Aula 04B - Algebra de Boole

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Álgebra de BooleÁlgebra de Boole
Nikolas Libert
Aula 4B
Eletrônica Digital ET52C
Tecnologia em Automação Industrial
DAELT ● Nikolas Libert ● 2
Álgebra de Boole
Álgebra de Boole
 Augustus De Morgan (1806-1871) e George Boole 
(1815-1864).
– Desenvolvimento de uma álgebra para representação 
de situações lógicas de forma simples.
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Álgebra de Boole
 Variáveis booleanas.
– Representadas através de letras, podendo assumir 
dois valores (0 ou 1).
 Expressão booleana.
– Sentença matemática que opera sobre variáveis 
booleanas.
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Postulados da Álgebra Booleana
Postulados da Álgebra Booleana
 Postulado da Complementação.
– A é chamado de complemento de A.
– Se A = 0 ► A = 1.
– Se A = 1 ► A = 0.
– Implica na seguinte identidade: A = A.
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Postulados da Álgebra Booleana
 Postulado da Adição.
– Define as regras do operador “+”.
● 0 + 0 = 0.
● 0 + 1 = 1.
● 1 + 0 = 1.
● 1 + 1 = 1.
– Estabelece as seguintes identidades.
● A + 0 = A.
● A + 1 = A.
● A + A = A.
● A + A = 1.
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Postulados da Álgebra Booleana
 Postulado da Multiplicação.
– Define as regras do operador “.”.
● 0 . 0 = 0.
● 0 . 1 = 0.
● 1 . 0 = 0.
● 1 . 1 = 1.
– Estabelece as seguintes identidades.
● A . 0 = 0.
● A . 1 = A.
● A . A = A.
● A . A = 0.
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Propriedades da Álgebra Booleana
Propriedades da Álgebra Booleana
 Propriedade Comutativa.
– Soma: A + B = B + A.
– Produto: A . B = B . A.
 Propriedade Associativa.
– Soma: A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C.
– Produto: A . (B . C) = (A . B) . C = A . B . C.
 Propriedade Distributiva.
– A . (B + C) = A . B + A . C
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Teoremas de De Morgan
Teoremas de De Morgan
 Importantes para simplificação de circuitos lógicos.
 1° Teorema.
– O complemento do produto é a soma dos 
complementos.
– A . B = A + B
– A . B . (…) . N = A + B + (…) + N
A B A . B A + B
0 0 1 1
0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 0
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Teoremas de De Morgan
 2° Teorema.
– O complemento da soma é o produto dos 
complementos.
– A + B = A . B
– A + B + (…) + N = A . B . (…) . N
 Consequência prática dos teoremas.
A B A + B A . B
0 0 1 1
0 1 0 0
1 0 0 0
1 1 0 0
=
=
1° Teorema
2° Teorema
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Identidades Auxiliares
Identidades Auxiliares
 A + A.B = A.
– A + A.B = A.(1 + B) = A.(1) = A
 (A + B).(A + C) = A + B.C
– (A + B).(A + C) = A.A + A.C + A.B + B.C = 
A + A.C + A.B + B.C = A.(1 + B + C) + B.C = A + B.C
 A + A.B = A + B
– A + A.B = A + A.B = A . A.B = A . (A+B) =
A.A + A.B = A.B = A + B
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Simplificação de Expressões Booleanas
Simplificação de Expressões Booleanas
 A Álgebra de Boole permite a simplificação de 
expressões lógicas e consequentemente, de circuitos 
que as representem.
 Exemplo: Simplifique a expressão S = ABC + AB + AC
– S = A.(BC + B + C) = A.(BC + (B+C)) =
A.(BC + (B+C)) = A.(BC + BC) = A.1 = A
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Expressões que Representam uma Tabela Verdade
Expressões que Representam uma 
Tabela Verdade
 Dada uma tabela verdade, é possível a obtenção da 
expressão lógica que a representa analisando-se as 
condições que tornam a saída verdadeira ou falsa.
 Quando retiradas da tabela verdade de forma direta, 
as expressões se encontram num formato chamado 
de canônico.
 Expressões canônicas nem sempre se encontram na 
representação mais simples.
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Expressões que Representam uma Tabela Verdade
 Análise das condições de saída verdadeira.
– Devido ao formato da expressão de saída, este método 
é chamado de método da soma de produtos ou SOP 
(Sum of Products).
Logo: S = A.B.C + A.B.C + A.B.C
C0
C2
C5
A saída será verdadeira se as condições 
“C0” OU “C2” OU “C5” forem verdadeiras: 
S = C0 + C2 + C5
O que torna a condição “C0” verdadeira?
