Unesp/2015) A tabela indica o gasto de água, em 𝒎³ por minuto, de uma torneira 
(aberta), em função do quanto seu registro está aberto, em voltas, para duas posições do 
registro. 
 
Sabe-se que o gráfico do gasto em função da abertura é uma reta, e que o gasto de água, 
por minuto, quando a torneira está totalmente aberta, é de 𝟎, 𝟎𝟑𝟒 𝒎³. Portanto, é correto 
afirmar que essa torneira estará totalmente aberta quando houver um giro no seu registro 
de abertura de 𝟏 volta completa e mais 
a) 
𝟏
𝟐
 de volta. b) 
𝟏
𝟓
 de volta. c) 
𝟐
𝟓
 de volta. d) 
𝟑
𝟒
 de volta. e) 
𝟏
𝟒
 de volta. 
Comentários 
O enunciado informou que o gráfico do gasto em função da abertura é uma reta. Assim, se 
pensarmos em 𝑦 como a abertura da torneira, em voltas, e 𝑥 como o gasto de água por minuto, 
em metros cúbicos, a equação da reta será dada por: 
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 
Com os dados da tabela substituídos na equação, conseguimos o seguinte sistema linear de 
incógnitas 𝑎 e 𝑏. 
{
 
 𝑎 ⋅
1
2
+ 𝑏 = 0,02
 
𝑎 ⋅ 1 + 𝑏 = 0,03
 
 
De posse do sistema, vamos resolvê-lo. 
{
 
 𝑎 ⋅
1
2
+ 𝑏 = 0,02 𝑥 2
 
𝑎 ⋅ 1 + 𝑏 = 0,03 
 
→ {
𝑎 + 2 ⋅ 𝑏 = 0,04
 
𝑎 + 𝑏 = 0,03
→ {
𝑎 + 𝑏 + 𝑏 = 0,04
 
𝑎 + 𝑏 = 0,03
→ {
0,03 + 𝑏 = 0,04
 
𝑎 + 𝑏 = 0,03
→ 
 
→ {
𝑏 = 0,04 − 0,03
 
𝑎 + 𝑏 = 0,03
→ {
𝑏 = 0,01
 
𝑎 + 𝑏 = 0,03
→ {
𝑏 = 0,01
 
𝑎 + 0,01 = 0,03
→ {
𝑏 = 0,01
 
𝑎 = 0,03 − 0,01
→ {
𝑏 = 0,01
 
𝑎 = 0,02
 
Agora, podemos voltar à nossa equação. 
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 
𝑦 = 0,02𝑥 + 0,01 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 60 
Nesse ponto, temos o consumo em função da abertura. 
Como o enunciado pede a abertura da torneira quando a vazão é de 0,034 𝑚3/𝑚𝑖𝑛, podemos 
substituir esse valor em 𝑦 e encontrar a abertura 𝑥 correspondente. 
𝑦 = 0,02𝑥 + 0,01 
0,034 = 0,02𝑥 + 0,01 
0,034 − 0,01 = 0,02𝑥 
0,024 = 0,02𝑥 
0,024
0,02
= 𝑥 
1,2 = 𝑥 
Perceba que essa é a abertura total da torneira. No entanto, o enunciado não a pediu. O 
enunciado pediu apenas o que excede a uma volta completa, veja: 
...é correto afirmar que essa torneira estará totalmente aberta quando houver um giro no seu 
registro de abertura de 𝟏 volta completa e mais... 
Assim, nossa resposta será apenas o que excede uma volta, ou seja, 0,2 volta. 
Como não temos a indicação nas alternativas na forma decimal, precisamos transformar 0,2 para 
sua fração equivalente. 
0,2 =
2
10
=
1
5
 
Gabarito: b) 
7. (Fuvest/2015) No sistema linear 
{
 
 
 
 
𝒂𝒙 − 𝒚 = 𝟏
 
𝒚 + 𝒛 = 𝟏
 
𝒙 + 𝒛 = 𝒎
 
nas variáveis 𝒙, 𝒚 e 𝒛, 𝒂 e 𝒎 são constantes reais. É correto afirmar: 
 
a) No caso em que 𝒂 = 𝟏, o sistema tem solução se, e somente se, 𝒎 = 𝟐. 
b) O sistema tem solução, quaisquer que sejam os valores de 𝒂 e de 𝒎. 
c) No caso em que 𝒎 = 𝟐, o sistema tem solução se, e somente se, 𝒂 = 𝟏. 
d) O sistema só tem solução se 𝒂 = 𝒎 = 𝟏. 
e) O sistema não tem solução, quaisquer que sejam os valores de 𝒂 e de 𝒎. 
Comentários 
Em outras palavras, o enunciado nos pede para discutir o sistema dado. 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 61 
Vamos reescrever o sistema organizado em uma coluna por incógnita. 
 
{
 
 
 
 
𝑎𝑥 − 1𝑦 + 0𝑧 = 1
 
0𝑥 + 1𝑦 + 1𝑧 = 1
 
1𝑥 + 0y + 1𝑧 = 𝑚
 
 
Façamos, então, a matriz completa do sistema para escaloná-la. 
 
[
 
 
 
 
𝑎 −1 0 1
 
0 1 1 1
 
1 0 1 𝑚]
 
 
 
 
 
 
Como queremos 𝑎11 = 1 para podermos iniciar o escalonamento, vamos trocar de lugar 𝐿1 e 𝐿3.[
 
 
 
 
𝑎 −1 0 1
 
0 1 1 1
 
1 0 1 𝑚]
 
 
 
 
 →
[
 
 
 
 
1 0 1 𝑚
 
0 1 1 1
 
𝑎 −1 0 1 ]
 
 
 
 
 
Como já temos 𝑎21 = 0, não precisamos modificar 𝐿2. Para conseguirmos 𝑎31 = 0, 
multipliquemos 𝐿1 por (−𝑎) e somemos o resultado a 𝐿3. 
[
 
 
 
 
1 0 1 𝑚
 
0 1 1 1
 
𝑎 −1 0 1 ]
 
 
 
 
 
 
 
 
+
∙ (−𝑎)
 
 
 
 
→
[
 
 
 
 
1 0 1 𝑚
 
0 1 1 1
 
0 −1 −𝑎 1 − 𝑎𝑚]
 
 
 
 
 
 
Para seguir com o escalonamento, precisamos induzir zero no elemento 𝑎32. Para isso, 
substituamos 𝐿3 por 𝐿2 + 𝐿3, que é equivalente a multiplicar 𝐿2 por 1 e somar o resultado a 𝐿3. 
 
[
 
 
 
 
1 0 1 𝑚
 
0 1 1 1
 
0 −1 −𝑎 1 − 𝑎𝑚]
 
 
 
 
 
 
 
 
+
 0
 0
 ∙ (1)
 0
0
→
[
 
 
 
 
1 0 1 𝑚
 
0 1 1 1
 
0 0 1 − 𝑎 2 − 𝑎𝑚]
 
 
 
 
 
Com a matriz escalonada, podemos fazer nossa análise. 
Sistema Possível Determinado 
Para ser um sistema possível e determinado, SPD, é necessário que 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 62 
1 − 𝑎 ≠ 0 
Somando 𝑎 a ambos os membros da inequação. 
1 − 𝑎 + 𝑎 ≠ 0 + 𝑎 
1 − 𝑎 + 𝑎 ≠ 𝑎 
1 ≠ 𝑎 
Ou seja, para todos os valores em que 𝑎 ≠ 1, independentemente do valor de 𝑚, teremos um 
SPD. 
Sistema Possível Indeterminado 
Para termos um sistema possível e indeterminado, precisamos que ocorra, simultaneamente, 
1 − 𝑎 = 0 e 2 − 𝑎𝑚 = 0. 
1 − 𝑎 = 0 𝑒 2 − 𝑎𝑚 = 0 
Somando 𝑎 a ambos os membros da primeira equação e 𝑎𝑚 a ambos da segunda, temos. 
 
1 − 𝑎 + 𝑎 = 0 + 𝑎 𝑒 2 − 𝑎𝑚 + 𝑎𝑚 = 0 + 𝑎𝑚 
 
1 − 𝑎 + 𝑎 = 0 + 𝑎 𝑒 2 − 𝑎𝑚 + 𝑎𝑚 = 0 + 𝑎𝑚 
 
1 = 𝑎 𝑒 2 = 𝑎𝑚 
Substituindo o valor de 1 = 𝑎 na segunda equação. 
 
 
1 = 𝑎 𝑒 2 = 𝑎𝑚 
 
1 = 𝑎 𝑒 2 = 1 ∙ 𝑚 
 
1 = 𝑎 𝑒 2 = 𝑚 
Ou seja, para 𝑎 = 1 e 𝑚 = 2, o sistema é possível e indeterminado, SPI. 
Sistema Impossível 
Para termos um sistema impossível, precisamos que ocorra, simultaneamente, 1 − 𝑎 = 0 e 2 −
𝑎𝑚 ≠ 0. 
1 − 𝑎 = 0 𝑒 2 − 𝑎𝑚 ≠ 0 
Aproveitando a resolução que fizemos para o sistema possível e indeterminado, mudando 
apenas o sinal da diferença na segunda equação, temos. 
1 = 𝑎 𝑒 2 ≠ 𝑚 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 63 
Ou seja, para 𝑎 = 1 e 𝑚 ≠ 2, nosso sistema será impossível, SI. 
 
 
 
