Tópicos de Física 1 - Parte 1-325-327

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323TÓPICO 3 | RESULTANTES TANGENCIAL E CENTRÍPETA
 55. No esquema ao lado, re-
presenta-se um pêndulo 
cônico operando em con-
dições ideais. A esfera 
pendular descreve movi-
mento circular e uniforme, 
num plano horizontal, de modo que o afastamento 
angular do fio em relação à vertical é . Sendo g o 
módulo do campo gravitacional do local e r o raio da 
circunferência descrita pela esfera pendular:
a) calcule o período de revolução do pêndulo;
b) discuta, justificando, se o período calculado no 
item anterior seria modificado se o pêndulo 
fosse levado para um outro local, de aceleração 
da gravidade igual a 
g
4
. 
 56. (Unicamp-SP) As máquinas a vapor, que foram im-
portantíssimas na Revolução Industrial, costuma-
vam ter um engenhoso regulador da sua velocidade 
de rotação, como é mostrado esquematicamente 
na figura abaixo. As duas esferas afastavam-se do 
eixo em virtude de sua rotação e acionavam um 
dispositivo regulador da entrada de vapor, contro-
lando assim a velocidade de rotação, sempre que o 
ângulo  atingia 30°. Considere hastes de massa 
desprezível e comprimento L 5 0,2 m, com esferas 
de massas m 5 0,18 kg em suas pontas, d 5 0,1 m 
e 3 ≅ 1,8. Adote g 5 10 m/s2.
articulação
v
m
d

L
eixo de
rotação
m
interna do rotor valha m. Su-
ponha que o módulo da ace-
leração da gravidade seja g 
e que o rotor tenha raio R. 
Calcule a mínima velocidade 
angular do rotor, de modo 
que, com o suporte retirado, 
a pessoa não escorregue 
em relação à parede.
 58. Considere uma superfície, em forma de tronco de 
cone, fixa sobre uma mesa, conforme representa 
a figura. Seja a o ângulo formado entre a parede 
externa da superfície e a mesa. Uma partícula de 
massa m percorre a parede interna da superfície 
em movimento uniforme, descrevendo uma cir-
cunferência de raio R, contida em um plano ho-
rizontal. Desprezando todos os atritos e adotando 
para a aceleração da gravidade o valor g, calcule 
a intensidade da velocidade linear da partícula.
R
suporte
v
g
C
R
a
 59. (Unifesp) Uma estação 
espacial, construída 
em forma cilíndrica, 
foi projetada para con-
tornar a ausência de 
gravidade no espaço. 
A figura mostra, de 
maneira simplificada, 
a secção reta dessa 
estação, que possui 
dois andares.
Para simular a presença de gravidade, a estação 
deve girar em torno do seu eixo com certa velo-
cidade angular. Se o raio externo da estação é R:
a) deduza a velocidade angular v com que a es-
tação deve girar para que um astronauta, em 
repouso no primeiro andar e a uma distância 
R do eixo da estação, fique sujeito a uma ace-
leração de módulo igua a g;
b) suponha que o astronauta, cuja massa vale m, 
vá para o segundo andar, a uma distância h do 
piso do andar anterior. Calcule o peso do as-
tronauta nessa posição e compare-o com o seu 
peso quando estava no primeiro andar. O peso 
aumenta, diminui ou permanece inalterado?
2R
h
v
primeiro and
ar
segundo an
da
r
a) Faça um diagrama indicando as forças que 
atuam sobre uma das esferas.
b) Calcule a velocidade angular v para a qual 
 5 30°.
 57. Em alguns parques de diversões, existe um brin-
quedo chamado rotor, que consiste em um cilindro 
oco, de eixo vertical, dentro do qual é introduzida 
uma pessoa:
De início, a pessoa apoia-se sobre um suporte, que 
é retirado automaticamente quando o rotor gira com 
uma velocidade adequada. Admita que o coeficiente 
de atrito estático entre o corpo da pessoa e a parede 
r
 
g
B
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324 UNIDADE 2 | DINÂMICA
Para raciocinar um pouco mais
 60. Admita que fosse possível reunir, num mesmo 
grande prêmio de Fórmula 1, os memoráveis pilo-
tos Chico Landi, José Carlos Pace, Emerson Fitti-
paldi, Ayrton Senna e Nelson Piquet. Faltando ape-
nas uma curva plana e horizontal para o final da 
prova, observa-se a seguinte formação: na liderança, 
vem Pace, a 200 km/h; logo atrás, aparece Landi, 
a 220 km/h; em terceira colocação, vem Senna, a 
178 km/h, seguido por Fittipaldi, a 175 km/h. Por 
último, surge Piquet, a 186 km/h. A curva depois 
da qual os vencedores recebem a bandeirada final 
é circular e seu raio vale 625 m. Sabendo-se que o 
coeficiente de atrito estático entre os pneus dos 
carros e a pista é igual a 0,40 e que g 5 10 m/s2, é 
muito provável que tenha ocorrido o seguinte:
a) Pace venceu a corrida, ficando Landi em se-
gundo lugar, Senna em terceiro, Fittipaldi em 
quarto e Piquet em quinto.
b) Landi venceu a corrida, ficando Pace em se-
gundo lugar, Piquet em terceiro, Senna em 
quarto e Fittipaldi em quinto.
c) Senna venceu a corrida, ficando Fittipaldi em 
segundo lugar; Pace, Landi e Piquet derrapa-
ram na curva.
d) Piquet venceu a corrida, ficando Senna em se-
gundo lugar e Fittipaldi em terceiro; Pace e 
Landi derraparam na curva.
e) Pace venceu a corrida, ficando Senna em se-
gundo lugar, Fittipaldi em terceiro e Piquet em 
quarto; Landi derrapou na curva.
 61. (Unip-SP) Uma pe-
quena esfera E, de 
massa 1,0 kg, gira em 
torno de uma haste 
vertical com velocida-
de angular constante 
de 5,0 rad/s.
A esfera está ligada à 
haste por dois fios 
ideais de 2,0 m de comprimento cada um, que es-
tão em contato com a haste por meio de dois anéis, 
A e B, a uma distância fixa de 2,0 m um do outro. A 
esfera E não se desloca verticalmente.
Adote g 5 10 m/s2 e despreze o efeito do ar.
Determine as intensidades T1 e T2 das forças que 
tracionam os fios 1 e 2.
 62. Um aro metálico circular 
e duas esferas são aco-
plados conforme a figura 
ao lado. As esferas são 
perfuradas diametral-
mente, de modo a pode-
rem se deslocar ao longo 
do aro, sem atrito. Sendo 
R o raio do aro e m a 
massa de cada esfera, determine a velocidade an-
gular que o aro deve ter, em torno do eixo vertical 
EE’, para que as esferas fiquem na posição indicada. 
A aceleração da gravidade tem intensidade g.
 63. Um automóvel está em movimento circular e uni-
forme com velocidade escalar v, numa pista so-
brelevada de um ângulo  em relação à horizontal. 
Sendo m o coeficiente de atrito estático entre os 
pneus e a pista, R o raio da trajetória e g a inten-
sidade do campo gravitacional, determine o valor 
máximo de v, de modo que não haja deslizamento 
lateral do veículo.

