Fundamentos Analise Matematica ativ 2 4

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FUNDAMENTOS DA ANÁLISE MATEMÁTICA 
- ANHEMBI MORUMBI EaD - 
ATIVIDADE 2 
 
 
Questão 1 
Dizemos que um conjunto de números reais é limitado superiormente se existe um número tal 
que O número é chamado cota superior do conjunto Por exemplo, o conjunto dos 
números racionais, ℚ, menores do que 7 é limitado superiormente. O supremo de um conjunto é a menor das 
cotas superiores desse conjunto. 
 
Assinale a alternativa correta, que indica o supremo do conjunto dado 
por: 
 
 
 
 
 
 
Questão 2 
A desigualdade do triângulo é conhecida assim pois é válida quando são vetores. Dessa 
maneira, são os três lados de um triângulo e a desigualdade é relacionada à propriedade 
geométrica, que diz que em um triângulo, qualquer lado é menor que a soma dos outros dois lados. 
 
Assinale a alternativa correta, que corresponde a uma desigualdade válida. 
 
 
 
 
Questão 3 
Leia o excerto a seguir: 
“[...] o estudo sistemático dos conjuntos, que acabou levando a uma teoria axiomática desse campo de 
estudos, começou com Georg Cantor, por volta de 1872”, conhecido como pai da Teoria dos Conjuntos. Ele 
tem contribuições muito importantes no estudo dos conjuntos infinitos. Dizemos que um conjunto é infinito 
quando não é vazio e quando dado para qualquer não existe uma bijeção O conjunto dos 
números naturais é infinito.” 
 
ÁVILA, G. S. S. Análise matemática para licenciatura. São Paulo: Blucher, 2006. p. 32. 
 
Diante do exposta acima, analise as alternativas a seguir: 
 
I. O conjunto dos números primos é infinito. 
II. Se um conjunto tem um subconjunto infinito, então é infinito. 
III. O conjunto dos números racionais não é infinito. 
IV. O conjunto dos números pares é finito e enumerável. 
 
 Está correto o que se afirma em: 
 
 
 
 
Questão 4 
Dizemos que um conjunto de números reais é limitado superiormente se existe um número tal 
que O número é chamado cota superior do conjunto O supremo de um conjunto é a 
menor das cotas superiores desse conjunto e não precisa, necessariamente, pertencer ao conjunto 
 
Assinale a alternativa correta, que indica o supremo do conjunto dado por 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 5 
Denomina-se Corte de Dedekind ou, simplesmente, corte todo par de conjuntos não vazios de 
números racionais ℚ que satisfazem às seguintes condições: 
(i) , (ii) e , tem-se que ; (iii) O conjunto não possui elemento máximo. 
 
A respeito da teoria sobre Corte de Dedekind, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) 
Verdadeira(s) e F para a(s) Falsa(s). 
 
I. ( ) Seja . O conjunto é uma Corte de Dedekind. 
II. ( ) Seja com Então, vale a desigualdade de Bernoulli . 
III. ( ) Sejam dois cortes, a soma não é corte. 
IV. ( ) Sejam dois cortes, o produto não é corte. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 6 
Dizemos que um conjunto de números reais é limitado inferiormente se existe um número tal 
que O número é chamado cota inferior do conjunto Por exemplo, o conjunto dos 
números naturais, ℕ, é limitado inferiormente, mas não superiormente. O ínfimo de um conjunto é a maior das 
cotas inferiores desse conjunto. 
 
Assinale a alternativa correta, que indica o ínfimo do conjunto dado por . 
 
 
 
Questão 7 
Intuitivamente, temos a ideia de que um conjunto é finito quando podemos contar seus elementos. Isso 
significa também que podemos fazer uma correspondência um a um com o conjunto dos números Naturais de 
1 a , isto é, o conjunto 
 
Considerando a teoria sobre os conjuntos finitos, analise as alternativas a seguir: 
 
I. Seja um conjunto finito. Um função é injetiva se, e somente se, é sobrejetiva. 
II. Seja um conjunto finito, então todo subconjunto de é finito. 
III. Seja um subconjunto do conjunto dos números naturais ℕ, então é finito se, e somente se, é ilimitado. 
IV. Um conjunto diz-se limitado se 
 
Está correto o que se afirma em: 
 
 
 
 
 
 
Questão 8 
Dado um conjunto de números reais, temos que, se o conjunto possui elemento máximo, esse será o 
seu supremo, e se o conjunto possui elemento mínimo, esse será o seu ínfimo. Por outro lado, a existência 
de supremo e ínfimo do conjunto não garante a existência de elemento máximo e mínimo, respectivamente. 
Eles só existirão se o supremo e o ínfimo pertencerem ao conjunto . 
 
