Aula 12 - Exercícios

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MATEMÁTICA
E SUAS TECNOLOGIAS
F B O N L I N E . C O M . B R
//////////////////
Professor(a): Jorge Júnior
assunto: Transformações TrigonoméTricas: mulTiplicação e Divisão De arcos
frente: maTemáTica i
OSG.: 122480/17
AULA 12
EAD – MEDICINA
Resumo Teórico
Introdução
Utilizando as fórmulas de adição de arcos discutidas 
anteriormente, podemos demonstrar as fórmulas de multiplicação e 
bissecção de arcos.
Arco duplo: sen(2a)
Justificativa:
Na adição de arcos, temos:
sen(a + b) = sen a cos b + sen b cos a
Fazendo a = b, encontramos:
sen(2a) = 2sena cosa
Arco duplo: cos(2a)
Justificativa:
Na adição de arcos, temos:
cos(a + b) = cos a cos b - sen b sen a
Fazendo a = b, encontramos: 
cos(2a) = cos2 a - sen2 a = 2cos2 a - 1 = 1 - 2sen2 a
Arco duplo: tg(2a)
Justificativa:
Na adição de arcos, temos:
tg
tg tg
tg tg
α β
α β
α β
+( ) = +
−1
Fazendo a = b, encontramos:
tg
tg
tg
2
2
1 2
α
α
α
( ) =
−
Arco metade: sen
α
2






Justificativa:
A partir da relação cos(2x) = 1 – 2sen2 x, encontramos:
sen x
x
sen2
1 2
2 2
1
2
=
− ( )
⇒ = ±
− ( )cos cosα α
Arco metade: cos
α
2






Justificativa:
A partir da relação cos(2x) = 2cos2 x - 1, encontramos:
cos
cos
cos
cos2 1 2
2 2
1
2
x
x
=
+ ( )
⇒ = ±
+ ( )α α
Arco metade: tg
α
2






Justificativa:
A partir da relação tg x
sen x
x
2
2
2
=
cos
, encontramos:
tg x
x
x
tg2
1 2
1 2 2
1
1
=
− ( )
+ ( ) ⇒ = ±
− ( )
+ ( )
cos
cos
cos
cos
α α
α
Exercícios
01. Para facilitar o trânsito em um cruzamento muito movimentado, 
será construída uma ponte sobre a qual passará uma das vias. 
A altura da via elevada, em relação à outra, deverá ser de 
5 m. O ângulo da inclinação da via elevada, em relação ao solo, 
deverá ser de 22,5°.
5 m
22,5º
d
 A distância d, em metros, na qual deve ser iniciada a rampa que 
dará acesso à ponte, medida a partir da margem da outra via, 
conforme mostra a figura, deverá ser de:
A) 5 2 1+( ) B) 52 2 1−( )
C) 
5
3
2 1+( ) D) 53 3 1−( )
E) 
5
4
3 1+( )
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Módulo de estudo
OSG.: 122480/17
02. (Insper/2014) Considere o quadrilátero convexo ABCD mostrado 
na figura, em que AB cm AD cm e= = = °4 3 90, Â .
C
D
A B
α
α
 Se a diagonal BD está contida na bissetriz do ângulo ABCˆ e 
BD BC= , então a medida do lado CD, em centímetros, vale:
A) 2 2 B) 10
C) 11 D) 2 3
E) 15
03. A figura ao lado representa
r
R
R
θ
 
