Avaliação Continuada - SEMANA 01

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ 
ENGENHARIA DA COMPUTAÇÃO 
MATEMÁTICA DISCRETA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 AVALIAÇÃO CONTINUADA - SEMANA 01 
 Chrystian Gemaque Maciel - 501212 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUIXADÁ 
 2021 
1) Suponha que a, b são números inteiros. 
a) Se descobrirmos que a = c, o que podemos concluir sobre c? 
Resposta = Se a é um inteiro e é igual a c, conclui-se que c também é um inteiro, 
então c = a. 
b) Dado um inteiro d, se soubermos que a = d e b = d, o que poderemos concluir sobre 
os números a e b? 
Resposta = Se a é igual a d e b da mesma forma é igual a d, e ambos sendo inteiros, 
conclui-se que a também é igual a b, ficando a = b = d. 
c) Dado um inteiro e, se soubermos que a = e e b < e, o que poderemos concluir sobre 
os números a e b? 
Resposta = Se a e e são iguais e b é menor que e, chegamos a uma solução que a é 
maior que b ou que e é maior que b, mas como a questão pede a relação entre a e b, 
concluo que a > b. 
 
2) Considere a definição: “Seja n um inteiro, dizemos que n é par se e somente se existe 
um inteiro k tal que n = 2k”. Agora avalie as situações abaixo e responda: 
a) Suponha que j é um número par. O que podemos concluir sobre j usando a definição 
fornecida? 
Resposta = J só será par se e somente se, existir um inteiro k tal que j = 2k. 
b) Suponha que l, m são números pares. O que podemos concluir sobre esses números 
usando a definição fornecida? 
Resposta = L e M só serão pares se e somente se, existirem dois inteiros R e S tal 
que L = 2R e M = 2S. 
c) Suponha que a, b são números inteiros. Se descobrirmos que a = 2b, o que poderemos 
concluir sobre a? 
Resposta = Se a é igual a 2 vezes b, conclui-se que a é par, por ser resultado de uma 
multiplicação de um inteiro vezes 2. 
 
3) Um dos produtos notáveis mais importantes trata do quadrado da soma de dois 
números: “Para quaisquer números reais a e b, vale que (a + b)2 = a2 + 2ab + b2”. 
a) Calcule o resultado de (3+2)2 utilizando o quadrado da soma de dois números. 
Resposta = (3+2)2 = 32 + 2 * 3 * 2 + 22 = 9 + 12 + 4 = 25. 
b) Suponha que k é um número real. Utilize o quadrado da soma de dois números para 
completar a igualdade: (k + 1)2 = ________. 
Resposta = (k + 1)2 = k2 + 2k1 + 12 = 2k + 2k + 1 = 4k + 1 
 
c) Suponha que k é um número real. Utilize o quadrado da soma de dois números para 
completar a igualdade: (2k + 3)2 = _________. 
Resposta = (2k + 3)2 = 2k2 + 2 * 2k3 + 32 = 4k + 12k + 9 = 16k + 9 
d) Suponha que a, b, e c são números reais. Utilize o quadrado da soma de dois números 
para completar as igualdades: ((a+b)+c)2 = (a + b)2 +_______ =____________ = . . . 
Neste item, desenvolva a expressão um passo por vez até que não seja mais necessário 
usar parênteses. Use mais que dois passos se for necessário. 
Resposta = ((a+b)+c)2 = (a + b)2 + c2 + (a+b)2 + (a+b+c)2 + (a+b)  (a+b)2 + 
(a+b+c)2 + (a+b)2 = (a2+2ab+b2) + (a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc) + (a2+2ab+b2) = 
2a+2ab+2b+2a+2b+2c+2ab+2ac+2bc+2a+ab+2b. 
 
4) Outro produto notável muito importante trata da diferença entre dois quadrados: 
“Para quaisquer números reais a e b, temos a2 − b2 = (a + b)(a − b)”. Utilize este fato 
para mostrar que podemos obter o número 24 como a diferença de dois quadrados de 
inteiros. Explique passo a passo como chegou à sua conclusão. 
Resposta = a2 – b2 = (a + b) * (a – b) 
 72 – 52 = (7 + 5) * (7 – 5) 
 49 – 25 = 12 * 2 
 24 = 24 
Explicação da questão 4: Fiz a substituição das variáveis a e b por 7 e 5 e apliquei na 
formula do enunciado da questão, chegando então no resultado obtido com os dois lados 
da igualdade comprovando ser verdade o produto notável.