Aula_10_-_Sistemas_Lineares_-_UNESP_2024_enemconcursosgaucheallfree

Prévia do material em texto

ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 1
UNESP 
Prof. Andrew Cazé 
Aula 10 – Sistemas Lineares. 
vestibulares.estrategia.com 
EXTENSIVO 
2024 
Exasi
u
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 2 
 
SUMÁRIO 
INTRODUÇÃO 4 
1. EQUAÇÃO LINEAR 5 
1.1. Solução de uma equação linear 5 
2. SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES 7 
2.1. Solução de um sistema linear 7 
3. REPRESENTAÇÃO MATRICIAL DE UM SISTEMA LINEAR 9 
3.1. Matriz incompleta de um sistema linear 10 
3.2. Matriz completa de um sistema linear 10 
3.3. Equações equivalentes 10 
3.4. Combinação linear de equações 11 
3.5. Matrizes equivalentes de um sistema linear 12 
4. ESCALONAMENTO 13 
4.1. Sistema escalonado 13 
4.2. Matriz escalonada de um sistema 14 
4.3. Escalonamento de uma matriz 15 
4.4. Posto ou Característica da matriz escalonada 16 
5. MÉTODOS DE RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR 17 
5.1. Substituição de variáveis 17 
5.2. Soma de equações no próprio sistema 19 
5.3. Resolução por escalonamento 21 
5.4. Teorema de Cramer 25 
6. TIPOS DE SISTEMAS LINEARES 30 
6.1. Sistema Possível Determinado (SPD) 31 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 3 
6.2. Sistema Possível Indeterminado (SPI) 31 
6.2.1. Grau de liberdade 31 
6.3. Sistema Impossível 32 
7. DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR 32 
7.1. Discussão de um Sistema Linear Através do Teorema de Cramer 33 
7.2. Discussão de um Sistema Linear Através do Escalonamento 36 
7.2.1 Sistema Impossível 37 
7.2.2 Sistema possível e determinado 37 
7.2.2 Sistema possível e indeterminado 37 
7.3. Sistema linear homogêneo e a solução trivial 39 
7.4. Sistema linear homogêneo e a solução não trivial 40 
8. QUESTÕES DE PROVAS ANTERIORES 42 
9. GABARITO 55 
10. QUESTÕES RESOLVIDAS E COMENTADAS 56 
11. CONSIDERAÇÕES FINAIS 112 
12. VERSÕES DAS AULAS 112 
 
 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 4 
Introdução 
 
Olá, estrategista! 
Nesta aula, veremos como resolver e discutir um sistema linear. 
Precisaremos desse conteúdo em vários outros pontos do curso, então faça a aula no 
seu ritmo, mas não negligencie a ferramenta. A parte teórica da aula é focada nos sistemas em 
si, deixando para que os próprios exercícios resolvidos deem uma ideia da vastidão do campo 
de aplicações e de contextualizações possíveis. 
Nossa última aula foi sobre operações com matrizes e esse conhecimento é vital para a 
presente aula. Portanto, se você ainda não fez a aula referente às matrizes, recomendo 
veementemente que a faça antes de prosseguir. Indico fazer uma leitura da parte teórica para 
absorver (ou revisar, caso você já conheça o assunto) a nomenclatura específica e as técnicas 
utilizadas. 
Após a leitura da teoria, se você já tem amplitude com o tema, faça a lista de exercícios 
por sua conta e, depois, confira o gabarito e a proposta de solução. 
A resolução apresentada na aula é uma parte importante da passagem de 
conhecimento, pois, nela, podemos conversar sobre técnicas de resolução de exercícios que 
seriam impertinentes ao texto teórico. 
Se precisar de ajuda com elas, poste-as no fórum. Estamos aqui para auxiliá-lo. 
Vamos lá! 
 
 
 
 
 
 
Boa aula! 
t.me/CursosDesignTelegramhub
https://www.instagram.com/professorcaze
https://www.t.me/professorcaze
https://www.youtube.com/c/ProfessorCazé
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 5 
1. Equação linear 
Genericamente, podemos representar uma equação linear por 
𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 + 𝑎3𝑥3 +⋯+ 𝑎𝑛𝑥𝑛 = 𝑘, 
onde 
 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3…𝑎𝑛 → 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 𝑛ã𝑜 𝑛𝑢𝑙𝑜𝑠 
 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3…𝑥𝑛 → 𝑖𝑛𝑐ó𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 
𝑘 → 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒 (𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒) 
Inicialmente, podemos ter várias incógnitas em uma mesma equação, não há limite para 
essa quantidade. Vejamos a equação com 3 incógnitas a seguir: 
𝒙 + 2𝒚 − 3𝒛 = 12 
Nessa equação, 𝑥, 𝑦 e 𝑧 são incógnitas e 12 é o termo independente, enquanto 1, 2 e −3 
são coeficientes. 
Perceba que o expoente de todas as incógnitas é 1 e não há produto entre incógnitas. 
Nessas condições, dizemos que a equação é linear. 
Caso haja produto entre incógnitas ou ainda expoente de alguma delas diferente de 1, 
diremos que a equação é não-linear. 
𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 12 → 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 
𝑥 ∙ 𝑦 + 𝑧 = 8 → 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑛ã𝑜 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 
𝑥2 + 𝑦 + 𝑧 = 8 → 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑛ã𝑜 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 
𝑥 − 𝑦 + 5𝑧 = 0 → 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 ℎ𝑜𝑚𝑜𝑔ê𝑛𝑒𝑎 
 
Um sistema linear homogêneo é aquele composto apenas por equações lineares 
homogêneas, ou seja, equações cujo termo independente é igual a zero. 
Todo sistema linear homogêneo admite pelo menos uma solução: a solução nula, também 
chamada de solução trivial. 
Estudaremos melhor esse tipo de sistema no decorrer da aula. 
 
1.1. Solução de uma equação linear 
A solução de uma equação linear é apresentada na forma de um conjunto com tantos 
elementos quantas incógnitas na equação. 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 6 
Para maior praticidade, é comum substituirmos a notação completa da solução por um 
conjunto de elementos numéricos ordenados simbolizando cada um uma incógnita. 
Esta ordem se dá, preferencialmente, na ordem em que as incógnitas são ordenadas em 
colunas, da esquerda para a direita. Neste exemplo, na ordem, (𝑥, 𝑦, 𝑧). 
𝑥 = 17
 
𝑦 = 2
 
𝑧 = 3 }
 
 
 
 
(17,2,3) 
Para a equação linear do item anterior, veja o que acontece quando substituímos os 
elementos do conjunto (17,2,3) nos valores de (𝑥, 𝑦, 𝑧). 
𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 12 
17 + 2 ∙ 2 − 3 ∙ 3 = 12 
17 + 4 − 9 = 12 
12 = 12 → 𝑉𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒 
Dessa forma, dizemos que a terna (17,2,3) é solução da equação 𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 12. 
Mas cuidado, nem toda equação tem solução única. 
Na verdade, nossa equação de exemplo tem infinitas soluções, veja alguns exemplos: 
(23,5,7); 
(10,
3
2
 ,
1
3
) 𝑒 
(0,1, −
10
3
) 
Os três conjuntos acima, quando substituídos na equação linear, retornarão igualdades 
verdadeiras. 
Entretanto, nem todo conjunto retornará uma igualdade válida, testemos a terna (1,2,3): 
𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 12 
1 + 2 ∙ 2 − 3 ∙ 3 = 12 
1 + 4 − 9 = 12 
−4 = 12 → 𝐹𝑎𝑙𝑠𝑜 
Dessa forma, podemos afirmar que (23,5,7), (10,
3
2
,
1
3
) e (0,1, −
10
3
) são soluções da 
equação 𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 12 e que (1,2,3) não é solução. 
 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 7 
 
A solução de um sistema linear é um conjunto de valores que satisfaz ao mesmo 
tempo todas as equações do sistema linear. 
 
2. Sistema de equações lineares 
Agora que sabemos o que é uma equação linear, podemos entender o que é um sistema 
de equações lineares, também chamado de sistema linear. 
O sistema é um conjunto de equações que devem ser satisfeitas simultaneamente. Para 
simbolizar quais equações devem ser tratadas de modo simultâneo, colocamos uma chave do 
lado esquerdo do conjunto. 
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑤 = 0
 
𝑥 ∙ 𝑦 = 1
 
O sistema anterior possui duas equações e quatro incógnitas. A primeira equação é 
linear e a segunda, não. Por esse motivo, o sistema é dito não linear. 
Para que um sistema seja considerado linear, todas as suas equações devem ser 
lineares, como no caso seguinte. 
{
𝑥 ∙ cos (
𝜋
2
) − 𝑦 ∙ sen(𝜋) = 0
 
𝑥 − 𝑦 = 1
 
 
 
Note que temos um sistema linear. 
Os valores do cosseno e do seno, presentes no sistema, são valores constantes, 
portanto, não alteram a linearidade do sistema. 
Você, inclusive, deve saber quais são esses valores de memória. 
Se não sabe, pode ser uma boa hora para revisar. 
2.1. Solução de um sistema linear 
O sistema linear tem um conjunto solução da mesma forma que a equação linear. 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES.8 
A diferença é que o conjunto solução deve tornar verdadeira não só uma, mas todas as 
equações do sistema. 
Vejamos um exemplo. 
{
 
 
 
 
𝑥 + 𝑦 = 1
 
𝑦 + 𝑧 = 2
 
𝑥 + 𝑧 = 3
 
 
Nosso sistema linear tem 3 equações e 3 incógnitas. Vejamos quais das ternas a seguir 
podem ser consideradas solução. 
Terna (𝒙, 𝒚, 𝒛) 𝒙 + 𝒚 = 𝟏 𝒚 + 𝒛 = 𝟐 𝒙 + 𝒛 = 𝟑 
(0,1,1) 0 + 1 = 1 √ 1 + 1 = 2 √ 0 + 1 = 3 Χ 
(1,1,1) 1 + 1 = 1 Χ 1 + 1 = 2 √ 1 + 1 = 3 Χ 
(0,0,1) 0 + 0 = 1 Χ 0 + 1 = 2 Χ 0 + 1 = 3 Χ 
(2,0,1) 2 + 0 = 1 Χ 0 + 1 = 2 Χ 2 + 1 = 3 √ 
(1,2,0) 1 + 2 = 1 Χ 2 + 0 = 2 √ 1 + 0 = 3 Χ 
(1,1,2) 1 + 1 = 1 Χ 1 + 2 = 2 Χ 1 + 2 = 3 √ 
(1,0,2) 1 + 0 = 1 √ 0 + 2 = 2 √ 1 + 2 = 3 √ 
Pelo que podemos ver na tabela, algumas ternas não satisfazem a equação alguma, 
outras satisfazem apenas uma ou apenas duas equações. Dos exemplos da tabela, apenas a 
terna 
(1,0,2) satisfez a todas as equações do sistema, portanto dizemos que ela é uma solução do 
sistema linear. Mais tarde aprenderemos não só a encontrar a terna solução desse sistema 
como teremos condições de dizer se esta é única ou se existem outras soluções. 
Existem, também, sistemas que não apresentam solução alguma, são os ditos sistemas 
impossíveis. Aprofundaremos mais tarde, mas vejamos um exemplo: 
{
𝑥 + 𝑦 = 1
 
𝑥 + 𝑦 = 2
 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 9 
Mesmo que não tenhamos estudado como solucionar um sistema ainda, podemos 
perceber que não existem dois números 𝑥 e 𝑦 cuja soma dê 1 e 2 simultaneamente. Assim, 
este sistema é impossível. 
 
3. Representação matricial de um sistema linear 
Tomemos como base o seguinte sistema linear: 
{
 
 
 
 
1 ∙ 𝑥 + 2 ∙ 𝑦 + 3 ∙ 𝑧 = 2
 
4 ∙ 𝑥 + 7 ∙ 𝑦 + 2 ∙ 𝑧 = 4
 
3 ∙ 𝑥 + 1 ∙ 𝑦 + 1 ∙ 𝑧 = 5
 
Podemos transformar as equações em uma igualdade de matrizes: 
[
1 ∙ 𝑥 + 2 ∙ 𝑦 + 3 ∙ 𝑧
4 ∙ 𝑥 + 7 ∙ 𝑦 + 2 ∙ 𝑧
3 ∙ 𝑥 + 1 ∙ 𝑦 + 1 ∙ 𝑧
] = [
2
4
5
] 
Note que na primeira matriz temos multiplicações. Como as variáveis são as mesmas, 
podemos transformar a primeira matriz em uma multiplicação de matrizes, da seguinte forma: 
[
1 2 3
4 7 2
3 1 1
] ∙ [
𝑥
𝑦
𝑧
] = [
2
4
5
] 
Perceba que, efetuando a multiplicação de matrizes e, em seguida, igualando com a 
matriz de termos independentes, retornaremos ao sistema linear inicial, pois o produto é 
possível.1 
 
Assim, podemos tanto representar um sistema linear por meio de suas equações quanto por 
meio de uma equação matricial do tipo 
 
𝑨 ∙ 𝑿 = 𝑩 
 
1 Caso não se lembre da condição para que duas matrizes possam ser multiplicadas, talvez seja uma ótima hora para uma 
revisão! 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 10 
3.1. Matriz incompleta de um sistema linear 
Chamaremos de matriz incompleta de um sistema linear a matriz 𝐴 formada pelos 
coeficientes de todas as equações do sistema. Usaremos o sistema do exemplo anterior: 
{
 
 
 
 
1 ∙ 𝑥 + 2 ∙ 𝑦 + 3 ∙ 𝑧 = 2
 
4 ∙ 𝑥 + 7 ∙ 𝑦 + 2 ∙ 𝑧 = 4
 
3 ∙ 𝑥 + 1 ∙ 𝑦 + 1 ∙ 𝑧 = 5
 
A matriz incompleta do sistema é 
𝐴 = [
1 2 3
4 7 2
3 1 1
] 
A matriz 𝐴 é chamada de incompleta por não conter os valores dos termos 
independentes do sistema, não carregando, portanto, informação suficiente para inferirmos, só 
a partir dela, o sistema todo. 
3.2. Matriz completa de um sistema linear 
A matriz completa 𝐶 de um sistema linear traz tanto os coeficientes das equações 
quanto os termos independentes. 
{
 
 
 
 
1 ∙ 𝑥 + 2 ∙ 𝑦 + 3 ∙ 𝑧 = 2
 
4 ∙ 𝑥 + 7 ∙ 𝑦 + 2 ∙ 𝑧 = 4
 
3 ∙ 𝑥 + 1 ∙ 𝑦 + 1 ∙ 𝑧 = 5
 
 
𝐶 = [
1 2 3 2
4 7 2 4
3 1 1 5
] 
3.3. Equações equivalentes 
Sempre que tivermos uma equação linear sendo resultado da multiplicação de outra 
equação linear por uma constante (diferente de zero), essas equações apresentarão 
exatamente a mesma informação, portanto, serão equivalentes. 
Veja, por exemplo, as duas equações do sistema a seguir. 
{
𝑥 + 𝑦 = 6
 
2𝑥 + 2𝑦 = 12
 
As soluções (2,4) e (0,6), por exemplo, são soluções de ambas as equações. 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 11 
Porém, para o sistema em questão, qualquer solução que encontremos para a primeira 
equação será, também, solução da segunda, pois ambas trazem a mesma informação acerca 
das variáveis, são equivalentes. 
Olhando com atenção para as equações do sistema, podemos perceber que a segunda 
equação tem seus termos, um a um, correspondentes ao dobro dos termos da primeira 
equação. 
{
𝑥 + 𝑦 = 6
 
2𝑥 + 2𝑦 = 12
 
Utilizaremos esse mesmo fato para simplificar equações equivalentes nos próximos 
tópicos. 
3.4. Combinação linear de equações 
As equações equivalentes são proporcionais entre si e há uma correspondência entre 
elas por meio de uma constante. 
No entanto, uma equação, mesmo que não equivalente a outra de um sistema, pode não 
trazer uma informação nova, pois tudo o que ela “informa” já está contido nas outras equações 
do sistema. 
Vejamos um caso prático. 
{
 
 
 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10
 
2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 17
 
3𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 27
 
Embora a terceira equação do sistema não seja equivalente a nenhuma das outras, ela 
não traz informação nova ao sistema. 
No próximo tópico veremos um método para retirar de um sistema as equações “inúteis”. 
Por enquanto, podemos ver um indício disso ao perceber que a terceira equação é a soma das 
outras duas, veja. 
{
 
 
 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10
 
2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 17
 
3𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 27
 
Na aula sobre matrizes, estudamos quando uma fila era combinação linear de outras, 
lembra? 
 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 12 
Pois é, aqui é exatamente a mesma coisa. Uma equação é “inútil” em um sistema se ela 
é uma combinação linear de outras. 
Poderíamos então, sem perda de informação ou generalidade, reescrever o sistema sem 
essa equação “inútil”. 
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10
 
2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 17
 
E teríamos, exatamente, o mesmo conjunto solução que o sistema de onde partimos. 
Vejamos, agora, um método para descobrir essas tais equações “inúteis” em um sistema 
para podermos eliminá-las e reescrevermos nossos sistemas de forma mais objetiva. 
3.5. Matrizes equivalentes de um sistema linear 
Recapitulando. 
Vimos que um sistema linear pode ser representado por um produto de matrizes e 
tivemos contato tanto com a matriz incompleta quanto com a matriz completa do sistema. 
Vimos também que há equações equivalentes entre si e equações que são combinações 
lineares de outras. 
De posse dessas duas informações, podemos elaborar o seguinte raciocínio. 
Um sistema linear pode ser equivalente a outro, desde que suas equações sejam 
equivalentes entre si. 
 Vejamos o exemplo em que todas as equações do segundo sistema são o dobro 
das equações do primeiro. 
{
 
 
 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10
 
2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 17
 
3𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 27
→ 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 →
{
 
 
 
 
2𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 20
 
4𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 = 34
 
6𝑥 + 4𝑦 + 6𝑧 = 54
 
 
As matrizes completas (as que incluem os termos independentes) desses sistemas são: 
[
1 1 1 10
2 1 2 17
3 2 3 27
] → 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 → [
2 2 2 20
4 2 4 34
6 4 6 54
]. 
Vimos no item anterior que a terceira equação desse sistema, por ser a soma das duas 
equações anteriores, pode ser excluída do rol sem prejuízo para o sistema. 
[
1 1 1 10
2 1 2 17
] → 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 → [
2 2 2 20
4 2 4 34
6 4 6 54
] 
Voltando à representação clássica do sistema, essas matrizes representam 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 13 
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10
 
2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 17
→ 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 →
{
 
 
 
 
2𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 20
 
4𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 = 34
 
6𝑥 + 4𝑦 + 6𝑧 = 54
 
Portanto, podemos ter dois sistemas com escritas diferentes, com representações 
matriciais diferentes, e, ainda assim, seremequivalentes. 
Vamos, então, aprender a reduzir a matriz de um sistema, até quando possível, para que 
trabalhemos com os sistemas escritos de forma clara e concisa. 
 
4. Escalonamento 
4.1. Sistema escalonado 
Um sistema escalonado é um sistema equivalente ao inicial, porém com a característica 
de ter um formato peculiar, de escada (ou de degraus como alguns preferem). 
Em um sistema escalonado, a cada linha que avançamos, temos um número crescente 
de zeros (que podem estar escritos ou não) nas primeiras posições. Ao chegar à última linha, 
percebemos no sistema um formato indentado, de degraus, de escada, por isso o nome 
“escalonado”. 
Veja dois sistemas equivalentes. O primeiro, nosso ponto de partida, um sistema 
qualquer. O segundo e o terceiro, equivalentes ao primeiro, porém escalonados. 
{
 
 
 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
 
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 7
 
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 8
→ 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 →
{
 
 
 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
 
0𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 5
 
0𝑥 + 0𝑦 + 𝑧 = 1
→ 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 →
{
 
 
 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
 
 𝑦 + 3𝑧 = 5
 
 𝑧 = 1
 
O sistema escalonado apresenta vantagens com relação ao não escalonado, 
principalmente no tocante à resolução. Perceba que uma das incógnitas, na versão 
escalonada, nem está tão incógnita assim, pois, ao analisarmos a última linha do sistema, o 
valor está explícito. 
Outra vantagem de se escalonar um sistema é que as eventuais equações “inúteis” 
acabam sendo eliminadas naturalmente. 
Ao escalonar um sistema, as equações “inúteis” são transformadas em linhas nulas, 
onde todos os coeficientes e o termo independentes são iguais a zero. Dessa forma, a equação 
pode ser eliminada do sistema. 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 14 
Para fins de escalonamento, consideramos apenas os zeros à esquerda. A partir da 
ocorrência de algum coeficiente diferente de zero, os próximos, à direita deste, não serão zeros 
de escalonamento, ok? 
 
4.2. Matriz escalonada de um sistema 
Do mesmo modo que temos um sistema escalonado, podemos falar em matriz 
escalonada, visto que podemos representar o sistema por meio de uma matriz. 
 
Utilizaremos a matriz completa do sistema, assim podemos chegar a conclusões importantes 
ao fim do processo, o que não conseguiríamos caso trabalhássemos com a matriz incompleta. 
A título de comparação, vejamos o sistema anterior, original e escalonado, e suas 
respectivas matrizes. 
{
 
 
 
 
𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟔
 
𝟐𝒙 + 𝒚 − 𝒛 = 𝟕
 
𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝒛 = 𝟖
 
 𝑺𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂 𝒐𝒓𝒊𝒈𝒊𝒏𝒂𝒍
→
{
 
 
 
 
𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟔
 
 𝒚 + 𝟑𝒛 = 𝟓
 
 𝒛 = 𝟏 
 𝑺𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂 𝒆𝒔𝒄𝒂𝒍𝒐𝒏𝒂𝒅𝒐
 
 
[
𝟏 𝟏 𝟏 𝟔
𝟐 𝟏 −𝟏 𝟕
𝟏 𝟐 𝟏 𝟖
]
 
𝑴𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛 𝒐𝒓𝒊𝒈𝒊𝒏𝒂𝒍
→
[
𝟏 𝟏 𝟏 𝟔
𝟎 𝟏 𝟑 𝟓
𝟎 𝟎 𝟏 𝟏
]
 
𝑴𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛 𝒆𝒔𝒄𝒂𝒍𝒐𝒏𝒂𝒅𝒂
 
Veja o formato de escada que aparece na matriz escalonada quando isolamos os 
zeros à esquerda. 
[
 
 
 
 
𝟏 𝟏 𝟏 𝟔
 
𝟎 𝟏 𝟑 𝟓
 
𝟎 𝟎 𝟏 𝟏]
 
 
 
 
 
 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 15 
4.3. Escalonamento de uma matriz 
Partindo de uma matriz qualquer, podemos escaloná-la por meio de combinações 
lineares, que vimos na aula sobre matrizes. 
 
De modo prático, há 3 operações principais para escalonarmos uma matriz: 
 
 
 
Quando efetuamos a operação 1) o determinante desta muda de sinal. No entanto, isso não 
afeta a resolução de um sistema, os valores das incógnitas continuam os mesmos. 
Na operação 2, o determinante da matriz fica multiplicado (ou dividido) por essa mesma 
constante. Novamente, isso não afeta o valor das incógnitas. 
A operação 3) é, na prática, uma combinação linear. 
Vamos à prática, escalonemos a matriz a seguir. 
𝐴 = [
1 1 1 6
2 1 −1 7
1 2 1 8
] 
Escolhemos, de início, uma linha que não tenha zero na primeira incógnita. Como a 
matriz 𝐴 já apresenta essa condição, continuemos. 
Precisamos, então, induzir as primeiras posições de todas as outras linhas terem 0 nas 
primeiras posições. 
Para conseguir 0 na primeira posição da segunda linha, multiplicaremos a primeira linha 
por (−2) e somaremos à própria segunda linha. 
1)
• Trocar duas linhas de posição
2)
• Multiplicar (ou dividir) uma linha qualquer por uma constante
3)
• Substituir uma linha pela soma dela própria com outra qualquer 
(multiplicada ou não por uma constante)
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 16 
Para conseguir 0 na primeira posição da terceira linha, multiplicaremos a primeira linha 
por (−1) e somaremos à própria terceira linha. 
Podemos fazer ambos os passos de forma simultânea, acompanhe. 
[
 
 
 
 
1 1 1 6
 
2 1 −1 7
 
1 2 1 8]
 
 
 
 
 
 
 
+
 
+
 
∙ (−2)
 
 
 
 
 
∙ (−1)
 
 
 
 
→
[
 
 
 
 
1 1 1 6
 
0 −1 −3 −5
 
0 1 0 2 ]
 
 
 
 
 
Agora, precisamos colocar outro zero na terceira linha, segunda coluna. 
Para isso, manteremos a segunda linha (equivalente a multiplicar por 1) e somaremos à 
própria terceira linha. 
[
 
 
 
 
1 1 1 6
 
0 −1 −3 −5
 
0 1 0 2 ]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
+
 
 
 ∙ (1) 
→
[
 
 
 
 
1 1 1 6
 
0 −1 −3 −5
 
0 0 −3 −3]
 
 
 
 
 
Em tese, a matriz já foi escalonada. No entanto, para facilitar nossos cálculos futuros, 
vamos multiplicar a segunda linha por −1 e dividir a terceira linha por −3. 
[
 
 
 
 
1 1 1 6
 
0 −1 −3 −5
 
0 0 −3 −3]
 
 
 
 
 
 
 
 
∙ (−1)
 
÷ (−3)
 →
[
 
 
 
 
1 1 1 6
 
0 1 3 5
 
0 0 1 1]
 
 
 
 
 
E, finalmente, chegamos a nossa matriz escalonada (e simplificada). 
 
