Lista Complementar -Álgebra-Módulo 10 - Aula 17 - Inequações

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Lista de Exercícios (Complementar) - Álgebra - Módulo 10 
(Aula 17: Inequações) 
 
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1. (UEFS) 
Parte dos gráficos de duas funções polinomiais do 
primeiro grau, f e g, estão representados na figura, 
em que f(3) g(3).= 
 
 
 
Se f(4) 0= e g(0) 0,= o conjunto solução de 
f(x)g(x) 0 é 
a) {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 < 0} b) {𝑥 ∈ ℝ|0 < 𝑥 < 4} 
c) {𝑥 ∈ ℝ|3 < 𝑥 < 4} d) {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 > 3} 
e) {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 > 4} 
 
2. (CFTMG) 
O número de soluções inteiras pertencentes ao 
conjunto solução da inequação 
(3x 9) (x 6)
0,
2 3
− +
  
em ℝ, é 
a) 4. b) 6. c) 8. d) 10. 
 
3. (Unesp) 
Renata escolhe aleatoriamente um número real de 
4− a 2 e diferente de zero, denotando-o por x. Na 
reta real, o intervalo numérico que necessariamente 
contém o número 
2 x
x
−
 é 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
 
4. (UFJF) 
Dadas as funções f(x) x 3= + e 
13x 9
g(x) ,
x 2
−
=
+
 
determine o maior subconjunto dos números reais tal 
que f(x) g(x). 
a) ]5, [+ b) ] 2, 5[− 
c) ] , 3[ ]5, [−  + d) ] , 3[− 
e) ] 2, 3[ ]5, [−  + 
 
5. (ESPM) 
Para que o domínio da função f(x) x(x k) 1= − + 
seja todo o conjunto dos reais, deve-se ter: 
a) k 0 b) k 1 − 
c) 1 k 1−   d) 2 k 2−   
e) 1 k 3−   
 
6. (Unesp) 
No universo dos números reais, a equação 
2 2
2
(x 13x 40)(x 13x 42)
0
x 12x 35
− + − +
=
− +
 é satisfeita por 
apenas 
a) três números. b) dois números. 
c) um número. d) quatro números. 
e) cinco números. 
 
7. (IME) 
O sistema de inequações abaixo admite k soluções 
inteiras. 
 
2x 2x 14
3
x
x 12
 − −
 

 
 
 
Pode-se afirmar que: 
a) 0 k 2  b) 2 k 4  
c) 4 k 6  d) 6 k 8  
e) k 8 
 
8. (FGV) 
O domínio da função real definida por é 
f(x) 6 2x 7= − + é {x | m x n}.   Em tal 
condição, a média aritmética simples entre o menor 
valor possível para m e o maior valor possível para n 
é igual a 
a) 5,8. 
b) 5,5. 
c) 5,0. 
d) 4,6.− 
e) 4,8.− 
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9. (PUC-RJ) 
Considere a inequação 
x 1
0,
x 5
+

− −
 com 𝑥 ∈ ℝ. 
 
Qual é o conjunto solução da inequação? 
a) ( ,1] [5, )−   
b) ( , 5) [ 1, )− −  −  
c) [0, ) 
d) [ 5, )−  
e) ( 1, )−  
 
10. (CFTMG) 
No conjunto dos números reais, o conjunto solução 
da inequação 
2x 5x 3
1
3 4
−
−  é o intervalo 
a) ] , 3[−  − 
b) 
3
,
7
 
− − 
 
 
c) 
3
,
7
 
−  
 
 
d) ] 3, [−  
 
11. (PUC-RJ) 
Quantas soluções inteiras tem a inequação abaixo: 
2x 10x 21 0.− +  
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 
 
12. (PUC-RJ) 
A soma dos valores inteiros que satisfazem a 
desigualdade 2x 6x 8+  − é: 
a) 9− b) 6− c) 0 d) 4 e) 9 
 
13. (UEMA) 
Uma função consiste na associação de dois 
conjuntos A e B de números reais, por meio de uma 
lei f. O subconjunto dos elementos de A que 
corresponde a um, e somente um, elemento de B é 
denominado domínio da função D(f ). 
Considerando que a expressão 
 
2 2
2
(2x 8)(x x 6)
f(X)
x 2x 3
− + −
=
+ −
 
 
é uma função, determine o domínio de f(x). 
a) 𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 > 1; 𝑥 ≤ −2 𝑒 𝑥 ≠ −3} 
b) 𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 > 1; 𝑥 < −2 𝑒 𝑥 ≠ −3} 
c) 𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 > 1; 𝑥 ≥ −2 𝑒 𝑥 = −3} 
d) 𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≥ 1; 𝑥 ≤ −2 𝑒 𝑥 = 3} 
e) 𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≤ 1; 𝑥 > −2 𝑒 𝑥 ≠ 3} 
 
14. (AFA) 
Seja f uma função quadrática tal que: 
 
I. 𝑓(𝑥) > 0 ∀ 𝑥 ∈ ℝ 
II. tem gráfico interceptando o gráfico da função g, 
dada por g(x) 2,= num único ponto cuja abscissa 
é 2 
III. seu gráfico possui o ponto Q, simétrico do ponto 
R (0, 3)− em relação à origem do sistema 
cartesiano. 
 
