Exercícios Aprofundados - Módulo

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EXERCÍCIOS APROFUNDADOS 2020 - 2022
MÓDULO
1. Exercícios Aprofundados: Módulo
Conheça a definição de módulo e aprenda sobre função modular, equação e inequação 
modular.
Esta subárea é composta pelo módulo:
3www.biologiatotal.com.br
MÓDULO
1. (ESPM 2018) Num sistema de 
coordenadas cartesianas, considere 
que o caminho que liga dois pontos só 
poderá ser feito através de segmentos 
paralelos aos eixos coordenados. Dessa 
forma, teremos uma maneira diferente 
de calcular a distância entre dois pontos 
A e B. Vamos representá-la por d(AB) 
e calculá-la da seguinte maneira: 
A B A Bd(AB) | x x | | y y |,= − + − como no 
exemplo abaixo:
A B A Bd(AB) | x x | | y y |
d(AB) 4 2 6
= − + −
= + = 
De acordo com o texto acima, assinale a 
alternativa que representa o conjunto dos 
infinitos pontos P do plano que estão à 
distância d(OP) 5= do ponto O:
 
2. (G1 - CFTRJ 2017) Seja f uma função 
real que tem o gráfico abaixo, onde y f(x).= 
Por exemplo, para x 4,= y assume o valor 
6, como no ponto destacado. 
Determine x, de modo que a expressão 
| y | 5+ tenha valor mínimo. 
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o 3. (Ime 2017) Seja
 f(x) | x 1| | x 2 | | x 3 | | x 2.017 |.= − + − + − + + − 
O valor mínimo de f(x) está no intervalo: 
a) ( , 1.008]−∞ 
b) (1.008,1.009] 
c) (1.009,1.010] 
d) (1.010,1.011] 
e) (1.011, )+ ∞ 
4. (G1 - col. naval 2016) O conjunto 
solução da equação 2 2x 1 x 4x 4x 1+ = + + + 
em ℝ, conjunto dos números reais, é 
a) ℝ
b) [ 1, [.− ∞ 
c) ℝ - [-1, ∞ [. 
d) [0, [.∞ 
e) 1, .
2
 − ∞  
 
