Física 1-325-327

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Movimento plano em trajetória curva 323
F
y
F
N
P
F
x
θ
θ
θ
y
x
Figura c. Projeção da força 
normal sobre os eixos x e y. 
Projetamos as forças sobre os eixos e impomos a 
condição de a resultante ser a força centrípeta.
No triângulo colorido temos:
sen θ = 
Fy
FN
 ⇒ Fy = FN · sen θ
cos θ = 
Fx
FN
 ⇒ Fx = FN · cos θ
1
Na direção x a força F x é a resultante, portanto, 
ela faz o papel da força centrípeta:
Fx = Fc = 
m · v2
R 2
Na direção y as forças F y e P se anulam:
Fy = P = m · g 3
Dividindo-se a equação 2 pela 3 , obtemos:
Fx
Fy
 = 
m · v2
R
m · g
 ⇒ 
Fx
Fy
 = v
2
R · g 4
Substituindo-se as equações 1 em 4 :
FN · cos θ
FN · sen θ
 = v
2
R · g
Assim:
sen θ
cos θ
 = R · gv2 ⇒ tg θ = 
R · g
v2
35. Um automóvel, de dimensões desprezíveis e de 
massa m = 1 000 kg, percorre com velocidade 
escalar constante de 10 m/s uma circunferência 
de raio 100 m, contida num plano horizontal. 
Esse movimento ocorre numa pista sobrelevada, 
isto é, a margem externa é mais elevada que a 
margem interna. 
F
N
P
θ
θ
1
Figura a. 
33. Um cilindro oco, de raio R = 2,0 m, gira em 
torno de seu eixo, que é vertical, com velocidade 
angular ω = 10 rad/s. Um corpo gira juntamente 
com o cilindro, “preso” em sua superfície interna. 
Determine o menor coeficiente de atrito necessá-
rio para que não haja deslizamento do corpo na 
superfície do cilindro. É dado g = 10 m/s2.
R
ω
4º. caso: Movimento circular em pistas cônicas
34. Na figura temos um cone invertido, de eixo 
vertical, oco, fixo no solo. No seu interior uma 
partícula se movimenta em uma trajetória plana, 
horizontal, circular de raio R (um anel), com 
velocidade escalar v, constante. As paredes inter-
nas são perfeitamente lisas. Sendo m a massa da 
partícula, g o módulo da aceleração da gravidade, 
determine o ângulo θ, através de uma função 
trigonométrica, para que a partícula se mantenha 
no anel em movimento circular uniforme.
g
trajet—ria
θ θ
Figura a. 
Resolução:
A trajetória é circular e, portanto, a força resul-
tante é centrípeta.
Inicialmente vamos desenhar as duas únicas 
forças atuantes na partícula: o peso e a força 
normal. Esta é perpendicular à superfície (fig. b).
P
F
N
Figura b. Forças atuantes sobre o corpo. 
Uma estratégia consiste em se usar dois eixos 
de projeção: um deles, o eixo x, passando pelo 
centro da trajetória, e o outro, o eixo y, perpen-
dicular ao primeiro (fig. c).
Il
U
sT
R
A
ç
õ
Es
: 
zA
PT
Capítulo 17324
θ
R
1
Figura b. 
Determine o ângulo θ de sobrelevação da pista 
com a horizontal para que o automóvel consiga 
efetuar a curva independentemente da força de 
atrito. É dado g = 10 m/s2. O ângulo θ pode ser 
dado pela tg θ.
Resolução:
Poderíamos usar a mesma estratégia do exercício 
anterior, projetando-se as forças no eixo radial 
e no eixo vertical. No entanto, vamos aprender 
uma nova estratégia: usaremos a regra do para-
lelogramo.
Vale lembrar que temos um MCU e, portanto, a 
força resultante é centrípeta. Ao desenharmos o 
paralelogramo, a resultante obtida será a força 
centrípeta.
F
N
F
c
Ptrajetória
O
horizontal
θ
θ
1
Figura c.
Da figura podemos obter:
tg θ = 
m · v2
R
m · g
tg θ = v
2
R · g
Sendo: v = 10 m/s; R = 100 m e g = 10 m/s2, 
teremos:
tg θ = 10
2
100 · 10
tg θ = 0,10
36. Nas corridas de fórmula Indy é muito comum o 
uso de circuitos “ovais” com sobrelevação para 
permitir maior velocidade dos carros nas curvas. 
Numa dessas corridas chovia muito e o atrito 
praticamente desapareceu. Na curva da figura 
mostrada a seguir, o raio da trajetória é de 50 m 
e o ângulo de sobrelevação é 27° (tg 27° = 0,51). 
Sendo g = 10 m/s², determine:
θ
1
 
a) a máxima velocidade atingida pelo carro sem 
derrapar;
b) a intensidade da força normal, estimando-se 
a massa do carro em 1 500 kg.
37. (Unesp-SP) Curvas com ligeiras inclinações em 
circuitos automobilísticos são indicadas para 
aumentar a segurança do carro a altas velo-
cidades, como, por exemplo, no Talladega 
Superspeedway, um circuito utilizado para 
corridas promovidas pela NASCAR (National 
Association for Stock Car Auto Racing). Considere 
um carro como sendo um ponto material percor-
rendo uma pista circular, de centro C, inclinada 
de um ângulo α e com raio R, constantes, como 
mostra a figura, que apresenta a frente do carro 
em um dos trechos da pista.
raio : R
C
α
1
 
