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ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 1
UNICAMP 
Prof. Andrew Cazé 
Aula 15 – Geometria Espacial. 
vestibulares.estrategia.com 
EXTENSIVO 
2024 
Exasi
u
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 2 
 
SUMÁRIO 
INTRODUÇÃO 4 
1. GEOMETRIA DE POSIÇÃO 5 
2. POLIEDROS 6 
2.1. Prismas 6 
2.1.1. Área da superfície de sólidos geométricos 9 
2.1.2. Área da superfície do prisma 9 
2.1.3. Paralelepípedos 10 
2.1.4. Volume dos sólidos geométricos 14 
2.1.5. Volume do paralelepípedo 15 
2.1.6. Princípio de Cavalieri 16 
2.2. Pirâmides 19 
2.2.1. Tetraedro 20 
2.2.2. Área da superfície da pirâmide 20 
2.2.3. Volume da pirâmide 20 
2.2.4. Semelhança de sólidos geométricos 21 
2.2.5. Plano secante paralelo à base da pirâmide 21 
2.3. Poliedros convexos 22 
2.3.1. Relação de Euler 23 
2.3.2. Soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo 23 
2.3.3. Poliedros de Platão 23 
2.3.4. Poliedros regulares 24 
3. SÓLIDOS REDONDOS 28 
3.1. Cilindros 29 
3.1.1. Superfície cilíndrica e cilindro de revolução 29 
3.1.2. Área lateral e área total 30 
3.1.3. Volume do cilindro 31 
3.1.4. Secção paralela ao eixo 31 
3.2. Cones 32 
3.2.1. Secção meridiana 34 
3.2.2. Área lateral e área total 34 
3.2.3. Volume do cone 35 
3.2.4. Tronco de cone de bases paralelas 36 
3.3. Esferas 37 
3.3.1. Secção plana da esfera 38 
3.3.2. Volume da esfera 39 
3.3.3. Área da superfície esférica 39 
3.3.4. Fuso esférico e cunha esférica 39 
3.3.5. Segmentos esféricos 40 
4. QUESTÕES DE PROVAS ANTERIORES 59 
5. GABARITO 86 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 3 
6. QUESTÕES RESOLVIDAS E COMENTADAS 87 
7. CONSIDERAÇÕES FINAIS 140 
8. VERSÕES DAS AULAS 140 
 
 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 4 
Introdução 
 
Continuando nossa saga pela Geometria, chegamos à Geometria Espacial. 
 
Muitos dos problemas sobre Geometria Espacial, nas provas de vestibulares, são 
estrapolações dos problemas de Geometria Plana. Você verá que continuamos aplicando muito 
do que vimos em tópicos anteriores, como áreas de figuras planas, Teorema de Pitágoras, 
senos, cossenos e muitos outros conceitos. 
 
Claro, há também conceitos próprios da Geometria Espacial, como o volume de um 
sólido. 
 
Ao percorrer a aula, dê atenção especial à interpretação das figuras espaciais. Entenda 
que são figuras tridimensionais e, tanto o PDF quanto a sua prova, trarão representações 
planificadas dessas figuras. Assim, é vital que você consiga interpretá-las para poder aplicar o 
que sabe. 
 
Seguimos com a premissa das aulas anteriores: você não precisa memorizar as 
demonstrações, mas sempre pode consultá-las no curso extensivo. 
 
Acompanhe as resoluções e vá fazendo relação com a Geometria Plana que já vimos. 
Vá construindo seu conhecimento e relacionando-o com o que você já sabe. 
 
Se as dúvidas aparecerem, poste-as no fórum, estamos aqui para ajudar você. 
 
Grande abraço e bons estudos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 5 
1. Geometria de Posição 
No estudo da Geometria Plana, vimos diversos postulados sobre os elementos primitivos 
(ponto, reta e plano). Esses postulados foram uma simplificação da geometria euclidiana. 
Podemos adaptar esses postulados para o espaço e usá-los para construirmos o nosso 
conhecimento na Geometria Espacial. Na verdade, muito do que aprendemos lá, será usado 
nessa aula. Os conceitos de área de figuras planas, das propriedades de triângulos e círculos, 
de polígonos etc. Tudo isso será aproveitado. A única diferença aqui é a inclusão de mais uma 
dimensão, dando origem, assim, às figuras de sólidos. Estudaremos, agora, os conceitos de 
sólidos que são passíveis de serem cobrados no vestibular. 
Para o estudo da Geometria Espacial, usaremos uma noção intuitiva da percepção de 
espaço. Diferentemente da Geometria Plana, onde era mais fácil desenhar as figuras 
geométricas, na Geometria Espacial, devemos representar uma figura tridimensional em um 
plano. Para isso, usaremos nossa imaginação para fazer uma representação ilusória das 
figuras tridimensionais. Usaremos a linha contínua para representar as partes dos sólidos que 
são visíveis de frente e a linha pontilhada para as partes que não são visíveis. Vejamos os 
exemplos abaixo: 
 
Use sua imaginação e esforce-se para entender, visualmente, cada figura anterior. Não 
passe adiante sem conseguir classificar essas figuras como um prisma, uma pirâmide, um 
cilindro e uma esfera. Essa habilidade de interpretar figuras espaciais representadas no plano é 
vital para que prossigamos. 
Missão cumprida? 
Ok, vamos lá! 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 6 
Agora, vamos adaptar os postulados à nossa continuação do estudo geométrico do 
espaço. 
 
2. Poliedros 
Neste capítulo, iniciaremos o estudo dos sólidos. Na Geometria Plana, estudamos 
diversos polígonos tais como o hexágono, o pentágono, o quadrado, entre outros... Na 
Geometria Espacial, os sólidos cujas faces são polígonos são chamados de poliedros. Diversos 
deles são figuras conhecidas como o cubo, a pirâmide, o paralelepípedo, o prisma etc. 
Estudaremos cada um dos sólidos que podem ser cobrados no vestibular, então vamos iniciar 
pelo prisma. 
2.1. Prismas 
Consideremos dois planos paralelos 𝛼 e 𝛽. Seja 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 um polígono convexo 
determinado no plano 𝛼. 
 
Tomando-se as retas paralelas que contém os vértices 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸 do polígono em 𝛼, 
essas retas determinarão um polígono 𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′𝐸′ em 𝛽. A figura formada pelos segmentos de 
retas e pelos polígonos convexos em 𝛼 e 𝛽 é chamada de prisma. 
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Perceba que 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 e 𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′𝐸′ representam o mesmo polígono. Cada um dos 
segmentos 𝐴𝐴′, … , 𝐸𝐸′ é chamado de aresta lateral. Os polígonos convexos 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 e 
𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′𝐸′ são denominados de bases do prisma. Usualmente, definimos a base 𝑨𝑩𝑪𝑫𝑬 como 
base inferior e a base 𝑨′𝑩′𝑪′𝑫′𝑬′ como base superior. A medida da altura do prisma é igual 
à distância entre os planos paralelos. Note que 𝐴𝐵𝐵′𝐴′ é um paralelogramo. Cada um dos 
paralelogramos do prisma é chamado de face lateral. Os pontos 𝐴, 𝐵, 𝐶, … , 𝐷′, 𝐸′ são 
chamados de vértices do prisma. Cada segmento de reta do prisma é denominado de aresta. A 
figura abaixo apresenta os elementos presentes no prisma: 
 
 
Se a base do prisma for um polígono de 𝒏 lados, teremos: 
• 𝒏 faces laterais; 
• 𝒏 arestas laterais; 
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• 𝒏 + 𝟐 faces (faces laterais + duas bases); 
• 𝟑𝒏 arestas. 
Note que a base do prisma pode ser qualquer polígono convexo. Se a base for um 
hexágono, por exemplo, teremos um prisma hexagonal. Se for um pentágono, teremos um 
prisma pentagonal. 
Dependendo do ângulo que as arestas laterais formam com as bases, podemos ter dois 
tipos de prismas: 
• Prisma oblíquo 
• Prisma reto 
Dizemos que um prisma é regular quando ele é reto e a base é um polígono convexo 
regular. 
Vejamos alguns exemplos de prismas: 
 
Quando cortamos o prisma com um plano perpendicular às arestas laterais, dizemos 
que a figura formada é uma secção normal ou secção reta. 
 
 
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2.1.1. Área da superfície de sólidos geométricos 
 
O que é área de superfície? 
• Uma face é uma das superfícies planas ou curvas que formam uma forma 3D.• A área da superfície de uma forma 3D é a soma das áreas de todas as faces 
que compõem a forma. 
• Relação da ideia 2D (área) e 3 dimensões; 
 
 
 
 
2.1.2. Área da superfície do prisma 
Identificamos os elementos presentes no prisma. Na Geometria Plana, aprendemos a 
calcular a área de diversas figuras planas. Podemos usar esse conhecimento para calcular as 
áreas dos sólidos. A área total da superfície do prisma é dada por 𝐴𝑇 tal que: 
𝐴𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 = 𝐴𝐿𝐴𝑇𝐸𝑅𝐴𝐿 + 2𝐴𝐵𝐴𝑆𝐸 
 
Na qual 𝐴𝐿 é a área lateral do prisma e é igual à soma das áreas das faces laterais e 𝐴𝐵 
é a área da base. 
Tomando-se a secção normal de um prisma de lados medindo 𝑙1, 𝑙2, … , 𝑙𝑛, temos: 
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A medida da aresta lateral do prisma é 𝑎, desse modo, podemos calcular a área de cada 
face lateral do prisma: 
𝐴𝑖 = 𝑎 ⋅ 𝑙𝑖, 𝑖 = {1,2, … , 𝑛} 
A área lateral do prisma é igual à soma das áreas das faces laterais, logo: 
𝐴𝑙 = 𝑎 ⋅ 𝑙1 + 𝑎 ⋅ 𝑙2 +⋯+ 𝑎 ⋅ 𝑙𝑛 = 𝑎 ⋅ (𝑙1 + 𝑙2 +⋯+ 𝑙𝑛)⏟ 
𝑝𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑎 𝑠𝑒𝑐çã𝑜 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙
 
Definindo como 2𝑝 o perímetro da secção normal, obtemos: 
𝐴𝑙 = 2𝑝 ⋅ 𝑎 
2.1.3. Paralelepípedos 
Um paralelepípedo é um tipo específico de prisma cuja base é um paralelogramo. Todas 
as faces do paralelepípedo são paralelogramos. Vamos estudar os diferentes tipos desse 
sólido: 
a) Oblíquo 
Um paralelepípedo é oblíquo quando sua aresta lateral não forma ângulo reto com o 
plano da base. 
 
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Paralelepípedo oblíquo 
b) Reto 
Um paralelepípedo é reto quando sua aresta lateral forma ângulo reto com a base. 
 
Paralelepípedo reto 
 
Vamos estudar algumas propriedades dessa figura. Consideremos o paralelepípedo de 
dimensões conforme a seguinte imagem: 
 
 
𝑒 é a diagonal menor da base e 𝑑 é a diagonal menor do paralelepípedo. Observando as 
figuras, temos: 
Δ𝐴𝐵𝐷 ⇒ 𝑒2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 cos 𝛼 (𝑙𝑒𝑖 𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜𝑠) 
Δ𝐷𝐵𝐷′ ⇒ 𝑑2 = 𝑐2 + 𝑒2 ⇒ 𝑑2 = 𝑐2 + 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 cos 𝛼 
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∴ 𝑑 = √𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑎𝑏 cos 𝛼 
 
Podemos usar o mesmo raciocínio para encontrar a outra diagonal do paralelepípedo. 
c) Retângulo 
Um paralelepípedo é retângulo quando sua base é um retângulo. 
 
Paralelepípedo retângulo 
 
d) Reto-retângulo 
Um paralelepípedo é reto-retângulo quando sua aresta lateral forma ângulo reto com a 
base e esta é um retângulo. 
 
Paralelepípedo reto-retângulo 
Vejamos algumas propriedades desse sólido. Consideremos o paralelepípedo com as 
seguintes dimensões: 
 
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Pelas figuras, podemos ver que: 
Δ𝐴𝐵𝐷 ⇒ 𝑒2 = 𝑎2 + 𝑏2 
Δ𝐷𝐵𝐷′ ⇒ 𝑑2 = 𝑐2 + 𝑒2 = 𝑐2 + 𝑎2 + 𝑏2 ⇒ 𝑑 = √𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 
𝐴𝑇 = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 + 𝑏𝑐 ⇒ 𝐴𝑇 = 2(𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐) 
 
e) Cubo 
Esse sólido é um paralelepípedo cujas faces são todas quadrados. 
 
Vamos estudar algumas propriedades dessa figura. Consideremos um cubo de aresta 𝑎 
e tracemos as diagonais conforme a imagem abaixo: 
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𝑏 é a diagonal da base e 𝑑 é a diagonal do cubo. Observando as faces, temos: 
Δ𝐴𝐵𝐷 ⇒ 𝑏2 = 𝑎2 + 𝑎2 ⇒ 𝑏 = 𝑎√2 
Δ𝐷𝐵𝐷′ ⇒ 𝑑2 = 𝑎2 + 𝑏2 ⇒ 𝑑2 = 𝑎2 + (𝑎√2)
2
⇒ 𝑑 = 𝑎√3 
Além disso, como as faces são quadrados de lado 𝑎, para calcular a área total, basta 
somar seis vezes a área de cada face, ou seja: 
á𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑜 𝑐𝑢𝑏𝑜 ⇒ 𝐴𝑇 = 6𝑎
2 
2.1.4. Volume dos sólidos geométricos 
O que é volume? 
• O volume de uma forma 3D é uma medida de quanto espaço ela ocupa; 
• Você precisa ser capaz de calcular os volumes de uma série de formas comuns 
(prismas, cubos, paralelepípedos...); 
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2.1.5. Volume do paralelepípedo 
Introduziremos agora o conceito de volume. Imagine que você tenha uma caixa vazia e 
queira enchê-lo de cubos. Antes de enchê-lo, você se pergunta quantos cubos será que cabem 
nessa caixa? Para responder essa pergunta, devemos conhecer o volume da caixa para saber 
quanto de espaço temos disponível. Então, se a caixa tem 10 unidades de volume e supondo 
que cada cubo ocupe 1 unidade de volume, nele caberá 10 cubos. Assim, o volume é a 
medida usada para determinar a quantidade de espaço ocupada por um corpo e, por isso, 
ele permite, também, determinar quanto um corpo, vazio por dentro, possui de espaço 
disponível. 
Na Geometria Plana, ao calcular a área de figuras planas, usamos um quadrado de lado 
1 como referência. Para o volume, usaremos um cubo de lado 1, a ele denominaremos de cubo 
unitário. 
 
Se o cubo tiver aresta medindo 1𝑚, o seu volume será 1𝑚3. Se tiver aresta medindo 
1𝑐𝑚, o seu volume será 1𝑐𝑚3. Geralmente, o volume tem unidades de tamanho cúbicos. Para 
calcular o volume de um sólido, devemos pensar em quantos cubos unitários cabem no sólido. 
Vamos pensar no caso mais simples, um paralelepípedo reto-retângulo. Considere o exemplo 
abaixo: 
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Para saber qual o volume desse sólido, precisamos contar quantos cubos unitários 
formam essa figura. Observando-a, podemos ver que ele é formado por 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 12 cubos. 
O volume de um paralelepípedo reto-retângulo é dado pelo produto entre a área da sua 
base e a sua altura. 
𝑉 = (á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒) ⋅ (𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎) = 𝐴𝐵 ⋅ ℎ 
E se quisermos calcular o volume de um prisma qualquer? Para descobrir o volume 
desse sólido, estudaremos o princípio de Cavalieri. 
2.1.6. Princípio de Cavalieri 
 
 Dados dois sólidos cujas bases estão contidas num mesmo plano, se qualquer 
plano secante, paralelo ao plano da base, forma superfícies de áreas iguais nos 
sólidos, então os sólidos têm volumes iguais. 
Na prática, se dois prismas possuem alturas iguais e bases de mesma área, podemos 
afirmar que os dois sólidos possuem mesmo volume. Assim, vamos tomar dois prismas, um 
será um prisma oblíquo de base pentagonal (a base pode ser qualquer polígono) e o outro será 
um paralelepípedo reto-retângulo. As suas bases estarão no mesmo plano e ambos têm 
mesma área. Vejamos a figura abaixo. 
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Como as bases têm áreas iguais, temos 𝐴1 = 𝐴2. Pelo princípio de Cavalieri, temos: 
𝑉1 = 𝑉2 = 𝐴2 ⋅ ℎ = 𝐴1 ⋅ ℎ 
∴ 𝑉1 = 𝐴1 ⋅ ℎ 
Portanto, a área de um prisma qualquer é igual ao produto da área da base pela sua 
altura. 
𝑉 = 𝐴𝐵 ⋅ ℎ 
Se tivermos apenas a informação da aresta lateral ao invés da altura do prisma, 
podemos usar a trigonometria para encontrar a altura. Veja: 
 
Podemos ver que: 
𝑠𝑒𝑛 𝜃 =
ℎ
𝑎
⇒ ℎ = 𝑎 ⋅ 𝑠𝑒𝑛 𝜃 
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Vejamos o volume de alguns paralelepípedos: 
 
Cubo 
𝑉 = 𝐴𝐵 ⋅ ℎ = 𝑎 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑎 
𝑉 = 𝑎3 
 
 
Reto-retângulo 
𝑉 = 𝐴𝐵⏟
𝑎𝑏
⋅ ℎ⏟
𝑐
 
𝑉 = 𝑎𝑏𝑐 
 
 
Reto 
𝑉 = 𝐴𝐵⏟
𝑎𝑏 𝑠𝑒𝑛𝛼
⋅ ℎ⏟
𝑐
 
𝑉 = 𝑎𝑏𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝛼 
 
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2.2. Pirâmides 
Consideremos um polígono convexo contido em um plano 𝛼 e um ponto 𝑃 fora de 𝛼. A 
figura formada pelos segmentos de reta que ligam 𝑃 aos vértices do polígono é chamada de 
pirâmide convexa. 
 
Vejamos os elementos presentes na pirâmide. 
 
 
• 𝜃 é o ângulo formado pela aresta lateral 𝐴𝑃 e o plano da base; 
• A altura da pirâmide é igual à distância entre o vértice 𝑃 e o plano da base;• Apótema é o termo usado para a altura de uma face lateral; 
• 𝜃′ é o ângulo diédrico da aresta 𝐶𝐷. 
A natureza da pirâmide varia de acordo com o polígono da base. Se a base for um 
pentágono, teremos uma pirâmide pentagonal. Se a base for um hexágono, teremos uma 
pirâmide hexagonal e assim por diante. 
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Dizemos que uma pirâmide é regular quando a sua base é um polígono regular e a 
projeção ortogonal do vértice é o centro da base. Nesse caso, as arestas laterais são todas 
congruentes e as faces laterais são triângulos isósceles. 
2.2.1. Tetraedro 
Tetraedro é uma figura que costuma ser cobrada bastante nos vestibulares. Ele é uma 
pirâmide triangular. 
 
Um tetraedro é regular quando todas as suas arestas são congruentes. Desse modo, as 
faces dessa pirâmide são triângulo equiláteros. 
 
 
2.2.2. Área da superfície da pirâmide 
A área lateral de uma pirâmide é igual à soma das áreas laterais das faces. 
A área total é igual à soma da área lateral com a área com base. 
 
2.2.3. Volume da pirâmide 
Essa fórmula é válida para qualquer tipo de pirâmide convexa: 
𝑉𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒 =
1
3
𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 ⋅ ℎ 
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2.2.4. Semelhança de sólidos geométricos 
Quais são as formas semelhantes? 
• Existe proporcionalidade entre medidas lineares correspondentes (constante 𝒌) 
• Áreas equivalentes são vinculadas por uma constante de área (𝒌²) 
• Volumes equivalentes são vinculados por uma constante de volume (𝒌𝟑) 
 
 
2.2.5. Plano secante paralelo à base da pirâmide 
Quando seccionamos um plano paralelamente ao plano da base, obtemos duas 
pirâmides semelhantes. 
 
A razão entre as áreas da pirâmide menor e a pirâmide maior é igual 𝑘2, onde 𝑘 é a 
razão de proporção entre os segmentos das pirâmides. 
ℎ
ℎ′
=
𝑃𝐴
𝑃𝐴′
=
𝑃𝐵
𝑃𝐵′
= ⋯ =
𝐴𝐵
𝐴′𝐵′
=
𝐵𝐶
𝐵′𝐶′
= ⋯ = 𝑘 
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𝑆
𝑆′
= 𝑘2 
A razão entre os volumes da pirâmide menor e a pirâmide maior é igual 𝑘3: 
𝑉
𝑉′
= 𝑘3 
A figura formada pelos vértices 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′𝐸′𝐹′ é chamada de tronco de pirâmide 
de bases paralelas. Vamos calcular o volume desse tronco. 
 
Seja 𝑉𝑇 o volume do tronco e 𝑆1 e 𝑆2 as áreas das bases da pirâmide maior e menor, 
respectivamente, temos: 
𝑉𝑇 =
ℎ𝑇
3
(𝑆1 + 𝑆2 +√𝑆1𝑆2) 
 
2.3. Poliedros convexos 
Dizemos que um sólido é um poliedro convexo quando a sua superfície é formada por 𝑛 
polígonos que satisfazem as seguintes condições: 
• Dois polígonos quaisquer não estão no mesmo plano; 
• Qualquer aresta de um polígono é comum a apenas dois polígonos; 
• O plano de qualquer polígono deixa os demais no mesmo semiespaço. 
As faces do polígono convexo são os polígonos convexos, as suas arestas são os lados 
dos polígonos e os seus vértices são os vértices dos polígonos. 
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2.3.1. Relação de Euler 
A relação de Euler é uma propriedade que relaciona as arestas, vértices e faces de um 
poliedro convexo. Para todo poliedro convexo, vale a relação: 
𝑉 − 𝐴 + 𝐹 = 2 
Os poliedros que admitem a relação de Euler são chamados de poliedros eulerianos. 
Atenção! Todo poliedro convexo é euleriano, mas nem todo poliedro euleriano é convexo! 
 