Com relação aos conceitos envolvidos na definição de supremo e ínfimo e considerando o 
conjunto assinale a alternativa correta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 9 
Dizemos que um conjunto é enumerável se ele é finito ou se existir uma bijeção 
onde é o conjunto dos Números Naturais, chamada enumeração do conjunto Intuitivamente, um 
conjunto é enumerável quando é possível construir uma sequência com os elementos do conjunto. 
 
A respeito da teoria sobre Conjuntos Enumeráveis, analise as afirmativas a seguir e assinale V para 
a(s) Verdadeira(s) e F para a(s) Falsa(s). 
 
I. ( ) Dados dois conjuntos enumeráveis, então é enumerável. 
II. ( ) Se um conjunto é enumerável e é uma função injetiva, então é enumerável. 
III. ( ) O conjunto dos números naturais pares não é um conjunto enumerável. 
IV. ( ) Se um conjunto é enumerável e é uma função sobrejetiva, então é enumerável. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta. 
 
 
 
Questão 10 
A cardinalidade de um conjunto é finita se existe uma bijeção , denotada 
por , ou podemos dizer que a cardinalidade de um conjunto finito é o número de elementos 
desse conjunto. A cardinalidade de um conjunto é infinita se existe uma bijeção entre e um 
subconjunto próprio denotado 
 
A respeito da teoria sobre Cardinalidade de Conjuntos, analise as afirmativas a seguir e assinale V 
para a(s) Verdadeira(s) e F para a(s) Falsa(s). 
 
I. ( ) A cardinalidade do conjunto é dada por 
II. ( ) ≺ sempre que com finito e 
III. ( ) Se são finitos e então . 
IV. ( ) A cardinalidade da união de dois conjuntos finitos não disjuntos é dada 
por 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta. 
 
 
 
 
Questão 11 
Chamamos ínfimo de um conjunto ao número que satisfaz duas condições: i) ii). 
Dado qualquer número Chamamos supremo de um conjunto ao número 
que satisfaz às duas condições: i. ; ii). Dado qualquer número 
 
Dado um conjunto tal que , assinale a alternativa correta, que indica o 
ínfimo, e o supremo, do conjunto , respectivamente. 
 
 
 
 
Questão 12 
São irracionais os números na forma de dízimas não periódicas, raízes não exatas, constante 
transcendente 
e algumas funções não exatas. A descoberta dos números irracionais foi considerada um marco no 
estudo da geometria. No desenvolvimento do Teorema de Pitágoras para encontrar a hipotenusa de 
um triângulo retângulo de catetos medindo 1, foi encontrada a , que é um número que não pode 
ser exibido na forma de fração. 
 
A respeito da teoria sobre o Conjunto dos Números Irracionais, analise as afirmativas a seguir e 
assinale V para a(s) Verdadeira(s) e F para a(s) Falsa(s). 
 
I - A intersecção entre o conjunto dos números racionais ℚ e o conjunto dos números irracionais ℝ-ℚ 
é vazia. 
II - O conjunto dos números irracionais ℝ-ℚ 
III - O conjunto dos números reais ℝ ℝ-ℚ. 
IV - Qualquer raiz quadrada tem como resultado um número racional ℚ. 
Marque a alternativa que contém a classificação correta das afirmativas respectivamente: 
 
 
Questão 13 
Cantor escreveu para Dedekind afirmando a impossibilidade de realizar uma correspondência entre 
os números naturais e os números reais. Não conseguiu uma relação biunívoca (bijetora) entre o 
conjunto dos números reais ℝ e os naturais ℕ, demonstrando que essa relação não poderia existir, o 
que significava a existência de um infinito maior que o enumerável, ou ainda, o infinito não 
enumerável. 
 
A respeito da teoria sobre Conjuntos Infinitos desenvolvida anteriormente, analise as afirmativasa 
seguir e assinale V para a(s) Verdadeira(s) e F para a(s) Falsa(s). 
 
I. ( ) O conjunto dos números irracionais (ℝ − ℚ) tem a mesma cardinalidade que o conjunto dos 
números reais ℝ. 
II. ( ) Se é um conjunto, finito ou infinito, então a cardinalidade de é estritamente menor do que 
a cardinalidade do conjunto das partes de i.é., 
III. ( ) O conjunto dos números inteiros ℤ é um conjunto enumerável e não possui a mesma 
cardinalidade de ℕ. 
IV. ( ) O conjunto dos números racionais ℚ é não enumerável, assim como o conjunto dos números 
reais ℝ. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta. 
 