4.4. Posto ou Característica da matriz escalonada 
A característica da matriz escalonada é o número de linhas não nulas dessa matriz. 
Representamos essa característica da matriz 𝐴 por 𝜌(𝐴). 
Dessa forma, temos. 
𝐴 = [
1 1 1 6
0 1 3 5
0 0 1 1
] → 𝜌(𝐴) = 3 
𝐵 = [
1 1 1 10
0 1 0 3
0 0 0 0
] → 𝜌(𝐴) = 2 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 17 
𝐶 =
[
 
 
 
 
 
7 1 4 10
0 1 0 2
0 0 1 5
0 0 0 3
0 0 0 0
0 0 0 0 ]
 
 
 
 
 
→ 𝜌(𝐴) = 4 
Sempre que uma linha for combinação linear de outras ou ainda, produto de outra linha 
por uma constante, teremos uma redução do posto da matriz, pois se trata, como dissemos 
antes, de uma linha “inútil”. 
 
5. Métodos de resolução de um sistema linear 
De agora em diante, durante todo o nosso curso, resolveremos os sistemas que 
aparecerem de uma das quatro formas: soma de equações, substituição de variáveis, por 
escalonamento ou pelo teorema de Cramer. 
 
5.1. Substituição de variáveis 
Essa técnica já nos é familiar e bastante útil. Consiste em isolar uma variável de uma 
equação e substituí-la em outra. Veja um exemplo. 
{
𝑥 + 𝑦 = 5
 
2𝑥 − 𝑦 = 4
 
Podemos isolar o 𝑥 na primeira equação, subtraindo 𝑦 de ambos os membros. 
{
𝑥 + 𝑦 − 𝑦 = 5 − 𝑦
 
2𝑥 − 𝑦 = 4
 
Soma de Equações
Substituição de variáveis
Por Escalonamento
Teorema de Cramer
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 18 
{
𝑥 = 5 − 𝑦
 
2𝑥 − 𝑦 = 4
 
 Agora que isolamos 𝑥 na primeira equação, façamos a substituição na segunda 
equação. 
2𝑥 − 𝑦 = 4 
2(5 − 𝑦) − 𝑦 = 4 
Distribuindo o 2. 
2(5 − 𝑦) − 𝑦 = 4 
10 − 2𝑦 − 𝑦 = 4 
10 − 3𝑦 = 4 
Somando a expressão 3𝑦 − 4 a ambos os membros da equação. 
10 − 3𝑦 + 3𝑦 − 4 = 4 + 3𝑦 − 4 
10 − 4 = 3𝑦 
6 = 3𝑦 
Dividindo ambos os membros por 3. 
6
3
=
3𝑦
3
 
2 = 𝑦 
Vamos devolver essa informação ao nosso sistema. 
{
𝑥 = 5 − 𝑦
 
𝑦 = 2
 
Podemos, assim, substituir o valor de 𝑦 na primeira equação. 
{
𝑥 = 5 − 2
 
𝑦 = 2
 
{
𝑥 = 3
 
𝑦 = 2
 
E, assim, chegamos à solução do nosso sistema. Podemos, também, enunciar nossa 
solução em forma de par ordenado (3,2). 
Uma nota importante é que, em sistemas muito grandes, com várias variáveis, pode ser 
muito demorada a resoluçãopor substituição, então estudaremos outras técnicas mais 
adequadas ao caso. 
 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 19 
5.2. Soma de equações no próprio sistema 
A condição mais propícia para utilizar o método da soma de equações em um sistema é 
ter pelo menos uma incógnita com coeficiente de mesmo módulo e de sinais opostos em 
duas equações distintas. Veja um exemplo. 
{
𝑥 + 𝑦 = 7
 
𝑥 − 𝑦 = 1
 
Perceba que, se somarmos ambas as equações, a incógnita 𝑦 será anulada, facilitando 
o cálculo da incógnita 𝑥. 
{
𝑥 + 𝑦 = 7
+
𝑥 − 𝑦 = 1
2𝑥 = 8
 
2𝑥
2
=
8
2 
𝑥 = 4
 
Para calcularmos o valor da incógnita 𝑦, basta substituirmos o valor de 𝑥 = 4 em 
qualquer das equações do sistema. Vamos substituir na primeira equação do sistema original. 
𝑥 + 𝑦 = 7 
4 + 𝑦 = 7 
𝑦 = 7 − 4 
𝑦 = 3 
Assim, nossa resposta ao sistema será 
{
𝑥 = 4
 
𝑦 = 3
 
De modo geral, quando os coeficientes são distintos e temos muitas incógnitas, o 
método acaba não sendo viável e preferimos o escalonamento. 
Vejamos algumas questões: 
1. (Unicamp 2020) Em uma família, cada filha tem o mesmo número de irmãs e 
irmãos, e cada filho tem um número de irmãs igual ao dobro do número de irmãos. O 
número total de filhos e filhas dessa família é igual a 
a) 11. b) 9. c) 7. d) 5. 
Comentários: 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 20 
Para uma filha, podemos dizer que o número de irmãs, sendo 𝐴 o número de filhas, é dado por 
𝐴 − 1, pois uma filha não é considerada irmã de si mesma. 
Já o número de irmãos de uma filha, sendo 𝑂 o número de filhos, é dado por 𝑂 mesmo. 
Já para um filho, o número de irmãos é igual a 𝑂 − 1 pelo mesmo motivo citado anteriormente. 
O número de irmãs de um filho é igual a 𝐴. 
Dessa forma, pelo enunciado, podemos montar o seguinte sistema de equações: 
{
𝐴 − 1 = 𝑂
 
2 ⋅ (𝑂 − 1) = 𝐴
 → {
𝐴 − 1 = 𝑂
 
2 ⋅ 𝑂 − 2 = 𝐴
→ {
𝐴 − 𝑂 = 1
 
−𝐴 + 2 ⋅ 𝑂 = 2
→ {
𝐴 − 𝑂 = 1
 
𝑂 = 3
→ {
𝐴 = 4
 
𝑂 = 3
 
De posse do número de filhos 𝑂 e de filhas 𝐴, a soma é dada por: 
𝐴 + 𝑂 = 4 + 3 = 7 
Gabarito: c) 
2. (FUVEST/2021) Uma treinadora de basquete aplica o seguinte sistema de 
pontuação em seus treinos de arremesso à cesta: cada jogadora recebe 5 pontos por 
arremesso acertado e perde 2 pontos por arremesso errado. Ao fim de 50 arremessos, 
uma das jogadoras contabilizou 124 pontos. Qual é a diferença entre as quantidades de 
arremessos acertados e errados dessa jogadora? 
(A) 12 
(B) 14 
(c) 16 
(D) 18 
(E) 20 
Comentários: 
Traduzindo algebricamente, as informações do enunciado, temos: 
“(…) cada jogadora recebe 5 pontos por arremesso acertado e perde 2 pontos por 
arremesso errado. (…) uma das jogadoras contabilizou 124 pontos (…)” 
𝟓𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟏𝟐𝟒 
“Ao fim de 50 arremessos” 
𝒙 + 𝒚 = 𝟓𝟎 
 
Assim, temos um Sistema com duas equações e duas variáveis. 
{
5𝑥 − 2𝑦 = 124
𝑥 + 𝑦 = 50
 
Resolvendo o Sistema, obtemos: 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 21 
𝒙 = 𝟑𝟐 
𝒚 = 𝟏𝟖 
Dessa forma, a diferença entre as quantidades de arremessos acertados e errados dessa 
jogadora será dado por: 
𝒙 − 𝒚 = 𝟑𝟐 − 𝟏𝟖 = 𝟏𝟒 
Gabarito: b) 
5.3. Resolução por escalonamento 
O que faremos aqui é utilizar as informações sobre escalonamento de matrizes, 
associadas à substituição que acabamos de rever, para resolver sistemas lineares. 
Vejamos o processo completo com sistemas e equações já usados até agora. 
O sistema 
{
 
 
 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
 
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 7
 
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 8
 
pode ser representado por esta matriz 
[
1 1 1 6
2 1 −1 7
1 2 1 8
] 
que, quando escalonada, retorna 
[
1 1 1 6
0 1 3 5
0 0 1 1
]. 
Essa matriz escalonada, pode ser novamente reescrita como um sistema, equivalente 
ao primeiro. 
{
 
 
 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
 
 𝑦 + 3𝑧 = 5
 
 𝑧 = 1
 
A partir desse ponto, podemos usar a substituição, de baixo para cima, e ir descobrindo 
o valor de nossas incógnitas. 
{
 
 
 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
 
 𝑦 + 3𝑧 = 5
 
 𝑧 = 1
 →
{
 
 
 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
 
 𝑦 + 3 ∙ 1 = 5
 
 𝑧 = 1
→
{
 
 
 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
 
 𝑦 = 5 − 3
 
 𝑧 = 1
→
{
 
 
 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
 
 𝑦 = 2
 
 𝑧 = 1
 
 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 22 
E, assim, substituir o valor das incógnitas 𝑧 e 𝑦, já conhecidas, na primeira equação. 
 
{
 
 
 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
 
 𝑦 = 2
 
 𝑧 = 1
 →
{
 
 
 
 
𝑥 + 2 + 1 = 6
 
 𝑦 = 2
 
 𝑧 = 1
→
{
 
 
 
 
 𝑥 = 6 − 3
 
 𝑦 = 2
 
 𝑧 = 1
→
{
 
 
 
 
 𝑥 = 3
 
 𝑦 = 2
 
 𝑧 = 1
 
 
Conciliando as duas técnicas, escalonamento e substituição, conseguimos resolver o 
sistema linear. 
Podemos expressar o conjunto solução como (3,2,1) e lembre-se, a solução é um 
conjunto ordenado, portanto, (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (3,2,1). 
 
Muitos autores apresentam o escalonamento do próprio sistema, ao invés de escrevê-lo na 
forma matricial. 
Como um sistema pode ser representado por uma matriz e vice-versa, não há problema em 
fazer o escalonamento diretamente no sistema. 
Por organização, daremos preferência no curso à versão matricial. 
 
Vejamos outro exemplo 
O sistema 
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10
 
2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 17
 
pode ser representado por esta matriz 
[
1 1 1 10
2 1 2 17
]. 
Para escaloná-la, precisamos transformar o elemento 𝑎21 em 0. Para isso, vamos 
substituir a segunda linha 𝐿2 pela soma dela mesma com o produto de a primeira linha por −2. 
Acompanhe. 
[
1 1 1 10
 
2 1 2 17
] 
 
 
+
 
∙ (−2)
 
 
 → [
1 1 1 10
 
0 −1 0 −3
] 
 
Apesar de não ser um passo obrigatório, vamos multiplicar a segunda linha 𝐿2 por −1. 
 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 23 
[
1 1 1 10
 
0 −1 0 −3
] 
 
 
∙ (−1)
→ [
1 1 1 10
 
0 1 0 3
] 
 
Essa matriz escalonada, pode ser novamente reescrita como um sistema, equivalente 
ao primeiro. 
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10
 
 𝑦 = 3
 
Substituindo o valor de 𝑦 = 2 na primeira equação, podemos isolar uma das outras 
incógnitas, ou 𝑥 ou 𝑦. 
Como não há equações suficientes para determinarmos todas as incógnitas, uma delas 
ficará indeterminada. 
Neste caso, optaremos por isolar a variável 𝑥, mas essa escolha é randômica2. Se 
quiser, você pode isolar a incógnita 𝑧 sem problemas. 
 
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10
 
 𝑦 = 3
 → {
𝑥 + 3 + 𝑧 = 10
 
 𝑦 = 3
→ {
𝑥 = 10 − 3 − 𝑧
 
 𝑦 = 3
→ { 
𝑥 = 7 − 𝑧
 
 𝑦 = 3
 
 
Não conseguimos determinar o valor da incógnita 𝑧. Neste caso, nós deixaremos 
indicada a incógnita 𝑧 e escreveremos todas as outras incógnitas normalmente. Algumas 
determinadas e outras, quando indeterminadas, em função da incógnita 𝑧. 
Assim, nossa resposta para esse sistema é (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (7 − 𝑧, 3, 𝑧) 
Desse ponto em diante, para encontrar uma resposta numérica particular, é só 
determinarmos um valor para 𝑧. Para cada valor de 𝑧, teremos uma resposta diferente para o 
sistema, portanto, esse sistema possui infinitas respostas, uma para cada um dos infinitos 
valores possíveis para 𝑧. 
Voltaremos a esse sistema mais adiante na aula para estudarmos sobre essa 
característica de um sistema ter infinitas soluções, chamado Sistema Possível Indeterminado 
(SPI). 
Vamos resolver uma questão: 
3. (FDSBC 2020) Um estudante comprou três livros: um sobre Direito Civil, um sobre 
Direito Constitucional e outro sobre Direito Tributário, pagando no total R$ 350,00. Sabe-
se que o preço do livro de Direito Civil é R$ 50,00 mais caro do que a média aritmética2 Randômico: aleatório, incerto, ao acaso, que depende de situações não determinadas. 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 24 
dos preços dos outros dois livros, e que o preço do livro sobre Direito Tributário é 50% 
maior do que o preço do livro sobre Direito Constitucional. A diferença entre o maior e o 
menor preço é de 
a) R$ 70,00 
b) R$ 60,00 
c) R$ 40,00 
d) R$ 30,00 
Comentários: 
Sendo 
𝑐 = 𝑐𝑖𝑣𝑖𝑙, 
𝑘 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑒 
𝑡 = 𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡á𝑟𝑖𝑜, 
temos: 
𝑖. Um estudante comprou três livros: um sobre Direito Civil, um sobre Direito Constitucional e 
outro sobre Direito Tributário, pagando no total R$ 350,00 → 𝑐 + 𝑘 + 𝑡 = 350. 
𝑖𝑖. Sabe-se que o preço do livro de Direito Civil é R$ 50,00 mais caro do que a média aritmética 
dos preços dos outros dois livros → 𝑐 =
𝑘+𝑡
2
+ 50 
𝑖𝑖𝑖. o preço do livro sobre Direito Tributário é 50% maior do que o preço do livro sobre Direito 
Constitucional → 𝑡 = 1,5𝑘 
Logo, o sistema linear será dado por: 
{
𝑐 + 𝑘 + 𝑡 = 350
𝑐 =
𝑘 + 𝑡
2
+ 50
𝑡 = 1,5𝑘
 
Organizando as equações 𝑖𝑖 e 𝑖𝑖𝑖: 
{
𝑐 + 𝑘 + 𝑡 = 350
2𝑐 − 100 = 𝑘 + 𝑡
𝑡 = 1,5𝑘
 
Isolando 𝑘 + 𝑡, na primeira e na segunda equação: 
{
𝑘 + 𝑡 = 350 − 𝑐
2𝑐 − 100 = 𝑘 + 𝑡
𝑡 = 1,5𝑘
 
 Igualando as equações 𝑖 𝑒 𝑖𝑖: 
350 − 𝑐 = 2𝑐 − 100 
450 = 3𝑐 
150 = 𝑐 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 25 
 Dessa forma, temos: 
𝑘 + 𝑡 = 350 − 𝑐 
𝑘 + 1,5𝑘 = 350 − 150 
2,5𝑘 = 200 
𝑘 = 80 
 
𝑡 = 1,5𝑘 
𝑡 = 1,5 ∙ 80 
𝑡 = 120 
 A diferença entre o livro mais caro e o mais barato será: 
150 − 80 = 70 
Gabarito: a) 
 
5.4. Teorema de Cramer 
Invoquemos, aqui, a versão matricial de um sistema linear, onde 
{
 
 
 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
 
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 7
 
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 8
 
pode ser representado pelo produto matricial 
𝐴 ∙ 𝑋 = 𝐵 
no qual 
𝐴 = [
1 1 1
2 1 −1
1 2 1
] 
𝑋 = [
𝑥
𝑦
𝑧
] 
𝐵 = [
6
7
8
]. 
Para o teorema de Cramer, utilizaremos as matrizes 𝐴 e 𝐵, associadas a determinantes. 
De início, calculemos o determinante da matriz 𝐴. 
det(𝐴) = |
1 1 1
2 1 −1
1 2 1
| 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 26 
De modo auxiliar, separemos a parte positiva e a parte negativa, com a primeira e a 
segunda colunas já duplicadas. 
|
1 1 1
2 1 −1
1 2 1
| 
1
2
1
 
1
1
2
 − |
1 1 1
2 1 −1
1 2 1
| 
1
2
1
 
1
1
2
 
(1 ∙ 1 ∙ 1 + 1 ∙ (−1) ∙ 1 + 1 ∙ 2 ∙ 2) − (1 ∙ 1 ∙ 1 + 1 ∙ (−1) ∙ 2 + 1 ∙ 2 ∙ 1) 
Assim, 
det(𝐴) = (1 ∙ 1 ∙ 1 + 1 ∙ (−1) ∙ 1 + 1 ∙ 2 ∙ 2) − (1 ∙ 1 ∙ 1 + 1 ∙ (−1) ∙ 2 + 1 ∙ 2 ∙ 1) 
det(𝐴) = (1 − 1 + 4) − (1 − 2 + 2) 
det(𝐴) = 4 − 1 
𝐝𝐞𝐭(𝑨) = 𝟑 
Esse será nosso determinante “principal” e nos referiremos a ele, de agora em diante, 
por 𝐷 = det(𝐴). 
Perceba que a primeira coluna da matriz 𝐴 apresenta apenas coeficientes da incógnita 𝑥, 
a segunda, apenas de 𝑦 enquanto a terceira, apenas de 𝑧. 
{
 
 
 
 
1𝑥 + 1𝑦 + 1𝑧 = 6
 
2𝑥 + 1𝑦 − 1𝑧 = 7
 
1𝑥 + 2𝑦 + 1𝑧 = 8
→ [
1 1 1
2 1 −1
1 2 1
] 
O processo que faremos aqui será repetido para quantas incógnitas nosso sistema 
possuir. Neste caso, 3 vezes, para 𝑥, 𝑦, 𝑧. 
Na matriz original incompleta 𝐴, substituiremos a coluna de cada incógnita, uma por vez, 
pela matriz de termos independentes, de resultados, ou simplesmente, pela matriz 𝐵, e 
calcularemos o determinante da nova matriz com a substituição. 
Façamos o processo com a incógnita 𝑥. 
Para não nos perdermos em meio a tantos determinantes, como estamos substituindo a 
matriz 𝐵 na coluna da incógnita 𝑥, chamaremos a esse determinante de 𝐷𝑥. 
Assim, 
𝐴 = [
1 1 1
2 1 −1
1 2 1
] 𝐵 = [
6
7
8
] 
Substituindo a matriz 𝐵 na primeira coluna de 𝐴 e calculando o determinante 𝐷𝑥 
 
 
𝐴 = [
1 1 1
2 1 −1
1 2 1
] 𝐵 = [
6
7
8
] 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 27 
 
 
𝐷𝑥 = |
6 1 1
7 1 −1
8 2 1
| 
Como fizemos antes, separemos a parte positiva e a parte negativa, com a primeira e a 
segunda colunas duplicadas. 
|
6 1 1
7 1 −1
8 2 1
| 
6
7
8
 
1
1
2
 − |
6 1 1
7 1 −1
8 2 1
| 
6
7
8
 
1
1
2
 
(6 ∙ 1 ∙ 1 + 1 ∙ (−1) ∙ 8 + 1 ∙ 7 ∙ 2) − (1 ∙ 1 ∙ 8 + 6 ∙ (−1) ∙ 2 + 1 ∙ 7 ∙ 1) 
Assim, 
𝐷𝑥 = (6 ∙ 1 ∙ 1 + 1 ∙ (−1) ∙ 8 + 1 ∙ 7 ∙ 2) − (1 ∙ 1 ∙ 8 + 6 ∙ (−1) ∙ 2 + 1 ∙ 7 ∙ 1) 
𝐷𝑥 = (6 − 8 + 14) − (8 − 12 + 7) 
𝐷𝑥 = 12 − 3 
𝑫𝒙 = 𝟗 
Como temos mais duas incógnitas, 𝑦 e 𝑧, faremos o mesmo processo por mais duas 
vezes e calcular 𝐷𝑦 e 𝐷𝑧. 
Substituindo a matriz 𝐵 na segunda coluna de 𝐴 e calculando o determinante 𝐷𝑦. 
 
 
𝐴 = [
1 1 1
2 1 −1
1 2 1
] 𝐵 = [
6
7
8
] 
 
 
𝐷𝑦 = |
1 6 1
2 7 −1
1 8 1
| 
Novamente, separemos a parte positiva e a parte negativa, com a primeira e a segunda 
colunas duplicadas. 
|
1 6 1
2 7 −1
1 8 1
| 
1
2
1
 
6
7
8
 − |
1 6 1
2 7 −1
1 8 1
| 
1
2
1
 
6
7
8
 
(1 ∙ 7 ∙ 1 + 6 ∙ (−1) ∙ 1 + 1 ∙ 2 ∙ 8) − (1 ∙ 7 ∙ 1 + 1 ∙ (−1) ∙ 8 + 6 ∙ 2 ∙ 1) 
Assim, 
𝐷𝑦 = (1 ∙ 7 ∙ 1 + 6 ∙ (−1) ∙ 1 + 1 ∙ 2 ∙ 8) − (1 ∙ 7 ∙ 1 + 1 ∙ (−1) ∙ 8 + 6 ∙ 2 ∙ 1) 
𝐷𝑦 = (7 − 6 + 16) − (7 − 8 + 12) 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 28 
𝐷𝑦 = 17 − 11 
𝑫𝒚 = 𝟔 
Mais uma vez. 
Substituindo a matriz 𝐵 na terceira coluna de 𝐴 e calculando o determinante 𝐷𝑧. 
 
𝐴 = [
1 1 1
2 1 −1
1 2 1
] 𝐵 = [
6
7
8
] 
 
𝐷𝑧 = |
1 1 6
2 1 7
1 2 8
| 
Separando a parte positiva e a parte negativa, com a primeira e a segunda colunas 
duplicadas. 
|
1 1 6
2 1 7
1 2 8
| 
1
2
1
 
1
1
2
 − |
1 1 6
2 1 7
1 2 8
| 
1
2
1
 
1
1
2
 
(1 ∙ 1 ∙ 8 + 1 ∙ 7 ∙ 1 + 6 ∙ 2 ∙ 2) − (6 ∙ 1 ∙ 1 + 1 ∙ 7 ∙ 2 + 1 ∙ 2 ∙ 8) 
Assim, 
𝐷𝑧 = (1 ∙ 1 ∙ 8 + 1 ∙ 7 ∙ 1 + 6 ∙ 2 ∙ 2) − (6 ∙ 1 ∙ 1 + 1 ∙ 7 ∙ 2 + 1 ∙ 2 ∙ 8) 
𝐷𝑧 = (8 + 7 + 24) − (6 + 14 + 16) 
𝐷𝑧 = 39 − 36 
𝑫𝒛 = 𝟑 
O teorema de Cramer diz que podemos calcular o valor de cada incógnita utilizando 
esses determinantes de forma que 
𝒙 =
𝑫𝒙
𝑫
 𝒚 =
𝑫𝒚
𝑫
 𝒛 =
𝑫𝒛
𝑫
 
Como temos todos os valores desses determinantes, 𝐷 = 3,𝐷𝑥 = 9,𝐷𝑦 = 6,𝐷𝑧 = 3, 
calculemos, enfim, nossas incógnitas. 
𝑥 =
𝐷𝑥
𝐷
=
9
3
= 3 𝑦 =
𝐷𝑦
𝐷
=
6
3
= 2 𝑧 =
𝐷𝑧
𝐷
=
3
3
= 1 
Como era de se esperar, a mesma resposta a que chegamos anteriormente: (𝑥, 𝑦, 𝑧) =
(3,2,1). 
Perceba que, para que existam as incógnitas, o determinante 𝑫 deve ser diferente de 
zero, ou não teremos possibilidade de fazer as divisões. 
Já sabe, não é? Questão! 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 29 
4. (Fuvest 2020) Uma agência de turismo vendeu um total de 78 passagens para os 
destinos: Lisboa, Paris e Roma. Sabe-se que o número de passagens vendidas para 
Paris foi o dobro do número de passagens vendidas para os outros dois destinos 
conjuntamente. Sabe-se também que, para Roma, foram vendidas duas passagens a 
mais que a metade das vendidas para Lisboa. Qual foi o total de passagens vendidas, 
conjuntamente, para Paris e Roma? 
a) 26 b) 38 c) 42 d) 62 e) 68 
Comentários: 
Uma agência de turismo vendeu um total de 78 passagens para os destinos: Lisboa, Paris e 
Roma 
𝐿 + 𝑃 + 𝑅 = 78 
Sabe-se que o número de passagens vendidas para Paris foi o dobro do número de passagens 
vendidas para os outros dois destinos conjuntamente 
𝑃 = 2 ⋅ (𝐿 + 𝑅) 
Sabe-se também que, para Roma, foram vendidas duas passagens a mais que a metade das 
vendidas para Lisboa. 
𝑅 = 2 +
𝐿
2
 
{
𝐿 + 𝑃 + 𝑅 = 78 
𝑃 = 2 ⋅ (𝐿 + 𝑅) 
𝑅 = 2 +
𝐿
2
 
{
𝐿 + 𝑃 + 𝑅 = 78 
2L + 2R − P = 0 
L − 2R = −4
 
[
1 1 1 78
2 2 −1 0
1 −2 0 −4
] 
𝐷 = [
1 1 1
2 2 −1
1 −2 0
] = −9 
𝐷𝐿 = [
78 1 1
0 2 −1
−4 −2 0
] = −148𝐷𝑃 = [
1 78 1
2 0 −1
1 −4 0
] = −90 
𝐷𝑅 = [
1 1 78
2 2 0
1 −2 −4
] = −468 
 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 30 
𝑃 =
𝐷𝑃
𝐷
=
−90
−9
= 10 
𝑅 =
𝐷𝑅
𝐷
=
−468
−9
= 52 
 
Resolução alternativa (escalonamento) 
Essas equações formam um sistema linear. 
{
 
 
 
 
𝐿 + 𝑃 + 𝑅 = 78 
 
𝑃 = 2 ⋅ (𝐿 + 𝑅)
 
𝑅 = 2 +
𝐿
2
→
{
 
 
 
 
𝐿 + 𝑃 + 𝑅 = 78 
 
2𝐿 − 𝑃 + 2𝑅 = 0
 
−𝐿 + 2𝑅 = 4
→
{
 
 
 
 
𝐿 + 𝑃 + 𝑅 = 78 
 
−3𝑃 + 2 = −78 ⋅ 2
 
𝑃 + 3𝑅 = 82
 
→
{
 
 
 
 
𝐿 + 𝑃 + 𝑅 = 78 
 
3𝑃 + 2 = 52
 
𝑃 + 3𝑅 = 82
→
{
 
 
 
 
𝐿 + 𝑃 + 𝑅 = 78 
 
3𝑃 + 2 = 52
 
𝑅 = 10
 
Novamente, a questão nos solicitou o valor da soma 𝑃 + 𝑅, portanto, não há necessidade de 
seguirmos com a resolução do sistema, uma vez que 
𝑃 + 𝑅 = 52 + 10 = 62 
Gabarito: d) 
 
6. Tipos de Sistemas Lineares 
Falamos, até agora, em soluções para os sistemas lineares e estudamos 4 métodos 
diferentes para solucioná-los. 
Com relação às soluções, há 3 tipos diferentes de sistemas, a saber. 
 