2.3.2. Soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo 
A soma dos ângulos de todas as faces de um poliedro convexo é igual a 
𝑆 = (𝑉 − 2) ⋅ 360° 
Em que 𝑉 é o número de vértices do poliedro convexo. 
2.3.3. Poliedros de Platão 
Um poliedro é classificado como poliedro de Platão quando satisfaz os seguintes 
requisitos: 
• Todas as faces possuem o mesmo número de arestas; 
• De cada vértice, parte um mesmo número de arestas; 
• Admite a relação de Euler. 
Existem apenas cinco tipos de poliedros de Platão, são eles: 
1. Tetraedro 
2. Hexaedro 
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3. Octaedro 
4. Dodecaedro 
5. Icosaedro 
Não veremos a prova disso, pois não é um assunto que costuma cair em prova. 
2.3.4. Poliedros regulares 
Os poliedros convexos são classificados como regulares quando: 
• Todas as faces possuem o mesmo número de arestas; 
• De cada vértice, parte um mesmo número de arestas; 
• Todas as faces são polígonos regulares. 
Note que os poliedros regulares possuem uma definição parecida com os poliedros de 
Platão. A única ressalva é que as faces dos poliedros regulares são polígonos regulares. 
Assim, temos apenas cinco tipos de poliedros regulares: 
1. Tetraedro regular 
2. Hexaedro regular (cubo) 
3. Octaedro regular 
4. Dodecaedro regular 
5. Icosaedro regular 
 
1. (UFRGS/2019) Na figura a seguir, está representado um cubo cuja aresta tem 2 cm 
de medida. O ponto P está localizado no centro da face EFGH. 
 
 
A medida do segmento AP é 
a) √2 b) 2 c) √6 d) 2√3 e) 3 
Comentários 
Podemos pensar em um triângulo retângulo 𝐴𝐻𝑃 para encontrar o valor da hipotenusa 𝐴𝑃. 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 25 
 
Como 𝐹𝐻 é uma diagonal da face quadrada 𝐸𝐹𝐺𝐻 cujo lado vale 2, temos que 𝐹𝐻 = 2√2, o 
que implica 𝐻𝑃 = √2. 
Dessa forma, podemos aplicar o teorema de Pitágoras ao triângulo 𝐴𝐻𝑃. 
𝐴𝑃2 = 𝐴𝐻2 + 𝐻𝑃2 
𝐴𝑃2 = 22 + √2
2
 
𝐴𝑃2 = 4 + 2 
𝐴𝑃2 = 6 
√𝐴𝑃2 = √6 
|𝐴𝑃| = √6 
𝐴𝑃 = ±√6 
Como 𝐴𝑃 é uma distância, 𝐴𝑃 = √6. 
Gabarito: c) 
2. (UFRGS/2019) Em um curso de dobraduras, a instrutora orientou que fosse 
construída uma pirâmide de base quadrada, de lado igual a 3 𝑐𝑚 e altura igual a 10 𝑐𝑚. O 
volume dessa pirâmide é igual a 
a) 25 cm3 
b) 30 cm3 
c) 15 cm3 
d) 9 cm3 
e) 12 cm3 
Comentários 
Podemos representar a pirâmide do enunciado no esboço: 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 26 
 
Dessa forma, o volume dessa pirâmide é dado por: 
𝑉𝑝 =
1
3
⋅ 𝐴𝑏 ⋅ ℎ 
𝑉𝑝 =
1
3
⋅ 32 ⋅ 10 
𝑉𝑝 = 30 𝑐𝑚
3 
Gabarito: b) 
3. (UDESC/2012) Uma caixa de um perfume tem o formato de um tronco de pirâmide 
quadrangular regular fechado. Para embrulhá-la, Pedro tirou as seguintes medidas: 
aresta lateral 5 cm e arestas das bases 8 cm e 2 cm. A quantidade total de papel para 
embrulhar esta caixa, supondo que não haja desperdício e nem sobreposição de 
material, foi: 
a) 88 𝑐𝑚2 b) 168 𝑐𝑚2 c) 80 𝑐𝑚2 d) 68 𝑐𝑚2 e) 148 𝑐𝑚2 
Comentários 
Esquematizando a caixa de perfume em voga, temos: 
 
Perceba que o comprimento de 𝐴𝐴′̅̅ ̅̅ ̅ e de 𝐵𝐵′̅̅ ̅̅ ̅ representam a altura ℎ do trapézio que forma a 
lateral do tronco de pirâmide. 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 27 
Como 𝐴𝐵 = 𝐴′𝐵′ = 2, só podemos ter os comprimentos 𝐴′𝐷̅̅ ̅̅ ̅ + 𝐵′𝐶̅̅ ̅̅ ̅ = 6, ou seja, 𝐴′𝐷̅̅ ̅̅ ̅ = 𝐵′𝐶̅̅ ̅̅ ̅ = 3. 
Assim, temos que o triângulo 𝐵𝐵′𝐶 é retângulo em 𝐵′. Podemos, então, descobrir o valor de ℎ 
aplicando, a esse triângulo, o teorema de Pitágoras. 
𝐵′𝐵̅̅ ̅̅ ̅2 + 𝐵′𝐶̅̅ ̅̅ ̅2 = 𝐵𝐶2 
ℎ2 + 32 = 52 
ℎ2 = 25 − 9 
ℎ2 = 16 
√ℎ2 = √16 
|ℎ| = 4 
ℎ = ±4 
Como estamos falando sobre uma altura, consideremos apenas o sinal positivo para ℎ = 4. 
Com esses dados, podemos dizer que a área total do tronco de pirâmide que forma a caixa de 
perfume tem área total 𝐴𝑡 igual a 
𝐴𝑡 = 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 + Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 + 4 ⋅ á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑒𝑠 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑖𝑠 
𝐴𝑡 = 8
2 + 22 + 4 ⋅
(8 + 2) ⋅ 4
2
 
𝐴𝑡 = 64 + 4 + 80 
𝐴𝑡 = 148 𝑐𝑚
2 
Gabarito: e) 
4. (Inédita) Um cubo e uma pirâmide de base quadrada têm o mesmo volume. Se a 
área da base da pirâmide é igual a um terço da área da base do cubo, podemos dizer que 
a) a altura dapirâmide é igual ao dobro da altura do cubo. 
b) não é possível que uma pirâmide tenha o mesmo volume que um cubo. 
c) a área total da pirâmide é igual à área total do cubo, uma vez que seus volumes são iguais. 
d) a altura da pirâmide é igual à altura do cubo. 
e) a altura do cubo é igual a um nono da altura da pirâmide. 
Comentários 
Como o enunciado nos informa que o volume do cubo 𝑉𝑐 é igual ao volume da pirâmide de 
base quadrada 𝑉𝑝, e admitindo a aresta do cubo igual a 𝑥, temos: 
𝑉𝑐 = 𝑉𝑝 
𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑜 𝑐𝑢𝑏𝑜 ⋅ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑢𝑏𝑜 =
1
3
⋅ 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑎 𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒 ⋅ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 28 
𝑥2 ⋅ 𝑥 =
1
3
⋅
1
3
⋅ 𝑥2 ⋅ ℎ 
 𝑥2 ⋅ 𝑥 =
1
3
⋅
1
3
⋅ 𝑥2 ⋅ ℎ 
𝑥 =
1
9
⋅ ℎ 
Gabarito: e) 
5. (UCPEL/2017) A área de um quadrado de lado 𝑥 𝑐𝑚 aumenta em 28 𝑐𝑚2 se o seu 
lado for aumentado em 2 𝑐𝑚. Considerando que a medida da aresta de um tetraedro 
regular é igual ao lado 𝑥 deste quadrado, então a altura ℎ deste tetraedro vale 
a) 2√6 𝑐𝑚 b) 2√3 𝑐𝑚 c) 2√2 𝑐𝑚 d) 3√2 𝑐𝑚 e) 4√6 𝑐𝑚 
Comentários 
“A área de um quadrado de lado 𝑥 𝑐𝑚 aumenta em 28 𝑐𝑚2 se o seu lado for aumentado em 
2 𝑐𝑚.” 
Reescrevendo a mesma informação na forma de equação e a resolvendo, temos: 
(𝑥 + 2)2 = 𝑥2 + 28 
 𝑥2 + 2 ⋅ 𝑥 ⋅ 2 + 22 = 𝑥2 + 28 
4𝑥 + 4 = 28 
4𝑥 = 28 − 4 
4𝑥 = 24 
𝑥 =
24
4
= 6 
A altura do tetraedro regular pode ser calculada com a fórmula 
ℎ =
𝑥 ⋅ √6
3
 
ℎ =
6 ⋅ √6
3
 
ℎ = 2 ⋅ √6 
Gabarito: a) 
3. Sólidos Redondos 
Vamos começar nosso estudo de sólidos redondos, são eles: os cilindros, os cones e as 
esferas. Iniciemos pelos cilindros. 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 29 
3.1. Cilindros 
Os cilindros são figuras muito parecidas com os prismas, a diferença é que ao invés da 
base ser um polígono convexo, a base do cilindro é um círculo. Podemos pensar em um prisma 
arredondado. Vejamos os elementos presentes no cilindro. 
 
Note que o cilindro possui duas bases circulares congruentes de raio 𝑅 e que 𝑂𝐴𝐴′𝑂 é 
um paralelogramo. Geratriz é o termo usado para qualquer segmento de reta do cilindro 
distando 𝑅 do eixo 𝑂𝑂′, e paralelo ao mesmo. 
Quando as geratrizes do cilindro são oblíquas às bases, temos um cilindro circular 
oblíquo e quando elas são perpendiculares às bases, temos um cilindro circular reto. Neste 
caso, a altura do cilindro será igual à medida da geratriz, ou seja, ℎ = 𝑔. 
3.1.1. Superfície cilíndrica e cilindro de revolução 
Se rotacionarmos um retângulo que possui um lado contido no eixo 𝑒, obtemos um 
cilindro de revolução. Perceba que esse cilindro é circular reto, ou seja, a geratriz é 
perpendicular ao plano da base. 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 30 
 
3.1.2. Área lateral e área total 
Se cortarmos uma superfície cilíndrica de revolução de altura ℎ e a colocarmos em cima 
de uma mesa esticada, obtemos a figura de um retângulo de dimensões iguais à altura ℎ e ao 
comprimento da base circular. Sabemos que o comprimento de uma circunferência de raio 𝑅 é 
2𝜋𝑅. Assim, temos que a superfície lateral de um cilindro circular reto planificada é equivalente 
a um retângulo de dimensões ℎ e 2𝜋𝑅. 
 
Logo, a área lateral de um cilindro é: 
𝐴𝐿 = 2𝜋𝑅ℎ 
Para encontrar a área total do cilindro circular reto, basta somar duas vezes a área da 
base. Como a base é um círculo de raio 𝑅, temos: 
𝐴𝐵 = 𝜋𝑅
2 
𝐴𝑇 = 𝐴𝐿 + 2𝐴𝐵 = 2𝜋𝑅ℎ + 2𝜋𝑅
2 
∴ 𝐴𝑇 = 2𝜋𝑅(ℎ + 𝑅) 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 31 
3.1.3. Volume do cilindro 
Para encontrar o volume de um cilindro, podemos usar o princípio de Cavalieri. Assim, 
tomando-se um cilindro circular de raio 𝑅 e um prisma tais que ambos possuem a mesma altura 
ℎ e bases de mesma área, temos: 
𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒_𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎 = 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒_𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 𝜋𝑅
2 
Pelo princípio de Cavalieri: 
𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 𝑉𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎 = 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎 ⋅ ℎ 
∴ 𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 𝜋𝑅
2ℎ 
 
3.1.4. Secção paralela ao eixo 
Consideremos um cilindro circular reto de eixo 𝑂𝑂′ e altura ℎ conforme representado 
pela figura abaixo: 
 
Ao seccionarmos esse cilindro por um plano paralelo ao seu eixo e a uma distância 𝑑 
deste, a secção plana formada é um retângulo de dimensões ℎ e 2𝑥. Podemos calcular o valor 
de 𝑥 da seguinte forma: 
 
Observando a circunferência e aplicando o teorema de Pitágoras no Δ𝐴𝑂𝑀: 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 32 
𝑅2 = 𝑥2 + 𝑑2 ⇒ 𝑥 = √𝑅2 − 𝑑2; 0 ≤ 𝑑 ≤ 𝑅 
Se a distância 𝑑 for nula, chamamos a secção plana obtida de secção meridiana. 
 
Note que a secção meridiana divide o cilindro em dois semicilindros. Quando a secção 
meridiana é um quadrado, temos um cilindro equilátero. Neste caso: 
𝑔 = ℎ = 2𝑅 
3.2. Cones 
Cones são sólidos que possuem uma base circular contida num plano e um vértice fora 
deste plano. Podemos pensar no cone como uma pirâmide arredondada. Assim, quando a 
projeção ortogonal do cone se encontra no centro da sua base circular, temos um cone reto. 
Por outro lado, quando essa projeção não está no centro da circunferência, temos um cone 
oblíquo. 
 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 33 
Vejamos os elementos presentes no cone: 
 
Note que no caso do cone oblíquo, a geratriz pode ter medidas diferentes. Além disso, o 
termo geratriz também pode ser referido como apótema do cone. 
Um cone reto pode ser chamado de cone de revolução. Pois, ao rotacionarmos um 
triângulo retângulo em torno de um eixo que contém um de seus catetos, obtemos um cone 
reto. 
 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 34 
 
No caso do cone reto, temos a seguinte relação: 
𝑔2 = ℎ2 + 𝑅2 
3.2.1. Secção meridiana 
Quando seccionamos um cone reto por um plano que contém seu eixo 𝑃𝑂, obtemos 
uma secção meridiana. Essa figura será um triângulo isósceles. 
 
Se a secção meridiana for um triângulo equilátero, chamamos o cone de cone 
equilátero. Neste caso, temos 𝑔 = 2𝑅 e ℎ = 𝑅√3. 
3.2.2. Área lateral e área total 
Podemos afirmar que a superfície lateral de um cone de geratriz 𝑔 e raio 𝑅 é equivalente 
a um setor circular de raio 𝑔 e comprimento de arco 2𝜋𝑅. 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 35 
 
Do setor circular, temos: 
𝜃 =
2𝜋𝑅
𝑔
 
A área lateral do cone será igual à área do setor circular, logo: 
𝐴𝐿 = 𝜋𝑔
2
𝜃
2𝜋
=
𝑔2
2
⋅
2𝜋𝑅
𝑔
 
∴ 𝐴𝐿 = 𝜋𝑅𝑔 
A área total do cone é igual à soma da área lateral com a área da base: 
𝐴𝑇 = 𝐴𝐿 + 𝐴𝐵 
𝐴𝑇 = 𝜋𝑅𝑔 + 𝜋𝑅
2 
𝐴𝑇 = 𝜋𝑅(𝑔 + 𝑅) 
3.2.3. Volume do cone 
O volume do cone pode ser obtido pelo princípio de Cavalieri tomando-se um cone e 
uma pirâmide de mesma altura e área da base. Assim, temos para um cone de raio 𝑅 e altura 
ℎ: 
𝑉𝑐𝑜𝑛𝑒 =
1
3
𝐴𝐵 ⋅ ℎ 
𝑉𝑐𝑜𝑛𝑒 =
1
3
𝜋𝑅2ℎ 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 36 
3.2.4. Tronco de cone de bases paralelas 
Vamos deduzir a fórmula para calcular o volume de um tronco de cone de bases 
paralelas. Consideremos a seguinte figura: 
 
Sejam 𝑉1, 𝑉2, 𝑉𝑇 os volumes do cone menor, do cone maior e do tronco de cone. Assim, 
temos: 
𝑉𝑇 = 𝑉2 − 𝑉1 
⇒ 𝑉𝑇 =
𝜋𝑅2ℎ
3
−
𝜋𝑟2ℎ′
3
=
𝜋𝑅2(ℎ′ + ℎ𝑇)
3
−
𝜋𝑟2ℎ′
3
 
⇒ 𝑉𝑇 =
𝜋ℎ′(𝑅2 − 𝑟2)
3
+
𝜋𝑅2ℎ𝑇
3
 
Pela semelhança dos cones, podemos escrever: 
ℎ′
ℎ
=
𝑟
𝑅
⇒
ℎ′
ℎ′ + ℎ𝑇
=
𝑟
𝑅
⇒ 𝑅ℎ′ = ℎ′𝑟 + ℎ𝑇𝑟 ⇒ ℎ
′ =
ℎ𝑇𝑟
𝑅 − 𝑟
 
Substituindo ℎ′ na expressão do volume do tronco: 
𝑉𝑇 =
𝜋
3
(
ℎ𝑇𝑟
𝑅 − 𝑟
) (𝑅2 − 𝑟2) +
𝜋𝑅2ℎ𝑇
3Portanto, o volume do tronco é: 
𝑉𝑇 =
𝜋ℎ𝑇
3
(𝑅2 + 𝑟2 + 𝑅𝑟) 
Pela figura da região planificada, vemos que podemos relacionar a geratriz, a altura e os 
raios das bases do tronco: 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 37 
 
𝑔𝑇
2 = ℎ𝑇
2 + (𝑅 − 𝑟)2 
A área lateral do tronco pode ser calculada subtraindo-se a área lateral do cone menor 
da área lateral do cone maior. Assim, temos: 
 
A área lateral do tronco de cone é: 
𝐴𝐿𝑇 = 𝜋𝑔𝑇(𝑅 + 𝑟) 
3.3. Esferas 
Vimos no capítulo de lugares geométricos que uma superfície esférica é o conjunto dos 
pontos no espaço que equidistam de um determinado ponto, denominado de centro. 
𝑆{𝑂, 𝑅} = {𝑃 ∈ 𝜖⏟
𝑒𝑠𝑝𝑎ç𝑜
|𝑑𝑃,𝑂 = 𝑅⏟
𝑟𝑎𝑖𝑜 𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎
} 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 38 
 
Uma esfera é o conjunto dos pontos no espaço que satisfazem a seguinte relação: 
𝑆1{𝑂, 𝑅} = {𝑃 ∈ 𝜖|𝑑𝑃,𝑂 ≤ 𝑅} 
 
Também podemos dizer que a esfera é um sólido de revolução gerado pela rotação de 
uma semicircunferência em torno de um eixo que contém seu diâmetro. 
 
 
3.3.1. Secção plana da esfera 
 Toda secção plana de uma esfera é um círculo. 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 39 
 
Pela figura, vemos que: 
𝑅2 = 𝑑2 + 𝑟2; 0 ≤ 𝑑 ≤ 𝑅 
Se o plano secante à esfera passar pelo centro da esfera, a secção formada será o 
círculo máximo da esfera. Neste caso, temos 𝑑 = 0 e, portanto, 𝑟 = 𝑅. 
Note que calota esférica é o termo usado para a parte da esfera cortada por um plano. 
3.3.2. Volume da esfera 
O volume de uma esfera de raio 𝑅 é dado por: 
𝑉 =
4
3
𝜋𝑅3 
3.3.3. Área da superfície esférica 
A área de uma superfície esférica de raio 𝑅 é dada por: 
𝐴 = 4𝜋𝑅2 
3.3.4. Fuso esférico e cunha esférica 
Fuso esférico é a parte da superfície esférica formada pela rotação em 𝛼 graus de uma 
semicircunferência em torno do diâmetro da superfície esférica. Podemos dizer que ele é uma 
fatia de uma superfície esférica. 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 40 
 
Para calcular a área do fuso, podemos fazer uma simples regra de três. Considerando 𝛼 
em radianos: 
2𝜋 − 4𝜋𝑅2 
𝛼 − 𝐴𝑓𝑢𝑠𝑜 
⇒ 𝐴𝑓𝑢𝑠𝑜 = 4𝜋𝑅
2 ⋅
𝛼
2𝜋
 
∴ 𝐴𝑓𝑢𝑠𝑜 = 2𝑅
2𝛼 
Cunha esférica é a parte da esfera formada pela rotação em 𝛼 graus de um 
semicírculo em torno do diâmetro da esfera. Podemos dizer que ela é uma fatia de uma 
esfera. 
3.3.5. Segmentos esféricos 
Seccionando-se uma esfera com dois planos paralelos entre si, dividimos a esfera em 
três partes. A região compreendida entre os planos é chamada de segmento esférico de duas 
bases. As outras duas são chamadas de segmentos esféricos de uma base, essas também 
podem ser denominadas de calotas esféricas. 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 41 
 
Para calcular o volume de um segmento esférico de duas bases, considere 𝑟1 e 𝑟2 os 
raios da base menor e maior: 
𝑉𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑜 =
𝜋ℎ
6
[3(𝑟1
2 + 𝑟2
2) + ℎ2] 
 Para o volume do segmento esférico de uma base, basta considerar 𝑟1 = 0 e 𝑟2 =
𝑟. Logo: 
𝑉 =
𝜋ℎ
6
(3𝑟2 + ℎ2) 
 
6. (Inédito) O volume de uma esfera de raio 𝑟 = 5 é interceptada por um plano que 
contém seu diâmetro. 
A intersecção entre a esfera e o plano forma 
a) uma esfera de raio 𝑟 = 5 
b) uma circunferência de raio 𝑟 = 5 pertencente ao plano 
c) uma esfera de raio 𝑟 > 5 perpendicular a plano 
d) uma circunferência de raio 𝑟 < 5 oblíqua ao plano 
e) uma reta pertencente ao plano 
Comentários 
A intersecção entre um plano que contém o centro de uma esfera e a própria esfera gera uma 
circunferência pertencente ao plano e de mesmo raio da esfera, neste caso, 𝑟 = 5. 
Gabarito: b) 
7. (UERJ/2017) Um cilindro circular reto possui diâmetro 𝐴𝐵 de 4 𝑐𝑚 e altura 𝐴𝐴’ de 
10 𝑐𝑚. O plano 𝛼, perpendicular à seção meridiana 𝐴𝐵𝐵′𝐴′, que passa pelos pontos 𝐵 e 𝐴’ 
das bases, divide o cilindro em duas partes, conforme ilustra a imagem. 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 42 
 
O volume da parte do cilindro compreendida entre o plano a e a base inferior, em cm3, é 
igual a: 
a) 8𝜋 
b) 12𝜋 
c) 16𝜋 
d) 20𝜋 
Comentários 
Apesar de o plano estar inclinado, divide o cilindro em duas partes de igual volume. 
Dessa forma, o volume solicitado é igual à metade do volume do cilindro completo. 
𝑉𝑚𝑒𝑡𝑎𝑑𝑒 =
1
2
⋅ Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 ⋅ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 
𝑉𝑚𝑒𝑡𝑎𝑑𝑒 =
1
2
⋅ 𝜋 ⋅ 22 ⋅ 10 
𝑉𝑚𝑒𝑡𝑎𝑑𝑒 = 20𝜋 
Gabarito: d) 
8. (ENEM-Libras/2017) Para divulgar sua marca, uma empresa produziu um porta-
canetas de brinde, na forma do sólido composto por um cilindro e um tronco de cone, 
como na figura. 
 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 43 
Para recobrir toda a superfície lateral do brinde, essa empresa encomendará um adesivo 
na forma planificada dessa superfície. 
Que formato terá esse adesivo? 
 
