Física 2 (2)-046-048

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Capítulo 244
Exercícios de Reforço
50. (UF-ES) Um caminhão-tanque com capacidade 
para 10 000 litros é cheio de gasolina quando a 
temperatura é de 30 °C. Qual a redução de volu-
me sofrida pelo líquido ao ser descarregado numa 
ocasião em que a temperatura é de 10 °C? O 
coeficiente de dilatação volumétrica da gasolina 
é igual a 9,6 · 10–4 °C–1.
a) 0,96 litro. d) 96 litros.
b) 1,92 litro. e) 192 litros.
c) 9,6 litros.
51. (Cesgranrio-RJ) Um petroleiro recebe uma carga 
de 1,0 · 106 barris de petróleo (1,6 · 105 m3) no 
golfo Pérsico, a uma temperatura de aproximada-
mente 50 °C. Qual a perda em volume, por efeito 
de contração térmica, que esta carga apresenta, 
quando descarregada no sul do Brasil, a uma 
temperatura de cerca de 20 °C? O coeficiente de 
expansão (dilatação) térmica do petróleo é apro-
ximadamente igual a 1 · 10–3 °C–1.
a) 3 barris. d) 3 · 103 barris.
b) 3 · 101 barris. e) 3 · 104 barris.
c) 3 · 102 barris.
52. Um frasco de volume interno V
0
 está totalmente 
cheio com um líquido de coeficiente de dilatação 
cúbica γ, estando o conjunto à temperatura θ
0
.
Aquecendo-se o conjunto até a temperatura θ, 
observa-se que transborda do frasco um volume 
de líquido igual a V
1
. Sabendo que o coeficiente 
de dilatação linear do material de que é feito o 
frasco é igual a α, podemos afirmar que:
a) V
1
 = V
0
(θ – θ
0
)(γ – α)
b) V
1
 = V
0
 · θ(α – γ)
c) V
1
 = V
0
(γ – 3α)(θ – θ
0
)
d) V
1
 – V
0
(2α – γ)(θ – θ
0
)
e) V
1
 = V
0
(θ – θ
0
)(3α – γ)
53. (AFA-SP) Um recipiente tem capacidade de 3 000 cm3 
a 20 °C e está completamente cheio de um deter-
minado líquido. Ao aquecer o conjunto até 120 °C, 
transbordam 27 cm3. O coeficiente de dilatação 
aparente desse líquido, em relação ao material de 
que é feito o recipiente, é, em ºC–1, igual a
a) 3,0 · 10–5 
b) 9,0 · 10–5 
c) 2,7 · 10–4
d) 8,1 · 10–4
54. (AFA-SP) Um frasco de vidro, cujo volume é 2 000 cm3 
a 0 °C, está completamente cheio de mercúrio a 
esta temperatura. Sabe-se que o coeficiente de 
dilatação volumétrica do mercúrio é 1,8 · 10–4 °C–1 
e o coeficiente de dilatação linear do vidro de 
que é feito o frasco é 1,0 · 10–5 °C–1. O volume 
de mercúrio que irá entornar, em cm3, quando o 
conjunto for aquecido até 100 °C, será:
a) 6,0 b) 18 c) 36 d) 30
55. (Unesp-SP) Nos últimos anos temos sido alerta-
dos sobre o aquecimento global. Estima-se que, 
mantendo-se as atuais taxas de aquecimento do 
planeta, haverá uma elevação do nível do mar 
causada, inclusive, pela expansão térmica, cau-
sando inundação em algumas regiões costeiras. 
Supondo, hipoteticamente, os oceanos como sis-
temas fechados e considerando que o coeficiente 
de dilatação volumétrica da água é aproximada-
mente 2 · 10–4 °C–1 e que a profundidade média 
dos oceanos é de 4 km, um aquecimento global 
de 1 °C elevaria o nível do mar, devido à expan-
são térmica, em aproximadamente,
a) 0,3 m d) 1,1 m
b) 0,5 m e) 1,7 m
c) 0,8 m
8. Dilatação aparente
No laboratório de Ciências, para medirmos o volume de um líquido usamos um frasco 
graduado, como esta proveta da figura 11. Ela veio graduada de fábrica e geralmente isso 
é feito à temperatura ambiente, convencionada em 20 °C. Assim, nessa temperatura, o 
volume lido em sua graduação está correto. Na figura 11, sendo mL a unidade de volume 
da graduação e estando a 20 °C, podemos ler o volume do líquido: 60 mL.
