Tipos de Provas Matemáticas I

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Tipos de Provas Matemáticas I
Questionário
Sobre demonstrações matemáticas, podemos afirmar que:
1. Uma demonstração pode ser feita testando casos particulares até um número satisfatório e, se não encontrarmos nenhuma contradição, o resultado é considerado válido. Esta é a prova intuitiva
2. Uma demonstração por indução pode ser feita verificando o resultado para os primeiros 100 casos, e sendo válida nestes casos, estende-se a validade para todos os números naturais
3. Uma demonstração não pode ser pautada somente em testes de casos particulares, porém um caso particular pode verificar que a implicação hipótese-tese é falsa, como é o caso da Conjectura de Euler
4. Em uma prova direta, supomos a hipótese e negamos a tese, a fim de encontrar uma falha lógica
5. Em uma demonstração indireta, utilizamos a relação lógica “p ⇨ q"
Sobre demonstrações matemáticas, podemos afirmar que:
1. Em uma prova por indução não é necessário verificar a base da indução, pois ele serve apenas de intuição para o argumento de indução, e não possui importância no argumento lógico-matemático
2. Uma prova direta consiste em duas etapas: a base da prova e o passo indutivo
3. A prova indireta é pouco utilizada pois não possui base lógica para validar teoremas e proposições
4. Em uma prova por indução é necessário verificar a base de indução, pois sem ela não é possível garantir que o resultado é válido
5. Uma prova indireta consiste em duas etapas: a base da prova e o passo dedutivo, porém este tipo de prova só funciona para demonstrações geométricas
Um matemático adota a seguinte estratégia para demonstrar um teorema: partindo da hipótese inicial, demonstra para um caso particular inicial indexado pelos Naturais, e supondo válido para algum número natural genérico, verifica que a tese é válida para o sucessor deste número.
A estratégia de demonstração utilizada por este matemático é:
1. Prova direta
2. Prova indireta
3. Prova por contradição
4. Prova por indução
5. Prova por dedução finita
Uma demonstração matemática pode envolver diversas técnicas já conhecidas (de fato, esta é uma prática muito comum). Suponha que um matemático adota a seguinte estratégia para demonstrar um lema técnico: partindo da hipótese inicial, demonstra através da estrutura de implicações “p ⇨ q” um resultado particular, e indexado pelos números naturais, demonstra que se o resultado é válido para um número natural genérico, que a tese é válida para o sucessor deste número, utilizando nesta etapa da demonstração um argumento via contradição, chegando ao resultado inicial desejado, e finalizando a demonstração.
Podemos dizer que o matemático adotou as seguintes técnicas:
1. Prova por indução, utilizando dentro da indução a prova direta e a prova intuitiva
2. Prova direta, utilizando a prova por indução e prova inversa
3. Prova por indução, utilizando dentro da indução a prova indireta e a prova por contradição
4. Prova por indução, utilizando dentro da indução a prova direta e a prova indireta
5. Prova indireta, utilizando dentro da contradição um argumento de indução e de contradição
Um estudante de matemática adotou a seguinte estratégia para demonstrar um teorema: indexando pelos números inteiros, demonstrou que se o resultado é válido para os números 1, 2 e 3, concluindo diretamente que ele seria válido para todos os números naturais. A demonstração para o número 1 foi via prova direta, e dos casos 2 e 3, utilizando a argumento da contradição.
A demonstração apresentada pelo estudante possui erros, que são:
1. O estudante tentou aplicar o conceito da demonstração por indução, porém provou apenas a base da indução, não demonstrando o passo indutivo. Além disto, ele indexou a indução nos números inteiros ao invés dos naturais
2. O estudante tentou aplicar o conceito da demonstração por indução, porém provou apenas o passo indutivo, não demonstrando a base da indução
3. A demonstração por indução, utilizada pelo estudante, não pode ser usada junto da técnica da demonstração por contradição, pois invalida o resultado demonstrado
4. O estudante tentou aplicar o conceito da demonstração por dedução, deduzindo que se o resultado é válido para os primeiros casos, então automaticamente ele é válido para qualquer número inteiro. O erro consiste que para isto ele deveria ter demonstrado todos os casos utilizando somente a prova direta
5. O estudante tentou aplicar o conceito da demonstração por dedução, porém esqueceu de fazer o passo dedutivo
Uma das fórmulas mais famosas do ensino básico é a Fórmula Resolutiva da Equação Quadrática (conhecida no Brasil como “Fórmula de Bhaskara”). Dada uma equação do segundo grau na forma
temos que a fórmula resolutiva é dada por:
Sua demonstração consiste na seguinte manipulação algébrica:
Este tipo de demonstração pode ser classificado como:
1. Prova direta
2. Prova indireta
3. Prova por contradição
4. Prova por indução
5. Prova por dedução finita