5. (PUCRJ 2016) Sejam 𝑓:ℝ→ℝ e 𝑔:ℝ→ℝ 
as funções definidas por f(x) | 3x 1|= − e 
g(x) 1 3x.= − 
a) Esboce os gráficos de f e g no mesmo 
sistema de coordenadas cartesianas.
b) Para quais valores de x, temos 
f(x) g(x) 28?− ≤ Justifique sua resposta.
c) Determine a área do triângulo ABC, 
onde A (0, f(0)),= B (3, g(3))= e C (3, f(3)),= 
justificando sua resposta. 
6. (PUCPR 2018) Considere os seguintes 
dados. 
Pode-se dizer que quando duas variáveis 
x e y são tais que a cada valor de x 
corresponde um único valor de y,segundo 
uma lei matemática, diz-se que y é função 
de x. Considere uma função 𝑓:ℝ→ℝ+ que é 
representada pelo gráfico a seguir. 
Analisando o gráfico, julgue as proposições 
a seguir.
I. f é ímpar. 
II. f é injetora. 
III. A lei matemática de f é f(x) | x | 1.= −
IV. f é crescente se, e só se, x 1.> 
V. (f f )( 1) (f f )(1).− =  
a) Somente II é correta. 
b) Somente I é correta. 
c) Somente III e V são corretas. 
d) Todas as proposições são corretas. 
e) Todas as proposições são falsas. 
7. (G1 - CFTMG 2018) Seja f(x) uma 
função real com três raízes não nulas e 
g(x) uma função definida por 
xg(x) .
| f(x) |
= 
O número de raízes reais que g(x) possui é 
a) 0. 
b) 1. 
c) 2. 
d) 3. 
8. (IME 2018) Resolva a inequação abaixo, 
onde x é uma variável real.
3 22 | x | 6x 3 | x | 2 0− + + < 
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o9. (FGV 2017) 
a) Escreva um pequeno texto para 
verificar se a proposição: 
x2| x | ,
x
> para 
todo número real x < 0, é verdadeira ou 
falsa. 
b) O lucro obtido por uma livraria foi 
x por cento mais em 2014 do que em 
2013 e y por cento menos em 2015 do 
que em 2014. É correto afirmar que o 
lucro da livraria em 2015 foi maior do 
que em 2013, sabendo que xyx y ?100− > Justifique a sua resposta. 
10. (UEM 2017) Considerando o módulo 
de números reais e as funções envolvendo 
módulo, assinale a(s) alternativa(s) correta(s). 
01) |𝑥| ≠ −𝑥, ∀𝑥 ∈ ℝ. 
02) Se f e g estão definidas no mesmo 
domínio e no mesmo contradomínio, 
então o gráfico de f(x) | x 2 | 2= + − é igual 
ao gráfico de g(x) | x |,= mas deslocado 
em duas unidades para a esquerda no 
eixo x e duas unidades para baixo no 
eixo y. 
04) A função 𝑓:ℝ+→ℝ+, definida por 
f(x) | x |,= é injetora e sobrejetora. 
08) A solução da equação 
| cos (x 4) sen (x 1) x 2 1 | 5 0+ − − + + − + = é 
k ,π para 𝑘∈ℤ+. 
16) A equação | x 1| | x 1| 0+ − − = não 
possui solução real. 
11. (PUCRJ 2017) Sejam g0, 𝑔1:ℝ→ℝ as 
seguintes funções:
0
| x 2 | | x 2 |g (x)
2
+ − −
=
0 0
1
g (4x 6) g (4x 6)
g (x)
2
+ + −
=
a) Faça o esboço do gráfico de g0.
b) Faça o esboço do gráfico de g1.
c) Resolva a inequação 1
xg (x) .
2
≤ 
12. (ITA 2017) Sejam 𝑆1= {(𝑥, 𝑦)∈ℝ2 : 𝑦≥ ||𝑥|−1|} 
e 𝑆2= {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 : 𝑥2 + (𝑦+1)2 ≤ 25}. A área da 
região 1 2S S∩ é 
a) 25 2.
4
π −
b) 25 1.4 π − 
c) 25 .
4
π 
d) 75 1.
4
π − 
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e) 
75 2.
4
π − 
13. (IFSC 2017) Analise as afirmações 
a seguir e assinale a soma da(s) 
proposição(ões) CORRETA(S). 
01) A função 𝑓:ℝ→ℝ definida por 
xf(x) 10 2 ,= − é decrescente e sobrejetiva. 
02) A área da região plana fechada, 
pertencente ao 1º quadrante e limitada 
pela função f(x) 12 2x,= − é igual a 72 u.a. 
04) A imagem da função 𝑓:ℝ→ℝ, 
definida por 2f(x) x 4x 20,= − + é dada 
pelo conjunto lm [16, [.= + ∞ 
08) Se g:ℝ→ℝ é definida por g(x) 2x 11,= − 
então g(2x 3) 4x 5.+ = − 
16) Se a função 𝑓:ℝ→ℝ definida por 
2f(x) x bx 10= + + e com b ∈ ℝ, tem valor 
mínimo igual a 1, então o único valor 
possível para b é 6. 
32) A função 𝑓:ℝ→ℝ definida por 
f(x) | x 2 | 1 ,= − − possui três raízes reais 
distintas. 
 
14. (Espcex (Aman) 2016) O gráfico que 
melhor representa a função real definida 
por 2
4 | x 4 |, se 2 x 7
x 2x 2, se x 2
− − < ≤

− + ≤
 é 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
ANOTAÇÕES
GABARITO
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1: [B]
Vamos supor que O é a origem do sistema 
cartesiano.
Seja P(x, y).
Assim, do enunciado, temos:
5 x 0 y 0
x y 5
= − + −
+ =
Daí,
( )
( )
( )
( )
x y 5 x 0, y 0
x y 5 x 0, y 0
x y 5 x 0, y 0
x y 5 x 0, y 0
 + = ≥ ≥

− = ≥ ≤

− + = ≤ ≥
− − = ≤ ≤
O sistema acima é representado pelo quadrado da 
alternativa [B]. 
2: Aplicando a definição de módulo no gráfico da 
função y f(x)= e fazendo uma translação vertical 
de 5 unidades, temos o seguinte gráfico.
O valor mínimo que a função | y | 5+ assume é 5, 
já que o menor valor para o modulo de y é zero. 
Portanto, os valores de x para os quais a função 
| y | 5+ assume valor mínimo são x 1= ou x 3.= 
3: [B]
Supondo que x (1008,1009] :∈
( ) ( )S(x) | x 1| | x 2 | | x 1008 | | x 1009 | | x 2017 | x k= − + − + + − + + − + + − = − +  
( ) ( )S(x) | x 1| | x 2 | | x 1008 | | x 1009 | | x 2017 | x k= − + − + + − + + − + + − = − +  
S será decrescente.
Supondo que x (1009,1010] :∈
( ) ( )S(x) | x 1| | x 2 | | x 1009 | | x 1010 | | x 2017 | x k '= − + − + + − + + − + + − = +  
( ) ( )S(x) | x 1| | x 2 | | x 1009 | | x 1010 | | x 2017 | x k '= − + − + + − + + − + + − = +  
S será crescente.
( ) ( ) ( )
mín mín
2 1 1008 1008
x 1009 f(x) 1008 1007 1 0 1 2 1008
2
f(x) 1009 1008 1008 f(x) 1009
⋅ + ⋅
= → = + + + + + + + + =
= ⋅ → < <
 