Sistema discutido, vamos analisar nossas alternativas. 
a) No caso em que 𝑎 = 1, o sistema tem solução se, e somente se, 𝑚 = 2. 
Como podemos ver no nosso esquema, se a for definido como 𝑎 = 1, ele só terá solução para o 
caso de SPI, portanto, se, e somente se, 𝑚 = 2. 
Alternativa correta. 
b) O sistema tem solução, quaisquer que sejam os valores de 𝑎 e de 𝑚. 
Negativo. Para 𝑎 = 1 e 𝑚 ≠ 2m o sistema não tem solução. 
Alternativa incorreta. 
c) No caso em que 𝑚 = 2, o sistema tem solução se, e somente se, 𝑎 = 1. 
Essa é sutil. Olhando para o nosso esquema, pode até dar a impressão de ser verdadeira, pois 
𝑚 = 2 está explícito somente no caso de 𝑎 = 1. 
No entanto, veja que, para o caso de 𝑎 ≠ 1, qualquer valor de 𝑚 satisfaz, inclusive 𝑚 = 2. 
Desse modo, sendo 𝑚 = 2, o sistema tem solução tanto para 𝑎 = 1 quanto para 𝑎 ≠ 1. 
Alternativa incorreta. 
d) O sistema só tem solução se 𝑎 = 𝑚 = 1. 
Negativo. O sistema tem solução, inclusive é possível e determinado para valores de 𝑎 ≠ 1. 
Alternativa incorreta. 
e) O sistema não tem solução, quaisquer que sejam os valores de 𝑎 e de 𝑚. 
O sistema tem solução, exceto para 𝑎 = 1 e 𝑚 ≠ 2, simultaneamente. 
Alternativa incorreta. 
Gabarito: a) 
Análises dos 
parâmetros
𝑎 e 𝑚
𝑎 = 1
𝑚 = 2 SPI
𝑚 ≠ 2 SI
𝑎 ≠ 1 SPD
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 64 
8. (Unesp/2013) Os habitantes de um planeta chamado Jumpspace locomovem-se 
saltando. Para isto, realizam apenas um número inteiro de saltos de dois tipos, o slow 
jump (𝑺𝑱) e o quick jump (𝑸𝑱). Ao executarem um 𝑺𝑱 saltam sempre 𝟐𝟎 𝒖. 𝒅. (unidade de 
distância) para Leste e 𝟑𝟎 𝒖. 𝒅. para Norte. Já no 𝑸𝑱 saltam sempre 𝟒𝟎 𝒖. 𝒅. para Oeste e 
𝟖𝟎 𝒖. 𝒅. para Sul. 
Um habitante desse planeta deseja chegar exatamente a um ponto situado 𝟐𝟎𝟒 𝒖. 𝒅. a Leste 
e 𝟐𝟕𝟖 𝒖. 𝒅. ao Norte de onde se encontra. Nesse caso, é correto afirmar que o habitante 
a) conseguirá alcançar seu objetivo, realizando 𝟏𝟑 saltos 𝑺𝑱 e 𝟕 𝑸𝑱. 
b) conseguirá alcançar seu objetivo, realizando 𝟕 saltos 𝑺𝑱 e 𝟏𝟑 𝑸𝑱. 
c) conseguirá alcançar seu objetivo, realizando 𝟏𝟑 saltos 𝑺𝑱. 
d) não conseguirá alcançar seu objetivo, pois não há número inteiro de saltos que lhe permita 
isso. 
e) conseguirá alcançar seu objetivo, realizando 𝟕 saltos 𝑸𝑱. 
Comentários 
Com a nomenclatura do exercício, podemos estabelecer um sistema de coordenadas 𝑥𝑦, com 𝑥 
representando o deslocamento Leste-Oeste e 𝑦 representando o deslocamento Norte-Sul. 
Dessa forma, deslocamentos para o Sul e para o Oeste são negativos nos respectivos eixos. 
Assim, um salto do tipo 𝑆𝐽 pode ser representado pela equação 
𝑆𝐽 = 20𝑥 + 30𝑦, 
enquanto o salto do tipo QJ, por 
𝑄𝐽 = −40𝑥 − 80𝑦 
O enunciado disse que o habitante deseja chegar ao ponto 204 𝑢. 𝑑. a Leste e 278 𝑢. 𝑑. ao Norte 
de onde se encontra. Se considerarmos a posição inicial do habitante como a origem de nosso 
sistema cartesiano, o habitante deseja chegar ao ponto (204; 278). 
Vamos, então, estabelecer o número 𝑛 de saltos 𝑆𝐽 e 𝑚 de saltos 𝑄𝐽 para que o habitante consiga 
seu intento. 
𝑛 ⋅ 𝑆𝐽 + 𝑚 ⋅ 𝑄𝐽 = (204; 278) 
𝑛 ⋅ (20𝑥 + 30𝑦) + 𝑚 ⋅ (−40𝑥 − 80𝑦) = (204; 278) 
𝑛 ⋅ 20𝑥 + 𝑛 ⋅ 30𝑦 − 𝑚 ⋅ 40𝑥 −𝑚 ⋅ 80𝑦 = (204; 278) 
Agrupando os deslocamentos em 𝑥 e em 𝑦, temos: 
𝑛 ⋅ 20𝑥 − 𝑚 ⋅ 40𝑥 + 𝑛 ⋅ 30𝑦 −𝑚 ⋅ 80𝑦 = (204; 278) 
(𝑛 ⋅ 20 − 𝑚 ⋅ 40)𝑥 + (𝑛 ⋅ 30 − 𝑚 ⋅ 80)𝑦 = (204; 278) 
(𝑛 ⋅ 20 − 𝑚 ⋅ 40; 𝑛 ⋅ 30 − 𝑚 ⋅ 80) = (204; 278) 
Aqui, podemos representar a informação da equação por meio de um sistema. 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 65 
{
𝑛 ⋅ 20 − 𝑚 ⋅ 40 = 204
 
𝑛 ⋅ 30 − 𝑚 ⋅ 80 = 278
→ {
20𝑛 − 40𝑚 = 204
 
30𝑛 − 80𝑚 = 278
 
Resolvendo o sistema. 
{
20𝑛 − 40𝑚 = 204
 
30𝑛 − 80𝑚 = 278
→ {
20𝑛 = 204 + 40𝑚
 
30𝑛 − 80𝑚 = 278
→ {
𝑛 =
204 + 40𝑚
20
 
30𝑛 − 80𝑚 = 278
→ {
𝑛 =
102 + 20𝑚
10
 
30𝑛 − 80𝑚 = 278
→ 
 
→
{
 
 
 
 𝑛 =
102 + 20𝑚
10 
30 (
102 + 20𝑚
10
) − 80𝑚 = 278
→ {
𝑛 =
102 + 20𝑚
10 
3(102 + 20𝑚) − 80𝑚 = 278
→ 
 
→ {
𝑛 =
102 + 20𝑚
10
 
306 + 60𝑚 − 80𝑚 = 278
→ {
𝑛 =
102 + 20𝑚
10
 
−20𝑚 = 278 − 306
→ {
𝑛 =
102 + 20𝑚
20
 
−20𝑚 = −28
 
 
→
{
 
 
 
 𝑛 =
102 + 20𝑚
10 
𝑚 =
−28
−20
→
{
 
 
 
 𝑛 =
102 + 20𝑚
10
 
𝑚 =
7
5
 
O enunciado disse que os habitantes só podem dar números inteiros de passos. Como 
encontramos um valor não inteiro para 𝑚, podemos afirmar que não é possível chegar ao ponto 
(204; 278) deslocando-se na forma proposta. 
Embora não seja necessário calcular o número 𝑛, vamos, a título de exercício, estabelecer seu 
valor. 
{
 
 
 
 𝑛 =
102 + 20𝑚
10
 
𝑚 =
7
5
→
{
 
 
 
 
𝑛 =
102 + 20 ⋅
7
5
10 
𝑚 =
7
5
→
{
 
 
 
 𝑛 =
102 + 28
10
 
𝑚 =
7
5
→
{
 
 
 
 𝑛 =
130
10
 
𝑚 =
7
5
→ {
𝑛 = 13
 
𝑚 =
7
5
 
Como não há um número inteiro de passos que possibilite ao habitante chegar no ponto 
desejado, temos a alternativa d) como a única compatível com o sistema que resolvemos. 
Gabarito: d) 
9. (Fuvest/2012) Em uma festa com n pessoas, em um dado instante, 𝟑𝟏 mulheres se 
retiraram e restaram convidados na razão de 𝟐 homens para cada mulher. Um pouco maistarde, 𝟓𝟓 homens se retiraram e restaram, a seguir, convidados na razão de 𝟑 mulheres 
para cada homem. O número 𝒏 de pessoas presentes inicialmente na festa era igual a 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 66 
a) 𝟏𝟎𝟎 b) 𝟏𝟎𝟓 c) 𝟏𝟏𝟓 d) 𝟏𝟑𝟎 e) 𝟏𝟑𝟓 
Comentários 
O enunciado apresenta uma série de informações que necessitam de muita atenção na hora de 
transcrever para a linguagem técnica. 
Vamos passo a passo. 
Em uma leitura rápida, podemos perceber que há 𝑛 pessoas em uma festa que foram, ao longo 
do texto, divididos em homens (ℎ) e mulheres (𝑚). 
O contexto não nos permite inferir que haja outros tipos de pessoas, então, podemos concluir 
que 
𝑛 = ℎ +𝑚. 
Agora, vamos aos detalhes para representarmos as demais informações do enunciado. 
Analisemos o texto: 
“...em um dado instante, 31 mulheres se retiraram e restaram convidados na razão de 2 homens 
para cada mulher...”. 
Se há, na festa, “...2 homens para cada mulher...”, o número de homens é o dobro do número 
de mulheres, então 
ℎ = 2 ∙ (𝑚 − 31) 
Continuemos com o enunciado. 
“...mais tarde, 55 homens se retiraram e restaram ... 3 mulheres para cada homem...” 
Perceba que “...3 mulheres para cada homem...” significa que o número de mulheres é o triplo 
do número de homens. 
O número de mulheres, nesse momento da festa, é 𝑚 − 31 mulheres. 
Até agora, o número de homens era ℎ. No entanto, “... 55 homens se retiraram...”, ou seja, o 
número de homens passou a ser (ℎ − 55). 
Dessa forma, temos. 
𝑚 − 31 = 3 ∙ (ℎ − 55) 
Conseguimos, até aqui, 3 equações para nossas 3 incógnitas. Para ter certeza de que todas são 
válidas e de que não há informação repetida entre elas, vamos criar um sistema para análise. 
{
 
 
 
 
𝑛 = ℎ +𝑚
 
ℎ = 2 ∙ (𝑚 − 31)
 
𝑚 − 31 = 3 ∙ (ℎ − 55)
 
Distribuindo os produtos na segunda e terceira equações. 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 67 
{
 
 
 
 
𝑛 = ℎ +𝑚
 
ℎ = 2 ∙ (𝑚 − 31)
 
𝑚 − 31 = 3 ∙ (ℎ − 55)
→
{
 
 
 
 
𝑛 = ℎ +𝑚
 
ℎ = 2𝑚 − 62
 
𝑚 − 31 = 3ℎ − 165
 
Isolando as nossas incógnitas nos primeiros membros e deixando apenas os termos 
independentes nos segundos membros das equações. 
{
 
 
 
 
𝑛 = ℎ +𝑚
 
ℎ = 2𝑚 − 62
 
𝑚 − 31 = 3ℎ − 165
→
{
 
 
 
 
𝑛 − ℎ −𝑚 = 0 
 
ℎ − 2𝑚 = −62 
 
−3ℎ + 𝑚 = −165 + 31
→
{
 
 
 
 
𝑛 − ℎ −𝑚 = 0 
 
 ℎ − 2𝑚 = −62
 
 −3ℎ + 𝑚 = −134
 
Temos, então, um sistema que representa, nas incógnitas do enunciado, a situação problema 
apresentada. 
Vamos, então, escrever a matriz completa do sistema e escaloná-la para termos mais 
informações acerca de nossas incógnitas. 
{
 
 
 
 
𝑛 − ℎ −𝑚 = 0 
 
 ℎ − 2𝑚 = −62
 
 −3ℎ + 𝑚 = −134
→
[
 
 
 
 
1 −1 −1 0
 
0 1 −2 −62
 
0 −3 1 −134]
 
 
 
 
 
Nossa matriz já está quase escalonada. Precisamos, apenas, induzir zero na posição 𝑎32. Para 
isso, vamos multiplicar 𝐿2 por 3 e somarmos o resultado a 𝐿3. 
[
 
 
 
 
1 −1 −1 0
 
0 1 −2 −62
 
0 −3 1 −134]
 
 
 
 
 
 
 
 
+
 0
 0
 ∙ (3)
 0
0
→
[
 
 
 
 
1 −1 −1 0
 
0 1 −2 −62
 
0 0 −5 −320]
 
 
 
 
 
Ainda com a matriz escalonada, podemos dividir 𝐿3 por (−5) para simplificação. 
[
 
 
 
 
1 −1 −1 0
 
0 1 −2 −62
 
0 −3 1 −134]
 
 
 
 
 
 
 
 
÷ (−5)
→
[
 
 
 
 
1 −1 −1 0
 
0 1 −2 −62
 
0 0 1 64 ]
 
 
 
 
 
 
Agora sim, matriz escalonada e simplificada. Voltemos, então, à representação de sistema. Sem 
nos esquecermos de que se trata de um sistema diferente, porém equivalente ao original, ou 
seja, com o mesmo conjunto solução. 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 68 
[
 
 
 
 
1 −1 −1 0
 
0 1 −2 −62
 
0 0 1 64 ]
 
 
 
 
→
{
 
 
 
 
𝑛 − ℎ −𝑚 = 0 
 
ℎ − 2𝑚 = −62
 
 𝑚 = 64
 
Como nosso sistema possui 3 equações e 3 incógnitas, temos um SPD. 
Substituindo 𝑚 = 64 na segunda equação, temos. 
{
 
 
 
 
𝑛 − ℎ −𝑚 = 0
 
ℎ − 2𝑚 = −62
 
𝑚 = 64
 →
{
 
 
 