 
Comentários 
Ao planificar um tronco de cone, presente na parte superior, temos, como planificação a 
superfície de um setor circular. 
Ao planificar um cilindro, temos um retângulo. 
Dessa forma, a única alternativa que apresenta essas opções é a alternativa b) 
 
Gabarito: b) 
9. (ENEM/2013) Uma cozinheira, especialista em fazer bolos, utiliza uma forma no 
formato representado na figura: 
 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 44 
Nela identifica-se a representação de duas figuras geométricas tridimensionais. 
Essas figuras são 
a) um tronco de cone e um cilindro. 
b) um cone e um cilindro. 
c) um tronco de pirâmide e um cilindro. 
d) dois troncos de cone. 
e) dois cilindros. 
Comentários 
Se retirarmos a parte interna da forma, a que faz o “buraco no bolo”, vemos um tronco de cone 
invertido, ou seja, com o vértice para baixo. 
 
Já a parte interna, sozinha, representa outro tronco de cone, veja. 
 
Dessa forma, a forma é composta de dois troncos de cone. 
Gabarito: d) 
10. (UFPA/2011) Uma rasa é um paneiro utilizado na venda de frutos de açaí. Um típico 
exemplar tem forma de um tronco de cone, com diâmetro de base 28 𝑐𝑚, diâmetro de 
boca 34 𝑐𝑚 e altura 27 𝑐𝑚. Podemos afirmar, utilizando 𝜋 = 3,14, que a capacidade da 
rasa, em litros, é aproximadamente 
a) 18 b) 20 c) 22 d) 24 e) 26 
Comentários 
Já sabemos que a rasa é um tronco de cone. O enunciado nos informou os diâmetros das 
bases, inferior e superior. Com eles, conseguimos os raios respectivos. 
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ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 45 
𝑟 =
28
2
= 14 𝑅 =
34
2
= 17 
Sabendo que a altura do tronco é de 27 𝑐𝑚, podemos calcular o volume diretamente. 
𝑉 =
𝜋
3
⋅ ℎ ⋅ (𝑅2 + 𝑅 ⋅ 𝑟 + 𝑟2) 
𝑉 ≅
3,14
3
⋅ 27 ⋅ (172 + 17 ⋅ 14 + 142) 
𝑉 ≅
3,14
 3 
⋅ 27 
9 ⋅ (289 + 238 + 196) 
𝑉 ≅ 3,14 ⋅ 9 ⋅ 723 
𝑉 ≅ 3,14 ⋅ 6507 
𝑉 ≅ 20431,98 𝑐𝑚3 
Como 1𝑙 equivale a 1000 𝑐𝑚3, temos que 
𝑉 ≅ 20,43198 𝑙 
Gabarito: b) 
11. (UFRGS/2008) A areia contida em um cone fechado, de altura 18 𝑐𝑚, ocupa 
7
8
 da 
capacidade do cone. 
 
Voltando-se o vértice do cone para cima, conforme indica a figura, a altura ℎ do tronco 
de cone ocupado pela areia, em centímetros, é 
a) 7. b) 8. c) 9. d) 10. e) 11. 
Comentários 
Chamemos 𝑣 o volume de areia contido no cone e de 𝑉 o volume total do cone. 
Pelo enunciado, temos que 
𝑣 =
7
8
𝑉. 
Sendo assim, podemos calcular o volume do cone menor, na parte superior da segunda figura, 
como sendo 
𝑉 − 𝑣 = 𝑉 −
7
8
𝑉 =
1
8
𝑉 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 46 
Com essa informação, temos condição de encontrara constante de proporcionalidade entre o 
cone menor, não ocupado pela areia, e o cone completo. Como estamos lidando com volumes, 
a razão 𝑘 ao cubo é igual à razão entre os volumes dos dois cones. 
𝑘3 =
𝑉 𝑐𝑜𝑛𝑒 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑜
𝑉 𝑐𝑜𝑛𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒
 
𝑘3 =
1
8𝑉
𝑉
 
𝑘3 =
1
8
 
√𝑘3
3
= √
1
8
3
 
𝑘 =
1
2
 
Por semelhança de triângulos na segunda figura, podemos dizer que a razão entre as alturas 
(cone pequeno para cone grande) é igual a 𝑘. 
𝐻 − ℎ
𝐻
= 𝑘 
18 − ℎ
18
=
1
2
 
18 − ℎ =
18
2
 
18 − ℎ = 9 
18 − 9 = ℎ 
9 𝑐𝑚 = ℎ 
Gabarito: c) 
12. (Mackenzie/2019) Se as áreas laterais de dois cilindros equiláteros são, 
respectivamente, 16𝜋 𝑐𝑚2 e 100𝜋 𝑐𝑚2, então seus volumes, em 𝑐𝑚3 são, respectivamente, 
a) 16√2𝜋 e 250√2𝜋 
b) 32𝜋 e 200𝜋 
c) 16𝜋 e 250𝜋 
d) 24𝜋 e 150𝜋 
e) 24√2𝜋 e 150√2𝜋 
Comentários 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 47 
Sendo 𝑟 o raio do cilindro menor e 𝑅 o raio do cilindro maior; 𝐴𝑐 a área lateral do cilindro menor 
e 𝐴𝐶 a área lateral do cilindro maior, 𝑉𝑐 o volume do cilindro menor e 𝑉𝐶 o volume do cilindro 
maior, lembrando que são ambos equiláteros (altura = diâmetro do raio da base), temos: 
𝐴𝑐 = 2 ⋅ 𝜋 ⋅ 𝑟 ⋅ ℎ 
16 𝜋 = 2 ⋅ 𝜋 ⋅ 𝑟 ⋅ 2 ⋅ 𝑟 
16 = 4 ⋅ 𝑟2 
16
4
= 𝑟2 
4 = 𝑟2 
√4 = √𝑟2 
2 = |𝑟| 
±2 = 𝑟 
Como 𝑟 é uma distância, podemos considerar apenas 𝑟 = 2. 
Assim, para o cálculo do volume, temos: 
𝑉𝑐 = 𝜋 ⋅ 𝑟
2 ⋅ ℎ 
𝑉𝑐 = 𝜋 ⋅ 𝑟
2 ⋅ 2 ⋅ 𝑟 
𝑉𝑐 = 2 ⋅ 𝜋 ⋅ 𝑟
3 
𝑉𝑐 = 2 ⋅ 𝜋 ⋅ 2
3 
𝑉𝑐 = 𝜋 ⋅ 2
4 
𝑉𝑐 = 𝜋 ⋅ 16 
Aplicando o mesmo raciocínio para o cilindro maior, temos: 
𝐴𝐶 = 2 ⋅ 𝜋 ⋅ 𝑅 ⋅ 𝐻 
16 𝜋 = 2 ⋅ 𝜋 ⋅ 𝑅 ⋅ 2 ⋅ 𝑅 
100 = 22 ⋅ 𝑅2 
100
4
= 𝑅2 
25 = 𝑅2 
√25 = √𝑅2 
5 = |𝑅| 
±5 = 𝑅 
Como 𝑅 é uma distância, podemos considerar apenas 𝑟 = 5. 
Assim, para o cálculo do volume, temos: 
𝑉𝐶 = 𝜋 ⋅ 𝑅
2 ⋅ 𝐻 
𝑉𝐶 = 𝜋 ⋅ 𝑅
2 ⋅ 2 ⋅ 𝑅 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 48 
𝑉𝐶 = 2 ⋅ 𝜋 ⋅ 𝑅
3 
𝑉𝐶 = 2 ⋅ 𝜋 ⋅ 5
3 
𝑉𝐶 = 2 ⋅ 𝜋 ⋅ 5
3 ⋅ √2
3
 
𝑉𝐶 = 𝜋 ⋅ 250 ⋅ √2 
Gabarito: c) 
13. (UECE/2017) Um cubo cuja medida de cada aresta é 3 𝑑𝑚 está inscrito em uma 
esfera de raio 𝑅. A medida de um diâmetro (2𝑅) da esfera é 
a) 2√3 𝑑𝑚. b) 3√2 𝑑𝑚. c) 3√3 𝑑𝑚. d) 4√3 𝑑𝑚. 
Comentários 
Perceba que o cubo 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 tem uma diagonal 𝐵𝐻 que passa por 𝐼, centro da esfera 
 
Como a diagonal do cubo é igual ao diâmetro da esfera, podemos dizer que: 
𝐷𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 = 𝐷𝑖â𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 
𝑙√3 = 𝐷 
3√3 = 𝐷 
Gabarito: c) 
14. (Unicamp/2016) Um cilindro circular reto, cuja altura é igual ao diâmetro da base, 
está inscrito numa esfera. A razão entre os volumes da esfera e do cilindro é igual a 
𝑎) 
4√2
3
 𝑏) 
4
3
 𝑐) 
3√2
4
 𝑑) √2 
Comentários 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 49 
Se considerarmos 𝑅 o raio da esfera e 𝑟 o raio do cilindro, a relação entre o raio da esfera e do 
cilindro inscrito é dada por 𝑅 = 𝑟√2. 
Assim, a razão entre o volume da esfera e o volume do cilindro é dada por: 
𝑉𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎
𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜
=
4
3 ⋅ 𝜋 ⋅ 𝑅
3
 𝜋 ⋅ 𝑟2 ⋅ 2 ⋅ 𝑟
=
4
3 ⋅ (𝑟√2)
3
2 ⋅ 𝑟3
=
4
3 ⋅ 𝑟
3 √2
3
2 ⋅ 𝑟3 
=
4
3 ⋅ 2 ⋅ √2
 2 
=
4
3
⋅ √2 
Gabarito: a) 
15. (UEPB/2012) Um cilindro reto está inscrito em um cubo de aresta 𝑏 𝑐𝑚. A relação 
entre o volume do cubo e o volume do cilindro é 
𝑎) 2𝜋 𝑏) 
𝜋
4
 𝑐) 𝜋 𝑑) 
4
𝜋
 𝑒) 
1
2𝜋
 
Comentários 
Se o cilindro está inscrito no cubo, seu raio é igual à metade do lado do cubo. 
 
Assim, a razão entre o volume do cubo e o volume do cilindro é 
𝑉𝑐𝑢𝑏𝑜
𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜
=
𝑎𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑎𝑜 𝑐𝑢𝑏𝑜
á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 ⋅ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
=
𝑏3
𝜋 ⋅ (
𝑏
2)
2
⋅ 𝑏
=
𝑏3
𝜋 ⋅
𝑏2
4 ⋅ 𝑏
=
 𝑏3 
𝜋 ⋅
 𝑏3 
4
=
1
𝜋
4
=
4
𝜋
 
Gabarito: d) 
16. (CEFET/2015) Uma pirâmide regular de base hexagonal tem o vértice sobre uma 
semiesfera e a base inscrita na base desta semiesfera. Sabendo que a aresta lateral 
dessa pirâmide mede 10 𝑐𝑚, então o volume é igual a: 
a) 125√6 𝑐𝑚3 b) 500√3 𝑐𝑚3 c) 375√6 𝑐𝑚3 
𝑑) 
5√15
2
 𝑐𝑚3 250√3 𝑐𝑚3 
Comentários 
Façamos um esboço da situação retratada no enunciado. 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 50 
 
Para encontrarmos o raio 𝑅, podemos utilizar o teorema de Pitágoras entre a altura 𝑅 da 
pirâmide, a distância 𝑅 entre o centro da base e um vértice do hexágono da base e, como 
hipotenusa, a aresta da pirâmide, que vale 10 𝑐𝑚. 
 
𝑅2 + 𝑅2 = 102 
2𝑅2 = 100 
𝑅2 =
100
2
 
𝑅2 = 50 
√𝑅2 = √50 
|𝑅| = 5 ⋅ √2 
𝑅 = ±5 ⋅ √2 
Como 𝑅 representa uma distância, fiquemos só com a parte positiva. 
𝑅 = 5 ⋅ √2 
Já sabemos que a altura da pirâmide é igual a 𝑅 = 5 ⋅ √2. 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 51 
Como a base da pirâmide é hexagonal, podemos inferir que a aresta da base também é igual a 
𝑅, pois um hexágono é formado por seis triângulos equiláteros justapostos, todos de lado 
também iguais a 𝑅 = 5 ⋅ √2. 
Dessa forma, podemos calcular o volume da pirâmide. 
𝑉𝑝 =
1
3
⋅ á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 ⋅ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 
𝑉𝑝 =
1
3
⋅ 6 ⋅ á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑜 𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙á𝑡𝑒𝑟𝑜 ⋅ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 
𝑉𝑝 =
1
3
⋅ 6 ⋅
𝑅2√3
4
⋅ 𝑅 
𝑉𝑝 =
1
 3 
⋅ 6 
 2 ⋅
𝑅2√3
 4 
2 ⋅ 𝑅 
𝑉𝑝 =
𝑅3√3
2
 
𝑉𝑝 =
(5 ⋅ √2)
3
√3
2
 
𝑉𝑝 =
53 ⋅ √2
3
√3
2
 
𝑉𝑝 =
53 ⋅ 2 ⋅ √2√3
 2 
 
𝑉𝑝 = 125 ⋅ √6 𝑐𝑚
3 
Gabarito: a) 
17. (EEAR/2017) Uma esfera está inscrita num cilindro equilátero cuja área lateral 
mede 16 𝑐𝑚2. O volume da esfera inscrita é 
𝑎) 8𝜋 𝑏) 16𝜋 𝑐) 
32
3
𝜋 𝑑) 
256
3
𝜋 
Comentários 
Esboçando a situação descrita no enunciado, temos: 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 52 
 
Pelo esboço, percebemos que o raio da circunferência inscrita também é raio da base do 
cilindro. 
A área da base de um cilindro é dada por 
𝐴 = 2 ⋅ 𝜋 ⋅ 𝑅 ⋅ ℎ 
16𝜋 = 2 ⋅ 𝜋 ⋅ 𝑅 ⋅ 2 ⋅ 𝑅 
16 𝜋 = 2 ⋅ 𝜋 ⋅ 𝑅 ⋅ 2 ⋅ 𝑅 
16 = 4 ⋅ 𝑅2 
16
4
= 𝑅2 
4 = 𝑅2 
√4 = √𝑅2 
2 = |𝑅| 
±2 = 𝑅 
Como 𝑅 é uma distância, podemos assumir apenas o valor positivo pelo contexto. 
2 = 𝑅 
De posse do raio da circunferência, podemos calcular seu volume. 
𝑉𝑐 =
4
3
⋅ 𝜋 ⋅ 𝑅3 =
4
3
⋅ 𝜋 ⋅ 23 =
4
3
⋅ 𝜋 ⋅ 8 =
32 ⋅ 𝜋
3
 
Gabarito: c) 
18. (ENEM/2011) A figura seguinte mostra um modelo de sombrinha muito usado em 
países orientais. 
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ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 53 
 
Essa figura é uma representação de uma superfície de revolução chamada de 
a) pirâmide 
b) semiesfera 
c) cilindro 
d) tronco de cone 
e) cone 
Comentários 
Veja que a figura pode ser obtida com a rotação de um segmento de reta oblíquo ao eixo, 
gerando um cone. 
Gabarito: e) 
19. (ENEM/2010) Numa feira de artesanato, uma pessoa constrói formas geométricas 
de aviões, bicicletas, carros e outros engenhos com arame inextensível. Em certo 
momento, ele construiu uma forma tendo como eixo de apoio outro arame retilíneo e 
rígido, cuja aparência é mostrada na 
 
Ao girar tal forma em torno do eixo, formou-se a imagem de um foguete, que pode ser 
pensado como composição, por justaposição, de diversos sólidos básicos de revolução. 
Sabendo que. a figura, os pontos 𝐵, 𝐶, 𝐸 e 𝐹 são colineares, 𝐴𝐵 = 4𝐹𝐺, 𝐵𝐶 = 3𝐹𝐺, 𝐸𝐹 =
 2𝐹𝐺, e utilizando-se daquela forma de pensar o foguete, a decomposição deste, no 
sentido da ponta para a cauda, é formada pela seguinte sequência de sólidos: 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 54 
a) pirâmide, cilindro reto, cone reto, cilindro reto. 
b) cilindro reto. tronco de cone, cilindro reto, cone equilátero. 
c) cone reto, cilindro reto, tronco de cone e cilindro equilátero. 
d) cone equilátero, cilindro reto, pirâmide, cilindro. 
e) cone, cilindro equilátero, tronco de pirâmide, cilindro. 
Comentários 
Fazendo a revolução da parte de arame, temos o seguinte sólido: 
 
𝐴𝐵 𝑔𝑒𝑟𝑎 𝑢𝑚 𝑐𝑜𝑛𝑒 𝑟𝑒𝑡𝑜 
𝐵𝐶 𝑔𝑒𝑟𝑎 𝑢𝑚 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑡𝑜 
𝐷𝐸 𝑔𝑒𝑟𝑎 𝑢𝑚 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑒 
𝐸𝐹 𝑔𝑒𝑟𝑎 𝑜𝑢𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑡𝑜 (𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙á𝑡𝑒𝑟𝑜, 𝑝𝑜𝑖𝑠 𝐸𝐹 = 2𝐹𝐺) 
Gabarito: c) 
20. (CEFET/2015) Na figura a seguir, 𝐴𝐵𝐶𝐷 é um retângulo inscrito em um setor 
circular de raio 𝑅 com 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 
2
3
 𝑅 
 
O volume do sólido de revolução gerado pela rotação desse retângulo em torno de um 
eixo que contenha o segmento 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ , em função de 𝑅, é igual a 
𝑎) 
√5𝜋𝑅3
3
 𝑏) 
8𝜋𝑅3
9
 𝑐) 
4√5𝜋𝑅3
27
 𝑑) 
10𝜋𝑅3
49
 𝑒) 
5√5𝜋𝑅3
54
 
Comentários 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 55 
Considerando 𝐴𝐶 = 𝑅, podemos aplicar o teorema de Pitágoras para encontrar a altura 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ do 
retângulo 𝐴𝐵𝐶𝐷. 
 
𝐴𝐶2 = 𝐴𝐷2 + 𝐷𝐶2 
Como 𝐷𝐶 = 𝐴𝐵, podemos fazer a substituição. 
𝐴𝐶2 = 𝐴𝐷2 + 𝐴𝐵2 
𝑅2 = 𝐴𝐷2 + (
2
3
𝑅)
2
 
𝑅2 − (
2
3
𝑅)
2
= 𝐴𝐷2 
𝑅2 −
4
9
𝑅2 = 𝐴𝐷2 
5
9
𝑅2 = 𝐴𝐷2 
√
5
9
𝑅2 = √𝐴𝐷2 
√5
3
𝑅 = |𝐴𝐷| 
±
√5
3
𝑅 = 𝐴𝐷 
Como 𝐴𝐷 é equivalente a um lado de um retângulo, podemos considerar apenas a vertente 
positiva. 
√5
3
𝑅 = 𝐴𝐷 
O sólido de rotação gerado por esse retângulo será um cilindro de raio de base igual a 𝐴𝐵 e de 
altura igual a 𝐴𝐷. 
Dessa forma, seu volume é dado por: 
𝑉 = á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 ⋅ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 
𝑉 = 𝜋 ⋅ 𝐴𝐵2 ⋅ 𝐴𝐷 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 56 
𝑉 = 𝜋 ⋅ (
2
3
𝑅)
2
⋅
√5
3
𝑅 
𝑉 = 𝜋 ⋅
4
9
𝑅2 ⋅
√5
3
𝑅 
𝑉 =
4√5𝜋𝑅3
27
 
Gabarito: c) 
21. (ENEM/1999) Assim como na relação entre o perfil de um corte de um torno e a 
peça torneada, sólidos de revolução resultam da rotação de figuras planas em tomo de 
um eixo. Girando-se as figuras a seguir em torno da haste indicada obtém-se os sólidos 
de revolução que estão na coluna da direita. 
 
A correspondência correta entre as figuras planas e os sólidos de revolução obtidos é: 
a) 1A, 2B, 3C, 4D, 5E. 
b) 1B, 2C, 3D,4E, 5A. 
c) 1B, 2D, 3E, 4A, 5C. 
d)1D,2E, 3A, 4B, 5C. 
e)1D, 2E, 3B, 4C, 5A. 
Comentários 
Fazendo a correspondência direta, figura a figura, temos: 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 57 
 
 
 
 
 
Gabarito: d) 
22. (UFRGS/2019) Considere o sólido obtido pela revolução do retângulo 𝐴𝐵𝐶𝐷 em 
tomo da reta 𝑟, conforme indicado na figura a seguir. 
 
O volume do sólido obtido é 
a) 16𝜋 b) 84 c) 100 d) 84𝜋 e) 100𝜋 
Comentários 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 58 
Da figura, tiramos que 𝐷𝐶 = 3. Com esse dado, podemos calcular o valor de 𝐵𝐶 por meio do 
teorema de Pitágoras. 
 
𝐵𝐶2 + 𝐶𝐷2 = 52 
𝐵𝐶2 + 32 = 52 
𝐵𝐶2 = 25 − 9 
𝐵𝐶2 = 16 
√𝐵𝐶2 = √16 
|𝐵𝐶| = 4 
𝐵𝐶 = ±4 
Entendendo 𝐵𝐶 como uma distância, podemos descartar a parte negativa. 
𝐵𝐶 = 4 
Assim, o volume de revolução é dado por: 
𝑉 = 𝜋 ⋅ 52 ⋅ 4 − 𝜋 ⋅ 22 ⋅ 4 
𝑉 = 100𝜋 − 16𝜋 
𝑉 = 84𝜋 
Gabarito: d) 
 
 
 
 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 59 
4. Questões de Provas Anteriores 
 
1. (ENEM/2017) Para a Olimpíada de 2012, a piscina principal do Centro Aquático de 
Londres, medindo 50 metros de comprimento, foi remodelada para ajudar os atletas a 
melhorar suas marcas. Observe duas das melhorias: 
 
A capacidade da piscina em destaque, em metro cúbico, é igual a 
a) 3 750. 
b) 1 500. 
c) 1 250. 
d) 375. 
e) 150. 
 
2. (ENEM/2017) Viveiros de lagostas são construídos, por cooperativas locais de 
pescadores, em formato de prismas reto-retangulares, fixados ao solo e com telas 
flexíveis de mesma altura, capazes de suportar a corrosão marinha. Para cada viveiro a 
ser construído, a cooperativa utiliza integralmente 100 metros lineares dessa tela, que é 
usada apenas nas laterais. 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 60 
 
Quais devem ser os valores de X e de Y, em metro, para que a área da base do viveiro 
seja máxima? 
a) 1 e 49. 
b) 1 e 99. 
c) 10 e 10. 
d) 25 e 25. 
e) 50 e 50. 
 
3. (ENEM/2012) Maria quer inovar em sua loja de embalagens e decidiu vender caixas 
com diferentes formatos. Nas imagens apresentadas estão as planificações dessas 
caixas. 
 
