C1 Lista de Monitoria 7 - 2022_4

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Cálculo I - 2022-4 
Prática de Exercícios 7 
Lista de Monitoria
1. Encontre os extremos absolutos da função dada sobre o intervalo indicado.
a) f(x) = x3 − 6x2 + 2; [−3, 2]
b) f(x) = −x3 − x2 + 5x; [−2, 2]
c) f(x) = x4(x− 1)2; [−1, 2]
d) 2 cos(2x)− cos(4x); [0, 2π]
e) f(x) = 3x2 − 12x+ 3; [0, 3]
f) f(x) =
x
x2 − x+ 1
; [0, 3]
g) f(x) = x− ln(x); [1
2
, 2]
h) f(x) = x
√
4− x2; [0, 8]
2. Determine se a função dada satisfaz as hipóteses do Teorema de Rolle sobre o intervalo
indicado. Em caso afirmativo, encontre todos os valores de c que satisfazem a conclusão do
teorema.
a) f(x) = x3 + 27; [−3,−2]
b) f(x) = x(x− 1)2; [0, 1]
c) f(x) = sen(x); [−π, 2π]
d) f(x) = 3
√
x2 − 3 3
√
x+ 2; [1, 8]
e) f(x) = tg(x); [0, π]
f) f(x) = sen(2x); [0, π
2
]
g) f(x) = 3 cos2(x); [π
2
, 3π
2
]
h) f(x) = 3x2 − 12x+ 5; [1, 3]
i) f(x) = x3 − x2 − 6x+ 2; [0, 3]
3. Determine se a função dada satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor Médio sobre o intervalo
indicado. Em caso afirmativo, encontre todos os valores de c que satisfazem a conclusão do
teorema.
a) f(x) = −x2 + 8x− 6; [2, 3]
b) f(x) = x4 − 2x2; [−3, 3]
c) f(x) =
√
4x+ 1; [2, 6]
d) f(x) =
x+ 1
x− 1
; [−2,−1]
e) f(x) = 3x2 − 12x+ 5; [1, 3]
f) f(x) =
√
1− sen(x); [0, π
2
]
g) f(x) =
x2 + 4x
x− 7
; [2, 6]
4. Determine os intervalos sobre os quais a função f é crescente e os intervalos sobre os quais
é decrescente.
a) f(x) = x4 − 4x3 + 9
b) f(x) =
x+ 1√
x2 + 1
c) f(x) =
5
x2 + 1
d) f(x) = sen(x)
e) f(x) = x
√
16− x2
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Universidade Federal do Pará
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f) f(x) = x− 2 cos(x), 0 < x < 2π
5. Determine os extremos relativos da função dada.
a) f(x) = 4x5 − 5x4
b) f(x) = (x2 − 1)2
c) f(x) = x
√
1− x2
d) f(x) = x(x2 − 5) 13
e) f(x) = xe−2x
f) f(x) = cos x+ senx , x ∈ [0, π]
g) f(x) =
x
1 + x tg x
x ∈ [0, π/2[
h) f(x) = 3
√
x3 − x2
6. Use a segunda derivada para determinar os intervalos sobre os quais o gráfico da função f é
côncavo para baixo e os intervalos sobre os quais é côncavo para cima. Especifique seus pontos
de inflexão.
a) f(x) = −(x+ 2)2 + 8
b) f(x) = (x+ 5)3
c) f(x) =
√
x2 + 10
d) f(x) =
x− 1
x+ 2
e) f(x) = x2 +
1
x
f) f(x) = xe−2x
g) f(x) =
lnx
x
h) f(x) =
x3
1 + x2
7. Esboce o gráfico das funções, certificando-se de identificar suas características vistas em
aula.
a) f(x) = x3 − x2 − x+ 1
b) f(x) =
x4 + 1
x2
c) f(x) =
4x+ 5
x2 − 1
d) f(x) =
x3
x2 + 1
e) f(x) = x4 − 2x2
f) f(x) =
x− 1
x2
g) f(x) =
x4
4
− 3x
2
2
+ 2x+ 1
h) f(x) = e−x2
i) f(x) = ln(sen(x))
j) f(x) = x2 ln(x)
k) f(x) = e2x − ex
l) f(x) =
ex
x
.
m) f(x) =
x
2
− sen(x).
8. Determine as dimensões do retângulo de área máxima e cujo perímetro 2p é dado.
9. Determine o número real positivo cuja a diferença entre ele e seu quadrado seja máxima.
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10. Determine o número real positivo cuja a soma com o inverso de seu quadrado seja mínima.
11. Mostre que 5 é um número crítico da função
g(x) = 2 + (x− 5)3,
mas g não tem um valor extremo local em 5.
12. Qual a maior área possível de um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 5 cm?
13. Determine as dimensões do maior jardim retangular que pode ser fechado com 100 m de
cerca.
14. A função V (x) = x(10− 2x)(16− 2x), x ∈ [0, 5], define o volume de uma caixa.
a) Determine os valores extremos de V .
b) Interprete os valores encontrados no item a) em função do volume da caixa.