 
𝑛 − ℎ −𝑚 = 0
 
ℎ − 2 ∙ 64 = −62
 
𝑚 = 64
→
{
 
 
 
 
𝑛 − ℎ −𝑚 = 0
 
ℎ = −62 + 128
 
𝑚 = 64
→
{
 
 
 
 
𝑛 − ℎ −𝑚 = 0
 
ℎ = 66
 
𝑚 = 64
 
E, finalmente, substituindo 𝑚 = 64 e ℎ = 66 na primeira equação, temos. 
{
 
 
 
 
𝑛 − ℎ −𝑚 = 0
 
ℎ = 66
 
𝑚 = 64
 →
{
 
 
 
 
𝑛 − 66 − 64 = 0
 
ℎ = 66
 
𝑚 = 64
→
{
 
 
 
 
𝑛 = 66 + 64
 
ℎ = 66
 
𝑚 = 64
→
{
 
 
 
 
𝑛 = 130
 
ℎ = 66
 
𝑚 = 64
 
O enunciado nos pede: 
“O número 𝑛 de pessoas presentes inicialmente na festa era igual a...” 
Consultando nosso sistema resolvido, podemos afirmar que 𝑛 = 130. 
Gabarito: d) 
10. (Unesp/2011) Uma pessoa necessita de 𝟓 𝒎𝒈 de vitamina 𝑬 por semana, a serem 
obtidos com a ingestão de dois complementos alimentares 𝜶 e 𝜷. Cada pacote desses 
complementos fornece, respectivamente, 𝟏 𝒎𝒈 e 𝟎, 𝟐𝟓 𝒎𝒈 de vitamina 𝑬. Essa pessoa 
dispõe de exatamente 𝑹$𝟒𝟕, 𝟎𝟎 semanais para gastar com os complementos, sendo que 
cada pacote de 𝜶 custa 𝑹$𝟓, 𝟎𝟎 e de 𝜷 𝑹$𝟒, 𝟎𝟎. 
O número mínimo de pacotes do complemento alimentar 𝜶 que essa pessoa deve ingerir 
semanalmente, para garantir os 𝟓 𝒎𝒈 de vitamina 𝑬 ao custo fixado para o mesmo período, 
é de: 
𝒂) 𝟑 𝒃) 𝟑
𝟓
𝟏𝟔
 𝒄) 𝟓, 𝟓 𝒅) 𝟔
𝟑
𝟒
 𝒆) 𝟖 
Comentários 
Segundo o enunciado, a pessoa deverá ingerir alguns pacotes do complemento 𝛼 e alguns 
pacotes do complemento 𝛽. 
Para podermos equacionar os dados, chamemos 𝑥 a quantidade de pacotes de complemento do 
tipo 𝛼 e 𝑦 a quantidade de pacotes de complemento do tipo 𝛽. 
Dessa forma, para ingerir os 5 𝑚𝑔 de vitamina 𝐸, a pessoa deve ingerir: 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 69 
𝑥 𝑝𝑎𝑐𝑜𝑡𝑒𝑠 ⋅
1 𝑚𝑔
𝑝𝑎𝑐𝑜𝑡𝑒
+ 𝑦 𝑝𝑎𝑐𝑜𝑡𝑒𝑠 ⋅
0,25 𝑚𝑔
𝑝𝑎𝑐𝑜𝑡𝑒
= 5 𝑚𝑔 
 
𝑥 𝑝𝑎𝑐𝑜𝑡𝑒𝑠 ⋅
1 𝑚𝑔 
 𝑝𝑎𝑐𝑜𝑡𝑒 
+ 𝑦 𝑝𝑎𝑐𝑜𝑡𝑒𝑠 ⋅
0,25 𝑚𝑔 
 𝑝𝑎𝑐𝑜𝑡𝑒 
= 5 𝑚𝑔 
 
𝑥 ⋅ 1 + 𝑦 ⋅ 0,25 = 5 
𝑥 + 0,25𝑦 = 5 
 
 
Professor, é realmente necessário escrever as unidades na equação? 
Não. Mas esse passo é um diferencial. Se você consegue entendê-lo, acaba ganhando uma 
habilidade a mais que fará diferença tanto no curso de matemática mais à frente quanto em 
outras disciplinas que utilizam unidades, como física e química. 
 
Do mesmo modo que analisamos a ingestão da vitamina, analisaremos a restrição orçamentária. 
Como a pessoa não pode gastar mais de 𝑅$47,00, temos: 
𝑥 𝑝𝑎𝑐𝑜𝑡𝑒𝑠 ⋅
𝑅$5,00
𝑝𝑎𝑐𝑜𝑡𝑒
+ 𝑦 𝑝𝑎𝑐𝑜𝑡𝑒𝑠 ⋅
𝑅$4,00
𝑝𝑎𝑐𝑜𝑡𝑒
= 𝑅$47,00 
 
𝑥 𝑝𝑎𝑐𝑜𝑡𝑒𝑠 ⋅
 𝑅$ 5,00
 𝑝𝑎𝑐𝑜𝑡𝑒 
+ 𝑦 𝑝𝑎𝑐𝑜𝑡𝑒𝑠 ⋅
 𝑅$ 4,00
 𝑝𝑎𝑐𝑜𝑡𝑒 
= 𝑅$ 47,00 
 
𝑥 ⋅ 5 + 𝑦 ⋅ 4 = 47 
5𝑥 + 4𝑦 = 47 
Com as duas restrições, a de quantidade de vitamina 𝐸 e a orçamentária, podemos montar um 
sistema de equações e descobrir a quantidade de pacotes que deve ser adquirida de ambos os 
tipos. 
{
𝑥 + 0,25𝑦 = 5
 
5𝑥 + 4𝑦 = 47
 
Resolvendo o sistema. 
{
𝑥 + 0,25𝑦 = 5 𝑥 4
 
5𝑥 + 4𝑦 = 47 
→ {
4𝑥 + 𝑦 = 20
 
5𝑥 + 4𝑦 = 47
→ {
𝑦 = 20 − 4𝑥
 
5𝑥 + 4𝑦 = 47
→ {
𝑦 = 20 − 4𝑥
 
5𝑥 + 4(20 − 4𝑥) = 47
→ 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 70 
 
→ {
𝑦 = 20 − 4𝑥
 
5𝑥 + 80 − 16𝑥 = 47
→ {
𝑦 = 20 − 4𝑥
 
80 − 47 = 11𝑥
→ {
𝑦 = 20 − 4𝑥
 
33 = 11𝑥
→ {
𝑦 = 20 − 4𝑥
 
33
11
= 𝑥
→ {
𝑦 = 20 − 4𝑥
 
𝑥 = 3
 
Como estabelecemos que 𝑥 representaria a quantidade de pacotes de complemento do tipo 𝛼, 
já temos nossa resposta, 𝑥 = 3 pacotes do tipo 𝛼. 
Não há necessidade de terminar de resolver o sistema linear. Noentanto, como exercício, vamos 
descobrir a quantidade de pacotes de complemento do tipo 𝛽 também. 
{
𝑦 = 20 − 4𝑥
 
𝑥 = 3
→ {
𝑦 = 20 − 4 ⋅ 3
 
𝑥 = 3
→ {
𝑦 = 20 − 12
 
𝑥 = 3
→ {
𝑦 = 8
 
𝑥 = 3
 
Gabarito: a) 
11. (Unesp/2011) Uma família fez uma pesquisa de mercado, nas lojas de 
eletrodomésticos, à procura de três produtos que desejava adquirir: uma TV, um freezer e 
uma churrasqueira. Em três das lojas pesquisadas, os preços de cada um dos produtos 
eram coincidentes entre si, mas nenhuma das lojas tinha os três produtos 
simultaneamente para a venda. A loja A vendia a churrasqueira e o freezer por R$ 1.288,00. 
A loja B vendia a TV e o freezer por R$ 3.698,00 e a loja C vendia a churrasqueira e a TV 
por R$ 2.588,00. 
A família acabou comprando a TV, o freezer e a churrasqueira nestas três lojas. O valor 
total pago, em reais, pelos três produtos foi de 
a) 𝟑. 𝟕𝟔𝟕, 𝟎𝟎. b) 𝟑. 𝟕𝟕𝟕, 𝟎𝟎. c) 𝟑. 𝟕𝟖𝟕, 𝟎𝟎. d) 𝟑. 𝟕𝟗𝟕, 𝟎𝟎. e) 𝟑. 𝟖𝟎𝟕, 𝟎𝟎. 
Comentários 
Para início de conversa, vamos organizar os dados fornecidos no enunciado em uma tabela. Em 
enunciados mais longos, a organização torna-se ainda mais importante para que você não se 
perca na resolução. 
Perceba que foram três lojas, três produtos e três preços que, apesar de serem diferentes para 
cada produto, são iguais para o mesmo produto e lojas diferentes. 
Loja Produtos oferecidos Valor total 
𝐴 Churrasqueira + Freezer 𝑅$1.288,00 
𝐵 TV + Freezer 𝑅$3.698,00 
𝐶 Churrasqueira + TV 𝑅$2.588,00 
Utilizando os dados da segunda e da terceira colunas, podemos montar um sistema de 
equações. Utilizemos como simbologia para cada item comprado sua letra inicial, como 
destacado na própria tabela. 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 71 
{
 
 
 
 
𝐶 + 𝐹 = 1288
 
𝑇 + 𝐹 = 3698
 
𝐶 + 𝑇 = 2588
→
{
 
 
 
 
𝐶 = 1288 − 𝐹
 
𝑇 = 3698 − 𝐹
 
𝐶 + 𝑇 = 2588
→
{
 
 
 
 
𝐶 = 1288 − 𝐹
 
𝑇 = 3698 − 𝐹
 
1288 − 𝐹 + 3698 − 𝐹 = 2588
→ 
 
→
{
 
 
 
 
𝐶 = 1288 − 𝐹
 
𝑇 = 3698 − 𝐹
 
−2𝐹 = 2588 − 1288 − 3698
→
{
 
 
 
 
𝐶 = 1288 − 𝐹
 
𝑇 = 3698 − 𝐹
 
−2𝐹 = −2398
→
{
 
 
 
 
𝐶 = 1288 − 𝐹
 
𝑇 = 3698 − 𝐹
 
𝐹 =
−2398
−2
→
{
 
 
 
 
𝐶 = 1288 − 𝐹
 
𝑇 = 3698 − 𝐹
 
𝐹 = 1199
→ 
 
→
{
 
 
 
 
𝐶 = 1288 − 𝐹
 
𝑇 = 3698 − 𝐹
 
𝐹 = 1199
→
{
 
 
 
 
𝐶 = 1288 − 1199
 
𝑇 = 3698 − 1199
 
𝐹 = 1199
→
{
 
 
 
 
𝐶 = 89
 
𝑇 = 2499
 
𝐹 = 1199
 
Como o exercício nos pediu o valor 𝑉 necessário para comprar um item de cada produto, temos: 
𝑉 = 𝐶 + 𝑇 + 𝐹 = 89 + 2499 + 1199 = 3787 
Aqui, já temos nossa resposta. 
Como já vimos em outros pontos da aula, às vezes há caminhos mais curtos para resolvermos 
alguns problemas, em especial aqueles que não solicitam o valor específico de cada incógnita 
que temos no sistema. 
Este problema é um deles. 
Veja o que acontece quando somamos todas as equações do nosso sistema inicial: 
 
 
{
 
 
 
 
𝐶 + 𝐹 = 1288
 
𝑇 + 𝐹 = 3698
 
𝐶 + 𝑇 = 2588
 + 
2𝐶 + 2𝑇 + 2𝐹 = 1288 + 3698 + 2588
 
Simplificando a equação resultante. 
2𝐶 + 2𝑇 + 2𝐹 = 1288 + 3698 + 2588 
2𝐶 + 2𝑇 + 2𝐹 = 7574 
2(𝐶 + 𝑇 + 𝐹) = 7574 
 2 (𝐶 + 𝑇 + 𝐹)
 2 
=
7574
2
 