Se aquecermos o sistema (frasco + líquido) haverá dilatação de ambos. O tamanho 
da unidade de volume impressa no frasco fica aumentado e o volume lido não vai cor-
responder à realidade. Será um volume aparente.
Precisamos fazer uma correção. Esse será o nosso estudo neste item.
80
70
60
50
40
30
20
10
100
90
Figura 11. Frasco graduado – 
proveta.
z
A
P
t
Dilatação térmica 45
Correção da leitura
Consideremos um líquido contido num frasco de volumetria cuja capacidade de di-
visão (entre duas marcas consecutivas da graduação) é C, na temperatura de graduação 
(por exemplo, 20 °C), que admitiremos ser a inicial. Se a leitura correspondente ao nível 
livre do líquido é L (fig. 12), o volume inicial é:
V
i
 = L · C
L
C
Figura 12. Volume ini-
cial V
i
 = L · C.
ObsERvAçãO
A grandeza C, que aparece na equação V
i
 = L · C, geralmente representa um volume unitário 
entre duas graduações. No entanto, um frasco pode estar graduado de 5 m𝓵 em 5 m𝓵 ou de 
10 m𝓵 em 10 m𝓵. Em qualquer situação o volume será dado pelo produto da leitura L pelo 
valor de C.
Por exemplo, se entre duas marcas consecutivas a unidade de volume é C = 1 m𝓵 e a leitura 
é L = 20, devemos ler um volume inicial V
i
 = 20 m𝓵.
Ocorrendo a variação de temperatura Δθ, estabelecido o equilíbrio térmico, o nível 
livre do líquido passa a corresponder à leitura L' (fig. 13). Se não levarmos em conta 
que a capacidade de divisão do frasco se alterou de C para C', teremos para o líquido 
um volume final aparente:
V
ap
 = L' · C
Exemplificando, se a nova leitura for L' = 23 com a capacidade de divisão mantida 
em C = 1 mℓ, teremos V
ap
 = 23 m𝓵.
Chamamos dilatação aparente do líquido, para a variação de temperatura Δθ, a 
diferença entre o volume final aparente do líquido e seu volume inicial:
ΔV
ap
 = V
ap
 – V
i
 1
Nos exemplos numéricos sugeridos acima, teremos:
ΔV
ap
 = 23 – 20 ⇒ ΔV
ap
 = 3 m𝓵
A dilatação aparente é, evidentemente, muito fácil de ser determinada, pois corres-
ponde numericamente à simples diferença (L' – L) entre as leituras final e inicial.
Demonstra-se que a dilatação aparente obedece a uma lei análoga à da dilatação 
real, isto é, a variação aparente de volume (ΔV
ap
) é diretamente proporcional ao volume 
inicial (V
i
) e à variação de temperatura (Δθ). 
ΔV
ap
 = γ
ap
 · V
i
 · Δθ 2
A constante de proporcionalidade γ
ap
 é denominada coeficiente de dilatação apa-
rente do líquido, para o frasco em que se encontra. Sua unidade também é o recípro-
co da unidade e temperatura (ºC–1, ºF–1, K–1). Esse coeficiente de dilatação aparente 
relaciona-se com o coeficiente de dilatação real γ e com o coeficiente de dilatação 
volumétrica do sólido por:
γ
ap
 = γ – γ
s
 3
Considerando que ΔV
ap
 = V
ap
 – V
i
, substituindo na equação acima, obtemos:
V
ap
 – V
i
 = γ
ap
 · V
i
 · Δθ
V
ap
 = V
i
 + γ
ap
 · V
i
 · Δθ
V
ap
 = V
i
 (1 + γ
ap
 · Δθ) 4
O termo adimensional (1 + γ
ap
 · Δθ) é o binômio de dilatação aparente do líquido 
para o frasco em que se encontra e para a variação de temperatura Δθ sofrida.
