ANÁLISIS DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN EN ESTADO PERMANENTE

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“ANÁLISIS DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN EN ESTADO PERMANENTE” 
 
 
TRABAJO PARA ACREDITAR LA EXPERIENCIA RECEPCIONAL 
DEL PROGRAMA EDUCATIVO DE INGENIERÍA MECÁNICA ELÉCTRICA 
 
 
MODALIDAD: TESINA 
 
 
ALUMNO: 
ZAPATA CENTENO JULIO CÉSAR 
 
 
ASESOR INTERNO: 
DR. VILLAFUERTE DÍAZ RÚBEN 
 
 
ASESOR EXTERNO: 
DR. RAMÍREZ BETANCOUR REYMUNDO 
 
 
 
 
 
 
CD. MENDOZA, VER. JUNIO, 2012. 
UNIVERSIDAD VERACRUZANA 
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA ELÉCTRICA 
 
AGRADECIMIENTOS 
 
En esta experiencia universitaria y en la conclusión de esta investigación, 
han habido personas que merecen un sincero agradecimiento porque sin su 
valiosa aportación no hubiera sido posible la culminación de mi carrera profesional 
y de esta investigación. 
 
A Dios por darme una familia maravillosa, por darme la fortaleza para luchar 
cada día, por otorgarme la sabiduría que me ayudaron a cumplir esta meta y por 
sobre todas las cosas gracias por darme el mejor regalo ¡VIVIR!. 
 
A mis padres y hermanos quienes con su insistencia y motivación me 
impulsaron a continuar con mis estudios profesionales, gracias por su apoyo 
incondicional y por estar siempre conmigo a pesar de la distancia. 
 
A mi abuelita Juanita por su apoyo y confianza que depositó en mi, gracias 
por su dedicación y esmero que me alentaron a seguir adelante. 
 
A mi abuelito Gregorio (+) por su dedicación y compañía, por compartir 
momentos de alegría que llevare por siempre durante toda mi vida, gracias por 
darme el ejemplo de no rendirse nunca a pesar de las circunstancias y por ser 
para mi una inspiración de progreso. 
 
A la familia Rosas Centeno por abrirme las puertas de su hogar, por 
brindarme su confianza y por hacerme sentir como un miembro más de su familia. 
 
A la familia Sánchez Centeno por su apoyo y por estar siempre al pendiente 
de mí, por darme su amistad y su compañía en todo momento. 
 
A mis profesores que compartieron conmigo sus conocimientos y su pasión 
por la Ingeniería Mecánica y Eléctrica, gracias por aquellos momentos de 
exigencia que reclamaban esfuerzo y dedicación con el afán de convertirme en 
una persona preparada ante un mundo de nuevos retos. 
 
A mis compañeros con quienes compartí momentos de desvelos y alegrías 
con el fin de alcanzar esta meta que hoy vemos lograda. 
 
A Kary por compartir conmigo momentos de alegría y tristeza durante esta 
trayectoria universitaria, por compartir días de desvelos en el cumplimiento de 
nuestros deberes universitarios y sobre todo gracias por tu dedicación en la 
revisión ortográfica de esta investigación. 
 
 A la fundación de movilidad estudiantil de la Universidad Veracruzana por 
brindarme la oportunidad de tener esta experiencia recepcional en la Universidad 
Juárez Autónoma de Tabasco. 
 
A la familia Chan Lorenzo por su amistad y confianza que me brindaron 
durante mi estancia en la Universidad Juárez Autónoma de Tabasco. 
 
A mis asesores Dr. Reymundo Ramírez Betancour por su tiempo y 
dedicación que sirvieron de apoyo para la realización de esta Tesina, gracias por 
compartir conmigo sus conocimientos que me mostraron una nueva perspectiva 
de la Ingeniería Eléctrica y al Dr. Rubén Díaz Villafuerte por mostrarme con sus 
conocimientos lo interesante que es la ingeniería eléctrica y por su apoyo en la 
terminación de esta investigación. 
 
 
 
 
 
 
 
ÍNDICE 
 
INTRODUCCIÓN. 1 
REVISIÓN DEL ESTADO DEL ARTE. 3 
OBJETIVOS Y MOTIVACIÓN. 7 
 Objetivo general. 7 
 Objetivos específicos. 7 
 Motivación. 8 
ESTRUCTURA DE TESINA. 8 
 
CAPÍTULO I ELEMENTOS DEL SISTEMA ELÉCTRICO DE POTENCIA 
 
 1.1 GENERADOR TRIFÁSICO SÍNCRONO. 10 
 1.1.1 Principio de funcionamiento. 11 
 1.1.2 Circuito equivalente. 13 
 1.2 TRANSFORMADOR. 17 
 1.2.1 El transformador ideal. 17 
 1.2.2 Circuito equivalente real. 21 
 1.2.3 Transformador trifásico. 23 
 1.2.3.1 Características de las conexiones. 24 
 1.3 LÍNEA DE TRANSMISIÓN AÉREA. 28 
 1.3.1 Componentes de la línea de trasmisión aérea. 28 
 1.3.2 Arreglos de línea de transmisión. 31 
 1.3.2.1 Distancia media geométrica. 32 
1.3.2.2 Radio medio geométrico. 33 
 1.3.3 Arreglo de líneas de transmisión por número de 
 conductores de fase. 34 
1.3.3.1 Línea de dos conductores por fase. 34 
1.3.3.2 Línea de tres conductores por fase. 36 
1.3.3.3 Línea de cuatro conductores por fase. 38 
1.3.3.4 Línea de n conductores por fase. 39 
 1.4 CARGA. 40 
 
CAPÍTULO II PARÁMETROS DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN 
 
 2.1 RESISTENCIA. 43 
 2.2 INDUCTANCIA. 46 
 2.2.1 Inductancia interna del conductor. 47 
 2.2.2 Inductancia entre dos puntos externos. 51 
 2.2.3 Inductancia monofásica de dos conductores. 52 
 2.2.4 Enlaces de flujo dentro de un grupo de conductores. 55 
 2.2.5 Inductancia en conductores compuestos. 57 
 2.2.6 Inductancia en líneas trifásicas. 59 
 2.3 CAPACITANCIA. 63 
 2.3.1 Campo eléctrico en un conductor recto. 64 
 2.3.2 Capacitancia entre dos conductores. 65 
 2.3.3 Capacitancia trifásica con espaciamiento equilátero. 66 
 2.3.4 Capacitancia trifásica con espaciamiento asimétrico. 69 
 2.3.5 Capacitancia trifásica respecto a tierra. 72 
 2.3.6 Capacitancia en conductores agrupados. 74 
 2.4 CLASIFICACIÓN DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN. 76 
 2.4.1 Línea corta. 77 
 2.4.2 Línea media. 79 
 2.4.3 Línea larga. 81 
 2.5 POTENCIA MÁXIMA EN LA LÍNEA DE TRANSMISIÓN. 91 
 
CAPÍTULO III CÁLCULO MEDIANTE LA APROXIMACIÓN DE LÍNEA CORTA, 
MEDIA Y LARGA. 
 
 3.1 LÍNEA DE TRANSMISIÓN DE LONGITUD CORTA. 97 
 3.2 LÍNEA DE TRANSMISIÓN DE LONGITUD MEDIA. 104 
 3.3 LÍNEA DE TRANSMISIÓN DE LONGITUD LARGA. 108 
 3.4 SIMULACIÓN. 116 
 3.4.1 Incremento en la resistencia. 118 
 3.4.2 Incremento en la reactancia inductiva. 120 
 
CONCLUSIONES. 123 
 
BIBLIOGRAFÍA. 125 
 
APÉNDICE A VOLTAJES Y CORRIENTES EN CIRCUITOS TRIFÁSICOS. 
 
 A.1 Voltajes y corrientes enEstrella (Y). 128 
 A.2 Voltajes y corrientes en Delta (∆). 129 
 
APÉNDICE B POTENCIA ELÉCTRICA. 
 
 B.1 Potencia Compleja. 132 
 B.2 Conjugado de un número complejo. 132 
 B.3 Factor de Potencia. 133 
 B.4 Triángulo de Potencia. 134 
 
APÉNDICE C REPRESENTACIÓN DE VALORES EN POR UNIDAD. 
 
 C.1 Valores en por unidad. 137 
 
GLOSARIO. 144 
 
 
 
 
 
 
FIGURAS 
 
Figura 1.1. Ciclo de desfasamiento del circuito trifásico del generador. 12 
 
Figura 1.2. Corriente magnetizante. 13 
 
Figura 1.3 Circuito equivalente del voltaje de salida del generador. 15 
 
Figura 1.4. Conexiones entre los devanados del generador. 16 
 
Figura 1.5. Representación del transformador. 18 
 
Figura 1.6. Polaridad en los transformadores. 19 
 
Figura 1.7. Conexiones de polaridad en las combinaciones serie-paralelo. 20 
 
Figura 1.8. Circuito equivalente del transformador. 21 
 
Figura 1.9 Transformador Trifásico. 24 
 
Figura 1.10. Conexiones de los transformadores trifásicos. 27 
 
Figura 1.11. Relación de distancia media geométrica. 32 
 
Figura 1.12. Arreglo con dos conductores por fase. 35 
 
Figura 1.13. Arreglo en disposición equilátera con tres conductores 
por fase. 36 
 
Figura 1.14. Conductores de fase en disposición equilátera. 37 
 
Figura 1.15. Arreglo en disposición asimétrica con cuatro conductores 
por fase. 38 
 
Figura 1.16. Conductores de fase en disposición cuadrada. 39 
 
Figura 1.17. Distancia media geométrica en disposición simétrica. 40 
 
Figura 1.18. Consumo mundial de energía eléctrica por región. 41 
 
Figura 1.19. Curva diaria. 42 
 
Figura 2.1. Incremento de la resistencia en función de la temperatura. 45 
 
Figura 2.2. Campo magnético alrededor de un conductor. 47 
 
Figura 2.3. Campo magnético en un conductor. 48 
 
Figura 2.4. Enlaces de flujo debidos al conductor 1. 53 
 
Figura 2.5. Flujo dentro de un grupo de conductores. 55 
 
Figura 2.6. Línea monofásica de conductores compuestos. 58 
 
Figura 2.7. Corrección del espaciamiento asimétrico en el circuito trifásico. 60 
 
Figura 2.8. Agrupamientos típicos de conductores por fase en líneas 
de transmisión. 62 
 
Figura 2.9. Capacitancia en un conductor. 64 
 
Figura 2.10. Línea trifásica con espaciamiento equilátero. 67 
Figura 2.11. Relación fasorial de voltajes en una línea trifásica. 68 
 
Figura 2.12. Transposición de un conductor con espaciamiento asimétrico. 70 
 
Figura 2.13. Capacitancia con respecto a tierra. 72 
 
Figura 2.14. Línea trifásica con agrupamiento de dos conductores. 74 
 
Figura 2.15 Circuito equivalente de la línea de transmisión corta. 77 
 
Figura 2.16. Factor de potencia en líneas de transmisión. 78 
 
Figura 2.17. Circuito π nominal de la línea de longitud media. 79 
 
Figura 2.18. Diagrama de línea de transmisión con parámetros distribuidos. 82 
 
Figura 2.19. Circuito π equivalente de la línea de longitud larga. 91 
 
Figura 2.20. Potencia compleja. 93 
 
Figura 2.21. Potencia compleja desplazada al punto de origen. 95 
 
Figura 3.1. Diagrama unifilar de línea de trasmisión corta. 98 
 
Figura 3.2. Diagrama unifilar de línea de trasmisión media. 105 
 
Figura 3.3. Diagrama unifilar de línea de transmisión larga. 109 
 
Figura 3.4. Interfaz Gráfica de PSAT (IGP principal). 116 
 
Figura 3.5. Efecto de la resistencia sobre la línea de transmisión. 120 
Figura 3.6. Efecto de la reactancia inductiva sobre la línea de transmisión. 122 
 
Figura A.1 Desafamiento entre voltajes y corrientes 131 
 
Figura B.1 Respresentación del triángulo de potencias. 135 
 
Figura B.2 Triángulo de potencia bajo diferentes condiciones de carga. 136 
 
Figura C.1 Diagrama unifilar del ejemplo C.1. 139 
 
Figura C.2 Zonas de tensiones de los transformadores. 140 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TABLAS 
 
Tabla 1.1. Valores de radio medio geométrico. 34 
 
Tabla 2.1. Constantes de los conductores. 46 
 
Tabla 3.1. Reporte del sistema de flujo de potencia. 117 
 
Tabla 3.2. Efecto de la resistencia sobre la línea de transmisión. 119 
 
Tabla 3.3. Efecto de la inductancia sobre la línea de transmisión. 121 
 
Tabla C.1 Datos nominales de los Transformadores. 139 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SIMBOLOGÍA 
 
Símbolo Fórmula Significado Unidad 
f 
120
mn p 
Frecuencia Hz 
a 
p p s
s s p
N V I
N V I
  
Relación de transformación Adimensional 
Zp 2
sa Z 
Impedancia del devanado 
primario 
Ω 
n 
100%salida
salida pérdidas
P
P P


 
Eficiencia Adimensional 
VL 3V 
Voltaje de línea V 
DMG mn
ab ab abd d d  
Distancia media geométrica M 
RMG  
1
R
n
n n r

  
Radio medio geométrico M 
Rcd 1.02
A
l
 
Resistencia en cd Ω/m 
L 
I

 
Inductancia h/m 
XL 2 fL Reactancia inductiva Ω/m 
Cn 
n
Q
V
 
Capacitancia F/m 
XC 1
2 nfC
 
Reactancia capacitiva Ω/m 
Z R j L Impedancia serie Ω 
Y 
nG j C Admitancia en paralelo Siemens 
Zc Z
Y
 
Impedancia característica Ω 
A cosh l Constante A Adimensional 
B sinhcZ l Constante B Ω 
C sinh
c
l
Z

 
Constante C Siemens 
D cosh l A  Constante D Adimensional 
 j  Constante de propagación Adimensional 
S 
R R R RV I P jQ
   Potencia aparente VA 
PR cosR R RV I  Potencia activaW 
QR sinR R RV I  Potencia Reactiva VAR 
FP 
cosR R
P
S
 
Factor de potencia Adimensional 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESUMEN 
 
El contenido de la siguiente investigación hace énfasis la importancia que adquiere 
la línea de transmisión al transmitir potencia eléctrica por medio de conductores 
aéreos, dicha investigación parte del desarrollo histórico de la energía eléctrica 
hasta llegar a lo que hoy se conoce como Sistema Eléctrico de Potencia, 
describiendo las características principales de los componentes que integran este 
sistema, pero destacando los elementos y características de la línea de 
transmisión. La línea de transmisión puede adquirir diferentes arreglos entre sus 
conductores de los cuales los más utilizados en la práctica son los de dos, tres y 
cuatro conductores por fase, a partir de estos arreglos se desarrollan los cálculos 
de radios y distancias medias geométricas que son útiles para determinar los 
parámetros de inductancia y capacitancia. Por otro lado, como parte principal de 
estudio se describen los parámetros de: i) resistencia y los factores que la 
incrementan, ii) de inductancia y iii) capacitancia con sus respectivos desarrollos 
de ecuaciones para determinarlas, los cuales intervienen en el comportamiento 
que adquiere la línea de transmisión. El cálculo de la línea de transmisión se 
realiza a partir de la clasificación de líneas cortas, medias y largas mediante un 
modelo de constantes generalizadas interpretadas como A, B, C y D, del mismo 
modo el cálculo de potencia máxima transmitida a través de la línea de 
transmisión se realiza mediante este mismo modelo. 
 
Con la intención de poner en práctica las ecuaciones desarrolladas y mostradas 
en esta investigación, las cuales fueron consultadas de diferentes fuentes 
bibliográficas, se resuelven problemas de líneas de transmisión en sus diferentes 
clasificaciones, mediante la técnica de cálculo por unidad. Finalmente se emplea 
un software de simulación para variar los parámetros de la línea de transmisión y 
poder así observar su comportamiento, en este caso, cuando cualquiera de sus 
parámetros tienda a incrementarse. 
 
 
 
1 
INTRODUCCIÓN 
 
La electricidad se ha convertido en una parte esencial en nuestras actividades 
diarias, las cuales van desde el uso industrial como el alumbrado, los motores 
eléctricos, sistemas de aire acondicionado, refrigeración, hasta las actividades 
más básicas de uso doméstico como por ejemplo escuchar la radio, encender la 
televisión o cargar un teléfono celular llegando a considerarse en las sociedades 
desarrolladas un bien de consumo esencial [1]. 
 
Entre los siglos XIX y XX el desarrollo de la electricidad fue en aumento 
permitiendo grandes impulsos que favorecieron al sector industrial, por ello 
actualmente las centrales de generación eléctrica son instalaciones industriales 
de gran complejidad dotadas de nuevas y mejores tecnologías para el control de 
la producción de la energía eléctrica. El estudio de los sistemas para la 
producción de la electricidad permite mantener el equilibrio dinámico entre 
producción y demanda, esto debe contemplar el echo que la electricidad debe 
producirse y transportarse en el mismo momento en el que es consumida, sin 
embargo las pérdidas eléctricas que se producen en el transporte de la energía 
eléctrica son de gran importancia sobre todo en las líneas de transmisión por ser 
los elementos encargados de transportar la energía eléctrica a grandes 
distancias. 
 
Las líneas de transmisión son visiblemente aquellas estructuras metálicas con 
conductores colgantes que se extienden a varias decenas o cientos de kilómetros 
de longitud cumpliendo la finalidad de transportar grandes cantidades de energía 
eléctrica desde de los centros de generación a los diferentes centros de consumo 
que integran la red del sistema eléctrico. En las líneas de transmisión se 
presentan mayores pérdidas de energía eléctrica que en cualquier otro elemento 
que integran al Sistema Eléctrico de Potencia (SEP), de tal manera resulta de 
suma importancia estudiar las causas que ocasionan pérdidas de energía. Los 
parámetros de la línea de transmisión ocasionan caídas de tensión que se hacen 
 
2 
evidentes al final de la línea de transmisión, por ello los estudio de estos 
parámetros son pertinentes en el cálculo de caídas de tensión que se presentan 
en los conductores de la línea de transmisión, esto nos permite determinar el nivel 
de tensión en el extremo generador de la línea de transmisión debido a las 
pérdidas producidas por estos parámetros. Como se apreciará en los Capítulos 
siguientes los parámetros juegan un papel importante en el estudio de transporte 
de energía eléctrica, sin embargo no se pueden mencionar los efectos de la línea 
de transmisión sin antes describir la importancia de la línea de transmisión como 
parte del SEP. 
 
La fuente de energía eléctrica ha evolución y desarrollado rápidamente desde la 
invención del primer generador por Thomas Alva Edison. Hoy en día los sistemas 
eléctricos industriales orientados a la producción, el transporte y el consumo de la 
energía eléctrica son muy complejos a los conocidos en un principio; sin embargo 
el propósito de transportar potencia eléctrica sigue siendo el mismo, de tal forma, 
se puede entender al SEP como el encargado de suministrar la energía necesaria 
en el momento adecuado en el que la demanda energética lo requiera, por lo que 
es necesario generar, transmitir y distribuir la energía eléctrica desde centros de 
generación, ubicados en base a la disponibilidad de los recursos naturales y 
materias primas que se utilizan para la producción de energía eléctrica, hasta los 
centros de consumo, considerando en todo momento las restricciones 
económicas, de seguridad, confiabilidad y de calidad del servicio [1, I]. 
 
La producción de la energía eléctrica se realiza en centrales eléctricas, llámense 
centrales hidroeléctricas, termoeléctricas, nucleares, eólicas, etc. A niveles de 
tensión proveniente de los generadores entre los 6 y 20 kV típicamente, 
posteriormente los transformadores de potencia se encargan de elevar la tensión a 
niveles considerados para transmisión, sólo en México se consideran niveles de 
161, 230 y 400 kV, finalmente los niveles de tensión alcanzados para transmisión 
son conectados a las redes eléctricas mediante líneas de transmisión que se 
interconectan con los puntos de consumo por medio de transformadores 
 
3 
nuevamente, estos a su vez reducen la tensión para una red de distribución 
integrada con líneas de subtransmisión a niveles de tensión de 138, 115, 85, y 69 
kV y con líneas de distribución a niveles de tensión de 34.5, 23, 13.8, 6.6, 4.16 y 
2.4 kV adecuados para el consumo energético en México [IV]. 
 
Aunque las líneas de transmisión son físicamente los elementos más simples no 
las hace las menos importantes dentro del SEP, de echo no se podría clasificar 
por importancia los componentes que integran a dicho sistema (generador, 
transformador, línea de transmisión y carga) debido a que si se tiene en cuenta 
que la ausencia de alguno de estos en cualquier punto de la red perjudicaría o 
interrumpiría el flujo de potencia eléctrica que requiere la demanda en los centros 
de consumo afectando a su vez en cierta medida a todo el Sistema Eléctrico de 
Potencia. 
 