𝐶 + 𝑇 + 𝐹 = 3787 
Assim, conseguimos o valor necessário para comprar um item de cada, sem ter resolvido o 
sistema propriamente dito. 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 72 
Entenda ambas as formas de resolução e confie no seu aprendizado. Na hora da prova, quanto 
mais ferramentas você tiver, melhor. 
Gabarito: c) 
12. (Fuvest/2011) Uma geladeira é vendida em 𝒏 parcelas iguais, sem juros. Caso se 
queira adquirir o produto, pagando-se 𝟑 ou 𝟓 parcelas a menos, ainda sem juros, o valor 
de cada parcela deve ser acrescido de 𝑹$ 𝟔𝟎, 𝟎𝟎 ou de 𝑹$𝟏𝟐𝟓, 𝟎𝟎 , respectivamente. Com 
base nessas informações, conclui-se que o valor de 𝒏 é igual a 
a) 𝟏𝟑 b) 𝟏𝟒 c) 𝟏𝟓 d) 𝟏𝟔 e) 𝟏𝟕 
Comentários 
Chamando 𝑃 o preço da geladeira à vista, 𝑛 o número de parcelas e 𝑥 o valor de cada parcela, 
vamos reescrever o enunciado como. 
“Uma geladeira é vendida em 𝑛 parcelas iguais, sem juros.” 
𝑛 ∙ 𝑥 = 𝑃 
“Caso se queira adquirir o produto, pagando-se 3 ... parcelas a menos, ainda sem juros, o valor 
de cada parcela deve ser acrescido de 𝑅$ 60,00...” 
(𝑛 − 3) ∙ (𝑥 + 60) = 𝑃 
“Caso se queira adquirir o produto, pagando-se ... 5 parcelas a menos, ainda sem juros, o valor 
de cada parcela deve ser acrescido de ... 𝑅$125,00...” 
(𝑛 − 3) ∙ (𝑥 + 125) = 𝑃 
Muito bem. Temos 3 equações e 3 incógnitas e podemos montar um sistema. 
No entanto, esse sistema não é linear, pois apresenta um produto entre as variáveis 𝑛 ∙ 𝑥 = 𝑃. 
Devemos, então, trabalhar com a substituição até que obtenhamos os valores das incógnitas ou 
até que tenhamos um sistema linear em mãos. 
Montando o sistema. 
{
 
 
 
 
𝑛 ∙ 𝑥 = 𝑃
 
(𝑛 − 3) ∙ (𝑥 + 60) = 𝑃
 
(𝑛 − 3) ∙ (𝑥 + 125) = 𝑃
 
Distribuindo os produtos. 
{
 
 
 
 
𝑛 ∙ 𝑥 = 𝑃
 
(𝑛 − 3) ∙ (𝑥 + 60) = 𝑃
 
 
(𝑛 − 5) ∙ (𝑥 + 125) = 𝑃
→
{
 
 
 
 
𝑛 ∙ 𝑥 = 𝑃
 
𝑛 ∙ 𝑥 + 60𝑛 − 3𝑥 − 3 ∙ 60 = 𝑃
 
𝑛 ∙ 𝑥 + 125𝑛 − 5𝑥 − 5 ∙ 125 = 𝑃
→ 
 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 73 
→
{
 
 
 
 
𝑛 ∙ 𝑥 = 𝑃
 
𝑛 ∙ 𝑥 + 60𝑛 − 3𝑥 − 180 = 𝑃
 
𝑛 ∙ 𝑥 + 125𝑛 − 5𝑥 − 625 = 𝑃
 
Como não temos um sistema linear em mãos, teremos que encontrar uma saída via substituição. 
Perceba que a expressão da primeira equação, 𝑛 ∙ 𝑥, está presente tanto na segunda quanto na 
terceira equações. Como 𝑛 ∙ 𝑥 = 𝑃, façamos a substituição de 𝑛 ∙ 𝑥 por 𝑃. 
 
{
 
 
 
 
 
𝑛 ∙ 𝑥 = 𝑃
 
𝑛 ∙ 𝑥 + 60𝑛 − 3𝑥 − 180 = 𝑃
 
𝑛 ∙ 𝑥 + 125𝑛 − 5𝑥 − 625 = 𝑃
→
{
 
 
 
 
𝑛 ∙ 𝑥 = 𝑃
 
𝑃 + 60𝑛 − 3𝑥 − 180 = 𝑃
 
𝑃 + 125𝑛 − 5𝑥 − 625 = 𝑃
 
 
Subtraindo 𝑃 de ambos os termos da segunda e da terceira equações. 
{
 
 
 
 
𝑛 ∙ 𝑥 = 𝑃
 
𝑃 + 60𝑛 − 3𝑥 − 180 − 𝑃 = 𝑃 − 𝑃
 
𝑃 + 125𝑛 − 5𝑥 − 625 − 𝑃 = 𝑃 − 𝑃
→
{
 
 
 
 
𝑛 ∙ 𝑥 = 𝑃
 
𝑃 + 60𝑛 − 3𝑥 − 180 − 𝑃 = 𝑃 − 𝑃
 
𝑃 + 125𝑛 − 5𝑥 − 625 − 𝑃 = 𝑃 − 𝑃
→ 
 
→
{
 
 
 
 
𝑛 ∙ 𝑥 = 𝑃
 
60𝑛 − 3𝑥 − 180 = 0
 
125𝑛 − 5𝑥 − 625 = 0
 
Perceba que a segunda e a terceira equação possuem apenas duas incógnitas, 𝑥 e 𝑛. Se 
resolvermos apenas essa parte separadamente, teremos um sistema linear em mãos. 
Não vamos desconsiderar a primeira equação, só vamos resolver as duas outras antes, depois 
retornamos ao sistema completo novamente. 
{
60𝑛 − 3𝑥 − 180 = 0
 
125𝑛 − 5𝑥 − 625 = 0
 
Deixando os termos independentes no segundo membro. 
{
60𝑛 − 3𝑥 − 180 = 0
 
125𝑛 − 5𝑥 − 625 = 0
→ {
60𝑛 − 3𝑥 = 180
 
125𝑛 − 5𝑥 = 625
 
Desse sistema linear, escrevamos sua matriz completa. 
[
60 −3 180
125 −5 625
] 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 74 
Como todos os elementos da primeira linha são múltiplos de 3 e os da segunda de 5, dividamos 
𝐿1 por 3 e 𝐿2 por 5. 
[
60 −3 180
125 −5 625
]
÷ 3
÷ 5
→ [
20 −1 60
25 −1 125
] 
Como precisamos de 1 na posição 𝑎11 para fazer o escalonamento, vamos fazer uma manobra: 
trocar as colunas 𝐶1 e 𝐶2 de lugar. 
 
Em nosso sistema, a primeira coluna representa os valores da variável 𝑛 e a segunda, da 
variável 𝑥. Com a manobra de trocar as colunas, as variáveis vão junto. 
Após a troca, a primeira coluna passa a representar a variável 𝑥 e a segunda, 𝑛. Muito cuidado 
com isso. 
 
 
[
20 −1 60
25 −1 125
] → [
−1 20 60
−1 25 125
] 
 
Mais uma preparação, multiplicar toda a 𝐿1 por (−1), para que consigamos 𝑎11 = 1. 
[
−1 20 60
−1 25 125
] ∙
(−1)
 
→ [
1 −20 −60
−1 25 125
] 
Início conseguido,vamos para a próxima linha. Queremos induzir zero no elemento 𝑎12. para 
isso, vamos manter 𝐿1, ou multiplicá-la por 1, e somar o resultado à 𝐿2. 
[
1 −20 −60
−1 25 125
]
0
+
 ∙
(1)
 
→ [
1 −20 −60
0 5 65
] 
A matriz já está escalonada, mas dividamos a segunda linha por 5 para simplificação. 
[
1 −20 −60
0 5 65
]
0
÷ 5
→ [
1 −20 −60
0 1 13
] 
Agora é hora de retornar à representação de sistema. 
É preciso cautela, nós trocamos as colunas de lugar, lembra? Retomando: a primeira coluna, 
após a mudança, representa a variável 𝑥 e a segunda, 𝑛. 
Desse modo, 
[
1 −20 −60
0 1 13
] → {
𝑥 − 20𝑛 = −60
 
0𝑥 + 𝑛 = 13
→ {
𝑥 − 20𝑛 = −60
 
0𝑥 + 𝑛 = 13
 
Aqui já podemos responder a questão, pois a solicitação é sobre o valor de 𝑛, veja. 
“Com base nessas informações, conclui-se que o valor de 𝑛 é igual a...” 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 75 
Pelo nosso sistema, podemos responder que 𝑛 = 13, o que está representado na alternativa a). 
No entanto, como treinamento extra, vamos acabar de resolver o sistema. 
Substituindo o valor de 𝑛 = 13 na primeira equação, temos. 
 
{
𝑥 − 20𝑛 = −60
 
0𝑥 + 𝑛 = 13
→ {
𝑥 − 20 ∙ 13 = −60
 
0𝑥 + 𝑛 = 13
→ {
𝑥 − 260 = −60
 
0𝑥 + 𝑛 = 13
→ {
𝑥 = 260 − 60
 
𝑛 = 13
→ {
𝑥 = 200
 
𝑛 = 13
 
 
Conseguido o valor dessas duas incógnitas, 𝑛 = 13 e 𝑥 = 200, retornemos ao nosso sistema 
principal, não linear, com todas as incógnitas do problema. 
{
 
 
 
 
𝑛 ∙ 𝑥 = 𝑃
 
60𝑛 − 3𝑥 − 180 = 0
 
125𝑛 − 5𝑥 − 625 = 0
→
{
 
 
 
 
𝑛 ∙ 𝑥 = 𝑃
 
𝑥 = 200
 
𝑛 = 13
 
 
Substituindo 𝑛 = 13 e 𝑥 = 200 na primeira equação, temos. 
{
 
 
 
 
𝑛 ∙ 𝑥 = 𝑃
 
𝑥 = 200
 
𝑛 = 13
 →
{
 
 
 
 
13 ∙ 200 = 𝑃
 
𝑥 = 200
 
𝑛 = 13
→
{
 
 
 
 
2600 = 𝑃
 
𝑥 = 200
 
𝑛 = 13
 
Ou seja, o preço da TV é de R$2.600,00 e ela é vendida em 13 parcelas de R$200,00. 
Gabarito: a) 
13. (Unesp/2008) Um grupo de 𝒙 estudantes se juntou para comprar um computador 
portátil (notebook) que custa 𝑹$ 𝟑. 𝟐𝟓𝟎, 𝟎𝟎. Alguns dias depois, mais três pessoas se 
juntaram ao grupo, formando um novo grupo com 𝒙 + 𝟑 pessoas. Ao fazer a divisão do 
valor do computador pelo número de pessoas que estão compondo o novo grupo, 
verificou-se que cada pessoa pagaria 𝑹$ 𝟕𝟓, 𝟎𝟎 a menos do que o inicialmente programado 
para cada um no primeiro grupo. 
O número 𝒙 de pessoas que formavam o primeiro grupo é: 
a) 𝟗. b) 𝟏𝟎. c) 𝟏𝟏. d) 𝟏𝟐. e) 𝟏𝟑. 
Comentários 
Chamando 𝑥 o número de pessoas que formavam o primeiro grupo e 𝑝 a parcela que cada um 
pagaria, podemos traduzir o enunciado para o seguinte sistema de equações: 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 76 
{
 
 
 
 3250
𝑥
= 𝑝 → 𝑠𝑖𝑡𝑢𝑎çã𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 
 
3250
𝑥 + 3
= 𝑝 − 75 → 𝑠𝑢𝑡𝑢𝑎çã𝑜 𝑎𝑙𝑡𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎
 
Agora, tudo o que precisamos fazer é descobrir o valor da incógnita 𝑥 do sistema. 
Vamos aproveitar que a incógnita 𝑝 já está isolada na primeira equação e substitui-la na segunda. 
{
 
 
 
 3250
𝑥
= 𝑝
 
3250
𝑥 + 3
= 𝑝 − 75
→
{
 
 
 
 3250
𝑥
= 𝑝
 
3250
𝑥 + 3
=
3250
𝑥
− 75
 
Multipliquemos toda a segunda equação por 𝑥(𝑥 + 3). 
 