15. Um campo retangular à margem de um rio deve ser cercado, com exceção do lado ao longo
do rio. Se o custo do material for de R$ 12,00 por metro linear no lado paralelo ao rio e de R$
8,00 por metro linear nos dois extremos. Encontre o campo de maior área possível que possa
ser cercado com R$ 3.600,00 de material.
16. Um pedaço de fio com 10 m de comprimento é cortado em duas partes. Uma parte é
dobrada no formato de um quadrado, ao passo que a outra é dobradana forma de um triângulo
equilátero. Como deve ser cortado o fio de forma que a área total englobada seja:
a) máxima?
b) mínima?
17. Um fabricante tem vendido 1000 aparelhos de televisão por semana, a R$450, 00 cada.
Uma pesquisa de mercado indica que para cada R$10, 00 de desconto oferecido ao comprador,
o número de aparelhos vendidos aumenta 100 por semana.
a) Encontre a função demanda.
b) Que desconto a companhia deve oferecer ao comprador para maximizar sua receita?
c) Se sua função custo for C(x) = 68000+150x, como o fabricante deveria escolher o tamanho
do desconto para maximiazar o seu lucro?
18. Um objeto de massa m é arrastado ao longo de um plano horizontal por uma força agindo
ao longo de uma corda presa ao objeto. Se a corda fizer um ângulo θ com o plano, então a
itensidade da força será
F (θ) =
µ ·m · g
µ · sen(θ) + cos(θ)
,
em que µ é uma constante chamada coeficiente de atrito. Para que valor de θ, F é mínima?
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19. Se uma lata fechada com volume 16π deve ter a forma de um cilindro reto, ache a altura
e o raio, se um mínimo de material deve ser usado em sua fabricação.
20. Um modelo usado para a produção P de uma colheita agrícola como função do nível de
nitrogênio N no solo é
P =
kN
1 +N2
,
em que k é uma constante positiva. Que nével de nitrogênio dá a melhor produção?
21. Uma partícula de massa m desloca-se sobre o eixo OX sob ação da força resultante f(x)
−→
i ,
onde f : J → R é contínua no intervalo J . Seja V (x) uma função definida em J tal que, para
todo x ∈ J, V ′(x) = −f(x). Seja x : I → J a função da posição da partícula, isto é, no
instante t ∈ I, a posição da partícula é x(t). Suponha que o movimento da partícula satisfaz
a lei de Newton
f(x(t)) = mx′′(t)
Prove que existe uma constante E ∈ R tal que, para todo t ∈ I, tem-se
1
2
mx′(t)2 + V (x(t)) = E.
22. Uma taça no formato de uma calota de uma esfera de raio 7 cm e cuja altura da calota é
10 cm, está sendo preenchida por vinho de uma garrafa com vazão constante igual a 1 cm3/s.
Em qual instante, a taxa de variação da altura em relação ao tempo é mínima?
23. Deve-se construir uma estrada ligando uma fábrica A a uma ferrovia que passa por uma
cidade B. Assumindo-se que a estrada e a ferrovia sejam ambas retilíneas, e que os custos de
frete por unidade de distância sejam m vezes maiores na estrada do que na ferrovia.
Encontre o ângulo α a que a estrada deve ser conectada à ferrovia de modo a minimizar o
custo total do frete da fábrica até a cidade. Assuma m > 1.
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Problema (Reflexão Plana). O princípio de Fermat diz que a trajetória dos raios de luz é
aquela que minimiza o tempo de percurso. Se um raio de luz possui velocidade constante
no primeiro quadrante, então minimizar o tempo que este raio leva para ir de A a B (ambos
fixados no primeiro quadrante), refletindo-se no eixo OX, é equivalente a minimizar a soma
das distâncias d(A,P ) + d(P,B), onde P é um ponto variando sobre o eixo OX.
Suponha que A = (0, a) e B = (b, c), com a > 0, b > 0 e c > 0. Para cada x ∈ R, seja
P = (x, 0) e f(x) = d(A.P )+d(P,B), e, além disso, sejam α e β os ângulos que os segmentos
AP e PB fazem com a semireta vertical contida no primeiro ou segundo quadrante e que passa
pelo ponto P , respectivamente (como mostra a figura). Prove que f possui um único ponto
de mínimo x0, e que x0 ∈ (0, b). Além disso, verifique que a trajetória do raio de luz é tal que
satisfaz α = β.
Problema (Lei da refração de Snellius). Sejam a, b, c > 0. Uma partícula vai do ponto
A = (0, a) a um ponto P = (x, 0) com velocidade constante u e em movimento retilíneo, em
seguida vai do ponto P para o ponto B = (b,−c) com velocidade constante v e também em
movimento retilíneo. Para cada x ∈ R, seja T (x) o tempo que esta partícula demora para ir
do ponto A para o ponto B (sem pausas).
Mostre que T possui um único ponto de mínimo x0 e que x0 ∈ (0, b). Além disso, se a partícula
for um raio de luz, então esta fará a trajetória de tempo mínimo, e neste caso, verifique que
sen(α)
u
=
sen(β)
v
onde α e β sãoos ângulos indicados na figura acima.
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