Ciclo Trigonométrico I

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TRIGONOMETRIA NO CICLO 
TRIGONOMÉTRICO I
Anteriormente, iniciamos os estudos de trigonometria através das razões trigonométricas 
em um triângulo retângulo. Conheceremos agora uma forma mais eficaz de estudar 
as relações trigonométricas, através do ciclo trigonométrico (também conhecido como 
circunferência trigonométrica ou círculo trigonométrico). 
O ciclo trigonométrico consiste em uma circunferência de raio igual a 1. No centro dessa 
circunferência se encontra a origem de um sistema de coordenadas cartesianas. Vamos 
convencionar que o ponto inicial dessa circunferência é o ponto (1,0) e o sentido positivo 
é o sentido anti-horário. 
ARCOS CÔNGRUOS
Se partirmos do ponto (1,0) e percorrermos toda a circunferência no sentido positivo, 
voltaremos ao ponto inicial e obteremos um arco de 360°. Associamos ao ponto inicial 
o ângulo de 0°, portanto os arcos de 0° e 360° são côngruos (ou congruentes), pois 
coincidem na posição na circunferência. Para obtermos ângulos negativos, deveríamos 
considerar arcos descritos no sentido horário.
Completando 3 voltas completas teremos um arco de 720°, que é côngruo a 0° e a 360°.
E se completássemos as 3 voltas e andássemos mais 60°? Bom, aí teríamos um arco de 
60° + 360°, ou seja, 420°. E 420° é congruente a 60°. Andando mais uma volta teríamos 
um arco de 60° + 2 · 360°, ou seja, 780°. E assim sucessivamente. Então se sairmos 
ponto B que está associado ao arco de 60°, e percorrermos um número k de voltas (k ∈ 𝕫) 
obteremos um arco de 60° + k · 360°.
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os
Quadrantes
Os eixos cartesianos dividem o ciclo em 4 partes 
iguais. Cada uma dessas partes é chamada de 
quadrante. O primeiro, o segundo, o terceiro e o 
quarto quadrante estão indicados por 1º Q, 2º Q, 3º 
Q e 4º Q, respectivamente. Os quatro quadrantes se 
dispõem da forma mostrada ao lado. 
Perceba que os pontos (1,0), (0,1), (-1,0) e (0, -1) são 
pontos dos eixos x e y, portanto não são considerados 
pontos pertencentes aos quadrantes. 
Ciclo Trigonométrico em Radianos
Você lembra que os arcos podem ser medidos em graus 
e em radianos? É usual na trigonometria usarmos os 
arcos em radianos. Uma volta completa mede 2π rad, 
meia volta mede π rad, um quarto de volta 
𝜋
2
𝑟𝑎𝑑, e 
assim por diante, como mostra a ilustração ao lado.
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
NA CIRCUFERÊNCIA
No estudo das razões trigonométricas no triângulo retângulo, tivemos uma visão um 
pouco restrita sobre seno, cosseno e tangente. Pois nos limitávamos a trabalhar com 
ângulos internos de um triângulo. Mas podemos obter os valores de seno, cosseno e 
tangente de qualquer ângulo (com apenas algumas restrições para a tangente, como 
será visto)! Com o auxílio do ciclo trigonométrico, veremos como obter esses valores. 
Seno
Vamos considerar o eixo vertical como sendo o eixo do 
seno. Esse eixo seria o eixo Y do plano cartesiano. Conforme 
movemos o ponto sobre a circunferência, descrevendo arcos, 
podemos encontrar a projeção desse ponto sobre o eixo 
vertical. Ou seja, a posição ordenada desse ponto.
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osNo exemplo abaixo, há um ângulo de 26° descrito, temos associado a ele uma ordenada 
de aproximadamente 0,438. Essa ordenada é chamada de seno de 26°.
O eixo vertical do ciclo nos auxilia a obter os valores de seno dos ângulos descritos. 
Com isso, já podemos perceber alguns comportamentos notáveis para o seno no ciclo. 