 
Perceba que só podemos fazer isso se garantirmos que 𝑥 ≠ 0 e que 𝑥 + 3 ≠ 0, ou seja, 𝑥 ≠ −3. 
Como nenhum desses valores faz sentido no contexto, pois 𝑥 retrata o número de pessoas, 
podemos fazer a multiplicação tranquilamente. 
{
 
 
 
 3250
𝑥
= 𝑝
 
3250
𝑥 + 3
=
3250
𝑥
− 75
→
{
 
 
 
 3250
𝑥
= 𝑝
 
𝑥 (𝑥 + 3) ⋅
3250
 𝑥 + 3 
= 𝑥 (𝑥 + 3) ⋅
3250
 𝑥 
− 𝑥(𝑥 + 3) ⋅ 75
→ 
 
→ {
3250
𝑥
= 𝑝
 
𝑥 ⋅ 3250 = (𝑥 + 3) ⋅ 3250 − 𝑥(𝑥 + 3) ⋅ 75
→ {
3250
𝑥
= 𝑝
 
 3250𝑥 = 3250𝑥 + 9750 − 75𝑥2 − 225𝑥
→ 
 
→ {
3250
𝑥
= 𝑝
 
0 = 9750 − 75𝑥2 − 225𝑥
→ {
3250
𝑥
= 𝑝
 
75𝑥2 + 225𝑥 − 9750 = 0
 
 
 
0
÷ 75
→ {
3250
𝑥
= 𝑝
 
𝑥2 + 3𝑥 − 130 = 0
→ 
Nesse ponto, vamos resolver, separadamente, a equação do segundo grau que surgir na 
segunda linha. 
𝑥2 + 3𝑥 − 130 = 0 
∆= 𝑏2 − 4 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐 = 32 − 4 ∙ 1 ∙ (−130) = 9 + 520 = 529 
𝑥 =
−𝑏 ± √∆
2 ⋅ 𝑎
=
−3 ± √529
2 ⋅ 1
=
{
 
 
 
 𝑥′ =
−3 + 23
2
=
20
2
= 10 
 
𝑥′′ =
−3 − 23
2
=
−26
2
= −13 → 
𝑁ã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑣é𝑚 𝑝𝑎𝑟𝑎
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑠𝑠𝑜𝑎𝑠
 
 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 77 
Aqui já estamos de posse da resposta, pois nomeamos o número de pessoas que formaram o 
primeiro grupo justamente de 𝑥 e descobrimos que 𝑥 = 10. 
Caso a pergunta do exercício fosse outra, poderíamos ter que continuar a resolução do sistema. 
Assim, a título de exercício, vamos terminá-lo. 
→ {
3250
𝑥
= 𝑝
 
𝑥2 + 3𝑥 − 130 = 0
→ {
3250
𝑥
= 𝑝
 
𝑥 = 10
→ {
3250
10
= 𝑝
 
𝑥 = 10
→ {
325 = 𝑝
 
𝑥 = 10
 
Gabarito: b) 
14. (Unesp/2008) Uma lapiseira, três cadernos e uma caneta custam, juntos, 33 reais. 
Duas lapiseiras, sete cadernos e duas canetas custam, juntos, 76 reais. O custo de uma 
lapiseira, um caderno e uma caneta, juntos, em reais, é: 
a) 11. b) 12. c) 13. d) 17. e) 38. 
Comentários 
Com os dados fornecidos, conseguimos montar duas equações em um sistema. Vamos 
representar o custo de uma lapiseira por 𝑥, o de um caderno por 𝑦 e o de uma caneta por 𝑧. 
{
𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 33
 
2𝑥 + 7𝑦 + 2𝑧 = 76
 
Perceba que temos duas equações e três incógnitas, portanto, estamos tratando de um Sistema 
Possível e Indeterminado. 
Dessa forma, como temos um grau de liberdade, vamos levar alguma das incógnitas para o 
segundo membro das equações. 
Para facilitar nossos cálculos, vamos levar 𝑦 para o segundo membro e simplificar o primeiro 
membro das equações. 
{
𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 33
 
2𝑥 + 7𝑦 + 2𝑧 = 76
→ {
𝑥 + 𝑧 = 33 − 3𝑦
 
2𝑥 + 2𝑧 = 76 − 7𝑦
→ {
𝑥 + 𝑧 = 33 − 3𝑦
 
2(𝑥 + 𝑧) = 76 − 7𝑦
 
0
 
÷ 2
→ 
 
→ {
𝑥 + 𝑧 = 33 − 3𝑦
 
 2 (𝑥 + 𝑧)
 2 
=
76 − 7𝑦
2
→ {
𝑥 + 𝑧 = 33 − 3𝑦
 
𝑥 + 𝑧 =
76 − 7𝑦
2
→ 
Como temos 𝑥 + 𝑦 nos primeiros membros de ambas as equações, podemos igualar seus 
segundos membros e encontrar o valor de 𝑦. 
→ {
𝑥 + 𝑧 = 33 − 3𝑦
 
𝑥 + 𝑧 =
76 − 7𝑦
2
→ {
𝑥 + 𝑧 = 33 − 3𝑦
 
33 − 3𝑦 =
76 − 7𝑦
2
→ {
𝑥 + 𝑧 = 33 − 3𝑦
 
2 ⋅ (33 − 3𝑦) = 2 ⋅
76 − 7𝑦
 2 
→ 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 78 
 
→ {
𝑥 + 𝑧 = 33 − 3𝑦
 
66 − 6𝑦 = 76 − 7𝑦
→ {
𝑥 + 𝑧 = 33 − 3𝑦
 
7𝑦 − 6𝑦 = 76 − 66
→ {
𝑥 + 𝑧 = 33 − 3𝑦
 
𝑦 = 10
→ 
 
→ {
𝑥 + 𝑧 = 33 − 3 ⋅ 10
 
𝑦 = 10
→ {
𝑥 + 𝑧 = 33 − 30
 
𝑦 = 10
→ {
𝑥 + 𝑧 = 3
 
𝑦 = 10
 
O exercício nos perguntou qual é o custo de uma lapiseira, um caderno e uma caneta, juntos, 
em reais, o que, em nossa nomenclatura, é o mesmo que 𝑥 + 𝑦 + 𝑧. 
Apesar de não ser possível estabelecer quais são os valores individuais de 𝑥 e de 𝑧, podemos, 
com certeza, dizer quanto vale a soma 𝑆 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧. 
𝑆 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 
𝑆 = 𝑥 + 𝑧 + 𝑦 
𝑆 = 3 + 10 
𝑆 = 13 
Gabarito: c) 
15. (Unesp/2007) Um fazendeiro plantou 𝟑. 𝟗𝟔𝟎 árvores em sua propriedade no período 
de 𝟐𝟒 meses. A plantação foi feita mês a mês, em progressão aritmética. No primeiro mês 
foram plantadas 𝒙 árvores, no mês seguinte (𝒙 + 𝒓) árvores, 𝒓 > 𝟎, e assim 
sucessivamente, sempre plantando no mês seguinte 𝒓 árvores a mais do que no mês 
anterior. Sabendo-se que ao término do décimo quinto mês do início do plantio ainda 
restavam 𝟐. 𝟏𝟔𝟎 árvores para serem plantadas, o número de árvores plantadas no primeiro 
mês foi: 
a) 50. b) 75. c) 100. d) 150. e) 165. 
Comentários 
Vamos explicitar alguns dados do enunciado antes de equacionarmos o problema. 
Árvores plantadas no primeiro mês: 𝑥 
Progressãoem 𝑃𝐴 com razão 𝑟 
Árvores plantadas em 24 meses: 3.960 
Árvores plantadas em 15 meses: 3.960 − 2.160 = 1800 
Dessa forma, podemos tomar a progressão do plantio como sendo: 
Mês 1 Mês 2 Mês 3 Mês 4 ... Mês 15 ... Mês 24 
𝑥 𝑥 + 𝑟 𝑥 + 2𝑟 𝑥 + 3𝑟 . . . 𝑥 + 14𝑟 . . . 𝑥 + 23𝑟 
→ → → → → 1.800 → 3.960 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 79 
Perceba que, para escrever a segunda linha da tabela, podemos pensar na fórmula do termo 
geral da 𝑃𝐴: 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1) ⋅ 𝑟. 
 
Atenção à segunda linha. 
Não se trata do número de árvores plantadas no mês e sim até o mês. Esse número é 
cumulativo. Assim, se somarmos todas as árvores plantadas do primeiro ao décimo quinto mês, 
teremos 1.800 árvores e, analogamente, do primeiro ao vigésimo quarto, 3.960. 
 
Assim, podemos recorrer à fórmula da soma de 𝑛 termos de uma 𝑃𝐴 para equacionar 
corretamente o problema. 
𝑆𝑛 =
(𝑎1 + 𝑎𝑛) ⋅ 𝑛
2
 
Pela tabela, temos o valor de duas somas, o que nos permite montar o seguinte sistema. 
{
𝑆15 = 1.800
 
𝑆24 = 3.960
→
{
 
 
 
 
(𝑎1 + 𝑎15) ⋅ 15
2
= 1.800
 
(𝑎1 + 𝑎24) ⋅ 24 
12
 2 
= 3.960
→ {
 2 ⋅
(𝑎1 + 𝑎1 + 14𝑟) ⋅ 15
 2 
= 2 ⋅ 1.800
 
(𝑎1 + 𝑎1 + 23𝑟) ⋅ 12 = 3.960
 
÷ 15
 
÷ 12
→ 
 
→
{
 
 
 
 (2𝑎1 + 14𝑟) ⋅ 15 
 15 
=
3.600
15
 
(2𝑎1 + 23𝑟) ⋅ 12 
 12 
=
3.960
12
→ {
2𝑎1 + 14𝑟 = 240
 
2𝑎1 + 23𝑟 = 330
÷ 2
 
 
→ {
𝑎1 + 7𝑟 = 120
 
2𝑎1 + 23𝑟 = 330
→ 
 
→ {
𝑎1 = 120 − 7𝑟
 
2𝑎1 ++23𝑟 = 330
→ {
𝑎1 = 120 − 7𝑟
 
2(120 − 7𝑟) + 23𝑟 = 330
→ {
𝑎1 = 120 − 7𝑟
 
240 − 14𝑟 + 23𝑟 = 330
→ 
 
→ {
𝑎1 = 120 − 7𝑟
 
240 − 14𝑟 + 23𝑟 = 330
→ {
𝑎1 = 120 − 7𝑟
 
9𝑟 = 330 − 240
→ {
𝑎1 = 120 − 7𝑟
 
9𝑟 = 90
→ {
𝑎1 = 120 − 7𝑟
 
 9 𝑟
 9 
=
90
9
→ 
 
→ {
𝑎1 = 120 − 7𝑟
 
𝑟 = 10
→ {
𝑎1 = 120 − 7 ⋅ 10
 
𝑟 = 10
→ {
𝑎1 = 120 − 70
 
𝑟 = 10
→ {
𝑎1 = 50
 
𝑟 = 10
 
Como, em nossa 𝑃𝐴, o primeiro termo é 𝑎1 = 𝑥, temos: 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 80 
{
𝑎1 = 50
 