Seja h uma função afim cujo gráfico intercepta o 
gráfico de f no eixo Oy e no ponto de menor 
ordenada de f. 
 
Assim sendo, o conjunto solução da inequação 
3 10
15
[f(x)] [g (x)]
0
[h (x)]

 contém o conjunto 
a)  0, 8 b)  1, 7 c)  2, 6 d)  3, 5 
 
15. (CFTMG) 
O conjunto solução S, em ℝ, da inequação: 
( )
x
4 2x 1 1 0
3
 
−  −  −  
 
 é 
 
a) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ/1 < 𝑥 < 2}. 
b) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ/
1
2
< 𝑥 < 3}. 
c) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ/𝑥 < 1𝑜𝑢𝑥 > 2}. 
d) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ/𝑥 <
1
2
𝑜𝑢𝑥 > 3}. 
 
16. (PURJ) 
A soma das soluções da inequação 
x 3
0
2x 1
− +

−
 onde 
x pertence ao conjunto dos números naturais é: 
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 8 
 
 
17. (UERN) 
Sobre a inequação-produto 
 2 2( 4x 2x 1)(x 6x 8) 0,− + − − +  em ℝ, é correto 
afirmar que 
a) não existe solução em ℝ. 
b) o conjunto admite infinitas soluções em ℝ. 
c) o conjunto solução é 𝑆 = {𝑥 ∈ ℤ/2 ≤ 𝑥 ≤ 4}. 
d) o conjunto solução é {𝑥 ∈ ℤ/𝑥 ≤ 2 𝑜𝑢 𝑥 ≥ 4}. 
 
18. (ESPM) 
O número de soluções inteiras do sistema de 
inequações 
2
2x 3
3
2
x 2x 8
−

−
 + 
 é igual a: 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
 
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Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
[B] 
 
Do gráfico, temos: 
A reta que representa a função ( )g x pode ser representada por: 
y ax, a 0=  
 
A reta que representa a função ( )f x pode ser representada por: 
( )y 0 b x 4 , b 0
y bx 4b, b 0
− = − 
= − 
 
 
Então, 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
f x g x bx 4b ax
f x g x abx 4abx
f x g x abx x 4 , ab 0
 = − 
 = −
 =  − 
 
 
As raízes de ( ) ( )f x g x 0 = são x 0= e x 4.= 
Daí, 
 
 
 
 
Portanto, 
( ) ( )f x g x 0  para 0 x 4.  
𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ: 0 < 𝑥 < 4} 
 
 
Resposta da questão 2: 
[C] 
 
Desenvolvendo temos: 
(3 x 9) (x 6)
0
2 3
− +
  
 
I) 
(3x 9)
0 3x 9 0 x 3
2
−
  −    
II) 
(x 6)
0 x 6 0 x 6
3
+
  +    − 
 
Soluções: 
I) 2,1, 0 
II) 5, 4, 3, 2, 1− − − − − 
 
 
Resposta da questão 3: 
[A] 
 
Calculando: 
𝑓(𝑥) =
2 − 𝑥
𝑥
→ 𝑓(𝑥) =
2
𝑥
− 1 → {𝑥 ∈ ℝ*| − 4 ≤ 𝑥 ≤ 2} 
2 − (−4)
−4
= −1,5
2 − (−3)
−3
= −1,6667
2 − (−2)
−2
= −2
2 − (−1)
−1
= −3
2 − (1)
1
= 1
2 − (2)
2
= 0 }
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
→ 𝑓(𝑥) ≤ −1,5  𝑜𝑢  𝑓(𝑥) ≥ 0 
 
 
Resposta da questão 4 
[E] 
 
Tem-se que 
13x 9 (x 3)(x 5)
x 3 0
x 2 x 2
2 x 3 ou x 5.
− − −
+   
+ +
 −   
 
 
Portanto, a resposta é ] 2, 3[ ]5, [.−  + 
 
 
Resposta da questão 5: 
[D] 
 
Calculando: 
2
2
f(x) x (x k) 1
x (x k) 1 0 x xk 1 0
k 4 0 2 k 2
=  − +
 − +   − + =
 = −   −  
 
 
 
Resposta da questão 6: 
[C] 
 
O conjunto de valores de x para os quais a equação possui raízes 
reais é tal que 
 
2x 12x 35 0 (x 5)(x 7) 0
x 5 ou x 7.
− +   − − 
  
 
 
Desse modo, temos 
 
2 2
2
(x 13x 40)(x 13x 42)
0 (x 5)(x 6)(x 7)(x 8) 0
x 12x 35
x 8.
− + − +
=  − − − − =
− +
 =
 
 
Portanto, a equação é satisfeita por apenas um número real. 
 