 
REVISIÓN DEL ESTADO DEL ARTE 
 
La electricidad ha evolucionado constantemente desde sus primeros indicios, en 
[5] se muestra el desarrollo histórico de la electricidad desde su primer 
descubrimiento en forma estática permanentemente almacenada en los objetos, 
comúnmente conocida como electricidad estática. Esto fue descubierto por Tales 
de Mileto en los años 600 A.C, su descubrimiento consistió en que si se frota el 
ámbar con un paño de lana este atraparía pequeñas partículas existentes 
alrededor del pañode lana. Sin embargo Mileto no pudo explicar el porqué de ese 
fenómeno, mil años después en 1660 el físico ingles William Gilbert continuó con 
los estudios a cerca del ámbar percatándose de que algunas otras sustancias se 
comportaban como el ámbar atrayendo a sustancias como el vidrio o azufre y que 
otras como el cobre y la plata no ejercían atracción, en estos años surge por 
primera vez la palabra electricidad derivada de la palabra griega elektrom cuyo 
significado es ámbar. Gilbert y otros científicos de su época consideraban que la 
electricidad era un fenómeno que entraba en el ámbar cuando se le frotaba, pero 
 
4 
del mismo modo a las investigaciones por Mileto, estos científicos no pudieron dar 
respuestas que explicaran ese fenómeno. Años mas adelante en 1776 surgen 
nuevas investigaciones realizadas por Benjamín Franklin en las que afirmaba que 
la electricidad es un fenómeno natural presente en todos los objetos en mayor o 
en menor proporción en unos más que otros, dando el nombre a la parte 
mayoritaria como positiva y a la de menor proporción como negativa, hoy en día 
se siguen utilizando estos dos términos pero con una interpretación diferente a la 
de ese tiempo conocida, Franklin relacionó el ámbar con las descargas eléctricas 
de un rayo que cae sobre la tierra, este aspecto fue fundamental para revelar los 
secretos de la carga eléctrica, en 1752 Franklin realizó un experimento que 
consistió en volar un cometa (papalote) en medio de una tormenta eléctrica para 
comprobar que el rayo era electricidad y lo comprobó al hacer pasar a este por la 
cuerda húmeda a la cual se le había atado una llave metálica, cuando el rayo toco 
la lleve a través del cordón se produjeron chispas como ocurría con el ámbar 
cuando era frotado, gracias a este experimento se invento el pararrayo que hoy 
en día es utilizado como sistema de protección contra descargas eléctricas en las 
líneas de transmisión. En 1780 el Conde Alessandro Volta no sólo se conformó 
con saber que el fenómeno de la electricidad existe en la naturaleza, si no que tal 
fenómeno se podía producir por reacciones químicas mediante dos placas una de 
zinc y la otra de cobre ambas sumergidas en acido sulfúrico además logró 
almacenar la electricidad producida en la reacción química en unos aparatos a los 
que nombró pilas, este mismo científico introdujo el término de corriente a la 
acción que se producía en la reacción química. En estos mismos años Georg 
Simón Ohm asentó las bases relacionadas al estudio de la circulación de las 
cargas eléctricas sobre materiales conductores y años después en 1819 se 
comienzan a realizar estudios sobre el magnetismo, Hans Oersted descubrió que 
una aguja magnética colgada sobre un anillo se movía cuando una corriente se 
hacia pasar próxima a ella, fue este científico quien postuló que la corriente 
eléctrica producía efectos magnéticos lo que oriento a la invención del telégrafo y 
ayudar a deducir a André Ampere que las corrientes eléctricas debían 
comportarse del mismo modo que los imanes, posteriormente Michel Faraday 
 
5 
utilizó un anillo de hierro con carretes de cobre enrollados a su alrededor y 
separados por bramante, fue así como descubrió la inducción electromagnética, 
tal experimento se considera como el primer transformador realizado, si embargo 
no tuvo alguna aplicación debido a que aun no se disponía de corriente alterna, 
sus investigaciones establecieron algunas terminologías que hoy en día aun se 
utilizan tales como: electrólito, electrólisis, ánodo y cátodo. Los experimentos 
relacionados al transformador continuaron con el croata Nikola Tesla que pensó 
que algún día la fuerza de los rayos podría ser utilizada, estas imaginaciones lo 
llevaron a realizar un nuevo transformador que lo nombro como carrete de Tesla, 
este transformador produce las altas frecuencias que se utilizan en la radio y 
televisión. En 1873 los experimentos de Faraday se establecieron 
matemáticamente gracias a James Maxwell presentando así las ecuaciones que 
unifican los comportamientos eléctricos, magnéticos y su desplazamiento en el 
espacio en forma de ondas. Años más tarde el electrón fue descubierto por J.J 
Thomson en 1897, quien observó mediante rayos catódicos que esta partícula 
diminuta forma parte del átomo con carga negativa produciendo electricidad 
cuando es obligado a moverse de un átomo a otro [5]. 
 
A partir de estos estudios surgieron los primeros intentos por crear sistemas 
eléctricos, alrededor de los años 1870, los cuales consistían únicamente en 
generadores individuales de corriente directa (cd) que alimentaban de forma 
particular a la carga [1, 5]. En 1882 se introduce en Manhattan, Nueva York el 
primer generador de Edison movido por una turbina de vapor capaz de producir 
una tensión de 100 Vcd para alimentar 400 lámparas de 800 W cada una, poco 
después en Londres entra en funcionamiento una central con capacidad de 60 kW 
a una tensión de 100 Vcd, pronto este pequeño sistema de generación y 
distribución fue adoptado por todo el mundo con fines exclusivamente de 
iluminación. En Francia entre los años 1883-84 la generación y distribución de 
energía eléctrica empieza a revolucionarse con la invención del transformador, 
este nuevo elemento del sistema eléctrico permitía elevar la tensión generada 
hasta 18 kV en corriente alterna (ca) a circuito monofásico, con esta nueva 
 
6 
tendencia se consigue reducir las pérdidas eléctricas y caídas de tensión que se 
manifiestan en el transporte de la energía a larga distancia [1]. Fue en 1981 
cuando se realizó por primera vez el transporte de energía trifásica a una 
distancia próxima a los 175 Km, que comprendía entre la central hidroeléctrica de 
Lauffen y la Exposición Internacional de Fráncfort situadas en Alemania, a partir 
de este momento surge el interés por elevar aún más los niveles de tensión 
debido a que la capacidad de transporte de energía aumenta proporcionalmente 
con el cuadrado de la tensión mientras que los costes por unidad de potencia 
transportada disminuye con la misma, en 1922 se alcanzó una tensión puesta en 
servicio de 245 kV que hasta hoy en día no ha dejado de aumentar. Otro aspecto 
importante que se consideró en esos años fue la frecuencia a la que oscila la 
tensión alterna. Con el aumento de la frecuencia se consigue la construcción más 
compacta de los equipos de generación y consumo, sin embargo se aumentan las 
caídas de tensión en las líneas de transporte, posteriormente se logró adoptar la 
frecuencia de 60 Hz en los países de América del Norte, América Central y 
algunos países de América del Sur, mientras que para los otros países restantes 
del mundo se adopta una frecuencia de 50 Hz. 
 
La presente investigación muestra la importancia de los parámetros y el cálculo de 
líneas de transmisión dentro del SEP, los cuales se obtuvieron de libros 
relacionados al análisis de Sistemas Eléctricos de Potencia y redes eléctricas en 
[1, 8, 9 y 11] se realiza un desarrollo apropiado de las ecuaciones que tienen como 
finalidad obtener la magnitud de voltajes y corrientes en los extremos de la línea 
de transmisión, además en estas mismas referencias se describen y desarrollan 
las ecuaciones referentes a los parámetros de líneas de transmisión, sin embargo 
en [8 y 9] se desarrollan ecuaciones más detalladamente de radios y distancias 
medias geométricas según sea el tipo de arreglo de la línea de transmisión. 
 
En la parte final de esta investigación se realizan problemas de líneas de 
transmisión, que con el propósito de simular cada uno de sus parámetros se 
emplea la herramienta de simulación PSAT, la descripción y modo de empleo de 
 
7 
esta herramienta se obtiene en [III], además en esta misma referencia se describe 
el modo de instalación para la aplicación en MATLAB. 
 
 
OBJETIVOS Y MOTIVACIÓN 
 
Objetivo general 
 
Analizar los parámetros y ecuacionesde líneas de transmisión que intervienen en 
el cálculo de caídas de tensión en líneas de transmisión al transportar corriente 
eléctrica. 
 
 
Objetivos específicos 
 
1. Describir el funcionamiento de los componentes que integran al Sistema 
Eléctrico de Potencia. 
 
2. Desarrollar las ecuaciones que describen la disposición geométrica de los 
conductores de la línea de transmisión. 
 
3. Analizar y establecer las ecuaciones que permitan determinar cada uno de 
los parámetros presentes en las líneas de transmisión. 
 
4. Establecer las ecuaciones para la determinación de voltajes y corrientes en 
el extremo emisor y receptor de la línea de transmisión. 
 
5. Resolver problemas característicos de líneas de transmisión empleando el 
cálculo en valores por unidad (p.u.). 
 
 
8 
Motivación 
 
La electricidad es factor de progreso y bienestar en todas las actividades de la 
sociedad moderna, esta fuente de energía se ha convertido en una necesidad 
básica en el cumplimiento de los deberes sociales, por tales motivos esta fuente 
de energía requiere de un gran esfuerzo del ser humano por mantener los 
sistemas de producción, transporte y distribución operando en las mejores 
condiciones posibles, sin embargo esto no podría ser posible sin el debido estudio 
de Sistemas Eléctricos de Potencia. Dichos estudios consideran el incremento en 
la demanda energética, que se produce sobre todo en países en pleno desarrollo 
tecnológico o poblacional y por la necesidad de transporta mediante algún medio 
grandes cantidades de potencia eléctrica de forma confiable, segura, eficaz y 
económica [1, I]. 
 
Las líneas de transmisión aéreas han permitido cumplir muy bien la función de 
transportar grandes volúmenes de potencia eléctrica de manera segura, eficaz y 
económica, la cual se ha conseguido reduciendo las perdidas eléctricas de 
transmisión, mediante el transporte a niveles muy altos de tensión, reduciendo así 
los costos económicos de producción que resultan de una regulación eficiente de 
los recursos materiales y humanos involucrados en la producción, transporte y 
distribución [1, 5]. Por tal motivo resulta de suma importancia el análisis de la línea 
de transmisión. 
 
 
ESTRUCTURA DE TESINA 
 
La estructura de la presente investigación consta de los siguientes Capítulos: 
 
Capítulo I. Se realiza una breve descripción de los componentes principales que 
integran al Sistema Eléctrico de Potencia, así como también la descripción de los 
elementos que integran la línea de transmisión aérea y por último se desarrollan 
 
9 
las ecuaciones para el cálculo de Distancia Media Geométrica ( DMG ) y Radio 
Medio Geométrico ( RMG ). 
 
Capítulo II. Se estudian los parámetros de líneas de trasmisión mediante un 
desarrollo minucioso de las ecuaciones que modelan a estos parámetros, del 
mismo modo se establecen las ecuaciones para el cálculo de líneas de 
transmisión. 
 
Capítulo III. Se realizan cálculos de líneas de transmisión haciendo énfasis en las 
ecuaciones determinadas en el Capítulo II, además se hace una breve descripción 
de la importancia que tienen los programas de simulación, dentro del estudio de 
Sistemas Eléctricos de Potencia, destacando el uso de la herramienta de 
simulación PSAT, mediante la solución de problemas de flujos de potencia 
orientados al cálculo de líneas de transmisión. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
CAPÍTULO I 
ELEMENTOS DEL SISTEMA ELÉCTRICO DE POTENCIA 
 
 
El Sistema Eléctrico de Potencia tiene como propósito la distribución y 
comercialización de la energía eléctrica, minimizando el impacto medioambiental y 
garantizando el impacto competitivo de la energía eléctrica a largo plazo, sin 
embargo la importancia del impacto medioambiental va más encaminado a la 
producción de la energía eléctrica mediante centrales termoeléctricas, por lo que 
se requiere un aprovechamiento óptimo de los recursos naturales empleados para 
la producción de la energía eléctrica. La escases y explotación de esos recursos 
ha ocasionado la búsqueda de nuevas fuentes primarias sustentables y limpias 
que hoy por hoy son el potencial hidroeléctrico y mini hidroeléctrico, geotérmico, 
eólico, solar, bioenergética y en particular la nuclear moderna utilizadas para la 
producción industrial de la energía eléctrica [I]. 
 
Por otro lado, la optimización de los recursos naturales también se ha logrado 
gracias al avance y la buena operación de los elementos que integran al Sistema 
Eléctrico de Potencia los cuales son: generadores, transformadores, líneas de 
transmisión y los puntos de carga (demanda) [1], dichos elementos se describen 
en las siguientes Secciones. 
 
 
1.1. GENERADOR TRIFÁSICO SÍNCRONO 
 
El generador síncrono es el elemento principal del SEP, cuya función es producir 
la energía eléctrica a partir de diferentes fuentes de energía que accionan el 
movimiento de la turbina (o primo motor), la cual puede ser un motor diesel, 
turbina de vapor, turbina hidráulica o entre otras máquinas similares. 
Independientemente de la fuente de energía mecánica que se empleé, el 
 
11 
generador síncrono debe mantener su velocidad y voltaje generado constantes a 
pesar de las variaciones en la potencia eléctrica demandada por los 
consumidores. 
 
 
1.1.1. Principio de funcionamiento 
 
Los generadores trifásicos síncronos están constituidos principalmente por un 
estator, rotor y una fuente de excitación de cd, la cual puede ser un generador 
pequeño de cd montado sobre la flecha del rotor o una fuente externa de cd 
conectada al devanado de campo. Un generador trifásico consta de tres 
devanados de armadura (correspondiente a cada una de sus fases) distribuidos 
sobre el estator y un devanado de campo enrollado sobre el rotor que puede ser 
de dos tipos: i) rotor de polos salientes, cuando su construcción sea de más de 
cuatro polos y opere a velocidades de media a baja y ii) rotor cilíndrico, cuando se 
requiera altas velocidades de operación, construido de dos y cuatro polos [2, 3]. 
 
El generador síncrono por medio del devanado de campo origina un flujo 
magnético constante que se induce en los tres devanados de armadura que se 
encuentran desfasados 120o eléctricos uno con respecto a otro, originando un 
voltaje equilibrado para cada una de las fases del generador (ver Apéndice A) [4]. 
 
El ciclo que cubre la fase A, B y C del generador se muestra en la figura 1.1. 
 
12 
 
 
Figura 1.1. Ciclo de desfasamiento del circuito trifásico del generador. 
 
 
Los métodos más comunes para aplicar corriente directa al devanado del rotor son 
[4]: 
 
1. De forma externa por medio de anillos rozantes y escobillas. 
 
2. De forma interna por medio de un generador de cd montado sobre el eje del 
generador. 
 
La frecuencia eléctrica del voltaje generado esta estrechamente relacionada con el 
número de polos y las revoluciones del rotor [2, 4] 
 
 
120
mn pf  (1.1) 
 
donde f es la frecuencia eléctrica, mn la velocidad del campo magnético en 
/ minr y p es el número de polos. 
 
 
 
13 
Por otro lado, el voltaje generado se produce por la velocidad a la que son 
cortadas las líneas de flujo originadas en el devanado de campo. Al mismo tiempo 
el flujo depende de la corriente de magnetización del circuito de campo (Im) de tal 
forma que el voltaje 
AE varía a razón del incremento de esta corriente (ver figura 
1.2), esto se conoce como curva de magnetización de la máquina [4]. El voltaje en 
el generador se determina por, 
 
 AE K   (1.2) 
 
donde AE es el voltaje interno generado, K la constante de construcción de la 
máquina,  es el flujo de la maquina y  la velocidad de rotación. 
 
 
 
 
Figura 1.2. Corriente magnetizante. a) Relación flujo-corriente de campo del generador 
síncrono y b) Curva de magnetización de la máquina síncrona. 
 
 
1.1.2 Circuito equivalente 
 
Normalmenteel voltaje AE es diferente al voltaje de salida (V ) del generador. El 
único momento en que el voltaje AE es igual al voltaje V de una fase es cuando 
no fluye corriente de armadura ( AI ) en la máquina, esto quiere decir que cuando el 
 
14 
generador trabaja en vacío o sin carga los voltajes AE y V son idénticos. Las 
causas que ocasionan la diferencia entre AE y V son las siguientes [4]: 
 
1. La distorsión del campo magnético del entrehierro debido a la corriente que 
fluye del estator, llamada reacción del inducido. 
 
2. La autoinductancia de las bobinas del inducido, y 
 
3. La resistencia de las bobinas del inducido. 
 
La primera causa es la más importante y ocurre cuando se conecta una carga a 
las terminales del generador, esta carga produce un campo magnético que se 
opone y distorsiona al campo magnético original alterando los voltajes de fases 
resultantes. El campo magnético del estator ( est ) produce su propio voltaje en el 
interior del generador ( estE ) estos dos nuevos valores dan como resultado un 
campo magnético neto ( net ) y un voltaje de salida V respectivamente, ver 
ecuaciones (1.3) y (1.4). La segunda causa se da a consecuencia de la primera, 
debido a que se forma una inductancia en el estator y esta a su vez conlleva una 
reactancia inductiva. La tercera causa es de forma natural dada por las 
propiedades del material conductor. 
 
 A estV E E   (1.3) 
 
 estnet  (1.4) 
 
El voltaje de salida se puede determinar por medio de la ley de voltajes de 
Kirchhoff, colocando en serie las reactancias y resistencias que se producen en el 
interior del generador como se muestra en la figura 1.3, 
 
 
15 
 
 
Figura 1.3 Circuito equivalente del voltaje de salida del generador. 
 
 
y descrita por la siguiente ecuación [4], 
 
 A s A A AV E jX I R I    (1.5) 
 
donde Xs es la reactancia síncrona de la máquina y RA la resistencia en el estator. 
 
Los devanados del generador pueden ser conectados en estrella o en delta (ver 
figura 1.4). Según sea el tipo de conexión se puede obtener diferentes 
características en el voltaje de salida del generador, por ejemplo si se conecta en 
estrella (ver figura 1.4a) se puede obtener dos niveles diferentes de tensión 
determinados por la ecuación (1.6) y si se conecta en delta (ver figura 1.4b) el 
voltaje será el mismo dada la condición de la ecuación (1.7). Los voltajes y 
corrientes originados en las fases de salida del generador tendrán la misma 
magnitud sí la carga conectada a ellas esta balanceada. 
 
16 
 3TV V (1.6) 
 
 TV V (1.7) 
 
donde TV es el voltaje entre terminales de fases y V es el voltaje de salida en 
una sola fase. 
 
 
 
 
Figura 1.4. Conexiones entre los devanados del generador. a) Conexión en estrella y b) 
conexión en delta. 
 
 
 
 
 
17 
1.2. TRANSFORMADOR 
 
El trasformador es el elemento intermedio entre los generadores y las líneas de 
transmisión, su principal función es elevar o reducir los niveles de tensión en el 
lado secundario, por medio de la inducción magnética. Si el nivel del lado 
secundario es inferior al de entrada se dice que es un transformador reductor y es 
colocado frecuentemente al final de la línea de transmisión, en caso contrario sí el 
nivel de salida es superior al de entrada se le conoce como trasformador elevador 
y es utilizado en las centrales generadoras. 
 
Las principales ventajas que se obtienen de elevar el nivel de tensión a niveles 
muy altos es para i) reducir las pérdidas producidas por la corriente, ii) evitar las 
caídas de tensión en el extremo final de la línea de trasmisión y iii) reducir los 
costos por instalación [1, 5]. 
 
 
1.2.1. El transformador ideal 
 
El transformador ideal, es un transformador al cual para su estudio no se le 
consideran pérdidas eléctrica y consta básicamente de devanados de entrada 
(primario), devanados de salida (secundario) y el núcleo en donde se colocan los 
devanados primario y secundario [2]. En la figura 1.5 se muestra la representación 
de un transformador ideal con las principales variables que intervienen en su 
principio de transformación. 
 
 
 
 
 
 
18 
 
 
Figura 1.5. Representación del transformador. a) Representación básica del 
transformador. b) Representación esquemática del transformador ideal. 
 
 
La relación de vueltas ( a ) entre los devanados del transformador se obtiene 
mediante, 
 
 
( )
( )
p p
s s
v t N
a
v t N
  (1.8) 
 
y en términos fasoriales por las ecuaciones (1.9) y (1.10). 
 
 
p
s
V
a
V
 (1.9) 
 
 
1p
s
I
I a
 (1.10) 
 
donde PV es el voltaje del devanado primario, SV el del secundario, PI la corriente 
que fluye por el devanado primario e SI la del secundario, PN es el número de 
vueltas en el devanado primario y SN la del devanado secundario. 
 
Los ángulos de los voltajes y corrientes en el lado primario y secundario son 
idénticos debido a que una de las características del transformador es conservar 
 
19 
las propiedades de los fasores. Por este motivo los ángulos no son considerados 
en las ecuaciones (1.9) y (1.10). 
 
Es importante considerar la polaridad de los devanados del transformador, porque 
si se conectan con polaridades contrarias las tensiones inducidas se opondrán 
entre si, y se tendría como resultado un voltaje igual a cero. Para que esto no 
ocurra es común en la práctica marcar las polaridades del transformador desde su 
construcción [2]. Observe en las figuras 1.6 y 1.7 la forma de conexiones de 
polaridad entre los devanados del transformador. 
 
Por otro lado, la potencia del transformador ideal se adquiere a partir de 
 
 cosentrada p p pP V I  (1.11) 
 
 cossalida s s sP V I  (1.12) 
 
donde 
p y S son los ángulos obtenidos de la impedancia de los devanados 
primario y secundario respectivamente. 
 
 
 
 
Figura 1.6. Polaridad en los transformadores. a) Polaridad aditiva y b) Polaridad 
sustractiva. 
 
 
 
20 
 
 
Figura 1.7. Conexiones de polaridad en las combinaciones serie-paralelo. a) Serie-Serie, 
b) Serie-Paralelo, c) Paralelo-Serie y d) Paralelo-Paralelo. 
 
 
Debido a que el transformador se considera ideal, tanto la potencia de entrada 
como la de salida deberán ser la misma [2], por lo que es posible determinar la 
potencia a la que opera el transformador mediante las ecuaciones (1.11) y (1.12) 
 
Por otro lado, la impedancia del devanado primario y secundario de obtienen de 
 
 
p
p
p
V
Z
I
 (1.13) 
 
 s
s
s
V
Z
I
 (1.14) 
 
De tal forma que al sustituir PV = VS.a e PI = IS /a en la ecuación (1.13) se obtiene 
que 
 
 
21 
 2p sZ a Z (1.15) 
 
 
1.2.2. Circuito equivalente real 
 
El circuito equivalente real se caracteriza por representar las principales 
características que ocasionan pérdidas eléctricas en un transformador real (ver 
figura 1.8) [2, 4], tales como la resistencia y reactancia de los devanados primario 
y secundario y las pérdidas producidas por los fenómenos de histéresis y 
corrientes parásitas, comúnmente conocidas como pérdidas en el hierro del 
transformador. 
 
 
 
 
Figura 1.8. Circuito equivalente del transformador. a) Circuito equivalente del 
transformador de potencia, b) Circuito con resistencias y reactancias agrupadas y c) 
Circuito con la corriente magnetizante despreciable. 
 
22 
La figura 1.8a representa al transformador en vacío como a plena carga. Si el 
transformador opera en vacío no existe flujo de corriente por el devanado 
secundario e 1I será igual a cero, circulando solamente corriente de 
magnetización con una pequeña caída de tensión debido a la impedancia del 
devanado primario (Rp + jXp), por tal forma se considera que 1 mI I . Ahora bien al 
mover la rama que está en paralelo junto al voltaje PV (ver figura 1.8b) se pueden 
agrupar las resistencias de los devanados primario y secundario, este arreglose 
realiza debido a que la corriente en la rama paralela es muy pequeña y por ello 
puede despreciarse (ver figura 1.8c). Lo anterior se representa por las ecuaciones 
(1.16) a (1.18) [2]. 
 