Sistema
Possível
Determinado - SPD
(solução única)
Indeterminado - SPI
(infinitas soluções)
Impossível – SI
(sem solução)
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 31 
Vejamos o que significam esses tipos. 
 
6.1. Sistema Possível Determinado (SPD) 
Um Sistema Possível Determinado (SPD) é um sistema que admite um número finito de 
soluções. 
No SPD, é possível encontrar a solução e ela é sempre limitada. 
Quando solucionamos um sistema na aula e sua resposta foi (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (3,2,1), tratava-
se de um SPD. 
{
 
 
 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
 
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 7
 
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 8
→
{
 
 
 
 
𝑥 = 3
 
𝑦 = 2
 
𝑧 = 1
→ (3,2,1) 
 
6.2. Sistema Possível Indeterminado (SPI) 
Um Sistema Possível Indeterminado (SPI) é um sistema que admite um número infinito 
de respostas. Veja bem, ele é possível, só não tem um número limitado de respostas. 
Um dos sistemas que resolvemos nesta aula foi 
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10
 
2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 17
→ { 
𝑥 = 7 − 𝑧
 
 𝑦 = 3
→ (7 − 𝑧, 3, 𝑧) 
Para cada valor de 𝑧, uma solução diferente, portanto o sistema é possível, mas de 
resposta indeterminada, SPI. 
6.2.1. Grau de liberdade 
O grau de liberdade de um sistema é a diferença entre o número de incógnitas 
presentes no sistema e o posto da matriz escalonada, ou seja, o número de linhas não nulas 
na matriz escalonada (ou no próprio sistema escalonado). 
𝐺𝑟𝑎𝑢 𝑑𝑒 𝐿𝑖𝑏𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒 = 𝑖𝑛𝑐ó𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 − 𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 
 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 32 
Note que para um sistema possível e determinado, o grau de liberdade é zero, 
enquanto para um sistema possível e indeterminado, o grau de liberdade é sempre 
um número inteiro e positivo. 
Para o sistema do item anterior, temos 2 equações e 3 incógnitas, portanto, grau de 
liberdade igual a 𝟑 − 𝟐 = 𝟏. 
Isso pode ser notado, também, na resposta, pois há uma variável, chamada de variável 
livre. 
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (7 − 𝒛, 3, 𝒛) 
 
6.3. Sistema Impossível 
Um Sistema Impossível (SI), como o próprio nome diz, é impossível, não existem valores 
para as incógnitas que tornem verdadeiras todas as equações desse tipo de sistema. 
Com exemplo, um sistema que, também, já foi visto na aula. 
{
𝑥 + 𝑦 = 1
 
𝑥 + 𝑦 = 2
→ ∅ 
Não é possível encontrar dois valores cuja soma seja, simultaneamente, 1 e 2. Por isso, 
dizemos que o sistema é impossível. 
Ou, para praticar a linguagem matemática, podemos escrever que 
∄ 𝑥, 𝑦 ∶ 𝑥 + 𝑦 = 1 𝑒 𝑥 + 𝑦 = 2 →
{
 
 
 
 
𝑁ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚
𝑥 𝑒 𝑦 
𝑡𝑎𝑖𝑠 𝑞𝑢𝑒
𝑎 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑠𝑒𝑠 𝑠𝑒𝑗𝑎 1
𝑒
𝑎 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑠𝑒𝑠 𝑠𝑒𝑗𝑎 2
 
 
7. Discussão de um Sistema Linear 
Discutir um Sistema Linear é um processo de análise do sistema com base nos 
coeficientes e nos termos independentes. 
Essa análise nos permite classificar um sistema como SPD, SPI ou SI com precisão. 
Veremos, nesse capítulo, dois métodos de discussão: pelo Teorema de Cramer e por 
escalonamento. 
 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 33 
7.1. Discussão de um Sistema Linear Através do Teorema 
de Cramer 
Para que possamos definir os valores das incógnitas pelo Teorema de Cramer, é 
necessário que 𝐷 ≠ 0, pois 𝐷 é o denominador de todas as frações determinantes das 
incógnitas. 
𝑥 =
𝐷𝑥
𝐷
, 𝑦 =
𝐷𝑦
𝐷
, 𝑧 =
𝐷𝑧
𝐷
,𝑤 =
𝐷𝑤
𝐷
, 𝑡 =
𝐷𝑡
𝐷
,… 
Assim, se 𝐷 ≠ 0, o sistema é do tipo SPD. 
Caso nosso sistema apresente 𝐷 = 0, poderá ser classificado ou como SPI ou como SI. 
 
No próximo tópico veremos como fazer a distinção entre SPI e SI por meio do 
escalonamento. 
Aplicaremos esse método de discussão em algumas questões: 
5. (FGV 2016) Sendo k um número real, o sistema linear 
{
𝟗𝒙 − 𝟔𝒚 = 𝟐𝟏
𝟔𝒙 − 𝟒𝒚 = 𝒌
 
possui infinitas soluções (𝒙, 𝒚) para k igual a 
a) –10,5. 
b) 0. 
c) 7. 
d) 10,5. 
e) 14. 
Comentários 
Calculando o determinante da matriz incompleta: 
𝐷 = |
9 −6
6 −4
| = −36 + 36 = 0 
Como D=0, então será SPI ou SI. 
Teorema de 
Cramer
𝐷 ≠ 0 SPD
𝐷 = 0
SPI
Todos demais 
𝐷𝑖 = 0
SI
Pelo menos 
um 𝐷𝑖 ≠ 0
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 34 
Para ter infinitas soluções (SPI), devemos ter 𝐷𝑥 e 𝐷𝑦 iguais a zero, logo: 
Calculando 𝐷𝑥: 
𝐷𝑥 = |
21 −6
𝑘 −4
| = −84 + 6𝑘 
−84 + 6𝑘 = 0 
𝑘 = 14 
 Calculando 𝐷𝑦: 
𝐷𝑥 = |
9 21
6 𝑘
| = 9𝑘 − 126 
9𝑘 − 126 = 0 
𝑘 = 14 
Gabarito: e) 
6. (FUVEST 2021) É dado o sistema linear 
{
𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟓
𝒑𝒙 + 𝒒𝒚 = 𝟐
 
em que 𝑝 e 𝑞 são números reais. 
a) Determine todos os valores de p e q para que o sistema seja possível e indeterminado (isto 
é, tenha mais do que uma solução). 
b) Determine todos os valores de p e q para que o sistema tenha solução (x; y) com x = 0. 
c) Determine todos os valores de p e q para que o sistema não tenha solução. 
Comentários: 
a) Determine todos os valores de p e q para que o sistema seja possível e indeterminado 
(isto é, tenha mais do que uma solução). 
Para ser SPI, devemos ter 𝐷 = 0, 𝐷𝑥 = 0 e 𝐷𝑦 = 0, então: 
{
2𝑥 + 3𝑦 = 5
𝑝𝑥 + 𝑞𝑦 = 2
 
𝐷 = |
2 3
𝑝 𝑞
| 
𝐷 = 2𝑞 − 3𝑝 
2𝑞 − 3𝑝 = 0 
 
𝐷𝑥 = |
5 3
2 𝑞
| 
𝐷𝑥 = 5𝑞 − 6 
𝐷𝑥 = 0 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 35 
5𝑞 − 6 = 0 
𝑞 =
6
5
 
 
𝐷y = |
2 5
𝑝 2
| 
𝐷y = 4 − 5p 
𝐷y = 0 
4 − 5p = 0 
𝑝 =
4
5
 
 
b) Determine todos os valores de p e q para que o sistema tenha solução (x; y) com x = 0. 
O valor de 𝐷𝑥 é dado por: 
𝒙 =
𝑫𝒙
𝑫
 
𝑥 =
5𝑞 − 6
2𝑞 − 3𝑝
 
Como 𝑥 = 0, temos: 
0 =
5𝑞 − 6
2𝑞 − 3𝑝
 
5𝑞 − 6 = 0 
𝑞 =
6
5
 
Substituindo 𝑥 e 𝑞 no sistema, teremos: 
{
2𝑥 + 3𝑦 = 5
𝒑𝒙 + 𝒒𝒚 = 𝟐
 
0 + (
6
5
𝑦) = 2 
𝑦 =
10
6
=
5
3
 
(0;
5
3
) 
Note que essa será a solução independentemente do valor de p, pois este será anulado pelo 
valor de 𝑥 = 0. 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 36 
 
Vejamos: 
𝐲 =
𝑫𝒚
𝑫
 
y =
4 − 5p
2𝑞 − 3𝑝
 
5
3
 =
4 − 5p
2 (
6
5
) − 3𝑝
 
12 − 15𝑝 = 12 − 15𝑝 
1 = 1 
 
c) Determine todos os valores de p e q para que o sistema não tenha solução. 
Para ser SI, deveremos ter 𝐷 = 0,𝐷𝑥 ≠ 0 𝑒 𝐷𝑦 ≠ 0 então: 
𝐷𝑥 = |
5 3
2 𝑞
| 
5𝑞 − 6 ≠ 0 
𝑞 ≠
6
5
 
𝐷y ≠ |
2 5
𝑝 2
| 
4 − 5p ≠ 0 
p ≠
4
5
 
Gabarito: discursiva. 
7.2. Discussão de um Sistema Linear Através do 
Escalonamento 
De posse do sistema escalonado, obtido por meio do escalonamento de sua matriz 
completa, analisaremos as seguintes informações. 
1) a última linha do sistema 
2) o número de equações (𝐸) e de incógnitas (𝐼) do sistema 
 
Essa conclusão não depende 
do valor de p, que pode ser 
qualquernúmero real, 𝑝 ∈ ℝ 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 37 
7.2.1 Sistema Impossível 
 Se o sistema, ou sua matriz equivalente, apresenta a última linha com todos os 
coeficientes nulos e o termo independente diferente de zero, o sistema é SI. 
 Vejamos o exemplo que vimos no início da aula. 
{
𝑥 + 𝑦 = 1
 
𝑥 + 𝑦 = 2
→ [
1 1 1
 
1 1 2
]
0
 
+
∙ (−1)
 
 
→ [
1 1 1
 
0 0 1
] → {
𝑥 + 𝑦 = 1
 
0𝑥 + 0𝑦 = 1
 
 Perceba que não é possível encontrarmos valores para 𝑥 e 𝑦 que satisfaçam 0𝑥 +
0𝑦 = 1, o que torna o sistema impossível. 
 Se a matriz apresenta a última linha com pelo menos um coeficiente 
diferente de zero, precisamos analisar o número de equações 𝐸 e o de incógnitas 𝐼. 
 
7.2.2 Sistema possível e determinado 
Se o 𝐸 = 𝐼, SPD. 
Vejamos um exemplo, também já estudado nesta aula. 
{
 
 
 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
 
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 7
 
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 8
→ [
1 1 1 6
2 1 −1 7
1 2 1 8
] → [
1 1 1 6
0 1 3 5
0 0 1 1
] →
{
 
 
 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
 
 𝑦 + 3𝑧 = 5
 
 𝑧 = 1
 
 Perceba que, no sistema escalonado, temos 3 equações (válidas) e 3 incógnitas, 
caracterizando um grau de liberdade 3 − 3 = 0, ou seja, SPD. 
 
7.2.2 Sistema possível e indeterminado 
Se 𝐸 < 𝐼, SPI. 
Mais um exemplo já resolvido anteriormente. 
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10
 
2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 17
→ [
1 1 1 10
 
2 1 2 17
] → [
1 1 1 10
 
0 1 0 3
] → 
 
→ {
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10
 
𝑦 = 3
→ { 
𝑥 = 7 − 𝑧
 
𝑦 = 3
→ (7 − 𝑧, 3, 𝑧) 
 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 38 
 Perceba que, no sistema já escalonado, temos 2 equações e 3 incógnitas, ou 
seja, grau de liberdade igual a 3 − 2 = 1, definindo assim um sistema possível, mas 
indeterminado. 
 
 
O processo de escalonamento elimina as informações duplicadas nas equações. 
Desse modo, só podemos ter uma matriz escalonada, resultante de um sistema 
linear, com um número de linhas menor ou igual ao número de incógnitas, ou seja, 
𝐸 ≤ 𝐼. 
 
 
 
 
7. (UNICAMP 2018) Sabendo que 𝑘 é um número real, considere o sistema linear nas 
variáveis reais 𝑥 e 𝑦, 
{
𝒙 + 𝒌𝒚 = 𝟏
𝒙 + 𝒚 = 𝒌
 
É correto afirmar que esse sistema 
a) tem solução para todo 𝑘. 
b) não tem solução única para nenhum 𝑘. 
c) não tem solução se 𝑘 = 1. 
Última linha não 
nula do sistema 
escalonado
Pelo menos um 
coeficiente não nulo
𝐸 = 𝐼 SPD
𝐸 < 𝐼 SPI
Todos os 
coeficientes nulos e 
termo independente 
não nulo
SI
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 39 
d) tem infinitas soluções se 𝑘 ≠ 1. 
Comentários 
Escalonando o sistema, temos: 
{
𝑥 + 𝑘𝑦 = 1 ∙ (−1)
𝑥 + 𝑦 = 𝑘
 
 
−𝑘𝑦 + 𝑦 = −1 + 𝑘 
(−𝑘 + 1) ⋅ 𝑦 = −1 + 𝑘 
𝑦 =
−1 + 𝑘
−𝑘 + 1
 
Aplicando a condição de existência para o denominador: 
−𝑘 + 1 ≠ 0 
−𝑘 ≠ −1 
𝑘 ≠ 1 
Assim, se 𝑘 ≠ 1, o sistema será Possível e Determinado. 
Podemos agora testar o sistema com 𝑘 = 1, vejamos: 
{
𝑥 + 𝑦 = 1
𝑥 + 𝑦 = 1
 
Como temos duas equações iguais, podemos dizer que para 𝑘 = 1, o sistema será Possível e 
Indeterminado. 
Assim, o sistema admite solução para todos os valores reais de 𝑘. 
Gabarito: a) 
 
7.3. Sistema linear homogêneo e a solução trivial 
Um sistema linear é homogêneo quando todos os seus termos independentes são nulos. 
Em uma representação típica, colocamos os termos independentes no segundo membro de 
cada igualdade, enquanto os termos que apresentam as incógnitas ficam no primeiro membro. 
{
 
 
 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑤 = 0
 
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 − 𝑤 = 0
 
3𝑥 − 2𝑦 − 8𝑧 + 1𝑤 = 0
 
𝑥 − 𝑦 − 𝑧 − 𝑤 = 0
 
Esse tipo de sistema pode apresentar uma ou várias soluções, mas nunca é impossível. 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 40 
Como todas as equações são iguais a zero, podemos pensar, sempre, em um conjunto 
de tantos elementos nulos, como solução, para todas as variáveis do sistema, ou seja (0,0,0,0). 
A solução apresentada não representa os zeros à direita das equações, 
representa o valor das incógnitas 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤. 
 
(0,0,0,0)
{
 
 
 
 
𝑥 = 0
 
𝑦 = 0
 
𝑧 = 0
 
𝑤 = 0
 
Um sistema homogêneo, além da solução trivial, pode ou não apresentar uma solução 
não trivial. 
 
7.4. Sistema linear homogêneo e a solução não trivial 
 A solução não trivial para um sistema linear homogêneo aparece quando escalonamos 
a matriz completa do sistema e chegamos à conclusão de que temos um SPI, ou seja, múltiplas 
respostas. 
A resposta trivial sempre será uma possibilidade e, a depender da matriz escalonada, 
alguns sistemas lineares homogêneos podem, também, apresentar a solução não trivial na 
forma indeterminada. 
Dessa forma, nunca teremos um sistema linear homogêneo impossível. 
8. (ACAFE 2012) Dado o sistema de equação abaixo, analise as afirmações a seguir. 
I. O sistema é homogêneo. 
II. O sistema será possível e indeterminado para qualquer valor de a. 
III. O sistema não admite a solução trivial. 
IV. O sistema será possível e determinado para 𝑎 = – 2. 
Assinale a alternativa correta. 
a) Apenas I e II são verdadeiras. 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 41 
b) Apenas I, III e IV são verdadeiras. 
c) Apenas a afirmação IV é verdadeira. 
d) Todas as afirmações são verdadeiras. 
Comentários: 
I. O sistema é homogêneo. Verdadeiro, pois todos os termos independentes são iguais a 0. 
II. O sistema será possível e indeterminado para qualquer valor de a. Verdadeiro. 
a. Somando a equação i, com a equação 𝑖𝑖, com a equação 𝑖𝑖𝑖 e com a equação 𝑖𝑣, temos: 
{
 
 
 
 
𝑣 − 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 + 𝑤 = 0 (𝑖)
𝑣 + 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 𝑤 = 0 (𝑖𝑖)
𝑣 − 𝑥 − 𝑦 − 𝑧 − 𝑤 = 0 (𝑖𝑖𝑖)
3𝑣 − 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 − 𝑤 = 0 (𝑖𝑣)
2𝑣 − 2𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 + 𝑎𝑤 = 0 (𝑣)
 
{
 
 
 
 
𝑣 − 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 + 𝑤 = 0
2𝑣 + 2𝑦 = 0
2𝑣 − 2𝑥 = 0
4𝑣 − 2𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 = 0
2𝑣 − 2𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 + 𝑎𝑤 = 0
 
b. Dividindo a equação 𝑖𝑖𝑖 por 2: 
{
 
 
 
 
𝑣 − 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 + 𝑤 = 0
𝑣 + 𝑦 = 0
𝑣 − 𝑥 = 0
𝑣 − 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0
2𝑣 − 2𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 + 𝑎𝑤 = 0
 
{
 
 
 
 
𝑣 − 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 + 𝑤 = 0
𝑣 + 𝑦 = 0
𝑣 − 𝑥 = 0
−𝑣 − 𝑧 = 0
2𝑣 − 2𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 + 𝑎𝑤 = 0
 
c. Isolando x, y e z, em função de v, temos: 
𝑦 = −𝑣 
𝑥 = 𝑣 
𝑧 = −𝑣 
d. substituindo os valores isolado acima, na equação 𝑖, temos: 
𝑣 − 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 + 𝑤 = 0 
𝑣 − 𝑣 − 𝑣 + 𝑣 + 𝑤 = 0 
𝑤 = 0 
Como 𝑤 = 0, não importando o valor de a, o sistema será possível e determinado. 
 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 42 
𝑖𝑖𝑖. O sistema não admite a solução trivial. Falso, todo sistema linear homogêneo admite 
solução trivial. 
 
𝑖𝑣. O sistema será possível e determinado para 𝑎 = – 2. Falso, como vimos na resolução da 
afirmação 2, o sistema será SPD, para qualquer valor de 𝑎. 
Gabarito: a) 
8. Questões de Provas Anteriores 
 
1. (ENEM DIGITAL – 2020) Em um país, as infrações de trânsito são classificadas de 
acordo com sua gravidade. Infrações dos tipos leves e médias acrescentam, 
respectivamente, 3 e 4 pontos na carteira de habilitação do infrator, além de multas a 
serem pagas. Um motorista cometeu 5 infrações de trânsito. Em consequência teve 17 
pontos acrescentados em sua carteira de habilitação. 
Qual é a razão entre o número de infrações do tipo leve e o número de infrações do tipo 
média cometidas por esse motorista? 
A) 1/4 
B) 3/2 
C) 3/4 
D) 5/17 
E) 7/17 
 
2. (ENEM 2018) Visando atingir metas econômicas previamente estabelecidas, é 
comum no final do mês algumas lojas colocarem certos produtos em promoção. Uma 
determinada loja de departamentos colocou em oferta os seguintes produtos: televisão, 
sofá e estante. Na compra da televisão mais o sofá, o cliente pagaria R$ 3 800,00. Se ele 
levasse o sofá maisa estante, pagaria R$ 3 400,00. A televisão mais a estante sairiam por 
R$ 4 200,00. Um cliente resolveu levar duas televisões e um sofá que estavam na 
promoção, conseguindo ainda mais 5% de desconto pelo pagamento à vista. 
O valor total, em real, pago pelo cliente foi de 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 43 
a) 3 610,00. 
b) 5 035,00. 
c) 5 415,00. 
d) 5 795,00. 
e) 6 100,00. 
 
3. (UNESP 2015.2) Em uma floricultura, os preços dos buquês de flores se 
diferenciam pelo tipo e pela quantidade de flores usadas em sua montagem. Quatro 
desses buquês estão representados na figura a seguir, sendo que três deles estão com 
os respectivos preços. 
 
De acordo com a representação, nessa floricultura, o buquê 4, sem preço indicado, custa 
a) R$ 15,30. 
b) R$ 16,20. 
c) R$ 14,80. 
d) R$ 17,00. 
e) R$ 15,50. 
 
4. (UEA 2018) Para a participação em uma competição com várias modalidades 
esportivas, um grupo com 40 atletas recebeu, da universidade em que estudam, 36 
pacotes contendo 4 uniformes ou 6 uniformes em cada um. Se a média de uniformes 
recebidos por atleta foi 5, então o número de pacotes com 6 uniformes foi igual a 
(A) 16. 
(B) 24. 
(C) 28. 
(D) 20. 
(E) 8. 
 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 44 
5. (UEA 2015) Uma fábrica de doces vende um doce em três versões: normal, light e 
diet. Denise comprou duas unidades normais, oito light e cinco diet, e pagou por elas um 
total de R$ 72,00. Elaine comprou uma unidade normal, cinco light e três diet, e o total 
pago foi de R$ 43,00. Já Frederico, que comprou uma unidade de cada tipo, pagou um 
total de 
(A) R$ 20,00. 
(B) R$ 24,00. 
(C) R$ 15,00. 
(D) R$ 18,00. 
(E) R$ 22,00. 
 
6. (UEA 2003) O sistema de equações 
{
𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟏
𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟐
𝟑𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝟑𝒛 = 𝟓
 
(A) admite uma infinidade de soluções. 
(B) admite um número de soluções finito e maior que 2. 
(C) admite exatamente duas soluções. 
(D) admite uma única solução. 
(E) não admite solução. 
 
7. (Fuvest 2015) No sistema linear 
{
 
 
 
 
𝒂𝒙 − 𝒚 = 𝟏
 
𝒚 + 𝒛 = 𝟏
 
𝒙 + 𝒛 = 𝒎
 
nas variáveis 𝒙, 𝒚 e 𝒛, 𝒂 e 𝒎 são constantes reais. É correto afirmar: 
a) No caso em que 𝒂 = 𝟏, o sistema tem solução se, e somente se, 𝒎 = 𝟐. 
b) O sistema tem solução, quaisquer que sejam os valores de 𝒂 e de 𝒎. 
c) No caso em que 𝒎 = 𝟐, o sistema tem solução se, e somente se, 𝒂 = 𝟏. 
d) O sistema só tem solução se 𝒂 = 𝒎 = 𝟏. 
e) O sistema não tem solução, quaisquer que sejam os valores de 𝒂 e de 𝒎. 
 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 45 
8. (Fuvest 2006) João, Maria e Antônia tinham, juntos, 𝑹$ 𝟏𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎. Cada um deles 
investiu sua parte por um ano, com juros de 𝟏𝟎% ao ano. Depois de creditados seus 
juros no final desse ano, Antônia passou a ter 𝑹$ 𝟏𝟏. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 mais o dobro do novo 
capital de João. No ano seguinte, os três reinvestiram seus capitais, ainda com juros de 
𝟏𝟎% ao ano. Depois de creditados os juros de cada um no final desse segundo ano, o 
novo capital de Antônia era igual à soma dos novos capitais de Maria e João. 
Qual era o capital inicial de João? 
a) 𝑹$ 𝟐𝟎. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 b) 𝑹$ 𝟐𝟐. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 c) 𝑹$ 𝟐𝟒. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 
d) 𝑹$ 𝟐𝟔. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 e) 𝑹$ 𝟐𝟖. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 
 
9. (Fuvest/2003 – Questão 81 – Prova V) 
O sistema {
𝒙 + (𝒄 + 𝟏)𝒚 = 𝟎
𝒄𝒙 + 𝒚 = −𝟏
, onde 𝒄  𝟎, admite uma solução (𝒙, 𝒚) com 𝒙 = 𝟏. Então, o 
valor de 𝒄 é: 
a) –3 
b) –2 
c) –1 
d) 1 
e) 2 
 
10. (Fuvest/1997 - Questão 61 – Prova M) 
{
𝒙 + 𝟒𝒛 = −𝟕
𝒙 − 𝟑𝒚 = −𝟖
𝒚 + 𝒛 = 𝟏
 
Então, x + y + z é igual a 
a) –2 
b) –1 
c) 0 
d) 1 
e) 2 
 
11. (UNICAMP 2018) Sabendo que 𝑘 é um número real, considere o sistema linear nas 
variáveis reais 𝑥 e 𝑦, 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 46 
{
𝒙 + 𝒌𝒚 = 𝟏
𝒙 + 𝒚 = 𝒌
 
É correto afirmar que esse sistema 
a) tem solução para todo 𝑘. 
b) não tem solução única para nenhum 𝑘. 
c) não tem solução se 𝑘 = 1. 
d) tem infinitas soluções se 𝑘 ≠ 1. 
 