 
Resposta da questão 7: 
[D] 
 
2 2x 2x 14 x 5x 14
3 0
x x
x 12 x 12
 − − − −
  
→ 
   
 
 
Resolvendo e fazendo os diagramas de sinais, temos: 
x 7
2 x 0


−  
 
 
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Logo, 
 
7 x 12
Inteiros S 1, 8, 9,10,11,12 k 6
2 x 0
 
→ = − → =
−  
 
 
 
Resposta da questão 8: 
[B] 
 
2x 7 36
7 296 2x 7 0 2x 7 6
domínio f(x) x7
2 2x2x 7 0 2x 7
2
7 29
222 2média 5,5
2 4
+ 
  −− +  +   
        −
+   −   

−
+
= = =
 
 
 
Resposta da questão 9: 
[B] 
 
Tem-se que 
 
x 1 x 1
0 0 x 5 ou x 1.
x 5 x 5
+ +
     −  −
− − +
 
 
Portanto, vem S ( , 5) [ 1, ).= − −  −  
 
 
Resposta da questão 10: 
[B] 
 
2x 5x 3
1
3 4−
−  
 
Multiplicando os dois membros por 12, temos: 
8x 15x 9 12
7x 3
7
x
3
− + 
− 
 −
 
 
Portanto, 
3
S , .
7
 
= − − 
 
 
 
 
Resposta da questão 11: 
[C] 
 
As raízes da equação 
2x 10x 21 0− + = são 3 e 7. 
 
Analisando, agora, o sinal da inequação, temos: 
 
 
 
Portanto, os valores inteiros de x que verificam a inequação são 
3, 4, 5, 6 e 7 (cinco números inteiros). 
 
 
 
 
Resposta da questão 12: 
[A] 
 
2 2x 6x 8 x 6x 8 0+  −  + +  
 
Estudando o sinal da função 
2f(x) x 6x 8,= + + temos: 
 
 
 
A soma S dos valores inteiros do intervalo considerado será dada 
por: 
4 ( 3) ( 2) 9− + − + − = − 
 
 
Resposta da questão 13: 
[A] 
 
( ) ( )
0
3x2x
6xx8x2
2
22

−+
−+−
 
 
Condição de existência: 
2x 2x 3 0 x 3 ou x 1+ −    −  
Raízes: 
 
22x 8 0 x 2 ou x 2− =  = = − 
 
2x x 6 0 x 3 ou x 2+ − =  = − = 
 
Estudo do sinal de 
( ) ( )2 2
2
2x 8 x x 6
.
x 2x 3
−  + −
+ −
 
 
 
 
𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 > 1; 𝑥 ≤ −2 𝑒 𝑥 ≠ −3} 
 
 
Resposta da questão 14: 
[D] 
 
Do enunciado sabe-se que se o gráfico f(x) intercepta a função 
g(x) 2,= em um único ponto e de abscissa 2, conclui-se que o 
ponto V (2,2) é o vértice da parábola. Também se sabe que se 
f(x) 0, a função não possui raízes reais. Ainda, o simétrico de 
R (0, 3)− em relação à origem é o ponto Q (0, 3) . Portanto, 
h(x) passa por Q e pelo vértice V. Pode-se escrever: 
1h(x) x 3.
2
= − + Como f(x) e g(x) são positivas, o sinal da 
expressão 
3 10
15
[f(x)] [g (x)]
[h (x)]

 é o mesmo de h(x). Assim sendo, 
o conjunto solução da inequação dada contém o conjunto 
 3, 5 . 
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Resposta da questão 15: 
[B] 
 
Tem-se que 
 
x 8 1
4 (2x 1) 1 0 x (x 3) 0
3 3 2
1
x 3.
2
   
−  −  −    −  −    
   
  
 
 
Portanto, 
 
𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|
1
2
< 𝑥 < 3}. 
 
 
Resposta da questão 16: 
[A] 
 
Tem-se que 
 
x 3 x 3
0 0
12x 1
2 x
2
1
x 3.
2
− + −
  
−  
− 
 
  
 
 
Logo, as soluções naturais da inequação são x 1= e x 2.= Em 
consequência, o resultado pedido é igual a 1 2 3.+ = 
 
 
Resposta da questão 17: 
[C] 
 
Reescrevendo a inequação, obtemos 
 
2 2 2 2
2
( 4x 2x 1)(x 6x 8) 0 (4x 2x 1)(x 6x 8) 0
1
4 x (x 2)(x 4) 0
2
1
x ou 2 x 4.
2
− + − − +   − + − + 
 
 − − −  
 
 =  
 
 
Portanto, o conjunto solução da inequação, em ℤ, é 𝑆 =
{𝑥 ∈ℤ;  2 ≤ 𝑥 ≤ 4}. 
 
 
Resposta da questão 18: 
[D] 
 
Temos 
 
{
2𝑥 − 3
−2
< 3
𝑥2 + 2𝑥 ≤ 8
⇔ {
2𝑥 > −3
(𝑥 + 1)2 ≤ 9
 
 ⇔ {𝑥 > −
3
2
−3 ≤ 𝑥 + 1 ≤ 3
 
 ⇔ {𝑥 > −
3
2
−4 ≤ 𝑥 ≤ 2
 
 ⇔ −
3
2
< 𝑥 ≤ 2. 
 
Portanto, como as soluções inteiras do sistema são 1, 0,1− e 2, 
segue que o resultado pedido é 4.