 2ep p sR = R + a R (1.16) 
 
 2ep p sX = X + a X (1.17) 
 
 
ep ep epZ = R + jX (1.18) 
 
donde ,p pR X y ,s sR X representan la resistencia y reactancia del devanado 
primario y secundario respectivamente, 
epR y epX representan la resistencia y 
reactancia equivalentes referida al devanado primario y epZ es la impedancia 
equivalente referida al devanado primario. 
 
La eficiencia del transformador (n) se determina a partir de la potencia que entrega 
el transformador y de la potencia originada por las pérdidas en el núcleo, ver 
ecuación (1.19). Frecuentemente, el valor de la eficiencia sirve como indicador de 
las condiciones en la que opera la máquina eléctrica (generador, transformador, 
etc.) [2, 4]. 
 
 
23 
100%salida
salida pérdidas
P
n
P P
 

 
 
 
2
cos
100%
cos
s s s
s s s es
V I
n
V I pérdidas en el hierro I R


 
   
 (1.19) 
 
Por otro lado, la regulación de voltaje ( %VR ) es la relación entre el voltaje de 
salida nominal ( SnomV ) y el voltaje de salida a plena carga ( ScarV ). 
 
 % 100Scar Snom
Snom
V V
VR
V

  (1.20) 
 
 
1.2.3. Transformador trifásico 
 
El transformador trifásico, se considera como un conjunto de tres transformadores 
monofásicos de características similares (ver figura 1.9a). Sin embargo, la 
fabricación de los transformadores trifásicos se realiza instalando los tres 
devanados en un mismo núcleo, como se muestra en la figura 1.9b [2]. Estos tipos 
de transformadores soy muy eficientes y actualmente son muy utilizados en la 
transmisión y distribución de la energía eléctrica debido a las diferentes ventajas 
que se obtienen de las distintas conexiones que se realizan entre sus devanados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
 
 
Figura 1.9. Transformador trifásico. a) Transformadores monofásicos y b) Transformador 
trifásico en un mismo núcleo. 
 
 
1.2.3.1. Características de las conexiones 
 
Cuando se inicia el estudio de circuitos trifásicos es necesario tener en claro los 
conceptos de voltajes de línea ( LV ) y voltajes de fases (V ) para no provocar 
errores significativos en el análisis. Un voltaje de línea es aquel que se obtiene de 
entre dos polos positivos (fases), mientras que el voltaje de fase resulta sólo de 
una fase y su polo negativo (neutro o tierra). 
 
Las conexiones que se realizan entre los devanados del transformador trifásico, 
(ver figura 1.10) [2, 3] son: 
 
 Estrella – Estrella (Y-Y) 
 
 Estrella – Delta (Y-∆) 
 
 Delta – estrella (∆-Y) 
 
 Delta – Delta (∆-∆) 
 
 
25 
Conexión Y-Y. El voltaje de fase del devanado primario (
pV ) se obtiene de la 
ecuación (1.21), mientras que el voltaje de línea a línea por la ecuación (1.22). La 
principal ventaja de una conexión en Y-Y es que se obtiene un punto común entre 
devanados que puede ser conectado a tierra, además de poder obtener dos 
niveles diferentes de tensión. 
 
 
3
Lp
p
V
V  (1.21) 
 
 
3
3
Lp p
Ls s
V V
a
V V


  (1.22) 
 
Conexión Y- ∆. Este tipo de conexión suele aplicarse a condiciones reductoras. En 
el devanado primario el voltaje se mide tanto de línea a neutro como de línea a 
línea, siendo ventajoso la existencia de un punto común entre los devanados que 
puede ser conectado a tierra, la diferencia del devanado secundario es que no 
tiene un punto común de conexión entre sus devanados por lo que se considera 
que el voltaje de línea secundario ( LsV ) es igual al voltaje de fase secundario. La 
relación de voltajes para este tipo de conexión es 
 
 
3
3 
Lp p
Ls s
Lp
Ls
V V
V V
V
a
V



 (1.23) 
 
Conexión ∆-Y. Este tipo de conexión es utilizada en la práctica para satisfacer 
circuitos trifásicos como cargas monofásicas. Los voltajes de fase y línea del lado 
primario son iguales, mientras que los voltajes del lado secundario están 
 
26 
relacionados por 3Ls sV V , debido al punto común existente entre sus 
devanados. Su relación de voltaje se obtiene mediante 
 
 
3
3
Lp p
Ls s
Lp
Ls
V V
V V
V
V a



 (1.24) 
 
Conexión ∆-∆. Este tipo de conexión permite mantener equilibrado el voltaje 
trifásico en condiciones de carga no equilibradas. En una conexión ∆-∆ no existe 
voltaje de fase por el hecho de que no hay un punto común entre los devanados, 
sin embargo es común considerar la igualdad entre el voltaje de línea y fase. 
 
 y Lp p Ls sV V V V  
 
 
Lp p
Ls s
V V
a
V V


  (1.25) 
 
 
 
27 
 
 
Figura 1.10. Conexiones de los transformadores trifásicos. a) Estrella-Estrella, b) Estrella-
Delta, c) Delta-Estrella y d) Delta-Delta. 
 
 
 
28 
1.3. LÍNEA DE TRANSMISIÓN AÉREA 
 
La línea de transmisión es el elemento encargado de transportar la potencia 
eléctrica proveniente directamente de los transformadores hasta los centros de 
consumo. Se constituye principalmente por conductores, estructuras metálicas, 
aisladores y equipos de protección que permiten interconectar sistemas de redes 
eléctricas de los centros de generación a los diferentes centros de consumo, 
distribuyendo potencia eléctrica a grandes distancias con un menor índice de 
pérdidas eléctricas y económicas. 
 
 
1.3.1. Componentes de la línea de trasmisión aérea 
 
A continuación se hace una breve descripción de los componentes que integran la 
línea de transmisión aérea. 
 
 Estructura metálica 
 
Es el medio que soporta a los conductores, a través de los aisladores, permitiendo 
el espaciamiento entre conductores de fase y de línea, además de acuerdo a la 
altura de la estructura se fija la distancia que existe entre los conductores y el 
suelo. La estructura es construida de acero galvanizado, estas poseen gran 
resistencia a condiciones atmosféricas como lo son la corrosión y los fenómenos 
naturales [5, 6]. 
 
 Conductores 
 
Es el medio por el cual se transporta la potencia eléctrica de un punto a otro, los 
materiales empleados son el cobre y el aluminio ya que poseen baja resistencia al 
paso de la corriente eléctrica y además son económicos comparados con la plata 
que posee menor resistencia, pero es muy costosa. Otro material utilizado en los 
 
29 
conductores es el acero, su uso es para aportar mayor resistencia mecánica 
cuando es utilizado en conjunto con los anteriores materiales [7, 8]. 
 
Los conductores de la línea de transmisión se fabrican en capas de hilos 
trenzados en direcciones opuestas para impedir que las capas se desenrollen y 
otorgar mayor flexibilidad en conductores de diámetros grandes. Los conductores 
se designan en relación a su número de hilos conductores y de refuerzo, por 
ejemplo una designación 24/7 indica que hay 24 hilos conductores con 7 hilos de 
alma o de refuerzo [9]. 
 
Los tipos de conductores normalizados internacionalmente se describen a 
continuación: 
 
 Conductores de cobre 
 
Es un conductor formado por varillas de acero cubiertas de una gruesa capa de 
cobre que proporcionan la resistencia eléctrica y mecánica adecuada para su 
operación. Los conductores de cobre (también llamados Copperweld) se fabrican 
de dos hasta 19 alambres y son muy resistentes a la corrosión, su instalación sólo 
se emplea en zonas de alta corrosión como lo son las zonas costeras. Este tipo de 
cable ha permitido ampliar la distancia entre las estructuras metálicas 
(técnicamente conocida como vano) ya que reduce su peso hasta un 50% del 
peso del cable de cobre puro, pero mantiene las mismas características 
mecánicas que tiene el conductor de cobre puro [7]. 
 
 Conductores de aluminio 
 
Los conductores de aluminio han ido remplazando a los conductores de cobre 
debido a su menor costo y su menor ligereza. Estos cables mantienen una 
resistencia mecánicadel mismo valor que la del conductor de cobre, permitiendo 
ampliar a un más los vanos, otra ventaja es el obtener mayores diámetros de 
 
30 
conductor para una resistencia eléctrica equivalente a la del cobre, mientras mayor 
es el diámetro las líneas de flujo eléctrico se separan más en la superficie 
reduciendo así el efecto corona [7, 9]. 
 
Entre los diferentes tipos de conductores de aluminio se tienen los siguientes: 
 
a) AAC. Conductor de aluminio. 
 
b) AAAC. Conductor de aleación de aluminio. 
 
c) ACSR. Conductor de aluminio con alma de acero. 
 
d) ACAR. Conductor de aluminio con alma de aleación de aluminio. 
 
 Aisladores 
 
Sirven para soportar a los conductores de la estructura metálica, además impiden 
el movimiento longitudinal y transversal, producido por ráfagas de viento, evitando 
que se produzcan cortos circuitos por contacto entre conductores o entre la 
estructura metálica. Los aisladores deben soportar los esfuerzos mecánicos a los 
que son sometidos e impedir que exista flujo de corriente eléctrica hacia la 
estructura metálica, por lo que son construidos de materiales altamente aislantes 
como son: el vidrio, la porcelana y actualmente el plástico [1]. 
 
 Hilos de guarda 
 
Los hilos de guarda están situados por encima de los conductores de fase, su 
propósito es interceptar las descargas provenientes de rayos atmosféricos antes 
de que contacten a los conductores de fases. Los hilos de guarda se fabrican de 
acero galvanizado y algunas veces de Alumoweld o ACSR de sección menor que 
los conductores de fases, estos se conectan a la estructura metálica para enviar la 
 
31 
descarga eléctrica a tierra y así evitar daños a los componentes que integran la 
línea de transmisión [1]. 
 
 Seccionadores 
 
Son un medio de protección también llamados desconectadores o interruptores, 
sirven para permitir o interrumpir el paso de corriente, su principal función es 
proteger las fases por sobre corrientes o cortos circuitos, pueden operar en 
conjunto o independientemente [6]. 
 
 Pararrayos 
 
Es un medio de protección contra descargas atmosféricas, colocado en la parte 
más alta de la estructura metálica. El pararrayo tiene como propósito atraer los 
rayos atmosféricos, antes de que intercepten algún otro componente de la línea de 
transmisión, descargándolos a tierra por medio de la estructura metálica [6]. 
 
 Apartarrayos 
 
Este medio de protección permite descargar a tierra las sobretensiones transitorias 
producidas por descargas atmosféricas o las producidas por la línea durante la 
apertura y cierre de interruptores o por el retiro de cargas del sistema [6]. 
 
 
1.3.2. Arreglos de líneas de transmisión 
 
El arreglo en las líneas de transmisión esta relacionado por la forma geométrica en 
las que están dispuestos los conductores o grupos de conductores, en este tipo de 
estudio destaca la importancia de considerar la distancia entre conductores de 
línea, conductores de fase y los conductores de guarda, dicha relación de 
distancias se conocen como distancia media geométrica y radio medio geométrico 
 
32 
[8, 10], las cuales adquieren mayor importancia en el estudio de enlaces de flujos 
que se describen en el Capítulo II. 
 
 
1.3.2.1. Distancia media geométrica 
 
La distancia media geométrica ( DMG ) tiene gran importancia en el estudio de 
líneas de transmisión. Ayuda a determinar mediante cálculos los parámetros de 
inductancia y capacitancia que se presentan en los conductores de la línea de 
transmisión. Se conoce como distancia media geométrica a la “media geométrica 
de las distancias de un punto a cada uno de otros puntos considerados”. Por 
ejemplo en la figura 1.11 se muestra un conductor A y un grupo de conductores 
que forman la fase B, la distancia media geométrica será la distancia que hay 
entre el conductor A a cada uno de los sub-conductores de la fase B [9, 10]. 
 
 
 
 
Figura 1.11. Relación de distancia media geométrica. 
 
 
La DMG se obtiene mediante 
 
 m n ab ab abDMG d d d  (1.26) 
 
donde n y m son los números de conductores correspondientes a cada fase y d 
relaciona la distancia que existe entre conductores de línea. 
 
33 
1.3.2.2. Radio medio geométrico 
 
Otro aspecto importante que se utiliza para determinar los parámetros de 
inductancia y capacitancia es el radio medio geométrico ( RMG ) el cual representa 
la relación de distancia que existe en un mismo entorno, es decir es la distancia 
existente entre los hilos de un sólo conductor, o en el caso de estudio de líneas de 
transmisión, la distancia media geométrica entre conductores de una sola fase 
[10]. Algunos arreglos utilizados con mayor frecuencia en el transporte de la 
energía eléctrica se muestran en la Sección 1.3.3. 
 
Mediante la siguiente ecuación se determina el radio medio geométrico que tiene 
el conductor cilíndrico. 
 
 
1/n
hrRMG r n
r
 
  
 
 (1.27) 
 
donde r es el radio exterior del conductor, 
hr el radio del hilo conductor y n es el 
número de hilos por el cual está formado el conductor. 
 
La ecuación (1.27) se puede generalizar para cualquier modelado de construcción 
del conductor (por ejemplo, si se trata de un conductor hueco, cableado o macizo, 
etc.). Por otro lado, el uso de tablas simplifican el cálculo de RMG, en la tabla 1.1 
se muestran valores de radio medio geométrico de diferentes tipos de cables 
trenzados [8]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
34 
Tabla 1.1. Valores de radio medio geométrico. 
Radio medio geométrico a partir de su radio exterior ( sD ) 
Alambre cilíndrico 0.779 r 
 Cable de material único: 
7 hilos 0.726 r 
19 hilos 0.758 r 
37 hilos 0.768 r 
61 hilos 0.772 r 
91 hilos 0.774 r 
127 hilos 0.776 r 
 Conductor ACSR : 
30 hilos (2 capas) 0.826 r 
26 hilos (2 capas) 0.809 r 
54 hilos (3 capas) 0.810 r 
1 capa 0.55 a 0.70 r 
 
 
1.3.3. Arreglo de líneas de transmisión por número de 
conductores de fase 
 
Se mencionó anteriormente que el arreglo de las líneas de transmisión se basa en 
la forma geométrica en la que se disponen sus conductores, dentro de las cuales 
las más comunes son de dos, tres y cuatro conductores por fase para líneas 
trifásicas aéreas [8, 10]. 
 
 
1.3.3.1. Línea de dos conductores por fase 
 
Son líneas de transmisión en la cual se disponen dos conductores por fase, tal 
como se muestra en la figura 1.12, donde las distancias entre los conductores de 
 
35 
cada fase son simétricas, esto quiere decir que aa bb ccd d d    . 
 
 
 
 
Figura 1.12. Arreglo con dos conductores por fase. 
 
 
La DMG para las fases ,A B y C de la figura 1.12 se determinan a partir de 
 
 4 ´ ´ ´ ´ AB ab ab a b a bDMG d d d d (1.28) 
 
 4 ´ ´ ´ ´BC bc bc b c b cDMG d d d d (1.29) 
 
 4 ´ ´ ´ ´AC ac ac a c a cDMG d d d d (1.30) 
 
mientras que el RMG si A B CRMG RMG RMG  mediante 
 
  
2
4 2R' 2R'RMG r r    Cuando ´ ´ ´2R' aa bb ccd d d   (1.31) 
 
donde r es el radio del conductor y R ' es el radio que se forma entre los 
conductores de fase. 
 
 
 
 
 
36 
1.3.3.2. Línea de tres conductores por fase 
 
El modelo de la línea de transmisión de tres conductores por fase en disposición 
equilátera se muestra en la figura 1.13 y de la cual se obtienen las ecuaciones 
(1.32), (1.33) y (1.34). 
 
 
 
 
Figura 1.13. Arreglo en disposición equilátera con tres conductores por fase. 
 
 
 9 AB ab ab ab a b a b a b a b a b a bDMG d d d d d d d d d            (1.32) 
 
 9AC ac ac ac a c a c a c a c a c a cDMG = d d d d d d d d d            (1.33) 
 
 AB BCDMG DMG (1.34) 
 
Por otro lado, para el RMG de las fases A, B y C la ecuación resultante se 
obtienen del modelo de la figura 1.13, sólo si la representación es simétrica y 
considerando que los conductores son del mismo diámetropara las tres fases. 
 
 3 6 29 3' 'aa aaRMG r d rd   (1.35) 
 
 
37 
Sin embargo, es común establecer la ecuación del RMG en base al radio que se 
forma en el agrupamiento entre conductores. En la figura 1.14 se observa que el 
ángulo formado entre el conductor a y la vertical es de 60 , por lo tanto 
' 2R'sin 60 R' 3aad    y sustituyendo este resultado en la ecuación (1.35) se 
obtiene 
 
 23 3 (R')RMG r   (1.36) 
 
 
 
 
Figura 1.14. Conductores de fase en disposición equilátera. 
 
 
Por otro lado, considerando el radio y distancia entre conductores asimétrica el 
radio medio geométrico se determina de la siguiente forma 
 
 2 2 29 ´ ´́ ´ ´́ ´́ r A a a a aa aa aáRMG r r d d d (1.37) 
 
 2 2 29 ´ ´́ ´ ´́ ´ ´́ r B b b b bb bb b bRMG r r d d d (1.38) 
 
 2 2 29 ´ ´́ ´ ´́ ´ ´́ r C c c c cc cc c cRMG r r d d d (1.39) 
 
 
38 
1.3.3.3. Línea de cuatro conductores por fase 
 
En la figura 1.15 se muestra una disposición de cuatro conductores por fase 
colocados simétricamente. Las ecuaciones siguientes determinan la DMG entre 
cada una de las fases. 
 
 16AB ab ab ab ab a b a b a b a b a b a b a b a bDMG = d d d d d d d d … d d d d                 (1.40) 
 
 16 ' '' ''' ' ' ' ' '' ' ''' ''' ''' ' ''' '' ''' '''AC ac ac ac ac a c a c a c a c a c a c a c a cDMG = d d d d d d d d … d d d d (1.41) 
 
 AB BCDMG DMG (1.42) 
 
 
 
 
Figura 1.15. Arreglo en disposición asimétrica con cuatro conductores por fase. 
 
 
El RMG del conjunto de cuatro conductores dispuestos simétricamente se 
determina por la siguiente ecuación 
 
 4 8 4 216 4aa aa aa aaRMG = r d d = r d d    (1.43) 
 
39 
Por otra parte, la ecuación (1.43) se puede representar en una forma más práctica. 
En la figura 1.16 se observa que la distancia 2R sin 45 R 2aad      y la distancia 
2Raad   , por lo tanto la ecuación (1.43) se reduce a 
 
  R
3
4RMG = 4 r   (1.44) 
 
 
 
 
Figura 1.16. Conductores de fase en disposición cuadrada. 
 
 
1.3.3.4. Línea de n conductores por fase 
 
En forma general se puede determinar el radio medio geométrico de n 
conductores por fase mediante la ecuación (1.45), siempre y cuando los 
conductores sean de radios iguales y estén dispuestos simétricamente sobre un 
círculo de radio R . 
 
  R
n-1
nRMG = n r   (1.45) 
 
Así mismo, la DMG se puede obtener sencillamente bajo las siguientes dos 
condiciones: i) si la distancia entre el agrupamiento de conductores es simétrica y 
 
40 
ii) si la distancia entre fases también es simétrica. De tal forma, la DMG es la 
distancia del punto medio del conjunto de conductores de una fase al punto medio 
del conjunto de conductores de la fase opuesta (ver figura 1.17.). 
 
 
 
 
Figura 1.17. Distancia media geométrica en disposición simétrica. 
 
 
1.4. CARGA 
 
La carga o demanda de energía eléctrica varia constantemente con el paso de los 
años, tal incremento se puede relacionar con los índices de crecimiento del 
producto interno bruto (PIB) o por los índices de consumos per cápita y el nivel de 
electrificación (porcentaje de electrificación en la población) que existen en los 
países y que por otra parte son indicadores del grado de bienestar en la sociedad. 
 
En base al consumo de la energía eléctrica durante el período 1998-2008 se 
obtuvo un crecimiento anual del 3.2% con un total en el último año de 16,816 
TWh, principalmente debido a los países asiáticos que presentan un buen 
crecimiento económico. En años recientes los países miembros de la 
Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico (OCDE), Europa 
occidental, Asia y Oceanía se han caracterizado por registrar incrementos 
moderados y bajos en el consumo de la energía eléctrica, registrando en los 
últimos 10 años tasas de 1.3%, 1.5% y 2.1% respectivamente [II]. 
 
 
41 
Como resultado de las mejoras obtenidas en la eficiencia energética se tienen los 
logros obtenidos en el sector residencial principalmente en la iluminación, 
calefacción, aire acondicionado y entre otras aplicaciones, además se estima que 
este comportamiento continuará en un período de mediano a largo plazo, sin 
embargo los países no miembros de la OCDE han alcanzado mayor crecimiento 
del consumo energético tales como Asia y el medio oriente con tasas de 8.8% y 
5.8%, respectivamente. En la figura 1.18 se muestra el comportamiento que ha 
adquirido el consumo de la energía eléctrica a nivel mundial en un período de 10 
años [II]. 
 
 
 
 
Figura 1.18. Consumo mundial de energía eléctrica por región. 
 
 
42 
Por otro lado, el tipo de carga y la demanda energética no permanecen constantes 
durante las horas del día, la aportación o el retiro de carga corresponden a un 
comportamiento discontinuo entre las horas, días, semanas, meses o estaciones 
del año, este tipo de carga representa los grandes consumos existentes en las 
subestaciones que puede ser tomado como un modelo de agregación de 
consumidores. Una forma de representar el consumo de potencia activa y reactiva 
de las subestaciones es mediante una gráfica denominada curva diaria (ver figura 
1.19) en la cual se muestran los consumos de kW y kvar por hora empleados en 
un día [1]. 
 
 
 
 
Figura 1.19. Curva diaria. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
43 
CAPÍTULO II 
PARÁMETROS DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN 
 
 
Los parámetros que modifican el flujo de potencia eléctrica (activa y reactiva) en la 
línea de transmisión son: la resistencia, inductancia, capacitancia y conductancia. 
Los dos primeros son los de mayor importancia, en conjunto se les conoce como 
impedancia serie, la cual está distribuida uniformemente en toda la línea sobre el 
mismo conductor y son los principales causantes de pérdidas eléctricas. La 
capacitancia y conductancia se presentan a lo largo de toda la línea entre 
conductores, en el caso de circuitos trifásicos balanceados se presenta entre el 
conductor y neutro. A estos dos parámetros se les conoce como admitancia en 
paralelo o en derivación, sin embargo en la práctica se desprecia el parámetro de 
conductancia, debido a que varia continuamente por las condiciones atmosféricas 
y ambientales, además posee un valor muy pequeño que no afecta en los 
cálculos. Por lo anterior el presente Capítulo describe únicamente el efecto 
capacitivo, inductivo y resistivo de la línea de transmisión [9]. Aunque la 
impedancia serie y la admitancia en paralelo se presentan uniformemente 
distribuida a lo largo de toda la línea es correcto expresarla en forma concentrada, 
debido a que sus valores se consideran de la misma magnitud en cualquier punto 
de la línea. 
 
