Coletivo Aula_2 Matemática

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MATEMÁTICA
Tópicos desta aula:
RAZÃO, 
PROPORÇÃO,
DIVISÃO PROPORCIONAL
REGRA DE TRÊS, e
PORCENTAGEM.
Razão
Comparações expressas por um quociente chamado razão. A palavra razão vem do latim “ratio”, e significa divisão. 
De cada 10 alunos, 2 gostam de Matemática
Um dia de sol, para cada dois de chuva
De cada 20 habitantes, 5 são analfabetos
Razão
Comparação
Uma razão é uma divisão entre dois números.
São exemplos de razões:
Razão
Chamamos escala de um desenho à razão entre as dimensões da figura e as dimensões reais.
Escala =
A escala é a relação entre as distâncias representadas num mapa e as correspondentes distâncias reais. 
Razão
Exemplo: O mapa do Brasil está em duas escalas diferentes.
Razão
Exemplo: Observemos as figuras dos barcos:
Base menor barco azul / Base menor barco vermelho = 2/4
Base maior barco azul / Base maior barco vermelho = 4/8
Altura do barco azul / Altura do barco vermelho = 3/6
Razão
O barco vermelho é uma ampliação do barco azul, pois as dimensões do barco vermelho são 2 vezes maiores do que as dimensões do barco azul, ou seja, os lados correspondentes foram reduzidos à metade na mesma proporção.
Razão
Razão
Num mapa, a escala é a razão entre a distância no mapa e a distância real correspondente.
 No mapa da figura, a distância entre São Gonçalo e Niterói é de 1,6 cm. A distância real entre as duas localidades é de 3,2 km.
 Qual é a escala do mapa?
Razão
(ENEM 2020) A caixa-d'água de um edifício terá a forma de um paralelepípedo retângulo reto com volume igual a 28 080 litros.  Em uma maquete que representa o edifício, a caixa-d'água tem dimensões 2cm x 3,51 cm x 4 cm.
Dado 1dm³ = 1 L.
A escala usada pelo arquiteto foi:
1:10
1:100
1:1000
1:10000
1:100000
Razão
Solução:
V = (2X) . (3,51X) . (4X)  = 28 080 dm³
28,08 . X³ = 28 080 dm³
X³ = 28 080 / 28,08 dm³
X³ = 1000 dm³
X = 10 dm
X = 100 cm
Razão
Na escala de um mapa o numerador da razão costuma ser 1 e as unidades utilizadas são as mesmas, nos dois termos da razão.
 1,6 cm (distância no mapa entre as Cidades)
	3,2 km = 320000 cm (distância real entre as Cidades)
	A razão é 1,6:320000. Mas como o numerador deve ser 1, temos de dividir os termos da razão por 1,6.
(1,6 : 1,6 = 1 e 320.000 : 1,6 = 200.000)
	 A escala do mapa é 1:200.000.
Razão
Se as grandezas são da mesma natureza (comprimento e largura, ou área e área), suas medidas devem ser expressas na mesma unidade e nesse caso, a razão é um número puro.
 Ex: A razão entre as áreas das superfícies das quadras de vôlei e basquete, sabendo que a quadra de vôlei possui uma área de 180 m2 e a de basquete possui uma área de 240 m2. Então a razão entre as áreas da quadra de vôlei e de basquete: 
Razão
Se as grandezas não são da mesma natureza (km percorridos e o tempo transcorrido), a razão é um número cuja unidade depende das unidades das grandezas a partir das quais se determina a razão. Para irmos de uma cidade A para uma cidade B, percorremos 240 km. Se fazemos este percurso em 3 horas, a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto em percorrê-la é igual à divisão entre as medidas das duas grandezas. Não podemos esquecer a unidade resultante desta divisão:
Razão
(ENEM 2021 Reaplicação) Um técnico gráfico constrói uma nova folha a partir das medidas de uma folha A0.  As medidas de uma folha A0 são 595 mm de largura e 840 mm de comprimento.  A nova folha foi construída do seguinte modo: acrescenta uma polegada na medida da largura e 16 polegadas na medida do comprimento.  Esse técnico precisa saber a razão entre as medidas da largura e do comprimento, respectivamente, dessa nova folha.
Considere 2,5 cm como valor aproximado para uma polegada.
a) 1/16
b) 620/1240
c) 596/856
d) 598/880
e) 845/4840
Razão
Largura = 595 mm + 1 polegada
Comprimento = 840 mm + 16 polegadas
Largura = 
 595 mm + (1 x 25) mm = 595 mm + 25 mm = 620 mm
Comprimento = 
 840 mm + (16 x 25) mm = 840 mm + 400 mm = 1 240 mm
Finalmente, a razão entre as medidas da largura e do comprimento da nova folha é de 620 / 1 240.
Proporção
Uma proporção é uma igualdade entre duas razões.
lê-se
“a está para b assim como c está para d”… 
…onde a, b, c e d são os termos da proporção: a e d são extremos e b e c são os meios.
Definição:
a
b
c
d
= 
Proporção
Em uma pesquisa, foi obtido o seguinte resultado com 30 alunos entrevistados, 10 gostam de Matemática, portanto também poderíamos supor que, se forem entrevistados 120 alunos em uma mesma pesquisa, 40 deverão gostar de Matemática. Na verdade, ao falar de 40 alunos dos 120 alunos estamos afirmando que 10 estão representando em 30 o mesmo que 40 em 120. 
Podemos escrevemos: 
Proporção
Uma propriedade fundamental das proporções é a seguinte: em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. 
a
b
c
d
= 
b c
a d
=
Esta é a PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORÇÕES.
Proporção
Meio
Extremo
a
b
c
d
= 
Extremo
Meio
:
a b
:
c d
=
Extremo
Extremo
Meio
Meio
Proporção
Exemplo numérico: 
2 : 4 : : 9 : 18 2. 18 = 4. 9 36 = 36
	Considerando a razão .
 	Se multiplicarmos ambos os termos da razão pelo mesmo número, por exemplo, por 3, obtemos uma nova razão:
 
