C1 Lista Semanal 11 - 2022_4 (Com Gabarito)

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Questão 1. Considere uma partícula que se move de tal maneira que sua velocidade
em função do tempo é dada por v(t) = cos(t)− sin(t). Determine a posição s(t) da
partícula sabendo que s(0) = 0.
Solução: Como a posição s(t) é uma primitiva da função velocidade, podemos
escrever s(t) =
∫
(cos(t)− sin(t))dt = sin(t) + cos(t) + C. A condição s(0) = 0 nos
permite obter 0 = 1+0+C =⇒ C = −1. Portanto, temos s(t) = sin(t)+cos(t)−1.
Questão 2. Uma vez que pingos de chuva crescem à medida que caem, sua área
superficial cresce e, portanto, a resistência à sua queda aumenta. Um pingo de chuva
tem uma velocidade inicial para baixo de 8 m/s e sua aceleração para baixo é:
a(t) =
{
10− t, 0 ≤ t ≤ 10
0, t > 10,
onde t é dado em segundos e a em m/s2. Se um pingo de chuva estiver inicialmente
a 600m acima do solo, quando tempo ele levará para cair?
Solução: A velocidade da partícula em função do tempo é uma primitiva da aceler-
ação. Assim, temos:
v(t) =
∫
a(t)dt =
{
10t− t2
2
+ C1, 0 ≤ t ≤ 10
C2, t > 10
.
A condição de velocidade inicial nos dá v(0) = 8 =⇒ C1 = 8. Por outro lado, a
condição de continuidade de v nos dá, em t = 10, lim
t→10+
v(t) = lim
t→10−
v(t) =⇒ C2 = 58.
Portanto, concluímos que
v(t) =
{
10t− t2
2
+ 8, 0 ≤ t ≤ 10
58, t > 10
.
Analogamente, a posição em função do tempo s(t), tomando como origem a
posição inicial da gota e considerado um deslocamento para baixo como positivo,
é uma primitiva de v(t):
s(t) =
∫
v(t)dt =
{
5t2 − t3
6
+ 8t+ C3, 0 ≤ t ≤ 10
58t+ C4, t > 10
.
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CÁLCULO I
2022 - 2º Semestre
Lista de Exercícios 11
Universidade Federal do Pará
Cálculo I Lista de Exercícios 11
A condição de posição inicial nos dá s(0) = 0 =⇒ C3 = 0. Por outro lado, a
condição de continuidade de s nos dá, em t = 10, lim
t→10+
s(t) = lim
t→10−
s(t) =⇒ 1240
3
=
580 + C4 =⇒ C4 = −
500
3
. Portanto, concluímos que
s(t) =
{
5t2 − t3
6
+ 8t, 0 ≤ t ≤ 10
58t− 500
3
, t > 10
.
Devemos obter o valor t tal que s(t) = 600. Note que, embora a expressão para
s(t) que é válida no intervalo [0, 10] atinja o valor s = 600 para vários valores de
t, nenhum desses valores pertence ao intervalo [0, 10]. Portanto, temos t > 10 e
podemos escrever 600 = 58t− 500
3
=⇒ t = 2300
3·58 ≈ 13, 2s.
Questão 3. Calcule a integral
∫ 1
−1
1
1 + x2
dx.
Solução: Usando o TFC, obtemos
∫ 1
−1
1
1+x2
dx = arctan(x)|1−1 =
π
2
.
Questão 4. Estime a área sob o gráfico de f(x) =
1
1 + x2
, de x = −1 até 1,
usando três retângulos aproximantes e extremidades esquerdas. Então, aperfeiçoe sua
estimativa utilizando seis retângulos aproximantes.
Solução: É conveniente fazer um esboço da função e dos cálculos para auxiliar no
raciocínio.
No caso da aproximação por 3 retângulos, temos:
Figure 1: Ilustração para a aproximação por três retângulos.
Deste modo teremos as extremidades esquerdas c1 = −1, c2 = −13 e c3 =
1
3
.
Temos f(c1) = 12 , f(c2) = f(c3) =
9
10
. Assim, como a largura de cada retângulo será
2
3
, temos que a área aproximada por 3 retângulos será A = 2
3
·
(
1
2
+ 9
10
+ 9
10
)
= 23
15
≈
1, 53.
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Cálculo I Lista de Exercícios 11
Já no caso da aproximação por 6 retângulos (ver Figura 2), temos as extrem-
idades esquerdas c1 = −1, c2 = −23 e c3 = −
1
3
, c4 = 0, c5 = 13 , c6 =
2
3
.
Temos f(c1) = 12 , f(c2) = f(c6) =
9
13
, f(c3) = f(c5) = 910 . Assim, como a
largura de cada retângulo será 1
3
, temos que a área aproximada por 6 retângulos será
A = 1
3
·
(
1
2
+ 9
13
+ 9
10
+ 1 + 9
10
+ 9
13
)
= 203
130
≈ 1, 56.
Observação: note que o valor exato da área solicitada é π
2
≈ 1, 57 (ver exercício
anterior).
Figure 2: Ilustração para a aproximação por três retângulos.
Questão 5. Encontre os valores de c tais que a área da região delimitada pelas
parábolas y = x2 − c2 e y = c2 − x2 seja 576.
Solução: Um exemplo de curvas associadas ao problema é mostrado para o caso
c = 1 na Figura 3.
Podemos notar que, para um valor c qualquer, a área pedida será dada por A =∫ c
−c(c
2 − x2 − (x2 − c2))dx = 4
∫ c
0
(c2 − x2)dx = 8c3
3
.
Para que esta área seja 576, devemos ter 8c
3
3
= 576 =⇒ c = 6.
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Cálculo I Lista de Exercícios 11
Figure 3: Ilustração de parábolas associadas ao problema para o caso c = 1.
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