Quais serão os sólidos geométricos que Maria obterá a partir dessas planificações? 
a) Cilindro, prisma de base pentagonal e pirâmide. 
b) Cone, prisma de base pentagonal e pirâmide. 
c) Cone, tronco de pirâmide e pirâmide. 
d) Cilindro, tronco de pirâmide e prisma. 
e) Cilindro, prisma e tronco de cone. 
 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 61 
4. (ENEM/2019) Uma construtora pretende conectar um reservatório central (Rc) em 
formato de um cilindro, com raio interno igual a 𝟐𝒎 e altura interna igual a 𝟑, 𝟑𝟎𝒎, a 
quatro reservatórios cilíndricos auxiliares (R1, R2, R3 e R4), os quais possuem raios 
internos e alturas internas medindo 𝟏, 𝟓𝒎. 
 
As ligações entre o reservatório central e os auxiliares são feitas por canos cilíndricos 
com 𝟎, 𝟏𝟎𝒎 de diâmetro interno e 𝟐𝟎𝒎 de comprimento, conectados próximos às bases 
de cada reservatório. Na conexão de cada um desses canos com o reservatório central 
há registros que liberam ou interrompem o fluxo de água. 
No momento em que o reservatório central está cheio e os auxiliares estão vazios, 
abrem-se os quatro registros e, após algum tempo, as alturas das colunas de água nos 
reservatórios se igualam, assim que cessa o fluxo de água entre eles, pelo princípio dos 
vasos comunicantes. 
 
A medida, em metro, das alturas das colunas de água nos reservatórios auxiliares, após 
cessar o fluxo de água entre eles, é 
 
a) 1,44. 
b) 1,16. 
c) 1,10. 
d) 1,00. 
e) 0,95. 
 
5. (ENEM/2016) Em regiões agrícolas, é comum a presença de silos para 
armazenamento e secagem da produção de grãos, no formato de um cilindro reto, 
sobreposto por um cone, e dimensões indicadas na figura. O silo fica cheio e o 
transporte dos grãos é feito em caminhões de carga cuja capacidade é de 𝟐𝟎𝒎³. Uma 
região possui um silo cheio e apenas um caminhão para transportar os grãos para a 
usina de beneficiamento. 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 62 
 
Utilize 𝟑 como aproximação para 𝝅. 
O número mínimo de viagens que o caminhão precisará fazer para transportar todo o 
volume de grãos armazenados no silo é 
a) 6. 
b) 16. 
c) 17. 
d) 18. 
e) 21. 
 
6. (ENEM/2014) Para fazer um pião, brinquedo muito apreciado pelas crianças, um 
artesão utilizará o torno mecânico para trabalhar num pedaço de madeira em formato de 
cilindro reto, cujas medidas do diâmetro e da altura estão ilustradas na Figura 1. A parte 
de cima desse pião será uma semiesfera, e a parte de baixo, um cone com altura 4 cm, 
conforme Figura 2. O vértice do cone deverá coincidir com o centro da base do cilindro. 
 
 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 63 
O artesão deseja fazer um pião com a maior altura que esse pedaço de madeira possa 
proporcionar e de modo a minimizar a quantidade de madeira a ser descartada. 
Dados: 
• O volume de uma esferade raio r é 
𝟒
𝟑
⋅ 𝝅 ⋅ 𝒓𝟑; 
• O volume do cilindro de altura h e área da base S é 𝑆⋅ℎ; 
• O volume do cone de altura h e área da base S é (𝑆⋅ℎ)/3; 
Por simplicidade, aproxime 𝜋 para 3. 
A quantidade de madeira descartada, em centímetros cúbicos, é 
a) 45. 
b) 48. 
c) 72. 
d) 90. 
e) 99. 
 
7. (ENEM/2017) A água para o abastecimento de um prédio é armazenada em um 
sistema formado por dois reservatórios idênticos, em formato de bloco retangular, 
ligados entre si por um cano igual ao cano de entrada, conforme ilustra a figura. 
 
A água entra no sistema pelo cano de entrada no Reservatório 1 a uma vazão constante 
e, ao atingir o nível do cano de ligação, passa a abastecer o Reservatório 2. Suponha 
que, inicialmente, os dois reservatórios estejam vazios. 
Qual dos gráficos melhor descreverá a altura h do nível da água no Reservatório 1, em 
função do volume V de água no sistema? 
a)
 
b)
 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 64 
c)
 
d)
 
e)
 
 
8. (ENEM/2017) O hábito cristalino é um termo utilizado por mineralogistas para 
descrever a aparência típica de um cristal em termos de tamanho e forma. A granada é 
um mineral cujo hábito cristalino é um poliedro com 30 arestas e 20 vértices. Um 
mineralogista construiu um modelo ilustrativo de um cristal de granada pela junção dos 
polígonos correspondentes às faces. 
Supondo que o poliedro ilustrativo de um cristal de granada é convexo, então a 
quantidade de faces utilizadas na montagem do modelo ilustrativo desse cristal é igual a 
a) 10. 
b) 12. 
c) 25. 
d) 42. 
e) 50. 
 
9. (ENEM/2016) É comum os artistas plásticos se apropriarem de entes matemáticos 
para produzirem, por exemplo, formas e imagens por meio de manipulações. Um artista 
plástico, em uma de suas obras, pretende retratar os diversos polígonos obtidos pelas 
intersecções de um plano com uma pirâmide regular de base quadrada. 
Segundo a classificação dos polígonos, quais deles são possíveis de serem obtidos pelo 
artista plástico? 
a) Quadrados, apenas. 
b) Triângulos e quadrados, apenas. 
c) Triângulos, quadrados e trapézios, apenas. 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 65 
d) Triângulos, quadrados, trapézios e quadriláteros irregulares, apenas. 
e) Triângulos, quadrados, trapézios, quadriláteros irregulares e pentágonos, apenas. 
 
10. (ENEM/2015) Para resolver o problema de abastecimento de água foi decidida, 
numa reunião do condomínio, a construção de uma nova cisterna. A cisterna atual tem 
formato cilíndrico, com 𝟑 𝒎 de altura e 𝟐 𝒎 de diâmetro, e estimou-se que a nova 
cisterna deverá comportar 𝟖𝟏 𝒎³ de água, mantendo o formato cilíndrico e a altura da 
atual. Após a inauguração da nova cisterna a antiga será desativada. Utilize 3,0 como 
aproximação para 𝝅. 
Qual deve ser o aumento, em metros, no raio da cisterna para atingir o volume 
desejado? 
a) 0,5 
b) 1,0 
c) 2,0 
d) 3,5 
e) 8,0 
 
11. (FUVEST/2021) Alice quer construir um paralelepípedo reto retângulo de 
dimensões 60 cm x 24 cm x 18 cm, com a menor quantidade possível de cubos idênticos 
cujas medidas das arestas são números naturais. Quantos cubos serão necessários 
para construir esse paralelepípedo? 
(A) 60 
(B) 72 
(C) 80 
(D) 96 
(E) 120 
 
12. (FUVEST/2021) Suponha, para simplificar, que a Terra é perfeitamente esférica e 
que a linha do Equador mede 40.000 km. O trajeto que sai do Polo Norte, segue até a 
linha do Equador pelo meridiano de Greenwich, depois se desloca ao longo da linha do 
Equador até o meridiano 𝟒𝟓°𝑳 e então retorna ao Polo Norte por esse meridiano tem 
comprimento total de 
(A) 15.000 km. 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 66 
(B) 20.000 km. 
(C) 25.000 km. 
(D) 30.000 km. 
(E) 35.000 km. 
 
13. (Fuvest/2015) O sólido da figura é formado pela pirâmide SABCD sobre o 
paralelepípedo reto ABCDEFGH. Sabe-se que S pertence à reta determinada por A e E e 
que AE = 2cm, AD = 4cm e AB = 5cm. A medida do segmento 𝑺𝑨̅̅ ̅̅ que faz com que o 
volume do sólido seja igual a 
𝟒
𝟑
 do volume da pirâmide SEFGH é 
 
a) 2cm 
b) 4cm 
c) 6cm 
d) 8cm 
e) 10cm 
 
14. (Fuvest/2012) Em um tetraedro regular de lado 𝒂, a distância entre os pontos 
médios de duas arestas não adjacentes é igual a: 
a) 𝒂√𝟑 
b) 𝒂√𝟐 
c) 
𝒂√𝟑
𝟐
 
d) 
𝒂√𝟐
𝟐
 
e) 
𝒂√𝟐
𝟒
 
 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 67 
15. (Fuvest/2009) Um fabricante de cristais produz três tipos de taças para servir 
vinho. Uma delas tem o bojo no formato de uma semi-esfera de raio r; a outra, no 
formato de um cone reto de base circular de raio 2r e altura h; e a última, no formato de 
um cilindro reto de base circular de raio x e altura h. 
Sabendo-se que as taças dos três tipos, quando completamente cheias, comportam a 
mesma quantidade de vinho, é correto afirmar que a razão 
𝒙
𝒉
 é igual a 
a) 
√𝟑
𝟔
 
b) 
√𝟑
𝟑
 
c) 
𝟐√𝟑
𝟑
 
d) √𝟑 
e) 
𝟒√𝟑
𝟑
 
 
16. (Fuvest/2006) A partir de 64 cubos brancos, todos iguais, forma-se um novo cubo. 
A seguir, este novo cubo tem cinco de suas seis faces pintadas de vermelho. O número 
de cubos menores que tiveram pelo menos duas de suas faces pintadas de vermelho é 
 
a) 24 
b) 26 
c) 28 
d) 30 
e) 32 
 
17. (UNESP/2018.2) Os menores lados de uma folha de papel retangular de 20 cm por 
27 cm foram unidos com uma fita adesiva retangular de 20 cm por 5 cm, formando um 
cilindro circular reto vazado. Na união, as partes da fita adesiva em contato com a folha 
correspondem a dois retângulos de 20 cm por 0,5 cm, conforme indica a figura. 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 68 
 
 
Desprezando-se as espessuras da folha e da fita e adotando π = 3,1, o volume desse 
cilindro é igual a 
a) 1550 cm³. 
b) 2540 cm³. 
c) 1652 cm³. 
d) 4805 cm³. 
e) 1922 cm³. 
 
18. (UNESP/2012) A figura mostra um paralelepípedo reto-retângulo ABCDEFGH, com 
base quadrada ABCD de aresta a e altura 2a, em centímetros. 
 
distância, em centímetros, do vértice A à diagonal BH vale: 
𝒂) 
√𝟓
𝟔
𝒂 
𝒃) 
√𝟔
𝟔
𝒂 
𝒄) 
√𝟓
𝟓
𝒂 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 69 
𝒅) 
√𝟔
𝟓
𝒂 
𝒆) 
√𝟑𝟎
𝟔
𝒂 
 
19. (UNESP/2009) A base metálica de um dos tanques de armazenamento de látex de 
uma fábrica de preservativos cedeu, provocando um acidente ambiental. Nesse acidente, 
vazaram 12 mil litros de látex. Considerando a aproximação 𝝅 = 𝟑, e que 1000 litros 
correspondem a 1 m³, se utilizássemos vasilhames na forma de um cilindro circular reto 
com 0,4 m de raio e 1 m de altura, a quantidade de látex derramado daria para encher 
exatamente quantos vasilhames? 
a) 12 
b) 20 
c) 22 
d) 25 
e) 30 
 
20. (UNESP/2006) Um paciente recebe por via intravenosa um medicamento à taxa 
constante de 1,5 ml/min. O frasco do medicamento é formado por uma parte cilíndrica e 
uma parte cônica, cujas medidas são dadas na figura, e estava cheio quando se iniciou a 
medicação. 
 
Após 4 horas de administração contínua, a medicação foi interrompida. Dado que 
𝟏 𝒄𝒎𝟑 = 𝟏 𝒎𝒍, e usando a aproximação 𝝅 = 𝟑, o volume, em ml, do medicamento restante 
no frasco após a interrupção da medicação é, aproximadamente: 
a) 120 
b) 150 
c) 160 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 70 
d) 240 
e) 360 
 
21. (UNESP/2003) Considere um pedaço de cartolina retangular de lado menor 10 cm e 
lado maior 20 cm. Retirando-se 4 quadrados iguais de lados x cm (um quadrado de cada 
canto) e dobrando-se na linha pontilhada conforme mostra a figura, obtém-se uma 
pequena caixa retangular sem tampa. 
 
O polinômio na variável 𝒙, que representa o volume,em cm³, desta caixa é 
a) 𝟒𝒙³ – 𝟔𝟎𝒙² + 𝟐𝟎𝟎𝒙. 
b) 𝟒𝒙² – 𝟔𝟎𝒙 + 𝟐𝟎𝟎. 
c) 𝟒𝒙³ – 𝟔𝟎𝒙² + 𝟐𝟎𝟎. 
d) 𝒙³ – 𝟑𝟎𝒙² + 𝟐𝟎𝟎𝒙. 
e) 𝒙³ – 𝟏𝟓𝒙² + 𝟓𝟎𝒙. 
 
22. (UNESP/2003) Um tanque subterrâneo, que tem a forma de um cilindro circular reto 
na posição vertical, está completamente cheio com 𝟑𝟎 𝒎³ de água e 𝟒𝟐 𝒎³ de petróleo. 
 
Se a altura do tanque é 12 metros, a altura, em metros, da camada de petróleo é 
a) 𝟐𝝅. 
b) 7. 
c) 
𝟕𝝅
𝟑
. 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 71 
d) 8. 
e) 
𝟖𝝅
𝟑
. 
 
23. (UNICAMP/2020) Se um tetraedro regular e um cubo têm áreas de superfície iguais, 
a razão entre o comprimento das arestas do tetraedro e o comprimento das arestas do 
cubo é igual a 
a) √𝟐√𝟑 
b) √𝟐
𝟒
√𝟑 
c) √𝟐√𝟑
𝟒
 
d) √𝟐
𝟒
√𝟑
𝟒
 
 
24. (UNICAMP/2015) Um cilindro circular reto, com raio da base e altura iguais a 𝑅, tem 
a mesma área de superfície total que uma esfera de raio 
a) 𝟐𝑹. 
b) √𝟑𝑹. 
c) √𝟐𝑹. 
d) 𝑹. 
 
25. (UERJ/2020.2) A imagem a seguir representa um cubo com aresta de 2 cm. Nele, 
destaca-se o triângulo AFC. 
 
A projeção ortogonal do triângulo AFC no plano da base BCDE do cubo é um triângulo 
de área y. 
O valor de y, em cm2, é igual a: 
a) 1 
b) 3/2 
c) 2 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 72 
d) 5/2 
 
26. (UERJ/2020 – Questão 34) A figura a seguir representa a trajetória curva do ponto 
𝑷 sobre a superfície lateral de um cone circular reto cujo raio da base mede 10 cm e a 
geratriz, 60 cm. O ponto 𝑷 inicia sua trajetória no ponto 𝑨, que pertence à circunferência 
da base, e dá uma volta completa em torno do cone, até retornar ao ponto 𝑨. 
 
Com a planificação da superfície lateral do cone, é possível calcular o menor 
comprimento da trajetória percorrida por 𝑷, que corresponde, em centímetros, a: 
a) 𝟓𝟎 
b) 𝟔𝟎 
c) 𝟏𝟖𝝅 
d) 𝟐𝟎𝝅 
 
27. (UERJ/2018.2) A imagem a seguir ilustra um prisma triangular regular. Sua aresta 
da base mede 𝒃 e sua aresta lateral mede 𝒉. 
 
Esse prisma é seccionado por um plano BCP, de modo que o volume da pirâmide ABCP 
seja exatamente 
𝟏
𝟗
 do volume total do prisma. 
Logo, a medida de 𝑨𝑷̅̅ ̅̅ é igual a: 
a) 
𝒉
𝟗
 
b) 
𝒉
𝟑
 
c) 
𝟐𝒉
𝟑
 
d) 
𝟓𝒉
𝟔
 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 73 
 
28. (UERJ/2016.2) Uma pirâmide com exatamente seis arestas congruentes é 
denominada tetraedro regular. Admita que a aresta do tetraedro regular ilustrado a 
seguir, de vértices ABCD, mede 6 cm e que o ponto médio da aresta BC é M. 
 
O cosseno do ângulo 𝑨�̂�𝑫 equivale a: 
a) 
𝟏
𝟐
 
b) 
𝟏
𝟑
 
c) 
𝟐
𝟑
 
d) 
𝟐
𝟓
 
 
29. (UERJ/2016.2) Dois cubos cujas arestas medem 2 cm são colados de modo a 
formar o paralelepípedo 𝑨𝑩𝑪𝑫𝑨′𝑩′𝑪′𝑫′. Esse paralelepípedo é seccionado pelos planos 
ADEF e BCEF, que passam pelos pontos médios F e E das arestas A’B’ e C’D’, 
respectivamente. A parte desse paralelepípedo compreendida entre esses planos define 
o sólido ABCDEF, conforme indica a figura a seguir. 
 
O volume do sólido ABCDEF, em cm³, é igual a: 
a) 4 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 74 
b) 6 
c) 8 
d) 12 
 
30. (UERJ/2016) Um cilindro circular reto possui diâmetro AB de 4 cm e altura AA’ de 
10 cm. O plano α, perpendicular à secção meridiana ABB’A’, que passa pelos pontos B e 
A’ das bases, divide o cilindro em duas partes, conforme ilustra a imagem. 
 
O volume da parte do cilindro compreendida entre o plano α e a base inferior, em cm³, é 
igual a: 
a) 𝟖𝝅 
b) 𝟏𝟐𝝅 
c) 𝟏𝟔𝝅 
d) 𝟐𝟎𝝅 
 
31. (UERJ/2014) Um quadrado ABCD de centro O está situado sobre um plano α. Esse 
plano contém o segmento OV, perpendicular a BC, conforme ilustra a imagem: 
 
Admita a rotação de centro O do segmento OV em um plano perpendicular ao plano α, 
como se observa nas imagens: 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 75 
 
Considere as seguintes informações: 
O lado do quadrado ABCD e o segmento OV medem 1 metro; 
A rotação do segmento OV é de 𝒙 radianos, sendo 𝟎 < 𝒙 <
𝝅
𝟐
; 
𝒙 corresponde ao ângulo formado pelo segmento OV e o plano α; 
O volume da pirâmide ABCDV, em metros cúbicos, é igual a 𝒚. 
O gráfico que melhor representa o volume 𝒚 da pirâmide, em m³, em função do ângulo 𝒙, 
em radianos, é: 
a) 
 
 
 
b) 
 
 
 
c) 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 76 
32. (UEA/2018) Um bloco cúbico, de aresta 𝒌 e volume 216 cm³, foi removido de um 
bloco retangular, de arestas x, y e z, conforme mostra a figura, cujas dimensões 
indicadas estão em centímetros. 
 
Sabendo-se que o volume do bloco cúbico corresponde a 1/5 do volume do bloco 
retangular e que 𝒙 = 𝟑𝒌, a medida largura 𝒚 indicada no bloco retangular é igual a 
(A) 12 cm. 
(B) 9 cm. 
(C) 8 cm. 
(D) 15 cm. 
(E) 10 cm. 
 
33. (UEA/2018) Sejam A, B e C três blocos retangulares. O volume de A é o dobro do 
volume de B e o triplo do volume de C, e a soma dos volumes de B e C é igual ao volume 
de A menos 𝟐𝟎𝒄𝒎𝟑. Desse modo, o volume dos três blocos, juntos, é igual a 
(A) 210 cm³. 
(B) 220 cm³. 
(C) 200 cm³. 
(D) 180 cm³. 
(E) 190 cm³. 
 
34. (UEA/2018) Ao aumentar em 50% o raio da base do cilindro circular reto A, obtém-
se o cilindro circular reto B. Sabe-se que ambos têm alturas iguais (𝒉 = 𝟒 𝒄𝒎), conforme 
indicado na figura. 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 77 
 
Sendo VA e VB os volumes dos cilindros A e B, respectivamente, e 𝑽𝑨 + 𝑽𝑩 = 𝟓𝟐𝝅𝒄𝒎𝟑, a 
área da superfície lateral do cilindro B é igual a 
(A) 𝟏𝟖𝝅𝒄𝒎𝟐. 
(B) 𝟏𝟔𝝅𝒄𝒎𝟐. 
(C) 𝟐𝟎𝝅𝒄𝒎𝟐. 
(D) 𝟑𝟐𝝅𝒄𝒎𝟐. 
(E) 𝟐𝟒𝝅𝒄𝒎𝟐. 
 
35. (UEA/2015) Quando aberta, uma torneira despeja, com vazão contínua e constante, 
0,05 m³ de água a cada 5 minutos em um recipiente com formato de bloco retangular de 
base quadrada, cuja área da base é igual a 0,64 m². Se essa torneira for aberta às 
𝟖𝒉𝟏𝟓𝒎𝒊𝒏, esse recipiente, inicialmente vazio, estará totalmente cheio às 𝟗𝒉𝟑𝟓𝒎𝒊𝒏. 
Desse modo, é correto afirmar que a medida da altura desse recipiente, em metros, é 
igual a 
(A) 1,50. 
(B) 0,85. 
(C) 0,90. 
(D) 1,30. 
(E) 1,25. 
 
36. (UEA/2015) Um tanque com formato de cilindro circular reto contém combustível 
na altura x metros, conforme mostra a figura. Usando todo o volume armazenado, é 
possível encher completamente, sem sobras, m reservatórios de mesmo formato 
cilíndrico, de volume igual a 𝟑𝒎𝟑 cada, ou então 𝒏 reservatórios de mesmo formato 
cilíndrico, de volume igual a 𝟒𝒎𝟑, sendo 𝒎 e 𝒏 números inteiros positivos, com 𝒎+ 𝒏 ≤
𝟏𝟐. 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 78 
 
Usando a aproximação 𝝅 = 𝟑 e sabendo que 𝒙 =
𝟏
𝟓
𝒉, é correto afirmar que a altura 
aproximada desse tanque, indicada por 𝒉 na figura, é 
(A) 5 m. 
(B) 8 m. 
(C) 5,5 m. 
(D) 6,5 m. 
(E) 6 m. 
 
37. (UFPR/2018) A figura ao lado apresenta um molde para construção de uma 
pirâmide hexagonal regular. Para montar essa pirâmide, basta recortar o molde seguindo 
as linhas contínuas, dobrar corretamente nas linhas tracejadas e montar a pirâmide 
usando as abas trapezoidais para fixar sua estrutura com um pouco de cola. 
 
Sabendo que cada um dos triângulos tracejados nesse molde é isósceles, com lados 
medindo 5 cm e 13 cm, qual das alternativas abaixo mais se aproxima do volume dessa 
pirâmide? 
a) 260 cm³. 
b) 276 cm³. 
c) 281 cm³. 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 79 
d) 390 cm³. 
e)780 cm³ 
 
38. (UFPR/2016) Um prisma possui 17 faces, incluindo as faces laterais e as bases 
inferior e superior. Uma pirâmide cuja base é idêntica à base do prisma, possui quantas 
arestas? 
a) 26. 
b) 28. 
c) 30. 
d) 32. 
e) 34. 
 