 
2.1. RESISTENCIA 
 
Por definición la resistencia es la propiedad que posee un material para oponerse 
al flujo de corriente. Este parámetro representa la mayor pérdida de potencia 
eléctrica asociadas a los parámetros de transmisión. La resistencia que produce 
esta pérdida se le conoce como resistencia efectiva, expresada como 
 
44 
 
e 2
Pérdida de potencia en el conductor
R = 
I
 (2.1) 
 
Mientras que para efectos de simplificar el análisis de la resistencia de la línea de 
transmisión puede considerarse en cd [1, 9]. La resistencia en cd se obtiene 
mediante 
 
 cd
l
R
A

  (2.2) 
 
donde  es la resistividad del conductor en . m , l la longitud del conductor en 
m y A el área de la sección transversal del conductor en 
2m . 
 
Los factores que intervienen en la variación de la resistencia son los siguientes [5]: 
 
1. La disposición en espiral. 
 
2. Temperatura. 
 
3. Frecuencia y magnitud de la corriente. 
 
En la actualidad el transporte de energía eléctrica se realiza mediante conductores 
de tipo trenzado, y al ser estirados tienen una longitud mayor que incrementa la 
resistencia del conductor, no expresada en la ecuación(2.2). La resistencia se 
incrementa a razón de 1% para conductores de tres hilos y 2% para conductores 
de hilos trenzados concéntricamente [1], agregando el incremento del 2% a la 
ecuación (2.2) se obtiene 
 
 
1.02
 cd
L
R
A

  (2.3) 
 
45 
donde el valor de ρ varía según sea el tipo de material del conductor, para el cobre 
ρ es igual a 1.77 x 10-8 Ω.m y para el aluminio es de 2.83x10-8 Ω.m ambos a 20o 
Celsius [9]. 
 
Otro factor que modifica frecuentemente el valor de la resistencia es la 
temperatura, matemáticamente se puede determinar la resistencia 2R del 
conductor dadas las temperaturas 1t y 2t [1].
 
 
  2 1 2 11 -R R t t      (2.4) 
 
donde  es el coeficiente de resistencia que varía con el incremento de la 
temperatura, cuyo valor depende del material del conductor (ver tabla 2.1). 
Conforme la temperatura aumenta ocurre un incremento lineal en la resistencia 
(ver figura 2.1), la cual se obtiene mediante la ecuación (2.5) [9]. 
 
 
 
 
Figura 2.1. Incremento de la resistencia en función de la temperatura. 
 
 
 2 2
1 1
R t
R t



 (2.5) 
 
46 
donde  es el coeficiente característico de la temperatura según el tipo de 
material del conductor, expresado en grados Celsius. Sus valores típicos se 
muestran en la tabla 2.1. 
 
 
Tabla 2.1. Constantes de los conductores. 
Material  (1/ 0C)  (0C) 
Cobre al 100% 0.00393 234.5 
Cobre al 97.3% 0.00393 241 
Aluminio 0.00403 228 
 
 
En los circuitos de ca la distribución de corriente no es uniforme, como es el caso 
en cd, esto se debe principalmente a la frecuencia en la que oscila la corriente. La 
oscilación origina una densidad de corriente no uniforme, que va desde el interior 
del conductor e incrementándose hacia la superficie, a este fenómeno se le 
conoce como efecto piel. La corriente que pasa por el conductor produce líneas de 
flujo magnético y de acuerdo con la ley de Lenz “el voltaje inducido se opone a los 
cambios de corriente que lo producen” y como los flujos alternos inducen un mayor 
voltaje en los hilos internos que en los externos del conductor a consecuencia se 
produce mayor densidad de corriente sobre la superficie del mismo, por lo que la 
resistencia efectiva tiende a incrementarse; esto quiere decir que la mayor 
cantidad de corriente fluye por la periferia del conductor, por lo tanto se reduce su 
diámetro eficaz [9]. 
 
 
2.2. INDUCTANCIA 
 
Al pasar corriente eléctrica sinusoidal por un conductor se forma un campo 
magnético variable que lo rodea concéntricamente (ver figura 2.2), a su vez se 
originan flujos magnéticos que atraviesan a todo el conductor concatenando el 
 
47 
flujo de cada uno de los hilos del conductor, a este fenómeno se le conoce como 
inductancia (L). 
 
 
 
 
Figura 2.2. Campo magnético alrededor de un conductor. 
 
 
En un inductor, como lo es la línea de trasmisión, la inductancia producida por el 
flujo interno del conductor ( ) se le conoce como inductancia interna ( intL ), 
mientras que la producida por el flujo externo como inductancia externa ( extL ). 
Considerando ambos valores se puede determinar la inductancia total del 
conductor, expresada en webers/ampere equivalente a un Henry (h), como se 
indica en la ecuación (2.6) [1, 9]. 
 
 int extL= L +L (2.6) 
 
 
2.2.1. Inductancia interna del conductor 
 
La inductancia interna se debe a los enlaces de flujo que existen dentro del 
conductor originados por una misma corriente. La inductancia según sus enlaces 
de flujos concatenados ( ) en Webers-vuelta (Wbv) se expresa como, 
 
48 
 L
I

 (2.7) 
 
Por otro lado, la inductancia puede calcularse según su flujo interno considerando 
que cada línea del flujo enlaza una fracción de la corriente total, pero para una 
línea de transmisión es necesario considerar el flujo dentro y fuera del conductor 
[9]. En la figura 2.3 se muestran los campos magnéticos originados por la corriente 
I que circula por el conductor. 
 
 
 
 
Figura 2.3. Campo magnético en un conductor. a) Campo magnético interno y b) Campo 
magnético externo. 
 
 
La inductancia de la línea de transmisión se forma a partir de efectos de origen 
magnéticos producidos por la corriente que pasa a través del conductor, 
originando líneas de  que se proyectan sobre la superficie con una intensidad de 
campo magnético (H), y con un cierto número de líneas de fuerza repartidos en el 
espacio de campo magnético, conocido como fuerza magnetomotriz (fmm) [9]. 
Aplicando la ley de ampere se puede determinar la fmm, que “es igual a la integral 
de la línea alrededor de la trayectoria cerrada de la componente de la intensidad 
de campo magnético que es tangente a la trayectoria”. 
 
49 
 . Avfmm H ds I   (2.8) 
 
donde fmm está dada en ampere-vuelta ( Av ), H en ampere-vuelta por metro 
(Av/m) y la distancia a lo largo de la trayectoria ( ds ) en metros. H e I no se 
representan en función del tiempo, como debe ocurrir en corriente alterna, por 
simplicidad es conveniente interpretar la I en cd y la H como un número real [9]. 
 
Al considerar H a cierta distancia del centro del conductor ( xH ), se observa en la 
figura 2.3a que xH es constante en cualquier punto sobre la trayectoria, debido a 
que el campo forma círculos concéntricos, ahora si xH es sólo una parte de H, 
entonces la corriente que produce a xH también es sólo una parte de I a hora 
expresada como xI , por lo tanto la ecuación (2.8) se rescribe como 
 
 2
x x
x x
H ds I
I xH



 (2.9) 
 
donde xI es la corriente encerrada [9, 11] la cual se obtiene por, 
 
 
2
2x
x
I I
r


 (2.10) 
 
Por otro lado, xH se obtiene sustituyendo la ecuación (2.10) en (2.9) 
 
 
2
 Av/m
2
x
x
H I
r
 (2.11) 
 
Mientras que el flujo a la misma distancia x se obtiene mediante 
 
 
50 
 
2
 Wb/m
2
xd H dx
xI
d dx
r
 




 (2.12) 
 
donde  es la permeabilidad del conductor con un valor de 74 10 h/m  [9]. 
 
Se mencionó anteriormente que  es el resultado de los enlaces  , por lo tanto  
es una parte de  , que se obtiene de manera similar a la ecuación (2.10) a sí que, 
 
 
2
2
x
d d
r

 

 (2.13) 
 
De tal manera, los enlaces de flujo en x se obtienen al sustituir (2.12) en (2.13) 
 
 
3
4
 Wbv/m
2
Ix
d dx
r



 (2.14) 
 
y los enlaces de flujo totales dentro del conductor se obtienen integrando la 
ecuación (2.14) desde el origen al borde del conductor. 
 
 
3
int 4
0
2 8
r
Ix I
dx
r
 

 
  (2.15) 
 
o simplemente 
 
 7
int 10 Wbv/m
2
I
   (2.16) 
 
Finalmente la inductancia interna se obtiene mediante 
 
 
51 
 
7
7
10
2
1
10 h/m
2
int
I
L
I I
L




 
  (2.17) 
 
 
2.2.2. Inductancia entre dos puntos externos 
 
Para determinar la inductancia externa del conductor se considera que xI I por 
lo que la fmm que rodea la totalidad de la corriente I es 
 
 2 xxH I  (2.18) 
 
En la ecuación (2.18) la distancia x es mayor o igual al radio del conductor r 
representando el punto donde se origina el flujo externo, por lo tanto x = r en el 
punto de origen de flujo externo que es enlazado por la totalidad de la corriente I 
(ver figura 2.3b). La ecuación (2.10) se transforma al sustituir r por x en 
 
 
2
2x
x
I I I
x


  (2.19) 
 
A partir de la sustitución de r por x las ecuaciones que describen la intL adquieren 
la siguiente forma para extL . 
 
 
1
 Av/m
2
xH I
x
 (2.20) 
 
 Wb/m
2
I
d dx
x



 (2.21) 
 
52 
Por otro lado, los enlaces de flujos extd difieren de los enlaces de intd , debido a 
que el flujo d externo enlaza toda la corriente del conductor sólo una vez. Así los 
enlaces de flujo respecto a las distancias entre los puntos P1 y P2 (ver figura 2.3b) 
se obtienen integrando la ecuación (2.21) 
 
 
2
1
2
12
1
ln Wbv/m
2 2D
D
DI I
dx
x D
 

 
  (2.22) 
 
Sustituyendo μ para una permeabilidad relativa (en el espacio) 1  se obtiene [9] 
 
 7 2
12
1
2 10 ln Wbv/m
D
I
D
   (2.23) 
 
Finalmente la inductancia entre 1D y 2D queda expresada como 
 
 7 2
12
1
2 10 ln h/m
D
L
D
  (2.24) 
 
donde D1 es el radio del conductor y D2 es la distancia entre P1 y P2. 
 
 
2.2.3. Inductancia monofásica de dos conductores 
 
En una línea monofásica de dos conductores por fase la corriente que pasa a 
través de ellos crea un campo magnético en la misma dirección, cuyo flujo enlaza 
al propio conductor y dependiendo de la distancia existente entre ellos al 
conductor opuesto. Conforme aumenta la distancia de separación entre 
conductores, la inductancia entre el conductor 1 y 2 disminuye ya que el flujo que 
los une decrece [1]. 
 
 
53 
En la figura 2.4 se muestran dos conductores con radios 1r y 2r con una distancia 
de separación ( D ) entre ellos. Los enlaces de flujo formados en el conductor 1 son 
idénticos a los enlaces de flujos del conductor 2, si ambos tienen radios iguales, 
porque se supone que la corriente que pasa por ambos conductores es de igual 
magnitud. “Una línea de flujo producida por la corriente en el conductor 1 a una 
distancia igual o mayor a D + r2, desde el centro del conductor 1 no enlaza al 
circuito. A una distancia menor a D – r2, la fracción de la corriente total enlazada 
por una línea de flujo es 1.0”, [9]. De aquí en adelante se utiliza D en sustitución 
de D + r2 o D - r2, cuando D es del centro de los conductores. 
 
 
 
 
Figura 2.4. Enlaces de flujo debidos al conductor 1. 
 
 
La inductancia total del conductor 1 es la suma de intL 
y 12L de las ecuaciones 
(2.17) y (2.24), para hacer una relación más clara (en radios y distancias), se 
sustituye 1r en lugar de 1D y D en lugar de 2D , así la inductancia en el conductor 
1 queda 
 
 71
1
1
2ln 10 h/m
2
D
L
r
    
 
 (2.25) 
 
y manipulando algebraicamente en forma logarítmica se obtiene que 
 
54 
 7 1/4 71 1/4
1 1
2 10 ln ln 2 10 ln h/m
D D
L
r r


 

   
       
   
 (2.26) 
 
por lo que la inductancia en el conductor 2 es 
 
 72 1/4
2
2 10 ln h/m
D
L
r 


 
   
 
 (2.27) 
 
donde rε
-1/4 es una constante que ajusta el radio del conductor que se considera 
sin flujo interno, pero con la misma inductancia de un conductor de radio r. La 
constante rε
-1/4 en la práctica se sustituye por r’, así las ecuaciones (2.26) y (2.27) 
pueden rescribirse como 
 
 71
1
2 10 ln h/m
D
L
r
     
 
 (2.28) 
 
 72
2
2 10 ln h/m
D
L
r
     
 
 (2.29) 
 
Finalmente, la inductancia total entre conductores es el resultado de sumar las 
ecuaciones (2.28) y (2.29) 
 
 
7
1 2
1 2
4 10 ln h/m
D
L L L
rr
   
 
 (2.30) 
 
y considerando 1 2r r  la ecuación (2.30) se reduce a 
 
 74 10 ln h/m
´
D
L
r
  (2.31) 
 
 
55 
2.2.4. Enlaces de flujo dentro de un grupo de conductores 
 
Para determinar los enlaces de flujo de un conductor dentro de un grupo de 
conductores (ver figura 2.5), es necesario analizar los enlaces de flujos del grupo 
de conductores con respecto a un conductor de estudio, en este caso el conductor 
1, con la condición de que la suma de corrientes de los n conductores sea igual a 
cero [9]. 
 
 
 
 
Figura 2.5. Flujo dentro de un grupo de conductores. 
 
 
El flujo dentro y fuera del conductor 1 debido a 1I es 
 
 7 1
1 1 1
1
2 10 ln Wbv/m
´
P
P
D
I
r
   (2.32) 
 
mientras que entre el conductor 1 y 2 debido a 2I queda 
 
 7 2
1 2 2
12
2 10 ln Wbv/mPP
D
I
D
   (2.33) 
 
En general los enlaces de flujo del conductor 1 debido a los n conductores son 
 
 
56 
 7 31 21 1 2 3
1 12 13 1
2 10 ln ln ln ln Wbv/m
´
P nPP P
P n
n
D DD D
I I I I
r D D D
 
 
      
 
 (2.34) 
 
y descomponiendo en términos logarítmicos se obtiene 
 
  
7
1 1 2 3
1 12 13 1
1 1 2 2 3 3
1 1 1 1
2 10 ln ln ln ln 
´
 ln ln ln ln Wbv/m
P n
n
P P P n nP
I I I I
r D D D
I D I D I D I D
 
 
      
 
    (2.35) 
 
Como la suma de las corrientes es cero, al resolver para nI mediante la segunda 
ley de Kirchhoff resulta que 
 
  1 2 3 1n nI I I I I      (2.36) 
 
De tal forma que al sustituir la ecuación (2.36) en el segundo término de la 
ecuación (2.35) se obtiene 
 
7
1 1 2 3
1 12 13 1
1 1 1 1
2 10 ln ln ln ln 
´
P n
n
I I I I
r D D D
 
 
      
  
 
 
 
 131 2
1 2 3 1
ln ln ln ln Wbv/m
n PPP P
n
nP nP nP nP
DDD D
I I I I
D D D D


 
    
  
 (2.37) 
 
Por otro lado, si se aleja infinitamente el punto P la relación de distancias de los n 
conductores al punto P se aproximan a 1, lo que da como resultado una 
expresión más sencilla [9]. 
 
 
57 
 71 1 2 3
1 12 13 1
1 1 1 1
2 10 ln ln ln ln Wbv/m
´
n
n
I I I I
r D D D
 
 
      
 
 (2.38) 
 
 
2.2.5. Inductancia en conductores compuestos 
 
El objetivo por el cual se emplean conductores compuestos, es resultado de dos 
grandes ventajas: i) reduce el efecto corona y sus consecuencias (pérdida de 
potencia, interferencia en comunicaciones y zumbidos) originados por los altos 
voltajes y ii) reduce la reactancia serie al incrementar el RMG del grupo de 
conductores [1]. 
 
Los conductores compuestos están formados por más de un conductor dispuestos 
geométricamente en paralelo, estos conductores transportan la corriente 
uniformemente repartida entre los n o m conductores que lo constituyen, en la 
figura 2.6 se muestra un circuito monofásico en donde la fase compuesta por n 
conductores es X y su retorno formado por el grupo de m conductores es Y [9]. 
 
Asumiendo que la corriente esta uniformemente repartida, /I n para el conductor 
X e /I m para el conductor Y , por ser el de retorno, al resolver los enlaces de 
flujo del hilo a se obtiene una ecuación similar a (2.38). 
 
 
7
7
1 1 1 1
2 10 ln ln ln ln 
1 1 1 1
- 2 10 ln ln ln ln Wbv/m
a
a ab ac an
aa ab ac am
I
n r D D D
I
m D D D D
 

  
 
      
 
 
     
 
 (2.39) 
 
y simplificando la ecuación (2.39) mediante propiedades logarítmicas queda 
 
 
58 
 7
 
2 10 ln Wbv/m
 
m
aa ab ac am
a
n
aa ab ac an
D D D D
I
D D D D

    (2.40) 
 
donde, para dar un orden apropiado, aaD 
representa a ar .
 
 
 
 
 
Figura 2.6. Línea monofásica de conductores compuestos. 
 
 
Por lo tanto, la inductancia del hilo a es 
 
 7
 
2 10 ln Wbv/m
 
m
aa ab ac ama
a
n
aa ab ac an
D D D D
L n
I D D D D
n
      (2.41) 
 
Del mismo modo la inductancia de los hilos restantes se determina similarmente a 
la del conductor a, así la inductancia promedio del agrupamiento del conductor X 
es 
 
 a b c n
prom
L L L L
L
n
  
 (2.42) 
 
Finalmente la inductancia del conductor X se obtiene por 
 
 
59 
 
    
    2
2
72 10 ln h/m
prom a b c n
X
mn
aa ab ac am ba bb bc bm na nb nc nm
X
n
aa ab ac an ba bb bc bn na nb nc nn
L L L L L
L
n n
D D D D D D D D D D D D
L
D D D D D D D D D D D D
        
  
 
   (2.43) 
 
En la ecuación (2.43) se observa que el numerador y denominador corresponden 
a la DMG y al RMG respectivamente, estudiados en el Capítulo I. De tal forma la 
ecuación (2.43) puede ser rescrita de la siguiente forma 
 
 72 10 ln h/mX
DMG
L
RMG
  (2.44) 
 
Del mismo modo, la inductancia del conductor Y se desarrolla similarmente a LX, 
por lo que la inductancia total del circuito monofásico queda determina por 
 
 X YL L L  (2.45) 
 
 
2.2.6. Inductancia en líneas trifásicas 
 
Cuando la geometría de los conductores de fase no es simétrica, producen una 
desigualdad de flujos entrefases, o sea que 1 2 3    . Con el objetivo de 
considerar este fenómeno se realiza una transposición entre fases (ver figura 2.7), 
de tal manera que las magnitudes de campos eléctricos y magnéticos sean por 
igual en cada una de las fases [1, 9]. 
 
 
 
60 
 
 
Figura 2.7. Corrección del espaciamiento asimétrico en el circuito trifásico. 
 
 
El procedimiento requiere en primer lugar determinar el flujo de una sola fase en 
cada una de las transposiciones mediante las ecuaciones (2.46) a (2.48) [9]. 
 
Los enlaces de flujos asaciones a la fase a en la posición 1 se calculan mediante 
 
 71
12 13
1 1 1
2 10 ln ln lna a b c
aa
I I I
D D D
 
 
    
 
 (2.46) 
 
mientras que para la posición 2 es 
 
 72
23 12
1 1 1
2 10 ln ln lna a b c
aa
I I I
D D D
 
 
    
 
 (2.47) 
 
y por último para la posición 3 queda 
 
 73
31 23
1 1 1
2 10 ln ln lna a b c
aa
I I I
D D D
 
 
    
 
 (2.48) 
 
Por otro lado, para el cálculo de la inductancia del conductor a se requiere obtener 
su flujo equilibrado. De tal forma, el valor promedio de a 
se obtiene de 
 
 
61 
 
1 2 3
7
12 23 31 12 23 31
3
2 10 1 1 1
3 ln ln ln
3
a a a
a
a b c
aa
I I I
D D D D D D D
  


 

 
   
 
 (2.49) 
 
Reduciendo la ecuación (2.49) para aI mediante la segunda ley de Kirchhoff se 
obtiene que  a b cI I I   y sustituyendo en (2.49) queda 
 
 
7
12 23 31
3
12 23 317
2 10 1 1
3 ln ln
3
2 10 ln Wbv/m
a a a
aa
a
aa
I I
D D D D
D D D
I
D



 
  
 
  (2.50) 
 
Finalmente la inductancia promedio por fase del circuito trifásico se obtiene de 
dividir la ecuación (2.50) entre la corriente del conductor a, 
 
 
3
12 23 3172 10 ln h/ma
aa
D D D
L
D
  (2.51) 
 
donde 3 12 23 31D D D representa el espaciamiento simétrico de los conductores de 
cualquier disposición geométrica trifásica, igualmente expresada como 
eqD o como 
eqDMG y aaD representa al RMG del conductor que igualmente puede ser 
expresado por sD (ver tabla 1.1). La inductancia promedio para cualquier fase se 
representar por 
 
 
72 10 ln h/m
eq
X
s
D
L
D
  (2.52) 
 
 
62 
Considerando la geométrica del circuito simétrica, la ecuación (2.52) se reduce a 
 
 72 10 ln h/mX
s
D
L
D
  (2.53) 
 
Generalmente la inductancia de fase X se centra en considerar agrupamientos de 
dos a cuatro conductores (ver figura 2.8) [9]. 
 
 
 
 
Figura 2.8. Agrupamientos típicos de conductores por fase en líneas de transmisión. a) De 
dos conductores, b) De tres conductores y c) De cuatro conductores. 
 