Se a velocidade do carro tem módulo constante, 
é correto afirmar que o carro:
a) não possui aceleração vetorial.
b) possui aceleração com módulo variável, dire-
ção radial e no sentido para o ponto C.
c) possui aceleração com módulo variável e tan-
gente à trajetória circular.
d) possui aceleração com módulo constante, 
direção radial e no sentido para o ponto C.
e) possui aceleração com módulo constante e 
tangente à trajetória circular.
5º. caso: Pêndulo simples e pêndulo cônico
Pêndulo simples é aquele que oscila num plano ver-
tical. Pêndulo cônico é aquele cuja esferinha realiza 
um movimento circular uniforme num plano hori-
zontal e cuja figura de seu movimento se assemelha 
a um cone.
38. No esquema a seguir, temos um pêndulo simples 
de comprimento ℓ = 1,0 m e com uma esfera de 
massa m = 0,50 kg, oscilando entre os pontos A 
e B. A velocidade escalar da esfera ao passar pelo 
ponto C indicado é v = 4,0 m/s. 
Il
U
sT
R
A
ç
õ
Es
: 
lU
Iz
 A
U
g
U
sT
o
 
R
Ib
EI
R
o
Movimento plano em trajetória curva 325
B
C
ℓ
A
v
θ
Figura a.
Dados: g = 10 m/s2; sen θ = 0,60; cos θ = 0,80.
Determine:
a) a intensidade da força que traciona o fio, 
quando a esfera passa pelo ponto C;
b) o módulo da aceleração tangencial da esfera 
em C. 
Resolução:
a) As forças que agem sobre a esfera são o peso 
P e a tração T . A tração tem a direção da nor-
mal à trajetória e o peso foi decomposto nas 
direções da normal e da tangente à trajetória.
P
P sen θ
P cos θ
normal
centro
trajetória
tangente
a
c
a
t
θ
C
T θ
Figura b.
 Nessas condições, a resultante centrípeta tem 
intensidade:
 T – P · cos θ
 Sendo |F
c
| = m · |a
c
|, vem:
 T – P · cos θ = m
v2
R
 
 T – m · g · cos θ = m
v2
R
 
 Sendo m = 0,50 kg, g = 10 m/s2, cos θ = 0,80, 
v = 4,0 m/s e R = ℓ = 1,0 m, vem:
 T – 0,50 · 10 · 0,80 = 0,50 · 
(4,0)2
1,0
 
 T = 12 N
b) A intensidade da resultante tangencial é: 
 P · sen θ
 Portanto: 
 |F
t
| = m · |a
t
|
 P · sen θ = m · |a
t
|
 m · g · sen θ = m · |a
t
|
 |a
t
| = g · sen θ ⇒ |a
t
| = 10 · (0,60)
 |at| = 6,0 m/s
2
39. No esquema, temos um pêndulo simples de com-
primento ℓ = 0,60 m e com uma esfera de massa 
m = 1,0 kg, oscilando entre os pontos A e B. 
A velocidade escalar da esfera ao passar pelo 
ponto C é v = 6,0 m/s. 
B
C
30º
60º
A
g
v 
Determine a intensidade da força que traciona 
o fio e o módulo da aceleração tangencial nos 
pontos A e C. (Dados: sen 30° = cos 60° = 0,50; 
sen 60° = cos 30° = 0,87; g = 10 m/s2.)
40. Uma pequena esfera, de massa m = 0,40 kg, sus-
pensa por um fio, descreve um movimento circular 
uniforme em torno do centro C, em um plano 
horizontal, constituindo o chamado pêndulo côni-
co. Sendo o raio da trajetória 
R = 0,30 m, g = 10 m/s2, 
sen θ = 0,60 e cos θ = 0,80, 
determine a intensidade da 
força que traciona o fio e a 
velocidade escalar da esfera.
Resolução:
As forças que agem sobre a esfera são o peso P 
e a tração T do fio. Como a esfera realiza MCU, a 
resultante dessas forças é centrípeta. O triângulo 
colorido, que está redesenhado na figura b, per-
mite calcular T e v:
cos θ = 
m · g
T
 
0,80 = 
0,40 · 10
T
 
T = 5,0 N
tg θ = 
m · 
v2
R
m · g 
tg θ = 
v2
R · g
 
v2 = R · g · tg θ
Sendo R = 0,30 m, g = 10 m/s2 e
tg θ = 
sen θ
cos θ
 = 
0,60
0,80
, vem:
v2 = 0,30 · 10 · 
0,60
0,80
v2 = 
9,0
4,0
v = 
3,0
2,0
v = 1,5 m/s
C
R
θ
Figura a.
θ
C
θ
T
P
F
c
Figura b.
v2
R
T
P = mg
F
c
 = m
θ
Figura c.
Il
U
sT
R
A
ç
õ
Es
: 
zA
PT