um corte feito em uma tela de 
amianto na fabricação de uma 
j u n t a d o e s c a p a m e n t o 
ciclomotor sendo exibido por 
um círculo de raio r que 
tangencia internamente um 
setor circular de raio R e ângulo 
central q. 
 O valor de cos q no caso em que 
R = 4r corresponde a:
A) 1/2 B) 1/4
C) 3/4 D) 7/8
E) 7/9
04. Em uma região plana de um parque estadual, um guarda florestal 
trabalha no alto de uma torre cilíndrica de madeira de 10 m de 
altura. Em um dado momento, o guarda, em pé no centro de seu 
posto de observação, vê um foco de incêndio próximo à torre, no 
plano do chão, sob um ângulo de 15º em relação à horizontal. Se 
a altura do guarda é 1,70 m, a distância do foco ao centro da base 
da torre, em metros, é, aproximadamente:
Observação: use 3 = 1,7
A) 33 B) 38
C) 43 D) 48
E) 53
05. (Insper/2013) Movendo as hastes de um compasso, ambas de 
comprimento l, é possível determinar diferentes triângulos, como 
os dois representados a seguir, fora de escala.
� �
T
1
� �
T
2
θ
2 θ
 Se área do triângulo T
1
 é triplo da área do triângulo T
2
, então o 
valor de cos q é igual a:
A) 
1
6
 B) 
1
3
C) 
3
3
 D) 
1
2
E) 
6
6
06. (Fuvest/2013) Um caminhão sobe uma ladeira com inclinação de 
15°. A diferença entre a altura final e a altura inicial de um ponto 
determinado do caminhão, depois de percorridos 100 m da ladeira, 
será de, aproximadamente,
Dados: 3 1 73
2
1
2
2≅ 



=
−
, ;
cos
sen
θ θ
A) 7 m B) 26 m
C) 40 m D) 52 m
E) 67 m
07. (Unicamp/2013) Um recipiente cúbico de aresta a e sem tampa, 
apoiado em um plano horizontal, contém água até a altura 
3
4
a. Inclina-se 
lentamente o cubo, girando-o em um ângulo q em torno de uma 
das arestas da base, como está representado na figura abaixo.
θ
 Supondo que o giro é interrompido exatamente antes de a 
água começar a derramar, determine a tangente do ângulo q 
e, em seguida, considerando, agora, a inclinação tal que 
tan(q) = 1/4, com 0 < q < p/2, calculando o calor numérico da 
expressão cos(2q) - sen(2q), temos:
A) 1/2 e 7/17 B) 1/3 e 5/17
C) 1/5 e 3/17 D) 2/3 e 4/5
E) 3/5 e 2/7
08. (UPF/2012) Texto para a próxima questão:
 Observe a tabela a seguir, que mostra a relação entre três redes 
sociais da internet e a quantidade de usuários, em milhões de 
pessoas, que acessam essas redes na Argentina, Brasil e Chile, 
segundo dados de junho de 2011.
NÚMERO DE USUÁRIOS DE REDES SOCIAIS
EM MILHÕES DE PESSOAS
Argentina Brasil Chile
Facebook 11,75 24,5 6,7
Twitter 2,4 12 1,2
Windows Live Profile 3,06 14,6 1,44
Disponível em: <http://www.slideshare.net/>
3 F B O N L I N E . C O M . B R
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Módulo de estudo
 Reescrevendo os dados da tabela em forma de matriz, temos:
A =








1175 24 5 6 7
2 4 12 1 2
3 06 14 6 1 44
, , ,
, ,
, , ,
 Considerando que a
ij
, com 1< i < 3, 1 < j < 3, são os elementos 
da matriz A, então cos
a a
a
22 21
33
−




π rad vale: 
A) − 1
2
 B) -1
C) 0 D) 1
E) 
1
2
09. O valor da expressão trigonométrica 
1
80
3
80cos o osen
− é igual a:
A) 1 B) 2
C) 3 D) 4
E) 5
10. (Fuvest/2007) Uma folha de papel ABCD, de formato retangular, 
é dobrada em torno do segmento EF, de maneira que o ponto A 
ocupe a posição G, como mostra a figura.
 Se AE = 3 e BG = 1, então a medida do segmento AF é igual a:
A) 
3 5
2
( )
 
D C
G
BA F
E
B) 
7 5
8
( )
C) 
3 5
4
( )
D) 
3 5
5
( )
E) 
5
3
( )
11. Na figura abaixo, o segmento PQ, em unidades de comprimento, 
vale:
A) sen
q
2
(–1, 0)
(0, –1)
(1, 0)
(0, 1)
0
Q
P
x
y
θ
 