Para um ângulo de 0 radianos, a coordenada vertical é igual a 0. Portanto, percebemos 
que o seno de 0 é igual a 0. À medida em que descrevemos um arco no sentido anti-
horário, a ordenada associada vai aumentando o seu valor até chegarmos ao ângulo de 
𝜋
2
𝑟𝑎𝑑, (ou 90°). Nesse caso, o seno é igual a 1. Esse é o maior valor possível para o seno, 
já que o raio da circunferência é igual a 1. Para ângulos maiores que 𝜋2 𝑟𝑎𝑑, radianos, o valor 
de seno começa a diminuir até se anular novamente. Isso acontece para o ângulo de 
π radianos (ou 180°). Perceba que, para ângulos maiores do que π radianos, o valor de 
seno é negativo, pois a ordenada se encontra abaixo da origem. O menor valor de seno 
ocorre para o ângulo de 3𝜋
2 
 𝑟𝑎𝑑 (ou 270°). Esse valor é -1. Passando de 3𝜋2 𝑟𝑎𝑑 radianos, o 
valor de seno passa a aumentar novamente (ainda que seja negativo) até completarmos 
a circunferência em 2π radianos (ou 360°) quando, novamente, temos um valor de seno 
igual a 0.
Após completar uma volta, podemos continuar descrevendo ângulos maiores do que 
2π. Se, por exemplo, chegássemos ao valor máximo de seno novamente, teríamos um 
ângulo de 5𝜋
2
 (ou 450º). Podemos perceber que temos valores positivos de seno no 1º e 
no 2º quadrante e valores negativos no 3º e no 4º. 
𝑠𝑒𝑛(0°) = 𝑠𝑒𝑛(0) = 0
𝑠𝑒𝑛(90°) = 𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
= 1
𝑠𝑒𝑛(180°) = 𝑠𝑒𝑛 𝜋 = 0
𝑠𝑒𝑛(270°) = 𝑠𝑒𝑛
3𝜋
2
= −1
𝑠𝑒𝑛(360°) = 𝑠𝑒𝑛 2𝜋 = 0
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os Podemos ainda analisar o seno no ciclo trigonométrico 
sob a perspectiva de um triângulo retângulo. Para isso, 
vamos descrever um ângulo até alguma posição qualquer 
na circunferência de maneira a formar um triângulo 
retângulo com o raio e as projeções do ponto sobre os 
eixos de coordenadas. O raio é a hipotenusa do triângulo e 
as projeções são os catetos. Se considerarmos o ângulo θ 
formado pelo raio com o eixo horizontal, o cateto adjacente 
PX será a projeção do ponto P sobre o eixo horizontal e o 
cateto oposto PY será a projeção sobre o eixo vertical (o 
eixo dos senos, como vimos agora há pouco).
Vamos relembrar o que estudamos sobre seno do ponto de vista de um triângulo 
retângulo. O seno é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa. Portanto:
𝑠𝑒𝑛 θ =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
𝑃𝑦
1
= 𝑃𝑦
Veja que, como o raio do ciclo trigonométrico é igual a 1, o valor do seno se reduz 
simplesmente ao cateto oposto dividido por 1, que é igual ao próprio cateto oposto. Ou 
seja, o seno é o valor da ordenada! Exatamente como vimos ao estudá-lo em termos de 
coordenadas no ciclo.
Seno de ângulos notáveis
Você lembra que definimos o seno dos ângulos notáveis quando estudamos a trigonometria 
no triângulo retângulo. Agora chegou o momento de visualizarmos esses valores no ciclo 
trigonométrico. Perceba que o seno de 𝜋6 radianos (ou 30°) é igual a 
1
2 , pois essa é a 
projeção do arco de 𝜋
6
 radianos no eixo dos senos. A projeção do ângulo de 𝜋
4
 radianos 
(ou 45°) no eixo dos senos mede 2
2
 e a do arco de 𝜋3 radianos (ou 60°) mede 
3
2
.
Cosseno
Para os valores de cosseno, utilizamos o eixo horizontal (o eixo X do plano cartesiano). 
O raciocínio é o mesmo que utilizamos para definir o seno: descrevendo um arco sobre a 
circunferência, a projeção do ponto sobre o eixo horizontal (que corresponde à posição 
abscissa desse ponto) nos dá o valor do cosseno desse arco. 
