Álgebra-Módulo 16 - Aulas 28 e 29 - Matrizes e Determinantes

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ÁLGEBRA
Módulo 16
Aula 28: Matrizes
Aula 29: Determinantes
Exercícios de Aplicação
262
Álgebra
Módulo 16
1. (UFU 2019_2)
Exercícios de Aplicação
263
Álgebra
Módulo 16
2. (PUC-RS)
Dada a matriz
1 1
A
1 1
 
=  
 
e a função f, definida no conjunto das matrizes
2 x 2 por f(X) = X2 – 2X, então f(A) é
Exercícios de Aplicação
264
Álgebra
Módulo 16
3. (UERJ)
Observe a matriz A, quadrada e de ordem três.
Considere que cada elemento aij dessa matriz
é o valor do logaritmo decimal de (i + j).
O valor de x é igual a:
a) 0,50
b) 0,70
c) 0,77
d) 0,87
0,3 0,47 0,6
A 0,47 0,6 x
0,6 x 0,77
 
 
=  
 
 
Exercícios de Aplicação
265
Álgebra
Módulo 16
4. Assinale a afirmativa falsa.
a) (At)t = A
b) (I)t = I, em que I é uma matriz identidade.
c) Se A é uma matriz linha, então At é uma matriz coluna.
d) Para toda matriz diagonal A, temos que At = A.
e) Toda matriz diagonal é uma matriz identidade.
5. (FCMSC)
Se a matriz abaixo é simétrica, então o valor de x + y é:
Exercícios de Aprofundamento
266
Álgebra
Módulo 16
1. (UEM) 
Sobre matrizes, assinale o que for correto. 
Exercícios de Aprofundamento
267
Álgebra
Módulo 16
2. (ITA) 
Exercícios de Aprofundamento
268
Álgebra
Módulo 16
3. (Fuvest) 
Analise as matrizes a seguir:
Exercícios de Aprofundamento
269
Álgebra
Módulo 16
4. (UFRGS) 
Determinantes
270
Álgebra
Módulo 16
Cálculo dos Determinantes de Ordem 2 e 3
(Regra de Sarrus)
(PUC-MG) (UFR-PE)
Determinantes
271
Álgebra
Módulo 16 (Teorema de Binet)
(Vunesp)
Exercícios de Aplicação
272
Álgebra
Módulo 16 (Determinantes)
1. (UFC-CE)
2. (Mack)
Exercícios de Aplicação
273
Álgebra
Módulo 16 (Determinantes)
3. (Fuvest)
4. (UFV-MG)
Assinale a Falsa:
0
3213
4211
0000
3121
=a)
0
3111
4353
9212
2131
=b)
0
0512
adacaba
4321
dcba
2 =c)
0
3213
4315
5021
cb2acba
=
−+
d)
0
031
1-01
250
=e)
Determinantes
274
Álgebra
Módulo 16 (Propriedades)
Caso 1: DETERMINANTE NULO
Assinale a Falsa:
Determinantes
275
Álgebra
Módulo 16 (Propriedades)
Caso 2: DETERMINANTE SE ALTERA
zxy
cab
pmn
zyx
cba
pnm
zyx
pnm
cba
a) =−=
zyx
pnm
cba
3
3z3y3x
pnm
cba
b) =
zyx
pnm
cba
6
z2yx
p2nm
c2ba
3
z2yx
p2nm
3c6b3a
c)  ==
zyx
pnm
cba
27
3z3y3x
3p3n3m
3c3b3a
d) =
















=
zyx
pnm
cba
27
3z3y3x
3p3n3m
3c3b3a
e)
Determinantes
276
Álgebra
Módulo 16 (Propriedades)
Caso 2: DETERMINANTE SE ALTERA
Considere a matriz A = cujo
determinante é 10. 
Calcule: 












ihg
fed
cba
ifc
heb
gda
a)
ihg
cba
fed
b)
cba
fed
cba
c)
ihg
fed
3c3b3a
d)
ih2g
fe2d
3c3b6a
e)
Determinantes
277
Álgebra
Módulo 16 (Propriedades)
Caso 3: DETERMINANTES ESPECIAIS
MATRIZ DAS POTÊNCIAS
(MATRIZ DE VANDERMONDE)
222
cba
111
cba
(Mack) Na função real definida por 
f(x) = , f(0,001) vale:
a) 0,02 
b) 1000-1
c) 10-2
d) 500-1
e) 0,5
164x
93x
42x
Determinantes
278
Álgebra
Módulo 16 (Propriedades)
Caso 3: DETERMINANTES ESPECIAIS
MATRIZES TRIANGULARES
dpnm
0cyx
00bk
000a
d000
pc00
nmb0
xyka
Seja A = (aij) a matriz quadrada de ordem 3, em 
que
O valor do determinante de A é:
a) 0 
b) 12 
c) 24 
d) 48 
e) 6 





