Tópicos especiais - Matheus Botelho

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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
SECRETARIA DA EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO TOCANTINS
PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DE CIÊNCIAS DA NATUREZA E MATEMÁTICA
MATHEUS ARAUJO BOTELHO
EXERCÍCIO – TÓPICOS ESPECIAIS DE FÍSICA
ARAGUATINS – TO
2023
MATHEUS ARAUJO BOTELHO
EXERCÍCIO – TÓPICOS ESPECIAIS DE FÍSICA
Trabalho apresentado como requisito parcial para a aprovação no módulo VII: Tópicos especiais em Física do curso de Pós-graduação em Ensino de Ciências da Natureza e Matemática, do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Tocantins, Campus Araguatins.
ARAGUATINS – TO
2023
Limitações das Leis Newtonianas
As Leis Newtonianas, embora tenham sido precursores inquestionáveis da física clássica, apresentam limitações distintas em diversos domínios, desafiando sua aplicabilidade em circunstâncias extremas. Einstein, ao discutir os alcances dessas leis, destaca que "a mecânica newtoniana se revela insuficiente em situações que envolvem partículas em movimento extremamente rápido, aproximando-se da velocidade da luz" (Einstein, 1905, p. 901).
Em escalas subatômicas, as suposições fundamentais da mecânica newtoniana são questionadas. Planck observa que "a mecânica quântica, emergente no século XX, evidencia que as propriedades clássicas perdem sua determinação em escalas muito pequenas" (Planck, 1900, p. 560). A incerteza quântica desafia, assim, a precisão e o determinismo inerentes à mecânica newtoniana.
Além disso, em sistemas de alta massa, como aqueles associados a objetos celestes massivos, as Leis Newtonianas desconsideram a curvatura do espaço-tempo, conforme previsto pela teoria da relatividade geral. Segundo Hawking, "a mecânica newtoniana revela suas insuficiências quando a gravidade atinge intensidades significativas, demandando ajustes relativísticos" (Hawking, 1988, p. 120).
Ao enfatizar essas limitações específicas, torna-se evidente que as Leis Newtonianas, embora fundamentais em inúmeros contextos, necessitam de complementos teóricos mais avançados para lidar com situações extremas e complexas na física moderna.
O princípio fundamental da Dinâmica, F = ma. Encontre a equação abaixo: x = x0 + v0t + ½ F/m t²
O Princípio Fundamental da Dinâmica, enunciado pela célebre equação F=ma, representa o cerne da mecânica newtoniana. Essa relação estabelece a ligação entre a força aplicada a um corpo e a aceleração resultante por ele experimentada. Como ressaltado por Goldstein (2002), essa premissa é fundamental para a compreensão de fenômenos dinâmicos clássicos.
Demonstração da equação
Para encontrar a equação a partir do princípio fundamental da dinâmica podemos usar as relações entre posição, velocidade, aceleração e força. A aceleração () é a segunda derivada da posição () em relação ao tempo (). Vamos proceder com os cálculos:
1. Começamos com a equação .
2. Como , podemos substituir por .
3. Multiplicamos ambos os lados da equação por para isolar a aceleração.
4. Agora, temos .
A partir daqui, podemos integrar para encontrar a relação entre 
Multiplicamos ambos os lados por e integramos duas vezes em relação ao tempo :
Isso nos dá:
Integramos novamente:
Agora, podemos ajustar as constantes de integração e usando as condições iniciais, se fornecidas. Se assumirmos que em , e , obtemos:
Substituímos essas constantes de volta na equação:
Multiplicamos ambos os lados por para simplificar:
Finalmente, multiplicamos ambos os lados por para obter a forma desejada:
Portanto, a equação pode ser obtida a partir do princípio fundamental da dinâmica, assumindo uma força constante.
Mecânica Lagrangiana
A Mecânica Lagrangiana, concebida por Joseph-Louis Lagrange no século XVIII, oferece uma perspectiva alternativa e poderosa para abordar problemas dinâmicos. Essa formulação baseia-se no Princípio de Ação Mínima, no qual o caminho seguido por um sistema físico entre dois pontos no espaço e no tempo é aquele que minimiza a integral da função lagrangiana ao longo desse caminho. Lagrange, em seu trabalho seminal "Analytical Mechanics" (1788), propôs a Equação de Euler-Lagrange como o alicerce matemático dessa abordagem. A equação descreve as trajetórias das partículas sob a influência de forças e revela uma relação fundamental entre as coordenadas generalizadas, as velocidades e as energias do sistema.
Ao contrário da abordagem newtoniana, que se concentra nas forças e acelerações, a Mecânica Lagrangiana destaca-se por sua elegância ao enfocar as coordenadas generalizadas e as energias potenciais. A Mecânica Lagrangiana, embora equivalente à formulação newtoniana, destaca-se em sua capacidade de lidar eficazmente com coordenadas generalizadas e em fornecer uma visão mais holística do comportamento dinâmico dos sistemas físicos.
História de Newton
Sir Isaac Newton, nascido em 1643, foi um dos mais influentes cientistas da história, cujas contribuições deixaram um legado duradouro na física clássica. Seu trabalho revolucionário, "Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica" (Princípios Matemáticos da Filosofia Natural), publicado em 1687, estabeleceu as Leis do Movimento e a Lei da Gravitação Universal.
Newton formulou as três Leis do Movimento, que se tornaram fundamentais para a compreensão do movimento de corpos na ausência e presença de forças. A Lei da Gravitação Universal, por sua vez, descreve a atração entre massas e proporciona uma explicação unificada para os movimentos celestes e terrestres.
Sua metodologia baseada no cálculo diferencial e integral foi essencial para suas descobertas, e Newton é reconhecido como um dos pioneiros do cálculo matemático. Suas contribuições à óptica, incluindo a decomposição da luz branca em cores do espectro visível, também evidenciam a amplitude de seus interesses científicos.
Embora suas ideias tenham sido revolucionárias, a personalidade de Newton era complexa e por vezes controversa. Suas realizações científicas, no entanto, permanecem inquestionáveis, solidificando seu lugar como um dos maiores cientistas da era moderna.
Referências
EINSTEIN, Albert. Zur elektrodynamik bewegter körper. Annalen der physik, v. 4, 1905.
GOLDSTEIN, Herbert; POOLE, Charles; SAFKO, John. Classical mechanics. 2002.
HAWKING, Stephen W.; JACKSON, Michael. A brief history of time. New York: Bantam Books, 2001.
LAGRANGE, Joseph Louis. Analytical mechanics. Springer Science & Business Media, 2013.
NEWTON, Isaac. Philosophiae naturalis principia mathematica. G. Brookman, 1833.
PLANCK, Max. On the law of distribution of energy in the normal spectrum. Annalen der physik, v. 4, n. 553, p. 1, 1901.