 
Por lo tanto, la inductancia de fase X puede expresarse según al agrupamiento 
de sus conductores 
 
 
3
12 23 3172 10 ln h/mX b
s
D D D
L
D
  (2.54) 
 
donde b
sD corresponde al RMG del agrupamiento de los conductores de una 
misma fase. 
 
De tal manera, para un agrupamiento de dos conductores b
sD se expresa como 
 
 
63 
  
2
4b
s s sD D d D d   (2.55) 
 
mientras que para el agrupamiento de tres conductores queda 
 
  
3 29 3 bs s sD D d d D d    (2.56) 
 
y por último para el agrupamiento de cuatros conductores se obtiene que 
 
  
4
3416 2 1.09bs s sD D d d d D d     (2.57) 
 
Finalmente para cálculos de líneas de transmisión se requiere conocer el valor de 
resistencia que produce el parámetro de la inductancia, conocido comúnmente 
como reactancia inductiva, esta se determina mediante la siguiente expresión 
 
 2 Ω/mLX XX fL (2.58) 
 
 
2.3. CAPACITANCIA 
 
La capacitancia se determina a partir de la formación de campos eléctricos, los 
cuales son originados por la carga (Q) que se produce entre conductores y que a 
su vez está relacionada con la tensión del mismo conductor [1]. A menudo la 
capacitancia suele despreciarse en líneas de trasmisión que no exceden los 80 
Km de longitud, sin embargo conforme se incremente la longitud de la línea de 
transmisión, se vuelve muy importante el efecto capacitivo que se produce en ella, 
ya que tal efecto también se incrementa, contribuyendo desfavorablemente a la 
caída de tensión, eficiencia, factor de potencia y estabilidad del sistema [9]. 
 
 
 
64 
2.3.1. Campo eléctrico en un conductor recto 
 
El estudio de la capacitancia se desarrolla a partir de la ley de Gauss para campos 
eléctricos, “la carga eléctrica total dentro de una superficie cerrada es igual al flujo 
eléctrico total que sale de la superficie” [9]. La formación de campos eléctricos 
comúnmente se considera en un único conductor infinitamente largo dentro de un 
medio dieléctrico ( k ), como lo es el aire, donde la carga por unidad de longitud (Q) 
esta uniformemente distribuida sobre la periferia del conductor (ver figura 2.9a), 
esto ocurre similarmente con la corriente en la formación de campos magnéticos, 
por lo tanto la intensidad de campo eléctrico (E) se obtiene de manera similar a la 
ecuación (2.20). 
 
 V/m
2
Q
E
xk
 (2.59) 
 
Ahora bien al integrar la ecuación (2.59) con respecto a dx , se obtiene la 
diferencia de tensión existente entre los puntos 1P y 2P de la figura 2.9b, dando 
como resultado la caída de tensión que sufre el conductor. 
 
 
2 2
1 1
2
12
1
ln V
2 2
D D
D D
DQ Q
V Edx dx
xk k D 
    (2.60) 
 
 
 
 
Figura 2.9. Capacitancia en un conductor. a) Campo eléctrico en un conductor y b) 
Diferencia de potencial entre dos puntos. 
 
65 
2.3.2. Capacitancia entre dos conductores 
 
La capacitancia (C ) es el cociente entre la carga existente Q en el conductor y la 
diferencia de tensión 12V , de tal forma la capacitancia se expresa como 
 
 
12
 F/m
Q
C
V
 (2.61) 
 
donde Q está en coulomb por metro, V en volts y C en Faradios metro. 
 
La capacitancia entre dos conductores se debe a la caída de tensión de cada 
conductor, por lo tanto la caída de tensión entre conductores es debida a cada una 
de sus cargas, 
 
 ln ln V
2 2
a b b
ab
a
Q Q rD
V
k r k D 
  (2.62) 
 
donde abV es la caída de tensión entre los conductores y D la distancia de 
separación entre ellos, ar y br son el radio de los conductores a y b 
respectivamente. 
 
Asumiendo que ambas cargas son de igual magnitud y bQ es la carga de retorno, 
la ecuación (2.62) adquiere la siguiente forma 
 
 
2
ln V
2
a
ab
a b
Q D
V
k r r
 
  
 
 (2.63) 
 
y considerando que los radios de los conductores son idénticos, la ecuación (2.63) 
se reduce a 
 
 
66 
 2ln
2
a
ab
Q D
V
k r
 
  
 
 (2.64) 
 
Finalmente para la capacitancia entre los conductores a y b se tiene 
 
 F/m
ln2ln
2
a
ab
a
Q k
C
DQ D
rk r


 
 
 
 
 (2.65) 
 
A si mismo, la capacitancia existente entre el conductor y el neutro se obtiene al 
dividir la ecuación (2.65) entre dos. 
 
 
2
 F/m
ln
an
k
C
D
r

 (2.66) 
 
Por otro lado, la reactancia capacitiva que se produce en un conductor para una 
permitividad relativa de 1rk  se expresa como [9] 
 
 9
1 2.862
10 ln Ω.m al neutro
2
C
an
D
X
fC f r
   (2.67) 
 
 
2.3.3. Capacitancia trifásica con espaciamiento equilátero 
 
Con el objetivo de determinar la ecuación de la capacitancia trifásica con 
espaciamiento equilátero se considera la figura 2.10 que supone radios idénticos 
para los tres conductores. En un circuito trifásico la diferencia de tensión entre dos 
conductores se debe a cada una de sus cargas [9], de tal forma que al considerar 
al conductor a y b, el voltaje entre los conductores en una línea trifásica es 
 
 
67 
 
1
ln ln ln V
2
ab a b c
D r D
V Q Q Q
k r D D
 
   
 
 (2.68) 
 
mientras que entre los conductores a y c el voltaje queda 
 
 
1
ln ln ln V
2
ac a b c
D D r
V Q Q Q
k r D D
 
   
 
 (2.69) 
 
Por lo tanto, al sumar las ecuaciones (2.68) y (2.69),considerando que el efecto a 
tierra es despreciable, se obtiene 
 
  
1
2 ln ln V
2
ab ac a b c
D r
V V Q Q Q
k r D
 
    
 
 (2.70) 
 
 
 
 
Figura 2.10. Línea trifásica con espaciamiento equilátero. 
 
 
Sin embargo, la ecuación (2.70) se logra simplificar al aplicar la segunda ley de 
Kirchhoff a la carga Qa 
 
 
3
ln V
2
a
ab ac
Q D
V V
k r
  (2.71) 
 
Por otro lado, el voltaje de línea a neutro en un circuito trifásico, representado en 
la figura 2.11, es un punto común entre dos de los tres fasores. 
 
68 
 
 
Figura 2.11. Relación fasorial de voltajes en una línea trifásica. 
 
 
Por consiguiente el voltaje de línea a neutro del conductor a se obtiene 
considerando que 
 
  303 3 0.866 0.5ab an anV V V j
   (2.72) 
 
  303 3 0.866 0.5ac ca an anV V V V j
     (2.73) 
 
que sumando las ecuaciones (2.72) y (2.73) se obtiene 
 
 3ab ac anV V V  (2.74) 
 
Por lo tanto, al sustituir la ecuación (2.74) en (2.71) se tiene 
 
 ln V
2
a
an
Q D
V
k r
 (2.75) 
 
Por otra parte, la capacitancia al neutro queda definida en relación a las 
ecuaciones (2.61) y (2.75) 
 
 
69 
 
 
2
 F/m al neutro
ln /
a
n
an
Q k
C
V D r

  (2.76) 
 
Así mismo, la corriente demandada (corriente de carga) en una línea de 
transmisión trifásica se determina por [5] 
 
 
arg A/mc a ab ab ab abI Y V j C V  (2.77) 
 
mientras que para una línea trifásica balanceada con neutro de retorno queda 
 
 
arg A/mc a an n anI YV j C V  (2.78) 
 
donde j C es la susceptancia del circuito igual a 2j fC [9]. 
 
En la ecuación (2.78) se observa que únicamente se expresa la parte capacitiva 
del conjunto de la admitancia en paralelo (Y), el motivo por el cual la conductancia 
(G) ha sido ignorada, se debe por la dificultad de obtener un valor exacto de este 
parámetro y además por el echo del que no afecta en gran medida en los cálculos 
[1, 5, 9]. 
 
 
2.3.4. Capacitancia trifásica con espaciamiento asimétrico 
 
La asimetría de la capacitancia se resuelve de forma similar a la transposición de 
fases de la inductancia, en la figura 2.12 se muestran los conductores de fases 
con espaciamiento asimétrico, trasponiendo el conductor a en cada una de las 
posiciones (a, b y c), de las cuales se encuentran las ecuaciones para el voltaje 
abV en cada una de ellas [9]. Observe la analogía geométrica de la eqD obtenida 
para la inductancia. 
 
 
70 
 
 
Figura 2.12. Transposición de un conductor con espaciamiento asimétrico. a) Posición 1, 
b) Posición 2 y c) Posición 3. 
 
 
El voltaje abV de la figura 2.12a queda expresado, 
 
 2312
12 31
1
ln ln V
2
ab a b c
DD r
V Q Q Q
k r D D
 
   
 
 (2.79) 
 
mientras que para el voltaje Vab de la figura 2.12b se expresa como 
 
 23 31
23 12
1
ln ln V
2
ab a b c
D Dr
V Q Q Q
k r D D
 
   
 
 (2.80) 
 
y el voltaje Vab de la figura 2.12c es 
 
 31 12
31 23
1
ln ln V
2
ab a b c
D Dr
V Q Q Q
k r D D
 
   
 
 (2.81) 
 
Considerando que las cargas (Qa, Qb y Qc) por unidad de longitud son constantes 
en cualquier parte del ciclo de transposición y que el voltaje entre un par de 
conductores es diferente en cada ciclo, se obtiene el valor promedio de voltaje de 
las ecuaciones (2.79) a (2.81). 
 
 
71 
3
12 23 31 12 23 31
3
12 23 31 12 23 31
1
ln ln 
6
ab a b c
D D D D D Dr
V Q Q Q
k r D D D D D D
 
   
 
 
 
 
1
= ln ln V
2
eq
a b
eq
D r
Q Q
k r D
 
  
 
 (2.82) 
 
donde 3 12 23 31eqD D D D . 
 
De forma similar a la ecuación (2.82), la caída de voltaje en Vac es 
 
 
1
ln ln V
2
eq
ac a c
eq
D r
V Q Q
k r D
 
   
 
 (2.83) 
 
Por lo que al sumar las ecuaciones (2.82) y (2.83) se obtiene 
 
 
1
3 2 ln ln V
2
eq
an ab ac a b c
eq eq
D r r
V V V Q Q Q
k r D D
 
     
  
 (2.84) 
 
y considerando que la suma de las cargas , a bQ Q 
y cQ es igual a cero se tiene 
que 
 
 
3
3 ln V
2
eqa
an
DQ
V
k r
 (2.85) 
 
De modo que la capacitancia al neutro en un circuito trifásico se expresa como [9] 
 
 
 
2
 F/m al neutro
ln /
a
n
an eq
Q k
C
V D r

  (2.86) 
 
 
 
72 
2.3.5. Capacitancia trifásica respecto a tierra 
 
Hasta ahora se ha considerado que los conductores están colocados en un medio 
dieléctrico de extensión infinita, lo que es correcto suponer cuando la distancia que 
existe entre conductores de fases es menor que la distancia entre conductores y 
tierra (suelo), esto ocurre en líneas con niveles de tensión menores a los 220 kV, 
por otro lado con niveles superiores a los 220 kV la distancia entre conductores de 
fases y conductores a tierra son del mismo orden, a partir de este momento el 
efecto capacitivo a tierra es de gran importancia [8]. 
 
La presencia de cuerpos conductores como lo son el suelo o los hilos de guarda 
afectan la capacitancia de las líneas de transmisión, debido a que su presencia 
altera las líneas de campo eléctrico, haciéndolas perpendicular hacia los cuerpos 
conductores (ver figura 2.13a). 
 
 
 
 
Figura 2.13. Capacitancia con respecto a tierra. a) Líneas de campo eléctrico y b) Método 
imagen. 
 
73 
Actualmente para el estudio de la capacitancia con respecto a tierra se utiliza un 
método llamado imagen (ver figura 2.13b), el cual consiste en suponer un 
conductor ficticio por debajo del suelo a una misma distancia y dirección que el 
conductor real, suponiendo que se elimine el plano de tierra y considerando que el 
conductor ficticio es el de retorno con una carga igual y opuesta a la del conductor 
real se produce una diferencia de potencial entre ambos conductores, siendo el 
punto medio de la distancia entre los conductores una superficie equipotencial 
equivalente a considerar la diferencia de potencial del conductor real con respecto 
a tierra [9]. 
 
Para calcular la capacitancia con respecto a tierra se considera la figura 2.13b, de 
la cual se desprecia el efecto capacitivo de los hilos de guarda, debido a que 
comúnmente se considera la línea trifásica permanentemente equilibrada [8]. En 
comparación a las ecuaciones (2.79) a (2.81) para una disposición asimétrica de 
los conductores se tiene que para el voltaje abV en la posición uno con respecto a 
tierra es, 
 
 23 2312 12 2
1 12 12 31 31
1
ln ln ln ln ln ln
2
ab a b c
D HD H Hr
V Q Q Q
k r H D H D H
     
          
       
 (2.87) 
 
mientras que para las posiciones dos y tres se adoptan las ecuaciones (2.80) y 
(2.81). Con esto de obtiene un valor promedio del voltaje abV 
con respecto a tierra 
 
 
3
12 23 31 12 23 31 1 2 3
3
1 2 3 12 23 31 12 23 31
1
ln ln ln ln
2
ab a b
D D D H H H H H Hr
V Q Q
k r H H H D D D H H H
    
       
     
(2.88) 
 
y para el voltaje acV se tiene 
 
 
3
12 23 31 12 23 31 1 2 3
3
1 2 3 12 23 31 12 23 31
1
ln ln ln ln
2
ac a c
D D D H H H H H Hr
V Q Q
k r H H H D D D H H H
    
       
     
(2.89) 
 
74 
Por otro lado, al sumar las ecuaciones (2.88) y (2.89) se obtiene el voltaje de línea 
a neutro considerando el efecto a tierra, 
 
 
3
12 23 31
3
1 2 3
ln ln
2
eqa
an
D H H HQ
V
k r H H H
  
         
 (2.90) 
 
mientras que su capacitancia queda, 
 
 
3
12 23 31
3
1 2 3
2
 F/m al neutro
ln ln
n
eq
k
C
D H H H
r H H H


  
        
 (2.91) 
 
 
2.3.6. Capacitancia en conductores agrupados 
 
Al considerar conductores agrupados de fases, las cargas , y a b cQ Q Q 
deben de 
repartirse por igual entre los hilos conductores que forman el agrupamiento de la 
fase correspondiente. Se considera la figura 2.14 para determinar las ecuaciones 
correspondientes a conductores agrupados. 
 
 
 
 
Figura 2.14. Línea trifásica con agrupamientode dos conductores. 
 
 
 
75 
Para un agrupamiento de dos conductores las cargas , y a b cQ Q Q son divididas 
entre dos en cada una de sus fases correspondientes, por lo tanto el diferencial de 
potencial abV para conductores de dos agrupamientos es, 
 
 23 2312 12
12 12 31 31
´ ´ ´
1
ln ln ln ln ln ln V
2 2 2 2
a b c
ab
a a b b c c
Q Q Q D DD D r d
V
k r d D D D D
    
    
         
             
(2.92) 
 
o en forma simplificada 
 
 2312
12 31
1
ln ln ln V
2
ab a b c
DD rd
V Q Q Q
k D Drd
 
    
 
 (2.93) 
 
Considerando el desarrollo de las ecuaciones (2.79) a (2.86) para una línea 
transpuesta se consigue obtener la capacitancia al neutro para un agrupamiento 
de dos conductores, 
 
 
2
 F/m al neutro
ln
n
eq
k
C
D
rd


 
 
 
 (2.94) 
 
donde rd es similar a 
b
sD con la excepción de que el radio del conductor se 
considera externo, es por esto que el radio sD 
es remplazado por el radio externo 
del conductor r en las ecuaciones (2.95) a (2.97). 
 
El RMG para la capacitancia de un agrupamiento de dos conductores es, 
 
  
2
4b
scD r d rd   (2.95) 
 
 
76 
mientras que para un agrupamiento de tres conductores 
 
  
3 239b
scD r d d rd    (2.96) 
 
por lo tanto, para un agrupamiento de cuatro conductores queda 
 
  
4
3416 2 1.09bscD r d d d rd      (2.97) 
 
De tal forma que la capacitancia para conductores agrupados se expresa 
 
 
2
 F/m al neutro
ln
n
eq
b
sc
k
C
D
D


 
 
 
 (2.98) 
 
y la reactancia capacitiva para una permitividad de 128.854 10k   es [9] 
 
 
1
 Ω/m
2
C
n
X
fC
 (2.99) 
 
 
2.4. CLASIFICACIÓN DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN 
 
Las líneas de trasmisión son clasificadas en esta sección de acuerdo a la longitud 
de la línea de transmisión y por tanto el comportamiento de los parámetros y 
ecuaciones asociados a cada clasificación son diferentes. De tal manera, que 
resulta muy importante determinar los parámetros y ecuaciones de cada tipo de 
línea de transmisión que se distinguen como líneas cortas, medianas y largas [1, 
10, 9]. 
 
 
 
77 
2.4.1. Línea corta 
 
Son aquellas líneas de transmisión que no exceden los 80 Km de longitud, en esta 
clasificación de línea corta, los parámetro se consideran en su forma concentrada 
siendo R y L los de mayor importancia, el valor de C es muy pequeño por lo que 
se desprecia. Aun así los resultados obtenidos mediante las ecuaciones asociadas 
a este tipo de línea son muy confiables. En la figura 2.15 se observa que R y L 
forman un circuito serie simple, donde Z es la impedancia total de la línea de 
trasmisión [9]. 
 
 
 
 
Figura 2.15. Circuito equivalente de la línea de transmisión corta. 
 
 
Las ecuaciones que describen el modelo de líneas cortas son las siguientes: 
 
 s R RV V I Z  (2.100) 
 
 s RI I (2.101) 
 
donde, sI e RI son las corrientes del extremo generador y receptor, 
respectivamente, sV y RV son los voltajes de línea a neutro en los mismos 
extremos. 
 
78 
En su forma matricial las ecuaciones (2.100) y (2.101) se expresan como 
 
 
1
0 1
s R
s R
V VZ
I I
    
    
    
 (2.102) 
 
Los voltajes en las líneas de transmisión varían continuamente a razón del tipo de 
carga que se transporte (resistivas, inductivas y capacitivas), esto modifica el 
factor de potencia de la línea (ver figura 2.16). Si se mantiene el voltaje constante 
SV 
cuando el voltaje RV está a plena carga ( RCV ) se puede determinar la elevación 
de voltaje en porciento en el extremo receptor, a esto se le conoce como 
regulación de voltaje [1, 9]. 
 
 
 
 
Figura 2.16. Factor de potencia en líneas de transmisión. a) En atraso, b) En fase y c) En 
adelanto. 
 
 
La regulación de voltaje ( %VR ) en la línea de transmisión corta se obtiene por 
 
 % 100RV RC
RC
V V
VR
V

  (2.103) 
 
donde RVV representa el voltaje sin carga en el extremo receptor. 
 
La regulación de voltaje se requiere cuando en la línea el factor de potencia no es 
del 100%. En el caso de cargas inductivas se requiere una mayor regulación, esto 
 
79 
implica un incremento de voltaje en el extremo generador, para el caso de cargas 
capacitivas el incremento tiende a ser menor. 
 
 
2.4.2. Línea media 
 
Las líneas medias comprenden longitudes superiores a la línea corta sin rebasar 
los 240 Km de longitud, de igual forma que en las líneas cortas los parámetros se 
consideran en forma concentrada, siendo el parámetro de admitancia en paralelo 
(Y) de importancia en los cálculos, sin embargo se desprecia la conductancia (G ). 
El modelo de línea media (ver figura 2.17) se representa dividiendo la capacitancia 
en dos partes iguales colocadas en ambos extremos de la línea, a este modelo se 
le conoce como circuito π nominal [9]. 
 
 
 
 
Figura 2.17. Circuito π nominal de la línea de longitud media. 
 
 
Tomando como referencia la ecuación (2.100) y agregando la corriente de la 
admitancia a la rama serie se obtiene el voltaje Vs de línea media 
 
 
2
s R R R
Y
V V I Z V
 
   
 
 (2.104) 
 
 
80 
o simplemente 
 
 1
2
s R R
YZ
V V ZI
 
   
 
 (2.105) 
 
La corriente en el extremo generador se obtiene al aplicar la segunda ley de 
Kirchhoff al circuito de la figura 2.17. 
 
 
2 2
s s R R
Y Y
I V V I   (2.106) 
 
Sustituyendo la ecuación (2.105) en (2.106) se obtiene SI en relación al voltaje 
receptor ( RV ) 
 
 1 1
4 2
s R R
YZ YZ
I V Y I
   
      
   
 (2.107) 
 
En forma general las ecuaciones (2.105) y (2.107) se representan por las 
constantes generalizadas (ABCD) del circuito de la línea de transmisión. De tal 
modo, las ecuaciones (2.105) y (2.107) se rescriben como 
 
 s R RV AV BI  (2.108) 
 
 s R RI CV DI  (2.109) 
 
donde 
 
 1
2
ZY
A D   (2.110) 
 
 B Z  (2.111) 
 
81 
 1 simens
4
ZY
C Y
 
  
 
 (2.112) 
 
y en forma matricial mediante las constantes ABCD se expresan 
 
 
s R
s R
V VA B
I IC D
    
    
    
 (2.113) 
 
Finalmente la regulación de voltaje en líneas de longitud media queda [9] 
 
 
/
%
s RC
RC
V A V
VR
V

 (2.114) 
 
 
2.4.3. Línea larga 
 
Son líneas de transmisión superiores a los 240 Km de longitud, se representa de 
igual forma que la línea media, con la diferencia que sus parámetros deben 
considerarse en forma distribuida a lo largo de toda la línea, la diferencia entre 
parámetros concentrados y distribuidos consiste en el caso de parámetros 
concentrados, al recibir una señal en el punto de entrada del sistema 
instantáneamente aparece en su punto de salida, mientras que al considerar los 
parámetros distribuidos la señal se retarda en reflejarse en el punto de salida, esto 
implica un nuevo modelado de las ecuaciones que considere la longitud apropiada 
de la línea, de las cuales existen los métodos por ecuaciones diferenciales y el 
método Hiperbólico [9, 11]. 
 