12. (UNICAMP 2012) As companhias aéreas costumam estabelecer um limite de peso 
para a bagagem de cada passageiro, cobrando uma taxa por quilograma de excesso de 
peso. Quando dois passageiros compartilham a bagagem, seus limites são considerados 
em conjunto. 
Em um determinado voo, tanto um casal como um senhor que viajava sozinho 
transportaram 60 kg de bagagem e foram obrigados a pagar pelo excesso de peso. O 
valor que o senhor pagou correspondeu a 3,5 vezes o valor pago pelo casal. 
Para determinar o peso excedente das bagagens do casal (x) e do senhor que viajava 
sozinho (y), bem como o limite de peso que um passageiro pode transportar sem pagar 
qualquer taxa (z), pode-se resolver o seguinte sistema linear: 
a) {
𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟔𝟎
𝒚 + 𝒛 = 𝟔𝟎
𝟑, 𝟓𝒙 − 𝒚 = 𝟎
 
b) {
𝒙 + 𝒛 = 𝟔𝟎
𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟔𝟎
𝟑, 𝟓𝒙 − 𝒚 = 𝟎
 
c) {
𝒙 + 𝟐𝒛 = 𝟔𝟎
𝒚 + 𝒛 = 𝟔𝟎
𝟑, 𝟓𝒙 + 𝒚 = 𝟎
 
d) {
𝒙 + 𝒛 = 𝟔𝟎
𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟔𝟎
𝟑, 𝟓𝒙 + 𝒚 = 𝟎
 
 
13. (UFPR 2012) Uma bolsa contém 20 moedas, distribuídas entre as de 5, 10 e 25 
centavos, totalizando R$3,25. Sabendo que a quantidade de moedas de 5 centavos é a 
mesma das moedas de 10 centavos, quantas moedas de 25 centavos há nessa bolsa? 
a) 6. 
b) 8. 
c) 9. 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 47 
d) 10. 
e) 12. 
 
14. (Unicamp 2020) Em uma família, cada filha tem o mesmo número de irmãs e 
irmãos, e cada filho tem um número de irmãs igual ao dobro do número de irmãos. O 
número total de filhos e filhas dessa família é igual a 
a) 11. b) 9. c) 7. d) 5. 
 
15. (FUVEST/2021) Uma treinadora de basquete aplica o seguinte sistema de 
pontuação em seus treinos de arremesso à cesta: cada jogadora recebe 5 pontos por 
arremesso acertado e perde 2 pontos por arremesso errado. Ao fim de 50 arremessos, 
uma das jogadoras contabilizou 124 pontos. Qual é a diferença entre as quantidades de 
arremessos acertados e errados dessa jogadora? 
(A) 12 
(B) 14 
(c) 16 
(D) 18 
(E) 20 
 
16. (FDSBC 2020) Um estudante comprou três livros: um sobre Direito Civil, um sobre 
Direito Constitucional e outro sobre Direito Tributário, pagando no total R$ 350,00. Sabe-
se que o preço do livro de Direito Civil é R$ 50,00 mais caro do que a média aritmética 
dos preços dos outros dois livros, e que o preço do livro sobre Direito Tributário é 50% 
maior do que o preço do livro sobre Direito Constitucional. A diferença entre o maior e o 
menor preço é de 
a) R$ 70,00 
b) R$ 60,00 
c) R$ 40,00 
d) R$ 30,00 
 
17. (Fuvest 2020) Uma agência de turismo vendeu um total de 78 passagens para os 
destinos: Lisboa, Paris e Roma. Sabe-se que o número de passagens vendidas para 
Paris foi o dobro do número de passagens vendidas para os outros dois destinos 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 48 
conjuntamente. Sabe-se também que, para Roma, foram vendidas duas passagens a 
mais que a metade das vendidas para Lisboa. Qual foi o total de passagens vendidas, 
conjuntamente, para Paris e Roma? 
a) 26 b) 38 c) 42 d) 62 e) 68 
 
18. (FGV 2016) Sendo k um número real, o sistema linear 
{
𝟗𝒙 − 𝟔𝒚 = 𝟐𝟏
𝟔𝒙 − 𝟒𝒚 = 𝒌
 
possui infinitas soluções (𝒙, 𝒚) para k igual a 
a) –10,5. 
b) 0. 
c) 7. 
d) 10,5. 
e) 14. 
 
19. (FUVEST 2021) É dado o sistema linear 
{
𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟓
𝒑𝒙 + 𝒒𝒚 = 𝟐
 
em que 𝑝 e 𝑞 são números reais. 
a) Determine todos os valores de p e q para que o sistema seja possível e indeterminado (isto 
é, tenha mais do que uma solução). 
b) Determine todos os valores de p e q para que o sistema tenha solução (x; y) com x = 0. 
c) Determine todosos valores de p e q para que o sistema não tenha solução. 
 
20. (ACAFE 2012) Dado o sistema de equação abaixo, analise as afirmações a seguir. 
I. O sistema é homogêneo. 
II. O sistema será possível e indeterminado para qualquer valor de a. 
III. O sistema não admite a solução trivial. 
IV. O sistema será possível e determinado para a = –2. 
Assinale a alternativa correta. 
a) Apenas I e II são verdadeiras. 
b) Apenas I, III e IV são verdadeiras. 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 49 
c) Apenas a afirmação IV é verdadeira. 
d) Todas as afirmações são verdadeiras. 
 
21. (EV) Sabendo que o sistema linear de equações {
𝟑𝒙 + 𝟒𝒚 + 𝟓𝒛 = 𝒂
𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝟑𝒛 = 𝟎
𝟓𝒙 + 𝟕𝒚 + 𝒃𝒛 = 𝟏
 admite infinitas 
soluções, a soma 𝒂 + 𝒃 é igual a: 
a) 8 
b) 9 
c) 10 
d) 11 
e) 12 
 
22. (EV) Um grupo de 100 funcionários de determinada empresa recebe uma 
bonificação mensal em seu salário de acordo com a produtividade dos grupos avaliados. 
A média da bonificação atribuída às funcionárias mulheres foi de R$ 570,00 e a média 
entre os funcionários homens foi de R$ 490,00. Dado que a média geral da bonificação 
foi de R$ 534,00, pode-se afirmar que o número de mulheres que trabalham nessa 
empresa é: 
a) 35 
b) 45 
c) 50 
d) 55 
 
23. (FUVEST 88) Qual a condição necessária e suficiente para que a solução do 
sistema linear 
{
𝒙 − 𝟒𝒚 = 𝒂
𝟔𝒙 + 𝒌𝒚 = 𝒃
 
seja um par de números inteiros, quaisquer que sejam 𝒂 e 𝒃 inteiros? 
a) 𝒌 = −𝟐𝟑 
b) 𝒌 = 𝟐𝟑 ou 𝒌 = −𝟐𝟓 
c) 𝒌 = 𝟎 
d) 𝒌 = −𝟐𝟑 ou 𝒌 = −𝟐𝟓 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 50 
e) 𝒌 = 𝟐𝟒 
 
24. (FUVEST 85) O sistema linear {
𝒙 + 𝒂𝒚 − 𝟐𝒛 = 𝟎
𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟏
𝒙 − 𝒚 − 𝒛 = 𝟑
 não admite solução se 𝒂 for igual a: 
a) 0 
b) 1 
c) – 1 
d) 2 
e) – 2 
 
25. (UNESP 2003) A agência Vivatur vendeu a um turista uma passagem que foi paga, 
à vista, com cédulas de 10, 50 e 100 dólares, num total de 45 cédulas. O valor da 
passagem foi 1 950 dólares e a quantidade de cédulas recebidas de 10 dólares foi o 
dobro das de 100. O valor, em dólares, recebido em notas de 100 pela agência na venda 
dessa passagem, foi 
a) 1 800. 
b) 1500. 
c) 1400. 
d) 1000. 
e) 800. 
 
26. (EV) Um perfumista foi contratado para criar essências aromáticas que serão 
utilizadas como base na confecção de duas novas linhas de perfumes, Amor Intenso e 
Flor do Campo, por uma microempresa. Essas essências aromáticas são misturas 
vendidas em recipientes de 1 litro ao preço de R$ 3,00 cada um. Cada litro da mistura 
Amor Intenso contém 25% de cânfora e o restante de essência de jasmim, e cada litro da 
mistura Flor do Campo contém 50% de cânfora e o restante de essência de jasmim. Se o 
perfumista possui em seu estoque 60 000 litros de cânfora e 90 000 litros de essência de 
jasmim, o maior lucro possível que ele pode obter na venda de suas misturas para essa 
microempresa é: 
a) R$ 180 000,00 
b) R$ 270 000,00 
c) R$ 360 000,00 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 51 
d) R$ 450 000,00 
e) R$ 540 000,00 
 
27. (EV) Considere o seguinte sistema de equações: 
{
𝒂𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝒛 = 𝟒
𝟐𝒙 + 𝒚 = 𝟔
𝟑𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝒛 = 𝟕
 
O sistema será 
a) Possível e determinado para 𝒂 ≠ 𝟕. 
b) Possível e indeterminado para 𝒂 = −𝟕. 
c) Impossível para 𝒂 = 𝟓. 
d) Possível e determinado para 𝒂 ≠ 𝟓. 
e) Impossível para 𝒂 = −𝟕. 
 
28. (EV) Em uma sapataria, três exemplares de calçados estão em promoção: uma 
sandália, um tênis e um tamanco. Sara aproveitou os preços reduzidos e comprou 2 
pares de sandálias, 3 pares de tênis e um par de tamancos, pagando R$ 92,00. Sílvia 
comprou 4 pares de sandálias, 2 pares de tênis e 6 pares de tamancos, pagando R$ 
152,00. O preço pago por Júlia, que comprou um par de cada um dos itens em 
promoção, foi: 
a) R$ 16,00 
b) R$ 21,00 
c) R$ 32,00 
d) R$ 39,00 
e) R$ 42,00 
 
29. (EV) Dois corredores, A e B, disputam a mesma prova olímpica e iniciaram o 
percurso simultaneamente. A relação entre a distância em metros 𝒚 e o tempo em 
segundos 𝒙 de cada atleta é representada, respectivamente, para 𝑨: 𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟐𝟐 = 𝟎 e 
𝑩: 𝒙 − 𝟑𝒚 + 𝟑𝟕 = 𝟎. Considerando essas relações, a distância percorrida pelo atleta 𝑨 
será superior à distância percorrida pelo atleta 𝑩 a partir de quantos segundos após a 
largada? 
a) 3 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 52 
b) 8 
c) 9 
d) 12 
e) 15 
 
30. (EV) Xande, Ismael e Vitor foram a uma pastelaria e compraram pastel, caldo-de-
cana e açaí. Xande gastou R$ 18,40 na compra de 2 pastéis, 3 caldos-de-cana e 1 açaí. 
Ismael gastou R$ 30,40 na compra de 4 pastéis, 2 caldos-de-cana e 6 açaís. Vitor, que 
comprou apenas uma unidade de cada item, gastou: 
a) R$ 7,80 
b) R$ 4,20 
c) R$ 8,40 
d) R$ 3,20 
 
31. (EV) A condição do valor de 𝒎 para o qual o sistema linear {
𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟒𝒛 = 𝟏
𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟑
𝒙 +𝒎𝒚− 𝟒𝒛 = −𝟏
 
apresente uma única solução é: 
a) 𝒎 = 𝟔 
b) 𝒎 ≠ 𝟔 
c) 𝒎 = 𝟑 
d) 𝒎 ≠ 𝟑 
e) 𝒎 = 𝟎 
 
32. (EV) O valor de 𝒎 para que o sistema homogêneo {
𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟐𝒛 = 𝟎
𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟎
𝒙 + 𝟓𝒚 +𝒎𝒛 = 𝟎
 admita 
soluções diferentes da trivial é: 
a) – 4 
b) – 2 
c) 2 
e) 4 
 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 53 
33. (EV) O conjunto solução do sistema linear {
𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟕
𝟐𝒙 + 𝟒𝒚 − 𝒛 = 𝟏𝟎
𝟑𝒙 + 𝒚 − 𝟏𝟒𝒛 = 𝟓
 é dado por: 
a) 𝑺 = {
𝟏𝟏𝒛+𝟐
𝟐
,
𝟒−𝟓𝒛
𝟐
, 𝒛} 
b) 𝑺 = {
𝟏𝟎𝒛+𝟑
𝟐
,
𝟒−𝟓𝒛
𝟐
, 𝒛} 
c) 𝑺 = {
𝟏𝟏𝒛+𝟐
𝟐
,
𝟒+𝟓𝒛
𝟐
, 𝒛} 
d) 𝑺 = {
𝟏𝟎𝒛+𝟑
𝟐
,
𝟒+𝟓𝒛
𝟐
, 𝒛} 
e) 𝑺 = {
𝟏𝟏𝒛+𝟐
𝟐
,
𝟒−𝟔𝒛
𝟐
, 𝒛} 
 
34. (UNICAMP 2015) Considere o sistema linear nas variáveis 𝑥, 𝑦 e 𝑧 
{
𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟑𝒛 = 𝟐𝟎
𝟕𝒙 + 𝟗𝒚 −𝒎𝒛 = 𝟐𝟔
 
onde 𝑚 é um número real. Sejam 𝒂 < 𝒃 < 𝒄 números inteiros consecutivos tais que 
(𝒙, 𝒚, 𝒛) = (𝒂, 𝒃, 𝒄) é uma solução desse sistema. O valor de 𝑚 é igual a 
a) 3. 
b) 2. 
c) 1. 
d) 0. 
 
35. (Unesp 2015) A tabela indica o gasto de água, em 𝒎³ por minuto, de uma torneira 
(aberta), em função do quanto seu registro está aberto, em voltas, para duas posições do 
registro 
 
Sabe-se que o gráfico do gasto em função da abertura é uma reta, e que o gasto de água, 
por minuto, quando a torneira está totalmente aberta, é de 𝟎, 𝟎𝟑𝟒 𝒎³. Portanto, é correto 
afirmar que essa torneira estará totalmente aberta quando houver um giro no seu 
registro de abertura de 𝟏 volta completa e mais 
a) 
𝟏
𝟐
 de volta. b) 
𝟏
𝟓
 de volta. c) 
𝟐
𝟓
 de volta. d) 
𝟑
𝟒
 de volta. e) 
𝟏
𝟒
 de volta. 
 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 54 
36. (Unesp 2013) Os habitantes de um planeta chamado Jumpspace locomovem-se 
saltando. Para isto, realizam apenas um número inteiro de saltos de dois tipos, o slow 
jump (𝑺𝑱) e o quick jump (𝑸𝑱). Ao executarem um 𝑺𝑱 saltam sempre 𝟐𝟎 𝒖. 𝒅. (unidade de 
distância) para Leste e 𝟑𝟎 𝒖. 𝒅. para Norte. Já no 𝑸𝑱 saltam sempre 𝟒𝟎 𝒖. 𝒅. para Oeste e 
𝟖𝟎 𝒖. 𝒅. para Sul. 
Um habitante desse planeta deseja chegar exatamente a um ponto situado 𝟐𝟎𝟒 𝒖. 𝒅. a 
Leste e 𝟐𝟕𝟖 𝒖. 𝒅. ao Norte de onde se encontra. Nesse caso, é correto afirmar que o 
habitante 
a) conseguirá alcançar seu objetivo, realizando 𝟏𝟑 saltos 𝑺𝑱 e 𝟕 𝑸𝑱. 
b) conseguirá alcançar seu objetivo, realizando 𝟕 saltos 𝑺𝑱 e 𝟏𝟑 𝑸𝑱. 
c) conseguirá alcançar seu objetivo, realizando 𝟏𝟑 saltos 𝑺𝑱. 
d) não conseguirá alcançar seu objetivo, pois não há número inteiro de saltos que lhe permita 
isso. 
e) conseguirá alcançar seu objetivo, realizando 𝟕 saltos 𝑸𝑱. 
 
37.(Unesp 2011) Uma pessoa necessita de 𝟓 𝒎𝒈 de vitamina 𝑬 por semana, a serem 
obtidos com a ingestão de dois complementos alimentares 𝜶 e 𝜷. Cada pacote desses 
complementos fornece, respectivamente, 𝟏 𝒎𝒈 e 𝟎, 𝟐𝟓 𝒎𝒈 de vitamina 𝑬. Essa pessoa 
dispõe de exatamente 𝑹$𝟒𝟕, 𝟎𝟎 semanais para gastar com os complementos, sendo que 
cada pacote de 𝜶 custa 𝑹$𝟓, 𝟎𝟎 e de 𝜷 𝑹$𝟒, 𝟎𝟎. 
O número mínimo de pacotes do complemento alimentar 𝜶 que essa pessoa deve ingerir 
semanalmente, para garantir os 𝟓 𝒎𝒈 de vitamina 𝑬 ao custo fixado para o mesmo 
período, é de: 
𝒂) 𝟑 𝒃) 𝟑
𝟓
𝟏𝟔
 𝒄) 𝟓, 𝟓 𝒅) 𝟔
𝟑
𝟒
 𝒆) 𝟖 
 
38. (Unesp 2011) Uma família fez uma pesquisa de mercado, nas lojas de 
eletrodomésticos, à procura de três produtos que desejava adquirir: uma TV, um freezer 
e uma churrasqueira. Em três das lojas pesquisadas, os preços de cada um dos 
produtos eram coincidentes entre si, mas nenhuma das lojas tinha os três produtos 
simultaneamente para a venda. A loja A vendia a churrasqueira e o freezer por R$ 
1.288,00. A loja B vendia a TV e o freezer por R$ 3.698,00 e a loja C vendia a 
churrasqueira e a TV por R$ 2.588,00. 
A família acabou comprando a TV, o freezer e a churrasqueira nestas três lojas. O valor 
total pago, em reais, pelos três produtos foi de 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 55 
a) 𝟑. 𝟕𝟔𝟕, 𝟎𝟎. b) 𝟑. 𝟕𝟕𝟕, 𝟎𝟎. c) 𝟑. 𝟕𝟖𝟕, 𝟎𝟎. d) 𝟑. 𝟕𝟗𝟕, 𝟎𝟎. e) 𝟑. 𝟖𝟎𝟕, 𝟎𝟎. 
 
39. (Unesp 2008) Um grupo de 𝒙 estudantes se juntou para comprar um computador 
portátil (notebook) que custa 𝑹$ 𝟑. 𝟐𝟓𝟎, 𝟎𝟎. Alguns dias depois, mais três pessoas se 
juntaram ao grupo, formando um novo grupo com 𝒙 + 𝟑 pessoas. Ao fazer a divisão do 
valor do computador pelo número de pessoas que estão compondo o novo grupo, 
verificou-se que cada pessoa pagaria 𝑹$ 𝟕𝟓, 𝟎𝟎 a menos do que o inicialmente 
programado para cada um no primeiro grupo. 
O número 𝒙 de pessoas que formavam o primeiro grupo é: 
a) 𝟗. b) 𝟏𝟎. c) 𝟏𝟏. d) 𝟏𝟐. e) 𝟏𝟑. 
 
9. Gabarito 
 
 
1 B 11 A 21 B 31 B 
2 D 12 A 22 D 32 A 
3 A 13 D 23 D 33 A 
4 C 14 C 24 E 34 A 
5 C 15 B 25 D 35 B 
6 E 16 A 26 D 36 D 
7 A 17 D 27 E 37 A 
8 A 18 E 28 E 38 C 
9 B 19 - 29 B 39 B 
10 E 20 A 30 C 
 
 
 
 
 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 56 
10. Questões Resolvidas e Comentadas 
1. (ENEM DIGITAL – 2020) Em um país, as infrações de trânsito são classificadas de 
acordo com sua gravidade. Infrações dos tipos leves e médias acrescentam, 
respectivamente, 3 e 4 pontos na carteira de habilitação do infrator, além de multas a 
serem pagas. Um motorista cometeu 5 infrações de trânsito. Em consequência teve 17 
pontos acrescentados em sua carteira de habilitação. 
Qual é a razão entre o número de infrações do tipo leve e o número de infrações do tipo 
média cometidas por esse motorista? 
A) 1/4 
B) 3/2 
C) 3/4 
D) 5/17 
E) 7/17 
Comentários 
Chamando 
• 𝑥 → número de infrações leves. 
• 𝑦→ número de infrações médias. 
O enunciado pode ser traduzido como 
• Um motorista cometeu 5 infrações de trânsito → 𝑥 + 𝑦 = 5; 
• Infrações dos tipos leves e médias acrescentam, respectivamente, 3 e 4 pontos 
na carteira de habilitação do infrator (...) teve 17 pontos acrescentados em sua 
carteira de habilitação → 3𝑥 + 4𝑦 = 17. 
Dessa forma, temos o seguinte sistema de equações: 
{
𝑥 + 𝑦 = 5 ∙ (−3)
3𝑥 + 4𝑦 = 17
 
{
−3𝑥 − 3𝑦 = −15 
3𝑥 + 4𝑦 = 17
 
𝑦 = 2 
𝑥 = 3 
Logo, a razão entre o número de infrações do tipo leve e o número de infrações do tipo 
média cometidas por esse motorista é dada por: 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 57 
𝑅𝑎𝑧ã𝑜 =
3
2
 
Gabarito: b) 
2. (ENEM 2018) Visando atingir metas econômicas previamente estabelecidas, é 
comum no final do mês algumas lojas colocarem certos produtos em promoção. Uma 
determinada loja de departamentos colocou em oferta os seguintes produtos: televisão, 
sofá e estante. Na compra da televisão mais o sofá, o cliente pagaria R$ 3 800,00. Se ele 
levasse o sofá mais a estante, pagaria R$ 3 400,00. A televisão mais a estante sairiam por 
R$ 4 200,00. Um cliente resolveu levar duas televisões e um sofá que estavam na 
promoção, conseguindo ainda mais 5% de desconto pelo pagamento à vista. 
O valor total, em real, pago pelo cliente foi de 
a) 3 610,00. 
b) 5 035,00. 
c) 5 415,00. 
d) 5 795,00. 
e) 6 100,00. 
Comentários 
{
𝑡 + 𝑠 = 3800
𝑠 + 𝑒 = 3400
𝑡 + 𝑒 = 4200
 
A primeira equação do sistema pode ser representada por 𝑠 = 3800 − 𝑡. Substituindo-a 
na segunda equação, temos: 
𝑠 + 𝑒 = 3400 
3800 − 𝑡 + 𝑒 = 3400 
−𝑡 + 𝑒 = −400 
Essa equação, ao ser somada com a terceira equação do sistema, resulta em: 
−𝑡 + 𝑒 + 𝑡 + 𝑒 = 4200 − 400 
2𝑒 = 3800 
𝑒 = 1900 
Temos que 𝑡 + 𝑒 = 4200. Portanto: 
𝑡 + 1900 = 4200 
𝑡 = 2300 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 58 
 
𝑠 = 3800 − 𝑡 
𝑠 = 3800 − 2300 
𝑠 = 1500 
Na compra de 2 TVs e um sofá, o cliente gastou: 
2300 + 2300 + 1500 = 6100 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 
Havendo um desconto de 5% na compra à vista, significa que o cliente pagou 95% do 
valor total: 
6100 . 0,95 = 5795 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 
Gabarito: d) 
3. (UNESP 2015.2) Em uma floricultura, os preços dos buquês de flores se 
diferenciam pelo tipo e pela quantidade de flores usadas em sua montagem. Quatro 
desses buquês estão representados na figura a seguir, sendo que três deles estão com 
os respectivos preços. 
 
De acordo com a representação, nessa floricultura, o buquê 4, sem preço indicado, custa 
a) R$ 15,30. 
b) R$ 16,20. 
c) R$ 14,80. 
d) R$ 17,00. 
e) R$ 15,50. 
Comentários 
Todos nós sabemos que as flores presentes nos buquês são maravilha, petúnia e 
margarida. 
Mentira, tive que perguntar para as professoras de biologia! Pelo visto, nem são 
representações fiéis, são apenas ilustrações fictícias mesmo. 
Mas não se assuste, para descobrirmos o valor do último buquê não precisamos saber 
quais são as flores exatamente, mas precisamos distingui-las de alguma forma, pois, 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 59 
pelo enunciado, “...os preços dos buquês de flores se diferenciam pelo tipo e pela 
quantidade de flores usadas em sua montagem.” 
Dessa forma, vamos nomeá-las de forma que possamos diferenciá-las ao longo de 
nossa resolução. 
Como o primeiro buquê apresenta todas as flores que aparecem no problema, vamos 
utilizá-lo para nomearmos nossas plantinhas. 
 