 
( ) ( ) ( )
mín mín
2 1 1008 1008
x 1009 f(x) 1008 1007 1 0 1 2 1008
2
f(x) 1009 1008 1008 f(x) 1009
⋅ + ⋅
= → = + + + + + + + + =
= ⋅ → < <
  ( ) ( ) ( )
mín mín
2 1 1008 1008
x 1009 f(x) 1008 1007 1 0 1 2 1008
2
f(x) 1009 1008 1008 f(x) 1009
⋅ + ⋅
= → = + + + + + + + + =
= ⋅ → < <
 
4: [E]
( )
{ }
2
2 2 2 2
2 2 2
2 2
4x 4x 1 0 x
x 1 x 4x 4x 1 x 4x 4x 1 0 x
x 1 0 x 1
x 1 x 4x 4x 1 x 2x 1
x 1 x 2x 1 2x 1 2x 1
1f(x) f(x) f(x) 0 2x 1 0 x 2
11S x / x ,2 2
 + + ≥ ∀ ∈

+ = + + + → + + + ≥ ∀ ∈
 + ≥ → ≥ −
+ = + + + = + +
+ = + + → + = +
= → ≥ → + ≥ → ≥ −
 = ∈ ≥ − = − ∞  
�
�
�
 
5:
a) Desde que 
13x 1, se x
3f(x) ,
13x 1, se x
3
 − ≥= 
− + <

 temos f(x) g(x),= 
para 1x .3< Assim, os gráficos de f e de g são dados 
pela figura abaixo. 
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o b) De (a), sabemos que f(x) g(x) 28− ≤ para todo 
x realmenor do que 1.3 Ademais, para 
1x ,
3
≥ temos 
3x 1 (1 3x) 28 6x 30 x 5.− − − ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤
Portanto, a resposta é {𝑥 ∈ ℝ |𝑥 ≤ 5}.
c) Sendo f(0) 1,= g(3) 8= − e f(3) 8,= temos
0 3 3 01(ABC)
1 8 8 12
1 | 24 3 3 24 |
2
24 u.a.
=
−
= + − +
=
 
6: [C]
[I] Falsa. A função é par, pois o gráfico é simétrico 
em relação ao eixo y.
[II] Falsa, pois f(1) f( 1) 0.= − =
[III] Verdadeira.
[IV] Falsa. f(x) também é crescente para valores 
de x entre 0 e 1.
[V] Verdadeira. f(f( 1)) f(0) 1− = = e f(f(1)) f(0) 1.= = 
7: [B]
Seja f(x) função descrita como uma função real 
com três raízes não nulas.
Note que, f(x) f(x) ou f(x)= − e dessa maneira
 
