Trigonometria

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Matemática
Ideia e Índice de Subida
Trigonometria vem de "medir triângulos". Na maioria
das vezes, trabalharemos com triângulos retângulos.
Situação 01: A inclinação de uma "rampa" em vários
pontos diferentes é sempre a mesma.
Trigonometria
Situação 02: Para um mesmo afastamento, quanto
maior for a altura, mais íngreme será a rampa.
Grau, Radiano e Conversões
Os ângulos podem ser medidos por Grau ou por
Radiano.
O Grau vem da ideia da Terra dar 365 dias em volta
do Sol. Para facilitar as divisões, foi posto como 360.
O Radiano vem da ideia de pegar um raio e entortar
em uma circunferência:
Se formos completar a circunferência com "fatias de
pizzas" iguais, sobrará um pequeno ângulo. Ângulo
esse que terá o tamanho de 28% do raio.
Teremos então, 6 "fatias de pizzas" (radianos) +
0,28, ou seja, 6,28 radianos. 
Se considerarmos o diâmetro ao invés de raio,
dividimos 6,28 por 2 e chegamos aos 3,14 (PI).
Para converter de Radianos para Grau ou vice-versa,
basta usarmos a relação abaixo e fazermos regra de
três, conforme exemplo.
Conversões
Círculo Trigonometrico
Arcos Congruos
Ângulos localizados no mesmo ponto que
diferenciam pelo número de voltas.
Ex.:
0º e 360º = 0º não fez volta nenhuma, mas o 360º fez
uma volta.
Para saber um arco côngruo de algum ângulo é só ir
adicionando 360º.
Esquema:
Elementos de um Triangulo Retangulo
São sempre relacionados a um ângulo específico de
um triângulo retângulo.
Ideia de Seno, Cosseno e Tangente
Exemplo de cálculo:
O espelhamento do ponto do ângulo no eixo x é o
cosseno e no eixo y é o seno.
Seno e Cosseno no Círculo
Trigonométrico
Portanto, o sinal de cada quadrante fica:
Como o raio do círculo é igual a 1, o valor mínimo e
máximo do seno e do cosseno é de -1 a 1. E a
função se repete a cada 360º.
Tangente: Reta paralela ao eixo y, que quase
encosta no "raio = 1". Em um ângulo, o valor dela é o
prolongamento do raio até a reta tangente.
Secante: Em um ângulo, é o valor do raio
prolongado até a reta tangente.
Tangente e Secante no Círculo
Trigonométrico
Lembrando que o cálculo da tangente considera-se
sempre a tangente no lado direito, ou seja, o se não
der para prolongar o raio por cima (caso o ângulo
esteja no segundo quadrante, por exemplo),
prologaremos para baixo e o valor da tangente será
negativo.
Intuitivamente, percebemos que o valor da tangente
nos ângulos de 90º e 270º é igual a zero, já que não
da pra prolongar o raio que está paralelo.
Cotangente e Cossecante no Círculo
Trigonométrico
Cotangente: Reta paralela ao eixo x, que quase
encosta no "raio = 1". Em um ângulo, o valor dela é o
prolongamento do raio até a reta tangente.
Cosecante: Em um ângulo, é o valor do raio
prolongado até a reta cotangente.
Intuitivamente, os valores para os ângulos de 0, 180,
360 ou semelhantes a esses, é zero.
Funções Trigonométricas
A função inversa do Seno é a Cosecante
A função inversa do Cosseno é a Secante
A função inversa da Tangente é a Cotangente
 Sinais das funções trigonométricas
Levando em consideração o círculo trigonométrico,
podemos chegar na relação de Pitágoras, conforme:
1º relação: Seno e Coseno
Relações Trigonométricas
Fundamentais
2º relação: Tangente e Secante
3º relação: Cosecante e Cotangente
Aqui temos ângulos em quadrantes diferentes que
possuem o mesmo valor de seno, cosseno e
tangente. Até podem ser chamados de mesmo
ângulo.
Redução dos ângulos para o primeiro
quadrante
Exemplo 01: Reduza 150º graus para o 1º
quadrante.
Sabemos que 150º está no 2º quadrante, portanto,
usamos o "quanto falta para chegar nos 180º.