Com essa nomenclatura, podemos dizer que 
 o buquê 1 tem duas flores do tipo 𝑥, uma do tipo 𝑦 e uma do tipo 𝑧 e custa 𝑅$12,90 
 o buquê 2 tem uma flor do tipo 𝑥, duas do tipo 𝑦 e uma do tipo 𝑧 e custa 𝑅$12,10 
 o buquê 3 tem duas flores do tipo 𝑥 e duas do tipo 𝑧 e custa 𝑅$14,60 
 o buque 4 tem duas flores do tipo 𝑥, duas do tipo 𝑦 e uma do tipo 𝑧... 
A última linha representa o buquê cujo preço ainda é desconhecido. Para as outras 
três, façamos um sistema de equações para representá-las. 
{
 
 
 
 
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 12,90
 
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 12,10
 
2𝑥 + 0𝑦 + 2𝑧 = 14,60
 
Ao resolvermos o sistema, teremos os valores de cada flor e, consequentemente, 
conseguiremos estabelecer o preço do quarto tipo de buquê. 
Assim, partamos para a resolução do sistema. 
{
 
 
 
 
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 12,90
 
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 12,10
 
2𝑥 + 0𝑦 + 2𝑧 = 14,60
 
0
 
 
 
÷ 2
→
{
 
 
 
 
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 12,90
 
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 12,10
 
𝑥 + 𝑧 = 7,30
→
{
 
 
 
 
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 12,90
 
2𝑦 + 7,30 = 12,10
 
𝑥 + 𝑧 = 7,30
→ 
 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 60 
→
{
 
 
 
 
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 12,90
 
2𝑦 = 12,10 − 7,30
 
𝑥 + 𝑧 = 7,30
→
{2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 12,90
 
2𝑦 = 4,80
 
𝑥 + 𝑧 = 7,30
 
0
 
÷ 2
 
 
→
{
 
 
 
 
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 12,90
 
𝑦 = 2,40
 
𝑥 + 𝑧 = 7,30
→ 
 
→
{
 
 
 
 
𝑥 + 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 12,90
 
𝑦 = 2,40
 
𝑥 + 𝑧 = 7,30
→
{
 
 
 
 
𝑥 + 7,30 + 2,40 = 12,90
 
𝑦 = 2,40
 
𝑥 + 𝑧 = 7,30
→
{
 
 
 
 
𝑥 = 12,90 − 7,30 − 2,40
 
𝑦 = 2,40
 
𝑥 + 𝑧 = 7,30
→ 
 
{
 
 
 
 
𝑥 = 3,20
 
𝑦 = 2,40
 
𝑥 + 𝑧 = 7,30
→
{
 
 
 
 
𝑥 = 3,20
 
𝑦 = 2,40
 
3,20 + 𝑧 = 7,30
→
{
 
 
 
 
𝑥 = 3,20
 
𝑦 = 2,40
 
𝑧 = 7,30 − 3,20
→
{
 
 
 
 
𝑥 = 3,20
 
𝑦 = 2,40
 
𝑧 = 4,10
 
Como o buque 4 tem duas flores do tipo 𝑥, duas do tipo 𝑦 e uma do tipo 𝑧, seu preço 𝑃4 
é dado por: 
𝑃4 = 2𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 
𝑃4 = 2 ⋅ 3,20 + 2 ⋅ 2,40 + 4,10 
𝑃4 = 6,40 + 4,80 + 4,10 
𝑃4 = 15,30 
Neste, e em muitos outros exercícios, é possível substituirmos uma equação na outra e 
acabarmos por encontrar a solução diretamente, sem passarmos pela solução total do 
sistema. 
No entanto, isso nem sempre é trivial e, muitas vezes, o aluno perde muito tempo 
tentando encontrar um “atalho” para a resolução. 
Se você tem habilidade em resolução de sistemas lineares, um sistema simples como 
esse não deve tomar muito tempo seu, então, considere a resolução completa, pois, 
ela te dá ampla capacidade de resposta acerca do problema. 
Como curiosidade, vejamos como poderíamos percorrer um “atalho” e chegar ao preço 
do quarto buquê sem resolver todo o sistema. 
Pelo que vimos, o buque 4 tem duas flores do tipo 𝑥, duas do tipo 𝑦 e uma do tipo 𝑧 e 
seu preço 𝑃4 é representado por 𝑃4 = 2𝑥 + 2𝑦 + 𝑧. 
Voltemos ao nosso sistema inicial. 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 61 
{
 
 
 
 
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 12,90
 
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 12,10
 
2𝑥 + 0𝑦 + 2𝑧 = 14,60
 
Agora, em vez de resolvermos o sistema, tentaremos construir, com as equações 
dadas, algo que se assemelhe a 𝑃4 = 2𝑥 + 2𝑦 + 𝑧. 
Dando início à nossa resolução normalmente, chegamos a: 
{
 
 
 
 
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 12,90
 
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 12,10
 
2𝑥 + 0𝑦 + 2𝑧 = 14,60
→
{
 
 
 
 
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 12,90
 
𝑦 = 2,40
 
𝑥 + 𝑧 = 7,30
 
Podemos reescrever nossa equação do preço do quarto buquê como: 
𝑃4 = 2𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 
𝑃4 = 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑦 
Perceba que as três primeiras parcelas de 𝑃4, agora, estão representadas na primeira 
equação do nosso sistema, cuja soma é igual a 𝑅$12,90. 
 
𝑃4 = 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑦 
𝑃4 = 12,90 + 2,40 
𝑃4 = 15,30 
E, assim, conseguimos encontrar o preço do quarto buquê sem descobrir os valores 
das flores dos tipos 𝑥 e 𝑧. 
Gabarito: a) 
4. (UEA 2018) Para a participação em uma competição com várias modalidades 
esportivas, um grupo com 40 atletas recebeu, da universidade em que estudam, 36 
pacotes contendo 4 uniformes ou 6 uniformes em cada um. Se a média de uniformes 
recebidos por atleta foi 5, então o número de pacotes com 6 uniformes foi igual a 
(A) 16. 
(B) 24. 
(C) 28. 
(D) 20. 
(E) 8. 
Comentários 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 62 
Transformando os dados do enunciado em equações algébricas, sendo 𝑥 o número de 
pacotes com 4 uniformes e 𝑦 o número de pacotes com 6 uniformes, temos que: 
“um grupo com 40 atletas recebeu, da universidade em que estudam, 36 pacotes 
contendo 4 uniformes ou 6 uniformes em cada um.” 
“Se a média de uniformes recebidos por atleta foi 5” 
𝒙 ⋅ 𝟒 + 𝒚 ⋅ 𝟔 = 𝟓 ⋅ 𝟒𝟎 (𝒊) 
𝒙 + 𝒚 = 𝟑𝟔 
𝒐𝒖 
𝒙 = 𝟑𝟔 − 𝒚 (𝒊𝒊) 
Substituindo (𝑖𝑖) em (𝑖): 
(𝟑𝟔 − 𝒚) ⋅ 𝟒 + 𝟔𝒚 = 𝟐𝟎𝟎 
𝟏𝟒𝟒 − 𝟒𝒚 + 𝟔𝒚 = 𝟐𝟎𝟎 
𝟐𝒚 = 𝟓𝟔 
𝒚 = 𝟐𝟖 
Gabarito: c) 
5. (UEA 2015) Uma fábrica de doces vende um doce em três versões: normal, light e 
diet. Denise comprou duas unidades normais, oito light e cinco diet, e pagou por elas um 
total de R$ 72,00. Elaine comprou uma unidade normal, cinco light e três diet, e o total 
pago foi de R$ 43,00. Já Frederico, que comprou uma unidade de cada tipo, pagou um 
total de 
(A) R$ 20,00. 
(B) R$ 24,00. 
(C) R$ 15,00. 
(D) R$ 18,00. 
(E) R$ 22,00. 
Comentários 
Transformando as frases em equações, utilizando N para normal, L para Light e D para 
Diet, termos as seguintes equações: 
{
2𝑁 + 8𝐿 + 5𝐷 = 72
𝑁 + 5𝐿 + 3𝐷 = 43 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 63 
Note que temos 2 equações para 3 variáveis. Como o número de variáveis é maior que 
o número de equações, estamos diante de um Sistema Possível e indeterminado. 
Uma forma de explicitar a solução do sistema é escolher uma das variáveis para ser 
parâmetro das outras. Em outras palavras, deixamos todas as variáveis em função de 
apenas uma delas. 
Isolando o N na segunda equação temos: 
𝑁 = 43 − 5𝐿 − 3𝐷 
Substituindo o valor de N da primeira equação: 
2(43 − 5𝐿 − 3𝐷) + 8𝐿 + 5𝐷 = 72 
84 − 10𝐿 − 6𝐷 + 8𝐿 + 5𝐷 = 72 
−2𝐿 − 𝐷 = 72 − 84 
Escolhendo L como parâmetro, temos que 
𝐷 = 14 − 2𝐿 
Podemos substituir o valor de D na equação obtida no primeiro passo, para colocar D 
em função de L também: 
𝑁 = 43 − 5𝐿 − 3(14 − 2𝐿) 
𝑁 = 1 + 𝐿 
Assim, uma possível solução é 
(1 + 𝐿; 𝐿; 14 − 2𝐿) 
A questão pede o valor para 
𝑁 + 𝐿 + 𝐷 =? 
Substituindo a solução obtida 
= 1 + 𝐿 + 𝐿 + 14 − 2𝐿 
= 15 + 2𝐿 − 2𝐿 
= 15 
O que resulta em 15, pois os termos em L serão cancelados. 
Gabarito: c) 
6. (UEA 2003) O sistema de equações 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 64 
{
𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟏
𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟐
𝟑𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝟑𝒛 = 𝟓
 
(A) admite uma infinidade de soluções. 
(B) admite um número de soluções finito e maior que 2. 
(C) admite exatamente duas soluções. 
(D) admite uma única solução. 
(E) não admite solução. 
Comentários 
No sistema linear 
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1
2𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 2
3𝑥 + 3𝑦 + 3𝑧 = 5
, 
podemos observar que as duas primeiras equações, na verdade, são a mesma 
equação, apenas multiplicada por 2. 
A terceira equação segue a mesma lógica, sendo multiplicada por 3, mas com um 
termo independente incoerente com a proporção (5). 
Por esses dados, podemos afirmar que não há solução para esse sistema linear, 
sendo classificado como Sistema Impossível. 
Gabarito: E) 
7. (Fuvest 2015) No sistema linear 
{
 
 
 
 
𝒂𝒙 − 𝒚 = 𝟏
 
𝒚 + 𝒛 = 𝟏
 
𝒙 + 𝒛 = 𝒎
 
nas variáveis 𝒙, 𝒚 e 𝒛, 𝒂 e 𝒎 são constantes reais. É correto afirmar: 
 
a) No caso em que 𝒂 = 𝟏, o sistema tem solução se, e somente se, 𝒎 = 𝟐. 
b) O sistema tem solução, quaisquer que sejam os valores de 𝒂 e de 𝒎. 
c) No caso em que 𝒎 = 𝟐, o sistema tem solução se, e somente se, 𝒂 = 𝟏. 
d) O sistema só tem solução se 𝒂 = 𝒎 = 𝟏. 
e) O sistema não tem solução, quaisquer que sejam os valores de 𝒂 e de 𝒎. 
Comentários 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 65 
Em outras palavras, o enunciado nos pede para discutir o sistema dado. 
Vamos reescrever o sistema organizado em uma coluna por incógnita. 
{
 
 
 
 
𝑎𝑥 − 1𝑦 + 0𝑧 = 1
 
0𝑥 + 1𝑦 + 1𝑧 = 1
 
1𝑥 + 0y + 1𝑧 = 𝑚
 
Façamos, então, a matriz completa do sistema para escaloná-la. 
[
 
 
 
 
𝑎 −1 0 1
 
0 1 1 1
 
1 0 1 𝑚]
 
 
 
 
 
Como queremos 𝑎11 = 1 para podermos iniciar o escalonamento, vamos trocar de lugar 
𝐿1 e 𝐿3. 
[
 
 
 
 
𝑎 −1 0 1
 
0 1 1 1
 
1 0 1 𝑚]
 
 
 
 
 →
[
 
 
 
 
1 0 1 𝑚
 
0 1 1 1
 
𝑎 −1 0 1 ]
 
 
 
 
 
Como já temos 𝑎21 = 0, não precisamos modificar 𝐿2. Para conseguirmos 𝑎31 = 0, 
multipliquemos 𝐿1 por (−𝑎) e somemos o resultado a 𝐿3. 
[
 
 
 
 
1 0 1 𝑚
 
0 1 1 1
 
𝑎 −1 0 1 ]
 
 
 
 
 
 
 
 
+
∙ (−𝑎)
 
 
 
 
→
[
 
 
 
 
1 0 1 𝑚
 
0 1 1 1
 
0 −1 −𝑎 1 − 𝑎𝑚]
 
 
 
 
 
 
Para seguir com o escalonamento, precisamos induzir zero no elemento 𝑎32. Para isso, 
substituamos 𝐿3 por 𝐿2 + 𝐿3, que é equivalente a multiplicar 𝐿2por 1 e somar o 
resultado a 𝐿3. 
 
[
 
 
 
 
1 0 1 𝑚
 
0 1 1 1
 
0 −1 −𝑎 1 − 𝑎𝑚]
 
 
 
 
 
 
 
 
+
 0
 0
 ∙ (1)
 0
0
→
[
 
 
 
 
1 0 1 𝑚
 
0 1 1 1
 
0 0 1 − 𝑎 2 − 𝑎𝑚]
 
 
 
 
 
Com a matriz escalonada, podemos fazer nossa análise. 
Sistema Possível Determinado 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 66 
Para ser um sistema possível e determinado, SPD, é necessário que 
1 − 𝑎 ≠ 0 
Somando 𝑎 a ambos os membros da inequação. 
1 − 𝑎 + 𝑎 ≠ 0 + 𝑎 
1 − 𝑎 + 𝑎 ≠ 𝑎 
1 ≠ 𝑎 
Ou seja, para todos os valores em que 𝑎 ≠ 1, independentemente do valor de 𝑚, 
teremos um SPD. 
Sistema Possível Indeterminado 
Para termos um sistema possível e indeterminado, precisamos que ocorra, 
simultaneamente, 1 − 𝑎 = 0 e 2 − 𝑎𝑚 = 0. 
1 − 𝑎 = 0 𝑒 2 − 𝑎𝑚 = 0 
Somando 𝑎 a ambos os membros da primeira equação e 𝑎𝑚 a ambos da segunda, 
temos. 
 
1 − 𝑎 + 𝑎 = 0 + 𝑎 𝑒 2 − 𝑎𝑚 + 𝑎𝑚 = 0 + 𝑎𝑚 
 
1 − 𝑎 + 𝑎 = 0 + 𝑎 𝑒 2 − 𝑎𝑚 + 𝑎𝑚 = 0 + 𝑎𝑚 
 
1 = 𝑎 𝑒 2 = 𝑎𝑚 
Substituindo o valor de 1 = 𝑎 na segunda equação. 
 
 
1 = 𝑎 𝑒 2 = 𝑎𝑚 
 
1 = 𝑎 𝑒 2 = 1 ∙ 𝑚 
 
1 = 𝑎 𝑒 2 = 𝑚 
Ou seja, para 𝑎 = 1 e 𝑚 = 2, o sistema é possível e indeterminado, SPI. 
Sistema Impossível 
Para termos um sistema impossível, precisamos que ocorra, simultaneamente, 1 − 𝑎 =
0 e 2 − 𝑎𝑚 ≠ 0. 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 67 
1 − 𝑎 = 0 𝑒 2 − 𝑎𝑚 ≠ 0 
Aproveitando a resolução que fizemos para o sistema possível e indeterminado, 
mudando apenas o sinal da diferença na segunda equação, temos. 
1 = 𝑎 𝑒 2 ≠ 𝑚 
Ou seja, para 𝑎 = 1 e 𝑚 ≠ 2, nosso sistema será impossível, SI. 
 
 
Sistema discutido, vamos analisar nossas alternativas. 
a) No caso em que 𝑎 = 1, o sistema tem solução se, e somente se, 𝑚 = 2. 
Como podemos ver no nosso esquema, se a for definido como 𝑎 = 1, ele só terá 
solução para o caso de SPI, portanto, se, e somente se, 𝑚 = 2. 
Alternativa correta. 
b) O sistema tem solução, quaisquer que sejam os valores de 𝑎 e de 𝑚. 
Negativo. Para 𝑎 = 1 e 𝑚 ≠ 2m o sistema não tem solução. 
Alternativa incorreta. 
c) No caso em que 𝑚 = 2, o sistema tem solução se, e somente se, 𝑎 = 1. 
Essa é sutil. Olhando para o nosso esquema, pode até dar a impressão de ser 
verdadeira, pois 𝑚 = 2 está explícito somente no caso de 𝑎 = 1. 
No entanto, veja que, para o caso de 𝑎 ≠ 1, qualquer valor de 𝑚 satisfaz, inclusive 𝑚 =
2. 
Desse modo, sendo 𝑚 = 2, o sistema tem solução tanto para 𝑎 = 1 quanto para 𝑎 ≠ 1. 
Alternativa incorreta. 
d) O sistema só tem solução se 𝑎 = 𝑚 = 1. 
Negativo. O sistema tem solução, inclusive é possível e determinado para valores de 
𝑎 ≠ 1. 
Análises dos 
parâmetros
𝑎 e 𝑚
𝑎 = 1
𝑚 = 2 SPI
𝑚 ≠ 2 SI
𝑎 ≠ 1 SPD
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 68 
Alternativa incorreta. 
e) O sistema não tem solução, quaisquer que sejam os valores de 𝑎 e de 𝑚. 
O sistema tem solução, exceto para 𝑎 = 1 e 𝑚 ≠ 2, simultaneamente. 
Alternativa incorreta. 
Gabarito: a) 
8. (Fuvest 2006) João, Maria e Antônia tinham, juntos, 𝑹$ 𝟏𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎. Cada um deles 
investiu sua parte por um ano, com juros de 𝟏𝟎% ao ano. Depois de creditados seus 
juros no final desse ano, Antônia passou a ter 𝑹$ 𝟏𝟏. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 mais o dobro do novo 
capital de João. No ano seguinte, os três reinvestiram seus capitais, ainda com juros de 
𝟏𝟎% ao ano. Depois de creditados os juros de cada um no final desse segundo ano, o 
novo capital de Antônia era igual à soma dos novos capitais de Maria e João. 
Qual era o capital inicial de João? 
a) 𝑹$ 𝟐𝟎. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 b) 𝑹$ 𝟐𝟐. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 c) 𝑹$ 𝟐𝟒. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 
d) 𝑹$ 𝟐𝟔. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 e) 𝑹$ 𝟐𝟖. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 
Comentários 
Antes de iniciarmos a resolução da questão, vamos esclarecer alguns pontos sobre 
juros. 
Quando investimos um valor 𝑥 com 10% de ganho, ficaremos, ao final, com 110% de 𝑥: 
100% que já tínhamos antes de investir e os 10% de ganho. 
Dessa forma, nosso valor final (𝑉𝐹) é dado por 
𝑉𝐹 = 100% ∙ 𝑥 + 10% ∙ 𝑥 = 110% ∙ 𝑥 =
110
100
∙ 𝑥 = 1,1 ∙ 𝑥 
Para o caso de reinvestimento, teremos o mesmo processo, ou seja, multiplicamos a 
quantia anterior por 1,1. 
Se já temos a quantia de 1,1 ∙ 𝑥 e reinvestimos com ganhos de, novamente, 10%, 
teremos, ao final, 1,1 ∙ 1,1 ∙ 𝑥. 
Feitas as devidas considerações, vamos traduzir o enunciado para a linguagem 
matemática na forma de equações. 
“João, Maria e Antônia tinham, juntos, 𝑅$ 100.000,00.” 
𝐽𝑜ã𝑜 + 𝑀𝑎𝑟𝑖𝑎 + 𝐴𝑛𝑡ô𝑛𝑖𝑎 = 100.000 
“Depois de creditados seus juros no final desse ano, Antônia passou a ter 𝑅$ 11.000,00 
mais o dobro do novo capital de João.” 
1,1 ∙ 𝐴𝑛𝑡ô𝑛𝑖𝑎 = 11.000 + 2 ∙ 1,1 ∙ 𝐽𝑜ã𝑜 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 69 
“No ano seguinte, os três reinvestiram seus capitais, ainda com juros de 10% ao ano.” 
A partir desse ponto, os valores foram reinvestidos, ou seja, cada um terá, como 
resultado de investir 𝑥 reais, 1,1 ∙ 1,1 ∙ 𝑥. 
“Depois de creditados os juros de cada um no final desse segundo ano, o novo capital 
de Antônia era igual à soma dos novos capitais de Maria e João.” 
1,1 ∙ 1,1 ∙ 𝐴𝑛𝑡ô𝑛𝑖𝑎 = 1,1 ∙ 1,1 ∙ 𝑀𝑎𝑟𝑖𝑎 + 1,1 ∙ 1,1 ∙ 𝐽𝑜ã𝑜 
Criando uma nomenclatura para o enunciado e colocando todas as equações em um 
único sistema. 
{
 
 
 
 
𝐽𝑜ã𝑜 + 𝑀𝑎𝑟𝑖𝑎 + 𝐴𝑛𝑡ô𝑛𝑖𝑎 = 100.000
 
1,1 ∙ 𝐴𝑛𝑡ô𝑛𝑖𝑎 = 11.000 + 2 ∙ 1,1 ∙ 𝐽𝑜ã𝑜
 
1,1 ∙ 1,1 ∙ 𝐴𝑛𝑡ô𝑛𝑖𝑎 = 1,1 ∙ 1,1 ∙ 𝑀𝑎𝑟𝑖𝑎 + 1,1 ∙ 1,1 ∙ 𝐽𝑜ã𝑜
 
 
𝐽 = 𝐽𝑜ã𝑜
 
𝑀 = 𝑀𝑎𝑟𝑖𝑎
 
𝐴 = 𝐴𝑛𝑡ô𝑛𝑖𝑎
 →
{
 
 
 
 
𝐽 +𝑀 + 𝐴 = 100.000
 
1,1 ∙ 𝐴 = 11.000 + 2 ∙ 1,1 ∙ 𝐽
 
1,1 ∙ 1,1 ∙ 𝐴 = 1,1 ∙ 1,1 ∙ 𝑀 + 1,1 ∙ 1,1 ∙ 𝐽
 
Vamos organizar o sistema colocando as incógnitas nos primeiros membros e os 
termos independentes nos segundos membros das equações. 
{
 
 
 
 
𝐽 +𝑀 + 𝐴 = 100.000
 
1,1 ∙ 𝐴 = 11.000 + 2 ∙ 1,1 ∙ 𝐽
 
1,1 ∙ 1,1 ∙ 𝐴 = 1,1 ∙ 1,1 ∙ 𝑀 + 1,1 ∙ 1,1 ∙ 𝐽
→
{
 
 
 
 
0,0000𝐽 + 0,000 +𝑀 + 0,000 + 𝐴 = 100.000
 
−2 ∙ 1,1 ∙ 𝐽 + 00𝑀 + 0000 + 1,1 ∙ 𝐴 = 11.000
 
−1,1 ∙ 1,1 ∙ 𝐽 − 1,1 ∙ 1,1 ∙ 𝑀 + 1,1 ∙ 1,1 ∙ 𝐴 = 0
 
Com o sistema organizado, vamos escrever a matriz completa do sistema. 
{
 
 
 
 
0,0000𝐽 + 0,000 + 𝑀 + 0,000 + 𝐴 = 100.000
 
−2 ∙ 1,1 ∙ 𝐽 + 00𝑀 + 0000 + 1,1 ∙ 𝐴 = 11.000
 
−1,1 ∙ 1,1 ∙ 𝐽 − 1,1 ∙ 1,1 ∙ 𝑀 + 1,1 ∙ 1,1 ∙ 𝐴 = 0
→ 
 
→
[
 
 
 
 
1 1 1 100.000
 
−2 ∙ 1,1 0 1,1 11.000
 
−1,1 ∙ 1,1 −1,1 ∙ 1,1 1,1 ∙ 1,1 0 ]
 
 
 
 
 
Professor, por que você já não fez as contas? 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 70 
Calma. Não fiz, pois vamos simplificar esses valores agora mesmo. 
Para isso, vamos dividir a segunda linha por (1,1) e a terceira por (1,1 ∙ 1,1). 
[
 
 
 
 
1 1 1 100.000
 
−2 ∙ 1,1 0 1,1 11.000
 
−1,1 ∙ 1,1 −1,1 ∙ 1,1 1,1 ∙ 1,1 0 ]
 
 
 
 
 )
 
÷ (1,1)
 
÷ (1,1 ∙ 1,1)
→
[
 
 
 
 
1 1 1 100.000
 
−2 0 1 10.000
 
−1 −1 1 0 ]
 
 
 
 
 
Bem melhor, não? 
Agora que temos a matriz simplificada, vamos escaloná-la. 
Para conseguir os zeros necessários na primeira coluna, vamos multiplicar a primeira 
linha por 2 e somar o resultado à segunda linha; e substituir a terceira linha pela soma 
desta com a primeira (é o mesmo que multiplicar a primeira linha por 1 e somar o 
resultado à terceira, ok?). 
[
 
 
 
 
1 1 1 100.000
 
−2 0 1 10.000
 
−1 −1 1 0 ]
 
 
 
 
∙ 2
 
+ 
 
+ 
 
∙ 2
 
 
 
 
 
∙ 1
 
 
 
 
→
[
 
 
 
 
1 1 1 100.000
 
0 2 3 210.000
 
0 0 2 100.000]
 
 
 
 
 
E ganhamos o zero na posição 𝑎32 de brinde! 
A matriz já está escalonada,mas vamos dividir 𝐿3 por 2 para simplificar. 
[
 
 
 
 
1 1 1 100.000
 
−2 0 1 10.000
 
−1 −1 1 0 ]
 
 
 
 
∙ 2
 
+ 
 
÷ 2 
→
[
 
 
 
 
1 1 1 100.000
 
0 2 3 210.000
 
0 0 1 50.000 ]
 