B) 2
2
sen
q
 
C) 3
2
sen
q
 
D) 4
2
sen
q
E) 4
2
cos
q
12. (UFG/2014) Um t ime de C
B A3 hm
2 
hm
D
 
futebol conseguiu um terreno 
para seu futuro centro de 
treinamento (CT). O terreno 
tem a forma de um triângulo 
retângulo e suas dimensões 
são apresentadas na figura a 
seguir. O projeto de construção 
do CT prevê um muro ligando 
os pontos A e C.
 Sabendo que o segmento AD é a bissetriz do ângulo com vértice 
em A, calcule a medida, em metros, do muro AC.
A) 780
B) 640
C) 560
D) 420
E) 360
13. (Uerj/2013) Um esqueitista treina em três rampas planas de mesmo 
comprimento a, mas com inclinações diferentes. As figuras abaixo 
representam as trajetórias retilíneas AB = CD = EF, contidas nas retas 
de maior declive de cada rampa.
E
F
75º
h
3
a
C
D
45º
h
2a
A
B
15º
h
1
a
 Sabendo que as alturas, em metros, dos pontos de partida A, C e 
E são, respectivamente, h
1
, h
2
 e h
3
, conclui-se que h
1
 + h
2
 é igual 
a:
A) h3 3
B) h3 2
C) 2h
3
D) h
3
• Texto para a próxima questão:
 A construção da hidrelétrica de Tucuruí que inundou uma 
área de 2000 km2, sem que dela se retirasse a floresta, 
ocasionou uma decomposição orgânica que elevou os níveis de 
emissão de gases, a ponto de fazer da represa, na década de 90, 
a maior emissora de poluentes do Brasil. Surgiu a profissão de 
cortador de árvores submersas, exigindo que um mergulhador 
desça a mais de 20 metros, com praticamente zero de visibilidade 
e baixas temperaturas, amarrado ao tronco da árvore, maneje a 
motosserra.
14. (PUC-Camp – Adaptada) Para cortar árvores submersas, 
u m m e r g u l h a d o r
20 m 15 m

Superfície da água
 
d e s c e a m a i s d e 
2 0 m e t r o s , c o m 
praticamente zero de 
visibilidade. Uma vez 
serrada, a árvore é 
puxada e amarrada a 
pedaços de madeira 
seca.
 No instante em que o tronco de madeira de 20 m de 
comprimento forma um ângulo q com a vertical de 15 m, 
o valor de cos 2q é igual a:
A) 
3
2
 B)9
8
C) 
9
16
 D) 
7
16
E) 
1
8
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Módulo de estudo
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15. Considere o ângulo segundo o qual um observador vê 
uma torre. Esse ângulo duplica quando ele se aproxima 
160 m e quadruplica quando ele se aproxima mais 100 m, como 
mostra o esquema abaixo.
4x
160 m 100 m
2xx
observador
torre
 A altura da torre, em metros, equivale a:
A) 96
B) 98
C) 100
D) 102
Anotações
Resoluções
01. 
 Sabendo que: tg
tg
tg
2
2
1 2
α
α
α
=
−
 (arco duplo)
 Veja na ilustração que:
 tg 22,5º = 
5
d
 Então: tg 45º =
2 22 5
1 22 52
tg
tg
,
,
°
− °
 = 1
 2 · 
5
d
 = 1 – 
25
2d
 