L' C'
Figura 13. Volume final 
aparente (V
ap
 = L' · C) e 
real (V
f
 = L' · C').
IL
U
St
r
A
ç
õ
ES
: 
zA
Pt
Capítulo 246
Demonstração da igualdade 2
Consideremos a figura 14, onde se mostra a dilatação (exagerada) da distância entre 
duas marcas consecutivas da escala da proveta. teremos um novo volume unitário C'.
V
f
 = L' C' = 
Vap
L' C (1 + γ
s
 · Δθ) = V
ap
 (1 + γ
s
 · Δθ) 1
V
f
 = V
i
 (1 + γ · Δθ) 2
De 1 e 2 temos:
V
ap
 (1 + γ
s
 · Δθ) = V
i
 (1 + γ · Δθ) ou V
ap
 = V
i
 
1 + γ · Δθ
1 + γ
s
 · Δθ
 3
Mas:
1 + γ · Δθ
1 + γ
s
 · Δθ
 = (1 + γ · Δθ) · [1 – 
γs · Δθ]
(1 + γ
s
 · Δθ) · [1 – γ
s
 · Δθ]
 = 
1 – γs · Δθ + γ · Δθ – γ · γs (Δθ)2
1 – γ2
s
 · (Δθ)2
 ≅ 
≅ 1 – γ
s
 · Δθ + γ · Δθ = 1 + (γ – γ
s
) Δθ
pois γ · γ
s
 (Δθ)2 e γ
s
2 (Δθ)2 são pequenos em comparação com os outros termos. 
Substituindo em 3 , obtemos:
V
ap
 = V
i
 1 + 
γap
(γ – γ
s
) Δθ = V
i
 [1 + γ
ap
 · Δθ] ou ΔV
ap
 = V
i
 · γ
ap
 · Δθ
ObsERvAçãO
Usualmente, para a determinação experimental do coeficiente de dilatação real do líquido, utilizamos a relação 
γ = γap + γs. Realmente, sendo dado o coeficiente de dilatação volumétrica do material do frasco γs, o valor do coeficiente 
de dilatação aparente é facilmente obtido na experiência, pois ΔVap corresponde numericamente à variação do nível líquido 
(L' – L). Da equação ΔVap = γap · Vi · Δθ, tiramos o valor de γap, que, somado ao valor γs, nos dá o coeficienteprocurado.
Usualmente, para a determinação experimental do coeficiente de dilatação real do líquido usamos:
γreal = γap + γfrasco 4 ΔVap = γap · Vi · Δθ 5
C
L
V
i
 = LC 
L'
V
ap 
= L'C
V
f 
= L'C'
C'
(a) Antes. (b) Depois.
Figura 14.
56. Um frasco de vidro foi graduado em cm3, a 20 °C. 
Coloca-se dentro do frasco um líquido a 20 °C 
até atingir a marca de 400 cm3. Quando o con-
junto é aquecido até 120 °C, observa-se que 
o líquido atinge a marca de 408 cm3. Sabendo 
que o coeficiente de dilatação cúbica do vidro é 
γV = 27 · 10
–6 °C–1, calcule o coeficiente de 
dilatação cúbica real do líquido e o volume real 
do líquido a 120 °C.
Resolu•‹o:
temperatura inicial: 
θi = 20 °C
temperatura final: 
θf = 120 °C
⇒ Δθ = 100 °C
Exercícios de Aplicação
400,0
θ
i
 = 20 ¼C
Figura a. V
i
 = volume 
inicial real = 400 cm3
408,0
θ
f
 = 120 ¼C
Figura b. V
ap
 = volume 
aparente final = 408 cm3
À temperatura de 120 °C, o líquido atinge a marca 
de 408 cm3 (fig. b). Porém, essa marca não nos 
dá o volume real do líquido, mas sim o volume 
IL
U
St
r
A
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ES
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Pt