Fazendo a conta 180º - 150º = 30º, ou seja, 30º e
150º tem os mesmos valores de seno, coseno e
tangente, portanto, são ângulos iguais, mas em
quadrantes diferentes.
Exemplo 02: Reduza 200º graus para o 1º
quadrante.
Usamos "o quanto passou de 180º", portanto, 200º
passou 20º de 180º, e essa é a redução ao primeiro
quadrante: 20º.
Tabela dos valores de Seno, Cosseno e
Tangente dos P
Encontrado o valor da altura, fica fácil de resolver:
Exercícios com Seno e Tangente
Exercício 01
O exercício quer saber qual o valor da área
preservada. Sabemos que a área é base x altura.
Nesse caso, a base é 800m, mas a altura não é
500m. Precisamos encontrar projetando a altura
(pontilhado vermelho) e fazendo o triângulo
retângulo.
Exercício 02
Como usar a trigonometria para encontrar a área de
triângulos como esse?
Área do Triângulo
Sabemos da Geometria que a fórmula para encontrar
a área de um triângulo é:
Portanto, para descobrirmos a altura esse triângulo,
basta usarmos trigonometria:
Substituindo, temos esse resultado como fórmula:
Transformações de Arcos
Leia-se a função inversa: qual arco (ângulo) possui
o cosseno "y"? É o arco x.
Função Trigonométria Inversa
No exemplo acima, leia-se: "O seno de 45º graus é
raiz de dois sobre dois, portanto, o arc (ângulo) que
tem seno de raiz de dois sobre dois, é 45º.
Veja outros exemplos:
Gráficos das funções trigonométricas
Amplitude: Distância do eixo central até um vale ou
uma crista.
Eixo central: Linha que traça uma simetria, no caso
desse exemplo, é o eixo x.
Crista: Distância do eixo central até a parte mais
alta.
Vale: Distância do eixo central até a parte mais
baixa.
Translações de gráficos
trigonométricos
Podemos mudar a amplitude multiplicando a função
pro uma constante:
Maior que 1: a amplitude aumenta.
Entre 0 e 1: a amplitude diminuí.
Menor que 0: as cristas viram vales e os valem
viram cristas.
Se a constante for:
Deslocamento no eixo y
Temos que lembrar que, caso a função do exemplo
anterior, estiver somando ou subtraindo uma
constante, o eixo central deixaria de ser o eixo x
para a constante que está sendo subtraída ou
somada:
Período
Mexer no período da função nos mostrará a função
se fazendo mais lentamente ou mais rapidamente.
Para descobrir o período da função, basta usar a
fórmula destacada no retângulo vermelho, onde w é
o número que multiplica o x da função trigonométrica,
conforme exemplo:
Abaixo a mesma função em períodos diferentes (PI,
2PI e 4PI).
Fase
É parecido com o deslocamento no eixo y, mas
agora o deslocamento é feito no eixo x.
Para descobrir o valor do deslocamento, basta usar a
fórmula:
Onde:
Exemplo
Repare que, conforme explicado anteriormente, só
substituimos na fórmula os valores aplicáveis da
função (w é o valor que multiplica o x e omega é o
valor que soma/subtrai o x)
1º: Veja que podemos reescrever sen2x, da seguinte
forma, conforme transformações de arcos (visto em
aulas passadas):
Exercícios
Exercício 01
2º: Agora, cos x + sen x = y, vamos elevar os dois
lados da equação ao quadrado e aplicar o produto
notável:
3º: Conforme regra fundalmental da trigonometria,
temos que cos²x + sen²x = 1, portanto: 
4º: Chegamos a conclusão, que:
Exercício 02
1º: Chamaremos tg x de y e resolveremos equação
de 2º grau básica:
3º: Somando, conforme pede o exercício, temos:
2º: Substituindo as raízes encontradas, temos:
Exercício 03
1º: Vamos verificar o valor de cada um dos termos
com base no círculo trigonométrico.
Veja que: o ângulo de 300º é simétrico ao ângulo de
60º e portanto, tem o mesmo valor de seno (porém
negativo). O valor do seno de 60º é conhecido:
2º: Agora, vamos dividir o 960º por 360º. Note que
deu como resultado 2 (duas voltas completas) e
sobrou 240 (anda mais 240º).