39. (UFPR/2016) Temos, ao lado, a planificação de uma pirâmide de base quadrada, 
cujas faces laterais são triângulos equiláteros. Qual é o volume dessa pirâmide? 
 
a) 𝟏𝟔
𝟑
√𝟑 𝒄𝒎𝟑. 
b) 𝟏𝟔√𝟑 cm³. 
c) 32 cm³. 
d) 𝟑𝟐
𝟑
√𝟐 cm³. 
e) 𝟔𝟒
𝟑
 cm³. 
 
40. (UFPR/2014) A figura ao lado apresenta uma planificação do cubo que deverá ser 
pintada de acordo com as regras abaixo: Os quadrados que possuem um lado em 
comum, nessa planificação, deverão ser pintados com cores diferentes. Além disso, ao 
se montar o cubo, as faces opostas deverão ter cores diferentes. De acordo com essas 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 80 
regras, qual o MENOR número de cores necessárias para se pintar o cubo, a partir da 
planificação apresentada? 
 
a) 2. 
b) 3. 
c) 4. 
d) 5. 
e) 6. 
 
41. (UFPR/2014) Suponha que um líquido seja despejado, a uma vazão constante, em 
um recipiente cujo formato está indicado na figura ao lado. Sabendo que inicialmente o 
recipiente estava vazio, qual dos gráficos abaixo melhor descreve a altura h, do nível do 
líquido, em termos do volume total V, do líquido despejado no recipiente? 
 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 81 
 
 
 
 
 
 
42. (UFPR/2014) Um cilindro de raio r está inscrito em uma esfera de raio 5, como 
indica a figura ao lado. Obtenha o maior valor de x, de modo que o volume desse cilindro 
seja igual a 𝟕𝟐𝝅. 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 82 
 
a) √𝟏𝟑 − 𝟐. 
b) 3. 
c) 𝟑√𝟐. 
d) 𝟐√𝟓. 
e) 4. 
 
43. (UFU/2018) Um recipiente, no formato de um cilindro circular reto de raio de base r 
cm, possui um líquido solvente em seu interior. A altura 𝒉 desse solvente presente no 
recipiente é igual a 
𝟏𝟔
𝟑
 𝒄𝒎, conforme ilustra a Figura 1. 
 
Quando uma peça maciça, no formato de uma esfera de raio igual a 𝟑 𝒄𝒎, é mergulhada 
nesse recipiente até encostar no fundo, observa-se que o solvente cobre exatamente a 
esfera, conforme ilustra a Figura 2. 
Segundo as condições apresentadas, o raio r, em cm, é igual a 
a) 𝟒√𝟑 
b) 𝟐√𝟕 
c) 𝟓√𝟐 
d) 𝟑√𝟔 
 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 83 
44. (UFU/2015) Um modelo de piscina é formado por três partes, determinando três 
níveis d‘água, conforme mostra o esquema a seguir. 
 
A primeira tem a forma da metade de um cilindro circular de raio 1 m e altura 0,3 m; a 
segunda tem a forma de um paralelepípedo de 0,3 m de comprimento, 2 m de largura e 
0,8 m de altura, e a terceira também tem a forma de um paralelepípedo, com 3 m de 
comprimento, 4 m de largura e 2 m de altura. Suponha que a água dessa piscina esteja 
no nível da base do primeiro paralelepípedo (aquele de 0,8 m de altura). Quantos metros 
cúbicos de água são necessários para encher de água essa piscina? 
𝟎, 𝟏𝟓𝝅 + 𝟏𝟒, 𝟖𝟖. 
𝟎, 𝟏𝟓𝝅 + 𝟏𝟎, 𝟎𝟖. 
𝟎, 𝟑𝟎𝝅 + 𝟏𝟎, 𝟎𝟖. 
𝟎, 𝟑𝟎𝝅 + 𝟏𝟒, 𝟖𝟖. 
 
45. (UFU/2018) Em agropecuária, o termo “cocho” é usado para designar um tipo de 
reservatório destinado a receber alimento, sal ou água para o rebanho. Um tipo simples 
de cocho tem a forma de metade de um prisma hexagonal regular, conforme ilustra a 
figura abaixo. 
 
Suponha que um cocho seja identificado como correspondente à metade de um prisma, 
cuja aresta da base mede 0,6 m (metros) e a aresta lateral mede 10 m. Qual é a 
capacidade máxima, em litros, desse cocho? 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 84 
𝒂) 𝟐𝟕𝟎√𝟑 
𝒃) 𝟐𝟕𝟎𝟎√𝟑 
𝒄) 𝟒𝟓𝟎√𝟑 
𝒅) 𝟓𝟒𝟎𝟎√𝟑 
 
46. (UEPG/2021 - adaptada) Duas avenidas, não perpendiculares, partem de um 
mesmo ponto A e cortam duas ruas paralelas. Na primeira avenida, os quarteirões 
determinados pelas ruas paralelas medem 20 m e 50 m, respectivamente, e na segunda 
avenida esses quarteirões determinados medem 16 m e b m, respectivamente. A partir 
do que foi exposto, assinale o que for correto. 
04) O volume do paralelepípedo de dimensões b m, 30 m e 20 m é 𝟐, 𝟒. 𝟏𝟎𝟒 𝒎³. 
16) A área total do cilindro de altura 
𝒃
𝟒
 𝒎 e raio da base igual a 
𝒃
𝟏𝟎
 𝒎 é 96π m². 
 
47. (UEPG/2021) Em um triângulo retângulo ABC, com hipotenusa 𝑨𝑩 ̅̅ ̅̅ ̅ = 𝟖, o ângulo 
formado entre a hipotenusa e o lado 𝑩𝑪̅̅ ̅̅ é 60°. Considerando que x é a medida do lado 
𝑩𝑪̅̅ ̅̅ e que y é a medida do lado 𝑨𝑪̅̅ ̅̅ , assinale o que for correto. 
01) O volume da esfera de raio igual a y cm é 256π cm³. 
02) O volume do cone de raio x cm e altura y cm é 64π cm³. 
04) Uma pirâmide quadrangular regular, cuja aresta da base mede 2x m e a altura 3 m, tem 
área total igual a 80 m². 
08) O volume do prisma triangular regular, no qual a aresta da base mede x cm e altura y cm, é 
48 cm³. 
16) A soma dos ângulos internos de um polígono que tem (x + 2) lados é 720°. 
 
48. (Estratégia Vestibulares/Professor Andrew Cazemiro) A figura abaixo mostra um 
viveiro de peixes em formato de paralelepípedo regular reto. 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 85 
 
As dimensões do viveiro são 𝟓𝟎𝒎 × 𝟑𝟐𝒎 × 𝟐𝟎𝒎. Sabe-se que o viveiro contém 3/4 da 
sua capacidade preenchidos com água e areia. 
Se a razão entre os volumes de água e areia é 𝟓: 𝟏, quantos litros de água existem no 
viveiro? 
a) 𝟐 ∙ 𝟏𝟎𝟕 𝒍𝒊𝒕𝒓𝒐𝒔 
b) 𝟒 ∙ 𝟏𝟎𝟔 𝒍𝒊𝒕𝒓𝒐𝒔 
c) 𝟐 ∙ 𝟏𝟎𝟒 𝒍𝒊𝒕𝒓𝒐𝒔 
d) 𝟒 ∙ 𝟏𝟎𝟑 𝒍𝒊𝒕𝒓𝒐𝒔 
e) 𝟑, 𝟐 ∙ 𝟏𝟎𝟑 𝒍𝒊𝒕𝒓𝒐𝒔 
 
49. (Estratégia Vestibulares/Professor Andrew Cazemiro) Considere as afirmativas a 
seguir: 
I. Se α e β são planos perpendiculares entre si, então o plano γ, perpendicular a α, é 
paralelo a β. 
II. Se α e β são plano perpendiculares entre si, então toda reta de um deles que for 
perpendicular à intersecção será perpendicular ao outro plano. 
III. Se 𝒓 e 𝒔 são retas distintas e perpendiculares a um plano α, então elas são paralelas 
entre si. 
Assinale a alternativa correta. 
a) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. 
b) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. 
c) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. 
d) As afirmativas I, II e III são verdadeiras. 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 86 
e) As afirmativas I, II e III são falsas. 
 
50. (Estratégia Vestibulares/Professor Andrew Cazemiro) Um setor circular com 
ângulo central correspondente a 135° foi moldado de forma a se tornar a superfície 
lateral de um cone circular reto com √𝟓𝟓 𝒄𝒎 de altura. Com isso, a área total desse cone, 
em m², é igual a: 
a) 𝟏𝟖𝝅 
b) 𝟐𝟕𝝅 
c) 𝟑𝟑𝝅 
d) 𝟒𝟐𝝅 
e) 𝟒𝟖𝝅 
 
 
5. Gabarito 
 
1 A 11 E 21 A 31 A 41 D 
2 D 12 C 22 B 32 E 42 E 
3 A 13 E 23 C 33 B 43 D 
4 D 14 D 24 D 34 E 44 - 
5 D 15 E 25 C 35 E 45 B 
6 E 16 A 26 B 36 A 46 04 
7 D 17 A 27 B 37 A 47 24 
8 B 18 E 28 B 38 C 48 A 
9 E 19 D 29 C 39 D 49 B 
10 C 20 A 30 D 40 B 50 C 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 87 
6. Questões Resolvidas e Comentadas 
 
1. (ENEM/2017) Para a Olimpíada de 2012, a piscina principal do Centro Aquático de 
Londres, medindo 50 metros de comprimento, foi remodelada para ajudar os atletas a 
melhorar suas marcas. Observe duas das melhorias: 
 
A capacidade da piscina em destaque, em metro cúbico, é igual a 
a) 3 750. 
b) 1 500. 
c) 1 250. 
d) 375. 
e) 150. 
Comentários 
Para calcular o volume da piscina, podemos utilizar a fórmula para o volume do paralelepípedo 
reto-retângulo, cujas dimensões são 25𝑚(largura) x 3𝑚 (profundidades) x 50𝑚 de 
comprimento: 
𝑉 = 𝑎 ⋅ 𝑏 ⋅ 𝑐 
𝑣 = 25 ⋅ 3 ⋅ 50 
𝑣 = 3750 𝑚³ 
Gabarito: A. 
2. (ENEM/2017) Viveiros de lagostas são construídos, por cooperativas locais de 
pescadores, em formato de prismas reto-retangulares, fixados ao solo e com telas 
flexíveis de mesma altura, capazes de suportar a corrosão marinha. Para cada viveiro a 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 88 
ser construído, a cooperativa utiliza integralmente 100 metros lineares dessa tela, que é 
usada apenas nas laterais. 
 
Quais devem ser os valores de X e de Y, em metro, para que a área da base do viveiro 
seja máxima? 
a) 1 e 49. 
b) 1 e 99. 
c) 10 e 10. 
d) 25 e 25. 
e) 50 e 50. 
Comentários 
Sendo a base do viveiro um retângulo de dimensões 𝑥 e 𝑦, teremos seu perímetro igual a 100𝑚 
(100m lineares de tela). Dessa forma: 
𝑃 = 2𝑥 + 2𝑦 
2𝑥 + 2𝑦 = 100 
𝑥 + 𝑦 = 50 
𝑦 = 50 − 𝑥 (𝑖) 
Para a área da base do viveiro, teremos a área de um retângulo: 
𝐴𝑏 = 𝑥𝑦 (𝑖𝑖) 
Substituindo na 2ª, o valor de 𝑦 na 1ª equação: 
𝐴𝑏 = 𝑥 ⋅ (50 − 𝑥) 
𝐴𝑏 = −𝑥2 + 50𝑥 
Chegaremos numa equação do 2º grau. 
−𝑥2 + 50𝑥 = 0 
Como queremos o valor máximo de 𝑥 e 𝑦, podemos começar calculando o valor da abscissa do 
vértice (𝑥𝑣). 
𝑥𝑣 =
𝐵
2 ⋅ 𝐴
 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 89 
𝑥𝑣 =
−50
(−1)
 
𝑥𝑣 =
−50
−2
= 25𝑚 
Calculando o valor de y: 
𝑦 = 50 − 𝑥 
𝑦 = 50 − 25 
𝑦 = 25𝑚 
Gabarito: D. 
3. (ENEM/2012) Maria quer inovar em sua loja de embalagens e decidiu vender caixas 
com diferentes formatos. Nas imagens apresentadas estão as planificações dessas 
caixas. 
 
Quais serão os sólidos geométricos que Maria obterá a partir dessas planificações? 
a) Cilindro, prisma de base pentagonal e pirâmide. 
b) Cone, prisma de base pentagonal e pirâmide. 
c) Cone, tronco de pirâmide e pirâmide. 
d) Cilindro, tronco de pirâmide e prisma. 
e) Cilindro, prisma e tronco de cone. 
Comentários 
A primeira figura é a planificação de um cilindro, repare nas duas bases circulares e a lateral 
retangular. 
A segunda figura é a planificação de um prisma de base pentagonal. Duas bases iguais e 
lateral formada por retângulos. 
Por fim, temos uma pirâmide de base triangular. Repare que temos apenas uma face, sendo 
as laterais sempre triângulos. 
Gabarito: A 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 90 
4. (ENEM/2019) Uma construtora pretende conectar um reservatório central (Rc) em 
formato de um cilindro, com raio interno igual a 𝟐𝒎 e altura interna igual a 𝟑, 𝟑𝟎𝒎, a 
quatro reservatórios cilíndricos auxiliares (R1, R2, R3 e R4), os quais possuem raios 
internos e alturas internas medindo 𝟏, 𝟓𝒎. 
 
As ligações entre o reservatório central e os auxiliares são feitas por canos cilíndricos 
com 𝟎, 𝟏𝟎𝒎 de diâmetro interno e 𝟐𝟎𝒎 de comprimento, conectados próximos às bases 
de cada reservatório. Na conexão de cada um desses canos com o reservatório central 
há registros que liberam ou interrompem o fluxo de água. 
No momento em que o reservatório central está cheio e os auxiliares estão vazios, 
abrem-se os quatro registros e, após algum tempo, as alturas das colunas de água nos 
reservatórios se igualam, assim que cessa o fluxo de água entre eles, pelo princípio dos 
vasos comunicantes. 
 
A medida, em metro, das alturas das colunas de água nos reservatórios auxiliares, após 
cessar o fluxo de água entre eles, é 
 
a) 1,44. 
b) 1,16. 
c) 1,10. 
d) 1,00. 
e) 0,95. 
Comentários 
Podemos calcular o volume total de água no estágio inicial da questão, através da fórmula do 
volume (reservatório central cheio = cilindro). 
𝑉𝑇 = 𝜋 ⋅ 𝑟
2 ⋅ ℎ 
𝑉𝑇 = 𝜋 ⋅ 2
2 ⋅ 3,3 
𝑉𝑇 = 13,2𝜋 𝑚
3 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 91 
Num segundo momento, os canos (também cilindros) estarão completamente cheios, sendo o 
volume 𝑛𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑛𝑜𝑠: 
𝑣𝑐𝑎𝑛𝑜𝑠 = 4 ⋅ (0,05)
2 ∙ 𝜋 ⋅ 20 
𝑣𝑐𝑎𝑛𝑜𝑠 = 0,2 ⋅ 𝜋 
Agora, os reservatórios auxiliares estarão cheios até uma altura ℎ, sendo o volume nos 
reservatórios, igual a: 
𝑣𝑟 = 4 ⋅ (1,5)
2 ⋅ 𝜋 ⋅ ℎ 
𝑣𝑟 = 9 ⋅ 𝜋 ⋅ ℎ 
E o reservatório central estará cheios até uma mesma altura ℎ, sendo o volume no reservatório 
central dado por: 
𝑉𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙 = (2)
2 ⋅ 𝜋 ⋅ ℎ 
𝑉𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙 = 4 ⋅ 𝜋 ⋅ ℎ 
Sabendo que o volume inicial permanece o mesmo, temos que: 
𝑉𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑉𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙 + 𝑉𝑅𝑒𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑡ó𝑟𝑖𝑜𝑠 + 𝑉𝑐𝑎𝑛𝑜𝑠 
13,2𝜋 = 4𝜋 ⋅ ℎ + 0,2𝜋 ⋅ + 9𝜋 ⋅ ℎ 
13,2 = 0,2 + 13 ⋅ ℎ 
ℎ =
13
13
= 1𝑚 
Gabarito: D. 
5. (ENEM/2016) Em regiões agrícolas, é comum a presença de silos para 
armazenamento e secagem da produção de grãos, no formato de um cilindro reto, 
sobreposto por um cone, e dimensões indicadas na figura. O silo fica cheio e o 
transporte dos grãos é feito em caminhões de carga cuja capacidade é de 𝟐𝟎𝒎³. Uma 
região possui um silo cheio e apenas um caminhão para transportar os grãos para a 
usina de beneficiamento. 
 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 92 
Utilize 𝟑 como aproximação para 𝝅. 
O número mínimo de viagens que o caminhão precisará fazer para transportar todo o 
volume de grãos armazenados no silo é 
a) 6. 
b) 16. 
c) 17. 
d) 18. 
e) 21. 
Comentários 
Para calcularmos o número de viagens que o caminhão precisará fazer, precisamos saber o 
volume do silo. 
O silo é formado por uma parte cilíndrica e outra cônica. Começando pela fórmula do volume 
do cilindro, temos que: 
𝑉𝐶𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 𝐴𝑏 ⋅ ℎ 
𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 𝜋 ⋅ 𝑅
2 ⋅ ℎ 
𝑉𝐶𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 3 ⋅ 9 ⋅ 12 
𝑉𝐶𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 324𝑚
3 
Agora, vamos ao volume da parte cônica 
𝑉𝐶𝑜𝑛𝑒 =
𝐴𝑏 ⋅ ℎ
3
 
𝑉𝐶𝑜𝑛𝑒 =
𝜋 ⋅ 𝑅2 ⋅ ℎ
3
 
𝑉𝐶𝑜𝑛𝑒 =
3 ⋅ 9 ⋅ 3
3
 
𝑉𝐶𝑜𝑛𝑒 = 27 𝑚
3 
Dessa forma, o volume do silo será dado pela soma dos volumes calculados: 
𝑉𝑆𝑖𝑙𝑜 = 324 + 27 = 351𝑚
3 
Por fim, fazemos uma regra de três para descobrir quantas viagens o caminhão precisará 
efetuar: 
{
1 𝑣𝑖𝑎𝑔𝑒𝑚 → 20𝑚3
𝑥 𝑣𝑖𝑎𝑔𝑒𝑛𝑠 → 351𝑚3
 
𝑥 =
351
20
 
𝑥 = 17,55 
Como o número de viagens precisa ser inteiro, o caminhão precisará efetuar 18 viagens. 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 93 
Gabarito: D. 
6. (ENEM/2014) Para fazer um pião, brinquedo muito apreciado pelas crianças, um 
artesão utilizará o torno mecânico para trabalhar num pedaço de madeira em formato de 
cilindro reto, cujas medidas do diâmetro e da altura estão ilustradas na Figura 1. A parte 
de cima desse pião será uma semiesfera, e a parte de baixo, um cone com altura 4 cm, 
conforme Figura 2. O vértice do cone deverá coincidir com o centro da base do cilindro. 
 
 
O artesão deseja fazer um pião com a maior altura que esse pedaço de madeira possa 
proporcionar e de modo a minimizar a quantidade de madeira a ser descartada. 
Dados: 
• O volume de uma esfera de raio r é 
𝟒
𝟑
⋅ 𝝅 ⋅ 𝒓𝟑; 
• O volume do cilindro de altura h e área da base S é 𝑆⋅ℎ; 
• O volume do cone de altura h e área da base S é (𝑆⋅ℎ)/3; 
Por simplicidade, aproxime 𝜋 para 3. 
A quantidade de madeira descartada, em centímetros cúbicos, é 
a) 45. 
b) 48. 
c) 72. 
d) 90. 
e) 99. 
Comentários 
A quantidade de madeira descartada será dada pela diferença entre o volume do início 
(cilindro) e o volume do final (cone + meia esfera) 
1) 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑜 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑜 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 
𝑉𝑐 = 𝜋 ⋅ 𝑟
2 ⋅ ℎ 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 94 
𝑉 = 3 . 32.7 
𝑉 = 189 𝑐𝑚3 
2) 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑜 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑒 
𝑉 = 
𝜋 ⋅ 𝑅2 ⋅ ℎ
3
 
𝑉 =
3 ⋅ 32 ⋅ 4
3
 
𝑉 = 36𝑐𝑚3 
3) 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑜 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 −𝑙𝑒𝑚𝑏𝑟𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑟 𝑝𝑜𝑟 2, 𝑣𝑖𝑠𝑡𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑖𝑎 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎, 𝑎𝑝𝑒𝑛𝑎𝑠 
𝑉 =
4
3
⋅ 𝜋 ⋅ 𝑟3 
𝑉 = 
4
3 ⋅ 3 ⋅ 3
3
2
 
𝑉 =
324
6
 
𝑉 = 54 𝑐𝑚3 
4) 𝑆𝑢𝑏𝑡𝑟𝑎𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑑𝑜𝑠: 
𝑉 (𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙) = 𝑉(𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜) − 𝑉(𝑐𝑜𝑛𝑒 + 𝑚𝑒𝑖𝑎 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎) 
𝑉 (𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙) = 189 − 90 
𝑉 (𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙) = 99 𝑐𝑚3 
Gabarito: E. 
7. (ENEM/2017) A água para o abastecimento de um prédio é armazenada em um 
sistema formado por dois reservatórios idênticos, em formato de bloco retangular, 
ligados entre si por um cano igual ao cano de entrada, conforme ilustra a figura. 
 