 Quando escrevemos a igualdade temos uma proporção.
Proporção
	A proporção deve ler-se:
	 “2 está para 7 assim como 6 está para 21”.
	Numa proporção, os termos numéricos que lá aparecem têm um determinado nome de acordo com o lugar onde se encontram escritos.
	Os números 2 e 21 são chamados os extremos.
Os números 7 e 6 são chamados os meios.
Proporção
Exercício
	Numa escola, a razão do número de professores para o número de auxiliares é de 16:2.
 Que conclusão podemos tirar da informação dada?
RESPOSTA
Como a razão entre o número de professores e o número de auxiliares é de 16:2, podemos concluir que para cada 16 professores existem 2 auxiliares.
Proporção
Se o número total de professores e auxiliares for igual a 108, quantos professores e quantos auxiliares têm a escola?
RESPOSTA:
Por cada 18 trabalhadores existem 16 professores. Então, para 108 trabalhadores haverá x professores.
A escola tem 96 professores e
 108 – 96 = 12 auxiliares.
Proporção
Proporção - Propriedade
A soma (ou subtração) dos denominadores aos numeradores de suas razões, não altera a proporção.
 Sendo verdadeira a proporção
          
Então vale que: 
      
Na primeira razão, somamos ou subtraímos o denominador b, e, na segunda razão, somamos ou subtraímos o denominador d.
Proporção - Propriedade
A soma (ou subtração), dos numeradores e denominadores da segunda razão, aos da primeira, é igual à primeira ou segunda razão.
Sendo verdadeira a proporção: 
         
Então vale que:
         