𝑟 = 10
→ {
𝑥 = 50
 
𝑟 = 10
 
Gabarito: a) 
16. (Fuvest/2006) João, Maria e Antônia tinham, juntos, 𝑹$ 𝟏𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎. Cada um deles 
investiu sua parte por um ano, com juros de 𝟏𝟎% ao ano. Depois de creditados seus juros 
no final desse ano, Antônia passou a ter 𝑹$ 𝟏𝟏. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 mais o dobro do novo capital de 
João. No ano seguinte, os três reinvestiram seus capitais, ainda com juros de 𝟏𝟎% ao ano. 
Depois de creditados os juros de cada um no final desse segundo ano, o novo capital de 
Antônia era igual à soma dos novos capitais de Maria e João. 
Qual era o capital inicial de João? 
a) 𝑹$ 𝟐𝟎. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 b) 𝑹$ 𝟐𝟐. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 c) 𝑹$ 𝟐𝟒. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 
d) 𝑹$ 𝟐𝟔. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 e) 𝑹$ 𝟐𝟖. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 
Comentários 
Antes de iniciarmos a resolução da questão, vamos esclarecer alguns pontos sobre juros. 
Quando investimos um valor 𝑥 com 10% de ganho, ficaremos, ao final, com 110% de 𝑥: 100% 
que já tínhamos antes de investir e os 10% de ganho. 
Dessa forma, nosso valor final (𝑉𝐹) é dado por 
𝑉𝐹 = 100% ∙ 𝑥 + 10% ∙ 𝑥 = 110% ∙ 𝑥 =
110
100
∙ 𝑥 = 1,1 ∙ 𝑥 
Para o caso de reinvestimento, teremos o mesmo processo, ou seja, multiplicamos a quantia 
anterior por 1,1. 
Se já temos a quantia de 1,1 ∙ 𝑥 e reinvestimos com ganhos de, novamente, 10%, teremos, ao 
final, 1,1 ∙ 1,1 ∙ 𝑥. 
Feitas as devidas considerações, vamos traduzir o enunciado para a linguagem matemática na 
forma de equações. 
“João, Maria e Antônia tinham, juntos, 𝑅$ 100.000,00.” 
𝐽𝑜ã𝑜 + 𝑀𝑎𝑟𝑖𝑎 + 𝐴𝑛𝑡ô𝑛𝑖𝑎 = 100.000 
“Depois de creditados seus juros no final desse ano, Antônia passou a ter 𝑅$ 11.000,00 mais o 
dobro do novo capital de João.” 
1,1 ∙ 𝐴𝑛𝑡ô𝑛𝑖𝑎 = 11.000 + 2 ∙ 1,1 ∙ 𝐽𝑜ã𝑜 
“No ano seguinte, os três reinvestiram seus capitais, ainda com juros de 10% ao ano.” 
A partir desse ponto, os valores foram reinvestidos, ou seja, cada um terá, como resultado de 
investir 𝑥 reais, 1,1 ∙ 1,1 ∙ 𝑥. 
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“Depois de creditados os juros de cada um no final desse segundo ano, o novo capital de Antônia 
era igual à soma dos novos capitais de Maria e João.” 
1,1 ∙ 1,1 ∙ 𝐴𝑛𝑡ô𝑛𝑖𝑎 = 1,1 ∙ 1,1 ∙ 𝑀𝑎𝑟𝑖𝑎 + 1,1 ∙ 1,1 ∙ 𝐽𝑜ã𝑜 
Criando uma nomenclatura para o enunciado e colocando todas as equações em um único 
sistema. 
{
 
 
 
 
𝐽𝑜ã𝑜 + 𝑀𝑎𝑟𝑖𝑎 + 𝐴𝑛𝑡ô𝑛𝑖𝑎 = 100.000
 
1,1 ∙ 𝐴𝑛𝑡ô𝑛𝑖𝑎 = 11.000 + 2 ∙ 1,1 ∙ 𝐽𝑜ã𝑜
 
1,1 ∙ 1,1 ∙ 𝐴𝑛𝑡ô𝑛𝑖𝑎 = 1,1 ∙ 1,1 ∙ 𝑀𝑎𝑟𝑖𝑎 + 1,1 ∙ 1,1 ∙ 𝐽𝑜ã𝑜
 
 
𝐽 = 𝐽𝑜ã𝑜
 
𝑀 = 𝑀𝑎𝑟𝑖𝑎
 
𝐴 = 𝐴𝑛𝑡ô𝑛𝑖𝑎
 →
{
 
 
 
 
𝐽 +𝑀 + 𝐴 = 100.000
 
1,1 ∙ 𝐴 = 11.000 + 2 ∙ 1,1 ∙ 𝐽
 
1,1 ∙ 1,1 ∙ 𝐴 = 1,1 ∙ 1,1 ∙ 𝑀 + 1,1 ∙ 1,1 ∙ 𝐽
 
Vamos organizar o sistema colocando as incógnitas nos primeiros membros e os termos 
independentes nos segundos membros das equações. 
{
 
 
 
 
𝐽 +𝑀 + 𝐴 = 100.000
 
1,1 ∙ 𝐴 = 11.000 + 2 ∙ 1,1 ∙ 𝐽
 
1,1 ∙ 1,1 ∙ 𝐴 = 1,1 ∙ 1,1 ∙ 𝑀 + 1,1 ∙ 1,1 ∙ 𝐽
→
{
 
 
 
 
0,0000𝐽 + 0,000 +𝑀 + 0,000 + 𝐴 = 100.000
 
−2 ∙ 1,1 ∙ 𝐽 + 00𝑀 + 0000 + 1,1 ∙ 𝐴 = 11.000
 
−1,1 ∙ 1,1 ∙ 𝐽 − 1,1 ∙ 1,1 ∙ 𝑀 + 1,1 ∙ 1,1 ∙ 𝐴 = 0
 
Com o sistema organizado, vamos escrever a matriz completa do sistema. 
{
 
 
 
 
0,0000𝐽 + 0,000 +𝑀 + 0,000 + 𝐴 = 100.000
 
−2 ∙ 1,1 ∙ 𝐽 + 00𝑀 + 0000 + 1,1 ∙ 𝐴 = 11.000
 
−1,1 ∙ 1,1 ∙ 𝐽 − 1,1 ∙ 1,1 ∙ 𝑀 + 1,1 ∙ 1,1 ∙ 𝐴 = 0
→ 
 
→
[
 
 
 
 
1 1 1 100.000
 
−2 ∙ 1,1 0 1,1 11.000
 
−1,1 ∙ 1,1 −1,1 ∙ 1,1 1,1 ∙ 1,1 0 ]
 
 
 
 
 
Professor, por que você já não fez as contas? 
Calma. Não fiz, pois vamos simplificar esses valores agora mesmo. 
Para isso, vamos dividir a segunda linha por (1,1) e a terceira por (1,1 ∙ 1,1). 
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[
 
 
 
 
1 1 1 100.000
 
−2 ∙ 1,1 0 1,1 11.000
 
−1,1 ∙ 1,1 −1,1 ∙ 1,1 1,1 ∙ 1,1 0 ]
 
 
 
 
 )
 
÷ (1,1)
 
÷ (1,1 ∙ 1,1)
→
[
 
 
 
 
1 1 1 100.000
 
−2 0 1 10.000
 
−1 −1 1 0 ]
 
 
 
 
 
Bem melhor, não? 
Agora que temos a matriz simplificada, vamos escaloná-la. 
Para conseguir os zeros necessários na primeira coluna, vamos multiplicar a primeira linha por 
2 e somar o resultado à segunda linha; e substituir a terceira linha pela soma desta com a primeira 
(é o mesmo que multiplicar a primeira linha por 1 e somar o resultado à terceira, ok?). 
[
 
 
 
 
1 1 1 100.000
 
−2 0 1 10.000
 
−1 −1 1 0 ]
 
 
 
 
∙ 2
 
+ 
 
+ 
 
∙ 2
 
 
 
 
 
∙ 1
 
 
 
 
→
[
 
 
 
 
1 1 1 100.000
 
0 2 3 210.000
 
0 0 2 100.000]
 
 
 
 
 
E ganhamos o zero na posição 𝑎32 de brinde! 
A matriz já está escalonada, mas vamos dividir 𝐿3 por 2 para simplificar. 
[
 
 
 
 
1 1 1 100.000
 
−2 0 1 10.000
 
−1 −1 1 0 ]
 
 
 
 
∙ 2
 
+ 
 
÷ 2 
→
[
 
 
 
 
1 1 1 100.000
 
0 2 3 210.000
 
0 0 1 50.000 ]
 
 
 
 
 
Tudo pronto, podemos voltar à representação de sistema, com um sistema equivalente ao 
original. 
[
 
 
 
 
1 1 1 100.000
 
0 2 3 210.000
 
0 0 1 50.000 ]
 
 
 
 
→
{
 
 
 
 
𝐽 +𝑀 + 𝐴 = 100.000
 
0𝐽 + 2𝑀 + 3𝐴 = 210.000
 
0𝐽 + 0𝑀 + 1𝐴 = 50.000
→
{
 
 
 
 
𝐽 +𝑀 + 𝐴 = 100.000
 
0𝐽 + 2𝑀 + 3𝐴 = 210.000
 
0𝐽 + 0𝑀 + 𝐴 = 50.000
 
Substituindo 𝐴 = 50.000 na primeira equação, temos. 
{
 
 
 
 
𝐽 +𝑀 + 𝐴 = 100.000
 
0𝐽 + 2𝑀 + 3𝐴 = 210.000
 
0𝐽 + 0𝑀 + 𝐴 = 50.000
→
{
 
 
 
 
𝐽 +𝑀 + 𝐴 = 100.000
 
2𝑀 + 3 ∙ 50.000 = 210.000
 
𝐴 = 50.000
→
{
 
 
 
 
𝐽 +𝑀 + 𝐴 = 100.000
 
2𝑀 = 210.000 − 150.000
 
𝐴 = 50.000
→ 
 
→
{
 
 
 
 
𝐽 +𝑀 + 𝐴 = 100.000
 
2𝑀 = 60.000
 
𝐴 = 50.000
→
{
 
 
 
 
𝐽 + 𝑀 + 𝐴 = 100.000
 
2𝑀
2
=
60.000
2 
𝐴 = 50.000
→
{
 
 
 
 
𝐽 +𝑀 + 𝐴 = 100.000
 
𝑀 = 30.000𝐴 = 50.000
 
 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 83 
Substituindo 𝐴 = 50.000 e 𝑀 = 30.000 na primeira equação, temos. 
{
 
 
 
 
𝐽 +𝑀 + 𝐴 = 100.000
 
𝑀 = 30.000
 
𝐴 = 50.000
 →
{
 
 
 
 
𝐽 + 30.000 + 50.000 = 100.000
 
𝑀 = 30.000
 
𝐴 = 50.000
→ 
 
→
{
 
 
 
 
𝐽 = 100.000 − 80.000
 
𝑀 = 30.000
 
𝐴 = 50.000
→→
{
 
 
 