A água entra no sistema pelo cano de entrada no Reservatório 1 a uma vazão constante 
e, ao atingir o nível do cano de ligação, passa a abastecer o Reservatório 2. Suponha 
que, inicialmente, os dois reservatórios estejam vazios. 
Qual dos gráficos melhor descreverá a altura h do nível da água no Reservatório 1, em 
função do volume V de água no sistema? 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 95 
a)
 
b)
 
c)
 
d)
 
e)
 
Comentários 
O reservatório 1 é um prisma regular. Portanto, o gráfico que representa o seu crescimento é 
dado por uma função linear. Essa função se torna constante quando a altura do reservatório 
atinge o cano de ligação. E volta a ser linear quando o segundo reservatório passa a ser 
preenchido, dado que ele também é um prisma regular. Esse crescimento se dá de forma mais 
lenta que o primeiro, uma vez que os dois reservatórios estão sendo preenchidos ao mesmo 
tempo. 
Gabarito: D. 
8. (ENEM/2017) O hábito cristalino é um termo utilizado por mineralogistas para 
descrever a aparência típica de um cristal em termos de tamanho e forma. A granada é 
um mineral cujo hábito cristalino é um poliedro com 30 arestas e 20 vértices. Um 
mineralogista construiu um modelo ilustrativo de um cristal de granada pela junção dos 
polígonos correspondentes às faces. 
Supondo que o poliedro ilustrativo de um cristal de granada é convexo, então a 
quantidade de faces utilizadas na montagem do modelo ilustrativo desse cristal é igual a 
a) 10. 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 96 
b) 12. 
c) 25. 
d) 42. 
e) 50. 
Comentários 
Esse poliedro tem 30 arestas e 20 vértices. Pela Relação de Euler, temos: 
𝑉 + 𝐹 = 𝐴 + 2 
20 + 𝐹 = 30 + 2 
20 + 𝐹 = 32 
𝐹 = 12 
Gabarito: B. 
9. (ENEM/2016) É comum os artistas plásticos se apropriarem de entes matemáticos 
para produzirem, por exemplo, formas e imagens por meio de manipulações. Um artista 
plástico, em uma de suas obras, pretende retratar os diversos polígonos obtidos pelas 
intersecções de um plano com uma pirâmide regular de base quadrada. 
Segundo a classificação dos polígonos, quais deles são possíveis de serem obtidos pelo 
artista plástico? 
a) Quadrados, apenas. 
b) Triângulos e quadrados, apenas. 
c) Triângulos, quadrados e trapézios, apenas. 
d) Triângulos, quadrados, trapézios e quadriláteros irregulares, apenas. 
e) Triângulos, quadrados, trapézios, quadriláteros irregulares e pentágonos, apenas. 
Comentários 
Utilizando uma pirâmide de base quadrada como parâmetro, é possível que um plano seccione 
este sólido de forma que o plano resultante dessa secção seja um triângulo (se a secção for 
meridiana, por exemplo), quadrado (se a secção for paralela à base), trapézios, quadriláteros 
irregulares e pentágonos (se a secção for oblíqua). 
Gabarito: E. 
10. (ENEM/2015) Para resolver o problema de abastecimento de água foi decidida, 
numa reunião do condomínio, a construção de uma nova cisterna. A cisterna atual tem 
formato cilíndrico, com 𝟑 𝒎 de altura e 𝟐 𝒎 de diâmetro, e estimou-se que a nova 
cisterna deverá comportar 𝟖𝟏 𝒎³ de água, mantendo o formato cilíndrico e a altura da 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 97 
atual. Após a inauguração da nova cisterna a antiga será desativada. Utilize 3,0 como 
aproximação para 𝝅. 
Qual deve ser o aumento, em metros, no raio da cisterna para atingir o volume 
desejado? 
a) 0,5 
b) 1,0 
c) 2,0 
d) 3,5 
e) 8,0 
Comentários: 
A cisterna antiga possui raio igual a 1𝑚 e altura igual a 3𝑚. 
Utilizando a fórmula do volume, para calcularmos o raio da nova cisterna, teremos: 
𝑽 = 𝝅 ⋅ 𝒓𝟐 ⋅ 𝒉 
81 = 3 ⋅ 𝑟2 ⋅ 3 
9 = 𝑟2 
𝑟 = 3𝑚 
Assim, o raio aumentou 2𝑚. 
3𝑚 − 1𝑚 = 2𝑚 
 Gabarito: C 
11. (FUVEST/2021) Alice quer construir um paralelepípedo reto retângulo de 
dimensões 60 cm x 24 cm x 18 cm, com a menor quantidade possível de cubos idênticos 
cujas medidas das arestas são números naturais. Quantos cubos serão necessários 
para construir esse paralelepípedo? 
(A) 60 
(B) 72 
(C) 80 
(D) 96 
(E) 120 
Comentários: 
Calculando o MDC entre as dimensões do paralelepípedo, encontraremos o número máximo 
da aresta do cubo. Assim, teremos a quantidade mínima de cubos a ser utilizada. 
𝑀𝐷𝐶 (60, 24, 18) = 6 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 98 
Dividindo as dimensões pela aresta do cubo, teremos a quantidade de cubos em cada 
dimensão: 
60
6
= 10 𝑐𝑢𝑏𝑜𝑠 
24
6
= 4 𝑐𝑢𝑏𝑜𝑠 
18
6
= 3 𝑐𝑢𝑏𝑜𝑠 
10 ⋅ 4 ⋅ 3 = 120 𝑐𝑢𝑏𝑜𝑠 
Gabarito: “e” 
12. (FUVEST/2021) Suponha, para simplificar, que a Terra é perfeitamente esférica e 
que a linha do Equador mede 40.000 km. O trajeto que sai do Polo Norte, segue até a 
linha do Equador pelo meridiano de Greenwich, depois se desloca ao longo da linha do 
Equador até o meridiano 𝟒𝟓°𝑳 e então retorna ao Polo Norte por esse meridiano tem 
comprimento total de 
(A) 15.000 km. 
(B) 20.000 km. 
(C) 25.000 km. 
(D) 30.000 km. 
(E) 35.000 km. 
Comentários: 
O trajeto mencionado pode ser representado por: 
• Sai do Polo Norte, segue até a linha do Equador pelo meridiano de Greenwich = 
1
4
𝑐, 
onde c é a medida da circunferência máxima da terra (equador). 
• Depois se desloca ao longo da linha do Equador até o meridiano 45°𝐿, ou seja, como 
uma circunferência tem 360°, então o trajeto percorre 
1
8
𝑐. 
• E então retorna ao Polo Norte por esse meridiano, 
1
4
𝑐. 
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ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 99 
 
Somando os valores de cada trecho do trajeto: 
𝒙 =
𝟏
𝟒
𝒄 +
𝟏
𝟖
𝒄 +
𝟏
𝟒
𝒄 
𝒙 =
𝟓
𝟖
⋅ 𝒄 
Substituindo o valor de c: 
𝒙 =
𝟓
𝟖
⋅ 𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎 
𝒙 = 𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎 𝒌𝒎. 
Gabarito: “c” 
13. (Fuvest/2015) O sólido da figura é formado pela pirâmide SABCD sobre o 
paralelepípedo reto ABCDEFGH. Sabe-se que S pertence à reta determinada por A e E e 
que AE = 2cm, AD = 4cm e AB = 5cm. A medida do segmento 𝑺𝑨̅̅ ̅̅ que faz com que o 
volume do sólido seja igual a 
𝟒
𝟑
 do volume da pirâmide SEFGH é 
 
a) 2cm 
b) 4cm 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 100 
c) 6cm 
d) 8cm 
e) 10cm 
Comentários 
Considerando S a área do quadrilátero EFGH, e 𝑘 a medida do segmento 𝑆𝐴̅̅̅̅ , temos a seguinte 
relação entre os volumes: 
𝑉𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 + 𝑉𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 =
4
3
𝑉𝑆𝐸𝐹𝐺𝐻 
𝑆 ⋅ 2 +
1
3
⋅ 𝑆 ⋅ 𝑘 =
4
3
⋅
1
3
⋅ 𝑆 ⋅ (𝑘 + 2) 
𝑆 ⋅ (2 +
1
3
𝑘) =
4
3
⋅
1
3
⋅ 𝑆 ⋅ (𝑘 + 2) 
2 +
1
3
𝑘 =
4
3
⋅
1
3
(𝑘 + 2) 
2 +
𝑘
3
=
4𝑘
9
+
8
9
 
18 + 3𝑘 = 4𝑘 + 8 
𝑘 = 10 
Gabarito: E 
14. (Fuvest/2012) Em um tetraedro regular de lado 𝒂, a distância entre os pontos 
médios de duas arestas não adjacentes é igual a: 
a) 𝒂√𝟑 
b) 𝒂√𝟐 
c) 
𝒂√𝟑
𝟐
 
d) 
𝒂√𝟐
𝟐
 
e) 
𝒂√𝟐
𝟒
 
Comentários 
A distância entre os pontos médios de segmentos não adjacentes de um tetraedro pode ser 
representada pelo segmento AB da imagem abaixo. 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 101 
 
𝐵𝐶2 + (
𝑎
2
)
2
= 𝑎2 
𝐵𝐶2 +
𝑎2
4
= 𝑎2 
4𝐵𝐶2+ 𝑎2 = 4𝑎2 
4𝐵𝐶2 = 3𝑎2 
𝐵𝐶2 =
3𝑎2
4
 
𝐵𝐶 =
𝑎√3
2
 
 
O triângulo 𝐴𝐵𝐶 é retângulo. Para determinar a medida de 𝐴𝐵, temos: 
𝐴𝐵2 + (
𝑎
2
)
2
= (
𝑎√3
2
)
2
 
𝐴𝐵2 +
𝑎2
4
=
3𝑎2
4
 
𝐴𝐵2 =
2𝑎2
4
 
𝐴𝐵 =
𝑎√2
2
 
Gabarito: d) 
15. (Fuvest/2009) Um fabricante de cristais produz três tipos de taças para servir 
vinho. Uma delas tem o bojo no formato de uma semi-esfera de raio r; a outra, no 
formato de um cone reto de base circular de raio 2r e altura h; e a última, no formato de 
um cilindro reto de base circular de raio x e altura h. 
Sabendo-se que as taças dos três tipos, quando completamente cheias, comportam a 
mesma quantidade de vinho, é correto afirmar que a razão 
𝒙
𝒉
 é igual a 
a) 
√𝟑
𝟔
 
b) 
√𝟑
𝟑
 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 102 
c) 
𝟐√𝟑
𝟑
 
d) √𝟑 
e) 
𝟒√𝟑
𝟑
 
Comentários 
Sabendo que os três tipos de taça possuem o mesmo volume, vamos expressá-los: 
Formato de semi-esfera: 
𝑉 =
1
2
⋅
4
3
𝜋𝑟3 
𝑉 =
2
3
𝜋𝑟3 
Formato de cone reto: 
𝑉 =
1
3
⋅ 𝜋 ⋅ 𝑟2 ⋅ ℎ 
𝑉 =
1
3
⋅ 𝜋 ⋅ (2𝑟)2 ⋅ ℎ 
𝑉 =
1
3
⋅ 𝜋 ⋅ 4𝑟2 ⋅ ℎ 
𝑉 =
4
3
⋅ 𝜋 ⋅ 𝑟2 ⋅ ℎ 
Formato de cilindro: 
𝑉 = 𝜋 ⋅ 𝑟2 ⋅ ℎ 
𝑉 = 𝜋 ⋅ 𝑥2 ⋅ ℎ 
Temos uma dupla igualdade, da seguinte forma: 
2
3
𝜋𝑟3 =
4
3
⋅ 𝜋 ⋅ 𝑟2 ⋅ ℎ = 𝜋 ⋅ 𝑥2 ⋅ ℎ 
Resolvendo: 
2
3
𝜋𝑟3 =
4
3
⋅ 𝜋 ⋅ 𝑟2 ⋅ ℎ 
𝑟 = 2ℎ 
ℎ =
𝑟
2
 
E 
4
3
⋅ 𝜋 ⋅ 𝑟2 ⋅ ℎ = 𝜋 ⋅ 𝑥2 ⋅ ℎ 
4
3
𝑟2 = 𝑥2 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 103 
𝑥 = √
4
3
⋅ 𝑟2 
𝑥 =
2𝑟
√3
 
Assim, 
𝑥
ℎ
=
2𝑟
√3
𝑟
2
=
2𝑟
√3
⋅
2
𝑟
=
4
√3
=
4√3
3
 
Gabarito: e) 
16. (Fuvest/2006) A partir de 64 cubos brancos, todos iguais, forma-se um novo cubo. 
A seguir, este novo cubo tem cinco de suas seis faces pintadas de vermelho. O número 
de cubos menores que tiveram pelo menos duas de suas faces pintadas de vermelho é 
 
a) 24 
b) 26 
c) 28 
d) 30 
e) 32 
Comentários 
Imagine que a única face não pintada de vermelho foi a da base, assim teremos: 
 
Representemos agora os cubos com pelo menos duas das faces pintadas: 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 104 
 
Intuitivamente, podemos perceber 4 colunas com 4 cubos, totalizando 16 cubos, mais os oito 
cubos da parte superior que ainda não foram contabilizados (1 a 8). 
Assim, teremos: 
16 + 8 = 24 
Gabarito: a) 
17. (UNESP/2018.2) Os menores lados de uma folha de papel retangular de 20 cm por 
27 cm foram unidos com uma fita adesiva retangular de 20 cm por 5 cm, formando um 
cilindro circular reto vazado. Na união, as partes da fita adesiva em contato com a folha 
correspondem a dois retângulos de 20 cm por 0,5 cm, conforme indica a figura. 
 
 
Desprezando-se as espessuras da folha e da fita e adotando π = 3,1, o volume desse 
cilindro é igual a 
a) 1550 cm³. 
b) 2540 cm³. 
c) 1652 cm³. 
d) 4805 cm³. 
e) 1922 cm³. 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 105 
Comentários 
Para descobrirmos o raio R do cilindro, podemos partir da fórmula do comprimento: 
𝟐 ⋅ 𝝅 ⋅ 𝑹 = 27 + 5 − 0,5 − 0,5 
2 ⋅ 𝑅 ⋅ 3,1 = 31 
𝑅 = 5 𝑐𝑚 
Dessa forma, podemos encontrar o volume do cilindro: 
𝑽 = 𝝅 ⋅ 𝑹𝟐 ⋅ 𝒉 
𝑉 = 3,1 ⋅ 52 ⋅ 20 
𝑣 = 1550𝑐𝑚3 
Gabarito: a) 
18. (UNESP/2012) A figura mostra um paralelepípedo reto-retângulo ABCDEFGH, com 
base quadrada ABCD de aresta a e altura 2a, em centímetros. 
 
distância, em centímetros, do vértice A à diagonal BH vale: 
𝒂) 
√𝟓
𝟔
𝒂 
𝒃) 
√𝟔
𝟔
𝒂 
𝒄) 
√𝟓
𝟓
𝒂 
𝒅) 
√𝟔
𝟓
𝒂 
𝒆) 
√𝟑𝟎
𝟔
𝒂 
Comentários 
Analisando o sólido: 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 106 
 
No triângulo retângulo BHD, temos: 
(𝐵𝐻)2 = (𝐷𝐻)2 + (𝐵𝐷)2 
(𝐵𝐻)2 = (2𝑎)2 + (𝑎√2)
2
 
(𝐵𝐻)2 = 4𝑎2 + 2𝑎2 
(𝐵𝐻)2 = 6𝑎2 
𝐵𝐻 = 𝑎√6 
No triângulo AHE, teremos: 
(𝐴𝐻)2 = (𝐻𝐸)2 + (𝐴𝐸)2 
(𝐴𝐻)2 = (2𝑎)2 + (𝑎)2 
(𝐴𝐻)2 = 4𝑎2 + 𝑎2 
(𝐴𝐻)2 = 5𝑎2 
(𝐴𝐻)2 = 𝑎√5 
Por fim, no triângulo ABH, temos a seguinte relação: 
𝐴𝐵 ⋅ 𝐴𝐻 = 𝐵𝐻 ⋅ 𝑥 
𝑎 ⋅ 𝑎√5 = 𝑎√6 ⋅ 𝑥 
𝑥 =
𝑎√5
2
𝑎√6
 
𝑥 =
𝑎√5
√6
 
𝑥 =
𝑎√30
6
 
Gabarito: e) 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 107 
19. (UNESP/2009) A base metálica de um dos tanques de armazenamento de látex de 
uma fábrica de preservativos cedeu, provocando um acidente ambiental. Nesse acidente, 
vazaram 12 mil litros de látex. Considerando a aproximação 𝝅 = 𝟑, e que 1000 litros 
correspondem a 1 m³, se utilizássemos vasilhames na forma de um cilindro circular reto 
com 0,4 m de raio e 1 m de altura, a quantidade de látex derramado daria para encher 
exatamente quantos vasilhames? 
a) 12 
b) 20 
c) 22 
d) 25 
e) 30 
Comentários: 
Calculando o volume do cilindro: 
𝑽𝒄𝒊𝒍𝒊𝒏𝒅𝒓𝒐 = 𝝅𝒓
𝟐. 𝒉 
𝑽 = 𝟑 . (𝟎, 𝟒)𝟐 . 𝟏 
𝑽 = 𝟑 . 𝟎, 𝟏𝟔 
𝑽 = 𝟎, 𝟒𝟖 𝒎𝟑 = 𝟒𝟖𝟎 𝒍𝒊𝒕𝒓𝒐𝒔 
São 12 000 litros de látex acondicionados em vasilhames com capacidade para 480 litros. 
Logo, serão necessários 
𝟏𝟐𝟎𝟎𝟎
𝟒𝟖𝟎
= 𝟐𝟓 vasilhames. 
Gabarito: d) 
20. (UNESP/2006) Um paciente recebe por via intravenosa um medicamento à taxa 
constante de 1,5 ml/min. O frasco do medicamento é formado por uma parte cilíndrica e 
uma parte cônica, cujas medidas são dadas na figura, e estava cheio quando se iniciou a 
medicação. 
 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 108 
Após 4 horas de administração contínua, a medicação foi interrompida. Dado que 
𝟏 𝒄𝒎𝟑 = 𝟏 𝒎𝒍, e usando a aproximação 𝝅 = 𝟑, o volume, em ml, do medicamento restante 
no frasco após a interrupção da medicação é, aproximadamente: 
a) 120 
b) 150 
c) 160 
d) 240 
e) 360 
Comentários: 
O volume da parte cilíndrica do frasco é dado por: 
𝑽 = 𝝅. 𝒓𝟐. 𝒉 = 𝟑 . 𝟒𝟐. 𝟗 = 𝟐𝟕 . 𝟏𝟔 = 𝟒𝟑𝟐 𝒄𝒎𝟑 
O volume da parte cônica é dado por: 
𝑽 =
𝝅. 𝒓𝟐. 𝒉
𝟑
=
𝟑. 𝟒𝟐. 𝟑
𝟑
= 𝟏𝟔 . 𝟑 = 𝟒𝟖 𝒄𝒎𝟑 
O volume total do frasco é 𝟒𝟑𝟐 + 𝟒𝟖 = 𝟒𝟖𝟎 𝒄𝒎𝟑 = 𝟒𝟖𝟎 𝒎𝒍. 
Após o início da administração do medicamento, transcorreram 𝟒 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔 = 𝟐𝟒𝟎 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔. 
Como a taxa é de 1,5 ml por minuto, foram administrados 𝟏, 𝟓 . 𝟐𝟒𝟎 = 𝟑𝟔𝟎 𝒎𝒍. 
Portanto, restaram no frasco 𝟒𝟖𝟎 − 𝟑𝟔𝟎 = 𝟏𝟐𝟎 𝒎𝒍 de medicamento. 
Gabarito: a) 
21. (UNESP/2003) Considere um pedaço de cartolina retangular de lado menor 10 cm e 
lado maior 20 cm. Retirando-se 4 quadrados iguais de lados x cm (um quadrado de cada 
canto) e dobrando-se na linha pontilhada conforme mostra a figura, obtém-se uma 
pequena caixa retangular sem tampa. 
 
O polinômio na variável 𝒙, que representa o volume, em cm³, desta caixa é 
a) 𝟒𝒙³ – 𝟔𝟎𝒙² + 𝟐𝟎𝟎𝒙. 
b) 𝟒𝒙² – 𝟔𝟎𝒙 + 𝟐𝟎𝟎. 
c) 𝟒𝒙³ – 𝟔𝟎𝒙² + 𝟐𝟎𝟎. 
d) 𝒙³ – 𝟑𝟎𝒙² + 𝟐𝟎𝟎𝒙. 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 109 
e) 𝒙³ – 𝟏𝟓𝒙² + 𝟓𝟎𝒙. 
Comentários: 
A figura abaixo mostra como fica a caixa, emforma de paralelepípedo: 
 
Assim, o seu volume 𝑉(𝑥) é dado por: 
𝑉(𝑥) = 𝑎 . 𝑏 . 𝑐 
𝑉(𝑥) = (20 – 2𝑥) . (10 – 2𝑥) . 𝑥 
𝑉(𝑥) = (4𝑥² – 60𝑥 + 200) . 𝑥 
𝑉(𝑥) = 4𝑥³ – 60𝑥² + 200𝑥 
Gabarito: a) 
22. (UNESP/2003) Um tanque subterrâneo, que tem a forma de um cilindro circular reto 
na posição vertical, está completamente cheio com 𝟑𝟎 𝒎³ de água e 𝟒𝟐 𝒎³ de petróleo. 
 
Se a altura do tanque é 12 metros, a altura, em metros, da camada de petróleo é 
a) 𝟐𝝅. 
b) 7. 
c) 
𝟕𝝅
𝟑
. 
d) 8. 
e) 
𝟖𝝅
𝟑
. 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 110 
Comentários: 
Chamando 𝑥 para a altura do petróleo no tanque, 𝑅 o raio da base, e 𝑉𝑃𝑒𝑡𝑟ó𝑙𝑒𝑜 e 𝑉Á𝑔𝑢𝑎, 
respectivamente,os volumes, em 𝑚³, de petróleo e água no tanque, tem-se 
 
𝑣𝑝 = 𝜋𝑅
2 ⋅ 𝑥 = 42 
𝑣𝑝 = 𝜋𝑅
2 ⋅ (12 − 𝑥) = 30 
Assim, temos a seguinte proporção: 
𝜋𝑅2𝑥
𝜋𝑅2(12 − 𝑥)
=
42
30
 
𝑥
(12 − 𝑥)
=
7
5
 
𝑥 = 7 
Comentários: b) 
23. (UNICAMP/2020) Se um tetraedro regular e um cubo têm áreas de superfície iguais, 
a razão entre o comprimento das arestas do tetraedro e o comprimento das arestas do 
cubo é igual a 
a) √𝟐√𝟑 
b) √𝟐
𝟒
√𝟑 
c) √𝟐√𝟑
𝟒
 
d) √𝟐
𝟒
√𝟑
𝟒
 
Comentários: 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 111 
Lembrando que a área do tetraedro é dada por quatro vezes a área do triângulo equilátero de 
aresta 𝑎𝑇, temos: 
𝐴𝑇 = 4 ⋅
𝑎𝑇
2√3
 4 
 
𝐴𝑇 = 𝑎𝑇
2√3 
Já a área do cubo é formada por seis quadrados. 
𝐴𝐶 = 6 ⋅ 𝑎𝐶
2 
Seguindo a orientação de igualar as áreas, temos: 
𝐴𝑇 = 𝐴𝐶 
𝑎𝑇
2√3 = 6 ⋅ 𝑙𝐶
2 
𝑎𝑇
2
𝑎𝐶
2 =
6
√3
⋅
√3
√3
 
𝑎𝑇
2
𝑎𝐶
2 =
6√3
3
 
𝑎𝑇
2
𝑎𝐶
2 = 2√3 
√
𝑎𝑇
2
𝑎𝐶
2 =
√2√3 
|
𝑎𝑇
𝑎𝐶
| = √2√3
4
 
𝑎𝑇
𝑎𝐶
= √2√3
4
 
Gabarito: c) 
24. (UNICAMP/2015) Um cilindro circular reto, com raio da base e altura iguais a 𝑅, tem 
a mesma área de superfície total que uma esfera de raio 
a) 𝟐𝑹. 
b) √𝟑𝑹. 
c) √𝟐𝑹. 
d) 𝑹. 
Comentários 
Aplicando as medidas conhecidas na fórmula da superfície de um cilindro, teremos: 
𝐴𝑐 = 2𝜋𝑟(𝑟 + ℎ) 
𝐴𝑐 = 2𝜋𝑅(𝑅 + 𝑅) 
𝐴𝑐 = 4𝜋𝑅2 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 112 
Note que essa é justamente a fórmula para o cálculo da superfície de uma esfera de raio R. 
Gabarito: d) 
25. (UERJ/2020.2) A imagem a seguir representa um cubo com aresta de 2 cm. Nele, 
destaca-se o triângulo AFC. 
 