Para el desarrollo de las ecuaciones diferenciales se considera el circuito de la 
figura 2.18. (Gross, 1984). 
 
 
 
82 
 
 
Figura 2.18. Diagrama de línea de transmisión con parámetros distribuidos. 
 
 
donde se define que x es la posición a lo largo de la línea (m), V(x) el fasor de 
voltaje en x (V), I(x) el fasor de corriente en x (A), z= R+jωL es la impedancia serie 
(Ω/m), y= G+jωC la admitancia en paralelo (S/m), Vs = V(l) es el voltaje en el 
extremo transmisor, VR el voltaje en el extremo receptor, Is = I(l) es la corriente en 
el extremo transmisor, IR la corriente en el extremo receptor y l la longitud de la 
línea de transmisión (m). 
 
Aplicando la ley de voltajes de Kirchhoff al circuito de la figura 2.18 se tiene que, 
 
   ( ) ( )V x x V x z xI x    (2.115) 
o bien resolviendo para ( )zIx 
 
 
  ( )
( )
V x x V x
zI x
x
 


 (2.116) 
 
y tomando el límite cuando x tiende a cero, se tiene 
 
 
83 
 
 
0
( )
lim ( )
x
V x x V x
zI x
x 
 


 (2.117) 
 
 
( )
( )
dV x
zI x
dx
 (2.118) 
 
Por otro lado, al resolver para I por la ley de corrientes de Kirchhoff, se obtiene 
 
   ( ) ( )I x x I x y xV x x     (2.119) 
 
y despejando ( )yV x x en la ecuación (2.119) queda 
 
 
  ( )
( )
I x x I x
yV x x
x
 
 

 (2.120) 
 
mientras que el limite cuando x tiende a cero 
 
 
 
0 0
( )
lim lim ( )
x x
I x x I x
yV x x
x   
 
 

 (2.121) 
 
 
( )
( )
dI x
yV x
dx
 (2.122) 
 
derivando las ecuaciones (2.118) y (2.122) con respecto a x se obtienen 
 
 
2
2
( ) ( )d V x dI x
z
dx dx
 (2.123) 
 
 
2
2
( ) ( )d I x dV x
y
dx dx
 (2.124) 
 
 
84 
y sustituyendo las ecuaciones (2.118) y (2.122) en las ecuaciones (2.124) y 
(2.123) respectivamente, se encuentra que 
 
 
2
2
( )
( )
d V x
zyV x
dx
 (2.125) 
 
 
2
2
( )
( )
d I x
yzI x
dx
 (2.126) 
 
donde 
2yz  obteniendo así la constante de propagación yz  . La constante 
de propagación  comúnmente se expresa en su forma rectangular con la parte 
real nombrada constante de atenuación, α, expresada en nepers por unidad de 
longitud y su parte imaginaria como constante de fase, β, expresada en radianes 
por unidad de longitud [9]. 
 
 j    (2.127) 
 
Sustituyendo 
2 en la ecuación (2.125) se tiene 
 
 
2
2
2
( )
( )
d V x
V x
dx
 (2.128) 
 
y resolviendo como una ecuación diferencial de segundo grado 
 
 ( )
x xV x V V     (2.129) 
 
mientras que sustituyendo la ecuación (2.129) en (2.118) queda 
 
   ( )x x
d
V V zI x
dx
      (2.130) 
 
 
85 
que es igual a 
 
 ( )
x xzI x V V        (2.131) 
 
o en términos convenientes 
 
 
( ) x xzI x V V  

    (2.132) 
 
Al sustituir 
z

 por 
z
zy
se obtiene la impedancia característica de la línea 
c
z
Z
y

que al ser remplazada por 
z

 en la ecuación (2.132), da como resultado 
 
 ( ) x xcZ I x V V
      (2.133) 
 
Por otro lado, las ecuaciones en el extremo receptor se obtienen de igual forma 
que las ecuaciones (2.129) y (2.133) 
 
 (0) rV V V V
    (2.134) 
 
 (0)c c rZ I Z I V V
    (2.135) 
 
Sumando la ecuación (2.134) con (2.135) y dividiendo entre dos se obtiene, 
 
 
2
r c rV Z IV 

 (2.136) 
 
mientras que dividiendo entre dos la diferencia de la ecuación (2.134) con (2.135) 
se tiene 
 
86 
 
2
r c rV Z IV 

 (2.137) 
 
Sustituyendo V  y V  en las ecuaciones (2.129) y (2.133) se obtiene, 
 
 ( )
2 2
x xr c r r c rV Z I V Z IV x    
 
  (2.138) 
 
 ( )
2 2
x xr c r r c r
c
V Z I V Z I
Z I x    
 
  (2.139) 
 
y resolviendo para ( )I x en la ecuación (2.139), queda 
 
 
/ /
( )
2 2
x xr c r r c rV Z I V Z II x    
 
  (2.140) 
 
Comúnmente en las ecuaciones (2.138) y (2.140) la constante de propagación  
se expresa en su forma rectangular [9], obteniendo 
 
 ( )
2 2
x j x x j xr c r r c rV Z I V Z IV x        
 
  (2.141) 
 
 
/ /
( )
2 2
x j x x j xr c r r c rV Z I V Z II x        
 
  (2.142) 
 
Los elementos x y j x son los que hacen variar los niveles fasoriales de voltaje 
y corriente a cierta distacia x . “El termino x cambia en magnitud conforme x 
cambia, pero j x (que es identico a cos sinx j x  ) siempre tiene una magnitud 
de uno y origina un desfasamiento de  radianes por unidad de longitud de la 
linea”. En el caso en el que la línea se considere sin pérdidas eléctricas, la 
resistencia serie y conductancia en paralelo son nulos dando como resultado 
 
87 
z j L y y j C . Con esto se obtiene que cZ se reduce a /L C , conocida 
como impedancia de sobre voltaje, al igual la constante de propagación  se 
reduce solamente a su número imaginario /j j LC l  [9]. 
 
Se conoce como cargabilidad a la impedancia de sobre voltaje (CIS ) a la potencia 
consumida por una carga puramente resistiva que es igual a cZ 
sin pérdidas [9]. 
La corriente y potencia para este tipo de sistema se expresan como 
 
 A
3 /
L
L
V
I
L C


 (2.143) 
 
 
2
 W
/
LV
CIS
L C
 (2.144) 
 
Las ecuaciones para voltajes y corrientes pueden ser representadas 
equivalentemente mediante funciones hiperbólicas [9], definidas exponencialmente 
mediante 
 
 sinh
2
  


 (2.145) 
 
 cosh
2
  


 (2.146) 
 
Relacionando las ecuaciones (2.108) y (2.109) en forma hiperbólica quedan 
 
 cosh sinhs R R cV V l I Z l   (2.147) 
 
 sinh coshRs R
c
V
I l I l
Z
   (2.148) 
 
88 
y determinando como constantes generalizada a 
 
 coshA D l  (2.149) 
 
 sinhcB Z l (2.150) 
 
 
sinh
c
l
C
Z

 (2.151) 
 
De igual forma, a las ecuaciones (1.7) y (2.148) se obtienen las magnitudes RV e 
RI en términos de sV e sI . 
 
 cosh sinhR s s cV V l I Z l   (2.152) 
 
 cosh sinhsR s
c
V
I I l l
Z
   (2.153) 
 
Descomponiendo los cosenos y senos hiperbólicos en argumentos complejos, se 
encuentra que 
 
  cosh cosh cosh cos sinh sinl l j l l l j l l          (2.154) 
 
  sinh sinh sinh cos cosh sinl l j l l l j l l          (2.155) 
 
Sin embargo, la aplicación de las ecuaciones (2.154) y (2.155) requieren de algún 
equipo en especial. Otro modo de poder realizar las operaciones sin hacer uso de 
esos equipos es por medio de las siguientes ecuaciones. 
 
    
1
cosh
2 2
j j
j
   
         
 
      (2.156) 
 
89 
    
1
sinh
2 2
j j
j
   
         
 
      (2.157) 
 
Se mencionó anteriormente que el circuito equivalente de la línea media y larga se 
representan de la misma forma, sin embargo para no ser confundidos se denota 
Z e / 2Y como Z  e / 2Y  respectivamente, al sustituir ambos coeficientes en la 
ecuación (2.105) se obtiene 
 
 
´ ´
1 ´
2
s R R
Y Z
V V Z I
 
   
 
 (2.158) 
 
siendo ´Z igual a 
 
 ´ sinhcZ Z l (2.159) 
 
 
sinh
´ sinh
sinh
´
z l
Z l zl
y zyl
l
Z Z
l




 
 (2.160) 
 
donde Z es la impedancia total de la línea que es equivalente a zl. 
El termino 
sinh l
l

 
es la razón de cambio entre una línea media a una larga con 
respecto a la rama serie [9]. Para la rama paralela se tiene 
 
 1 cosh
2
Y Z
l
 
  (2.161) 
 
Al sustituir la ecuación (2.159) en (2.161) y resolver para / 2Y  se obtiene, 
 
 
90 
 
´ 1 cosh 1
2 sinhc
Y l
Z l



 (2.162) 
 
Aplicando la siguiente identidad trigonométrica 
cosh 1
tanh
2 sinh
l l
l
 


 a la ecuación 
(2.162) se tiene 
 
 
1
tanh
2 2c
Y l
Z

 (2.163) 
 
 
 tanh / 2´
2 2 / 2
lY Y
l


 (2.164) 
 
donde Y yl . 
 
Finalmente el circuito π equivalente de la línea larga queda 
 
 
 
 
Figura 2.19. Circuito π equivalente de la línea de longitud larga. 
 
 
 
 
 
91 
2.5. POTENCIA MÁXIMA EN LA LÍNEA DE TRANSMISIÓN 
 
El estudio de potencia máxima de carga y la relación de la potencia de carga entre 
la tensión de la red nos permiten mantener la estabilidad de voltaje, estos estudios 
dependen básicamente de conocer el voltaje, la corriente, el factor de potencia y 
en algunas veces si el sistema lo requiere de dispositivos reguladores de tensión 
[1]. 
 
El flujo de potencia en la línea de transmisión puede determinarse haciendo uso 
de las constantes ABCD para cualquier red de dos puertos [9]. 
 
Para el presente estudio se parte de las ecuaciones (2.165) y (2.166) 
 
 s R RV AV BI  (2.165) 
 
 S R
R
V AV
I
B

 (2.166) 
 
Y teniendo en cuenta lo siguiente 
 
 
 
0 R R S S
A A B B
V V V V
 

   
    (2.167)Por lo tanto, de la ecuación (2.166) se obtiene, 
 
 
S R
R
V A V
I
B B
       (2.168) 
 
y la corriente conjugada *
RI [9, 11] es 
 
 
92 
 
* 
S R
R
V A V
I
B B
         (2.169) 
 
De tal forma, la potencia compleja R RV I
 (ver Apéndice B1 y B2) en el extremo 
receptor queda, 
 
 *
R R R RS V I P jQ    (2.170) 
 
 
2
 
s R R
R R
V V A V
P jQ
B B
          (2.171) 
 
y separando los términos RP y RQ , se obtiene 
 
 
2
cos cos
S R R
R
V V A V
P
B B
         (2.172) 
 
 
2
sin sin
S R R
R
V V A V
Q
B B
         (2.173) 
 
En la figura 2.20 se representan los fasores 
S RV V
B
 y 
2
RA V
B
 en su forma vectorial 
de la cual es posible representar a R RP jQ en sus componentes real e 
imaginario y así obtener la parte activa y reactiva de la potencia producida por RV 
e RI [9]. 
 
 
 
93 
 
 
Figura 2.20. Potencia compleja. 
 
 
Las ecuaciones resultantes de la figura 2.20 son 
 
 cosR R R RP V I  (2.174) 
 
 sinR R R RQ V I  (2.175) 
 
Mientras que para el factor de potencia se tiene 
 
 
2 2
cosR R R
R R
P P
FP
S P Q
  

 (2.176) 
 
donde S, PR y QR representan la potencia aparente, activa y reactiva 
respectivamente, siendo R el ángulo entre S y PR del triángulo de potencias (ver 
Apéndice B3 y B4). 
 
 
94 
Por otro lado, si se recorre el punto inicial de R RP jQ en la figura 2.20 al punto 
de origen del plano se obtiene la representación de la figura 2.21. Si se mantiene 
RV constante, el punto n se mantendrá en su posición, mientras que el punto k es 
constante para valores fijos de RV 
y sV quedando restringido a un movimiento 
circular con el punto de apoyo en n, este movimiento circular de 0 a k se debe a la 
carga. Por otro lado, si ocurre un incremento en sV para el mismo valor fijo de RV 
la localización de n se mantendrá en el mismo punto, lo que no ocurre con el 
punto k , este se moverá a lo largo del círculo hasta que el ángulo   sea cero 
indicando así un incremento máximo en la potencia entregada. A mayor 
incremento de la potencia recibida se reduce. 
 
La potencia máxima se determina por 
 
  
2
, cos
S R R
R max
V V A V
P
B B
    (2.177) 
 
Generalmente para condiciones de máxima potencia se consideran rangos de 
operación de  igual o menor de 35
0 y una relación de voltaje /S RV V 
igual o 
mayor a 0.95 [9]. 
 
 
95 
 
 
Figura 2.21. Potencia compleja desplazada al punto de origen. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
96 
CAPÍTULO III 
CÁLCULO MEDIANTE LA APROXIMACIÓN DE LÍNEA 
CORTA, MEDIA Y LARGA 
 
 
El propósito del presente Capítulo, es resolver mediante el método de flujo de 
potencia, problemas relacionados con líneas de transmisión para obtener la 
magnitud y ángulo de fase en cada una de las barras o bus, así como la potencia 
real y reactiva que fluye por la línea transmisión, sin embargo con el desarrollo de 
software para computadoras asociados a la solución de problemas de flujos de 
potencia se ha logrado obtener información adicional de manera confiable y veloz, 
con un menor índice de error, algunos de estos programas comerciales son los de 
código cerrado NEPLAN, PowerWorld y ATP, por mencionar algunos, y los de 
código abierto como lo es la herramienta de simulación basada en MATLAB 
“POWER SYSTEM ANALYSIS TOOLBOX” o por sus siglas en ingles PSAT. 
 
También se presentan ejercicios relacionados con el cálculo de magnitudes de 
voltaje y corriente a través de la línea de transmisión. De tal forma que las 
ecuaciones obtenidas en la clasificación de líneas de transmisión son útiles para 
determinar la pérdida de potencia eléctrica asociada a los parámetros de este 
elemento de transmisión. 
 
En este Capítulo la herramienta PSAT se emplea para simular los parámetros de 
la línea de transmisión y poder así observar los efectos que estos producen en el 
flujo de potencia, no obstante en el área académica es utilizada para resolver 
sistemas de flujos de potencia continuos, flujos óptimos de potencia, análisis de 
estabilidad de pequeña señal y simulaciones en el dominio del tiempo, que van 
desde pequeñas redes hasta redes de tamaño medio para sistemas reales. 
 
 
 
97 
3.1. LÍNEA DE TRANSMISIÓN DE LONGITUD CORTA 
 
Las líneas de transmisión de longitud corta son aquellas que no exceden los 80 
Km de longitud y en las cuales los parámetros de líneas de transmisión se 
consideran de forma concentrada, siendo de gran importancia únicamente la 
impedancia serie de la línea de transmisión. 
 
A continuación el ejemplo 3.1 muestra características principales que tienen los 
conductores como lo son; el tipo de conductor, diámetro y su resistencia que 
puede calcularse a diferentes temperaturas, además permite calcular la 
inductancia del conductor y poner en práctica el cálculo de voltaje bajo diferentes 
condiciones de factor de potencia [9]. 
 
Ejemplo 3.1. 
Una línea trifásica, de un circuito, 60 Hz y 18 Km se compone de conductores 26/7 
ACSR con un diámetro exterior de 0.642 in y una resistencia de R= 0.3452 Ω/milla 
a 20 0C, separados equiláteramente con 1.6 m entre centros. La línea entrega 
2,500 kW a 11 kV a una carga balanceada. Suponga una temperatura del 
conductor de 50 0C y resuelva considerando los valores base de 10 MVA 
(trifásicos) y 11 kV (línea a línea). 
 
a) Determine la impedancia serie por fase de la línea. 
 
b) Cuál debe ser el voltaje en el extremo generador cuando el factor de potencia 
es 
 
I. 80% en atraso 
II. La unidad 
III. 90 % en adelanto 
 
 
98 
c) Determine el porciento de regulación de la línea a los factores de potencia 
anteriores. 
 
 
 
 
Figura 3.1. Diagrama unifilar de línea de transmisión corta. 
 
 
Datos del sistema: 
 
1
2
11 kV 2,500 kW 1.6 m 0.321 in 0.3452 /milla F= 60 Hz
 18 Km 50 C 228
R RV P d r R
t T
     
   
 
 
En la solución de problemas en valores por unidad (ver Apéndice C) es necesario 
establecer primero los valores base del sistema, 
 
10 MVABS  
 
11 kVBV  
 
 
22 11kV
12.1 
10MVA
B
B
B
V
Z
S
   
 
 
10MVA
524.8638 A
3 3 11kV
B
B
B
S
I
V
  

 
 
99 
 a) impedancia serie por fase de línea. 
 
La resistencia a cualquier temperatura se encuentra a partir de la ecuación (2.5) 
 
  
  
-4
2
228 50 0.3452
 2.4045 10 Ω/m
228 20 1609.3
R

  

 
 
Debido a que la línea de transmisión es de un solo circuito, él RMG se obtiene de 
la tabla 2.1 
 
30.321 0.809 0.0254 6.596 10 msD
    
 
 
Para obtener la reactancia inductiva de la línea de transmisión es necesario 
determinar la inductancia de fase empleando la ecuación (2.54) 
 
7
3
1.6
2 10 ln 1.098 μh/m
6.596 10
XL


  

 
 
Por lo tanto, la reactancia por fase de la ecuación (2.58) resulta ser 
 
  6 42 60 1.098 10 4.1393 10 Ω/mLXX        
 
Finalmente la impedancia serie total Z de la línea de trasmisión queda 
 
  -4 42.4045 10 4.1393 10 18,000 8.6174 59.8478 Z j        
 
b) Voltaje en el extremo generador. 
 
I. Con factor de potencia en atraso del 80%. 
 
 
100 
Las componentes de la potencia aparente ( S ) (ver Apéndice B) son: 
 
 cosR RP S  (3.1) 
 
 sinR RQ S  (3.2) 
 
donde cos .R F P  por lo tanto 
 
1cos . 36.8698R F P
  
 
Al resolver para S en la ecuación (3.1) se obtiene que 
 
 2,500 kW
3,125 kVA
0.8
S  
 
 
Mientras que para la potencia reactiva RQ de la ecuación (3.2) se tiene que 
 
33,125 10 sin36.8698 1,874.9957 kVARRQ    
 
Por otro lado, la corriente conjugada *I se obtiene mediante la ecuación (3.3), 
 
 * 131.2159 98.4117
3 3
R R
R R
P Q
j I j
V V
    (3.3) 
 
De tal modo que al conjugar la ecuación (3.3) se obtiene la corriente de carga RI . 
 
131.215998.4117 164.0197 36.8698 ARI j    
 
 
101 
Se requiere determinar el voltaje en el extremo generador en valores por unidad, 
por lo tanto , R RV I 
y Z en valores por unidad quedan 
 
1 0RV   
 
164.0197 
0.3124 36.8698 
524.8638
RI   
 
 
8.6174 
0.7121 59.8478 
12.1
Z    
 
De tal forma, el voltaje en el extremo generador de la ecuación (2.100) es 
 
  1 0.3124 36.8698 0.7121 59.8478
1 0.2224 22.9780
1.2047 0.0868 1.2078 4.1211 V
S
S
S
V
V
V j
   
  
   
 
 
II. Con factor de potencia unitario. 
 
A factor de potencia unitario la potencia aparente S es igual a la potencia de la 
carga RP debido a que no existe ángulo de desfasamiento, de tal forma 0RQ  
y 
por lo tanto la corriente de la carga RI es, 
 
2,500 kW
131.2159 0 A
3 3 11 kV
R
R
R
P
I
V
   

 
 
que expresada en valores por unidad queda 
 
 
102 
131.2159
0.25 0 
524.8638
RI    
 
Mientras que el voltaje en el extremo generador resulta ser 
 
  1 0.25 0 0.7121 59.8478
1 0.1781 59.8478
1.0894 0.1540 1.1002 8.0461 V
S
S
S
V
V
V j
   
  
   
 
 
III. Con factor de potencia en adelanto del 90%. 
 
De las ecuaciones (3.1) y (3.2) se obtiene que 
 
2,777.7777 kVA y 25.8419RS   
 
Mientras que la potencia reactiva RQ es igual a 
 
  2,777.7777 kW sin 25.8419 1,210.8037 kVARRQ   
 
De tal forma, para la corriente conjugada *I se tiene que 
 
* 131.2159 63.5507
3 3
R R
R R
P Q
j I j
V V
    
 
Por lo tanto, la corriente de carga RI queda 
 
131.2159 63.5507 145.7954 25.8419 ARI j    
 
 
103 
y en por unidad es 
145.7954 
0.2777 25.8419
524.8638
RI   
 
 
Finalmente para el voltaje en el extremo generador se obtiene que 
 
  1 0.2777 25.8419 0.7121 59.8478
1 0.1977 85.6897
1.0148 0.1971 1.0337 10.9914 V
S
S
S
V
V
V j
   
  
   
 
 
c) Porcentaje de regulación. 
 
El porcentaje de regulación para un factor de potencia en atraso es 
 
1.2078 1
% 100 20.78
1
VR

   
 
mientras que para el factor de potencia unitario queda 
 
1.1002 1
% 100 10.02
1
VR

   
 
y con factor de potencia en adelanto se obtiene 
 
1.0337 1
% 100 3.37
1
VR

   
 
 
 
 
104 
 
3.2. LÍNEA DE TRANSMISIÓN DE LONGITUD MEDIA 
 
Las líneas de transmisión media son consideradas entre los 80 y 240 Km de 
longitud, en las cuales el parámetro de capacitancia es de importancia para los 
cálculos. Al igual que la línea de longitud corta los parámetros de la línea de 
transmisión se consideran de forma concentrada. 
 
El ejemplo 3.2 muestra los valores reales serie y paralelo de la línea de 
transmisión, de los cuales es posible obtener los parámetros de transmisión. Este 
ejemplo tiene como propósito poner en práctica mediante el cálculo en valores por 
unidad el uso de las constantes ABCD [5]. 
 