Uma propriedade fundamental para série de razões iguais (ou proporção múltipla) é a seguinte: em uma série de razões iguais, a soma dos numeradores está para a soma dos denominadores assim como qualquer numerador está para o seu respectivo denominador.
Proporção - Propriedade
Divisão em partes diretamente proporcionais
Dividir um número em partes diretamente proporcionais a outros números dados significa encontrar parcelas desse número que são diretamente proporcionais aos números dados e que, somadas, reproduzam esse número. 
Divisão Proporcional
Divisão em partes inversamente proporcionais
Dividir um número em partes inversamente proporcionais a outros números dados é encontrar parcelas desse número que sejam diretamente proporcionais aos inversos dos números dados.
Divisão Proporcional
Divisão Proporcional
Dividir em 1280 partes diretamente proporcionais 8, 5 e 7, e inversamente proporcionais 5, 2 e 10.
Divisão Proporcional
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Duas grandezas são ditas diretamente proporcionais quando o aumento do valor de uma leva ao aumento do valor da outra e são inversamente proporcionais quando, ao contrário, o aumento de uma leva à diminuiçãode outra. Para resolvermos problemas envolvendo grandezas direta ou inversamente proporcionais, recorremos à regra de três.
REGRA DE TRÊS SIMPLES 
Diretamente Proporcional
Conhecemos três números e queremos conhecer um número: x. Esse quarto número é conhecido como quarta proporcional e, para encontrá-lo, utilizamos o procedimento conhecido como regra de três.
REGRA DE TRÊS SIMPLES 
Diretamente Proporcional
REGRA DE TRÊS SIMPLES 
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Inversamente Proporcional
Utilizamos duas setas: uma para o Número de Pedreiros e outra para o Tempo. A seta para cima indica que o número de pedreiros aumentou (de 3 para 6); a seta para baixo indica que o tempo diminuiu (de 10 para x). 
REGRA DE TRÊS SIMPLES 
Inversamente Proporcional
REGRA DE TRÊS SIMPLES 
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Porcentagem é uma razão com o denominador sempre igual a 100.
Desse modo, 25/100, por exemplo, é uma porcentagem e pode ser expressa como 25% (vinte e cinco por cento).
PORCENTAGEM
PORCENTAGEM
Representação:
Uma Babá recebe mensalmente R$ 400,00 de salário para trabalhar meio período. Ela terá um aumento salarial de 15%. Qual o valor do salário novo?
Um produto de R$ 32,00 está com desconto de 6,25%. Por quanto ele está sendo vendido?
PORCENTAGEM
40
(ENEM 2021) Durante um jogo de futebol foram anunciados os totais do público presente e do público pagante. Diante da diferença entre os dois totais apresentados, um dos comentaristas esportivos presentes afirmou que apenas 75% das pessoas que assistiam àquele jogo no estádio pagaram ingresso. 
Considerando que a afirmativa do comentarista está correta, a razão entre o público não pagante e o público pagante naquele jogo foi
PORCENTAGEM
a) 1/4
b) 1/3
c) 3/4
D 4/3
e) 3/1
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PORCENTAGEM
x pagante e y não pagantes
 x = 75% (x+y)
	y = 25% (x+y)
A razão pedida é:
	y/x = {25% (x+y)}/ 75% (x+y) = 1/3
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Coeficiente, outro importante conceito matemático que queremos resgatar, também é o resultado de uma divisão de uma quantidade por outra. 
Por exemplo, se numa escola com 400 alunos, 80 ficaram reprovados, então, o coeficiente de reprovação foi de 0,2, porque número de reprovados ÷ número de alunos = 0,2.
COEFICIENTE
O conceito de índice, por sua vez, não é muito diferente, senão por uma única razão: dividimos grandezas diferentes.
Exemplo: suponha que queiramos saber a relação entre o número de alunos reprovados e o número de alunos reprovados em matemática. Nesse caso, estamos diante de duas grandezas diferentes. Assim, essa comparação de grandezas diferentes chama-se índice (por exemplo, índice de reprovados por disciplina).
ÍNDICES 
Para facilitar os cálculos, é comum transformarmos o coeficiente em taxa. Para isso, basta multiplicarmos o coeficiente por 10, 100, 1000 ou qualquer outra potência de 10. Normalmente, usamos 100. Observe:
COEFICIENTES, TAXAS E ÍNDICES 
a) Com base na Tabela 2 (abaixo) calcule o coeficiente de aprovação na Rede Municipal?
COEFICIENTES, TAXAS E ÍNDICES 
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Solução
COEFICIENTES, TAXAS E ÍNDICES 
47
b) Avalie a Tabela 3 (abaixo) e calcule o índice de densidade professor-aluno aprovado no ensino fundamental na rede municipal de ensino.
COEFICIENTES, TAXAS E ÍNDICES 
48
Isso representa uma taxa de 0,08 x 100 = 8%; ou seja, para cada 100 alunos aprovados na rede municipal, há 8 professores.
COEFICIENTES, TAXAS E ÍNDICES 
Solução
49
PRÉ-VESTIBULAR DR.LUIZ GAMA
DÚVIDAS?
1
2
21
105
=
3
 ou 3:5
5
4,5
 ou 4,5:2
2
51
204
=
2
2
1803
2404
m
m
=
240
80/
3
km
kmh
h
=
1040
30120
=
´
29
418
=
2
7
3
3
26
721
´
´
=
26
721
=
2
7
1
6
2
=
18108161081728
96
161818
xxx
x
´
=Û=Û=Û=
610128610128610128
356435643564
+++
=======
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