A projeção ortogonal do triângulo AFC no plano da base BCDE do cubo é um triângulo 
de área y. 
O valor de y, em cm2, é igual a: 
a) 1 
b) 3/2 
c) 2 
d) 5/2 
Comentários: 
Na imagem, as projeções ortogonais dos vértices A, F e C sobre o plano da base são 
respectivamente os pontos B, D e C. Logo, a projeção ortogonal do triângulo AFC sobre esse 
plano é o triângulo BDC. A área do triângulo BDC é igual à metade da área do quadrado 
BCDE, cujo lado mede 2 cm: 
Á𝑟𝑒𝑎 (𝐵𝐷𝐶) =
22
2
= 2 𝑐𝑚² 
Gabarito: c) 
26. (UERJ/2020 – Questão 34) A figura a seguir representa a trajetória curva do ponto 
𝑷 sobre a superfície lateral de um cone circular reto cujo raio da base mede 10 cm e a 
geratriz, 60 cm. O ponto 𝑷 inicia sua trajetória no ponto 𝑨, que pertence à circunferência 
da base, e dá uma volta completa em torno do cone, até retornar ao ponto 𝑨. 
 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 113 
Com a planificação da superfície lateral do cone, é possível calcular o menor 
comprimento da trajetória percorrida por 𝑷, que corresponde, em centímetros, a: 
a) 𝟓𝟎 
b) 𝟔𝟎 
c) 𝟏𝟖𝝅 
d) 𝟐𝟎𝝅 
Comentários: 
O ponto A, localizado na base do cone, será o ponto de partida e de chegada do ponto P. 
 
A linha reta traçada na superfície lateral do cone representa a menor distância percorrida por P 
para completar a trajetória. 
Sendo 𝜽 o ângulo central do setor circular que representa a superfície lateral do cone, temos: 
𝜽 =
𝟑𝟔𝟎°.𝑹
𝒈
=
𝟑𝟔𝟎°. 𝟏𝟎
𝟔𝟎
=
𝟑𝟔𝟎°
𝟔
= 𝟔𝟎° 
A distância 𝒙 percorrida pelo ponto P é um dos lados do triângulo com dois lados medindo 60 
cm e cujo ângulo oposto a 𝒙 mede 60°. Pela lei dos cossenos, temos: 
𝒙𝟐 = 𝟔𝟎𝟐 + 𝟔𝟎𝟐 − 𝟐. 𝟔𝟎. 𝟔𝟎. 𝒄𝒐𝒔 𝟔𝟎° 
𝒙𝟐 = 𝟐. 𝟔𝟎𝟐 − 𝟐. 𝟔𝟎. 𝟔𝟎.
𝟏
𝟐
 
𝒙𝟐 = 𝟐. 𝟔𝟎𝟐 − 𝟔𝟎𝟐 
𝒙𝟐 = 𝟔𝟎𝟐 
𝒙 = 𝟔𝟎 𝒄𝒎 
Gabarito: b) 
27. (UERJ/2018.2) A imagem a seguir ilustra um prisma triangular regular. Sua aresta 
da base mede 𝒃 e sua aresta lateral mede 𝒉. 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 114 
 
Esse prisma é seccionado por um plano BCP, de modo que o volume da pirâmide ABCP 
seja exatamente 
𝟏
𝟗
 do volume total do prisma. 
Logo, a medida de 𝑨𝑷̅̅ ̅̅ é igual a: 
a) 
𝒉
𝟗
 
b) 
𝒉
𝟑
 
c) 
𝟐𝒉
𝟑
 
d) 
𝟓𝒉
𝟔
 
Comentários: 
O volume do prisma é dado por 𝑽 = 𝑨𝒃. 𝒉. 
A base da pirâmide ABCP coincide com a base do prisma, e a altura é o comprimento do 
segmento 𝑨𝑷̅̅ ̅̅ . 
𝑽𝒑𝒊𝒓â𝒎𝒊𝒅𝒆 =
𝑨𝒃. 𝑨𝑷̅̅ ̅̅
𝟑
=
𝟏
𝟗
. 𝑽𝒑𝒓𝒊𝒔𝒎𝒂 
𝑨𝒃. 𝑨𝑷̅̅ ̅̅
𝟑
=
𝟏
𝟗
. 𝑨𝒃. 𝒉 
𝑨𝑷̅̅ ̅̅
𝟑
=
𝒉
𝟗
 
𝑨𝑷̅̅ ̅̅ =
𝟑𝒉
𝟗
=
𝒉
𝟑
 
Gabarito: b) 
28. (UERJ/2016.2) Uma pirâmide com exatamente seis arestas congruentes é 
denominada tetraedro regular. Admita que a aresta do tetraedro regular ilustrado a 
seguir, de vértices ABCD, mede 6 cm e que o ponto médio da aresta BC é M. 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 115 
 
O cosseno do ângulo 𝑨�̂�𝑫 equivale a: 
a) 
𝟏
𝟐
 
b) 
𝟏
𝟑
 
c) 
𝟐
𝟑
 
d) 
𝟐
𝟓
 
Comentários: 
Na face BCD, podemos traçar o triângulo retângulo BMD, tal que a hipotenusa BD tem 6 cm de 
comprimento, um dos catetos MB mede 3 cm e o outro cateto MD mede 𝒙. 
𝒙𝟐 + 𝟑𝟐 = 𝟔𝟐 
𝒙𝟐 + 𝟗 = 𝟑𝟔 
𝒙𝟐 = 𝟐𝟕 
𝒙 = 𝟑√𝟑 𝒄𝒎 
Como DM = AM, esses dois segmentos medem 𝟑√𝟑 𝒄𝒎. 
No triângulo AMD, temos 𝑨𝑫 = 𝟔 𝒄𝒎 e 𝑫𝑴 = 𝑨𝑴 = 𝟑√𝟑 𝒄𝒎, sendo 𝜽 o ângulo 𝑨�̂�𝑫. Pela lei 
dos cossenos, temos: 
𝟔𝟐 = (𝟑√𝟑)
𝟐
+ (𝟑√𝟑)
𝟐
− 𝟐. 𝟑√𝟑. 𝟑√𝟑. 𝒄𝒐𝒔 𝜽 
𝟑𝟔 = 𝟐𝟕 + 𝟐𝟕 − 𝟐. 𝟐𝟕. 𝒄𝒐𝒔 𝜽 
𝟑𝟔 = 𝟓𝟒 − 𝟓𝟒. 𝒄𝒐𝒔 𝜽 
𝟓𝟒. 𝒄𝒐𝒔 𝜽 = 𝟏𝟖 
𝒄𝒐𝒔 𝜽 =
𝟏𝟖
𝟓𝟒
=
𝟏
𝟑
 
Gabarito: b) 
29. (UERJ/2016.2) Dois cubos cujas arestas medem 2 cm são colados de modo a 
formar o paralelepípedo 𝑨𝑩𝑪𝑫𝑨′𝑩′𝑪′𝑫′. Esse paralelepípedo é seccionado pelos planos 
ADEF e BCEF, que passam pelos pontos médios F e E das arestas A’B’ e C’D’, 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 116 
respectivamente. A parte desse paralelepípedo compreendida entre esses planos define 
o sólido ABCDEF, conforme indica a figura a seguir. 
 
O volume do sólido ABCDEF, em cm³, é igual a: 
a) 4 
b) 6 
c) 8 
d) 12 
Comentários: 
O sólido em azul é um prisma de base triangular. Cada triângulo da base tem 2 cm de base e 4 
cm de altura. Logo, sua área é dada por 𝑨𝒃 =
𝟐.𝟒
𝟐
= 𝟒 𝒄𝒎𝟐. 
𝑽 = 𝑨𝒃. 𝒉 = 𝟒 . 𝟐 = 𝟖 𝒄𝒎
𝟑 
Gabarito: c) 
30. (UERJ/2016) Um cilindro circular reto possui diâmetro AB de 4 cm e altura AA’ de 
10 cm. O plano α, perpendicular à secção meridiana ABB’A’, que passa pelos pontos B e 
A’ das bases, divide o cilindro em duas partes, conforme ilustra a imagem. 
 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 117 
O volume da parte do cilindro compreendida entre o plano α e a base inferior, em cm³, é 
igual a: 
a) 𝟖𝝅 
b) 𝟏𝟐𝝅 
c) 𝟏𝟔𝝅 
d) 𝟐𝟎𝝅 
Comentários: 
Como o diâmetro da base do cilindro é 4 cm, seu raio mede 2 cm. 
O volume do cilindro é dado por: 𝑽 = 𝝅𝒓𝟐. 𝒉 = 𝝅. 𝟐𝟐. 𝟏𝟎 = 𝟒𝟎𝝅 𝒄𝒎𝟑 
Logo, o volume da parte solicitada, que equivale à metade do total, é 𝟐𝟎𝝅 𝒄𝒎𝟑. 
Gabarito: d) 
31. (UERJ/2014) Um quadrado ABCD de centro O está situado sobre um plano α. Esse 
plano contém o segmento OV, perpendicular a BC, conforme ilustra a imagem: 
 
Admita a rotação de centro O do segmento OV em um plano perpendicular ao plano α, 
como se observa nas imagens: 
 
Considere as seguintes informações: 
O lado do quadrado ABCD e o segmento OV medem 1 metro; 
A rotação do segmento OV é de 𝒙 radianos, sendo 𝟎 < 𝒙 <
𝝅
𝟐
; 
𝒙 corresponde ao ângulo formado pelo segmento OV e o plano α; 
O volume da pirâmide ABCDV, em metros cúbicos, é igual a 𝒚. 
O gráfico que melhor representa o volume 𝒚 da pirâmide, em m³, em função do ângulo 𝒙, 
em radianos, é: 
a) 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 118 
 
 
 
b) 
 
 
 
c) 
 
 
 
d)Comentários: 
O volume da pirâmide aumenta à medida que o ângulo 𝒙 cresce. 
A altura dessa pirâmide pode ser dada pela relação trigonométrica do triângulo retângulo 
𝒔𝒆𝒏 𝒙 =
𝒉
𝑽𝑶
. 
Logo, esse crescimento do volume da pirâmide se dá de forma semelhante ao gráfico da 
senoide no intervalo [𝟎,
𝝅
𝟐
]. 
Gabarito: a) 
32. (UEA/2018) Um bloco cúbico, de aresta 𝒌 e volume 216 cm³, foi removido de um 
bloco retangular, de arestas x, y e z, conforme mostra a figura, cujas dimensões 
indicadas estão em centímetros. 
 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 119 
Sabendo-se que o volume do bloco cúbico corresponde a 1/5 do volume do bloco 
retangular e que 𝒙 = 𝟑𝒌, a medida largura 𝒚 indicada no bloco retangular é igual a 
(A) 12 cm. 
(B) 9 cm. 
(C) 8 cm. 
(D) 15 cm. 
(E) 10 cm. 
Comentários 
O volume do cubo é dado por: 
𝒗 = 𝒌𝟑 
𝟐𝟏𝟔 = 𝒌𝟑 
𝒌 = 𝟔 𝒄𝒎 
O volume do retângulo será 5 vezes maior que o do cubo, assim: 
𝒗𝑹 = 𝟓 ⋅ 𝒗𝒄 
𝒗𝑹 = 𝟓 ⋅ 𝟐𝟏𝟔 
𝒗𝑹 = 𝟏𝟎𝟖𝟎𝒄𝒎
𝟑 
Outra forma de calcular o volume do retângulo é multiplicando as dimensões 𝑥, 𝑦 𝑒 𝑧, sendo 𝑥 =
3𝑘 e 𝑧 = 𝑘. 
𝒗𝑹 = 𝒙 ⋅ 𝒚 ⋅ 𝒛 
1080 = 3𝑘 ⋅ 𝑦 ⋅ 𝑘 
1080 = 18 ⋅ 𝑦 ⋅ 6 
108𝑦 = 1080 
𝑦 = 10 𝑐𝑚 
Logo, a medida largura y indicada no bloco retangular é igual a 10 𝑐𝑚. 
Gabarito: e) 
33. (UEA/2018) Sejam A, B e C três blocos retangulares. O volume de A é o dobro do 
volume de B e o triplo do volume de C, e a soma dos volumes de B e C é igual ao volume 
de A menos 𝟐𝟎𝒄𝒎𝟑. Desse modo, o volume dos três blocos, juntos, é igual a 
(A) 210 cm³. 
(B) 220 cm³. 
(C) 200 cm³. 
(D) 180 cm³. 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 120 
(E) 190 cm³. 
Comentários 
Do enunciado, temos que: 
“O volume de A é o dobro do volume de B e o triplo do volume de C” 
𝒗𝑨 = 𝟐𝒗𝑩 (𝒊) 
𝒗𝑨 = 𝟑𝒗𝑪 (𝒊𝒊) 
“a soma dos volumes de B e C é igual ao volume de A menos 20𝑐𝑚3” 
𝒗𝑩 + 𝒗𝑪 = 𝒗𝑨 − 𝟐𝟎 (𝒊𝒊𝒊) 
Substituindo (𝑖) e (𝑖𝑖) em (𝑖𝑖𝑖), temos: 
𝒗𝑨
𝟐
+
𝒗𝑨
𝟑
= 𝒗𝑨 − 𝟐𝟎 
𝟑𝒗𝑨 + 𝟐𝒗𝑨 = 𝟔𝑽𝑨 − 𝟏𝟐𝟎 
𝒗𝑨 = 𝟏𝟐𝟎𝒄𝒎
𝟑 
Assim 
𝒗𝑩 = 𝟔𝟎𝒄𝒎
𝟑 
𝒗𝑩 = 𝟒𝟎𝒄𝒎
𝟑 
Desse modo, o volume dos três blocos, juntos, é igual a 
𝒗𝑨 + 𝒗𝑩 + 𝝂𝑪 = 𝟐𝟐𝟎𝒄𝒎
𝟑 
Gabarito: b) 
34. (UEA/2018) Ao aumentar em 50% o raio da base do cilindro circular reto A, obtém-
se o cilindro circular reto B. Sabe-se que ambos têm alturas iguais (𝒉 = 𝟒 𝒄𝒎), conforme 
indicado na figura. 
 
Sendo VA e VB os volumes dos cilindros A e B, respectivamente, e 𝑽𝑨 + 𝑽𝑩 = 𝟓𝟐𝝅𝒄𝒎𝟑, a 
área da superfície lateral do cilindro B é igual a 
(A) 𝟏𝟖𝝅𝒄𝒎𝟐. 
(B) 𝟏𝟔𝝅𝒄𝒎𝟐. 
(C) 𝟐𝟎𝝅𝒄𝒎𝟐. 
(D) 𝟑𝟐𝝅𝒄𝒎𝟐. 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 121 
(E) 𝟐𝟒𝝅𝒄𝒎𝟐. 
Comentários 
Começando pela equação que o enunciado trouxe: 
𝑣𝐴 + 𝑣𝐵 = 52𝜋 
𝜋 ⋅ 𝑅𝐴
2 ⋅ ℎ + 𝜋 ⋅ 𝑅𝐵
2 ⋅ ℎ = 52𝜋 
Note que o raio do cilindro B é o raio do cilindro A aumentado em 50%, assim teremos 𝑅𝐵 =
1,5𝑅𝐴. 
4𝑅𝐴
2 + 4 ⋅ (1,5 ⋅ 𝑅𝐴)
2 = 52 
13 ⋅ 𝑅𝐴
2 = 52 
𝑅𝐴
2 = 4 
𝑅𝐴 = 2 𝑐𝑚 
Então 𝑅𝐵 será dado por: 
𝑅𝐵 = 3 𝑐𝑚 
Assim, a área lateral do cilindro B será igual a: 
𝐴𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 𝐵 = 2 ⋅ 𝜋 ⋅ 𝑅𝐵 ⋅ ℎ 
𝐴𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 𝐵 = 2 ⋅ 𝜋 ⋅ 3 ⋅ 4 
𝐴𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 𝐵 = 24𝜋𝑐𝑚
2 
Gabarito: e) 
35. (UEA/2015) Quando aberta, uma torneira despeja, com vazão contínua e constante, 
0,05 m³ de água a cada 5 minutos em um recipiente com formato de bloco retangular de 
base quadrada, cuja área da base é igual a 0,64 m². Se essa torneira for aberta às 
𝟖𝒉𝟏𝟓𝒎𝒊𝒏, esse recipiente, inicialmente vazio, estará totalmente cheio às 𝟗𝒉𝟑𝟓𝒎𝒊𝒏. 
Desse modo, é correto afirmar que a medida da altura desse recipiente, em metros, é 
igual a 
(A) 1,50. 
(B) 0,85. 
(C) 0,90. 
(D) 1,30. 
(E) 1,25. 
Comentários 
Primeiramente, podemos calcular por quanto tempo a torneira ficou aberta: 
9ℎ35𝑚𝑖𝑛−8ℎ15𝑚ⅈ𝑛 = 1ℎ20𝑚ⅈ𝑛 
Ou seja, a torneira ficou aberta por 80 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠. 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 122 
Através de uma regra de três simples, podemos descobrir qual é o volume do bloco retangular 
de base quadrada: 
0,05 𝑚3 → 5𝑚𝑖𝑛 
𝑥 𝑚3 → 80𝑚𝑖𝑛 
𝑥 = 0,8 𝑚3 
Com o volume em mão, substituímos na fórmula do volume de um prisma, sabendo que a área 
da base equivale a 0,64 m². 
𝑉 = 𝐴𝑏 ⋅ ℎ 
0,8 = 0,64 ⋅ ℎ 
ℎ = 1,25 𝑚 
Gabarito: e) 
36. (UEA/2015) Um tanque com formato de cilindro circular reto contém combustível 
na altura x metros, conforme mostra a figura. Usando todo o volume armazenado, é 
possível encher completamente, sem sobras, m reservatórios de mesmo formato 
cilíndrico, de volume igual a 𝟑𝒎𝟑 cada, ou então 𝒏 reservatórios de mesmo formato 
cilíndrico, de volume igual a 𝟒𝒎𝟑, sendo 𝒎 e 𝒏 números inteiros positivos, com 𝒎+ 𝒏 ≤
𝟏𝟐. 
 
Usando a aproximação 𝝅 = 𝟑 e sabendo que 𝒙 =
𝟏
𝟓
𝒉, é correto afirmar que a altura 
aproximada desse tanque, indicada por 𝒉 na figura, é 
(A) 5 m. 
(B) 8 m. 
(C) 5,5 m. 
(D) 6,5 m. 
(E) 6 m. 
Comentários 
Usando a fórmula do volume do cilindro, podemos calcular o volume do combustível em 
relação à altura 𝑥: 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 123 
𝑣 = 𝜋 ⋅ 𝑅2 ⋅ ℎ 
𝑣 = 3 ⋅ 22 ⋅ 𝑥 
𝑣 = 12 ⋅ 𝑥 
Como podemos encher, com 12𝑥, 𝑚 reservatórios cilíndricos de volume 3 𝑚3, então: 
3𝑚 = 12𝑥 
De igual sorte, podemos encher, com 12𝑥, 𝑛 reservatórios cilíndricos de volume igual a 4𝑚3. 
4𝑛 = 12𝑥 
Igualando as duas expressões temos: 
3𝑚 = 4𝑛 
O que é equivalente a: 
n =
3
4
⋅ m 
Podemos substituir o valor de 𝑛 na inequação trazida no enunciado da questão: 
𝑚 + 𝑛 ≤ 12 
𝑚 +
3𝑚
4
≤ 12 
7𝑚
4
≤ 12 
7𝑚 ≤ 48 
𝑚 ≤ 6,85 
 
Acompanhe o raciocínio: 𝑚 e 𝑛 são positivos e inteiros, sendo assim 𝑚 ∈ {1,2,3,4,5,6}. 
O único valor de m que possibilita que n também seja inteiro é 4, pois n =
3
4
⋅ m. 
Dessa forma: 
𝑚 = 4 
𝑛 = 3 
 
Podemos calcular o valor de 𝑥: 
3𝑚 = 12𝑥 
3 ⋅ 4 = 12𝑥 
𝑥 = 1 m 
E, por fim, o valor de ℎ: 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 124 
𝑥 =
1
5
⋅ ℎ 
1 =
ℎ
5
 
ℎ = 5𝑚 
Gabarito: a) 
37. (UFPR/2018) A figura ao lado apresenta um molde para construção de uma 
pirâmide hexagonal regular. Para montar essa pirâmide, basta recortar o molde seguindo 
as linhas contínuas, dobrar corretamente nas linhas tracejadas e montar a pirâmide 
usando as abas trapezoidais para fixar sua estrutura com um pouco de cola. 
 