−
+=
j,i
j,i
0,
aij
se i < j
se i = j
se i > j
279
Álgebra
Módulo 16
Exercícios de Aplicação
(Propriedades)
5. (UFSCar)
6. (UFRGS)
280
Álgebra
Módulo 16
Exercícios de Aplicação
(Propriedades)
7. (Fuvest)
8. Sendo A uma matriz de ordem 3, cujo
determinante é igual a 4, qual o valor de x na
equação det(2AAt) = 4x ?
281
Álgebra
Módulo 16
Matriz Inversa
Obtenção pela Regra Prática
1º.) Calcular det(M)
2º.) Determinar a matriz dos cofatores de M  M’
3º.) Determinar a matriz adjunta de M  M = (M’)t
4º.) Aplicar a fórmula 
M.
)Mdet(
1
M
1
=
−
Propriedade do Determinante
(Fatec-SP)
Condição de Existência:
282
Álgebra
Módulo 16
Matriz Inversa
Obtenção pela Definição
I-) A . A-1 = In ou A
-1 . A= In 
II-) (A-1)-1 = A
III-) A = B  A-1 = B-1
IV-) (At)-1 = (A-1)t
V-) (A.B)-1 = B-1.A-1
Propriedades
283
Álgebra
Módulo 16
Exercícios de Aplicação
(Matriz Inversa)
9. (PUCCamp-SP)
10. A matriz A = admite inversa, se,
e somente se:
a) x  5
b) x  2
c) x  2 e x  5
d) x  4 e x  25
e) x  4








254x
52x
111
2
284
Álgebra
Módulo 16
Exercícios de Aplicação
(Matriz Inversa)
11. (Unesp)
12. Dada a matriz M = , calcular o
elemento b32 da matriz inversa de M.
Sejam A e B matrizes quadradas de ordem 3. 








201
11-0
321
Se A = e B é tal que B-1 = 2A, 
determinante de B será:
a) 24 
b) 6 
c) 3 
d) 1/6 
e) 1/24








101
533-
124
Onde:
bij: elemento da inversa (linha “ï”
coluna “j”)
Aji: cofator do elemento linha “j” coluna
“i” da matriz original
detM: determinante da matriz original
Teoremas de Abaixamento de Ordem
285
Álgebra
Módulo 16
Teorema de Laplace
1 2 0 -1
3 -1 1 5
0 0 2 3
1 0 0 4
Receita de “bolo”
1º. Passo: Escolher uma fila que possui
mais zeros.
2º. Passo: Multiplicar cada elemento da
fila escolhida pelo seu cofator.
3º. Passo: Somar todos os produtos do
segundo passo.
Cofator ou Complemento Algébrico
Aij = (-1)
i + j  Dij
Teoremas de Abaixamento de Ordem
286
Álgebra
Módulo 16
Regra de Chió
1 2 0 -1
3 -1 1 5
0 0 2 3
1 0 0 4
Receita de “bolo”
1º. Passo: Separar a linha e a coluna em
que algum elemento 1, se encontra.
2º. Passo: Para cada elemento das filas
que sobraram, subtraia esse número do
produto dos elementos situados à linha e
coluna “separadas” no primeiro passo.
3º. Passo: Se cair para ordem 3, usar
Regra de Sarrus, caso contrário aplicar
os passos 1 e 2 novamente.
Teoremas de Abaixamento de Ordem
287
Álgebra
Módulo 16
Teorema de Jacobi e Laplace
1 1 1 1
1 2 2 2
1 2 3 3
1 2 3 4
288
Álgebra
Módulo 16
Exercícios de Aprofundamento
1. (ESPM) Considerando-se log 2 = 0,3, o valor do determinante abaixo é igual a:
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1
log4 log16 log400
log2 log4 log20
a) 0,36 
b) 0 
c) 3 
d) 0,74 
e) 0,42 
289
Álgebra
Módulo 16
Exercícios de Aprofundamento
2. (AFA 2018)
290
Álgebra
Módulo 16
Exercícios de Aprofundamento
3. (Mack)