 
 
 
 
Tudo pronto, podemos voltar à representação de sistema, com um sistema equivalente 
ao original. 
[
 
 
 
 
1 1 1 100.000
 
0 2 3 210.000
 
0 0 1 50.000 ]
 
 
 
 
→
{
 
 
 
 
𝐽 +𝑀 + 𝐴 = 100.000
 
0𝐽 + 2𝑀 + 3𝐴 = 210.000
 
0𝐽 + 0𝑀 + 1𝐴 = 50.000
→
{
 
 
 
 
𝐽 +𝑀 + 𝐴 = 100.000
 
0𝐽 + 2𝑀 + 3𝐴 = 210.000
 
0𝐽 + 0𝑀 + 𝐴 = 50.000
 
Substituindo 𝐴 = 50.000 na primeira equação, temos. 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 71 
{
 
 
 
 
𝐽 +𝑀 + 𝐴 = 100.000
 
0𝐽 + 2𝑀 + 3𝐴 = 210.000
 
0𝐽 + 0𝑀 + 𝐴 = 50.000
→
{
 
 
 
 
𝐽 +𝑀 + 𝐴 = 100.000
 
2𝑀 + 3 ∙ 50.000 = 210.000
 
𝐴 = 50.000
→
{
 
 
 
 
𝐽 +𝑀 + 𝐴 = 100.000
 
2𝑀 = 210.000 − 150.000
 
𝐴 = 50.000
→ 
 
→
{
 
 
 
 
𝐽 +𝑀 + 𝐴 = 100.000
 
2𝑀 = 60.000
 
𝐴 = 50.000
→
{
 
 
 
 
𝐽 + 𝑀 + 𝐴 = 100.000
 
2𝑀
2
=
60.000
2 
𝐴 = 50.000
→
{
 
 
 
 
𝐽 +𝑀 + 𝐴 = 100.000
 
𝑀 = 30.000
 
𝐴 = 50.000
 
 
Substituindo 𝐴 = 50.000 e 𝑀 = 30.000 na primeira equação, temos. 
{
 
 
 
 
𝐽 +𝑀 + 𝐴 = 100.000
 
𝑀 = 30.000
 
𝐴 = 50.000
 →
{
 
 
 
 
𝐽 + 30.000 + 50.000 = 100.000
 
𝑀 = 30.000
 
𝐴 = 50.000
→ 
 
→
{
 
 
 
 
𝐽 = 100.000 − 80.000
 
𝑀 = 30.000
 
𝐴 = 50.000
→→
{
 
 
 
 
𝐽 = 20.000
 
𝑀 = 30.000
 
𝐴 = 50.000
 
 Voltemos ao enunciado para declarar nossa resposta. 
“Qual era o capital inicial de João?” 
Pelo sistema resolvido, podemos dizer que o capital inicial de João era de 
𝑅$ 20.000,00. 
Gabarito: a) 
9. (Fuvest/2003 – Questão 81 – Prova V) O sistema {
𝒙 + (𝒄 + 𝟏)𝒚 = 𝟎
𝒄𝒙 + 𝒚 = −𝟏
, onde 𝒄  𝟎, 
admite uma solução (𝒙, 𝒚) com 𝒙 = 𝟏. Então, o valor de 𝒄 é: 
a) –3 
b) –2 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 72 
c) –1 
d) 1 
e) 2 
Comentários 
Substituindo o valore de 𝑥: 
𝑥 + (𝑐 + 1)𝑦 = 0
𝑐𝑥 + 𝑦 = −1
 
{
1 + (𝑐 + 1)𝑦 = 0
𝑐 + 𝑦 = −1
 
Assim, temos um sistema 2x2, de variáveis 𝑥 e 𝑐. 
Isolando y na segunda equação, temos: 
𝑐 + 𝑦 = −1 
𝑦 = −1 − 𝑐 
Substituindo o valor de 𝑦 na primeira equação, temos: 
1 + (𝑐 + 1)𝑦 = 0 
1 + (𝑐 + 1) ⋅ (−1 − 𝑐) = 0 
−c2 − c − c − 1 + 1 = 0 
−𝑐2 − 2𝑐 = 0 
−𝑐(𝑐 + 2) = 0 
Assim, teremos: 
𝑐′ = 0 
𝑐′′ = −2 
Como 𝑐  0, então ficamos com a alternativa B. 
Gabarito: b) 
10. (Fuvest/1997 - Questão 61 – Prova M) 
{
𝒙 + 𝟒𝒛 = −𝟕
𝒙 − 𝟑𝒚 = −𝟖
𝒚 + 𝒛 = 𝟏
 
Então, x + y + z é igual a 
a) –2 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 73 
b) –1 
c) 0 
d) 1 
e) 2 
Comentários 
Dado o sistema: 
{
𝑥 + 4𝑧 = −7 (𝑖)
𝑥 − 3𝑦 = −8 (𝑖𝑖)
𝑦 + 𝑧 = 1 (𝑖𝑖𝑖)
 
Vamos isolar 𝑦 na equação (𝑖𝑖𝑖) 
𝒚 = 𝟏 − 𝒛 (𝑖𝑣) 
E vamos isolar 𝑥 na equação (𝑖) 
𝒙 = −𝟕 − 𝟒𝒛 (𝑣) 
Substituindo (𝒊𝒗) e (𝒗) em (𝑖𝑖), temos: 
𝒙 − 𝟑𝒚 = −𝟖 
(−𝟕 − 𝟒𝒛) − 𝟑(𝟏 − 𝒛) = −𝟖 
−𝟕 − 𝟒𝒛 − 𝟑 + 𝟑𝒛 = −𝟖 
−7 − 4𝑧 − 3 + 3𝑧 = −8 
−𝑧 − 10 = −8 
𝑧 = −2 
Podemos agora encontrar 𝑥 e 𝑦: 
𝒚 = 𝟏 − (−𝟐) 
𝒚 = 𝟑 
 
𝒙 = −𝟕 − 𝟒(−𝟐) 
𝑥 = 1 
Dessa forma, 
𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟐 
Gabarito: e) 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 74 
11. (UNICAMP 2018) Sabendo que 𝑘 é um número real, considere o sistema linear nas 
variáveis reais 𝑥 e 𝑦, 
{
𝒙 + 𝒌𝒚 = 𝟏
𝒙 + 𝒚 = 𝒌
 
É correto afirmar que esse sistema 
a) tem solução para todo 𝑘. 
b) não tem solução única para nenhum 𝑘. 
c) não tem solução se 𝑘 = 1. 
d) tem infinitas soluções se 𝑘 ≠ 1. 
Comentários 
Escalonando o sistema, temos: 
{
𝑥 + 𝑘𝑦 = 1 ∙ (−1)
𝑥 + 𝑦 = 𝑘
 
 
−𝑘𝑦 + 𝑦 = −1 + 𝑘 
(−𝑘 + 1) ⋅ 𝑦 = −1 + 𝑘 
𝑦 =
−1 + 𝑘
−𝑘 + 1
 
Aplicando a condição de existência para o denominador: 
−𝑘 + 1 ≠ 0 
−𝑘 ≠ −1 
𝑘 ≠ 1 
Assim, se 𝑘 ≠ 1, o sistema será Possível e Determinado. 
Podemos agora testar o sistema com 𝑘 = 1, vejamos: 
{
𝑥 + 𝑦 = 1
𝑥 + 𝑦 = 1
 
Como temos duas equações iguais, podemos dizer que para 𝑘 = 1, o sistema será 
Possível e Indeterminado. 
Assim, o sistema admite solução para todos os valores reais de 𝑘. 
Gabarito: a) 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 75 
12. (UNICAMP 2012) As companhias aéreas costumam estabelecer um limite de peso 
para a bagagem de cada passageiro, cobrando uma taxa por quilograma de excesso de 
peso. Quando dois passageiros compartilham a bagagem, seus limites são considerados 
em conjunto. 
Em um determinado voo, tanto um casal como um senhor que viajava sozinho 
transportaram 60 kg de bagagem e foram obrigados a pagar pelo excesso de peso. O 
valor que o senhor pagou correspondeu a 3,5 vezes o valor pago pelo casal. 
Para determinar o peso excedente das bagagens do casal (x) e do senhor que viajava 
sozinho (y), bem como o limite de peso que um passageiro pode transportar sem pagar 
qualquer taxa (z), pode-se resolver o seguinte sistema linear: 
a) {
𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟔𝟎
𝒚 + 𝒛 = 𝟔𝟎
𝟑, 𝟓𝒙 − 𝒚 = 𝟎
 
b) {
𝒙 + 𝒛 = 𝟔𝟎
𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟔𝟎
𝟑, 𝟓𝒙 − 𝒚 = 𝟎
 
c) {
𝒙 + 𝟐𝒛 = 𝟔𝟎
𝒚 + 𝒛 = 𝟔𝟎
𝟑, 𝟓𝒙 + 𝒚 = 𝟎
 
d) {
𝒙 + 𝒛 = 𝟔𝟎
𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟔𝟎
𝟑, 𝟓𝒙 + 𝒚 = 𝟎
 
Comentários 
Vamos resolver os sistemas lineares de cada alternativa e determinar as soluções: 
 
a) {
𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟔𝟎
𝒚 + 𝐳 = 𝟔𝟎
𝟑, 𝟓𝒙 − 𝒚 = 𝟎
 
 
Começando pela terceira equação: 
3,5 𝑥 − 𝑦 = 0 
Podemos reescrevê-la da seguinte maneira: 
3,5𝑥 = 𝑦 
Vamos substituir na segunda equação, teremos: 
3,5𝑥 + 𝑧 = 60 
Dessa forma: 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 76 
𝑧 = 60 − 3,5𝑥 
Substituindo agora na primeira equação 
𝑥 + 2(60 − 3,5𝑥) = 60 
𝑥 = 10 
Podemos calcular y e z: 
𝑦 = 35 𝑒 𝑧 = 25. 
 
 
b) {
𝒙 + 𝒛 = 𝟔𝟎
𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟔𝟎
𝟑, 𝟓𝒙 − 𝒚 = 𝟎
 
 
Começando pela terceira equação: 
3,5𝑥 − 𝑦 = 0 
Podemos reescrevê-la da seguinte maneira: 
3,5𝑥 = 𝑦 
Vamos substituir na segunda equação, temos: 
3,5𝑥 + 2𝑧 = 60 
Podemos dizer que: 
𝑧 = 
60 − 3,5𝑥
2
 
Substituindo na primeira equação: 
𝑥 + 
60 − 3,5𝑥
2
= 60 
Assim, encontramos o valor de x: 
𝑥 = −40 
Podemos agora calcular y e z: 
𝑦 = −140 𝑒 𝑧 = 100 
 
c) {
𝒙 + 𝟐𝒛 = 𝟔𝟎
𝒚 + 𝒛 = 𝟔𝟎
𝟑, 𝟓𝒙 + 𝒚 = 𝟎
 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 77 
 
Começando pela terceira equação: 
3,5 𝑥 + 𝑦 = 0 
−3,5𝑥 = 𝑦 
Substituindo na segunda equação, temos: 
−3,5𝑥 + 𝑧 = 60 
𝑧 = 60 + 3,5𝑥 
Substituindo na primeira equação: 
𝑥 + 2(60 + 3,5𝑥) = 60 
𝑥 = −7,5 
Com o valor de x, podemos calcular y e z: 
𝑦 = 26,25 𝑒 𝑧 = 33,75 
 
 
d) {
𝒙 + 𝒛 = 𝟔𝟎
𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟔𝟎
𝟑, 𝟓𝒙 + 𝒚 = 𝟎
 
 
Começando pela terceira equação: 
3,5𝑥 + 𝑦 = 0 
−3,5𝑥 = 𝑦 
Substituindo na segunda equação, temos: 
−3,5𝑥 + 2𝑧 = 60 
𝑧 = 
60 + 3,5𝑥
2
 
Agora, substituímos na primeira equação: 
𝑥 +
60 + 3,5𝑥
2
 = 60. 
𝑥 =
120
11
 
Com o valor de x, podemos calcular y e z: 
𝑦 = −420/11 𝑒 𝑧 = 540/11 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 78 
A alternativa a) é a única que contém apenas valores positivos na sua solução. 
Gabarito: a) 
13. (UFPR 2012) Uma bolsa contém 20 moedas, distribuídas entre as de 5, 10 e 25 
centavos, totalizando R$3,25. Sabendo que a quantidade de moedas de 5 centavos é a 
mesma das moedas de 10 centavos, quantas moedas de 25 centavos há nessa bolsa? 
a) 6. 
b) 8. 
c) 9. 
d) 10. 
e) 12. 
Comentários 
Número de moedas 5 centavos = 𝑥 
Número de moedas 10 centavos = 𝑦 
Número de moedas de 25 centavos = 𝑧 
Como na bolsa temos 20 moedas,afirma-se que 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 20. 
Como o valor total é R$ 3,25, afirma-se que 0,05𝑥 + 0,10𝑦 + 0,25𝑧 = 3,25, que é igual a 
5𝑥 + 10𝑦 + 25𝑧 = 325. 
Sabe-se que o número de moedas de 5 centavos é igual ao número de moedas de 10 
centavos. Portanto, 𝑥 = 𝑦. Realizando as substituições, temos: 
𝑥 + 𝑥 + 𝑧 = 20 5𝑥 + 10𝑥 + 25𝑧 = 325 
2𝑥 + 𝑧 = 20 15𝑥 + 25𝑧 = 325 
 3𝑥 + 5𝑧 = 65 
Resolvendo o sistema: 
{
2𝑥 + 𝑧 = 20 . (−5)
3𝑥 + 5𝑧 = 65
 
{
−10𝑥 − 5𝑧 = −100
3𝑥 + 5𝑧 = 65
 
−7𝑥 = −35 
𝑥 = 5 
Logo, são 5 moedas de 5 centavos e 5 moedas de 10 centavos. 
2𝑥 + 𝑧 = 20 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 79 
2.5 + 𝑧 = 20 
10 + 𝑧 = 20 
𝑧 = 10 ⟶ Logo, são 10 moedas de 25 centavos. 
Gabarito: D 
14. (Unicamp 2020) Em uma família, cada filha tem o mesmo número de irmãs e 
irmãos, e cada filho tem um número de irmãs igual ao dobro do número de irmãos. O 
número total de filhos e filhas dessa família é igual a 
a) 11. b) 9. c) 7. d) 5. 
Comentários: 
Para uma filha, podemos dizer que o número de irmãs, sendo 𝐴 o número de filhas, é 
dado por 𝐴 − 1, pois uma filha não é considerada irmã de si mesma. Já o número de 
irmãos de uma filha, sendo 𝑂 o número de filhos, é dado por 𝑂 mesmo. 
Já para um filho, o número de irmãos é igual a 𝑂 − 1 pelo mesmo motivo citado 
anteriormente. O número de irmãs de um filho é igual a 𝐴. 
Dessa forma, pelo enunciado, podemos montar o seguinte sistema de equações: 
{
𝐴 − 1 = 𝑂
 
2 ⋅ (𝑂 − 1) = 𝐴
 → {
𝐴 − 1 = 𝑂
 
2 ⋅ 𝑂 − 2 = 𝐴
→ {
𝐴 − 𝑂 = 1
 
−𝐴 + 2 ⋅ 𝑂 = 2
→ {
𝐴 − 𝑂 = 1
 
𝑂 = 3
→ {
𝐴 = 4
 
𝑂 = 3
 
De posse do número de filhos 𝑂 e de filhas 𝐴, a soma é dada por: 
𝐴 + 𝑂 = 4 + 3 = 7 
Gabarito: c) 
15. (FUVEST/2021) Uma treinadora de basquete aplica o seguinte sistema de 
pontuação em seus treinos de arremesso à cesta: cada jogadora recebe 5 pontos por 
arremesso acertado e perde 2 pontos por arremesso errado. Ao fim de 50 arremessos, 
uma das jogadoras contabilizou 124 pontos. Qual é a diferença entre as quantidades de 
arremessos acertados e errados dessa jogadora? 
(A) 12 
(B) 14 
(c) 16 
(D) 18 
(E) 20 
Comentários: 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 80 
Traduzindo algebricamente, as informações do enunciado, temos: 
“(…) cada jogadora recebe 5 pontos por arremesso acertado e perde 2 pontos 
por arremesso errado. (…) uma das jogadoras contabilizou 124 pontos (…)” 
𝟓𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟏𝟐𝟒 
“Ao fim de 50 arremessos” 
𝒙 + 𝒚 = 𝟓𝟎 
 
Assim, temos um Sistema com duas equações e duas variáveis. 
{
5𝑥 − 2𝑦 = 124
𝑥 + 𝑦 = 50
 
Resolvendo o Sistema, obtemos: 
𝒙 = 𝟑𝟐 
𝒚 = 𝟏𝟖 
Dessa forma, a diferença entre as quantidades de arremessos acertados e errados 
dessa jogadora será dado por: 
𝒙 − 𝒚 = 𝟑𝟐 − 𝟏𝟖 = 𝟏𝟒 
Gabarito: b) 
16. (FDSBC 2020) Um estudante comprou três livros: um sobre Direito Civil, um sobre 
Direito Constitucional e outro sobre Direito Tributário, pagando no total R$ 350,00. Sabe-
se que o preço do livro de Direito Civil é R$ 50,00 mais caro do que a média aritmética 
dos preços dos outros dois livros, e que o preço do livro sobre Direito Tributário é 50% 
maior do que o preço do livro sobre Direito Constitucional. A diferença entre o maior e o 
menor preço é de 
a) R$ 70,00 
b) R$ 60,00 
c) R$ 40,00 
d) R$ 30,00 
Comentários: 
Sendo 
𝑐 = 𝑐𝑖𝑣𝑖𝑙, 
𝑘 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑒 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 81 
𝑡 = 𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡á𝑟𝑖𝑜, 
temos: 
𝑖. Um estudante comprou três livros: um sobre Direito Civil, um sobre Direito 
Constitucional e outro sobre Direito Tributário, pagando no total R$ 350,00 → 𝑐 + 𝑘 +
𝑡 = 350. 
𝑖𝑖. Sabe-se que o preço do livro de Direito Civil é R$ 50,00 mais caro do que a média 
aritmética dos preços dos outros dois livros → 𝑐 =
𝑘+𝑡
2
+ 50 
𝑖𝑖𝑖. o preço do livro sobre Direito Tributário é 50% maior do que o preço do livro sobre 
Direito Constitucional → 𝑡 = 1,5𝑘 
Logo, o sistema linear será dado por: 
{
𝑐 + 𝑘 + 𝑡 = 350
𝑐 =
𝑘 + 𝑡
2
+ 50
𝑡 = 1,5𝑘
 
Organizando as equações 𝑖𝑖 e 𝑖𝑖𝑖: 
{
𝑐 + 𝑘 + 𝑡 = 350
2𝑐 − 100 = 𝑘 + 𝑡
𝑡 = 1,5𝑘
 
Isolando 𝑘 + 𝑡, na primeira e na segunda equação: 
{
𝑘 + 𝑡 = 350 − 𝑐
2𝑐 − 100 = 𝑘 + 𝑡
𝑡 = 1,5𝑘
 
 Igualando as equações 𝑖 𝑒 𝑖𝑖: 
350 − 𝑐 = 2𝑐 − 100 
450 = 3𝑐 
150 = 𝑐 
 Dessa forma, temos: 
𝑘 + 𝑡 = 350 − 𝑐 
𝑘 + 1,5𝑘 = 350 − 150 
2,5𝑘 = 200 
𝑘 = 80 
 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 82 
𝑡 = 1,5𝑘 
𝑡 = 1,5 ∙ 80 
𝑡 = 120 
 A diferença entre o livro mais caro e o mais barato será: 
150 − 80 = 70 
Gabarito: a) 
17. (Fuvest 2020) Uma agência de turismo vendeu um total de 78 passagens para os 
destinos: Lisboa, Paris e Roma. Sabe-se que o número de passagens vendidas para 
Paris foi o dobro do número de passagens vendidas para os outros dois destinos 
conjuntamente. Sabe-se também que, para Roma, foram vendidas duas passagens a 
mais que a metade das vendidas para Lisboa. Qual foi o total de passagens vendidas, 
conjuntamente, para Paris e Roma? 
a) 26 b) 38 c) 42 d) 62 e) 68 
Comentários: 
Uma agência de turismo vendeu um total de 78 passagens para os destinos: Lisboa, 
Paris e Roma 
𝐿 + 𝑃 + 𝑅 = 78 
Sabe-se que o número de passagens vendidas para Paris foi o dobro do número de 
passagens vendidas para os outros dois destinos conjuntamente 
𝑃 = 2 ⋅ (𝐿 + 𝑅) 
Sabe-se também que, para Roma, foram vendidas duas passagens a mais que a 
metade das vendidas para Lisboa. 
𝑅 = 2 +
𝐿
2
 
{
𝐿 + 𝑃 + 𝑅 = 78 
𝑃 = 2 ⋅ (𝐿 + 𝑅) 
𝑅 = 2 +
𝐿
2
 
{
𝐿 + 𝑃 + 𝑅 = 78 
2L + 2R − P = 0 
L − 2R = −4
 
[
1 1 1 78
2 2 −1 0
1 −2 0 −4
] 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 83 
𝐷 = [
1 1 1
2 2 −1
1 −2 0
] = −9 
𝐷𝐿 = [
78 1 1
0 2 −1
−4 −2 0
] = −148 
𝐷𝑃 = [
1 78 1
2 0 −1
1 −4 0
] = −90 
𝐷𝑅 = [
1 1 78
2 2 0
1 −2 −4
] = −468 
 
𝑃 =
𝐷𝑃
𝐷
=
−90
−9
= 10 
𝑅 =
𝐷𝑅
𝐷
=
−468
−9
= 52 
 
Resolução alternativa (escalonamento) 
Essas equações formam um sistema linear. 
{
 
 
 
 
𝐿 + 𝑃 + 𝑅 = 78 
 
𝑃 = 2 ⋅ (𝐿 + 𝑅)
 
𝑅 = 2 +
𝐿
2
→
{
 
 
 
 
𝐿 + 𝑃 + 𝑅 = 78 
 
2𝐿 − 𝑃 + 2𝑅 = 0
 
−𝐿 + 2𝑅 = 4
→
{
 
 
 
 
𝐿 + 𝑃 + 𝑅 = 78 
 
−3𝑃 + 2 = −78 ⋅ 2
 
𝑃 + 3𝑅 = 82
 
→
{
 
 
 
 
𝐿 + 𝑃 + 𝑅 = 78 
 
3𝑃 + 2 = 52
 
𝑃 + 3𝑅 = 82
→
{
 
 
 
 
𝐿 + 𝑃 + 𝑅 = 78 
 
3𝑃 + 2 = 52
 
𝑅 = 10
 
Novamente, a questão nos solicitou o valor da soma 𝑃 + 𝑅, portanto, não há necessidade de 
seguirmos com a resolução do sistema, uma vez que 
𝑃 + 𝑅 = 52 + 10 = 62 
Gabarito: d) 
18. (FGV 2016) Sendo k um número real, o sistema linear 
{
𝟗𝒙 − 𝟔𝒚 = 𝟐𝟏
𝟔𝒙 − 𝟒𝒚 = 𝒌
 
possui infinitas soluções (𝒙, 𝒚) para k igual a 
a) –10,5. 
b) 0. 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 84 
c) 7. 
d) 10,5. 
e) 14. 
Comentários 
Calculando o determinante da matriz incompleta: 
𝐷 = |
9 −6
6 −4
| = −36 + 36 = 0 
Como D=0, então será SPI ou SI. 
Para ter infinitas soluções (SPI), devemos ter 𝐷𝑥 e 𝐷𝑦 iguais a zero, logo: 
Calculando 𝐷𝑥: 
𝐷𝑥 = |
21 −6
𝑘 −4
| = −84 + 6𝑘 
−84 + 6𝑘 = 0 
𝑘 = 14 
 Calculando 𝐷𝑦: 
𝐷𝑥 = |
9 21
6 𝑘
| = 9𝑘 − 126 
9𝑘 − 126 = 0 
𝑘 = 14 
Gabarito: e) 
19. (FUVEST 2021) É dado o sistema linear 
{
𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟓
𝒑𝒙 + 𝒒𝒚 = 𝟐
 
em que 𝑝 e 𝑞 são números reais. 
a) Determine todos os valores de p e q para que o sistema seja possível e indeterminado (isto 
é, tenha mais do que uma solução). 
b) Determine todos os valores de p e q para que o sistema tenha solução (x; y) com x = 0. 
c) Determine todos os valores de p e q para que o sistema não tenha solução. 
Comentários: 
a) Determine todos os valores dep e q para que o sistema seja possível e 
indeterminado (isto é, tenha mais do que uma solução). 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 85 
Para ser SPI, devemos ter 𝐷 = 0, 𝐷𝑥 = 0 e 𝐷𝑦 = 0, então: 
{
2𝑥 + 3𝑦 = 5
𝑝𝑥 + 𝑞𝑦 = 2
 
𝐷 = |
2 3
𝑝 𝑞
| 
𝐷 = 2𝑞 − 3𝑝 
2𝑞 − 3𝑝 = 0 
 
𝐷𝑥 = |
5 3
2 𝑞
| 
𝐷𝑥 = 5𝑞 − 6 
𝐷𝑥 = 0 
5𝑞 − 6 = 0 
𝑞 =
6
5
 
 
𝐷y = |
2 5
𝑝 2
| 
𝐷y = 4 − 5p 
𝐷y = 0 
4 − 5p = 0 
𝑝 =
4
5
 
b) Determine todos os valores de p e q para que o sistema tenha solução (x; y) com 
x = 0. 
O valor de 𝐷𝑥 é dado por: 
𝒙 =
𝑫𝒙
𝑫
 
𝑥 =
5𝑞 − 6
2𝑞 − 3𝑝
 
Como 𝑥 = 0, temos: 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 86 
0 =
5𝑞 − 6
2𝑞 − 3𝑝
 
5𝑞 − 6 = 0 
𝑞 =
6
5
 
Substituindo 𝑥 e 𝑞 no sistema, teremos: 
{
2𝑥 + 3𝑦 = 5
𝒑𝒙 + 𝒒𝒚 = 𝟐
 
0 + (
6
5
𝑦) = 2 
𝑦 =
10
6
=
5
3
 
(0;
5
3
) 
Note que essa será a solução independentemente do valor de p, pois este será 
anulado pelo valor de 𝑥 = 0. 
 
