Avaliação Continuada - SEMANA 14

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ 
CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA DISCRETA 
 AVALIAÇÃO CONTINUADA – SEMANA 14 
 Chrystian Gemaque Maciel - 501212 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUIXADÁ 
 2021 
1) Prova por indução 
Para provar 12 + 22 ... + n2 = n(n + 1)(2n + 1); sendo n = 1, temos: 
 6 
12 = 1(1 + 1)(2 + 1) 1 = 6 1 = 1; 
 6 6 
Para que seja verdade n = k para provar que k+1 vale, então: 
12 + 22 ... + n2 + (n + 1)2 = (n + 1)(n + 2) 
 6 
Substituindo: 
n(n+1)(2n+1)+(n+1)2 = (n+1)(n+2)(2n+3)  n(n+1)(2n+1)+6(n+1)2 = (n+1)(n+2)(2n+3) 
 6 6 6 6 
Colocando n+1 em evidência no primeiro lugar da igualdade: 
[n + 1] * [n(2n + 1) + 6(n + 1)] = (n + 1)(n + 2)(2n + 3) (i) 
 6 6 
Ficando então: 
n * (2n + 1) + 6(n + 1) = 2n2 + n + 6n + 6 = 2n2 +4n + 3n + 6  n + 6n = 4n + 3n 
= 2n2 + 4n + 3n + 6 = 2n(n + 2) + 3(n + 2) = (2n + 3)(n + 2) 
Substituindo em (i), temos: 
[n + 1] * [(2n + 3)(n + 2)] = (n + 1)(n + 2)(2n + 3) 
 6 6 
 
2) c) Prova por indução 
Suponha que k3−k divisível por 3, isto é, k3−k = 3m, para algum inteiro não negativo m. 
Temos: 
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3k2 + 3k + 1 − k − 1 
= (k3 − k) + 3(k2 + k) (Associação) 
= 3m + 3(k2 + k) (pela H.I.) 
= 3(m + k2 + k) 
i) Prova por indução 
Para n = 1, 1 = 12  n = k então k ≥ 1 e n = k + 1; 
1 + 3 + . . . + (2k − 1) + (2k + 1) = (k + 1)2, k ≥ 1 
1 + 3 + . . . + (2k − 1) + (2k + 1) = k2+ (2k + 1) = (k + 1)2 
j) Prova por indução 
Para n = 1, temos: 
p(1): 1.2 = 2 1(1 + 1)(1 + 2) = 1.2.3 = 2  Provando ser verdade 
 2 
m) Prova por indução 
4) Prova por indução 
“Para quais valores de n nos números naturais temos que n2−2n−15 ≥ 0?” 
Para n, n = 1; 
Caso base: 12 – 2*(1) – 15 ≥ 0; então: 
(n + 1)2 – 2(n + 1) – 15 ≥ 0 n2 + 2n + 15 – 2n – 2 – 15 ≥ 0 n2 – 2 ≥ 0 n2 + 2.