Sabendo que cada um dos triângulos tracejados nesse molde é isósceles, com lados 
medindo 5 cm e 13 cm, qual das alternativas abaixo mais se aproxima do volume dessa 
pirâmide? 
a) 260 cm³. 
b) 276 cm³. 
c) 281 cm³. 
d) 390 cm³. 
e) 780 cm³ 
Comentários: 
A base dessa pirâmide é um hexágono regular de lado 5 cm. Sua área é dada por: 
𝑨 =
𝟔𝒍𝟐√𝟑
𝟒
=
𝟔. 𝟐𝟓√𝟑
𝟒
=
𝟏𝟓𝟎√𝟑
𝟒
= 𝟑𝟕, 𝟓√𝟑 𝒄𝒎𝟐 
Sua altura é um dos catetos do triângulo retângulo também formado pela aresta da base e 
aresta lateral. Logo: 
𝒉𝟐 + 𝟓𝟐 = 𝟏𝟑𝟐 
𝒉𝟐 + 𝟐𝟓 = 𝟏𝟔𝟗 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 125 
𝒉𝟐 = 𝟏𝟒𝟒 
𝒉 = 𝟏𝟐 𝒄𝒎 
𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆 =
𝑨𝒃. 𝒉
𝟑
=
𝟑𝟕, 𝟓√𝟑. 𝟏𝟐
𝟑
= 𝟑𝟕, 𝟓√𝟑. 𝟒 = 𝟏𝟓𝟎√𝟑 
Considerando √𝟑 ≅ 𝟏, 𝟕𝟑, temos: 𝟏𝟓𝟎 . 𝟏, 𝟕𝟑 = 𝟐𝟓𝟗, 𝟓 𝒄𝒎𝟑, aproximadamente 260 cm³. 
Gabarito: A 
38. (UFPR/2016) Um prisma possui 17 faces, incluindo as faces laterais e as bases 
inferior e superior. Uma pirâmide cuja base é idêntica à base do prisma, possui quantas 
arestas? 
a) 26. 
b) 28. 
c) 30. 
d) 32. 
e) 34. 
Comentários 
Como esse prisma possui 17 faces ao todo, incluindo suasbases inferior e superior, podemos 
afirmar que são 15 faces laterais. Com isso, chegamos à conclusão que cada base desse 
prisma é um polígono de 15 lados (um pentadecágono). 
Sabendo que a base da pirâmide é idêntica à base do prisma, temos que essa pirâmide possui 
15 arestas laterais (que convergem no vértice superior) além das 15 arestas da base, 
totalizando 30 arestas ao todo. 
Gabarito: C 
39. (UFPR/2016) Temos, ao lado, a planificação de uma pirâmide de base quadrada, 
cujas faces laterais são triângulos equiláteros. Qual é o volume dessa pirâmide? 
 
a) 𝟏𝟔
𝟑
√𝟑 𝒄𝒎𝟑. 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 126 
b) 𝟏𝟔√𝟑 cm³. 
c) 32 cm³. 
d) 𝟑𝟐
𝟑
√𝟐 cm³. 
e) 𝟔𝟒
𝟑
 cm³. 
Comentários 
Para calcular o volume da pirâmide, precisamos determinar sua altura. Como a base é 
quadrada, podemos afirmar que a altura (h), a metade da diagonal da base (2√2) e a aresta 
lateral (4) formam um triângulo retângulo. Logo: 
ℎ2 + (2√2)
2
= 42 ⟶ ℎ2 + 8 = 16 ⟶ ℎ2 = 8 ⟶ ℎ = 2√2 𝑐𝑚 
Volume da Pirâmide: 
𝑉 =
𝐴𝑏 . ℎ
3
=
42. 2√2
3
=
16.2√2
3
=
32√2
3
 𝑐𝑚3 
Gabarito: D 
40. (UFPR/2014) A figura ao lado apresenta uma planificação do cubo que deverá ser 
pintada de acordo com as regras abaixo: Os quadrados que possuem um lado em 
comum, nessa planificação, deverão ser pintados com cores diferentes. Além disso, ao 
se montar o cubo, as faces opostas deverão ter cores diferentes. De acordo com essas 
regras, qual o MENOR número de cores necessárias para se pintar o cubo, a partir da 
planificação apresentada? 
 
a) 2. 
b) 3. 
c) 4. 
d) 5. 
e) 6. 
Comentários: 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 127 
No exemplo ao lado, temos 3 cores sendo utilizadas para pintar as faces do cubo. Reparamos 
que as duas condições estão sendo obedecidas: 
Na planificação, as faces que têm lados em comum estão pintadas com cores diferentes; 
 
Quando o cubo for formado, as faces opostas têm cores diferentes. 
Gabarito: B 
41. (UFPR/2014) Suponha que um líquido seja despejado, a uma vazão constante, em 
um recipiente cujo formato está indicado na figura ao lado. Sabendo que inicialmente o 
recipiente estava vazio, qual dos gráficos abaixo melhor descreve a altura h, do nível do 
líquido, em termos do volume total V, do líquido despejado no recipiente? 
 
 
 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 128 
 
 
 
Comentários 
Como a primeira parte do recipiente a ser enchida é um cone com altura inconstante, o gráfico 
deverá ser iniciado com uma curva. 
A seguir, temos a parte cilíndrica do recipiente, com altura constante, sendo representada no 
gráfico por um segmento de reta. 
Gabarito: D 
42. (UFPR/2014) Um cilindro de raio r está inscrito em uma esfera de raio 5, como 
indica a figura ao lado. Obtenha o maior valor de x, de modo que o volume desse cilindro 
seja igual a 𝟕𝟐𝝅. 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 129 
 
a) √𝟏𝟑 − 𝟐. 
b) 3. 
c) 𝟑√𝟐. 
d) 𝟐√𝟓. 
e) 4. 
Comentários 
Utilizando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo indicado na figura, temos: 
𝒓𝟐 + 𝒙𝟐 = 𝟓𝟐 
𝒓𝟐 = 𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 
Como 𝒙 representa a metade da altura do cilindro, temos que sua altura é 𝟐𝒙. 
𝑽 = 𝝅𝒓𝟐. 𝒉 = 𝟕𝟐𝝅 
𝒓𝟐. 𝟐𝒙 = 𝟕𝟐 
𝒓𝟐𝒙 = 𝟑𝟔 ⟶ Realizando a substituição de 𝒓𝟐 encontrada no cálculo anterior: 
(𝟐𝟓 − 𝒙𝟐). 𝒙 = 𝟑𝟔 
𝟐𝟓𝒙 − 𝒙𝟑 = 𝟑𝟔 
𝒙𝟑 − 𝟐𝟓𝒙 + 𝟑𝟔 = 𝟎 
Pelas tentativas do Teorema das Raízes Racionais, temos que 4 é uma das raízes dessa 
equação, pois: 
 
Pelo Dispositivo Prático de Briot-Ruffini, obtemos resto zero e uma equação de 2º grau 
representada por: 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟗 = 𝟎. 
∆= 𝟒𝟐 − 𝟒. 𝟏. (−𝟗) = 𝟏𝟔 + 𝟑𝟔 = 𝟓𝟐 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 130 
𝒙 =
−𝟒 ± 𝟐√𝟏𝟑
𝟐
 
𝒙′ = −𝟐 + √𝟏𝟑 
𝒙" = −𝟐 − √𝟏𝟑 
Das três raízes, o maior valor é 4. 
Gabarito: E 
43. (UFU/2018) Um recipiente, no formato de um cilindro circular reto de raio de base r 
cm, possui um líquido solvente em seu interior. A altura 𝒉 desse solvente presente no 
recipiente é igual a 
𝟏𝟔
𝟑
 𝒄𝒎, conforme ilustra a Figura 1. 
 
Quando uma peça maciça, no formato de uma esfera de raio igual a 𝟑 𝒄𝒎, é mergulhada 
nesse recipiente até encostar no fundo, observa-se que o solvente cobre exatamente a 
esfera, conforme ilustra a Figura 2. 
Segundo as condições apresentadas, o raio r, em cm, é igual a 
a) 𝟒√𝟑 
b) 𝟐√𝟕 
c) 𝟓√𝟐 
d) 𝟑√𝟔 
Comentários 
Da figura 1, teremos o volume do solvente: 
𝑉𝑠 = 𝜋 ⋅ 𝑟
2 ⋅ ℎ 
𝑉𝑠 = 𝜋 ⋅ 𝑟
2 ⋅
16
3
 
Da figura 2, teremos que o volume do cilindro será igual a soma dos volumes da esfera e do 
solvente, sendo a altura do cilindro igual ao dobro do raio da esfera (6cm): 
𝑉𝑠 + 𝑉𝐸 = 𝑉𝑐 
𝜋 ⋅ 𝑟2 ⋅
16
3
+
4
3
⋅ 𝜋 ⋅ 𝑟𝑒
3 = 𝜋𝑟2 ⋅ ℎ 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 131 
𝜋 ⋅ 𝑟2 ⋅
16
3
+
4
3
⋅ 𝜋 ⋅ 3³ = 𝜋𝑟2 ⋅ 6 
𝑟2 ⋅
16
3
+
4
3
⋅ 3³ = 𝑟2 ⋅ 6 
16 ⋅ 𝑟2
3
+
109
3
= 6𝑟2 
16 ⋅ 𝑟2 + 108
3
= 6𝑟2 
16 ⋅ 𝑟2 + 108 = 18𝑟2 
2𝑟2 = 108 
𝑟2 = 54 
𝑟 = 3√6 𝑐𝑚 
Gabarito: d) 
44. (UFU/2015) Um modelo de piscina é formado por três partes, determinando três 
níveis d‘água, conforme mostra o esquema a seguir. 
 
A primeira tem a forma da metade de um cilindro circular de raio 1 m e altura 0,3 m; a 
segunda tem a forma de um paralelepípedo de 0,3 m de comprimento, 2 m de largura e 
0,8 m de altura, e a terceira também tem a forma de um paralelepípedo, com 3 m de 
comprimento, 4 m de largura e 2 m de altura. Suponha que a água dessa piscina esteja 
no nível da base do primeiro paralelepípedo (aquele de 0,8 m de altura). Quantos metros 
cúbicos de água são necessários para encher de água essa piscina? 
a) 𝟎, 𝟏𝟓𝝅 + 𝟏𝟒, 𝟖𝟖. 
b) 𝟎, 𝟏𝟓𝝅 + 𝟏𝟎, 𝟎𝟖. 
c) 𝟎, 𝟑𝟎𝝅 + 𝟏𝟎, 𝟎𝟖. 
d) 𝟎, 𝟑𝟎𝝅 + 𝟏𝟒, 𝟖𝟖. 
Comentários 
Volume da parte cilíndrica (metade) 
𝑉 =
𝜋𝑅2ℎ
2
 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 132 
𝑉 =
𝜋. 12. 0,3
2
 
𝑉 = 0,15𝜋 𝑚3 
 
Volume do Primeiro Paralelepípedo 
𝑉 = 0,3.2.0,8 
𝑉 = 0,48 𝑚3 
 
O paralelepípedo maior já está cheio até 0,8 m de altura. Portanto, faltam encher o 
correspondente a 1,2 m. 
𝑉 = 3.4.1,2 
𝑉 = 14,4 𝑚3 
 
Volume de água a ser colocado: 0,15𝜋 + 0,48 + 14,4 = (0,15𝜋 + 14,88) 𝑚3. 
Entretanto a banca considerou a questão como anulada. 
Gabarito: ANULADA 
45. (UFU/2018) Em agropecuária, o termo “cocho” é usado para designar um tipo de 
reservatório destinado a receber alimento, sal ou água para o rebanho. Um tipo simples 
de cocho tem a forma de metade de um prisma hexagonal regular, conforme ilustra a 
figura abaixo. 
 
Suponha que um cocho seja identificado como correspondente à metade de um prisma, 
cuja aresta da base mede 0,6 m (metros) e a aresta lateral mede 10 m. Qual é a 
capacidade máxima, em litros, desse cocho? 
𝒂) 𝟐𝟕𝟎√𝟑 
𝒃) 𝟐𝟕𝟎𝟎√𝟑 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 133 
𝒄) 𝟒𝟓𝟎√𝟑 
𝒅) 𝟓𝟒𝟎𝟎√𝟑 
Comentários 
O cocho da imagem tem o formato da metade de um prisma hexagonal regular. 
𝐴𝑏 =
6𝑙²√3
4
=
6. (0,6)²√3
4
=
6.0,36√3
4
= 0,54√3 
Volume: 
𝑉 = 𝐴𝑏 . ℎ = 0,54√3. 10 = 5,4√3 𝑚
3 
O volume do cocho é a metade desse valor: 
5,4√3
2
= 2,7√3 𝑚³ 
 
Como 1 m³ = 1000 litros, temos que 2,7√3 𝑚3 = 2700√3 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠. 
Gabarito: b) 
46. (UEPG/2021 - adaptada) Duas avenidas, não perpendiculares, partem de um 
mesmo ponto A e cortam duas ruas paralelas. Na primeira avenida, os quarteirões 
determinados pelas ruas paralelas medem 20 m e 50 m, respectivamente, e na segunda 
avenida esses quarteirões determinados medem 16m e b m, respectivamente. A partir 
do que foi exposto, assinale o que for correto. 
04) O volume do paralelepípedo de dimensões b m, 30 m e 20 m é 𝟐, 𝟒. 𝟏𝟎𝟒 𝒎³. 
16) A área total do cilindro de altura 
𝒃
𝟒
 𝒎 e raio da base igual a 
𝒃
𝟏𝟎
 𝒎 é 96π m². 
Comentários: 
 Pelo Teorema de Tales: 
 
20
50
=
16
𝑏
20𝑏 = 800
𝑏 = 40
 
04) O volume do paralelepípedo de dimensões b m, 30 m e 20 m é 𝟐, 𝟒. 𝟏𝟎𝟒 𝒎³. (V) 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 134 
𝑉 = 𝑎 ⋅ 𝑏 ⋅ 𝑐 
𝑉 = 40 ⋅ 30 ⋅ 20
𝑉 = 24000
𝑉 = 2,4 ⋅ 104 𝑚³
 
16) A área total do cilindro de altura 
𝒃
𝟒
 𝒎 e raio da base igual a 
𝒃
𝟏𝟎
 𝒎 é 96π m². (F) 
𝑏
4
𝑚 ⇒ 10 𝑚 ⇒ ℎ
𝑏
10
𝑚…4 𝑚 ⇒ 𝑟
 
 
𝐴𝑇 = 2𝜋𝑟(ℎ + 𝑟)
𝐴𝑇 = 8𝜋(14)
𝐴𝑇 = 112𝜋 𝑚²
 
 
Gabarito: 04 
47. (UEPG/2021) Em um triângulo retângulo ABC, com hipotenusa 𝑨𝑩 ̅̅ ̅̅ ̅ = 𝟖, o ângulo 
formado entre a hipotenusa e o lado 𝑩𝑪̅̅ ̅̅ é 60°. Considerando que x é a medida do lado 
𝑩𝑪̅̅ ̅̅ e que y é a medida do lado 𝑨𝑪̅̅ ̅̅ , assinale o que for correto. 
01) O volume da esfera de raio igual a y cm é 256π cm³. 
02) O volume do cone de raio x cm e altura y cm é 64π cm³. 
04) Uma pirâmide quadrangular regular, cuja aresta da base mede 2x m e a altura 3 m, tem 
área total igual a 80 m². 
08) O volume do prisma triangular regular, no qual a aresta da base mede x cm e altura y cm, é 
48 cm³. 
16) A soma dos ângulos internos de um polígono que tem (x + 2) lados é 720°. 
Comentários: 
Do triângulo retângulo, temos: 
 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 135 
cos 60∘ =
𝑥
8
1
2
=
𝑥
8
𝑥 = 4
 
sen 60∘ =
𝑦
8
√3
2
=
𝑦
8
𝑦 = 4√3
 
01) O volume da esfera de raio igual a y cm é 256π cm³. (F) 
𝑉 =
4
3
𝜋𝑟3
𝑉 =
4
3
𝜋(4√3)3
𝑉 =
4
3
𝜋 ⋅ 64 ⋅ 3√3
𝑉 = 256𝜋√3 𝑐𝑚³
 
 
02) O volume do cone de raio x cm e altura y cm é 64π cm³. (F) 
𝑉 =
𝜋 ⋅ 𝑟2 ⋅ ℎ
3
𝑉 =
𝜋 ⋅ 4² ⋅ 4√3
3
𝑉 =
𝜋 ⋅ 16 ⋅ 4√3
3
𝑣 =
64√3
3
𝜋 𝑐𝑚³
 
Uma pirâmide quadrangular regular, cuja aresta da base mede 2x m e a altura 3 m, tem 
área total igual a 80 m². (F) 
 
𝑔2 = 32 + 4² 
𝑔 = 5 𝑚 
 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 136 
𝐴𝑇 = 𝐴𝑙 + 𝐴𝑏 
𝐴𝑇 = 4 ⋅
𝑏 ⋅ 𝑔
2
+ 𝑏² 
𝐴𝑇 = 4 ⋅
5 ⋅ 8
2
+ 64
𝐴𝑇 = 80 + 64
𝐴𝑇 = 144 𝑚
2
 
08) O volume do prisma triangular regular, no qual a aresta da base mede x cm e altura y 
cm, é 48 cm³. (V) 
𝑉 = 𝐴𝑏 ⋅ ℎ
𝑉 =
42√3
4
⋅ 4√3
𝑉 = 48 cm²
 
 
16) A soma dos ângulos internos de um polígono que tem (x + 2) lados é 720°. (V) 
(𝒙 + 𝟐) = 𝟔 lados 
𝑺𝒊 ⋅ 𝟏𝟖𝟎
∘(𝒏 − 𝟐)
𝑺𝒊 ⋅ 𝟏𝟖𝟎
∘(𝟔 − 𝟐)
𝑺𝒊 = 𝟏𝟖𝟎
∘ ⋅ 𝟒
𝑺𝒊 = 𝟕𝟐𝟎
∘
 
Gabarito: 24 
48. (Estratégia Vestibulares/Professor Andrew Cazemiro) A figura abaixo mostra um 
viveiro de peixes em formato de paralelepípedo regular reto. 
 
As dimensões do viveiro são 𝟓𝟎𝒎 × 𝟑𝟐𝒎 × 𝟐𝟎𝒎. Sabe-se que o viveiro contém 3/4 da 
sua capacidade preenchidos com água e areia. 
Se a razão entre os volumes de água e areia é 𝟓: 𝟏, quantos litros de água existem no 
viveiro? 
a) 𝟐 ∙ 𝟏𝟎𝟕 𝒍𝒊𝒕𝒓𝒐𝒔 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 137 
b) 𝟒 ∙ 𝟏𝟎𝟔 𝒍𝒊𝒕𝒓𝒐𝒔 
c) 𝟐 ∙ 𝟏𝟎𝟒 𝒍𝒊𝒕𝒓𝒐𝒔 
d) 𝟒 ∙ 𝟏𝟎𝟑 𝒍𝒊𝒕𝒓𝒐𝒔 
e) 𝟑, 𝟐 ∙ 𝟏𝟎𝟑 𝒍𝒊𝒕𝒓𝒐𝒔 
Comentários: 
Calculando o volume do viveiro, temos: 
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑜 𝑣𝑖𝑣𝑒𝑖𝑟𝑜 = 50 × 20 × 32 = 1000 × 32 = 32000 𝑚³ 
A quantidade de água e areia é 2/4 do total, logo: 
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 (á𝑔𝑢𝑎 + 𝑎𝑟𝑒𝑖𝑎) = 32000 ⋅
3
4
= 24000 𝑚³ 
Na razão 5:1, temos 6 partes, então podemos calcular quanto vale cada parte, através de uma 
regra de três simples: 
{
24000 𝑚³ → 6 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠
𝑥 𝑚3 → 1 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒
 
1 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 = 4000 𝑚³ 
Por fim, temos 5 partes de água, então basta efetuarmos a multiplicação: 
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 (á𝑔𝑢𝑎) = 5 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠 = 5 ∙ 4000 = 20.000 𝑚3 𝑜𝑢 20 ∙ 107 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠. 
Gabarito: a) 
49. (Estratégia Vestibulares/Professor Andrew Cazemiro) Considere as afirmativas a 
seguir: 
I. Se α e β são planos perpendiculares entre si, então o plano γ, perpendicular a α, é 
paralelo a β. 
II. Se α e β são plano perpendiculares entre si, então toda reta de um deles que for 
perpendicular à intersecção será perpendicular ao outro plano. 
III. Se 𝒓 e 𝒔 são retas distintas e perpendiculares a um plano α, então elas são paralelas 
entre si. 
Assinale a alternativa correta. 
a) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. 
b) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. 
c) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. 
d) As afirmativas I, II e III são verdadeiras. 
e) As afirmativas I, II e III são falsas. 
Comentários: 
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AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 138 
Considere a imagem abaixo: 
 
Os planos ABCD e CDEF são perpendiculares entre si. 
O plano BCFG é perpendicular a um deles, mas não é paralelo ao outro. Com isso, fica 
provado que a afirmativa I é FALSA. 
A reta CD é a intersecção entre esses planos. Verificamos então que, toda reta que pertence a 
um desses plano e, ao mesmo tempo, for perpendicular a CD, necessariamente será 
perpendicular ao outro plano. Logo, a afirmativa II é VERDADEIRA. 
DE e CF são retas distintas e perpendiculares ao plano EFGH. Podemos verificar que elas são 
paralelas entre si. Com isso, a afirmativa III é VERDADEIRA. 
Gabarito: b) 
50. (Estratégia Vestibulares/Professor Andrew Cazemiro) Um setor circular com 
ângulo central correspondente a 135° foi moldado de forma a se tornar a superfície 
lateral de um cone circular reto com √𝟓𝟓 𝒄𝒎 de altura. Com isso, a área total desse cone, 
em m², é igual a: 
a) 𝟏𝟖𝝅 
b) 𝟐𝟕𝝅 
c) 𝟑𝟑𝝅 
d) 𝟒𝟐𝝅 
e) 𝟒𝟖𝝅 
Comentários: 
O ângulo central do setor circular é 135°, que corresponde a 
3𝜋
4
 rad. 
𝜃 =
2𝜋𝑅
𝑔
=
3𝜋
4
 
2𝑅
𝑔
=
3
4
 
8𝑅 = 3𝑔 
𝑅 =
3𝑔
8
 
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ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 139 
Utilizando a relação pitagórica entre geratriz, altura e raio da base do cone, temos: 
𝑔2 = ℎ2 + 𝑅2 
𝑔2 = (√55)
2
+ (
3𝑔
8
)
2
 
𝑔2 = 55 +
9𝑔2
64
 
64𝑔2 = 3520 + 9𝑔2 
55𝑔2 = 3520 
𝑔2 = 64 
𝑔 = 8 𝑐𝑚 
Com isso, temos que 
𝑅 =
3𝑔
8
=
3.8
8
= 3 𝑐𝑚 
A área total desse cone é dada por: 
𝐴𝑡 = 𝜋𝑅. (𝑔 + 𝑅) 
𝐴𝑡 = 𝜋. 3. (8 + 3) 
𝐴𝑡 = 𝜋. 3.11 
𝐴𝑡 = 33𝜋 𝑐𝑚
2 
Gabarito: c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 15 – GEOMETRIA ESPACIAL. 140 
7. Considerações Finais 
Uma das queixas mais frequentes dos alunos sobre questões de Geometria é a 
dificuldade em “enxergar” um caminho dentro do problema proposto. 
O remédio para esse mal reside na prática. 
Após percorrer o corpo teórico presente nestas aulas, dedique-se à resolução de 
exercícios, pois são eles que permitirão que você consiga desenvoltura suficiente para resolver 
os problemas do seu vestibular em tempo hábil. 
Se surgir aquela dúvida, já sabe, é só perguntar no fórum, ok? 
Grande abraço e bons estudos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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8. Versões das Aulas 
 
Caro aluno! Para garantir que o curso esteja atualizado, sempre que alguma 
mudança no conteúdo for necessária, uma nova versão da aula será disponibilizada. 
12/05/2022: Versão original 
 
 
 
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