C
 64. Uma moeda descreve movimento circular e uni-
forme com velocidade angular v encostada na 
parede interna de um recipiente em forma de tron-
co de cone, com eixo vertical. A trajetória descrita 
pelo objeto tem raio R e está contida num plano 
horizontal. As paredes do recipiente formam um 
ângulo  com uma superfície horizontal de apoio 
e, no local, a influência do ar é desprezível e a in-
tensidade da aceleração da gravidade é igual a g.
u u
REAL
2004
REAL
2004
Sendo m o coeficiente de atrito dinâmico entre a 
moeda e a parede interna do recipiente, pede-se 
determinar o mínimo valor de v para a moeda 
não escorregar.
A
B
2,0 m
2,0
 m
2,0 m
�o 2
�o 1
E
esfera
haste
E'
E
v
R
608 608
g
B
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325TÓPICO 3 | RESULTANTES TANGENCIAL E CENTRÍPETA
 65. (Fuvest-SP) Um brinquedo consiste em duas pe-
quenas bolas A e B, de massas iguais a M, e um 
fio flexível e inextensível: a bola B está presa na 
extremidade do fio e a bola A possuium orifício 
pelo qual o fio passa livremente. Para operar ade-
quadamente o dispositivo, um jovem (com treino) 
deve segurar a extremidade livre do fio e girá-la 
de maneira uniforme num plano horizontal, de 
modo que as bolas realizem movimentos circu-
lares e horizontais, de mesmo período, mas de 
raios diferentes. Nessa situação, como indicado 
na figura 1, as bolas permanecem em lados opos-
tos em relação ao eixo vertical fixo, que apenas 
toca os pontos O e Q do fio. Na figura 2, estão 
indicados os raios das trajetórias de A e B, bem 
como os ângulos que os dois segmentos do fio 
fazem com a horizontal.
Determine:
a) a intensidade F da força de tração, admitida 
constante em toda a extensão do fio, em função 
de M e g;
b) a razão K 5 sen a/sen  entre os senos dos 
ângulos indicados na figura 2;
c) o número de voltas por segundo que o con-
junto deve realizar no caso de o raio R2 da 
trajetória descrita pela bola B ser igual a 
0,10 m.
 66. (IME-RJ) Uma mola ideal de constante elástica 
igual a k está distendida, fixa no corpo A, de mas-
sa mA. Um fio leve e inextensível passa por uma 
roldana de dimensões desprezíveis e tem suas 
extremidades presas ao corpo A e ao corpo B, de 
a

A
B
R
1
R
2
Q
�gura 2
O
A
B
O
Q
�gura 1
O corpo A encontra-se sobre uma mesa horizon-
tal na iminência de movimento no sentido de 
reduzir a distensão da mola e sua massa é sufi-
cientemente grande para mantê-lo sempre 
apoiado sobre a mesa. Sabendo-se que a ace-
leração da gravidade tem módulo g e que o coe-
ficiente de atrito estático entre o corpo A e a mesa 
é igual a m, pede-se calcular a deformação x da 
mola.
 67. Na situação esquematizada a seguir, o sistema 
realiza rotação uniforme de modo que o bloco A 
permanece apoiado sobre o disco horizontal D
1
 
sem deslizar em relação a este. O bloco B, por 
sua vez, mantém-se em equilíbrio na vertical pre-
so a um fio ideal que o conecta a A, sem tocar no 
disco D
2
, também horizontal. As massas de A e B 
valem respectivamente m e M e o coeficiente de 
atrito estático entre A e D
1
 vale m.
g
R
B
D
2
D
1
A
v
Sendo vmáx e vmín, respectivamente, as velocida-
des angulares máxima e mínima do sistema que 
atendem às condições do problema e despre-
zando-se a influência do ar, calcule a relação 
entre vmáx e vmín.
massa mB, que realiza um movimento circular e 
uniforme com raio R e velocidade angular v em 
um plano horizontal.
O
R
A
B
k
a
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Note e adote:
Os atritos e a influência do ar são desprezíveis. A 
aceleração da gravidade tem módulo g 5 10 m/s2. 
sen  ≅ 0,4; cos  ≅ 0,9 e π ≅ 3.
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