10d = d2 – 25
d2 – 10d – 25 = 0
d = 5 + 5 2
Logo:
d = 5(1 + 2 ) m
Resposta: A
02. Como AB = 4 cm, AD = 3 cm e  = 90º, pelo Teorema de 
Pitágoras, segue de imediato que BD = 5 cm. Além disso, sendo 
BD BC= , tem-se que o triângulo BCD é isósceles de base 
CD. Logo, se M é o ponto médio de CD, então DMB = 90° e 
MBD = α
2
.
 Do triângulo ABD, obtemos:
 cos a = 
AB
BD
 = 
4
5
.
 Daí, sabendo que sen q = 
1
2
− cos
,
θ
vem:
 sen 
α
2
 = 
1
2
− cos α
 = 
1
4
5
5
−
 = 
1
10
.
 Portanto, do triângulo BMD, encontramos:
 sen
α
2
 = 
CD
BD
2 ⇔ 1
10
 = 
CD
2 5⋅
⇔ CD = 10 cm
 Resposta: B
03. 
r
R –
 r
R
O
R = 4r
A
2
θ
2
θ
��������������B
θ
2 θ
2
5 F B O N L I N E . C O M . B R
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Módulo de estudo
 Se R = 4r, então, do triângulo ABO, obtemos:
sen sen
θ θ
2 2 3
1
3
=
−
⇔ = =r
R r
r
r
Por conseguinte, vem
cos senθ
θ
= −
= − ⋅ 


=
1 2
2
1 2
1
3
7
9
2
2
Resposta: E
04. De acordo com o enunciado, temos: 
1,70 m
10 m
15º
d
tg
d
tg tg
tg tg
15
11 7 45 30
1 45 30
1
3
3
1
3
3
° = =
° − °
+ ° ⋅ °
=
−
+
,
 Simplificando:
 
11 7 3 3
3 3
11 7 3 3
3 3
, ,
d
d=
−
+
→ =
⋅ +( )
−
 →
→ d m=
⋅ +( )11 7 3 3
6
43
2
,

 Resposta: C
05. A área de T
1
 é dada por 
1
2
 · l2 · sen q, enquanto que a área de 
T
2
 é igual a 
1
2
 · l2 · sen 2q. Logo, sabendo que a área de T
1
 é o 
triplo da área de T
2
, vem 
1
2
 · l2 · sen q = 3 · 1
2
 l2 · sen 2q ⇔ sen 
q = 3 · 2 · sen q · cos q ⇔ cos q = 1
6
.
 Resposta: A
06. Considere a figura, em que h é a diferença pedida.
100 m
15º
h
Sabendo que cos 30º = 3
2
, vem:
sen
cos
sen
sen
,
sen
2 230
2
1 30
2
15
1
3
2
2
15
2 1 73
2
1
°


 =
− °
⇔ ° =
−
⇒ ° ≅
−
⇒ 55
1
2
27
100
15
1
2
3 1 73
10
15 0 26
° ≅ ⋅
⇒ ° ≅ ⋅
⋅
⇒ ° ≅
sen
,
sen ,
Portanto,
h = 100 · sen 15° ≅ 100 · 0,26 = 26 m.
 Resposta: B
07. Observando a figura abaixo, temos:
a
ax
�
�
�
θ
θ
θ
θ
I. volume vazio = a2 · 
1
4
1
2
a




= · a2 · x → x a=
2
II. tg
x
a
a
a
θ = = =
2
1 1
2
.
III. Já para tg(q) = 
1
4
, com 0 < q < 
π
2
, obtemos:

1
4
a 17
a2 = 12 + 42
a = 17
sen q 
1
17
 e cos q 
4
17
Logo, cos 2q – sen 2q = cos2 q – sen2 q – 2sen q · cos q = 
=




−




− = − − =
4
17
1
17
2
1
17
4
17
16
17
1
17
8
17
7
17
2 2
. .
 Resposta: A
6F B O N L I N E . C O M . B R
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Módulo de estudo
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08. Sabendo que cos(k · 2p + a) = cos a com k ∈ , a ∈ ]0, 2p[ e 
cos(p – b) = – cos b, sendo b um arco do segundo quadrante, 
obtemos:
cos cos
,
,
cos
,
,
a a
a
22 21
33
12 2 4
1 44
9 60
1 44
−