 
FUNDAMENTOS DA ANÁLISE MATEMÁTICA 
- ANHEMBI MORUMBI EaD - 
ATIVIDADE 4 
 
 
Questão 1 
Dado um conjunto , dizemos que ele é um conjunto aberto quando coincide com o conjunto de seus pontos 
interiores, isto é, . Dado um conjunto dizemos que é um conjunto fechado quando coincide com 
o conjunto de todos os pontos aderentes , denominado fecho de 
 
Considere o conjunto . Com relação aos conceitos abordados, assinale a alternativa correta. 
 
 
 
 
Questão 2 
Seja um intervalo e seja uma função tal que diremos que é um ponto de máximo 
local de se existir tal que Neste caso, diremos que é 
um máximo local.Um ponto será um extremo local, se for um mínimo ou um máximo local. 
 
Neste sentido, assinale a alternativa correta, que indica o valor dos pontos de máximo local ou mínimo local 
da função se existirem. 
 
 
 
Questão 3 
Seja uma função e um ponto de acumulação de Se diverge 
para quando vamos denotar por e diverge para quando , vamos 
denotar por . Analogamente, definimos 
 
Baseado no conceito de limites infinitos, dado anteriormente, assinale a alternativa que determina o 
comportamento da seguinte função: . 
 
 
 
Questão 4 
Sejam uma função e um ponto de acumulação de Se existir o 
limite diremos que é a derivada de em e denotaremos 
por . Se admitir derivada em a, diremos que é 
derivável ou diferenciável em 
 
Neste sentido, assinale a alternativa que indica a derivada da função , nos 
pontos respectivamente, utilizando a definição anterior. 
 
 
Questão 5 
A regra da cadeia nos fornece uma maneira de calcular a derivada da função composta , em termos 
das derivadas de Sejam diferenciáveis, com Se , então é diferenciável 
e Esse é o teorema da regra da cadeia. 
 
Neste sentido, assinale a alternativa que indica qual o valor da derivada da 
função 
 
 
 
 
Questão 6 
Sejam uma função e um ponto de acumulação de Se existir o 
limite diremos que é a derivada de em e denotaremos 
por . Se admitir derivada em a, diremos que é 
derivável ou diferenciável em 
 
Neste sentido, assinale a alternativa correta que indica se a função admite derivada no 
ponto , isto é, . 
 
 
 
 
Questão 7 
Dizemos que uma função é contínua no ponto se, e somente se, as seguintes condições forem 
válidas: (I) existe a função no ponto isto é, existe (II) existe e . Dizemos 
que é contínua no ponto , se este for um ponto de acumulação do domínio de . 
 
Com relação aos conceitos de limite e continuidade, e considerando a função definida por: 
se Assinale a alternativa correta. 
 
 
 
Questão 8 
Limite no infinito significa estudar o comportamento de uma função quando (valores muito grandes 
positivos) ou quando (valores muito grandes negativos). Ou seja, o que acontece com o valor da 
função quando ou quando 
Baseado no conceito de limite no infinito, dado anteriormente, assinale a alternativa que determina o valor de 
cada um dos limites a seguir, respectivamente. 
 
(I) 
(II) 
 
 
 
 
Questão 9 
Seja um intervalo e seja uma função tal que diremos que é um ponto de mínimo 
local de se existir tal que Neste caso, diremos que é 
um mínimo local.Um ponto será um extremo local, se for um mínimo ou um máximo local. 
 
Neste sentido, assinale a alternativa correta, que indica o valor dos pontos de máximo local ou mínimo local 
da função se existirem. 
 
 
 
 
 
Questão 10 
Seja uma função e um ponto de acumulação de Se diverge 
para quando , vamos denotar por , e diverge para quando , vamos 
denotar por . Analogamente, definimos 
Baseado no conceito de limites infinitos, dado anteriormente, assinale a alternativa que determina o 
comportamento da seguinte função: 
 
 
 
 
Questão 11 
Vamos citar quatro propriedades dos limites: (I) unicidade do limite, (II) soma dos limites, (III) produto dos 
limites e (IV) quociente dos limites. Seja e um ponto de acumulação de , então: (I) 
se e , então ; suponha que e , então: 
 (II) , 
(III) , (IV) , desde que 
 
Com relação aos conceitos das propriedades dos limites, considere a função , definida por: 
se . 
 
Assinale a alternativa que determina o valor de . 
 
 
 
Questão 12 
A derivada de uma função é a inclinação da reta tangente ao gráfico dessa função em determinado ponto. 
Se é diferenciável no ponto , a reta tangente ao gráfico de é dada 
por . Outra interpretação da derivada é como uma taxa de variação. 
 
Neste sentido, assinale a alternativa que indica a equação da reta tangente ao gráfico da 
função no ponto