 
𝐽 = 20.000
 
𝑀 = 30.000
 
𝐴 = 50.000
 
 Voltemos ao enunciado para declarar nossa resposta. 
“Qual era o capital inicial de João?” 
Pelo sistema resolvido, podemos dizer que o capital inicial de João era de 𝑅$ 20.000,00. 
Gabarito: a) 
17. (Unesp/2006) Seja 𝑻𝑪 a temperatura em graus Celsius e 𝑻𝑭 a mesma temperatura 
em graus Fahrenheit. Essas duas escalas de temperatura estão relacionadas pela equação 
𝟗𝑻𝑪 = 𝟓𝑻𝑭 − 𝟏𝟔𝟎 
Considere agora 𝑻𝑲 a mesma temperatura na escala Kelvin. As escalas Kelvin e Celsius 
estão relacionadas pela equação 
𝑻𝑲 = 𝑻𝑪 + 𝟐𝟕𝟑. 
A equação que relaciona as escalas Fahrenheit e Kelvin é: 
a) 𝑻𝑭 = (𝑻𝑲 − 𝟏𝟏𝟑) / 𝟓 
b) 𝑻𝑭 = (𝟗𝑻𝑲 − 𝟐𝟒𝟓𝟕) / 𝟓 
c) 𝑻𝑭 = (𝟗𝑻𝑲− 𝟐𝟐𝟗𝟕) / 𝟓 
d) 𝑻𝑭 = (𝟗𝑻𝑲 − 𝟐𝟔𝟓𝟕) / 𝟓 
e) 𝑻𝑭 = (𝟗𝑻𝑲 − 𝟐𝟔𝟏𝟕) / 𝟓 
Comentários 
O problema nos ofereceu duas equações, nas quais estão relacionadas três incógnitas: 𝑇𝐶, 𝑇𝐹 
e 𝑇𝐾. 
Com essas duas incógnitas, podemos formar um sistema. 
{
9𝑇𝐶 = 5𝑇𝐹 − 160
 
𝑇𝐾 = 𝑇𝐶 + 273
 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 84 
Como precisamos relacionar, de forma direta, 𝑇𝐹 e 𝑇𝐾, um caminho é a substituição no sistema. 
Para não se perder na substituição, pense que uma incógnita deve, ao final, desaparecer da 
informação. Ao relacionarmos 𝑇𝐹 e 𝑇𝐾 em uma única equação, não teremos mais a informação 
acerca de 𝑇𝐶. Assim, vamos isolar 𝑇𝐶 e substituir essa informação na outra equação. 
Pelo sistema que temos, isolar 𝑇𝐶 parece ser mais prático na segunda equação, então, sigamos 
por esse caminho. 
{
9𝑇𝐶 = 5𝑇𝐹 − 160
 
𝑇𝐾 = 𝑇𝐶 + 273
→ {
9𝑇𝐶 = 5𝑇𝐹 − 160
 
𝑇𝐾 − 273 = 𝑇𝐶
→ {
9(𝑇𝐾 − 273) = 5𝑇𝐹 − 160
 
𝑇𝐾 − 273 = 𝑇𝐶
 
Perceba que, na primeira equação, temos exatamente as incógnitas solicitadas. Assim, 
precisamos apenas reescrevê-la na forma explícita, isolando 𝑇𝐹, como o enunciado solicitou. 
Dessa forma, vamos abandonar o sistema e seguir apenas com a primeira equação. 
9(𝑇𝐾 − 273) = 5𝑇𝐹 − 160 
9(𝑇𝐾 − 273) = 5𝑇𝐹 − 160 
9𝑇𝐾 − 9 ⋅ 273 + 160 = 5𝑇𝐹 
9𝑇𝐾 − 9 ⋅ 273 + 160
5
=
 5 𝑇𝐹
 5 
 
9𝑇𝐾 − 2297
5
= 𝑇𝐹 
Gabarito: c) 
18. (Fuvest/2005) Um supermercado adquiriu detergentes nos aromas limão e coco. A 
compra foi entregue, embalada em 𝟏𝟎 caixas, com 𝟐𝟒 frascos em cada caixa. Sabendo-
se que cada caixa continha 𝟐 frascos de detergentes a mais no aroma limão do que no 
aroma coco, o número de frascos entregues, no aroma limão, foi 
a) 𝟏𝟏𝟎 b) 𝟏𝟐𝟎 c) 𝟏𝟑𝟎 d) 𝟏𝟒𝟎 e) 𝟏𝟓𝟎 
Comentários 
O enunciado traz duas situações distintas: uma em quantidade de caixas e outra dentro de cada 
caixa. 
É preciso atenção para separar ambas as situações montar um sistema com equações 
equivalentes à mesma informação. 
Considerando as 10 caixas de detergentes, podemos dizer que o número de detergentes de 
limão (𝑙) somado ao de detergentes de coco (𝑐) resulta 240 unidades. A equação que representa 
essa informação é 
𝑙 + 𝑐 = 240. 
Considerando o universo de apenas uma caixa, o enunciado diz que 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 85 
“...cada caixa continha 2 frascos de detergentes a mais no aroma limão do que no aroma coco...” 
Dentro desse universo, uma caixa apenas, poderíamos escrever 
𝑙 = 𝑐 + 2 
No entanto, não podemos colocar essa equação em único sistema com a anterior, pois a anterior 
faz referência a um universo maior, de 10 caixas. 
Vamos, então, adaptar essa informação que faz referência a apenas uma caixa, para que faça 
referência às 10 caixas e, então, poder montar um único sistema para ambas as equações. 
Se em cada caixa temos 2 frascos a mais de detergentes de limão, em 10 caixas teremos uma 
“vantagem” de 2 ∙ 10 = 20 frascos a mais. 
Com essa adaptação, podemos, no mesmo universo de 10 caixas, dizer que 
𝑙 = 𝑐 + 20. 
Agora sim, com a sintonia entre ambas as equações, vamos montar nosso sistema. 
{
𝑙 + 𝑐 = 240
 
𝑙 = 𝑐 + 20
 
Colocando todas as incógnitas no primeiro membro das equações, temos. 
{
𝑙 + 𝑐 = 240
 
𝑙 − 𝑐 = 20 
 
Claro que poderíamos resolver o sistema por substituição, por matrizes ou até por Cramer. No 
entanto, ao perceber que duas equações apresentam a mesma incógnita com sinais opostos, 
por praticidade, faremos a soma das equações do sistema. 
{
𝑙 + 𝑐 = 240
 
𝑙 − 𝑐 = 20 
 
 
{
𝑙 + 𝑐 = 240
+
𝑙 − 𝑐 = 20 
2𝑙 = 260
 
2𝑙
2
=
260
2
 
𝑙 = 130
 
Como o exercício pede, justamente, o número de frascos entregues, no aroma limão, já temos 
nossa resposta. 
Gabarito: c) 
19. (Fuvest/2003) O sistema 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 86 
{
𝒙 + (𝒄 + 𝟏)𝒚 = 𝟎
 
𝒄𝒙 + 𝒚 = −𝟏
 
onde𝒄 ≠ 𝟎, admite uma solução (𝒙, 𝒚) com 𝒙 = 𝟏. Então, o valor de 𝒄 é: 
a) −𝟑 b) −𝟐 c) −𝟏 d) 𝟏 e) 𝟐 
Comentários 
Muito bem, obedeçamos. 
O enunciado disse que 
“O sistema ... admite uma solução (𝑥, 𝑦) com 𝑥 = 1.” 
Então, reescrevamos o sistema com 𝑥 = 1. 
{
𝑥 + (𝑐 + 1)𝑦 = 0
 
𝑐𝑥 + 𝑦 = −1
→ {
1 + (𝑐 + 1)𝑦 = 0
 
𝑐 ∙ 1 + 𝑦 = −1
→ {
1 + (𝑐 + 1)𝑦 = 0
 
𝑐 ∙ 1 + 𝑦 = −1
→ {
(𝑐 + 1)𝑦 = −1
 
𝑐 + 𝑦 = −1
 
O sistema linear que, inicialmente, tinha as incógnitas 𝑥 e 𝑦 com um parâmetro 𝑐 envolvido, nas 
condições dadas, acabou se tornando um sistema não linear com as incógnitas 𝑐 e 𝑦. 
Com o sistema é não linear, não podemos utilizar matrizes para a resolução, mas podemos 
utilizar a substituição. 
 
Quando isolamos uma variável e a substituímos em outra equação, acabamos por calcular o 
valor da variável não isolada primeiro. 
Como muitas vezes, em questões de vestibular, estamos com o tempo contado, é interessante 
trabalhar com esse fator. 
Se a pergunta do exercício for sobre uma das variáveis, isole a outra. Assim você consegue o 
valor da variável solicitada sem ter que fazer uma segunda substituição. 
Mas cuidado, se houver algo que impeça a substituição dessa forma, algum fator complicador, 
ou mesmo confusão na hora de substituir, substitua a que estiver mais à mão. 
Acertar a questão é o objetivo. Ganhar tempo é um bônus nesse momento de aprendizagem. 
 
 
Isolemos, então, a variável 𝑦 na segunda equação e substituamos na primeira equação. 
 
{
(𝑐 + 1)𝑦 = −1
 
𝑦 = −c − 1
→ {
(𝑐 + 1)(−c − 1) = −1
 
𝑦 = −c − 1
→ {
(𝑐 + 1)(−c − 1) = −1
 
𝑦 = −c − 1
→ 
 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 87 
→ {
−c2 − c − c − 1 = −1
 
𝑦 = −c − 1
→ {
−c2 − 2c = 0
 
𝑦 = −c − 1
→ {
c(−𝑐 − 2) = 0 {
𝑐 = 0
−𝑐 − 2 = 0
 
𝑦 = −c − 1
 
 
O enunciado nos advertiu que 𝑐 ≠ 0, então, só temos uma opção. 
 
{
−𝑐 − 2 = 0
 
𝑦 = −c − 1
→ {
−2 = 𝑐
 
𝑦 = −c − 1
 
Já temos nossa resposta, −2 = 𝑐, ou seja, alternativa b). 
Mas eu não me aguento, tenho que calcular o valor de 𝑦 também, senão nem durmo à noite! 
{
−2 = 𝑐
 
𝑦 = −c − 1
→ {
−2 = 𝑐
 
𝑦 = −(−2) − 1
→ {
−2 = 𝑐
 
𝑦 = 1
 
Assim está melhor... 
Gabarito: b) 
20. (Fuvest/2002) Se (𝒙, 𝒚) é solução do sistema 
{
 
 
 
 𝒙 +
𝟏
𝒚
= 𝟏
 
𝒙𝟐 +
𝟏
𝒚𝟐
= 𝟒
 
então 
𝒙
𝒚
 é igual a: 
𝒂) 𝟏 𝒃) − 𝟏 𝒄) 
𝟏
𝟑
 𝒅) −
𝟑
𝟐
 𝒆) −
𝟐
𝟑
 
Comentários 
Perceba que nosso sistema não é linear, entãonão podemos resolvê-lo por matrizes. 
 Podemos, alternativamente, resolvê-lo por substituição, isolando uma variável em uma 
equação e substituindo em outra. 
 No entanto, gostaria de mostrar a você um recurso diferente. Ainda é substituição, mas 
não direta como vimos até aqui. 
 Antes de isolarmos qualquer das incógnitas, perceba que o enunciado não nos pede o 
valor de 𝑥 ou de 𝑦, pede da razão 
𝑥
𝑦
. 
Sendo assim, vamos fazer aparecer 
𝑥
𝑦
 em nosso sistema, elevando a primeira equação ao 
quadrado. 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 88 
Está lembrado do quadrado da soma? Vamos utilizá-lo agora. 
{
 
 
 
 𝑥 +
1
𝑦
= 1
 
𝑥2 +
1
𝑦2
= 4
→
{
 
 
 
 (𝑥 +
1
𝑦
)
2
= 12
 
𝑥2 +
1
𝑦2
= 4
→
{
 
 
 
 𝑥2 + 2 ∙ 𝑥 ∙
1
𝑦
+
1
𝑦2
= 1
 
𝑥2 +
1
𝑦2
= 4
→
{
 
 
 
 𝑥2 + 2 ∙
𝑥
𝑦
+
1
𝑦2
= 1
 
𝑥2 +
1
𝑦2
= 4
 
 
Fizemos essa manobra justamente para que aparecesse, nas equações, o termo que 
procuramos, 
𝑥
𝑦
. 
Perceba que o primeiro membro da segunda equação está todo na primeira equação, o que nos 
permite fazer uma substituição. 
{
 
 
 
 𝑥2 + 2 ∙
𝑥
𝑦
+
1
𝑦2
= 1
 
𝑥2 +
1
𝑦2
= 4
→
{
 
 
 
 2 ∙
𝑥
𝑦
+ 4 = 1
 
𝑥2 +
1
𝑦2
= 4
→
{
 
 
 
 2 ∙
𝑥
𝑦
= 1 − 4
 
𝑥2 +
1
𝑦2
= 4
→
{
 
 
 
 2 ∙
𝑥
𝑦
= −3
 
𝑥2 +
1
𝑦2
= 4
→
{
 
 
 
 
𝑥
𝑦
= −
3
2
 
𝑥2 +
1
𝑦2
= 4
 
E, assim, chegamos ao valor da expressão solicitada no enunciado. 
Gabarito: d) 
21. (Fuvest/2002) Um senhor feudal construiu um fosso, circundado por muros, em 
volta de seu castelo, conforme a planta adiante, com uma ponte para atravessá-lo. 
 