Vejamos: 
𝐲 =
𝑫𝒚
𝑫
 
y =
4 − 5p
2𝑞 − 3𝑝
 
5
3
 =
4 − 5p
2 (
6
5
) − 3𝑝
 
12 − 15𝑝 = 12 − 15𝑝 
1 = 1 
 
c) Determine todos os valores de p e q para que o sistema não tenha solução. 
Para ser SI, deveremos ter 𝐷 = 0,𝐷𝑥 ≠ 0 𝑒 𝐷𝑦 ≠ 0 então: 
Essa conclusão não depende 
do valor de p, que pode ser 
qualquer número real, 𝑝 ∈ ℝ 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 87 
𝐷𝑥 = |
5 3
2 𝑞
| 
5𝑞 − 6 ≠ 0 
𝑞 ≠
6
5
 
𝐷y ≠ |
2 5
𝑝 2
| 
4 − 5p ≠ 0 
p ≠
4
5
 
Gabarito: discursiva. 
20. (ACAFE 2012) Dado o sistema de equação abaixo, analise as afirmações a seguir. 
I. O sistema é homogêneo. 
II. O sistema será possível e indeterminado para qualquer valor de a. 
III. O sistema não admite a solução trivial. 
IV. O sistema será possível e determinado para a = –2. 
Assinale a alternativa correta. 
a) Apenas I e II são verdadeiras. 
b) Apenas I, III e IV são verdadeiras. 
c) Apenas a afirmação IV é verdadeira. 
d) Todas as afirmações são verdadeiras. 
Comentários: 
I. O sistema é homogêneo. Verdadeiro, pois todos os termos independentes são 
iguais a 0. 
II. O sistema será possível e indeterminado para qualquer valor de a. Verdadeiro. 
a. Somando a equação i, com a equação 𝑖𝑖, com a equação 𝑖𝑖𝑖 e com a equação 𝑖𝑣, 
temos: 
{
 
 
 
 
𝑣 − 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 + 𝑤 = 0 (𝑖)
𝑣 + 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 𝑤 = 0 (𝑖𝑖)
𝑣 − 𝑥 − 𝑦 − 𝑧 − 𝑤 = 0 (𝑖𝑖𝑖)
3𝑣 − 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 − 𝑤 = 0 (𝑖𝑣)
2𝑣 − 2𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 + 𝑎𝑤 = 0 (𝑣)
 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 88 
{
 
 
 
 
𝑣 − 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 + 𝑤 = 0
2𝑣 + 2𝑦 = 0
2𝑣 − 2𝑥 = 0
4𝑣 − 2𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 = 0
2𝑣 − 2𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 + 𝑎𝑤 = 0
 
b. Dividindo a equação 𝑖𝑖𝑖 por 2: 
{
 
 
 
 
𝑣 − 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 + 𝑤 = 0
𝑣 + 𝑦 = 0
𝑣 − 𝑥 = 0
𝑣 − 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0
2𝑣 − 2𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 + 𝑎𝑤 = 0
 
{
 
 
 
 
𝑣 − 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 + 𝑤 = 0
𝑣 + 𝑦 = 0
𝑣 − 𝑥 = 0
−𝑣 − 𝑧 = 0
2𝑣 − 2𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 + 𝑎𝑤 = 0
 
c. Isolando x, y e z, em função de v, temos: 
𝑦 = −𝑣 
𝑥 = 𝑣 
𝑧 = −𝑣 
d. substituindo os valores isolado acima, na equação 𝑖, temos: 
𝑣 − 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 + 𝑤 = 0 
𝑣 − 𝑣 − 𝑣 + 𝑣 + 𝑤 = 0 
𝑤 = 0 
Como 𝑤 = 0, não importando o valor de a, o sistema será possível e determinado. 
 
𝑖𝑖𝑖. O sistema não admite a solução trivial. Falso, todo sistema linear homogêneo 
admite solução trivial. 
 
𝑖𝑣. O sistema será possível e determinado para 𝑎 = – 2. Falso, como vimos na 
resolução da afirmação 2, o sistema será SPD, para qualquer valor de 𝑎. 
Gabarito: a) 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 89 
21. (EV) Sabendo que o sistema linear de equações {
𝟑𝒙 + 𝟒𝒚 + 𝟓𝒛 = 𝒂
𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝟑𝒛 = 𝟎
𝟓𝒙 + 𝟕𝒚 + 𝒃𝒛 = 𝟏
 admite infinitas 
soluções, a soma 𝒂 + 𝒃 é igual a: 
a) 8 
b) 9 
c) 10 
d) 11 
e) 12 
Comentários: 
Para que o sistema tenha infinitas soluções, ele deverá ser classificado como possível 
e indeterminado. Com isso, seus determinantes devem ser iguais a zero. 
𝐷 = 0 
|
3 4 5
2 3 3
5 7 𝑏
| = 0 
9𝑏 + 60 + 70 − 75 − 8𝑏 − 63 = 0 
𝑏 − 8 = 0 
𝑏 = 8 
 
𝐷𝑧 = 0 
|
3 4 𝑎
2 3 0
5 7 1
| = 0 
9 + 0 + 14𝑎 − 15𝑎 − 8 − 0 = 0 
−𝑎 + 1 = 0 
𝑎 = 1 
Portanto, a soma é igual a 𝑎 + 𝑏 = 8 + 1 = 9. 
Comentários: b) 
22. (EV) Um grupo de 100 funcionários de determinada empresa recebe uma 
bonificação mensal em seu salário de acordo com a produtividade dos grupos avaliados. 
A média da bonificação atribuída às funcionárias mulheres foi de R$ 570,00 e a média 
entre os funcionários homens foi de R$ 490,00. Dado que a média geral da bonificação 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 90 
foi de R$ 534,00, pode-se afirmar que o número de mulheres que trabalham nessa 
empresa é: 
a) 35 
b) 45 
c) 50 
d) 55 
Comentários: 
Considerando 
Mulheres: 𝑚 
Homens: ℎ 
Temos 
𝑚 + ℎ = 100 
ℎ = 100 −𝑚 (𝑖) 
 
570𝑚 + 490ℎ
100
= 534 
570𝑚 + 490ℎ = 53400 (𝑖𝑖) 
Substituindo (𝑖) em (𝑖𝑖) 
570𝑚 + 490(100 − 𝑚) = 53400 
570𝑚 + 49000 − 490𝑚 = 53400 
80𝑚 = 4400 
𝑚 =
4400
80
= 55 
Gabarito: d) 
23. (FUVEST 88) Qual a condição necessária e suficiente para que a solução do 
sistema linear 
{
𝒙 − 𝟒𝒚 = 𝒂
𝟔𝒙 + 𝒌𝒚 = 𝒃
 
seja um par de números inteiros, quaisquer que sejam 𝒂 e 𝒃 inteiros? 
a) 𝒌 = −𝟐𝟑 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 91 
b) 𝒌 = 𝟐𝟑 ou 𝒌 = −𝟐𝟓 
c) 𝒌 = 𝟎 
d) 𝒌 = −𝟐𝟑 ou 𝒌 = −𝟐𝟓 
e) 𝒌 = 𝟐𝟒 
Comentários: 
𝑥 − 4𝑦 = 𝑎 
𝑥 = 4𝑦 + 𝑎 
 
6𝑥 + 𝑘𝑦 = 𝑏 
6(4𝑦 + 𝑎) + 𝑘𝑦 = 𝑏 
24𝑦 + 6𝑎 + 𝑘𝑦 = 𝑏 
(24 + 𝑘)𝑦 = 𝑏 − 6𝑎 
𝑦 =
𝑏 − 6𝑎
24 + 𝑘
 
Para que 𝑦 seja um número inteiro não importando os valores de 𝑎 e 𝑏, o denominador 
dessa fração deve ser igual a 1 ou – 1. 
Logo: 
24 + 𝑘 = 1 
𝑘 = −23 
 
24 + 𝑘 = −1 
𝑘 = −25 
Gabarito: d) 
24. (FUVEST 85) O sistema linear {
𝒙 + 𝒂𝒚 − 𝟐𝒛 = 𝟎
𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟏
𝒙 − 𝒚 − 𝒛 = 𝟑
 não admite solução se 𝒂 for igual a: 
a) 0 
b) 1 
c) – 1 
d) 2 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 92 
e) – 2 
Comentários: 
Para que o sistema não admita soluções, o determinante deve ser igual a zero: 
𝐷 = 0 
|
1 𝑎 −2
1 1 1
1 −1 −1
| = 0 
−1 + 𝑎 + 2 + 2 + 𝑎 + 1 = 0 
2𝑎 + 4 = 0 
2𝑎 = −4 
𝑎 = −2 
Gabarito: e) 
25. (UNESP 2003) A agência Vivatur vendeu a um turista uma passagem que foi paga, 
à vista, com cédulas de 10, 50 e 100 dólares, num total de 45 cédulas. O valor da 
passagem foi 1 950 dólares e a quantidade de cédulas recebidas de 10 dólares foi o 
dobro das de 100. O valor, em dólares, recebido em notas de 100 pela agência na venda 
dessa passagem, foi 
a) 1 800. 
b) 1500. 
c) 1400. 
d) 1000. 
e) 800. 
Comentários: 
Sendo 𝑥 for o número de notas de cinqüenta dólares e 𝑦 o número de notas de 100 
dólares, logo 2𝑦 será o número de notas de 10. 
Dessa forma, temos o seguinte sistema: 
{
2𝑦 + 𝑥 + 𝑦 = 45
10 ⋅ 2𝑦 + 50𝑥 + 100𝑦 = 1950
 
{
3𝑦 + 𝑥 = 45
120𝑦 + 50𝑥 = 1950
 
{
𝑦 = 10
𝑥 = 15
 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 93 
Assim, o valor, em dólares, recebido em notas de 100 pela agência, na venda da 
passagem, foi de: 
10 ∙ 100 = 1000 
Gabarito: d) 
26. (EV) Um perfumista foi contratado para criar essências aromáticas que serão 
utilizadas como base na confecção de duas novas linhas de perfumes, Amor Intenso e 
Flor do Campo, por uma microempresa. Essas essências aromáticas são misturas 
vendidas em recipientes de 1 litro ao preço de R$ 3,00 cada um. Cada litro da mistura 
Amor Intenso contém 25% de cânfora e o restante de essência de jasmim, e cada litro da 
mistura Flordo Campo contém 50% de cânfora e o restante de essência de jasmim. Se o 
perfumista possui em seu estoque 60 000 litros de cânfora e 90 000 litros de essência de 
jasmim, o maior lucro possível que ele pode obter na venda de suas misturas para essa 
microempresa é: 
a) R$ 180 000,00 
b) R$ 270 000,00 
c) R$ 360 000,00 
d) R$ 450 000,00 
e) R$ 540 000,00 
Comentários: 
Organizando os dados em uma tabela, temos que: 
 Cânfora Essência de Jasmim 
Amor Intenso 0,25 0,75 
Flor do Campo 0,50 0,50 
Estoque 60 000 90 000 
Se 𝑥 e 𝑦 são as quantidades de litros produzidos das misturas Amor Intenso e Flor do 
Campo, respectivamente, temos que: 
{
0,25𝑥 + 0,50𝑦 ≤ 60 000
0,75𝑥 + 0,50𝑦 ≤ 90 000
𝑥 ≥ 0
𝑦 ≥ 0
 ⟶ {
𝑥 + 2𝑦 ≤ 240 000
3𝑥 + 2𝑦 ≤ 360 000
𝑥 ≥ 0
𝑦 ≥ 0
 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 94 
Resolvendo o sistema, temos que: 
{
𝑥 + 2𝑦 = 240 000 . (−1)
3𝑥 + 2𝑦 = 360 000
 
{
−𝑥 − 2𝑦 = −240 000
3𝑥 + 2𝑦 = 360 000
 
2𝑥 = 120 000 
𝑥 = 60 000 
 
𝑥 + 2𝑦 = 240 000 
60 000 + 2𝑦 = 240 000 
2𝑦 = 180 000 
𝑦 = 90 000 
 
Logo, serão produzidos 60 000 litros da mistura Amor Intenso e 90 000 litros da mistura 
Flor do Campo. 
Como cada litro de cada mistura é vendido por R$ 3,00, a receita obtida com a venda é 
dada por: 
𝑅 = 3𝑥 + 3𝑦 = 3 . 60000 + 3 . 90000 = 180000 + 270000 = 450000 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 
Gabarito: d) 
27. (EV) Considere o seguinte sistema de equações: 
{
𝒂𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝒛 = 𝟒
𝟐𝒙 + 𝒚 = 𝟔
𝟑𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝒛 = 𝟕
 
O sistema será 
a) Possível e determinado para 𝒂 ≠ 𝟕. 
b) Possível e indeterminado para 𝒂 = −𝟕. 
c) Impossível para 𝒂 = 𝟓. 
d) Possível e determinado para 𝒂 ≠ 𝟓. 
e) Impossível para 𝒂 = −𝟕. 
Comentários: 
Primeiramente, vamos montar a matriz do sistema: 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 95 
[
𝑎 −2 1 4
2 1 0 6
3 3 1 7
] 
Calculando D: 
𝐷 = |
𝑎 −2 1
2 1 0
3 3 1
| = 𝑎 + 7 
Se 𝐷 ≠ 0 é possível e determinado 
𝐷 ≠ 0 
𝑎 + 7 ≠ 0 
𝑎 ≠ −7 
Se 𝐷 = 0, SI ou SPI 
𝑎 = −7 
Vamos substituir 
{
−7𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 4
2𝑥 + 𝑦 = 6
3𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 7
 
[
−7 −2 1 4
2 1 0 6
3 3 1 7
]➔ trocando a 1ª com a 3ª coluna➔ [
1 −2 −7 4
0 1 2 6
1 3 3 7
] 
Escalonando: 
[
1 −2 −7 4
0 1 2 6
1 3 3 7
] 
[
1 −2 −7 4
0 1 2 6
0 5 10 3
] 
[
1 −2 −7 4
0 1 2 6
0 0 0 27
] 
 Se o sistema escalonado, ou sua matriz equivalente, apresenta a última linha com 
todos os coeficientes nulos e o termo independente diferente de zero, o sistema é SI. 
Gabarito: e) 
28. (EV) Em uma sapataria, três exemplares de calçados estão em promoção: uma 
sandália, um tênis e um tamanco. Sara aproveitou os preços reduzidos e comprou 2 
pares de sandálias, 3 pares de tênis e um par de tamancos, pagando R$ 92,00. Sílvia 
comprou 4 pares de sandálias, 2 pares de tênis e 6 pares de tamancos, pagando R$ 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 96 
152,00. O preço pago por Júlia, que comprou um par de cada um dos itens em 
promoção, foi: 
a) R$ 16,00 
b) R$ 21,00 
c) R$ 32,00 
d) R$ 39,00 
e) R$ 42,00 
Comentários: 
Sendo: 
𝑆𝑎𝑛𝑑á𝑙𝑖𝑎𝑠 = 𝑥 
𝑇ê𝑛𝑖𝑠 = 𝑦 
𝑇𝑎𝑚𝑎𝑛𝑐𝑜𝑠 = 𝑧 
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑎
2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 92
4𝑥 + 2𝑦 + 6𝑧 = 152
 
{
𝑦 − 𝑧 = −2𝑎 + 92 . (2)
−2𝑦 + 2𝑧 = −4𝑎 + 152
 
{
2𝑦 − 2𝑧 = −4𝑎 + 184
−2𝑦 + 2𝑧 = −4𝑎 + 152
 
0𝑦 + 0𝑧 = −8𝑎 + 336 
Para que esse sistema seja possível, o resultado da expressão 0𝑦 + 0𝑧 deve ser igual 
a 0. 
−8𝑎 + 336 = 0 
8𝑎 = 336 
𝑎 = 42 
Gabarito: e) 
29. (EV) Dois corredores, A e B, disputam a mesma prova olímpica e iniciaram o 
percurso simultaneamente. A relação entre a distância em metros 𝒚 e o tempo em 
segundos 𝒙 de cada atleta é representada, respectivamente, para 𝑨: 𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟐𝟐 = 𝟎 e 
𝑩: 𝒙 − 𝟑𝒚 + 𝟑𝟕 = 𝟎. Considerando essas relações, a distância percorrida pelo atleta 𝑨 
será superior à distância percorrida pelo atleta 𝑩 a partir de quantos segundos após a 
largada? 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 97 
a) 3 
b) 8 
c) 9 
d) 12 
e) 15 
Comentários: 
Cada uma dessas relações representa uma equação linear. 
{
𝑥 − 2𝑦 = −22 . (−1)
𝑥 − 3𝑦 = −37
 
{
−𝑥 + 2𝑦 = 22
𝑥 − 3𝑦 = −37
 
−𝑦 = −15 
𝑦 = 15 
 
𝑥 − 2𝑦 = −22 
𝑥 − 30 = −22 
𝑥 = 8 𝑎𝑛𝑜𝑠 
Gabarito: b) 
30. (EV) Xande, Ismael e Vitor foram a uma pastelaria e compraram pastel, caldo-de-
cana e açaí. Xande gastou R$ 18,40 na compra de 2 pastéis, 3 caldos-de-cana e 1 açaí. 
Ismael gastou R$ 30,40 na compra de 4 pastéis, 2 caldos-de-cana e 6 açaís. Vitor, que 
comprou apenas uma unidade de cada item, gastou: 
a) R$ 7,80 
b) R$ 4,20 
c) R$ 8,40 
d) R$ 3,20 
Comentários: 
• Pastéis = x 
• Caldos-de-cana = y 
• Açaís = z 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 98 
 
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑝 
2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 18,40
4𝑥 + 2𝑦 + 6𝑧 = 30,40
 
{
𝑦 − 𝑧 = −2𝑝 + 18,40. (2)
−2𝑦 + 2𝑧 = −4𝑝 + 30,40
 
{
2𝑦 − 2𝑧 = −4𝑝 + 36,80
−2𝑦 + 2𝑧 = −4𝑝 + 30,40
 
 
0𝑦 + 0𝑧 = −8𝑝 + 67,20 (Para que esse sistema seja possível, o resultado da expressão 
0𝑦 + 0𝑧 deve ser igual a 0.) 
−8𝑝 + 67,20 = 0 
8𝑝 = 67,20 
𝑝 = 8,40 
Gabarito: c) 
31. (EV) A condição do valor de 𝒎 para o qual o sistema linear {
𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟒𝒛 = 𝟏
𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟑
𝒙 +𝒎𝒚− 𝟒𝒛 = −𝟏
 
apresente uma única solução é: 
a) 𝒎 = 𝟔 
b) 𝒎 ≠ 𝟔 
c) 𝒎 = 𝟑 
d) 𝒎 ≠ 𝟑 
e) 𝒎 = 𝟎 
Comentários: 
Para que um sistema apresente uma única solução, ou seja, um sistema Possível e 
Determinado, a condição é 𝐷 ≠ 0. Portanto: 
|
3 2 −4
1 −2 0
1 𝑚 −4
| ≠ 0 
24 + 0 − 4𝑚 − 8 + 8 − 0 ≠ 0 
4𝑚 ≠ 24 
𝑚 ≠ 6 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 99 
Gabarito: b) 
32. (EV) O valor de 𝒎 para que o sistema homogêneo {
𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟐𝒛 = 𝟎
𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟎
𝒙 + 𝟓𝒚 +𝒎𝒛 = 𝟎
 admita 
soluções diferentes da trivial é: 
a) – 4 
b) – 2 
c) 2 
e) 4 
Comentários: 
Um sistema homogêneo sempre será possível, dado que a solução trivial (0, 0, 0) 
sempre será válida. 
Com isso, a possibilidade de que ele seja impossível é descartada. 
Para que ele tenha soluções diferentes da trivial, ele deve ser possível e 
indeterminado. Logo, 𝐷 = 0. 
|
3 2 −2
2 −3 2
1 5 𝑚
| = 0 
−9𝑚 + 4 − 20 − 6 − 4𝑚 − 30 = 0 
−13𝑚 − 52 = 0 
13𝑚 = −52 
𝑚 = −4 
Gabarito: a) 
33. (EV) O conjunto solução do sistema linear {
𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟕
𝟐𝒙 + 𝟒𝒚 − 𝒛 = 𝟏𝟎
𝟑𝒙 + 𝒚 − 𝟏𝟒𝒛 = 𝟓
 é dado por: 
a) 𝑺 = {
𝟏𝟏𝒛+𝟐
𝟐
,
𝟒−𝟓𝒛
𝟐
, 𝒛} 
b) 𝑺 = {
𝟏𝟎𝒛+𝟑
𝟐
,
𝟒−𝟓𝒛
𝟐
, 𝒛} 
c) 𝑺 = {
𝟏𝟏𝒛+𝟐
𝟐
,
𝟒+𝟓𝒛
𝟐
, 𝒛} 
d) 𝑺 = {
𝟏𝟎𝒛+𝟑
𝟐
,
𝟒+𝟓𝒛
𝟐
, 𝒛} 
e) 𝑺 = {
𝟏𝟏𝒛+𝟐
𝟐
,
𝟒−𝟔𝒛
𝟐
, 𝒛} 
Comentários: 
-2 -3 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 100 
{
𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 7
2𝑥 + 4𝑦 − 𝑧 = 10
3𝑥 + 𝑦 − 14𝑧 = 5
 
{
−2𝑦 − 5𝑧 = −4
−8𝑦 − 20𝑧 = −16
 
Sistema Possível Indeterminado 
−2𝑦 − 5𝑧 = −4 . (−1) 
2𝑦 + 5𝑧 = 4 
2𝑦 = 4 − 5𝑧 
𝑦 =
4 − 5𝑧
2
 
 
𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 7 
𝑥 + 3. (
4 − 5𝑧
2
) + 2𝑧 = 7 
𝑥 +
12 − 15𝑧
2
+ 2𝑧 = 7 
2𝑥 + 12 − 15𝑧 + 4𝑧 = 14 
2𝑥 − 11𝑧 + 12 = 14 
2𝑥 = 11𝑧 + 2 
𝑥 =
11𝑧 + 2
2
 
𝑆 = {
11𝑧 + 2
2
,
4 − 5𝑧
2
, 𝑧} 
Gabarito: a) 
34. (UNICAMP 2015) Considere o sistema linear nas variáveis 𝑥, 𝑦 e 𝑧 
{
𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟑𝒛 = 𝟐𝟎
𝟕𝒙 + 𝟗𝒚 −𝒎𝒛 = 𝟐𝟔
 
onde 𝑚 é um número real. Sejam 𝒂 < 𝒃 < 𝒄 números inteiros consecutivos tais que 
(𝒙, 𝒚, 𝒛) = (𝒂, 𝒃, 𝒄) é uma solução desse sistema. O valor de 𝑚 é igual a 
a) 3. 
b) 2. 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 101 
c) 1. 
d) 0. 
Comentários 
O enunciado traz que a, b e c são números inteiros consecutivos. 
Dessa forma, podemos afirmar que𝑏 = 𝑎 + 1 
𝑐 = 𝑎 + 2 
A solução pode ser reescrita como 
 
(𝑥, 𝑦, 𝑧) → (𝑎, 𝑏, 𝑐) → (𝑎, 𝑎 + 1, 𝑎 + 2) 
 
Substituindo esses valores na primeira equação, temos: 
 
𝑎 + 2(𝑎 + 1) + 3(𝑎 + 2) = 20 
𝑎 +2𝑎 + 2 + 3𝑎 + 6 = 20 
6𝑎 = 12 
𝑎 = 2 
Logo 
(𝑥, 𝑦, 𝑧) → (𝑎, 𝑏, 𝑐) → (2, 3, 4) 
 
Substituindo na segunda equação 
 
7 ⋅ (2) + 8 ⋅ (3) − 𝑚 ⋅ (4) = 26 
14 + 24 − 4𝑚 = 26 
−4𝑚 = 26 − 38 
−4𝑚 = −12 
𝑚 = 3 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 102 
Gabarito: a) 
35. (Unesp 2015) A tabela indica o gasto de água, em 𝒎³ por minuto, de uma torneira 
(aberta), em função do quanto seu registro está aberto, em voltas, para duas posições do 
registro 
 
Sabe-se que o gráfico do gasto em função da abertura é uma reta, e que o gasto de água, 
por minuto, quando a torneira está totalmente aberta, é de 𝟎, 𝟎𝟑𝟒 𝒎³. Portanto, é correto 
afirmar que essa torneira estará totalmente aberta quando houver um giro no seu 
registro de abertura de 𝟏 volta completa e mais 
a) 
𝟏
𝟐
 de volta. b) 
𝟏
𝟓
 de volta. c) 
𝟐
𝟓
 de volta. d) 
𝟑
𝟒
 de volta. e) 
𝟏
𝟒
 de volta. 
Comentários 
O enunciado informou que o gráfico do gasto em função da abertura é uma reta. Assim, 
se pensarmos em 𝑦 como a abertura da torneira, em voltas, e 𝑥 como o gasto de água 
por minuto, em metros cúbicos, a equação da reta será dada por: 
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 
Com os dados da tabela substituídos na equação, conseguimos o seguinte sistema 
linear de incógnitas 𝑎 e 𝑏. 
{
 