- As entradas “A” E “B” E “C” devem ser 
falsas. C0 = A.B.C
C2 = A.B.C
C5 = A.B.C
A B C S
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 0
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Expressões que Representam uma Tabela Verdade
 Exercício: utilizando Álgebra de Boole simplifique a 
expressão obtida S = A.B.C + A.B.C + A.B.C.
S = A.C + A.B.C
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Expressões que Representam uma Tabela Verdade
 Análise das condições de saída falsa.
A B C S
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 0
Logo: S = A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C
C1
C3
C6
A saída será falsa se as condições “C1” 
OU “C3” OU “C4” OU “C6” OU “C7” forem 
verdadeiras: S = C1 + C3 + C4 + C6 + C7
O que torna a condição “C1” verdadeira?
- As entradas “NÃO A” E “NÃO B” E “C” 
devem ser verdadeiras. C1 = A.B.C
C3 = A.B.C
C7 = A.B.C
C4
C7
C4 = A.B.C
C6 = A.B.C
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Expressões que Representam uma Tabela Verdade
 Análise das condições de saída falsa.
– Devido ao formato da expressão de saída, este método 
é chamado de método do produto das somas ou POS 
(Product of Sums).
A B C S
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 0
S = A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C
Negando os dois lados da expressão obtida:
S = A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C
S = (A.B.C).(A.B.C).(A.B.C).(A.B.C).(A.B.C)
Aplicando De Morgan:
S = (A+B+C).(A+B+C).(A+B+C).(A+B+C).(A+B+C)
Aplicando De Morgan:
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Expressões que Representam uma Tabela Verdade
 Resultado por SOP e POS.
A B C S
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 0
Soma de Produtos (SOP):
S = (A+B+C).(A+B+C).(A+B+C).(A+B+C).(A+B+C)
Produto das Somas (POS):
S = A.B.C + A.B.C + A.B.C
Nesse caso, a representação por soma de 
produtos é vantajosa.
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Expressões que Representam uma Tabela Verdade
 Exercício: Obtenha as expressões SOP e POS que 
representam a tabela verdade abaixo e simplifique a 
SOP.
A B C S
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 0
S = A B + AC + ABC
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Exemplo de Projeto
 Três aparelhos de som devem ser conectados a um único amplificador. 
Caso mais de um aparelho esteja ligado, o amplificador deverá receber 
o sinal de um dos três de acordo com a seguinte lista de prioridades:
– Prioridade 1: Toca-discos.
– Prioridade 2: Toca-fitas.
– Prioridade 3: Rádio FM.
 Escreva a tabela verdade de um sistema digital de três entradas e três 
saídas que determina qual aparelho é conectado ao amplificador.
– As variáveis de entrada são A, B e C e indicam quais equipamento 
estão ligados.
– As variáveis de saída são X, Y e Z e indicam qual equipamento está 
conectado ao amplificador. Apenas uma saída pode ser ativada 
simultaneamente.
Toca-discos Toca-fitas Rádio FM
Amplificador
X Y Z
A B C
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Exemplo de Projeto
A B C X Y Z
0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 1
0 1 0 0 1 0
0 1 1 0 1 0
1 0 0 1 0 0
1 0 1 1 0 0
1 1 0 1 0 0
1 1 1 1 0 0
A: Toca-discos ligado.
B: Toca-fitas ligado.
C: Rádio FM ligado.
X: Toca-discos conectado
ao amplificador.
Y: Toca-fitas conectado
ao amplificador.
Z: Rádio FM conectado
ao amplificador.
Toca-discos Toca-fitas Rádio FM
Amplificador
X Y Z
A B C
 Obtenha as 3 expressões SOP que representam o sistema.
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Exemplo de Projeto
A B C X Y Z
0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 1
0 1 0 0 1 0
0 1 1 0 1 0
1 0 0 1 0 0
1 0 1 1 0 0
1 1 0 1 0 0
1 1 1 1 00
 Utilizando Álgebra de Boole, simplifique as expressões 
encontradas.
X = A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C
Y = A.B.C + A.B.C
Z = A.B.C
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Exemplo de Projeto
X = A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C
Y = A.B.C + A.B.C
Z = A.B.C
X = A.(B.C + B.C + B.C + B.C)
X = A.(B.(C + C) + B.(C + C))
X = A.(B + B)
X = A
Y = A.B.(C + C)
Y = A.B
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Exercício
 Desenhe o circuito abaixo utilizando apenas portas 
NÃO E.
A B
S
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Referências
 IDOETA, I. V., CAPUANO, F. G. Elementos de 
Eletrônica Digital, 41ª Edição, Érica, São Paulo, 2013.
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