x
f(x)
xg(x) ou
| f(x) |
x
f(x)
−

= = 



 
Nesse sentido, f(x) f(x)= ± e é sabido que 1
f(x)±
 
não possuem raízes.
Dessa maneira, reescrevendo a função g(x) temos:
1g(x) x
f(x)
= ± ⋅
±
Para calcular sua raiz, devemos igualar a zero, isto 
é: 1g(x) 0 g(x) x 0
f(x)
= ⇒ = ± ⋅ =
±
Resgatando o fato de f(x) função descrita como 
uma função real com três raízes não nulas podemos 
realizar a seguinte operação:
1x 0 x 0
f(x)
± ⋅ = ⇒ ± =
±
 e assim, a função g(x) possui 
somente uma raiz. Como queríamos demonstrar. 
8: 3 22 x 6x 3 x 2 0⋅ − + ⋅ + <
Fazendo x t,=
3 22 t 6t 3 t 2 0⋅ − + ⋅ + <
Por inspeção, verifica-se que 2 é raiz da equação 
3 22 t 6t 3 t 2 0.⋅ − + ⋅ + =
Então,
Então, as raízes da equação 22t 2t 1 0− − = também 
são raízes da equação 3 22t 6t 3t 2 0.− + + =
De 22t 2t 1 0,− − =
1 3t
2
+
= ou 
1 3t
2
−
=
Portanto,
( )3 2 1 3 1 32t 6t 3t 2 2 t 2 t t .
2 2
      + −
− + + = ⋅ − ⋅ − ⋅ −                  
Voltando à inequação 3 22t 6t 3t 2 0,− + + < temos:
( ) 1 3 1 32 t 2 t t 0
2 2
      + −
⋅ − ⋅ − ⋅ − <                  
Logo,
1 3t
2
−
< ou 1 3 t 2
2
+
< <
Assim,
( ) 1 3i x
2
−
< (sem solução, pois 
1 3 0)
2
−
<
( ) 1 3ii x 2
2
+
< <
De 
1 3x ,
2
+
>
1 3x
2
+
> ou 
1 3x
2
+
< −
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o| cos(x 4) sen(x 1) x 2 1 | 5.+ − − + + − = −
Absurdo, pois |α| ≥ 0 para todo α ∈ ℝ.
Observação: Provavelmente houve erro de 
digitação onde se lê x 2 1.+ − 
[16] Falsa. É fácil ver que x = 0 é solução da 
equação. 
11: a) De ( )0
x 2 x 2
g x ,
2
+ − −
=
( )0
2 se x 2
g x x se 2 x 2
2 se x 2
− ≤ −
= − ≤ ≤
 ≥
b) De ( )0
x 2 x 2
g x ,
2
+ − −
=
( )
( )
( )
( )
+ + − + −
+ =
+ − +
+ =
+ − +
+ =
+ = + − +
0
0
0
0
4x 6 2 4x 6 2
g 4x 6
2
4x 8 4x 4
g 4x 6
2
4 x 2 4 x 1
g 4x 6
2
g 4x 6 2 x 2 2 x 1
De ( )0
x 2 x 2
g x ,
2
+ − −
=
( )
( )
( )
( )
0
0
0
0
4x 6 2 4x 6 2
g 4x 6
2
4x 4 4x 8
g 4x 6
2
4 x 1 4 x 2
g 4x 6
2
g 4x 6 2 x 1 2 x 2
− + − − −
− =
− − −
− =
− − −
− =
− = − − −
De x 2,<
2 x 2− < <
Dessa forma,
1 32 x
2
+
− < < − ou 
1 3 x 2
2
+
< <
𝑆 = 𝑥 ∈ ℝ: −2 < 𝑥 < −
1 + 3�
2
 𝑜𝑢 
1 + 3�
2
< 𝑥 < 2 . 
9: a) Verdadeira. Calculando:
x
x
x 0
2Se x 0 x2 x0
x
>
< ⇒ ⇒ >
<
 
b) Sim, é correto afirmar que o lucro da livraria em 
2015 foi maior do que em 2013. Calculando:
( )
2014 2013
2015 2013
2015 2014
2015 2013 2 2
100 xL L 100 x 100 y100 L L
100 y 100 100L L
100
100 x y xyL L 1
100 100
+
= ⋅
+ −
⇒ = ⋅ ⋅
−
= ⋅
 ⋅ −
= ⋅ + −  
 
( )
2014 2013
2015 2013
2015 2014
2015 2013 2 2
100 xL L 100 x 100 y100 L L
100 y 100 100L L
100
100 x y xyL L 1
100 100
+
= ⋅
+ −
⇒ = ⋅ ⋅
−
= ⋅
 ⋅ −
= ⋅ + −  
 
Mas,
( )xyx y 100 x y xy
100
− > ⇒ ⋅ − >
Logo,
( )
2015 20132 2
100 x y xy 0 L L
100 100
⋅ −
− > ⇒ >
 