Ejemplo 3.2. 
Una línea trifásica de 60 Hz, 230 kV y 150 Km tiene una impedancia serie, 
z = 0.08+0.48 Ω/Km y una admitancia en derivación y = 3.333 x 10
-6 S/Km. A plena 
carga, la línea entrega 250 MW con un factor de potencia de 0.99 a 220 kV. 
Usando el circuito π nominal, calcule: a) los parámetros ABCD , b) la tensión y la 
corriente en el extremo emisor y c) el porcentaje de regulación de la tensión. 
 
Resuelva usando los valores base de 100 MW (trifásicos) y 230 kV (línea a línea). 
 
Datos del sistema: 
 
-6220 kV 250 MW 0.08 0.48 /Km 3.33 10 S/Km 150 Km
. 0.99 60 Hz 
R RV P z y l
F P F
       
  
 
 
 
105 
 
 
Figura 3.2. Diagrama unifilar de línea de trasmisión media. 
 
 
Los valores base del sistema son: 
 
230 kVBV  
 
100 MWBS  
 
 
2
230 kV
529 
100 MW
BZ   
 
 
100 MW
251.0218 A
3 230 kV
BI  

 
 
La impedancia serie y admitancia en derivación totales de la línea quedan 
 
4
12 72 73 80.5376 
5 10 90 S
Z zl j
Y yl 
     
   
 
 
Mientras que sus valores en por unidad son 
 
73
0.1379 80.5376 
529
Z   
 
 
106 
1
1
2,000 
2,000
3.7807 p.u
529
p.u 0.2645 p.u
C
C
C
B
C
Y X
X
X
Z
X Y j


  
  
  
 
a) Determinación de las constantes ABCD de las ecuaciones (2.13) a (2.15). 
 
  0.1379 80.5376 0.2645 90
1
2
1 0.0182 170.5376
0.9820 0.0029 0.9820 0.1692
A D
A
A j
  
    
 
  
   
 
 
0.1379 80.5376B Z   
 
  
 
0.1379 80.5376 0.2645 90
0.2645 90 1
4
0.2645 1 0.0091 170.5376
C
C j
  
   
 
  
 
 
 0.2645 0.9910 0.0015
0.00039 0.2621 0.2617 89.9147
C j j
C j
 
     
 
 
b) Corriente y tensión en el extremo emisor. 
 
De las ecuaciones (3.1) y (3.2) se tiene que 
 
 
107 
252.5252 MVA y 8.1096RS   
 
Por lo tanto para la potencia RQ se obtiene que 
 
sin 35.6230 MVARR RQ S    
 
De tal forma, la corriente conjugada *I es 
 
* 656.0798 93.4861
3 3
R R
R R
P Q
j I j
V V
    
 
y la corriente de carga RI 
en por unidad queda 
 
656.0798 93.4861
2.64 8.1096 
251.0218
R
j
I

   
 
Mientras que el voltaje de carga RV en por unidad es 
 
220 kV
0.9565 0
230 kV
RV    
 
Finalmente el voltaje y la corriente en el extremo emisor se obtienen de las 
ecuaciones (3.108) y (3.109) respectivamente 
 
     0.9565 0.9820 0.1692 2.64 8.1096 0.1379 80.5376
0.9392 0.1692 0.3640 72.4280
0.9391 0.0027 0.1099 0.3470
S
S
S
V
V
V j j
    
   
   
 
 
108 
1.049 0.3497 1.1057 18.4365 VSV j   
 
 
     0.2617 89.9147 0.9565 0.9820 0.1692 2.64 8.1096
0.2503 89.9147 2.5924 7.9404
0.00037 0.2503 2.5675 0.3581
2.5678 0.6084 2.6389 13.3295 A
R
R
R
R
I
I
I j j
I j
    
   
   
   
 
 
c) Porcentaje de regulación. 
 
El porcentaje de regulación para líneas de transmisión de longitud media se 
determina mediante la ecuación (2.114), de tal forma que 
 
 1.1057 / 0.9820 0.9565
% 100 17.7174
0.9565
VR

   
 
 
3.3. LÍNEA DE TRANSMISIÓN DE LONGITUD LARGA 
 
Las líneas de transmisión largas tienen longitudes superiores a las comprendidas 
en las líneas medias, la representación de línea de transmisión larga es muy 
similar a la de línea media, con la diferencia en que los parámetros de transmisión 
son considerados de forma distribuida uniformemente a lo largo de toda la línea. 
 
El ejemplo 3.3 permite calcular voltajes y corrientes mediante la aproximación de 
líneas medias y largas, con el propósito de comparar los datos obtenidos mediante 
estas dos aproximaciones [9]. 
 
 
 
109 
Ejemplo 3.3. 
Una línea de transmisión trifásica de 60 Hz tiene una longitud de 175 millas. La 
línea tiene una impedancia serie total de 35 + j140 Ω y una admitancia en paralelo 
de 930 x 10-6 S. Entrega 40 MW a 220 kV con 90% de factor de potencia en 
atraso. Encuentre el voltaje en el extremo generador mediante a) la aproximación 
del circuito π nominal, b) la ecuación de las líneas largas y c) la regulación de 
voltaje de los incisos a, y b suponiendo que el voltaje en el extremo generador 
permanece constante. 
 
Realizar los cálculos en valores por unidad tomando una base de 100 MW 
(trifásicos) y 220 kV (línea a línea). 
 
 
 
 
Figura 3.3. Diagrama unifilar de línea de transmisión larga. 
 
 
Datos del sistema: 
 
6 6220 kV 35 140 144.3086 75.963 930 10 90 930 10 
40 MW . 0.90 
R
R
V Z j Y j S
P F P
           
 
 
 
Los valores base del sistema son: 
 
100 MVABS  
 
110 
 
220 kVBV  
 
 
22 220kV
484 
100MVA
B
B
B
V
Z
S
   
 
 
100
262.4319 A
3 3220kV
B
B
B
S MVA
I
V
   
 
Mediante las ecuaciones (3.1) y (3.2) se obtiene 
 
25.8419
44.444444 MVA
19.372861 MVAR
R
R
S
Q
 


 
 
y mediante la ecuación (3.3), la corriente conjugada *I 
 
 * 104.9727 50.84053 3
R R
R R
P Q
j I j
V V
    
 
Por lo tanto, la corriente de carga RI es 
 
104.9727 50.8405 116.636 25.8419 ARI j   
 
Los valores reales expresados en por unidad quedan 
 
 
35 140
0.0723 0.2892 0.3 75.9637 
484B
Z j
j
Z

     (3.4) 
 
 
111 
1 1,075.2688CY X
  
 
 
1,075.2688
2.2216 p.u
484
C
C
B
X
X
Z
  
 
 
 1p.u 0.4501 p.uCX Y j
   (3.5) 
 
 
40 MW
0.4 
100 MVA
R
B
P
S
  (3.6) 
 
 
19.372861 MVAR
0.19372 
100 MVA
R
B
Q
S
  (3.7) 
 
 
104.9727 50.8405
0.3999 0.1937 0.4443 25.8419 
262.4319
R
B
I j
I

     (3.8) 
 
a) Solución mediante la aproximación de línea de longitud media. 
 
Partiendo de la ecuación (2.113) se obtienen el voltaje y la corriente del extremo 
generador, 
 
 
S R R
S R R
V AV BI
I CV DI
 
  (3.9) 
 
Resolviendo para las constantes ABCD de la ecuación (3.9) se obtiene que 
 
 
0.3 75.9637 0.4501 90 
1
2
1 0.0675 165.9637
A D
A
   
    
 
   
 
112 
 0.9345 0.0163 0.9346 1A j    (3.10) 
 
 0.3 75.9637B Z   (3.11) 
 
 
 
 3
3
0.3 75.9637 0.4501 90 
0.4501 90 1
4
0.4501 1 0.0337 165.9637
0.4501 0.9673 8.1734 10
3.67788 10 0.4353 0.4353 89.5159
C
C j
C j j
C j


   
   
 
  
  
      (3.12) 
 
Por lo tanto, al sustituir las ecuaciones (3.10) a (3.12) en (3.9) se obtiene el voltaje 
y la corriente en el extremo generador, 
 
     0.9346 1 1 0.3 75.9637 0.4443 25.8419
0.9346 1 0.1332 50.1218
S
S
V
V
    
   
 
 
0.9344 0.0163 0.0854 0.1022
1.0198 0.1185 1.0266 6.6280
S
S
V j j
V j
   
   
 
 
     0.4353 89.5159 1 0.9346 1 0.4443 25.8419
0.4353 89.5159 0.4152 24.8419
S
S
I
I
    
   
 
33.6778 10 0.4352 0.3767 0.1744
0.3803 0.6096 0.7184 58.0419
S
S
I j j
I j
    
   
 
 
 
113 
Finalmente para su regulación de voltaje se tiene que 
 
 1.0266 / 0.9346 1
% 100 9.8437
1
VR

   
 
b) Solución mediante las ecuaciones de líneas de longitud larga. 
 
Para el caso de líneas largas se tiene que 
 
 
/CZ z y
l zyl

 (3.13) 
 
donde z e y son la impedancia y admitancia paralelo en unidades por longitud 
respectivamente, las cuales se obtienen mediante, 
 
 
35 140
0.2 0.8 0.8246 75.9637 Ω/milla
175
j
z j

      (3.14) 
 
 
6
6930 10 5.3142 10 90 S/milla
175
j
y S

    (3.15) 
 
Sustituyendo las ecuaciones (3.14) y (3.15) en (3.13) se obtiene, 
 
6 75.9637 900.8246 / 5.3142 10
2
393.9151 7.0181 
C
C
Z
Z
   
  
 
 
que expresada en valores por unidad queda
 
 
114 
393.9151 7.0181
0.8138 7.0181 
484

 
 
 
y l es igual a 
 
6 75.9637 900.8246 5.3142 10 175 
2
0.3663 82.9818
0.0447 0.3635
l
l
l j j


  
     
 
   
 
 
donde 0.3635 20.8270rd  
 
Por otro lado, al resolver las ecuaciones (2.156) y (2.157) se obtienen las 
funciones hiperbólicas, 
 
 
 
cosh 0.9354 0.0159 0.9355 0.9738l j     
 
0.0447 0.04471 1sinh 20.827 20.827
2 2
sinh 0.4886 0.1859 0.4468 0.1700
sinh 0.0418 0.3559 0.3583 83.3013
l
l j j
l j
  


   
   
    
 
El voltaje y corriente en el extremo generador se obtienen mediante las 
ecuaciones (2.147) y (2.148) 
0.0447 0.04471 1cosh 20.827 20.827
2 2
cosh 0.4886 0.1859 0.4468 0.1700
l
l j j
  

   
   
 
 
115 
    
0.9355 0.9738 0.1295 50.4413
0.9353 0.0158 0.0824 0.0998
1.0177 0.1156 1.0242 6.4804
1
0.3583 83.3013 0.4443 25.8419 0.9355 0.9738
0.8138 7.0181
0.4402 90.3194 0.4156 
S
S
S
S
S
V
V j j
V j
I
I
   
   
   
 
     
 
   
3
24.8681
2.4539 10 0.4401 0.3770 0.1747
0.3745 0.2654 0.4590 35.3243
S
S
I j j
I j


     
   
      1 0.9355 0.9738 0.4443 25.8419 0.8138 7.0181 0.3583 83.3013SV      
 
 
Por último, la regulación de voltaje se determina mediante la ecuación (2.114) 
usando coshA l .
 
 
 1.0242 / 0.9355 1
% 9.4815
1
VR

 
 
 
Finalmente se comprueba mediante estas dos aproximaciones que los resultados 
obtenidos son muy cercanos unos con otros y que sin importar que método se 
utilice se obtendrá un resultado favorable, sin embargo para cuestiones donde la 
exactitud sea un requisito se opta por el método de líneas largas. 
 
 
 
 
 
 
116 
3.4. SIMULACIÓN 
 
Para realizar la simulación de los parámetros de líneas de transmisión se 
seleccionó en ejemplo 3.3, el cual cumple con características que permiten un 
mejor entendimiento, ya que se encuentra entre los límites de líneas de 
transmisión medias y largas. Los valores establecidos para los parámetros de 
transmisión son confiables y satisfacen al problema, el cálculo que se realiza toma 
valores base comúnmente utilizados en la práctica y además la línea de 
transmisión opera dentro del rango para condiciones de carga. La simulación se 
realiza mediante la herramienta de simulación PSAT, con la intención de obtener 
de forma gráfica el comportamiento de la línea de transmisión cuando se 
incrementan los parámetros de transmisión. 
 
La comunicación entre el usuario y la herramienta de simulación PSAT tiene una 
forma específica para realizarse, la cual se muestra en la referencia [III]. En la 
figura 3.4 se muestra la ventana IGP principal de PSAT, en la cual se cargan los 
datos del sistema para proceder con la simulación. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.4. Interfaz Gráfica de PSAT (IGP principal). 
 
117 
Una vez terminada la simulación en el programa, la herramienta de simulación 
PSAT genera un reporte completo del sistema simulado, este se muestra en la 
tabla 3.1. 
 
 
Tabla 3.1. Reporte del sistema de flujo de potencia. 
REPORTE DEL FLUJO DE POTENCIA 
Bus V rad GenP GenQ RP RQ 
1 1.0242 0.1131 0.4117 0.2193 0 0 
2 0.99706 0.00256 0 0 0.4 0.1937 
 
 Generación total Carga total Pérdidas totales 
P Q P Q P Q 
1 0.4117 0.2193 
0.0117 0.413 
2 0.4 0.1937 
 
 
Los datos obtenidos mediante la herramienta de simulación PSAT, reportados en 
la tabla 3.1, son muy próximos a los calculados en el ejemplo 3.3. Con esto se 
comprueba la veracidad del ejemplo resuelto. Sin embargo se desea simular el 
comportamiento de la línea de transmisión con incrementos en los parámetros de 
transmisión suponiendo un voltaje fijo en el extremo generador ¿pero qué sucede 
si se incrementa alguno de los parámetros manteniendo los otros restantes en 
forma constantes? sin duda ocurre un cambio de flujo de potencia que modifica la 
respuesta en el extremo receptor, debido a que las condiciones no satisfacen a lo 
establecido en el ejemplo 3.3. La magnitud de los cambios originados por los 
parámetros se podrán observar en las siguientes Secciones. 
 
En las siguientes Secciones se exponen únicamente los parámetros serie de la 
línea de transmisión, debido a que son estos los que modifican directamente el 
flujo de potencia. 
 
118 
3.4.1. Incremento en la resistencia 
 
En la tabla 3.2 se muestran valores de resistencia, que van de cero hasta un valor 
en el cual el sistema este fuera de convergencia o de estabilidad. Los otros dos 
parámetros restantes se mantienen constantes durante los incrementos en la 
resistencia. Al igual se muestra en la tabla 3.2 los valores de V [p.u.], 
, [ ] [ ]P Q p.u y p.u obtenidos de la herramienta de simulación PSAT para cada 
valor de resistencia. 
 
El aumento en la resistencia provoca un comportamiento sobre la línea de 
transmisión que puede apreciarse en la figura 3.5. La resistencia como parte real 
de la impedancia serie de la línea de transmisión consume sólo potencia real o 
activa que se suma a la consumida por la carga. Se supone para caso de estudio 
queel generador mantiene un valor fijo de VS , con el objetivo de no compensar la 
tensión en VR, por lo tanto con el incremento gradual en la resistencia hasta un 
punto en el cual el sistema sea inestable se ocasiona un aumento en la potencia 
total transmitida (S), sin embargo el aumento de potencia es más evidente en su 
parte real (P) que en su parte imaginaria (Q), tal aumento es provocado por el 
incremento ocasional de la corriente, debido a que la resistencia actúa como 
dispositivo de carga y a consecuencia por mantener fijo VS las pérdidas de tensión 
no son compensadas para mantener estable la tensión en VR, esto es sencillo de 
entender si se tiene en cuenta la siguiente igualdad S=VI y suponer que S 
permanece constante cuando I tiende a incrementarse, por consiguiente V tendrá 
que disminuir para mantener la igualdad. 
 
La potencia activa transmitida por la línea de transmisión es de gran interés debido 
a que es la parte que produce trabajo útil. A mayor resistencia sobre la línea de 
transmisión mayor será la potencia activa absorbida por ella, independientemente 
de la carga que esté conectada, hasta un punto en el cual la resistencia absorbe 
demasiada potencia activa, ocasionando que en los puntos de carga no se 
abastezca satisfactoriamente la potencia necesaria requerida por la demanda. 
 
119 
Mediante la ecuación (3.16) se obtiene la potencia máxima que puede transmitir la 
línea de transmisión con una impedancia totalmente resistiva. 
 
 
2
4
S
máx
V
P
R
 (3.16) 
 
Sin embargo, el sistema permite una transmisión de potencia aun mayor de la que 
se obtiene en la ecuación (3.16) antes de que el sistema sea inestable, pero el 
voltaje en el extremo receptor estaría fuera de los rangos establecidos [6]. 
 
 
Tabla 3.2. Efecto de la resistencia sobre la línea de transmisión. 
[p.u]R [p.u]V  [p.u]P [p.u]Q 
0 1.0308 0.1893 0.4 0.2373 
0.025 1.0194 0.0632 0.4038 0.2312 
0.05 1.0077 0.0525 0.4079 0.2249 
0.0723 0.9970 0.1468 0.4117 0.2193 
0.1 0.9835 0.2515 0.4166 0.2120 
0.3 0.8712 0.5240 0.4634 0.1520 
0.5 0.6965 0.5736 0.5722 0.0519 
0.55 0.5958 1.4902 0.6679 0.0186 
0.6 0.3676 3.7647 0.9216 0.1784 
0.65 0.2847 6830021 1.6196 0.0569 
0.7 0.3078 6589996 1.5607 0.6003 
0.8 0.9070 1.6506 0.1954 0.3296 
0.81 0.3579 6063313 1.4782 0.4442 
0.82 0 12359874 1.1377 0.1651 
 
 
De los valores obtenidos en la tabla 3.2 se obtiene la representación gráfica de la 
 
120 
 
Figura 3.5. Efecto de la resistencia sobre la línea de transmisión. 
 
 
3.4.2. Incremento en la reactancia inductiva 
 
Del mismo modo como se analizó el efecto de la resistencia, los datos de la tabla 
3.3 muestran valores de 0X  hasta un punto en el cual el valor del voltaje RV 
presente cambios significativos, con la diferencia que en este caso de estudio los 
parámetros R Y e permanecen constantes con valores predeterminados en el 
ejemplo 3.3. 
 
La reactancia inductiva como parte imaginaria de la impedancia serie de la línea 
de transmisión al incrementarse tendrá un comportamiento tal como se muestra en 
la figura 3.6. La reactancia provocará un aumento en la potencia total transmitida 
por la línea de transmisión (S), pero en este caso el efecto es más reflejado en la 
parte reactiva (Q), este tipo de energía originado por la reactancia (X) no es 
 
121 
energía útil para producir trabajo (energía que no se consume) por lo que 
permanece sobre la línea de transmisión en forma de campos magnéticos 
limitando el transporte de energía y originando pérdidas eléctricas que se ven 
reflejadas en VR, pero de menor magnitud que las producidas por la resistencia. 
Observe que para un valor de 0.5X  la caída de tensión en RV y la potencia P 
son de menor magnitud que la producida por la resistencia para un mismo valor de 
X , lo cual indica que una línea inductiva produce menores pérdidas eléctricas que 
las producidas por la línea resistiva. 
 
 
Tabla 3.3. Efecto de la inductancia sobre la línea de transmisión. 
[p.u]X [p.u]V  [p.u]P [p.u]Q 
0 0.9951 6.3617 0.4117 0.2652 
0.1 0.9973 4.1136 0.4117 0.2500 
0.2 0.9980 1.8675 0.4116 0.2342 
0.2892 0.9970 0.1468 0.4117 0.2193 
0.4 0.9934 2.6842 0.4118 0.1992 
0.5 0.9872 5.0348 0.4119 0.1793 
0.6 0.9774 7.482 0.4121 0.1565 
0.8 0.9388 12.9791 0.4131 0.0954 
0.9 0.8891 16.4738 0.4143 0.0470 
1 0.7737 23.4796 0.4197 0.0970 
1.03 5.574 413.128 4.2051 2.7273 
1.06 0.4513 5401532 0.3678 0.7503 
1.1 0 13015928 0.0624 0.7134 
 
 
En la figura 3.6 se obtiene la representación gráfica de los resultados mostrados 
en la tabla 3.3. 
 
 
122 
 
 
Figura 3.6. Efecto de la reactancia inductiva sobre la línea de transmisión. 
 
 
Por otro lado, la línea de transmisión puede transportar una potencia máxima a la 
carga cuando la resistencia de la carga es igual a la reactancia de la línea de 
transmisión, en este momento la línea reactiva permite suministrar dos veces más 
potencia que la línea resistiva. La potencia activa máxima que puede transportar la 
línea inductiva se consigue obtener mediante [6], 
 
 
2
2
S
máx
V
P
X
 (3.17) 
 
 
 
 
 
 
123 
CONCLUSIONES 
 
El estudio de los elementos del Sistema Eléctrico de Potencia resulta de gran 
importancia cuando se requiere el transporte y comercialización eficaz de la 
energía eléctrica. Es así que los estudios asociados a la línea de transmisión 
detallan los parámetros que la caracterizan como el elemento, dentro del Sistema 
Eléctrico de Potencia, que mayor pérdida de energía eléctrica presenta. En el 
análisis de líneas de transmisión los parámetros se concentran en dos grupos, 
uno con respecto a la rama serie formado por la parte real resistiva y la parte 
imaginaria por la reactancia inductiva y el otro grupo representa a la rama paralelo 
compuesta por la parte real de la conductancia, que generalmente suele 
despreciarse en este tipo de estudio, y la parte imaginaria que corresponde al 
efecto capacitivo. Otro aspecto que resulta importante en este tipo de estudio es la 
geometría que existe entre los conductores de la línea de transmisión, por que a 
partir de ella se analizan los efectos inductivos y capacitivos. En el transporte de la 
energía eléctrica, el análisis de la geometría y de los parámetros de la línea de 
transmisión ha permitido desarrollar ecuaciones pertinentes para determinar la 
caída de tensión que se presentan en el transporte de la energía a corta o larga 
distancia, en donde se distingue que; el parámetro de la resistencia depende de la 
resistividad del conductor, la cual se opone al flujo de corriente, originando así 
pérdida de energía eléctrica en forma de calor, la inductancia es el parámetros que 
relaciona la pérdida de energía almacenada en el campo magnético variable 
originado por la corriente de la línea y la capacitancia representa las pérdidas 
eléctricas producidas por la corriente de carga (Icarga), que es originada en el 
entorno del campo eléctrico por el diferencial de tensión entre los conductores, 
esta corriente se suma a la corriente de la línea. Aunque en ocasiones la 
capacitancia se desprecia en líneas cortas su valor adquiere importancia conforme 
se incrementa la longitud de la línea, siendo de gran interés en líneas de 
trasmisión largas. 
 