=
−



= 


π π
π

= 



= +



= 



= − 



cos
cos
cos
cos
20
3
6
2
3
2
3
3
π
π
π
π
π

= −
1
2
 Resposta: A
09. Temos:
 Exp
sen
=
°
−
°
1
80
3
80cos
 ⇒ Exp
tg
sen
=
°
−
°
°
1
80
60
80cos
 ⇒
 ⇒ Exp
sen
sen
=
°
−
°
° °
1
80
60
60 80cos cos
 ⇒ 
 ⇒ Exp
sen sen
sen
=
° ° − ° °
° ° °
80 60 60 80
60 80 80
cos cos
cos cos
 ⇒
 ⇒ Exp
sen
sen
sen
sen
=
°
° °
=
°
°
=
2 20
80 80
4 20
160
4
cos
 Resposta: D
10. Temos:
y
E
A
x
x
F
α
α
B
1
2
y – x
3
G
3
I. EA = EG = 3
II. AF = FG = x
III. AÊF = GÊF = a
IV. 32 = 22 + y2 → y2 = 5 → y = 5
V. x2 = 12 + (y – x)2
x2 = 1 + 5 – 2 5x + x2
2 5x = 6
x = =3
5
3 5
5
Resposta: D
11. Imediato:
A
y
Q
P
x(– 1,0) (1,0)11 0
θ/2 θ
∆AQP → sen θ
2
 = 
PQ
2
 → PQ = 2sen θ
2
 Resposta: B
12. 
C
B A3 hm
θ
θ2
 h
m
D
 
tg tgθ θ= ⇒ =
⋅
− 



=
−
=2
3
2
2
2
3
1
2
3
4
3
1
4
9
12
52
( )
12
5 3
=
BC
 ⇒ BC = 7,2 hm e CD = 5,2 hm
 Utilizando agora, o teorema da bissetriz interna, temos:
 
AC
5 2
3
2,
= ⇒ AC = 7,8 hm = 780 m
 Resposta: A
13. Como
sen 15 = sen(45 30 )
= sen 45 cos 30 sen 30 cos 45
=
2
2
3
2
1
2
2
° ° − °
° ° − ° °
⋅ − ⋅
22
=
6 2
4
−
 Então: 
sen 15 =
h
a
h =
a( 6 2)
4
.1 1° ⇔
−
7 F B O N L I N E . C O M . B R
//////////////////
OSG.: 122480/17
Módulo de estudo
 Além disso,
sen 45 =
h
a
h =
a 2
2
2
2° ⇔
 Então:
h +h =
a( 6 2)
4
+
a 2
2
=
a( 6 + 2)
4
.
1 2
−
 Por outro lado, 
sen 75 = sen(45 + 30 )
= sen 45 cos 30 + sen 30 cos 45
=
2
2
3
2
+
1
2
2
2
=
° ° °
° ° ° °
⋅ ⋅
66 + 2
4
 Então:
sen 75 =
h
a
h =
a( 6 + 2)
4
.3 3° ⇔
 Portanto, h
1
 + h
2
 = h
3
 Resposta: D
14. Temos:
20
15
x
θ
I. 202 = 152 + x2 → x = =175 5 7
II. cos q = 
15
20
3
4
= e sen q = 
5 7
20
7
4
=
III. cos 2q = cos2 q – sen2 q = 
9
16
7
16
2
16
1
8
− = =
Resposta: E
15. ∆DEB:
x 2x
2x
x
4x
h
B
AEDC
160
16
0
100
10
0
isó
sce
les
isó
sc
el
es
I. No ∆DEB:
• 1002 = 802 + a2 → a = 60 
• sen 2x = 
60
100
 cos 2x = 
80
100
B
D E100
a
10
0
16
0
16
0
2x
2x
80
80
II. No ∆DEB:
sen 4x = sen(2 · 2x) = 
h
100
 → 2sen 2x · cos 2x = 
h
100
 → 
2
60
100
80
100 100
· · =
h
 → h = 96 m
Outra solução:
160 100
100
2 2 2
2 2 2
= +( ) +
= +




y h
y h
Subtraindo, obtemos:
y = 28 e, depois, h = 96
Resposta: A
SUPERVISOR/DIRETOR: MARCELO PENA – AUTOR: JORGE JÚNIOR
DIG.: GEORGENES – 12/12/17 – REV.: JARINA