10: 02 + 04 = 06.
[01] Falsa. Tem-se que | 0 | 0 0.= − =
[02] Verdadeira. De fato, o gráfico de h(x) | x 2 |= + 
corresponde ao gráfico de g deslocado de duas 
unidades no sentido negativo do eixo das abscissas. 
Ademais, o gráfico de f corresponde ao gráfico de 
h deslocado de duas unidades no sentido negativo 
do eixo das ordenadas.
[04] Verdadeira. Com efeito, pois para quaisquer 
𝑥1, 𝑥2 ∈ ℝ+, com 1 2x x ,≠ tem-se que 1 2| x | | x | .≠ 
Logo, a função f é injetiva.
Por outro lado, é fácil ver que para todo 𝑦 ∈ ℝ+ 
existe pelo menos um 𝑥 ∈ ℝ+ tal que y | x | .= Em 
consequência, f é sobrejetiva.
[08] Falsa. A equação possui solução real se, e 
somente se,
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( )
( )
( )
( )
0
0
0
0
4x 6 2 4x 6 2
g 4x 6
2
4x 4 4x 8
g 4x 6
2
4 x 1 4 x 2
g 4x 6
2
g 4x 6 2 x 1 2 x 2
− + − − −
− =
− − −
− =
− − −
− =
− = − − −
Assim,
( ) ( ) ( )
( )
( )
0 0
1
1
1
g 4x 6 g 4x 6
g x
2
2 x 2 2 x 1 2 x 1 2 x 2
g x
2
g x x 2 x 1 x 1 x 2
+ + −
=
+ − + + − − −
=
= + − + + − − −
( )1
2 se x 2
2x 2 se 2 x 1
g x 0 se 1 x 1
2x 2 se 1 x 2
2 se x 2
− ≤ −
 + − ≤ ≤ −= − ≤ ≤
 − ≤ ≤
≥
c) Teremos:
Do gráfico, ( )1
xg x ,
2
≤
44 x
3
− ≤ ≤ − ou 
40 x
3
≤ ≤ ou x 4≥
Portanto, 
𝑆 = 𝑥 ∈ ℝ: −4 ≤ 𝑥 ≤ −
4
3
 𝑜𝑢 0 ≤ 𝑥 ≤
4
3
 𝑜𝑢 𝑥 ≥ 4
12: [A]
Esboçando o gráfico de y || x | 1|≥ − e a 
circunferência definida por 2 2x (y 1) 25,+ + ≤ a 
região 1 2S S∩ será a apresentada em amarelo na 
figura a seguir.
Calculando sua área, tem-se que essa será igual a 
um quarto da área do círculo menos a área de um 
quadrado de lado 2, ou seja:
( )
2 2
1 2
5 25S S 2 2
4 4
ð ð⋅
∩ = − = −
 
13: 04 + 08 = 12.
[01] Falsa. A função não é sobrejetiva, pois seu 
conjunto imagem é de ] , 10[− ∞ não coincidindo 
com o seu contradomínio (conjunto dos números 
reais).
[02] Falsa. Sabemos que os pontos A(0,12) 
e B(6, 0) pertencem ao gráfico desta função, 
portanto, a área do triângulo formado será dada 
por:
6 12A 36
2
⋅
= =
[04] Verdadeira. Determinando o valor da ordenada 
do vértice, temos:
2 2
V
b 4 a c ( 4) 4 1 20y 16
4 a 4 1
− ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅
= − = − =
⋅ ⋅
(valor mínimo da função).
Logo, seu conjunto imagem será lm [16, [.= + ∞
[08] Verdadeira.
( )g(2x 3) 2 2x 3 11 4x 5.+ = ⋅ + − = −
[16] Falsa.
2
2
2
b 4 a c 1
4 a
4 1 10 b 4 1
b 36 b 6
− ⋅ ⋅
− = −
⋅
⋅ ⋅ − = ⋅
= ⇒ = ±
25 .
4
π
25 .
4
π
π π
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Ex
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 M
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2
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b 4 a c 1
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4 1 10 b 4 1
b 36 b 6
− ⋅ ⋅
− = −
⋅
⋅ ⋅ − = ⋅
= ⇒ = ±
[32] Falsa.
 
Portanto, a equação possui duas raízes. 
14: [C]
Construindo o gráfico da função f(x) 4 4 x ,= − − 
para 2 x 7.≤ ≤
x 4 0 x 4− = ⇒ =
Construindo o gráfico para 2 x 7,≤ ≤ temos:
Construindo agora o gráfico da função 
2f(x) x 2x 2,= − + para x 2.≤
Intersecção com o eixo y : (0, 2)
Não intercepta o eixo x, pois 4.Ä = −
x 2 1 0 x 2 1 0 x 2 1
x 2 1 ou x 2 1 x 3 ou x 1
− − = ⇒ − − = ⇒ − = ⇒
− = − = − ⇒ = =
Vértice
V
V
b ( 2)x 1
2 a 2 1
( 4)y 1
4 a 4 1
V(1,1)
Ä
−
= − = − = −
⋅ ⋅
−
= − = − =
⋅ ⋅
2f(2) 2 2 2 2 2= − ⋅ + =
Portanto, o gráfico da função pedida será:
 
Δ
Δ
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