 
124 
Por otro lado, mediante la solución de problemas característicos de líneas de 
transmisión bajo diferentes condiciones de carga, se logró determinar el nivel de 
tensión apropiado que debe suministrar el generador para compensar la caída de 
tensión, que se produce naturalmente por los parámetros de la línea al transmitir 
energía eléctrica. 
 
Finalmente dentro de esta investigación se expusieron los efectos que causan la 
rama serie de la línea de transmisión, porser los parámetros que afectan 
directamente el transporte de la energía eléctrica. Mediante la herramienta de 
simulación PSAT se logró variar estos parámetros con el fin de obtener el 
comportamiento que adquiere la línea de transmisión, cabe mencionar que por 
medio de la simulación se identificó fácilmente que él parámetro de la resistencia 
es él que mayor pérdida de energía eléctrica ocasiona seguido por el de la 
inductancia y por último se entiende que la capacitancia representa una pérdida de 
menor magnitud que los parámetros anteriores, por ser un parámetro presente en 
la rama paralelo y por tal no afecta directamente al flujo de potencia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
125 
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Interamericana. Primera edición. ISBN 968-25-0751-0. 
 
[12] Dorf, Richard C. – Svoboda, James A. (2011). Circuitos eléctricos. México. 
Alfaomega. Octava edición. ISBN 978-607-707-232-4. 
 
[13] Roadstrum, H. William.- Wolaver, H. Dan. (1999). Ingeniería eléctrica para 
todos los ingenieros. México. Segunda edición. ISBN 970-15-0223-X. 
 
[14] Mahmood, Nahvi.- Joseph, A. Edminister. (2005). Circuitos eléctricos. México. 
Mac Graw Hill. Cuarta edición. ISBN: 844-8145-43-7. 
 
 
Referencias electrónicas 
 
[I] Obregón Castellanos Rafael. – Doniz González Virginia. – Cué Aguilar 
Gumersindo (2006). Prospectiva del sector eléctrico 2006-2015. Secretaria de 
energía. Primera edición. ISBN 968-8742-03-1. [En línea]. Disponible en http:// 
www.sener.gob.mx/res/PE y DT/pub/prospsectelec2006.pdf [2012,15 Enero]. 
 
[II] Díaz Bautista Alejandro. – Doniz González Virginia. - Cué Aguilar Gumersindo 
(2010). Prospectiva del sector eléctrico 2010-2025. Secretaria de energía. [En 
línea].Disponible en http://www.sener.gob.mx/res/SECTORELECTRICO.df 
[2012, 15 Enero]. 
 
[III] Holguín, A. Jorge.- Ocampo, Z. Julián. (2010). Manual básico de la 
implementación de la herramienta de simulación “POWER SYSTEM 
ANALYSIS TOOLBOX”, PSAT. Monografía en ingeniería eléctrica. Universidad 
http://www.sener.gob.mx/res/PE%20y%20DT/pub/prospsectelec2006.pdf%20%5b2012
http://www.sener.gob.mx/res/SECTORELECTRICO.df
 
127 
Nacional de Colombia, Manizales. Disponible en: 
http:www.es.escribd.com/doc/39011778 [2011, 1 Diciembre]. 
 
[IV] CFE, Comisión Federal de Electricidad (2011, 12 Diciembre). Estadísticas. 
Transmisión y distribución [En línea]. Disponible en http://www.cfe.gob.mx/ 
QUIENESSOMOS/ESTADISTICAS/Paginas/transmisión y distribución.aspx 
[2012, 15 Enero]. 
 
[V] Pura, C. Roy (2004). Panorama. Breve historia de la electricidad [En línea]. 
Disponible en http:// tecnicaindustrial.es/ TIFrontal/ a-1432- Breve-historia 
electricidad. aspx [2011, 6 Diciembre]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
http://www.cfe.gob.mx/
 
128 
APÉNDICE A 
VOLTAJES Y CORRIENTES EN CIRCUITOS TRIFÁSICOS 
 
 
Los circuitos trifásicos tienen la ventaja de mantener tres líneas de fase con 
características idénticas y poder obtener alimentación tanto para circuitos 
monofásicos como trifásicos. En los circuitos trifásicos se presenta una secuencia 
de fases que está determinada por la fase que alcanza primero su valor máximo 
de voltaje seguida de las otras dos fases restantes con voltajes balanceados, es 
decir tener amplitudes idénticas (Voltaje y Frecuencia) y desfasadas exactamente 
1200 eléctricos una con respecto a otra [2, 12]. 
 
 
A.1. Voltajes y corrientes en Estrella (Y) 
 
Los desfasamientos de voltajes y corrientes por fases en una conexión Y se 
presentan en las ecuaciones (A.1) a (A.3) en forma anti-horaria. Suponiendo que 
la carga es totalmente resistiva la corriente en cada una de las fases tendrán el 
mismo ángulo que sus voltajes (Kosow, 1998). 
 
 0, 0an aV V I I     (D.1) 
 
 120, 120bn bV V I I     (D.2) 
 
 240, 240cn cV V I I     (D.3) 
 
donde los subíndices , a b y c indican el número de fase mientras que n la 
conexión al neutro. 
 
 
129 
Si el circuito esta balanceado la corriente de fase es igual en cada una de ellas, en 
una conexión en Y la relación de corrientes no cambian por lo tanto IL = IØ. Por 
otro lado para el análisis de la ecuación (A.4) se consideran las fases a y b 
balanceadas para determinar el voltaje de línea ab, sin embargo el análisis es útil 
para cualquier representación de fases (ac o bc). 
 
 
 
 
 0 120
1 3 3 3
 
2 2 2 2
3 1
 3 
2 2
ab a b
ab
ab
ab
V V V
V V V
V V V j V V j V
V V j
 
    

 
   
 
       
 
 
   
 
 (D.4) 
 
La ecuación (D.4) da como resultado en la ecuación (A.5) el desfasamiento del 
voltaje de línea a línea entre el de línea a neutro [12]. 
 
 
3 30
3 90
3 210
ab
bc
ca
V V
V V
V V



 
 
  (D.5) 
 
 
A.2. Voltajes y corrientes en Delta (∆) 
 
A diferencia de una conexión Y los devanados en ∆ no tienen conexión entre fase 
y neutro, por lo cual los voltajes únicamente se consideran de línea a línea. Los 
 
130 
desfasamientos de voltajes y corrientes de la conexión delta para una carga 
puramente resistiva están representados por las ecuaciones (A.6) a (A.8) [2]. 
 
 0, 0ab abV V I I     (D.6) 
 
 120, 120bc bcV V I I     (D.7) 
 
 240 , 240ca caV V I I     (D.8) 
 
Como no existe conexión de fase al neutro, la única conexión existente para el 
voltaje es la de línea a línea, por lo tanto se considera que en una conexión delta 
LV V . Por otro lado el desfasamiento que existe entre la corriente de fase y 
línea, considerando una carga resistiva y balanceada, se determina en la ecuación 
(A.9), de igual forma esta ecuación es útil para cualquier representación de fases. 
 
 
 
 0 240
1 3 3 3
 
2 2 2 2
3 1
 3 
2 2
a ab ca
a
a
a
I I I
I I I
I I I j I I j I
I I j
 
    

 
   
 
       
 
 
   
 
 (D.9) 
 
Finalmente se obtiene en la ecuación (A.10) el desfasamiento entre la corriente de 
fase y la corriente de línea [12]. 
 
 3 30
 3 90
a
b
I I
I I


 
 
 
 
131 
 3 210cI I  (D.10) 
 
En la figura A.1 se representa en forma vectorial el desfasamiento de voltajes y 
corrientes en conexiones estrella y deltarespectivamente y se puede observar que 
se tiene un desfasamiento entre voltajes y corrientes de línea con lo de fase de 
300. 
 
 
 
 
Figura A.1. Desfasamiento entre voltajes y corrientes. a) Voltajes de línea a línea y de 
fase (línea a neutro) conectados en Estrella y b) Corrientes de línea a línea y de fase 
conectadas en Delta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
132 
APÉNDICE B 
POTENCIA ELÉCTRICA 
 
 
B.1. Potencia Compleja 
 
La potencia compleja es el producto del fasor de voltaje con el conjugado del fasor 
de la corriente, comúnmente se denota por [13], 
 
 *S S P jQ VI     (E.1) 
 
o particularmente como 
 
 cosP VI  (E.2) 
 
 sinQ VI  (E.3) 
 
  cos sinS VI j   (E.4) 
 
donde S es la potencia aparente en volt-ampere VA , P la potencia activa o real 
en watts W y Q es la potencia reactiva en volts-ampere reactivos VAR . 
 
 
B.2.Conjugado de un número complejo 
 
Suponiendo el número complejo I X jY  su conjugado se denota por 
*I X jY  , observe que en el plano complejo las partes reales de I e I* son 
idénticas. En la conjugación de números complejos sólo la parte imaginaria es 
 
133 
afectada por un cambio de signo (Mahmood y Joseph, 2005). Para la 
representación de números complejos se tiene que: 
 
i. En forma exponencial: A jI   , * A jI   . 
 
ii. En forma polar: A I   , * A I   . 
 
iii. En forma trigonométrica:  A cos sinI j   ,  * A cos sinI j   . 
 
La conjugación tiene las siguientes propiedades útiles: 
 
i.  
*
*I I . 
 
ii.  
* * *
1 2 1 2 I I I I   . 
 
iii.  
* * *
1 2 1 2 I I I I   . 
 
iv.  
* * *
1 2 1 2/ /I I I I . 
 
 
B.3. Factor de Potencia 
 
El factor de potencia en un circuito de corriente alterna es la relación que existe 
entre la potencia aparente y activa, de tal forma se expresa como 
 
 / adimensionalFP P S (E.5) 
 
Comúnmente el factor de potencia se expresa en porcentaje, indicando que 
cantidad de la potencia aparente es parte activa o reactiva, de otra forma él FP se 
 
134 
puede expresar en función del ángulo que existe entre el voltaje y la corriente, que 
es idéntico al obtenido en el triángulo de potencia [6]. 
 
 cos /FP P S  (E.6) 
 
Si se conoce el factor de potencia es posible calcular el ángulo entre el voltaje y la 
corriente mediante, 
 
 1cos ( )FP  (E.7) 
 
o por medio de la tangente del ángulo de la relación entre Q y P 
 
 arctan ( / )Q P  (E.8) 
 
Los términos de factor de potencia en atraso o en adelanto se refieren al atraso o 
adelanto respectivamente que tiene la corriente con respecto al voltaje. 
 
 
B.4. Triángulo de Potencia 
 
El triángulo de potencia representa las componentes de la potencia compleja en 
forma de triángulo rectángulo, tal como se muestra en la figura B.1, con S como la 
hipotenusa, P como la abscisa y Q como la ordenada. 
 
Si P y Q son positivas se dice que la carga absorbe energía y la corriente de la 
línea que va a la carga se atrasa en  grados con respecto al voltaje de 
alimentación, mientras que para Q negativas se dice que la corriente se adelanta 
en  grados con respecto al voltaje. Las cargas en adelanto corresponden a 
cargas capacitivas, mientras que para cargas en atraso a cargas inductivas [6, 13]. 
 
135 
A continuación se presentan algunas reglas para la representación del triángulo de 
potencias [6]. 
 
i. La potencia P absorbida por un circuito es positiva y se traza 
horizontalmente hacia la derecha. 
 
ii. La potencia P suministrada por un circuito es negativa y se traza 
horizontalmente hacia la izquierda. 
 
iii. La potencia Q adsorbida por un circuito es positiva y se traza verticalmente 
hacia arriba. 
 
iv. La potencia Q suministrada por un circuito es negativa y se traza 
verticalmente hacia abajo. 
 
Las componentes de potencia , S P y Q convenientemente se representan como 
vectores, pero no lo son. En la figura B.2 se representan vectorialmente las 
componentes de la potencia bajo diferentes condiciones de carga. 
 
 
 
 
Figura B.1. Representación del triángulo de potencias. 
 
136 
 
 
Figura B.2. Triángulo de potencia bajo diferentes condiciones de carga. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
137 
APÉNDICE C 
REPRESENTACIÓN DE VALORES EN POR UNIDAD 
 
 
C.1. Valores en por unidad 
 
El cálculo por unidad tiene la ventaja de simplificar los cálculos, representando los 
resultados reales en un valor mucho más pequeño (cercanos a 1) que 
generalmente se expresan en decimales o porcentuales en forma adimensional. 
Los valores en por unidad corresponden simplemente en un cambio de escala de 
las dimensiones de V, I, Z y S a partir de un valor base o de referencia elegido 
convenientemente, de tal manera se define que el valor en por unidad (p.u), es la 
relación entre el valor real y el valor base elegido. 
 
A partir de los valores base de corriente y voltaje, se pueden obtener los valores 
base de impedancia y potencia o de cualquiera de dos de esos valores obtener los 
otros restantes. Las siguientes ecuaciones determinan los valores base de dos 
dimensiones de circuitos eléctricos; en sistema monofásico y trifásico [1, 9]. 
 
Sistema monofásico: 
 
 =
Ln
B
B
B
S
I
V
 (F.1) 
 
 = Ln
B
B
B
V
Z
I
 (F.2) 
 
 
 
1
2
 =
LnB
B
B
V
Z
S

 (F.3) 
 
 
138 
Sistema trifásico: 
 
 3 =
3
LL
B
B
B
S
I
V
 (F.4) 
 
 
 
3
2
/ 3
 =
/ 3
LLB
B
B
V
Z
S

 (F.5) 
 
 
 
3
2
=
LLB
B
B
V
Z
S

 (F.6) 
 
Por lo tanto, el valor en por unidad de cualquiera de la dimensiones antes 
mencionadas se puede obtener mediante, 
 
 
Valor real 
p.u. adimencional
Valor base
 (F.7) 
 
Para el cálculo de los valores en por unidad se debe de considerar lo siguiente 
 
 Usar voltajes de línea a línea (
LLB
V ) con la potencia trifásica (
3B
S

) y 
 
 Usar voltajes de línea a neutro (
LnB
V ) con la potencia monofásica (
1B
S

) 
 
En sistemas trifásicos es una práctica común realizar los cálculos en función de 
una sola fase, que se supone balanceada, así la potencia de fase es 
3
/ 3BS  
y su 
voltaje es / 3
LLB
V . 
 
En algunas ocasiones surge la necesidad de realizar un cambio de base dentro 
del sistema, el cual se consigue mediante, 
 
139 
 
2
 p.u = p.u dados nuevos
nuevos dados
B B
nueva dada
B B
V S
Z Z
V S
   
   
   
   
 (F.8) 
 
“La aplicación de la ecuación (F.8) consiste en cambiar el valor de la impedancia 
en por unidad de cualquier componente que se da sobre una base en particular a 
otra base nueva” [9]. 
 
El siguiente ejemplo muestra la forma de convertir los valores reales en p.u. y 
pone en práctica el uso de las ecuaciones descritas en este Apéndice. 
 
Ejemplo C.1. 
En el circuito de la figura C.1, la tensión en el nodo de generación es de 13.2 kV, y 
las características de los transformadores están indicadas en la tabla C.1 [1]. 
 
 
 
 
Figura C.1. Diagrama unifilar del ejemplo C.1. 
 
 
Tabla C.1. Datos nominales de los Transformadores. 
Transformador Conexión y Tensión en kV SB MVA X % 
T1 ∆ - Y 13.2/132 5 10 
T2 Y - ∆ 138/69 10 8 
 
 
 
140 
Dadas las impedancias . 10 100L TZ j   , y 300 CZ   . Determinar las corrientes 
de los puntos marcados en la figura C.1, la tensión y potencia consumida en la 
carga C. 
 
Solución: 
 
Establecer las cantidades de tensiones base del sistema, cuyas dependen de la 
cantidad de transformadores existentes. Para esto se distinguen zonas que 
relacionen a los transformadores. La figura C.1 se divide en tres diferentes zonas, 
tal como se indica en la figura C.2. 
 
 
 
 
Figura C.2. Zonas de tensiones de los transformadores. 
 
 
Se adoptan como valores base la potencia de 10 MVA y la tensión de 138 kV para 
la línea de transmisión. A partir de estos valores se obtienen las tensiones, 
impedanciasy corrientes base de las distintas zonas marcadas en la figura C.2. 
 
Las tensiones base en las zonas G y C son 
 
 
.
13.2
13.8 kV
132G L T
B BV V  (F.9) 
 
 
.
69
69 kV
138C L T
B BV V  (F.10) 
 
141 
Haciendo uso de las ecuaciones básicas de circuitos eléctricos se obtienen las 
impedancias base en cada una de las zonas. 
 
2
19.044 G
G
B
B
B
V
Z
S
   
 
.
.
2
1904.4 L T
L T
B
B
B
V
Z
S
   
 
2
476.1 C
C
B
B
B
V
Z
S
   
 
y sus corrientes quedan 
 
0.418 kA
3
B
BG
BG
S
I
V
  
 
 .
.
0.042 kA
3
B
BL T
BL T
S
I
V
  
 
0.084 kA
3
B
BC
BC
S
I
V
  
 
Por lo tanto se pueden obtener los valores en p.u. de cada una de las zonas 
mediante la ecuación (F.7). 
 
El valor en p.u. de la línea de transmisión es, 
 
.
10 100
 p.u 0.00525 0.053
1904.4
L T
j
Z j

  
 
 
 
142 
mientras que para la carga C se obtiene 
 
300
 p.u 0.63
476.1
CZ   
 
por consiguiente para el voltaje en el punto 1 de la figura C.1 queda 
 
1
13.2
0.957
13.8
V   
 
En el caso de los transformadores su reactancia ya está especificada en p.u, pero 
es referida a sus valores nominales de la máquina, para esto se procede a un 
cambio de base que se adecue al sistema, que es posible obtener mediante la 
ecuación (F.8). 
 
El cambio de base en la reactancia del transformador 1 es, 
 
2
13.2 10
 p.u = 0.1 0.183
13.8 5
nuevaX
   
   
   
 
 
mientras que para el transformador 2 queda 
 
2
69 10
 p.u = 0.08 0.08
69 10
nuevaX
   
   
    
 
Para obtener el voltaje de la carga es necesario primeramente obtener la corriente 
que pasa por todo el sistema, esto se consigue aplicando la LKV, de la cual se 
obtiene que 
 
  1 . 1 2L T C T T serieV Z Z jX jX I    (F.11) 
 
 
143 
por lo tanto la corriente serie es 
 
 0.957 0 0.635 0.315 seriej I   
 
   
2 2
0.957 0 0.957
1.348 26.384
0.7090.635 0.315
serieI

   

 
 
Por otro lado, la tensión y potencia en el punto de carga se obtienen mediante, 
 
 4 C serieV Z I  (F.12) 
 
 *
4 4 serieS V I  (F.13) 
 
obteniendo así la potencia y tensión consumida por la carga 
 
4 0.85 26.384V   y 4 1.146S  
 
Para obtener los valores reales del sistema sólo basta multiplicar el valor en p.u 
con el valor base de la zona correspondiente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
144 
GLOSARIO 
 
Ánodo: Electrodo por donde entra la corriente eléctrica en un electrólito. Por 
convenio se adopta que el sentido de la corriente es del ánodo a cátodo (del polo 
positivo al negativo). 
 
Ámbar: Resina natural mineralizada que procede de los arboles. 
 
Alumoweld: Es un acero aleado con aluminio, el cual adquiere mayor resistencia a 
la corrosión y proporciona una mejor conductividad eléctrica. 
 
Átomo: Es la parte más pequeña en la que se puede obtener la materia de forma 
estable. 
 
Bramante: Hilo gordo o cordel delgado echo de residuos de plantas. 
 
Cátodo: Es el electrodo en el cual se produce la reacción de oxidación, su 
polaridad depende del tipo de dispositivo. En u dispositivo que consume energía el 
cátodo es negativo, mientras que en uno que proporciona energía es positivo. 
 
Campo eléctrico: Es un campo de fuerza alrededor del conductor creado por la 
atracción y repulsión de cargas eléctricas. 
 
Campo magnético: Es un campo de fuerza creado como consecuencia del 
movimiento de cargas eléctricas (flujo de electrones). 
 
Corrientes parásitas: También conocidas como corrientes de Foucault. Es un 
fenómeno físico que se produce cuando un conductor atraviesa un campo 
magnético variable provocando una corriente inducida dentro del conductor que 
produce pérdidas en forma de calor. 
 
145 
Diferencia de potencial: Termino para expresar la diferencia de tensión o voltaje 
entre dos puntos. 
 
Efecto Corona: Es un fenómeno eléctrico que se produce en los conductores de 
las líneas de alta tensión y se manifiesta a su alrededor en forma de halo 
luminoso. Dado que los conductores suelen ser de sección circular, el halo adopta 
una forma de corona, de ahí el nombre del fenómeno. 
 
Electrólito: Sustancia que contiene iones libres, lo que hace que se comporte 
como un medio conductor eléctrico. 
 
Electrólisis: Es el proceso que separa los elementos de un compuesto por medio 
de la electricidad. 
 
Electrón: Partícula elemental mas pequeña de carga negativa que constituye a los 
átomos. 
 
Fenómeno: Acontecimiento, suceso o casualidad que puede percibirse a través de 
los sentidos o el intelecto. 
 
Inducción magnética: Es el proceso mediante el cual campos magnéticos inducen 
una corriente eléctrica sobre un material conductor produciendo un voltaje entre 
sus terminales. 
 
Parámetro: Es un dato que es tomado como necesario para analizar una situación 
mediante su valor numérico. 
 
Perdida por histéresis: Representa una pérdida de energía que se manifiesta en 
forma de calor en los núcleos magnéticos. 
 
 
 
146 
Polaridad: Cualidad que permite distinguir cada una de las terminales de un 
elemento o máquina eléctrica, las cuales pueden se positiva o negativa. 
 
Sistema: Conjunto de procesos o elementos interrelacionados con un medio en el 
cumplimiento de una función. 
 
Turbina: Es una máquina rotativa que convierte en energía mecánica la energía de 
algún fluido (agua, aire, etc.) que pasa continuamente por el interior de la 
máquina.