Em um certo dia, ele deu uma volta completa no muro externo, atravessou a ponte e deu 
uma volta completa no muro interno. Esse trajeto foi completado em 𝟓. 𝟑𝟐𝟎 passos. No dia 
seguinte, ele deu duas voltas completas no muro externo, atravessou a ponte e deu uma 
volta completa no muro interno, completando esse novo trajeto em 𝟖. 𝟏𝟐𝟎 passos. Pode-
se concluir que a largura 𝑳 do fosso, em passos, é. 
a) 𝟑𝟔 b) 𝟒𝟎 c) 𝟒𝟒 d) 𝟒𝟖 e) 𝟓𝟎 
Comentários 
Antes de iniciarmos a resolução, vamos estabelecer uma nomenclatura para os lados externo e 
interno do fosso de largura 𝐿. 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 89 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com essa nomenclatura, vamos escrever as informações do enunciado na forma de equações. 
“... uma volta completa no muro externo, atravessou a ponte e deu uma volta completa no muro 
interno...” 
𝑥 + 2𝑙 + 𝑦 + 2𝐿 + 𝑥 + 2𝐿 + 𝑦 + 2𝐿 + 𝐿 + 𝑥 + 𝑦 + 𝑥 + 𝑦 
“Esse trajeto foi completado em 5.320 passos.” 
𝑥 + 2𝑙 + 𝑦 + 2𝐿 + 𝑥 + 2𝐿 + 𝑦 + 2𝐿 + 𝐿 + 𝑥 + 𝑦 + 𝑥 + 𝑦 = 5.320 
4𝑥 + 4𝑦 + 9𝐿 = 5.320 
“...duas voltas completas no muro externo, atravessou a ponte e deu uma volta completa no muro 
interno...” 
2 ∙ (𝑥 + 2𝑙 + 𝑦 + 2𝐿 + 𝑥 + 2𝐿 + 𝑦 + 2𝐿) + 𝐿 + 𝑥 + 𝑦 + 𝑥 + 𝑦 
“...completando esse novo trajeto em 8.120 passos.” 
2 ∙ (𝑥 + 2𝑙 + 𝑦 + 2𝐿 + 𝑥 + 2𝐿 + 𝑦 + 2𝐿) + 𝐿 + 𝑥 + 𝑦 + 𝑥 + 𝑦 = 8.120 
6𝑥 + 6𝑦 + 17𝐿 = 8.120 
Temos, então, duas informações, ou equações, e três incógnitas. No mínimo, um SPI. 
No entanto, não estamos procurando todas as variáveis, pois o enunciado nos pede apenas o 
valor de 𝐿. 
Dessa forma, vamos escrever nosso sistema. 
{
4𝑥 + 4𝑦 + 9𝐿 = 5.320
 
6𝑥 + 6𝑦 + 17𝐿 = 8.120
 
Vamos, então, escrever a matriz completa do sistema e escaloná-la. 
[
4 4 9 5.320
 
6 6 17 8.120
] 
Para conseguirmos 1 na primeira linha e primeira coluna, vamos dividir a primeira linha por 4. 
[
4 4 9 5.320
 
6 6 17 8.120
]
÷ 4
 
 
→ [
1 1
9
4
1.330
 
6 6 17 8.120
] 
x 
y 
x+
2
L 
y+2L 
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Multiplicando a primeira linha por (−6) e somando o resultado à segunda linha. 
 
 
 
[
1 1
9
4
1.330
 
6 6 17 8.120
]
 
 
 
+
∙ (−6)
 
 
→
[
 
 
 
 1 1
9
4
1.330
 
0 0 −6 ∙
9
4
+ 17 −6 ∙ 1.330 + 8.120]
 
 
 
 
→
[
 
 
 
 1 1
9
4
1.330
 
0 0
7
2
140 ]
 
 
 
 
 
Multiplicando a segunda linha por 
2
7
. 
[
 
 
 
 1 1
9
4
1.330
 
0 0
7
2
140 ]
 
 
 
 
 
 
 
∙
2
7
→
[
 
 
 
 1 1
9
4
1.330
 
0 0
7
2
∙
2
7
140 ∙
2
7]
 
 
 
 
→ [
1 1
9
4
1.330
 
0 0 1 40
] 
Matriz escalonada, voltemos à notação de sistema. 
[
1 1
9
4
1.330
 
0 0 1 40
] → {
1𝑥 + 1𝑦 +
9
4
𝐿 = 1.330
 
0𝑥 + 0𝑦 + 1𝐿 = 40
→ {
1𝑥 + 1𝑦 +
9
4
𝐿 = 1.330
 
𝐿 = 40
 
Como temos um sistema linear com grau de liberdade 3 − 2 = 1, não seria possível definirmos 
os valores de 𝑥 e 𝑦 a não ser um em função do outro. 
No entanto, o enunciado nos pediu apenas o valor de 𝐿, que é fixo, 𝐿 = 40. 
Gabarito: b) 
22. (Unesp/1999) Uma pessoa, em seu antigo emprego, trabalhava uma quantidade 𝒙 de 
horas por semana e ganhava 𝑹$ 𝟔𝟎, 𝟎𝟎 pela semana trabalhada. Em seu novo emprego, 
essa pessoa continua ganhando os mesmos 𝑹$ 𝟔𝟎, 𝟎𝟎 por semana. Trabalha, porém, 𝟒 
horas a mais por semana e recebe 𝑹$ 𝟒, 𝟎𝟎 a menos por hora trabalhada. O valor de 𝒙 é 
a) 6. b) 8. c) 10. d) 12. e) 14. 
Comentários 
 O enunciado já estabeleceu que 𝑥 é a quantidade de horas trabalhadas por semana. 
Simbolizemos o valor pago por hora por 𝑝 e coloquemos as informações do enunciado na forma 
de equações. 
... trabalhava uma quantidade 𝒙 de horas por semana e ganhava 𝑹$ 𝟔𝟎, 𝟎𝟎 pela semana 
trabalhada... 
𝑝 ⋅ 𝑥 = 60 
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AULA 06 – SISTEMAS LINEARES 91 
...essa pessoa continua ganhando os mesmos 𝑹$ 𝟔𝟎, 𝟎𝟎 por semana. Trabalha, porém, 𝟒 horas 
a mais por semana e recebe 𝑹$ 𝟒, 𝟎𝟎 a menos por hora trabalhada. 
(𝑝 − 4) ⋅ (𝑥 + 4) = 60 
Com essas duas equações, podemos formar o seguinte sistema. 
{
𝑝 ⋅ 𝑥 = 60
 
(𝑝 − 4) ⋅ (𝑥 + 4) = 60
 
Temos muitos caminhos para resolver esse sistema (que não é linear, pois há multiplicação entre 
as incógnitas), Como o enunciado nos pediu o valor de 𝑥, vamos isolar 𝑝 na primeira equação e 
substituir na segunda. 
Evidentemente, você pode fazer a distribuição do produto da segunda equação antes, isolar 𝑥 
ou 𝑝 em uma ou em outra equação. No entanto, ao isolarmos a incógnita que não estamos 
procurando e fazer a substituição na outra equação, acabamos por encontrar primeiro a incógnita 
que nos interessa. 
Acompanhe. 
{
𝑝 ⋅ 𝑥 = 60
 
(𝑝 − 4) ⋅ (𝑥 + 4) = 60
→ {
𝑝 =
60
𝑥 
(𝑝 − 4) ⋅ (𝑥 + 4) = 60
→
{
 
 
 
 𝑝 =
60
𝑥 
(
60
𝑥
− 4) ⋅ (𝑥 + 4) = 60
→ 
 
→
{
 
 
 
 𝑝 =
60
𝑥 
(
60
𝑥
− 4) ⋅ (𝑥 + 4) = 60
→
{
 
 
 
 𝑝 =
60
𝑥 
60
 𝑥 
⋅ 𝑥 +
60
𝑥
⋅ 4 − 4𝑥 − 4 ⋅ 4 = 60
→ 
 
→
{
 
 
 
 𝑝 =
60
𝑥 
 60 +
240
𝑥
− 4𝑥 − 16 = 60 
→
{
 
 
 
 𝑝 =
60
𝑥 
240
𝑥
− 4𝑥 − 16 = 0
 
 
 
 
⋅ 𝑥
→ 
 
→
{
 
 
 
 𝑝 =
60
𝑥 
240
 𝑥 
⋅ 𝑥 − 4𝑥 ⋅ 𝑥 − 16 ⋅ 𝑥 = 0
→ {
𝑝 =
60
𝑥
 
240 − 4𝑥² − 16𝑥 = 0
 
 
 
 
÷ 4
→ {
𝑝 =
60
𝑥
 
60 − 𝑥² − 4𝑥 = 0
→ 
Vamos resolver a equação quadrática que apareceu na segunda linha e, depois, voltamos ao 
sistema. 
60 − 𝑥² − 4𝑥 = 0 
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Cuidado para não se confundir com os coeficientes. Se você não estiver muito seguro do que 
está fazendo, reescreva a equação com as potências de 𝑥 em ordem decrescente e siga daí. 
−𝑥2 − 4𝑥 + 60 = 0 
∆= 𝑏2 − 4 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐 = (−4)2 − 4 ∙ (−1) ∙ 60 = 16 + 240 = 256 
𝑥 =
−𝑏 ± √∆
2 ⋅ 𝑎
=
−(−4) ± √256
2 ⋅ (−1)
=
{
 
 
 
 𝑥′ =
4 + 16
−2
=
20
−2
= −10 → 
𝑁ã𝑜 𝑠𝑒𝑟𝑣𝑒
𝑛ã𝑜 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑟
ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠
 
𝑥′′ =
4 − 16
−2
=
−12
−2
= 6 
 
Aqui já temos nossa resposta,pois o enunciado nos perguntou justamente o valor de 𝑥. 
Ainda assim, como exercício, resolvamos o sistema até o final. 
{
𝑝 =
60
𝑥
 
60 − 𝑥2 − 4𝑥 = 0
→ {
𝑝 =
60
𝑥
 
𝑥 = 6
→ {
𝑝 =
60
6
 
𝑥 = 6
→ {
𝑝 = 10
 
𝑥 = 6
 
Gabarito: a) 
12. Considerações finais 
Você deve ter percebido que, em algumas situações (como soma de frações, distribuição 
de sinais, soma de expressões a ambos os termos da equação com o posterior cancelamento e 
contas em geral) foram um pouco menos detalhadas nessa aula. Com o desenvolver do curso, 
é natural que isso ocorra e o fundamento é irmos desenvolvendo autonomia nas partes mais 
básicas e deixando os comentários para as partes mais críticas do assunto estudado. 
Nem por isso os exercícios deixam de ser detalhados. Se ficou com dúvidas em qualquer 
passo da resolução ou da teoria, poste sua dúvida que estamos aqui para ajudar você a alcançar 
a aprovação. 
Um grande abraço e bons estudos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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