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Exemplo: Conforme indicado na imagem abaixo, para um ângulo de 30° (ou 
𝜋
6 radianos), 
sua abscissa é 0,866, aproximadamente. Ela corresponde ao cosseno desse ângulo.
Assim como para o seno, podemos pensar nos 
valores de cosseno como coordenadas nos 
eixos. Pensando dessa forma, percebemos 
que para 0 radianos, o cosseno vale 1. Esse é o 
seu máximo valor. Se continuarmos movendo 
o ponto sobre a circunferência, descrevendo 
ângulos maiores, percebemos que os valores 
de cosseno vão diminuindo até chegar a 0, 
quando o ângulo é de 𝜋
2
𝑟𝑎𝑑, rad. Depois disso, os 
valores de cosseno passam a ser negativos até 
chegar em -1, que é o seu valor mínimo e 
ocorre quando o ângulo descrito é igual a π rad. Passando dos π radianos, os valores de 
cosseno passam a crescer até chegar novamente a 0, quando o ângulo é igual a 3𝜋
2 
 𝑟𝑎𝑑. Por 
fim, o cosseno volta a valer 1 quando a volta se completa em 2π. E podemos prosseguir 
para infinitos ângulos, completando novas voltas no ciclo e obtendo valores de cosseno 
limitados de -1 a 1.
Veja que o cosseno assume valores positivos no1º e no 4º quadrante e assume valores 
negativos no 2º e no 3º.
𝑐𝑜𝑠 0° = 𝑐𝑜𝑠 0 = 1
𝑐𝑜𝑠90° = cos 
𝜋
2
= 0
𝑐𝑜𝑠 180° = 𝑐𝑜𝑠 𝜋 = −1
𝑐𝑜𝑠 270° = cos
3𝜋
2
= 0
𝑐𝑜𝑠360° = 𝑐𝑜𝑠 2𝜋 = 1
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os Também podemos pensar no cosseno do ciclo trigonométrico através do uso de um 
triângulo retângulo, usando a mesma lógica que usamos no seno. Montando um 
triângulo retângulo com o raio e as projeções de um ponto P, podemos analisar o 
cosseno partindo de sua definição: a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa. 
Nesse caso, a hipotenusa é o raio e o cateto adjacente é a projeção do ponto P sobre o 
eixo horizontal (que, conforme visto agora, corresponde ao eixo dos cossenos):
𝑐𝑜𝑠 θ =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
𝑃𝑥
1
= 𝑃𝑥
E novamente, percebemos que essa razão se resume a percebermos o cosseno como 
uma coordenada (no caso, a abscissa), já que a hipotenusa é igual a 1.
Cosseno de ângulos notáveis
Assim como visualizamos o seno dos ângulos notáveis no ciclo trigonométrico, também 
vamos vislumbrar o cosseno desses ângulos no ciclo. Observe na imagem que o 
cosseno de 𝜋6 radianos (ou 30°) é igual a 
3
2
, pois essa é a projeção do arco de 𝜋
6
 no eixo 
dos cossenos. Já a projeção do ângulo de 𝜋4 radianos (ou 45°) no eixo dos cossenos 
mede 2
2
 e a do arco de 𝜋3 radianos (ou 60°) mede 
1
2 .
Todo arco projeta um valor no eixo horizontal e também no vertical. Portanto a todo arco 
há um valor de seno e um de cosseno associado. Observe na imagem as projeções dos 
ângulos notáveis:
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osRelação entre o seno e o cosseno
No estudo da trigonometria no triângulo retângulo encontramos a relação fundamental 
que relaciona seno e cosseno, mas lá tratávamos apenas de ângulos agudos. Será que 
essa relação vale para qualquer ângulo? A resposta é sim! Pois para qualquer arco que 
pegarmos no ciclo trigonométrico, será possível traçar suas projeções nos eixos dos 
senos e cossenos, e formar um triangulo retângulo cuja hipotenusa é o raio unitário da 
circunferência, e os catetos são os valores do seno e o cosseno. Dessa forma, através 
do teorema de Pitágoras chegamos facilmente à relação fundamental da trigonometria:
𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 = 1
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ANOTAÇÕES