 𝑎 ⋅
1
2
+ 𝑏 = 0,02
 
𝑎 ⋅ 1 + 𝑏 = 0,03
 
 
De posse do sistema, vamos resolvê-lo. 
{
 
 𝑎 ⋅
1
2
+ 𝑏 = 0,02 𝑥 2
 
𝑎 ⋅ 1 + 𝑏 = 0,03 
 
→ {
𝑎 + 2 ⋅ 𝑏 = 0,04
 
𝑎 + 𝑏 = 0,03
→ {
𝑎 + 𝑏 + 𝑏 = 0,04
 
𝑎 + 𝑏 = 0,03
→ {
0,03 + 𝑏 = 0,04
 
𝑎 + 𝑏 = 0,03
→ 
 
→ {
𝑏 = 0,04 − 0,03
 
𝑎 + 𝑏 = 0,03
→ {
𝑏 = 0,01
 
𝑎 + 𝑏 = 0,03
→ {
𝑏 = 0,01
 
𝑎 + 0,01 = 0,03
→ {
𝑏 = 0,01
 
𝑎 = 0,03 − 0,01
→ {
𝑏 = 0,01
 
𝑎 = 0,02
 
Agora, podemos voltar à nossa equação. 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 103 
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 
𝑦 = 0,02𝑥 + 0,01 
Nesse ponto, temos o consumo em função da abertura. 
Como o enunciado pede a abertura da torneira quando a vazão é de 0,034 𝑚3/𝑚𝑖𝑛, 
podemos substituir esse valor em 𝑦 e encontrar a abertura 𝑥 correspondente. 
𝑦 = 0,02𝑥 + 0,01 
0,034 = 0,02𝑥 + 0,01 
0,034 − 0,01 = 0,02𝑥 
0,024 = 0,02𝑥 
0,024
0,02
= 𝑥 
1,2 = 𝑥 
Perceba que essa é a abertura total da torneira. No entanto, o enunciado não a pediu. 
O enunciado pediu apenas o que excede a uma volta completa, veja: 
...é correto afirmar que essa torneira estará totalmente aberta quando houver um giro 
no seu registro de abertura de 1 volta completa e mais... 
Assim, nossa resposta será apenas o que excede uma volta, ou seja, 0,2 volta. 
Como não temos a indicação nas alternativas na forma decimal, precisamos 
transformar 0,2 para sua fração equivalente. 
0,2 =
2
10
=
1
5
 
Gabarito: b) 
36. (Unesp 2013) Os habitantes de um planeta chamado Jumpspace locomovem-se 
saltando. Para isto, realizam apenas um número inteiro de saltos de dois tipos, o slow 
jump (𝑺𝑱) e o quick jump (𝑸𝑱). Ao executarem um 𝑺𝑱 saltam sempre 𝟐𝟎 𝒖. 𝒅. (unidade de 
distância) para Leste e 𝟑𝟎 𝒖. 𝒅. para Norte. Já no 𝑸𝑱 saltam sempre 𝟒𝟎 𝒖. 𝒅. para Oeste e 
𝟖𝟎 𝒖. 𝒅. para Sul. 
Um habitante desse planeta deseja chegar exatamente a um ponto situado 𝟐𝟎𝟒 𝒖. 𝒅. a 
Leste e 𝟐𝟕𝟖 𝒖. 𝒅. ao Norte de onde se encontra. Nesse caso, é correto afirmar que o 
habitante 
a) conseguirá alcançar seu objetivo, realizando 𝟏𝟑 saltos 𝑺𝑱 e 𝟕 𝑸𝑱. 
b) conseguirá alcançar seu objetivo, realizando 𝟕 saltos 𝑺𝑱 e 𝟏𝟑 𝑸𝑱. 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 104 
c) conseguirá alcançar seu objetivo, realizando 𝟏𝟑 saltos 𝑺𝑱. 
d) não conseguirá alcançar seu objetivo, pois não há número inteiro de saltos que lhe permita 
isso. 
e) conseguirá alcançar seu objetivo, realizando 𝟕 saltos 𝑸𝑱. 
Comentários 
Com a nomenclatura do exercício, podemos estabelecer um sistema de coordenadas 
𝑥𝑦, com 𝑥 representando o deslocamento Leste-Oeste e 𝑦 representando o 
deslocamento Norte-Sul. 
Dessa forma, deslocamentos para o Sul e para o Oeste são negativos nos respectivos 
eixos. 
Assim, um salto do tipo 𝑆𝐽 pode ser representado pela equação 
𝑆𝐽 = 20𝑥 + 30𝑦, 
enquanto o salto do tipo QJ, por 
𝑄𝐽 = −40𝑥 − 80𝑦 
O enunciado disse que o habitante deseja chegar ao ponto 204 𝑢. 𝑑. a Leste e 278 𝑢. 𝑑. 
ao Norte de onde se encontra. Se considerarmos a posição inicial do habitante como a 
origem de nosso sistema cartesiano, o habitante deseja chegar ao ponto (204; 278). 
Vamos, então, estabelecer o número 𝑛 de saltos 𝑆𝐽 e 𝑚 de saltos 𝑄𝐽 para que o 
habitante consiga seu intento. 
𝑛 ⋅ 𝑆𝐽 + 𝑚 ⋅ 𝑄𝐽 = (204; 278) 
𝑛 ⋅ (20𝑥 + 30𝑦) + 𝑚 ⋅ (−40𝑥 − 80𝑦) = (204; 278) 
𝑛 ⋅ 20𝑥 + 𝑛 ⋅ 30𝑦 − 𝑚 ⋅ 40𝑥 − 𝑚 ⋅ 80𝑦 = (204; 278) 
Agrupando os deslocamentos em 𝑥 e em 𝑦, temos: 
𝑛 ⋅ 20𝑥 − 𝑚 ⋅ 40𝑥 + 𝑛 ⋅ 30𝑦 − 𝑚 ⋅ 80𝑦 = (204; 278) 
(𝑛 ⋅ 20 − 𝑚 ⋅ 40)𝑥 + (𝑛 ⋅ 30 − 𝑚 ⋅ 80)𝑦 = (204; 278) 
(𝑛 ⋅ 20 − 𝑚 ⋅ 40; 𝑛 ⋅ 30 − 𝑚 ⋅ 80) = (204; 278) 
Aqui, podemos representar a informação da equação por meio de um sistema. 
{
𝑛 ⋅ 20 − 𝑚 ⋅ 40 = 204
 
𝑛 ⋅ 30 − 𝑚 ⋅ 80 = 278
→ {
20𝑛 − 40𝑚 = 204
 
30𝑛 − 80𝑚 = 278
 
Resolvendo o sistema. 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 105 
{
20𝑛 − 40𝑚 = 204
 
30𝑛 − 80𝑚 = 278
→ {
20𝑛 = 204 + 40𝑚
 
30𝑛 − 80𝑚 = 278
→ {
𝑛 =
204 + 40𝑚
20
 
30𝑛 − 80𝑚 = 278
→ {
𝑛 =
102 + 20𝑚
10
 
30𝑛 − 80𝑚 = 278
→ 
 
→
{
 
 
 
 𝑛 =
102 + 20𝑚
10 
30 (
102 + 20𝑚
10
) − 80𝑚 = 278
→ {
𝑛 =
102 + 20𝑚
10 
3(102 + 20𝑚) − 80𝑚 = 278
→ 
 
→ {
𝑛 =
102 + 20𝑚
10
 
306 + 60𝑚 − 80𝑚 = 278
→ {
𝑛 =
102 + 20𝑚
10
 
−20𝑚 = 278 − 306
→ {
𝑛 =
102 + 20𝑚
20
 
−20𝑚 = −28
 
 
→
{
 
 
 
 𝑛 =
102 + 20𝑚
10 
𝑚 =
−28
−20
→
{
 
 
 
 𝑛 =
102 + 20𝑚
10
 
𝑚 =
7
5
 
O enunciado disse que os habitantes só podem dar números inteiros de passos. Como 
encontramos um valor não inteiro para 𝑚, podemos afirmar que não é possível chegar 
ao ponto (204; 278) deslocando-se na forma proposta. 
Embora não seja necessário calcular o número 𝑛, vamos, a título de exercício, 
estabelecer seu valor. 
{
 
 
 
 𝑛 =
102 + 20𝑚
10
 
𝑚 =
7
5
→
{
 
 
 
 
𝑛 =
102 + 20 ⋅
7
5
10 
𝑚 =
7
5
→
{
 
 
 
 𝑛 =
102 + 28
10
 
𝑚 =
7
5
→
{
 
 
 
 𝑛 =
130
10
 
𝑚 =
7
5
→ {
𝑛 = 13
 
𝑚 =
7
5
 
Como não há um número inteiro de passos que possibilite ao habitante chegar no 
ponto desejado, temos a alternativa d) como a única compatível com o sistema que 
resolvemos. 
Gabarito: d) 
37. (Unesp 2011) Uma pessoa necessita de 𝟓 𝒎𝒈 de vitamina 𝑬 por semana, a serem 
obtidos com a ingestão de dois complementos alimentares 𝜶 e 𝜷. Cada pacote desses 
complementos fornece, respectivamente, 𝟏 𝒎𝒈 e 𝟎, 𝟐𝟓 𝒎𝒈 de vitamina 𝑬. Essa pessoa 
dispõe de exatamente 𝑹$𝟒𝟕, 𝟎𝟎 semanais para gastar com os complementos, sendo que 
cada pacote de 𝜶 custa 𝑹$𝟓, 𝟎𝟎 e de 𝜷 𝑹$𝟒, 𝟎𝟎. 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 106 
O número mínimo de pacotes do complemento alimentar 𝜶 que essa pessoa deve ingerir 
semanalmente, para garantir os 𝟓 𝒎𝒈 de vitamina 𝑬 ao custo fixado para o mesmo 
período, é de: 
𝒂) 𝟑 𝒃) 𝟑
𝟓
𝟏𝟔
 𝒄) 𝟓, 𝟓 𝒅) 𝟔
𝟑
𝟒
 𝒆) 𝟖 
Comentários 
Segundo o enunciado, a pessoa deverá ingerir alguns pacotes do complemento 𝛼 e 
alguns pacotes do complemento 𝛽. 
Para podermos equacionar os dados, chamemos 𝑥 a quantidade de pacotes de 
complemento do tipo 𝛼 e 𝑦 a quantidadede pacotes de complemento do tipo 𝛽. 
Dessa forma, para ingerir os 5 𝑚𝑔 de vitamina 𝐸, a pessoa deve ingerir: 
𝑥 𝑝𝑎𝑐𝑜𝑡𝑒𝑠 ⋅
1 𝑚𝑔
𝑝𝑎𝑐𝑜𝑡𝑒
+ 𝑦 𝑝𝑎𝑐𝑜𝑡𝑒𝑠 ⋅
0,25 𝑚𝑔
𝑝𝑎𝑐𝑜𝑡𝑒
= 5 𝑚𝑔 
𝑥 𝑝𝑎𝑐𝑜𝑡𝑒𝑠 ⋅
1 𝑚𝑔 
 𝑝𝑎𝑐𝑜𝑡𝑒 
+ 𝑦 𝑝𝑎𝑐𝑜𝑡𝑒𝑠 ⋅
0,25 𝑚𝑔 
 𝑝𝑎𝑐𝑜𝑡𝑒 
= 5 𝑚𝑔 
𝑥 ⋅ 1 + 𝑦 ⋅ 0,25 = 5 
𝑥 + 0,25𝑦 = 5 
 
 
Professor, é realmente necessário escrever as unidades na equação? 
Não. Mas esse passo é um diferencial. Se você consegue entendê-lo, acaba 
ganhando uma habilidade a mais que fará diferença tanto no curso de matemática 
mais à frente quanto em outras disciplinas que utilizam unidades, como física e 
química. 
 
Do mesmo modo que analisamos a ingestão da vitamina, analisaremos a restrição 
orçamentária. Como a pessoa não pode gastar mais de 𝑅$47,00, temos: 
𝑥 𝑝𝑎𝑐𝑜𝑡𝑒𝑠 ⋅
𝑅$5,00
𝑝𝑎𝑐𝑜𝑡𝑒
+ 𝑦 𝑝𝑎𝑐𝑜𝑡𝑒𝑠 ⋅
𝑅$4,00
𝑝𝑎𝑐𝑜𝑡𝑒
= 𝑅$47,00 
𝑥 𝑝𝑎𝑐𝑜𝑡𝑒𝑠 ⋅
 𝑅$ 5,00
 𝑝𝑎𝑐𝑜𝑡𝑒 
+ 𝑦 𝑝𝑎𝑐𝑜𝑡𝑒𝑠 ⋅
 𝑅$ 4,00
 𝑝𝑎𝑐𝑜𝑡𝑒 
= 𝑅$ 47,00 
𝑥 ⋅ 5 + 𝑦 ⋅ 4 = 47 
5𝑥 + 4𝑦 = 47 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 107 
Com as duas restrições, a de quantidade de vitamina 𝐸 e a orçamentária, podemos 
montar um sistema de equações e descobrir a quantidade de pacotes que deve ser 
adquirida de ambos os tipos. 
{
𝑥 + 0,25𝑦 = 5
 
5𝑥 + 4𝑦 = 47
 
Resolvendo o sistema. 
{
𝑥 + 0,25𝑦 = 5 𝑥 4
 
5𝑥 + 4𝑦 = 47 
→ {
4𝑥 + 𝑦 = 20
 
5𝑥 + 4𝑦 = 47
→ {
𝑦 = 20 − 4𝑥
 
5𝑥 + 4𝑦 = 47
→ {
𝑦 = 20 − 4𝑥
 
5𝑥 + 4(20 − 4𝑥) = 47
→ 
 
→ {
𝑦 = 20 − 4𝑥
 
5𝑥 + 80 − 16𝑥 = 47
→ {
𝑦 = 20 − 4𝑥
 
80 − 47 = 11𝑥
→ {
𝑦 = 20 − 4𝑥
 
33 = 11𝑥
→ {
𝑦 = 20 − 4𝑥
 
33
11
= 𝑥
→ {
𝑦 = 20 − 4𝑥
 
𝑥 = 3
 
Como estabelecemos que 𝑥 representaria a quantidade de pacotes de complemento do 
tipo 𝛼, já temos nossa resposta, 𝑥 = 3 pacotes do tipo 𝛼. 
Não há necessidade de terminar de resolver o sistema linear. No entanto, como 
exercício, vamos descobrir a quantidade de pacotes de complemento do tipo 𝛽 
também. 
{
𝑦 = 20 − 4𝑥
 
𝑥 = 3
→ {
𝑦 = 20 − 4 ⋅ 3
 
𝑥 = 3
→ {
𝑦 = 20 − 12
 
𝑥 = 3
→ {
𝑦 = 8
 
𝑥 = 3
 
Gabarito: a) 
38. (Unesp 2011) Uma família fez uma pesquisa de mercado, nas lojas de 
eletrodomésticos, à procura de três produtos que desejava adquirir: uma TV, um freezer 
e uma churrasqueira. Em três das lojas pesquisadas, os preços de cada um dos 
produtos eram coincidentes entre si, mas nenhuma das lojas tinha os três produtos 
simultaneamente para a venda. A loja A vendia a churrasqueira e o freezer por R$ 
1.288,00. A loja B vendia a TV e o freezer por R$ 3.698,00 e a loja C vendia a 
churrasqueira e a TV por R$ 2.588,00. 
A família acabou comprando a TV, o freezer e a churrasqueira nestas três lojas. O valor 
total pago, em reais, pelos três produtos foi de 
a) 𝟑. 𝟕𝟔𝟕, 𝟎𝟎. b) 𝟑. 𝟕𝟕𝟕, 𝟎𝟎. c) 𝟑. 𝟕𝟖𝟕, 𝟎𝟎. d) 𝟑. 𝟕𝟗𝟕, 𝟎𝟎. e) 𝟑. 𝟖𝟎𝟕, 𝟎𝟎. 
Comentários 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 108 
Para início de conversa, vamos organizar os dados fornecidos no enunciado em uma 
tabela. Em enunciados mais longos, a organização torna-se ainda mais importante para 
que você não se perca na resolução. 
Perceba que foram três lojas, três produtos e três preços que, apesar de serem 
diferentes para cada produto, são iguais para o mesmo produto e lojas diferentes. 
Loja Produtos oferecidos Valor total 
𝐴 
Churrasqueira + 
Freezer 
𝑅$1.288,00 
𝐵 TV + Freezer 𝑅$3.698,00 
𝐶 Churrasqueira + TV 𝑅$2.588,00 
Utilizando os dados da segunda e da terceira colunas, podemos montar um sistema de 
equações. Utilizemos como simbologia para cada item comprado sua letra inicial, como 
destacado na própria tabela. 
{
 
 
 
 
𝐶 + 𝐹 = 1288
 
𝑇 + 𝐹 = 3698
 
𝐶 + 𝑇 = 2588
→
{
 
 
 
 
𝐶 = 1288 − 𝐹
 
𝑇 = 3698 − 𝐹
 
𝐶 + 𝑇 = 2588
→
{
 
 
 
 
𝐶 = 1288 − 𝐹
 
𝑇 = 3698 − 𝐹
 
1288 − 𝐹 + 3698 − 𝐹 = 2588
→ 
 
→
{
 
 
 
 
𝐶 = 1288 − 𝐹
 
𝑇 = 3698 − 𝐹
 
−2𝐹 = 2588 − 1288 − 3698
→
{
 
 
 
 
𝐶 = 1288 − 𝐹
 
𝑇 = 3698 − 𝐹
 
−2𝐹 = −2398
→
{
 
 
 
 
𝐶 = 1288 − 𝐹
 
𝑇 = 3698 − 𝐹
 
𝐹 =
−2398
−2
→
{
 
 
 
 
𝐶 = 1288 − 𝐹
 
𝑇 = 3698 − 𝐹
 
𝐹 = 1199
→ 
 
→
{
 
 
 
 
𝐶 = 1288 − 𝐹
 
𝑇 = 3698 − 𝐹
 
𝐹 = 1199
→
{
 
 
 
 
𝐶 = 1288 − 1199
 
𝑇 = 3698 − 1199
 
𝐹 = 1199
→
{
 
 
 
 
𝐶 = 89
 
𝑇 = 2499
 
𝐹 = 1199
 
Como o exercício nos pediu o valor 𝑉 necessário para comprar um item de cada 
produto, temos: 
𝑉 = 𝐶 + 𝑇 + 𝐹 = 89 + 2499 + 1199 = 3787 
Aqui, já temos nossa resposta. 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 109 
Como já vimos em outros pontos da aula, às vezes há caminhos mais curtos para 
resolvermos alguns problemas, em especial aqueles que não solicitam o valor 
específico de cada incógnita que temos no sistema. 
Este problema é um deles. 
Veja o que acontece quando somamos todas as equações do nosso sistema inicial: 
 
 
{
 
 
 
 
𝐶 + 𝐹 = 1288
 
𝑇 + 𝐹 = 3698
 
𝐶 + 𝑇 = 2588
 + 
2𝐶 + 2𝑇 + 2𝐹 = 1288 + 3698 + 2588
 
Simplificando a equação resultante. 
2𝐶 + 2𝑇 + 2𝐹 = 1288 + 3698 + 2588 
2𝐶 + 2𝑇 + 2𝐹 = 7574 
2(𝐶 + 𝑇 + 𝐹) = 7574 
 2 (𝐶 + 𝑇 + 𝐹)
 2 
=
7574
2
 
𝐶 + 𝑇 + 𝐹 = 3787 
Assim, conseguimos o valor necessário para comprar um item de cada, sem ter 
resolvido o sistema propriamente dito. 
Entenda ambas as formas de resolução e confie no seu aprendizado. Na hora da 
prova, quanto mais ferramentas você tiver, melhor. 
Gabarito: c) 
39. (Unesp 2008) Um grupo de 𝒙 estudantes se juntou para comprar um computador 
portátil (notebook) que custa 𝑹$ 𝟑. 𝟐𝟓𝟎, 𝟎𝟎. Alguns dias depois, mais três pessoas se 
juntaram ao grupo, formando um novo grupo com 𝒙 + 𝟑 pessoas. Ao fazer a divisão do 
valor do computador pelo número de pessoas que estão compondo o novo grupo, 
verificou-se que cada pessoa pagaria 𝑹$ 𝟕𝟓, 𝟎𝟎 a menos do que o inicialmente 
programado para cada um no primeiro grupo. 
O número 𝒙 de pessoas que formavam o primeiro grupo é: 
a) 𝟗. b) 𝟏𝟎. c) 𝟏𝟏. d) 𝟏𝟐. e) 𝟏𝟑. 
Comentários 
Chamando 𝑥 o número de pessoas que formavam o primeiro grupo e 𝑝 a parcela que 
cada um pagaria, podemos traduzir o enunciado para o seguinte sistema de equações: 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 110 
{
 
 
 
 3250
𝑥
= 𝑝 → 𝑠𝑖𝑡𝑢𝑎çã𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 
 
3250
𝑥 + 3
= 𝑝 − 75 → 𝑠𝑢𝑡𝑢𝑎çã𝑜 𝑎𝑙𝑡𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎
 
Agora, tudo o que precisamos fazer é descobrir o valor da incógnita 𝑥 do sistema. 
Vamos aproveitar que a incógnita 𝑝 já está isolada na primeira equação e substitui-la 
na segunda. 
{
 
 
 
 3250
𝑥
= 𝑝
 
3250
𝑥 + 3
= 𝑝 − 75
→
{
 
 
 
 3250
𝑥
= 𝑝
 
3250
𝑥 + 3
=
3250
𝑥
− 75
 
Multipliquemos toda a segunda equação por 𝑥(𝑥 + 3). 
 
Perceba que só podemos fazer isso se garantirmos que 𝑥 ≠ 0 e que 𝑥 + 3 ≠ 0, ou 
seja, 𝑥 ≠ −3. Como nenhum desses valores faz sentido no contexto, pois 𝑥 retrata o 
número de pessoas, podemos fazer a multiplicação tranquilamente. 
{
 
 
 
 3250
𝑥
= 𝑝
 
3250
𝑥 + 3
=
3250
𝑥
− 75
→
{
 
 
 
 3250
𝑥
= 𝑝
 
𝑥 (𝑥 + 3) ⋅
3250
 𝑥 + 3 
= 𝑥 (𝑥 + 3) ⋅
3250
 𝑥 
− 𝑥(𝑥 + 3) ⋅ 75
→ 
 
→ {
3250
𝑥
= 𝑝
 
𝑥 ⋅ 3250 = (𝑥 + 3) ⋅ 3250 − 𝑥(𝑥 + 3) ⋅ 75
→ {
3250
𝑥
= 𝑝
 
 3250𝑥 = 3250𝑥 + 9750 − 75𝑥2 − 225𝑥
→ 
 
→ {
3250
𝑥
= 𝑝
 
0 = 9750 − 75𝑥2 − 225𝑥
→ {
3250
𝑥
= 𝑝
 
75𝑥2 + 225𝑥 − 9750 = 0
 
 
 
0
÷ 75
→ {
3250
𝑥
= 𝑝
 
𝑥2 + 3𝑥 − 130 = 0
→ 
Nesse ponto, vamos resolver, separadamente, a equação do segundo grau que surgir 
na segunda linha. 
𝑥2 + 3𝑥 − 130 = 0 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARESAULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 111 
∆= 𝑏2 − 4 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐 = 32 − 4 ∙ 1 ∙ (−130) = 9 + 520 = 529 
𝑥 =
−𝑏 ± √∆
2 ⋅ 𝑎
=
−3 ± √529
2 ⋅ 1
=
{
 
 
 
 𝑥′ =
−3 + 23
2
=
20
2
= 10 
 
𝑥′′ =
−3 − 23
2
=
−26
2
= −13 → 
𝑁ã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑣é𝑚 𝑝𝑎𝑟𝑎
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑠𝑠𝑜𝑎𝑠
 
 
Aqui já estamos de posse da resposta, pois nomeamos o número de pessoas que 
formaram o primeiro grupo justamente de 𝑥 e descobrimos que 𝑥 = 10. 
Caso a pergunta do exercício fosse outra, poderíamos ter que continuar a resolução do 
sistema. Assim, a título de exercício, vamos terminá-lo. 
→ {
3250
𝑥
= 𝑝
 
𝑥2 + 3𝑥 − 130 = 0
→ {
3250
𝑥
= 𝑝
 
𝑥 = 10
→ {
3250
10
= 𝑝
 
𝑥 = 10
→ {
325 = 𝑝
 
𝑥 = 10
 
Gabarito: b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
t.me/CursosDesignTelegramhub
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 10 – SISTEMAS LINEARES. 112 
11. Considerações Finais 
Você deve ter percebido que, em algumas situações como soma de frações, distribuição 
de sinais, soma de expressões a ambos os termos da equação com o posterior cancelamento e 
contas em geral, foram um pouco menos detalhadas nessa aula. 
Com o desenvolver do curso, é natural que isso ocorra e o fundamento é irmos 
desenvolvendo autonomia nas partes mais básicas e deixando os comentários para as partes 
mais críticas do assunto estudado. 
Nem por isso, os exercícios deixam de ser detalhados. Se ficou com dúvidas em 
qualquer passo da resolução ou da teoria, poste sua dúvida que estamos aqui para ajudar você 
a alcançar a aprovação. 
Abraço e bons estudos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
12. Versões das Aulas 
 
Caro aluno! Para garantir que o curso esteja atualizado, sempre que alguma 
mudança no conteúdo for necessária, uma nova versão da aula será disponibilizada. 
07/04/2021: Versão original. 
 
Até a próxima! 
t.me/CursosDesignTelegramhub
https://www.instagram.com/professorcaze
https://www.t.me/professorcaze
https://www.youtube.com/c/ProfessorCazé